MATEMÁTICA PROF. MS. JAMUR SILVEIRA professorjmur@ipcconcursos.com.br

. REVISÃO. MMC / MDC 3. EQUAÇÃO DE º GRAU 4. EQUAÇÃO DE º GRAU 5. RAZÕES / PROPORÇÕES 6. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 7. PORCENTAGENS 8. JUROS SIMPLES 9. JUROS COMPOSTOS 0. FUNÇÕES. PA / PG. MATRIZES / DETERMINANTES / SISTEMAS LINEARES 3. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS 4. TRIGONOMETRIA 5. GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 6. ESTATÍSTICA 7. PROBABILIDADE 8. ANÁLISE COMBINATÓRIA 9. RACIOCÍNIO LÓGICO

. REVISÃO RECORDANDO OPERAÇÕES Recordndo s qutro operções: dição; subtrção; multiplicção; divisão. Vmos lembrr como esss operções são feits e, principlmente, qundo devemos utilizáls n solução de um problem. Muit gente pens que quem fz conts com rpidez é bom em mtemátic. É engno! Fzer conts rpidmente é um hbilidde que se dquire com prátic. Muito mis importnte que fzer conts com rpidez é descobrir quis são s operções que devemos usr pr resolver um problem. Portnto, em mtemátic, o mis importnte é o rciocínio. Pr começr, lei os qutro problems bixo e tente descobrir quis são s conts que devem ser feits. - Um motorist de táxi ndou 80 km em certo di e 6 km no di seguinte. No totl, qunto ele ndou nesses dois dis? - Um mercdori que cust R$37,00 foi pg com um not de R$50,00. De qunto foi o troco? - Um cix de leite tipo long vid possui 6 litros de leite. Quntos litros existem em cixs? - Devo reprtir 4 bls igulmente entre meus três filhos. Qunts bls deve receber cd um? A dição Podemos pensr n operção de dição qundo queremos juntr s coiss que estão seprds. Exemplo: - Em um pequen escol, existem 3 turms: um com 7 lunos, outr com 3 lunos e outr com 8 lunos. Quntos lunos existem o todo ness escol? Pr reunir os lunos ds 3 turms, devemos somr quntidde de lunos de cd turm. A operção que devemos fzer é: 7 + 3 + 8 = 76 Existem, portnto, 76 lunos ness escol. Cd um dos números de um som chm-se prcel. N operção de dição, podemos somr s prcels em qulquer ordem. Por isso, temos certez de que 8 + 7 + 3 tmbém dá 76. Devemos ind lembrr que números negtivos tmbém podem ser somdos. Por exemplo, som de - com - 5 dá - 7. Pr escrever ess operção fzemos ssim: - + (- 5) = - 7 Observe que colocmos - 5 entre prênteses pr evitr que os sinis de + e de - fiquem juntos. Ms existe outr mneir, mis simples, de escrever mesm operção. Vej: - - 5 = - 7 A subtrção Podemos pensr n operção de subtrção qundo queremos tirr um quntidde de um outr pr ver qunto sobr. Vej o exemplo: Um secretári recebeu tref de preprr 90 envelopes de correspondênci. Até hor do lmoço, el já tinh feito 5. Quntos el ind tem de fzer? Temos qui um exemplo clro de operção de subtrção. A operção que devemos fzer é: 90-5 = 38 Assim, depois do lmoço, secretári deverá preprr ind 38 envelopes. Observe gor que, em um subtrção, qundo o segundo número é mior que o primeiro, o resultdo é negtivo. Vej: 9-5 = 4 5-9 = - 4 Pr resumir, s regrs são s seguintes: - Escrever 5 ou + 5 é mesm cois. - Qundo sinis de números e sinis de operções precerem juntos, então: (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) (-) (-) = (+) Por exemplo:

5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 5 + (- 3) = 5-3 = 5 + (+ 3) = 5-3 = 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8 Vej, seguir, como devemos proceder num situção em que há som e subtrção de diversos números. João briu um cont bncári. Depois de lgum tempo, ess cont presentou o seguinte movimento: Qul será o sldo de João pós esss operções? Vmos representr os depósitos por números positivos e s retirds por números negtivos. Devemos então fzer seguinte cont: 53-5 + 65-30 - 8 O resultdo dess operção será qunti que João ind tem no bnco. A melhor form de fzer esse cálculo é somr os números positivos (os depósitos), somr os números negtivos (s retirds) e depois subtrir o segundo resultdo do primeiro. Assim: 53-5 + 65-30 - 8 = = (53 + 65) -(5 + 30 + 8) = = 8-73 = = 45 Portnto, João ind tem R$ 45,00 em su cont bncári. A multiplicção A multiplicção nd mis é que um som com prcels iguis. Por exemplo: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 x 7 = 35 O número 7 preceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. D mesm form: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 x 5 = 35 Agor, o número 5 preceu 7 vezes. Então 5 vezes 7 dá 35. Você já sbe que, em um multiplicção cd número chm-se ftor. Vmos, gor, recordr lgums proprieddes d multiplicção.. N multiplicção, ordem dos ftores não lter o resultdo. Por isso: 5 x 7 = 7 x 5. Qundo temos váris multiplicções seguids, qulquer um dels pode ser feit primeiro. Por exemplo: x 3 x 5 = ( x 3) x 5 = 6 x 5 = 30 x 3 x 5 = x (3 x 5) = x 5= 30 x 3 x 5 = ( x 5) x 3 = 0 x 3= 30 3. Qundo um número multiplic um som, ele multiplic cd prcel dess som. Por exemplo: x (3 + 4 + 5) = x = 4 Ou, ind: x (3 + 4 + 5) = x 3 + x 4 + x 5 = 6 + 8 + 0 = 4 Flt pens recordr o que ocorre qundo temos multiplicções com números negtivos. As regrs são s seguintes: (+) x (-) = (-) (-) x (+) = (-) (-) x (-) = (+) A divisão Podemos pensr n divisão qundo queremos dividir um totl de prtes iguis ou qundo queremos sber qunts vezes um número cbe no outro. Exemplo: Desejmos colocr 80 lápis em 5 cixs, de mneir que tods s cixs tenhm o mesmo número de lápis. Quntos lápis devemos pôr em cd cix? A respost é fácil. Bst dividir 80 por 5. 80 / 5 = 6 Logo, cd cix deve conter 6 lápis. No exemplo que cbmos de ver, divisão foi ext ou sej, conseguimos colocr mesm quntidde de lápis em cd cix sem que sobrsse nenhum. O que conteceri, entretnto, se tivéssemos 8 lápis pr pôr ns 5 cixs? A respost é fácil. Cd cix continuri com 6 lápis, ms sobrrim. Vej operção: 8 5-5 6

