Funções e Limites. Informática

CURSO DE: SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO I Funções e Limites Informátic Prof: Mrcio Demetrius Mrtinez Nov Andrdin 00

O CONCEITO DE UMA FUNÇÃO - FUNÇÃO. O que é um função Um função mtemátic é, essencilmente, um form especil de se fzer um correspondênci entre elementos de dois conjuntos. Definição: Entendemos por um função f um tern (A, B, b ) Em que A e B são dois conjuntos e b, um regr que nos permite ssocir cd elemento de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f e indic-se por D, ssim A= D. O conjunto B é o contrdomínio de f. O único b de B f ssocido o elemento de A é indicdo por f() (lei: f de ); diremos que f() é o vlor que f ssume em ou que f() é o vlor que f ssoci. Qundo percorre o domínio de f, f() descreve um conjunto denomindo imgem de f e que se indic por Im f. f Im f f ( ) / Um função de f de domímio A e contrdomínio B é usulmente indicd por f : (lei: f de A em B). Um função de um vriável rel vlores reis é um função f :, onde A e B são subconjuntos de R (reis). D f Sej f : um função. O conjunto G f (, f ( )) / denomin-se gráfico de f; ssim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pres ordendos (,y) de números reis. Munindo-se o plno de um sistem ortogonl de coordends crtesins, o gráfico de f pode então ser pensdo como o lugr geométrico descrito pelo ponto (,f()) qundo percorre o domínio de f. A Tipos prticulres de funções Função Constnte Um função é dit constnte qundo é do tipo f() = k, onde k não depende de. Eemplos: ) f() = ; b) f() = -; c) Quem é o domínio e o conjunto imgem de f? Not : o gráfico de um função constnte é um ret prlel o eio dos. Vej o gráfico seguir: Prof. Mrcio

FUNÇÃO DO º GRAU Um função é dit do º gru, qundo é do tipo y = + b, onde 0. Eemplos : f() = + ( = ; b = ) f() = - + ( = -; b = ). Funções Crescente e Decrescente Definição: Função crescente: f é um função crescente qundo: Função decrescente: f é um função decrescente qundo: D, se f f ( ) f ( ) D, se f f ( ) f ( ) Proprieddes d função do º gru : ) o gráfico de um função do º gru é sempre um ret. ) n função f() = + b, se b = 0, f é dit função liner e se b 0 f é dit função fim. ) o gráfico intercept o eio dos n riz d equção f() = 0 e, portnto, no ponto de bciss = - b/. ) o gráfico intercept o eio dos y no ponto (0, b), onde b é chmdo coeficiente liner. ) o vlor é chmdo coeficiente ngulr e dá inclinção d ret. 6) se > 0, então f é crescente. ) se < 0, então f é decrescente. 8) qundo função é liner, ou sej, y = f() =, o gráfico é um ret que sempre pss n origem. Eemplos: - Determine função f() = + b, sbendo-se que f() = e f() = -0. Eercício:. A função f é definid por f() = + b. Sbe-se que f(-) = e f() =, então podemos firmr que f() é igul : ) b) - Prof. Mrcio

c) 0 d) e) - FUNÇÃO DO º GRAU Um função é dit do º gru qundo é do tipo f() = + b + c, com 0. Eemplos: f() = - + ( =, b = -, c = ) ; y = - ( = -, b = 0, c = 0 ) Gráfico d função do º gru y = + b + c : é sempre um prábol de eio verticl. Proprieddes do gráfico de y = + b + c : ) se > 0 prábol tem um ponto de mínimo. ) se < 0 prábol tem um ponto de máimo ) o vértice d prábol é o ponto V( v, y v) onde: v = - b/ y v = - /, onde = b - c ) prábol intercept o eio dos nos pontos de bcisss ' e '', que são s rízes d equção + b + c = 0. ) prábol intercept o eio dos y no ponto (0, c). 6) o eio de simetri d prábol é um ret verticl de equção = - b/. ) y m = - / ( > 0 ) 8) y min = - / ( < 0 ) 9) Im(f) = { y R ; y > - / } ( > 0 ) 0) Im(f) = { y R ; y < - /} ( < 0) ) Form ftord : sendo e s rízes d de f() = + b + c, então el pode ser escrit n form ftord seguir : y = ( - ).( - ) Eemplos - Sbe-se que - e são rízes de um função qudrátic. Se o ponto (-, 8) pertence o gráfico dess função, então: ) o seu vlor máimo é, b) o seu vlor mínimo é, c) o seu vlor máimo é 0, d) o seu vlor mínimo é, *e) o seu vlor máimo é,. SOLUÇÃO: Sbemos que função qudrátic, pode ser escrit n form ftord: y = ( - )( - ), onde e, são os zeros ou rízes d função. Portnto, poderemos escrever: y = [ - (- )]( - ) = ( + )( - ) y = ( + )( - ) Como o ponto (-,8) pertence o gráfico d função, vem: 8 = (- + )(- - ) Prof. Mrcio

