Análise linear elástica por elementos finitos 3D de um corpo com fenda

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1 Vol. 17, 3, (2001) Revist Interncionl de Métodos Numéricos pr Cálculo y Diseño en Ingenierí Análise liner elástic por elementos finitos 3D de um corpo com fend Fernndo V. Antunes, Nuno Rilo e José M. Ferreir Deprtmento de Engenhâri Mecânic Universidde de Coimbr, Pólo II, 3030 Coimbr, Portugl Tel.: , Fx: e-mil: fernndo.ventur@mil.dem.uc.pt e-mil: mnuno@cygnus.ci.uc.pt e-mil: mrtins.ferreir@mil.dem.uc.pt Crlos M. Brnco Deprtmento de Engenhâri Mecânic Instituto Superior Técnico Av. Rovisco Pis, Lisbo 1096 Codex, Portugl Tel.: , Fx: e-mil: cmbrnco@dem.ist.utl.pt Sumário Neste trblho estud-se o desempenho de vários elementos finitos tridimensionis n nálise de corpos fissurdos com comportmento liner elástico. São vlidos três tipos de elementos n frente de fend: pentédricos, pentédricos singulres e colpsdos. Conclui-se que se devem utilizr elementos isoprmétricos singulres n modelção d frente de fend. Além disso, estes elementos são fáceis de obter prtir de elementos isoprmétricos comuns. Reltivmente àdimensão rdil dos elementos singulres, deve definir-se um mlh não uniforme o longo d frente de fend. Junto pontos de cnto devem considerr-se elementos mis pequenos ( L 1,s =2 5%,emque é o comprimento de fend), porque í singulridde é diferente d singulridde simuld pelos elementos isoprmétricos singulres. As dificultdes de simulção juntodsuperfície, e consequentemente importânci de L 1,s, dependem d form d fend. Os elementos singulres interiores devem ter miores dimensãoes ridis ( L 1,i 10 12, 5%). Plbrs clve: Método dos Elementos Finitos, corpo com fend, elementos singulres e tmnho optimo FEM ANALYSIS OF A CRACKED BODY WITH LINEAR ELASTIC BEHAVIOUR Summry A study of the performnce of severl 3D finite elements in the nlysis of liner elstic crcked bodies is presented. Three types of qudrtic isoprmetric elements re evluted in modeling crck fronts: regulr penthedrl elements with 15 nodes, singulr penthedrl elements with 15 nodes, nd collpsed hexhedrl elements with 20 nodes. Singulr isoprmetric elements re suitble for crck front modeling nd must be used. These elements re esy to define in common generl finite element progrms. A non-uniform grid must be defined long the front crck. Ner corner points smller elements must be considered ( L 1,s =2 5% were is the crck length nd L 1,s is the rdil dimension of ner surfce elements) becuse the singulrity there is different from r 0.5. The difficulties of simultion ner the surfce, nd consequently the importnce of L 1,s, depend on crck shpe. The interior singulr elements must be lrger ( L 1,i 10 12, 5%). c Universitt Politècnic de Ctluny (Espñ). ISSN: Recibido: Diciembre 1999