3-30 N operção cim, 8 é o dividendo, 5 é o divisor, 6 é o quociente e é o resto. Esses qutro números se relcionm d seguinte form: 8 = 5 x 6 + (dividendo) = (divisor) x (quociente) + (resto) Atenção! O resto é sempre positivo e menor que o divisor. Ao fzer um divisão, estremos sempre encontrndo dois novos números: o quociente e o resto. Vmos ver mis um exemplo do uso dess operção em um problem. Exercício:. Efetue s operções indicds: ) 37 + 43 = b) 55-8 = c) 8-55 = d) + (- 7) = e) - (- 7) = f) - 9-6 = g) - 9 + (- 6) = h) - 9 - (- 6 ) = i) 3 x 7 = j) (- 8) x 9 = l) (7-3) x 4 = m) (3-8) x (- 4) =. Efetue s operções indicds. Lembre que, se váris operções precem em um mesm expressão, s multiplicções e divisões são feits primeiro e depois s soms e subtrções. ) 4 + x 3 = b) 0-3 + - 30 / 6 = c) 3 x - x 0 = 3. Um trblhdor recebe R$ por di de trblho, mis um grtificção de R$8 por semn. Sbendo que cd semn tem 6 dis de trblho, qunto esse trblhdor deverá ter recebido pós 4 semns? 4. Certo utomóvel fz, n estrd, km por litro de gsolin. Pr fzer um vigem de 340 km, o proprietário colocou no tnque 30 litros de gsolin. Esse combustível será suficiente? 5. Em um fest, s mess do slão são qudrds e comodm, no máximo, 4 pessos. Pr que 50 pessos possm se sentr, qunts mess serão necessáris? 6. Um escol tem 4 sls e cd sl tem 30 crteirs. N primeir sl existem 6 lunos, n segund, 4, n terceir, 3 e n qurt, 9. Quntos lunos ind podem ser mtriculdos? 7. João tem um terreno retngulr de 0m de frente por 30m de fundo, e desej cercá-lo com um cerc de rme com 5 fios. Quntos metros de rme ele deverá comprr? Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Nturis São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representdo pel letr miúscul N. Cso queir representr o conjunto dos números nturis não-nulos (excluindo o zero), devese colocr um * o ldo do N: N = {0,,,3,4,5,6,7,8,9,0,...}

N* = {,,3,4,5,6,7,8,9,0,,...} Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem o conjunto dos Nturis mis os seus respectivos opostos (negtivos). São representdos pel letr Z: Z = {... -4, -3, -, -, 0,,, 3, 4,...} O conjunto dos inteiros possui lguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negtivos São todos os números inteiros que não são negtivos. Logo percebemos que este conjunto é igul o conjunto dos números nturis. É representdo por Z + : Z + = {0,,,3,4,5,6,...} - Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representdo por Z - : Z - = {..., -5, -4, -3, -, -, 0} - Inteiros não negtivos e não-nulos É o conjunto Z + excluindo o zero. Represent-se esse subconjunto por Z* + : Z* + = {,, 3, 4, 5, 6, 7,...} Z* + = N* - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z - excluindo o zero. Represent-se por Z* -. Z* - = {... -4, -3, -, -} Conjunto dos Números Rcionis Os números rcionis é um conjunto que englob os números inteiros (Z), números decimis finitos (por exemplo, 743,843) e os números decimis infinitos periódicos (que repete um sequênci de lgrismos d prte deciml infinitmente), como ",050505...", são tmbém conhecids como dízims periódics. Os rcionis são representdos pel letr Q. Conjunto dos Números Irrcionis É formdo pelos números decimis infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irrcionl é o número PI (resultdo d divisão do perímetro de um circunferênci pelo seu diâmetro), que vle 3,45965... Atulmente, supercomputdores já conseguirm clculr bilhões de css decimis pr o PI. Tmbém são irrcionis tods s rízes não exts, como riz qudrd de (,4435...) Conjunto dos Números Reis É formdo por todos os conjuntos citdos nteriormente (união do conjunto dos rcionis com os irrcionis). Representdo pel letr R. Frções

O símbolo Chmmos: signific :b, sendo e b números nturis e b diferente de zero. de frção; de numerdor; b de denomindor. Se é múltiplo de b, então Vej um exemplo: é um número nturl. A frção é igul 8:. Neste cso, 8 é o numerdor e é o denomindor. Efetundo divisão de 8 por, obtemos o quociente 4. Assim, é um número nturl e 8 é múltiplo de. Clssificção ds frções Frção própri: o numerdor é menor que o denomindor: Frção imprópri: o numerdor é mior ou igul o denomindor. Frção prente: o numerdor é múltiplo do denomindor. Frções equivlentes Frções equivlentes são frções que representm mesm prte do todo. Exemplo: são equivlentes Pr encontrr frções equivlentes devemos multiplicr o numerdor e o denomindor por um mesmo número nturl, diferente de zero. Exemplo: obter frções equivlentes à frção. Portnto s frções são lgums ds frções equivlentes. Simplificção de frções Um frção equivlente, com termos menores, é. A frção foi obtid dividindo-se mbos os termos d frção pelo ftor comum 3. Dizemos que frção é um frção simplificd de. A frção não pode ser simplificd, por isso é chmd de frção irredutível. A frção não pode ser simplificd porque 3 e 4 não possuem nenhum ftor comum.

Adição e subtrção de números frcionários Temos que nlisr dois csos: º) denomindores iguis Pr somr frções com denomindores iguis, bst somr os numerdores e conservr o denomindor. Pr subtrir frções com denomindores iguis, bst subtrir os numerdores e conservr o denomindor. Observe os exemplos: º) denomindores diferentes Pr somr frções com denomindores diferentes, um solução é obter frções equivlentes, de denomindores iguis o mmc dos denomindores ds frções. Exemplo: somr s frções. Obtendo o mmc dos denomindores temos mmc(5,) = 0. (0:5).4 = 8 (0:).5 = 5 Resumindo: utilizmos o mmc pr obter s frções equivlentes e depois sommos normlmente s frções, que já terão o mesmo denomindor, ou sej, utilizmos o cso. Multiplicção e divisão de números frcionários N multiplicção de números frcionários, devemos multiplicr numerdor por numerdor, e denomindor por denomindor, ssim como é mostrdo nos exemplos bixo: N divisão de números frcionários, devemos multiplicr primeir frção pelo inverso d segund, como é mostrdo no exemplo bixo: Potencição e rdicição de números frcionários N potencição, qundo elevmos um número frcionário um determindo expoente, estmos elevndo o numerdor e o denomindor esse expoente, conforme os exemplos bixo:

N rdicição, qundo plicmos riz qudrd um número frcionário, estmos plicndo ess riz o numerdor e o denomindor, conforme o exemplo bixo: Números Decimis Adição N dição de números decimis devemos somr os números de mesm ordem de unidde, décimo com décimo, centésimo com centésimo. Antes de inicir dição, devemos colocr vírgul debixo de vírgul. Exemplos: 0,3 + 0,8,4 +,03 7,4 +,3 + 3, Subtrção A subtrção de números decimis é efetud d mesm form que dição. 4,4 -,, -, 9, - 4,33 Multiplicção Efetumos multiplicção normlmente. Em seguid, contm-se s css decimis de cd número e o produto fic com o número de css decimis igul à som ds css decimis dos ftores. Exemplos: 4, x, 0,3 x,4 0,4 x, Divisão N divisão de números decimis, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de css decimis. Devemos igulá-ls ntes de começr divisão. 7,0 : 3,5 (O número de cs decimis são iguis, eliminmos virgul e efetumos divisão norml),7 :,34 (Igulmos o número de css decimis, crescentndo um 0, eliminmos vírgul e efetumos divisão) 3 : 7 (A divisão não é ext, crescent vírgul pr crescentr um zero no resto)