8 = ()(-) = -. Dí vem: = - A função é, então: y = -( + )( - ), ou y = (- -)( - ) y = - + 6 - + y = - + + Temos então: = -, b = e c =. Como é negtivo, concluímos que função possui um vlor máimo. Isto já ein s lterntivs B e D. Vmos então, clculr o vlor máimo d função. = b - c = -.(-). = +96 = 00 Portnto, y v = - 00/(-) = 00/8 =, Logo, lterntiv corret é letr E. - Que número ecede o seu qudrdo o máimo possível? *) / b) c) d) e) -/ SOLUÇÃO: Sej o número procurdo. O qudrdo de é. O número ecede o seu qudrdo, logo: -. Or, epressão nterior é um função qudrátic y = -. Podemos escrever: y = - + onde = -, b = e c = 0. O vlor procurdo de, será o v (bciss do vértice d função). Assim, v = - b /. = - / (-) = / Logo, lterntiv corret é letr A. Chmmos de função modulr função f()= definid por: Funções Modulres f ( ), se, se Observe, então, que função modulr é um função definid por dus sentençs. Determinção do domínio Vmos determinr o domínio de lgums funções utilizndo inequções modulres: Eemplo : Determinr o domínio d função 0 0 f ( ) Sbemos que só é possível em IR se 0. Então : 0 ou Respost : D { IR ou } Resolução: Eemplo : Determinr o domínio d função f ( ) Resolução: Prof. Mrcio

Sbemos que Então : Respost : D { só é possível 0 IR } em IR se 0. Gráfico Vmos construir o gráfico d função f()= : y=f() - - 0 0 Gráfico d função f()= :. Determine equção d ret que pss pelo ponto (-, ) e cujo coeficiente ngulr é.. Qul é equção d ret que pss pelo ponto (-, -) e de coeficiente liner igul 8?. Constru o gráfico ds seguintes funções e determine o domínio e imgem: ) f () d) b) f () e) f() f (), se 0 c) f () f) f () S t,. Um corpo se moviment em velocidde constnte de cordo com, em que S indic posição do corpo (em metros) no instnte t (segundos). Constru o gráfico de S em função de t.. Considere função f : definid por f () ; sem construir o gráfico, respond: ) Qul é figur do gráfico de f? b) Em que ponto o gráfico de f intersect o eio? c) Em que ponto o gráfico de f intersect o eio y? d) f é função crescente ou decrescente? 6. N produção de peçs, um indústri tem um custo fio de R$ 8,00 mis um custo vriável de R$ 0,0 por unidde produzid. Sendo o número de uniddes produzids: ) Escrev função que fornece o custo totl; b) Clcule o custo de 00 peçs.. Gerdor é um prelho que trnsform qulquer tipo de energi em energi elétric. Se potênci P (em wtts) que um certo gerdor lnç num circuito elétrico é dd pel relção Prof. Mrcio 6 se P(i) 0i i o gerdor, determine o número de wtts que epress potênci P qundo i = mpères. 0 = -, em que i é intensidde d corrente elétric que trvess 8. Atribuindo pr os vlores, 0,,,, e, constru o gráfico d função definid por f(). A seguir, respond com bse no gráfico ou n lei d função. ) A concvidde fic pr cim ou pr bio? b) Qul é o vértice dess prábol?