. MMC / MDC Máximo Divisor Comum (M.D.C.) Dois números nturis sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de e 8 são,,3 e 6. Dentre eles, 6 é o mior. Então chmmos o 6 de máximo divisor comum de e 8 e indicmos m.d.c.(,8) = 6. O mior divisor comum de dois ou mis números é chmdo de máximo divisor comum desses números. Usmos brevição m.d.c. Alguns exemplos: mdc (6,) = 6 mdc (,0) = 4 mdc (0,4) = 4 mdc (,0,4) = 4 mdc (6,,5) = 3 CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de clculr o m.d.c. de dois ou mis números é utilizr decomposição desses números em ftores primos. - decompomos os números em ftores primos; - o m.d.c. é o produto dos ftores primos comuns. Acompnhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = x x 3 x 3 90 = x 3 x 3 x 5 O m.d.c. é o produto dos ftores primos comuns => m.d.c.(36,90) = x 3 x 3 Portnto m.d.c.(36,90) = 8. Escrevendo ftorção do número n form de potênci temos: 36 = x 3 90 = x 3 x5 Portnto m.d.c.(36,90) = x 3 = 8. O m.d.c. de dois ou mis números, qundo ftordos, é o produto dos ftores comuns eles, cd um elevdo o menor expoente. CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Nesse processo efetumos váris divisões té chegr um divisão ext. O divisor dest divisão é o m.d.c. Acompnhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regr prátic: - dividimos o número mior pelo número menor; 48 / 30 = (com resto 8) - dividimos o divisor 30, que é divisor d divisão nterior, por 8, que é o resto d divisão nterior, e ssim sucessivmente; 30 / 8 = (com resto ) 8 / = (com resto 6) / 6 = (com resto zero - divisão ext) - O divisor d divisão ext é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mis números são primos entre si qundo o máximo divisor comum desses números é. Exemplos: Os números 35 e 4 são números primos entre si, pois mdc (35,4) =. Os números 35 e não são números primos entre si, pois mdc (35,) = 7. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Dois ou mis números sempre têm múltiplos comuns eles.

Vmos chr os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6,, 8, 4, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8,, 6, 0, 4,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0,, 4,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, é o menor deles. Chmmos o de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mis números, diferente de zero, é chmdo de mínimo múltiplo comum desses números. Usmos brevição m.m.c. CÁLCULO DO M.M.C. Podemos clculr o m.m.c. de dois ou mis números utilizndo ftorção. Acompnhe o cálculo do m.m.c. de e 30: - decompomos os números em ftores primos - o m.m.c. é o produto dos ftores primos comuns e não-comuns: = x x 3 30 = x 3 x 5 m.m.c (,30) = x x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mis números, qundo ftordos, é o produto dos ftores comuns e não-comuns eles, cd um elevdo o mior expoente. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Neste processo decompomos todos os números o mesmo tempo, num dispositivo como mostr figur o ldo. O produto dos ftores primos que obtemos ness decomposição é o m.m.c. desses números. Ao ldo vemos o cálculo do m.m.c.(5,4,60) Portnto, m.m.c.(5,4,60) = x x x 3 x 5 = 0 PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste cso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = x 3 x 5 = 30 Ddos dois ou mis números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números ddos. Considerndo os números 4 e 5, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,5) é igul 60, que é o produto de 4 por 5. Observe: m.m.c.(4,5) = x x 3 x 5 = 60 Ddos dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

3. EQUAÇÃO DE º GRAU Equções de primeiro gru (com um vriável) Equção é tod sentenç mtemátic bert que exprime um relção de iguldde. A plvr equção tem o prefixo equ, que em ltim quer dizer "igul". Exemplos: x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3 - b - c = 0 Não são equções: 4 + 8 = 7 + 5 (Não é um sentenç bert) x - 5 < 3 (Não é iguldde) (não é sentenç bert, nem iguldde) A equção gerl do primeiro gru: x+b = 0 onde e b são números conhecidos e diferente de 0, se resolve de mneir simples: subtrindo b dos dois ldos, obtemos: x = -b dividindo gor por (dos dois ldos), temos: Consider equção x - 8 = 3x -0 A letr é incógnit d equção. A plvr incógnit signific " desconhecid". N equção cim incógnit é x; tudo que ntecede o sinl d iguldde denomin-se º membro, e o que sucede, ºmembro. Qulquer prcel, do º ou do º membro, é um termo d equção.

Equção do º gru n incógnit x é tod equção que pode ser escrit n form x=b, sendo e bnúmeros rcionis, com diferente de zero. Conjunto Verdde e Conjunto Universo de um Equção Considere o conjunto A = {0,,, 3, 4, 5} e equção x + = 5. Observe que o número 3 do conjunto A é denomindo conjunto universo d equção e o conjunto {3} é o conjunto verdde dess mesm equção. Observe este outro exemplo: Determine os números inteiros que stisfzem equção x² = 5 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo d equção. Os números -5 e 5, que stisfzem equção, formm o conjunto verdde, podendo ser indicdo por: V = {-5, 5}. Dí concluímos que: Conjunto Universo é o conjunto de todos os vlores que vriável pode ssumir. Indic-se por U. Conjunto verdde é o conjunto dos vlores de U, que tornm verddeir equção. Indic-se por V. Observções: O conjunto verdde é subconjunto do conjunto universo. Não sendo citdo o conjunto universo, devemos considerr como conjunto universo o conjunto dos números rcionis. O conjunto verdde é tmbém conhecido por conjunto solução e pode ser indicdo por S. Rízes de um equção Os elementos do conjunto verdde de um equção são chmdos rízes d equção. Pr verificr se um número é riz de um equção, devemos obedecer à seguinte seqüênci: - Substituir incógnit por esse número. - Determinr o vlor de cd membro d equção. - Verificr iguldde, sendo um sentenç verddeir, o número considerdo é riz d equção. Exemplos: Verifique quis dos elementos do conjunto universo são rízes ds equções bixo, determinndo em cd cso o conjunto verdde. Resolv equção x - = 0, sendo U = {0,,, 3}. Pr x = 0 n equção x - = 0 temos: 0 - = 0 => - = 0. (F) Pr x = n equção x - = 0 temos: - = 0 => - = 0. (F) Pr x = n equção x - = 0 temos: - = 0 => 0 = 0. (V) Pr x = 3 n equção x - = 0 temos: 3 - = 0 => = 0. (F) Verificmos que é riz d equção x - = 0, logo V = {}. Resolv equção x - 5 =, sendo U = {-, 0,, }. Pr x = - n equção x - 5 = temos:. (-) - 5 = => -7 =. (F) Pr x = 0 n equção x - 5 = temos:. 0-5 = => -5 =. (F) Pr x = n equção x - 5 = temos:. - 5 = => -3 =. (F) Pr x = n equção x - 5 = temos:. - 5 = => - =. (F) A equção x - 5 = não possui riz em U, logo V = Ø.

Equções de primeiro gru (com dus vriáveis) Considere equção: x - 6 = 5-3y Trt-se de um equção com dus vriáveis, x e y, pode ser trnsformd num equção equivlente mis simples. Assim: x + 3y = 5 + 6 x + 3y = ==> Equção do º gru n form x + by = c. Denominndo equção de º gru com dus vriáveis, x e y, tod equção que pode ser reproduzid à form x + by = c, sendo e b números diferentes de zero, simultnemente. N equção x + by = c, denominmos: x + y - vriáveis ou incógnit b - coeficiente de y - coeficiente de x c - termo independente Exemplos: x + y = 30 x + 3y = 5 x - 4y = 0-3x - 7y = -48 x- 3y = 0 x - y = 8 Solução de um equção de º gru com dus vriáveis Quis o vlores de x e y que tornm sentenç x - y = 4 verddeir? Observe os pres bixo: x = 6, y = x - y = 4 6 -. = 4 6 - = 4 4 = 4 (V) x = 8, y = x - y = 4 8 -. = 4 8-4 = 4 4 = 4 (V) x = -, y = -3 x - y = 4 - -. (-3) = 4 - + 6 = 4 4 = 4 (V) Verificmos que todos esses pres são soluções d equção x - y = 4. Assim, os pres (6, ); (8, ); (-, -3) são lgums ds soluções dess equção. Um equções do º gru com dus vriáveis tem infinits soluções - infinitos (x, y) -, sendo, portnto, seu conjunto universo. Podemos determinr esss soluções, tribuindo-se vlores quisquer pr um ds vriáveis, clculndo seguir o vlor d outr. Exemplo: Determine um solução pr equção 3x - y = 8. Atribuímos pr o x o vlor, e clculmos o vlor de y. Assim:

3x - y = 8 3. () - y = 8 3 - y = 8 -y = 5 ==> Multiplicmos por - y = -5 O pr (, -5) é um ds soluções dess equção. V = {(, -5)} Resumindo: Um pr ordendo (r, s) é solução de um equção x + by = c ( e bnão-nulos simultnemente), se pr x = r e y = s sentenç é verddeir. Sistems de Equções Considere o seguinte problem: Pipoc, em su últim prtid, certou x rremessos de pontos e y rremessos de 3 pontos. Ele certou 5 rremessos e mrcou 55 pontos. Quntos rremessos de 3 pontos ele certou? Podemos trduzir ess situção trvés de dus equções, sber: x + y = 5 (totl de rremessos certo) x + 3y = 55 (totl de pontos obtidos) Esss equções contém um sistem de equções. Costum-se indicr o sistem usndo chve. O pr ordendo (0, 5), que torn mbs s sentençs verddeirs, é chmdo solução do sistem.um sistem de dus equções com dus vriáveis possui um únic solução. Resolução de Sistems A resolução de um sistem de dus equções com dus vriáveis consiste em determinr um pr ordendo que torne verddeirs, o mesmo tempo, esss equções. Estudremos seguir lguns métodos: Método de substituição Solução - determinmos o vlor de x n ª equção. x = 4 - y - Substituímos esse vlor n ª equção.. (4 - y) -3y = 3 - Resolvemos equção formd. 8 - y -3y = 3 8 - y -3y = 3-5y = -5 => Multiplicmos por - 5y = 5 y = - Substituímos o vlor encontrdo de y, em qulquer ds equções, determinndo x.

x + = 4 x = 4 - x = 3 - A solução do sistem é o pr ordendo (3, ). V = {(3, )} Método d dição Sendo U =, observe solução de cd um dos sistems seguir, pelo método d dição. Resolv o sistem bixo: Solução - Adicionmos membros membros s equções: x = 6 x = 8 - Substituímos o vlor encontrdo de x, em qulquer ds equções, determindo y: 8 + y = 0 y = 0-8 y = A solução do sistem é o pr ordendo (8, ) V = {(8, )} 4. EQUAÇÃO DE º GRAU Equções de º gru Definições Denomin-se equção do º gru n incógnit x, tod equção d form: x + bx + c = 0;, b, c IR e Exemplo: x - 5x + 6 = 0 é um equção do º gru com =, b = -5 e c = 6. 6x - x - = 0 é um equção do º gru com = 6, b = - e c = -. 7x - x = 0 é um equção do º gru com = 7, b = - e c = 0. x - 36 = 0 é um equção do º gru com =, b = 0 e c = -36. Ns equções escrits n form x² + bx + c = 0 (form norml ou form reduzid de um equção do º gru n incógnit x) chmmos, b e c de coeficientes. é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Equção complets e Incomplets

Um equção do º gru é complet qundo b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 0 = 0 e -x² + 0x - 6 = 0 são equções complets. Um equção do º gru é incomplet qundo b ou c é igul zero, ou ind qundo mbos são iguis zero. Exemplos: x² - 36 = 0 (b = 0) x² - 0x = 0 (c = 0) 4x² = 0 (b = c = 0) Rízes de um equção do º gru Resolver um equção do º gru signific determinr sus rízes. Riz é o número rel que, o substituir incógnit de um equção, trnsform- num sentenç verddeir. O conjunto formdo pels rízes de um equção denomin-se conjunto verdde ou conjunto solução. Exemplos: Dentre os elementos do conjuntos A= {-, 0,, }, quis são rízes d equção x² - x - = 0? Solução Substituímos incógnit x d equção por cd um dos elementos do conjunto e verificmos quis s sentençs verddeirs. (-)² - (-) - = 0 Pr x = - + - = 0 (V) 0 = 0 Pr x = 0 Pr x = 0² - 0 - = 0 0-0 - = 0 - = 0 ² - - = 0 - - = 0 - = 0 ² - - = 0 Pr x = 4 - - = 0 0 = 0 Logo, - e são rízes d equção. Determine p sbendo que é riz d equção (p - ) x² - px - = 0. Solução Substituindo incógnit x por, determinmos o vlor de p. (F) (F) (V) Logo, o vlor de p é. Resolução de equções incomplets Resolver um equção signific determinr o seu conjunto verdde. Utilizmos n resolução de um equção incomplet s técnics d ftorção e dus importntes proprieddes dos números reis: ª Propriedde: ª Propriedde:

º Cso: Equção do tipo. Exemplo: Determine s rízes d equção, sendo. Solução Inicilmente, colocmos x em evidênci: Pr o produto ser igul zero, bst que um dos ftores tmbém o sej. Assim: Obtemos dess mneir dus rízes que formm o conjunto verdde: De modo gerl, equção do tipo tem pr soluções e. º Cso: Equção do tipo Exemplos: Determine s rízes d equção, sendo U = IR. Solução De modo gerl, equção do tipo possui dus rízes reis se for um número positivo, não tendo riz rel cso sej um número negtivo. Resolução de equções complets Pr solucionr equções complets do º gru utilizremos fórmul de Bhskr. A prtir d equção, em que, b, c IR e, desenvolveremos psso psso dedução d fórmul de Bhskr (ou fórmul resolutiv). º psso: multiplicremos mbos os membros por 4. º psso: pssr 4c pr o º membro. 3º psso: dicionr os dois membros. 4º psso: ftorr o º elemento. 5º psso: extrir riz qudrd dois membros.