c) Em que ponto prábol intersect o eio y? d) Em quntos pontos el intersect o eio? Quis são esses pontos? e) Ess função é crescente ou decrescente? f) Qul é imgem dess função? () 9 g) Determine se f,f,f 9 e f( ) são miores, menores ou iguis zero. h) Eiste tl que f? Em cso positivo, determine? 9. Esboce o gráfico d função qudrátic f cuj prábol pss pelos pontos (,-) e (0, ) e tem vértice no ponto (,-); em seguid, verifique qul ds seguintes sentençs corresponde ess função: ) f() 8 b) f() 8 c) f() 8 0. A trjetóri d bol, num chute gol, descreve um prábol. Supondo que su ltur h, em metros, t segundos pós o chute, h t 6t sej dd por, determine: ) Em que instnte bol tinge ltur máim? b) Qul é ltur máim tingid pel bol?. Determine o vértice, os pontos que interceptm os eios O e O y, o vlor máimo (mínimo), o domínio e imgem ds seguintes funções: ) f() d) f() 6 g) f() b) f() c) f(). : g : é função qudrátic cujo gráfico é: e) f() 0 6 f) f() f é função qudrátic definid por f() h) f().. Sej f : R R função dd por:. Nesss condições, g( ) é igul : f ( ) e sej : R R g função dd por f ( h ) f ( ) g ( ), com h 0 h ) h b) c) d) + h e) + h Se, então é igul : (A) (B) (C) (D) (E). Se função é tl que então é (A) (B) (C) (D) (E). N equção fizemos, então o vlor de é (A) (B) (C) (D) (E) 6. Montr função que represent: ) quntidde de mteril (áre) usd num ci sem tmp, de bse qudrd, com l de volume. Prof. Mrcio

b) o volume d ci sem tmp, que se consegue prtir de um chp qudrd, com m m, recortndo os qutro cntos qudrdo e dobrndo s bords... Um ppelri cobr R$ 0,0 por cópi em su máquin de fotocópi, té 00 cópis. De 00 té 0 o vlor por cópi ci pr R$ 0,08 e pr um número de cópis superior 0 é cobrdo R$ 0,0 por cópi. Nest situção podemos perceber que pr cd fi de quntidde de cópis tirds tem-se um vlor diferente pgr pel cópi. Pr fcilitr cobrnç, o proprietário quer montr um tbel pr sber direto qunto vi receber de em cliente pels cópis. Monte função que represent situção. 8..Determinr o domínio ds seguintes funções: ) b) c) y [-,] y [-,], y (-oo,-) U [0,+oo) d) y [-,] 9. Assinle lterntiv que corresponde função de cordo com o gráfico. f()= -+ b. f() = -/ + c. f()= -/ + d. f()= e. f()= - 0.. O gráfico bio represent função f()= + b. Assinle lterntiv corret:. A representção d função y = - é um ret : = 0 ; b = 0. > 0 ; b > 0 b. < 0 ; b > 0 c. > 0 ; b = 0 d. > 0 ; b < 0. prlel os eio ds ordends b. perpendiculr o eio ds ordends e. nd c. perpendiculr o eio ds bcisss d. que intercept os dois eios. ( PUC - SP ) O gráfico bio é o d ret y = + b, qundo : Prof. Mrcio 8

. < b. < 0 c. = 0 d. > 0 e. =. O gráfico bio pode representr qul ds epressões?. y = - b. y = - + c. y =, + d. y = - e. y = -, +. - Considere função f: IR IR, definid por f() = - +. Pode-se firmr corretmente que:. vértice do gráfico de f é o ponto (; );. Suponh que o número f() de funcionários necessários pr distribuir, em um di, conts de luz entre por cento de mordores, num determind cidde, sej ddo pel função 00 f ( ). Se o número de funcionários pr distribuir, 0 em um di, s conts de luz foi, qul porcentgem de mordores que receberm? b. f possui dois zeros reis e distintos; c. f tinge um máimo pr = ; d. gráfico de f é tngente o eio ds bscisss. e. nd

Limite Noção intuitiv de ite Sej função f()=+. Vmos dr vlores que se proimem de, pel su direit (vlores miores que ) e pel esquerd (vlores menores que ) e clculr o vlor correspondente de y: y = +,,,6,,,0,,0,0,0,0 y = + 0, 0,, 0,9,8 0,9,9 0,98,96 0,99,98 Notmos que à medid que se proim de, y se proim de, ou sej, qundo tende pr ( ), y tende pr (y ), ou sej: Observmos que qundo tende pr, y tende pr e o ite d função é. Esse é o estudo do comportmento de f() qundo tende pr ( ). Nem é preciso que ssum o vlor. Se f() tende pr (f() ), dizemos que o ite de f() qundo é, embor possm ocorrer csos em que pr = o vlor de f() não sej. De form gerl, escrevemos: se, qundo se proim de ( ), f() se proim de b (f() b). Como ² + - = ( - )( + ), temos:

Podemos notr que qundo se proim de ( ), f() se proim de, embor pr = tenhmos f() =. o que ocorre é que procurmos o comportmento de y qundo. E, no cso, y. Logo, o ite de f() é. Escrevemos: Se g: IR IR e g() = +, g ( ) = = + =, embor g() f() em =. No entnto, mbs têm o mesmo ite. Eemplos: ) Anlise d equção f Ilustrção Gráfic 6 Prof. Mrcio

ntes de depois de X F() X F(),9,0,,000000,99,00,0,60000,999,000,00,6600,9999,0000,000,666,99999,000,0000,66,999999,00,00000,6 Qunto mis próimo de está, mis próimo de, ou sej, está f(). Ftorndo f() teremos f ( ) ( ). Se temos equção y =, sendo o gráfico um prábol com ponto omitido em,. Então: 6 ) f () f() g() g() ) ( ) () 8 ) ( ) ( ) 9 0 ) 9 6 6 6) ) ( )( ) Então: Notção Significção intuitiv Interpretção gráfic ( ) f L Podemos tornr f() tão próimo de L qunto quisermos, escolhendo suficientemente próimo de e Prof. Mrcio

Eercícios: Ache o ite:..... 6.. 8. ( ) 00 ( ) 00 9. ( ) 0..... r r r r h h h z z. 6.. 6 8 r z z 8 0 Prof. Mrcio

) Proprieddes Opertóris dos Limites Sejm f() e g() funções itds P A A onde A constnte P [ f ( ) g( ) f ( ) g( ) P [ f ( ). g( )] f ( ). g( ) P A. f ( ) A. f ( ) P f ( ) g( ) f ( ) g( ) P6 [ n n f ( )] [ f ( )] P n f ( ) n f ( ) P8 [ f ( )] g( ) [ f ( )] g ( ) P9 O Limite d Função Polinomil: n f ( ) n n n... qundo tende é igul f(). 0 ) Clcule o vlor dos ites utilizndo sus proprieddes: ) b) R: R: 6 c) d) 8 R:0 R: 0 ; 0 Forms Indeterminds ; ;0. ;0 0 ; ; 0 ) No cálculo de ites podem ocorrer indeterminções do tipo 0/0, o que não signific usênci de ites, os quis podem ser determindos recorrendo à construção de gráficos ou utilizndo operções lgébrics elementres. Nests condições, clcule o vlor dos ites, se eistirem: Prof. Mrcio

) b) c) h 0 h h R: - R: - R: -0 d) e) f) g) h) i) j) 0 6 0 6 R: R: R: R: R: 6 R: - R: k) l) m) n) o) p) q) r) Prof. Mrcio

s) t) u) v) w) ) y) z) ) bb) Prof. Mrcio 6

Use os teorems sobre ites pr determinr o ite qundo eistir..... ( ) 6. ( ). 8. 9. 0... ( ) ( ( ( ) 9) ) 00 0. ( ). ( 9 8). ( )( ) 6. ( )( 9). (,6) 8. 9. 0.. 6 6 9 6 8 8 9. ( ). ( )( ).. 6 9. ( ) ( ) 6. 6. 8. 9. 0...... 6... 6 8 6 ( ( 8 6 6 )( )( 6 ) ) ( )( ) 6 8. 9. 0...... 6.. 8. 9. 0... 6 8 8 0 9 9 / / 9 8 9 8 9 6 0 6 Prof. Mrcio

. 6.. 8. 9. 6 0 6 0 8 6 60. 6. 6. 6. / 6 / 6 8 / 6 6. 6. 66. 6 6. 0 68. 0 69. 0 0. 6 6. ( )(9 ). Prof. Mrcio 8

Reposts dos eercícios... -.. 8 6.. 8. 9. 8 0.-6 80. 0.. -.6. 0 6. 0. -,6 8. 9. - 0. -.. -.. 9. - 6. 0. - 8. 9. NE 0. NE. 8. 8... 6. 9. 9 8. - 9. 0. 0... NE.NE. 6. -0. -6 8. NE 6 9. 0.. 6. 9... - 6.. 8. - 9. 60. 6 6. 6 6. 6. - 6. 8 6. - 66. 0 6. 8 68. 69. 0. 6. -80. 8 Prof. Mrcio 9