6º psso: pssr b pr o º membro. 7º psso: dividir os dois membros por. Assim, encontrmos fórmul resolutiv d equção do º gru: Podemos representr s dus rízes reis por x' e x", ssim: Exemplos: resolução equção: Temos Discriminnte Denominmos discriminnte o rdicl b - 4c que é representdo pel letr greg (delt). Podemos gor escrever deste modo fórmul de Bhskr:

De cordo com o discriminnte, temos três csos considerr: º Cso: O discriminnte é positivo. O vlor de é rel e equção tem dus rízes reis diferentes, ssim representds: Exemplo: Pr quis vlores de k equção x² - x + k- = 0 dmite rízes reis e desiguis? Solução Pr que equção dmit rízes reis e desiguis, devemos ter Logo, os vlores de k devem ser menores que 3. º Cso: O discriminnte é nulo O vlor de é nulo e equção tem dus rízes reis e iguis, ssim representds: Exemplo: Determine o vlor de p, pr que equção x² - (p - ) x + p- = 0 possu rízes iguis. Solução Pr que equção dmit rízes iguis é necessário que. Logo, o vlor de p é 3. 3º Cso: O discriminnte é negtivo. O vlor de não existe em IR, não existindo, portnto, rízes reis. As rízes d equção

são número complexos. Exemplo: Pr quis vlores de m equção 3x² + 6x +m = 0 não dmite nenhum riz rel? Solução Pr que equção não tenh riz rel devemos ter Logo, os vlores de m devem ser miores que 3. Resumindo Dd equção x² + bx + c = 0, temos: Pr Pr Pr, equção tem dus rízes reis diferentes., equção tem dus rízes reis iguis., equção não tem rízes reis. RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Considere equção x + bx + c = 0, com 0 e sejm x'e x'' s rízes reis dess equção. Logo: Observe s seguintes relções: Som ds rízes (S) Produto ds rízes (P) Como,temos: Denominmos esss relções de relções de Girrd. Verifique lguns exemplos de plicção desss relções. Determine som e o produto ds rízes d equção 0x + x - = 0.

Solução Nest equção, temos: =0, b= e c=-. A som ds rízes é igul. O produto ds rízes é igul Assim: Assim: Determine o vlor de k n equção x + (k - 3)x + = 0, de modo que som de sus rízes sej igul 7. Solução Nest equção, temos: =, b=k e c=. S= x + x = 7 Logo, o vlor de k é -. Determine o vlor de m n equção 4x - 7x + 3m = 0, pr que o produto ds rízes sej igul -. Solução Nest equção, temos: =4, b=-7 e c=3m. P= x. x = - Logo, o vlor de m é. Determine o vlor de k n equção 5x + kx + = 0, pr que som dos inversos de sus rízes sej igul 8. Solução Considere x e x s rízes d equção. A som dos inversos ds rízes corresponde. Assim: Logo, o vlor de k é -8. Determine os vlores de m pr os quis equção ( m - ) x + ( 3m - ) x + m + = 0 dmit: ) rízes simétrics; b) rízes inverss. Solução Se s rízes são simétrics, então S=0.

Se s rízes são inverss, então P=. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES Considere equção do º gru x + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por, obtemos: Como, podemos escrever equção dest mneir. x - Sx + P= 0 Exemplos: Componh equção do º gru cujs rízes são - e 7. Solução A som ds rízes corresponde : S= x + x = - + 7 = 5 O produto ds rízes corresponde : P= x. x = ( -). 7 = -4 A equção do º gru é dd por x - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -4. Logo, x - 5x - 4 = 0 é equção procurd. Formr equção do º gru, de coeficientes rcionis, sbendo-se que um ds rízes é. Solução Se um equção do º gru, de coeficientes rcionis, tem um riz, outr ríz será. Assim: Logo, x - x - = 0 é equção procurd. 5. RAZÕES / PROPORÇÕES Rzões

Vmos considerr um crro de corrid com 4m de comprimento e um krt com m de comprimento. Pr comprrmos s medids dos crros, bst dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tmnho do crro de corrid é dus vezes o tmnho do krt). Podemos firmr tmbém que o krt tem metde do comprimento do crro de corrid. A comprção entre dois números rcionis, trvés de um divisão, chm-se rzão. A rzão pode tmbém ser representd por : e signific que cd metro do krt corresponde m do crro de corrid. Denominmos de rzão entre dois números e b (b diferente de zero) o quociente ou :b. A plvr rzão, vem do ltim rtio, e signific "divisão". Como no exemplo nterior, são diverss s situções em que utilizmos o conceito de rzão. Exemplos: - Dos 00 inscritos num concurso, pssrm 40 cndidtos. Rzão dos cndidtos provdos nesse concurso: (de cd 5 cndidtos inscritos, foi provdo). - Pr cd 00 conviddos, 75 erm mulheres. Rzão entre o número de mulheres e o número de conviddos: (de cd 4 conviddos, 3 erm mulheres). Observções: ) A rzão entre dois números rcionis pode ser presentd de três forms. Exemplo: Rzão entre e 4: :4 ou ou 0,5. ) A rzão entre dois números rcionis pode ser express com sinl negtivo, desde que seus termos tenhm sinis contrários. Exemplos: A rzão entre e -8 é. A rzão entre é. Termos de um rzão Observe rzão: (lê-se " está pr b" ou " pr b").

N rzão :b ou, o número é denomindo ntecedente e o número b é denomindo consequente. Vej o exemplo: Rzões inverss 3:5 = Leitur d rzão: 3 está pr 5 ou 3 pr 5. Considere s rzões. Observe que o produto desss dus rzões é igul, ou sej,. Nesse cso, podemos firmr que são rzões inverss. Dus rzões são inverss entre si qundo o produto dels é igul. Exemplo: são rzões inverss, pois. Verifique que ns rzões inverss o ntecedente de um é o consequente d outr, e vicevers. Observções: ) Um rzão de ntecedente zero não possui invers. ) Pr determinr rzão invers de um rzão dd, devemos permutr (trocr) os seus termos. Exemplo: O inverso de. Rzões equivlentes Dd um rzão entre dois números, obtemos um rzão equivlente d seguinte mneir: Multiplicndo-se ou dividindo-se os termos de um rzão por um mesmo número rcionl (diferente de zero), obtemos um rzão equivlente. Exemplos: são rzões equivlentes. são rzões equivlentes. Rzões entre grndezs d mesm espécie O conceito é o seguinte: Denomin-se rzão entre grndezs de mesm espécie o quociente entre os números que expressm s medids desss grndezs num mesm unidde. Exemplos:

) Clculr rzão entre ltur de dois nões, sbendo que o primeiro possui um ltur h =,0m e o segundo possui um ltur h =,50m. A rzão entre s lturs h e h é dd por: ) Determinr rzão entre s áres ds superfícies ds qudrs de vôlei e bsquete, sbendo que qudr de vôlei possui um áre de 6m e de bsquete possui um áre de 40m. Rzão entre s áre d qudr de vôlei e bsquete:. Rzões entre grndezs de espécies diferentes O conceito é o seguinte: Pr determinr rzão entre dus grndezs de espécies diferentes, determin-se o quociente entre s medids desss grndezs. Ess rzão deve ser compnhd d notção que relcion s grndezs envolvids. Exemplos: ) Consumo médio: - Betriz foi de São Pulo Cmpins (9Km) no seu crro. Form gstos nesse percurso 8 litros de combustível. Qul rzão entre distânci e o combustível consumido? O que signific ess rzão? Solução: Rzão = Rzão = (lê-se ",5 quilômetros por litro"). Ess rzão signific que cd litro consumido form percorridos em médi,5 km. ) Velocidde médi: - Mocir fez o percurso Rio-São Pulo (450Km) em 5 hors. Qul rzão entre medid desss grndezs? O que signific ess rzão? Solução: Rzão = Rzão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hor"). Ess rzão signific que cd hor form percorridos em médi 90 km. 3) Densidde demográfic: - O estdo do Cerá no último censo teve um populção vlid em 6.70.94 hbitntes. Su áre é de 45.694 km. Determine rzão entre o número de hbitntes e áre desse estdo. O que signific ess rzão? Solução: Rzão = Rzão = 46 hb/km (lê-se "46 hbitntes por quilômetro qudrdo"). Ess rzão signific que em cd quilômetro qudrdo existem em médi 46 hbitntes. 4) Densidde bsolut ou mss específic: - Um cubo de ferro de cm de rest tem mss igul 7,8g. Determine rzão entre mss e o volume desse corpo. O que signific ess rzão? Solução: Volume = cm. cm. cm = cm 3 Rzão = Rzão = 7,8 g/cm 3 (lê-se "7,8 grms por centímetro cúbico").