Lim f (ite mínimo) LIMITES LATERAIS Notção Significção intuitiv Interpretção gráfic Podemos tornr f() tão próimo de L ( ) L qunto quisermos, escolhendo suficientemente próimo de e < Lim f ( ) (ite máimo) L Podemos tornr f() tão próimo de L qunto quisermos, escolhendo suficientemente próimo de e > Lim f TEOREMA DOS LIMITES LATERAIS Lim f Lim f ( ) L ( ) L = () O teorem nos diz que o ite de f(), qundo se proim de, eiste se e somente se mbos os ites lteris eistem (direito e esquerdo) e são iguis. Eemplos: ) Estude os ites lteris pr ou sej, che f ( ) f ( ) f ( ), se ) Esboce os gráficos d função f definid por: f(), se, se f ( ) che f ( ) f ( ) f ( ) ) Esboce os gráficos d função f definid por: f ( ),, se se che f ( ) f ( ) f ( ) ) Esboce os gráficos d função f definid por: f ( ) 0,, se se che f ( ) f ( ) f ( ) CONCEITO DE LIMITE INFINITO Vmos nlisr equção f Prof. Mrcio 0

Usndo ites lteris, temos: ) f ( ) X,,0,00,000,0000,00000 F() 0 00 000 0000 00000 000000 Qunto mis se proim de pel direit, f() ument sem ite. ou -, qundo b) f ( ) X,9,99,999,9999,99999,999999 F() -0-00 -000-0000 -00000-000000 Qunto mis se proim de pel esquerd, f() ument sem ite. ou -, qundo Vmos nlisr mesm equção f Pr f ( ) Pelo TEOREMA DE LIMITES LATERAIS, não eiste ite, pois os ites direit e esquerd são diferentes. EXEMPLOS: Pr f() dd, epresse cd um dos seguintes ites como +, - ou NE (não eiste). () - f ( );( b) f ( );( c) f ( )... f ( ) = ( ) ( ) ( ) f = f = - Vmos nlisr equção f X CONCEITO DE LIMITE NO INFINITO Consideremos gor vlores pr que se tornm cd vez mis grnde. X 0 00 000 0000 00000 000000 F(),,0,00,000,0000,00000 Podemos tornr f() tão próimo de qunto quisermos escolhendo suficientemente grnde. Denot-se este fto por: Prof. Mrcio

ou, qundo Consideremos gor vlores pr que se tornm cd vez mis pequeno pr X -0-00 -000-0000 -00000-000000 F(),9,99,999,9999,99999,999999 Podemos tornr f() tão próimo de qunto quisermos escolhendo suficientemente pequeno. Denot-se este fto por: f X ou, qundo Vmos nlisr mesm equção f X Pr f ( ) f ( ) TEOREMA DE LIMITE NO INFINITO Se k é um número rcionl positivo e C é um número rel rbitrário, então: desde que k sej sempre definido C k 0 e 0, C k O teorem é útil pr o estudo de ites de funções rcionis. Especificmente, pr chr f ( ) ou f ( ) pr um função rcionl f. n Primeiro dividimos numerdor e denomindor de f () por, em que n é mis lt potênci de que prece no denomindor, e em que seguid plicmos os teorems específicos de ites. EXEMPLOS ) b) Prof. Mrcio

c) d) e). Pr f() dd, epresse cd um dos seguintes ites como +, - ou NE (não eiste). () f ( );( b) f ( );( c) f ( )..... 6.. 8. 9. 0. - f ( ) = f ( ) = f ) f ( ) 8 ( ) = ( = - f ( ) ( 8) = -8 f ( ) = f ( ) ( ) = f ( ) 6 = -6 f ( ) = - ( ) f = - RESPOSTAS nº. -, +, NE. +, -, NE. +, -, NE. -, +, NE. -, -, - 6. -, +, NE. +, +, 8. +, -, NE 9. +, -, NE 0. -, -, -. Determine o ite se eistir:. ( 8). ( ) R: + R: -. ( 8 ) R: -. R:. ( ) R: + Prof. Mrcio

6.. 8. 9. R: R: 0 R: - R: 0.. 6 R: - R:. Clcule o ite, se eistir: 6 h 0 t 9 ( h ) 9 h t t t 0 t t t t 6 t t 6 8 9 Prof. Mrcio