Ess rzão signific que cm 3 de ferro pes 7,8g. Proporções Rogerião e Cludinho psseim com seus cchorros. Rogerião pes 0kg, e seu cão, 40kg. Cludinho, por su vez, pes 48kg, e seu cão, 6kg. Observe rzão entre o peso dos dois rpzes: Observe, gor, rzão entre o peso dos cchorros: Verificmos que s dus rzões são iguis. Nesse cso, podemos firmr que iguldde é umproporção. Assim: Proporção é um iguldde entre dus rzões. Elementos de um proporção Ddos qutro números rcionis, b, c, d, não-nulos, ness ordem, dizemos que eles formm um proporção qundo rzão do º pr o º for igul à rzão do 3º pr o 4º. Assim: ou :b=c:d (lê-se " está pr b ssim como c está pr d") Os números, b, c e d são os termos d proporção, sendo: - b e c os meios d proporção. - e d os extremos d proporção. Exemplo: Dd proporção, temos: Leitur: 3 está pr 4 ssim como 7 está pr 36. Meios: 4 e 7 Extremos: 3 e 36 Propriedde fundmentl ds proporções Observe s seguintes proporções: Produto dos meios = 4.30 = 0 Produto dos extremos = 3.40 = 0

Produto dos meios = 9.0 = 80 Produto dos extremos = 4.45 = 80 Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.7 = 360 De modo gerl, temos que: Dí podemos enuncir propriedde fundmentl ds proporções: Em tod proporção, o produto dos meios é igul o produto dos extremos. Aplicções d propriedde fundmentl Determinção do termo desconhecido de um proporção Exemplos: - Determine o vlor de x n proporção: Solução: 5. x = 8. 5 (plicndo propriedde fundmentl) 5. x = 0 x = 4 Logo, o vlor de x é 4. - Determine o vlor de x n proporção: Solução: 5. (x-3) = 4. (x+) (plicndo propriedde fundmentl) 5x - 5 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 5-3x = 9 3x = -9 x = Logo, o vlor de x é. - Os números 5, 8, 35 e x formm, ness ordem, um proporção. Determine o vlor de x. Solução: 5. x = 8. 35 5x = 80 (plicndo propriedde fundmentl) x = 56 Logo, o vlor de x é 56.

Resolução de problems envolvendo proporções Exemplo: - Num slin, de cd metro cúbico (m 3 ) de águ slgd, são retirdos 40 dm 3 de sl. Pr obtermos m 3 de sl, quntos metros cúbicos de águ slgd são necessários? Solução: A quntidde de sl retird é proporcionl o volume de águ slgd. Indicmos por x quntidde de águ slgd ser determind e rmmos proporção: Lembre-se que 40dm 3 = 0,04m 3.. = 0,04. x 0,04x = (plicndo propriedde fundmentl) x = 50 m 3 Logo, são necessários 50 m 3 de águ slgd. Qurt proporcionl Ddos três números rcionis, b e c, não-nulos, denomin-se qurt proporcionl desses números um número x tl que: Exemplo: - Determine qurt proporcionl dos números 8, e 6. Solução: Indicmos por x qurt proporcionl e rmmos proporção: (plicndo propriedde fundmentl) 8. x =. 6 8. x = 7 x = 9 Logo, qurt proporcionl é 9. Proporção contínu Considere seguinte proporção: Observe que os seus meios são iguis, sendo, por isso, denomind proporção contínu. Assim: Proporção contínu é tod proporção que present os meios iguis. De um modo gerl, um proporção contínu pode ser representd por: Terceir proporcionl Ddos dois números nturis e b, não-nulos, denomin-se terceir proporcionl desses números o número x tl que:

Exemplo: Determine terceir proporcionl dos números 0 e 0. Solução Indicmos por x terceir proporcionl e rmmos proporção: 0. x = 0. 0 0x = 00 (plicndo propriedde fundmentl) x = 5 Logo, terceir proporcionl é 5. Médi geométric ou médi proporcionl Dd um proporção contínu, o número b é denomindo médi geométric ou médi proporcionlentre e c. Exemplo: - Determine médi geométric positiv entre 5 e 0. Solução: 5. 0 = b. b 00 = b b = 00 b = b = 0 Logo, médi geométric positiv é 0. Proprieddes ds proporções ª propriedde: Num proporção, som dos dois primeiros termos está pr o º (ou º) termo, ssim como som dos dois últimos está pr o 4º (ou 3º). Demonstrção Considere s proporções: Adicionndo cd membro obtemos: Exemplo:

- Determine x e y n proporção, sbendo que x+y=84. Solução: Assim: x+y = 84 => x = 84-y => Logo, x=36 e y=48. x = 84-48 => x=36. ª propriedde: Num proporção, diferenç dos dois primeiros termos está pr o º (ou º) termo, ssim como diferenç dos dois últimos está pr o 4º (ou 3º). Demonstrção Considere s proporções: Subtrindo cd membro obtemos: por -) (Mult. os membros Exemplo: - Sbendo-se que x-y=8, determine x e y n proporção. Solução: Pel ª propriedde temos que: x-y = 8 => x=8+y => x = 8+ Logo, x=30 e y=. => x=30. 3ª propriedde: Num proporção, som dos ntecedentes está pr som dos consequentes, ssim como cd ntecedente está pr o seu consequente. Demonstrção Considere proporção:

Permutndo os meios, temos: Aplicndo ª propriedde, obtemos: Permutndo os meios, finlmente obtemos: 4ª propriedde: Num proporção, diferenç dos ntecedentes está pr diferenç dos consequentes, ssim como cd ntecedente está pr o seu consequente. Demonstrção Considere proporção: Permutndo os meios, temos: Aplicndo ª propriedde, obtemos: Permutndo os meios, finlmente obtemos: Exemplo: - Sbendo que -b = -4, determine e b n proporção. Solução: Pel 4ª propriedde, temos que: 5ª propriedde: Num proporção, o produto dos ntecedentes está pr o produto dos consequentes, ssim como o qudrdo de cd ntecedente está pr qudrdo do seu consequente. Demonstrção Considere proporção:

Multiplicndo os dois membros por, temos: Assim: Observção: 5ª propriedde pode ser estendid pr qulquer número de rzões. Exemplo: Proporção múltipl Denominmos proporção múltipl um série de rzões iguis. Assim: é um proporção múltipl. Dd série de rzões iguis escrever:, de cordo com 3ª e 4ª propriedde, podemos 6. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA Regr de três simples: Regr de três simples é um processo prático pr resolver problems que envolvm qutro vlores dos quis conhecemos três deles. Devemos, portnto, determinr um vlor prtir dos três já conhecidos. Pssos utilizd num regr de três simples: Construir um tbel, grupndo s grndezs d mesm espécie em coluns e mntendo n mesm linh s grndezs de espécies diferentes em correspondênci. Identificr se s grndezs são diretmente ou inversmente proporcionis. Montr proporção e resolver equção. Exemplos: ) Se 8m de tecido custm 56 reis, qul o preço de m do mesmo tecido?

Observe que s grndezs são diretmente proporcionis, umentndo o metro do tecido ument n mesm proporção o preço ser pgo. b) Um crro, à velocidde de 60km/h, fz certo percurso em 4 hors. Se velocidde do crro fosse de 80km/h, em qunts hors seri feito o mesmo percurso? Regr de Três Compost: A regr de três compost é utilizd em problems com mis de dus grndezs, diret ou inversmente proporcionis. Exemplo: ) Em 8 hors, 0 cminhões descrregm 60m³ de rei. Em 5 hors, quntos cminhões serão necessários pr descrregr 5m³? MATEMÁTICA FINANCEIRA: 7. PORCENTAGENS Porcentgens As frções (ou rzões) que possuem denomindores (o número de bixo d frção) iguis 00, são conhecids por rzões centesimis e podem ser representds pelo símbolo "%". O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por cento". "5%" lê-se "5 por cento". O símbolo "%" signific centésimos, ssim "5%" é um outr form de se escrever 0,05, por exemplo. Vej s seguintes rzões: Podemos representá-ls n su form deciml por: E tmbém n su form de porcentgens por: ou Como clculr um vlor percentul de um número? Agor que temos um visão gerl do que é porcentgem, como clculr qunto é 5% de 00? Multiplique 5 por 00 e divid por 00: Se você chr mis fácil, você pode simplesmente multiplicr 5% n su form deciml, que é 0,5 por 00:

Assim temos:. 4% de 3 = 0,04. 3 =,8. 5% de 80 = 0,5. 80 = 7 3. 8% de 50 = 0,8. 50 = 7 4. 35% de 6 = 0,35. 6 = 44, 5. 00% de 75 =,00. 75 = 75 6. 5% de 60 =,5. 60 = 69 7. 00% de 48 =,00. 48 = 96 Repre que no quinto item, 00% de 75 corresponde o próprio 75, isto ocorre porque 00% represent o todo, ocorre porque 00% é rzão de 00 pr 00 (00 : 00) que é igul. Por isto 00% de um número x é o próprio número x, já que o estremos multiplicndo por, pr sbermos o vlor d porcentgem. Anlisndo os itens de 4, podemos tmbém perceber que qundo o percentul é menor 00%, o número resultnte será menor que o número originl. Nos itens 6 e 7 percebemos que o resultdo é mior que o número originl. Isto ocorre porque o percentul é mior que 00%. Nos itens e 3 observmos que 5% de 80 é igul 8% de 50. % de b é igul b% de. Isto é devido à propriedde comuttiv d multiplicção que diz que. b = b.. Como trnsformmos um rzão ou frção em porcentgem? Vimos que rzões centesimis são um tipo especil de rzão, cujo consequente é igul cem e podem fcilmente ser expresss n form de porcentgem, simplesmente se eliminndo o consequente ou denomindor cem e inserindo o símbolo de porcentgem pós o ntecedente ou numerdor. Por exemplo: Ms como trnsformmos rzão 3 : 5 em porcentgem? Simplesmente relizndo divisão, encontrndo ssim o vlor d rzão, multiplicndo-o por 00 e inserindo o símbolo de porcentgem à su direit, ou sej, multiplicmos por 00%: Tlvez você não tenh percebido, ms podemos utilizr trnsformção de um rzão em porcentgem pr clculr quntos por cento um número é de outro. Neste nosso exemplo 3 é 0% de 5. Dezoito é quntos por cento de qurent e cinco? Pr que serve o cálculo d porcentgem? Rzões são utilizds pr podermos comprr grndezs e em sendo porcentgem um rzão, é extmente est utilidde d porcentgem. Digmos que populção de um cidde A cresceu de 00 mil pr 5 mil em dez nos. Sbemos tmbém que no mesmo período, populção d cidde B pssou de 40 mil pr 50 mil hbitntes. Qul ds ciddes teve um umento populcionl mior? Aumento populcionl d cidde A em porcentgem: Aumento populcionl d cidde B em porcentgem: Segundos os cálculos relizdos cim, percebemos que embor populção d cidde A sej muito mior que outr, o umento percentul ds dus populções foi o mesmo. Vej tmbém que rzão d populção tul pr populção de 0 nos trás, de mbs s ciddes é mesm, um outr prov de que o crescimento foi proporcionlmente o mesmo: 5000 : 00000 = 50000 : 40000 =,5

8. JUROS SIMPLES Juros Juros representm remunerção do Cpitl empregdo em lgum tividde produtiv. Os juros podem ser cpitlizdos segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cd intervlo de tempo sempre é clculdo sobre o cpitl inicil emprestdo ou plicdo. JUROS COMPOSTOS: o juro de cd intervlo de tempo é clculdo prtir do sldo no início de correspondente intervlo. Ou sej: o juro de cd intervlo de tempo é incorpordo o cpitl inicil e pss render juros tmbém. O juro é remunerção pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque miori ds pessos prefere o consumo imedito, e está dispost pgr um preço por isto. Por outro ldo, quem for cpz de esperr té possuir qunti suficiente pr dquirir seu desejo, e neste ínterim estiver dispost emprestr est qunti lguém, menos pciente, deve ser recompensdo por est bstinênci n proporção do tempo e risco, que operção envolver. O tempo, o risco e quntidde de dinheiro disponível no mercdo pr empréstimos definem qul deverá ser remunerção, mis conhecid comotx de juros. Qundo usmos juros simples e juros compostos? A miori ds operções envolvendo dinheiro utiliz juros compostos. Estão incluíds: comprs médio e longo przo, comprs com crtão de crédito, empréstimos bncários, s plicções finnceirs usuis como Cdernet de Poupnç e plicções em fundos de rend fix, etc. Rrmente encontrmos uso pr o regime de juros simples: é o cso ds operções de curtíssimo przo, e do processo de desconto simples de duplicts. Tx de juros A tx de juros indic qul remunerção será pg o dinheiro emprestdo, pr um determindo período. El vem normlmente express d form percentul, em seguid d especificção do período de tempo que se refere: 8 %.. - (.. signific o no). 0 %.t. - (.t. signific o trimestre). Outr form de presentção d tx de juros é unitári, que é igul tx percentul dividid por 00, sem o símbolo %: 0,5.m. - (.m. signific o mês). 0,0.q. - (.q. signific o qudrimestre) JUROS SIMPLES O regime de juros será simples qundo o percentul de juros incidir pens sobre o vlor principl. Sobre os juros gerdos cd período não incidirão novos juros. Vlor Principl ou simplesmente principl é o vlor inicil emprestdo ou plicdo, ntes de somrmos os juros. Trnsformndo em fórmul temos: J = C. i. n Onde: J = juros C = principl (cpitl) i = tx de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos um dívid de R$ 000,00 que deve ser pg com juros de 8%.m. pelo regime de juros simples e devemos pgá-l em meses. Os juros que pgrei serão: J = 000 x 0.08 x = 60 Ao somrmos os juros o vlor principl temos o montnte. Montnte = Principl + Juros Montnte = Principl + ( Principl x Tx de juros x Número de períodos ) M = C. ( + ( i. n ) ) Exemplo: Clcule o montnte resultnte d plicção de R$70.000,00 à tx de 0,5%.. durnte 45 dis. SOLUÇÃO: M = C. ( + (i.n) ) M = 70000 [ + (0,5/00).(45/360)] = R$7.960,4 Observe que expressmos tx i e o período n, n mesm unidde de tempo, ou sej, nos. Dí ter dividido 45 dis por 360, pr obter o vlor equivlente em nos, já que um no comercil possui 360 dis. Exercícios sobre juros simples: ) Clculr os juros simples de R$ 00,00 3 %.t. por 4 meses e 5 dis. 0.3 / 6 = 0.067 logo, 4m5d = 0.067 x 9 = 0.95 j = 00 x 0.95 = 34 - Clculr os juros simples produzidos por R$40.000,00, plicdos à tx de 36%.., durnte 5 dis. Temos: J = C.i.n A tx de 36%.. equivle 0,36/360 dis = 0,00.d. Agor, como tx e o período estão referidos à mesm unidde de tempo, ou sej, dis, poderemos clculr diretmente: J = 40000.0,00.5 = R$5000,00 3 - Qul o cpitl que plicdo juros simples de,%.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dis? Temos imeditmente: J = C.i.n ou sej: 3500 = C.(,/00).(75/30) Observe que expressmos tx i e o período n em relção à mesm unidde de tempo, ou sej, meses. Logo, 3500 = C. 0,0.,5 = C. 0,030; Dí, vem: C = 3500 / 0,030 = R$6.666,67 4 - Se tx de um plicção é de 50% o no, quntos meses serão necessários pr dobrr um cpitl plicdo trvés de cpitlizção simples? Objetivo: M =.C Ddos: i = 50/00 =,5 Fórmul: M = C ( + i.n) Desenvolvimento: P = C ( +,5 n) = +,5 n n = /3 no = 8 meses 9. JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mis comum no sistem finnceiro e portnto, o mis útil pr cálculos de problems do di--di. Os juros gerdos cd período são incorpordos o principl pr o cálculo dos juros do período seguinte. Chmmos de cpitlizção o momento em que os juros são incorpordos o principl. Após três meses de cpitlizção, temos: º mês: M =C.( + i) º mês: o principl é igul o montnte do mês nterior: M = C x ( + i) x ( + i) 3º mês: o principl é igul o montnte do mês nterior: M = C x ( + i) x ( + i) x ( + i) Simplificndo, obtemos fórmul: M = C. ( + i) n Importnte: tx i tem que ser express n mesm medid de tempo de n, ou sej, tx de juros o mês pr n meses. Pr clculrmos pens os juros bst diminuir o principl do montnte o finl do período: J = M - C Exemplo: Clcule o montnte de um cpitl de R$6.000,00, plicdo juros compostos, durnte no, à tx de 3,5% o mês. (use log,035=0,049 e log,509=0,788) Resolução: C = R$6.000,00 t = no = meses i = 3,5 %.m. = 0,035 M =? Usndo fórmul M=C.(+i) n, obtemos: M = 6000.(+0,035) = 6000. (,035) Fzendo x =,035 e plicndo logritmos, encontrmos: log x = log,035 => log x = log,035 => log x = 0,788 => x =,509 Então M = 6000.,509 = 9054. Portnto o montnte é R$9.054,00 Relção entre juros e progressões No regime de juros simples: M( n ) = C + n r C No regime de juros compostos: M( n ) = C. ( + r ) n Portnto: num regime de cpitlizção juros simples o sldo cresce em progressão ritmétic num regime de cpitlizção juros compostos o sldo cresce em progressão geométric TAXAS EQUIVALENTES Dus txs i e i são equivlentes, se plicds o mesmo Cpitl P durnte o mesmo período de tempo, trvés de diferentes períodos de cpitlizção, produzem o mesmo montnte finl. Sej o cpitl P plicdo por um no um tx nul i. O montnte M o finl do período de no será igul M = P( + i ) Consideremos gor, o mesmo cpitl P plicdo por meses um tx mensl i m.

O montnte M o finl do período de meses será igul M = P( + i m ). Pel definição de txs equivlentes vist cim, deveremos ter M = M. Portnto, P( + i ) = P( + i m ) Dí concluímos que + i = ( + i m ) Com est fórmul podemos clculr tx nul equivlente um tx mensl conhecid. Exemplos: - Qul tx nul equivlente 8% o semestre? Em um no temos dois semestres, então teremos: + i = ( + i s ) + i =,08 i = 0,664 = 6,64%.. - Qul tx nul equivlente 0,5% o mês? + i = ( + i m ) + i = (,005) i = 0,067 = 6,7%.. TAXAS NOMINAIS A tx nominl é qundo o período de formção e incorporção dos juros o Cpitl não coincide com quele que tx está referid. Alguns exemplos: - 340% o semestre com cpitlizção mensl. - 50% o no com cpitlizção mensl. - 300% o no com cpitlizção trimestrl. Exemplo: Um tx de 5 %.., cpitlizção mensl, terá 6.08 %.. como tx efetiv: 5/ =,5,05 =,608 TAXAS EFETIVAS A tx Efetiv é qundo o período de formção e incorporção dos juros o Cpitl coincide com quele que tx está referid. Alguns exemplos: - 40% o mês com cpitlizção mensl. - 50% o semestre com cpitlizção semestrl. - 50% o no com cpitlizção nul. Tx Rel: é tx efetiv corrigid pel tx inflcionári do período d operção. 0. FUNÇÕES Um relção estbelecid entre dois conjuntos A e B, onde exist um ssocição entre cd elemento de A com um único de B trvés de um lei de formção é considerd um função. Observe o exemplo:

O estudo ds funções se present em vários segmentos, de cordo com relção entre os conjuntos podemos obter inúmers leis de formção. Dentre os estudos ds funções temos: função do º gru, função do º gru, função exponencil, função modulr, função trigonométric, função logrítmic, função polinomil. Cd função possui um propriedde e é definid por leis generlizds. As funções possuem representções geométrics no plno crtesino, s relções entre pres ordendos (x,y) são de extrem importânci no estudo dos gráficos de funções, pois nálise dos gráficos demonstrm de form gerl s soluções dos problems propostos com o uso de relções de dependênci, especificdmente, s funções. As funções possuem um conjunto denomindo domínio e outro chmdo de imgem d função, no plno crtesino o eixo x represent o domínio d função, enqunto o eixo y represent os vlores obtidos em função de x, constituindo imgem d função. Um exemplo de relção de função pode ser expresso por um lei de formção que relcion: o preço ser pgo em função d quntidde de litros de combustível bstecidos. Considerndo o preço d gsolin igul R$,50, temos seguinte lei de formção: f(x) =,50*x, onde f(x): preço pgr e x: quntidde de litros. Observe tbel bixo: Verifique que pr cd vlor de x temos um representção em f(x), esse modelo é um típico exemplo de função do º gru.