2 318 F.V. Antunes, N. Rilo, J. M. Ferreir y C.M. Brnco Keywords: Finite element method, crcked body, singulr elements nd optimum size. INTRODUÇÃO O cmpo de tensões n extremidde de um fend contid num corpo com comportmento liner elástico, tem seguinte form gerl σ ij = K 2πr f ij (θ) (1) onde σ ij são s componentes d tensão, (r, θ) são s coordends polres com origem n pontdfendek é o fctor de intensidde de tensão.emcdpontodfrentedfend, r éigulzero,peloquetensão é infinit. Assim, frente d fend é um linh singulr, sendo ordem d singulridde r 0,5. A equção 1 consider pens o primeiro termo d série complet ds tensões n vizinhnç d extremidde d fend. Pr um fend em condições de deformção pln, solicitd em modo I, est série tem form σ ij K I f ( 1) ij (θ) r 1 (1) 2 f ij (θ)+... (2) 2πr De cordo com est expressão, podem distinguir-se dus zons n vizinhnç d extremidde de um fend: um região singulr junto d pont d fend, domind pelo termo em K, e um zon mis fstd onde dominm os termos não singulres. Consider-se que singulridde r 0,5 sej válid o longo de um frente de fend com um form rbitrári, desde que não existm pontos isoldos. Um ponto P d frente de fend é um ponto isoldo se ocorrer pelo menos um ds seguintes situções: 1 frentede fend éguçd no ponto P ; ocorrm descontinuiddes no mteril em P ; ctuem trcções singulres de ordem r 0,5 n superfície d fend junto P. N intercepção d frente de fend com um superfície livre há um descontinuidde pelo que o cmpo singulr de tensões ddo pel equção (1) não éválido. Muitos investigdores têm estuddo este cso de intercepção de um fend com superfície livre, porém s soluções pr singulridde e pr o cmpo de tensões são ind controverss. Há dus tendêncis: lguns utores 2,3,4 sugerem que nos pontos de cnto existe um singulridde de tensões r 0,5, enqunto outros 5,6 indicm que pesr de existir um singulridde est é diferente de r 0,5.Prestesúltimos ordem de singulridde λ depende do coeficiente de Poisson do mteril ν edoângulo de intersecção d fend com superfície livre β. O umento de β e o decréscimo de ν produzem um umento de λ. Pr um frente de fend norml àsuperfície livre (β =90 ), solicitd em modo I de crregmento, verific-se um redução d ordem de singulridde junto à superfície livre (isto é, λ<0, 5). A plicção do método dos elementos finitos (MEF) ànálise de fends em corpos liner elásticos solicitdos estticmente, é dificultd por ests singulriddes de tensões existentes n frente de fend. De fcto, s funções de form são polinómios definidos sobre elementos de comprimento finito não podendo ssim s tensões tingir vlores infinitos. Deste modo, o cmpo de deslocmentos ssumido pelo MEF nos elementos ligdos àfrente de fend nunc se just à distribuição rel dos deslocmentos, e ssim são obtidos deslocmentos nodis fectdos por erros. Isto fect principlmente região vizinh d frente de fend, ms s restntes regiões são tmbém fectds. Longe d frente de fend éconveniente ter um mlh mis lrg pr reduzir o número de grus de liberdde d nálise. Pr simulr dequdmente o cmpo de tensões singulr form cridos elementos especiis, ditos singulres, que incluem singulridde r 0,5 n su formulção. A introdução

3 Análise liner elástic por elementos finitos 3D de um corpo com fend 319 d singulridde ds tensões lineres elástics n nálise por elementos finitos pode ser feit usndo n frente de fend elementos nlíticos ou elementos isoprmétricos modificdos. Os elementos nlíticos são bsedos ns expressões nlítics d mecânic d frctur liner elástic, tendo sido desenvolvidos em diverss universiddes. Contudo, su ligção os elementos isoprmétricos viol s condições de equilíbrio nos nós e introduz problems de continuidde, de modo que são necessários elementos de trnsição. Além disso, estes elementos não estão normlmente disponíveis ou informção cerc deles não é suficiente. 7 Um lterntiv mis simples é o uso de elementos isoprmétricos singulres. Estes são obtidos dos elementos isoprmétricos lterndo posição dos nós intermédios vizinhos d frente de fend. A ligção os elementos normis não é problem e ssim não há necessidde de definir elementos de trnsição. De fcto, pode dizer-se que o corpo fissurdo émodeldo comomesmotipodeelementosemtodooseudomínio. Estes elementos stisfzem ind s condições de convergênci. Um vez que os elementos isoprmétricos estão disponíveis em todos os progrms comerciis de elementos finitos, estes elementos singulres podem ser fcilmente utilizdos. Diferentes tipos de elementos isoprmétricos singulres podem ser utilizdos n frente de fend: - elementos singulres com nodos 1/4 d rest; 8,9,10,11 - elementos singulres de ordem elevd; 12 - elementos colpsdos com nodos 1/4 d rest; 13,7,14 - elementos duplmente colpsdos com nodos 1/4 d rest; 7 - elementos singulres tringulres ou prismáticos. 15,11 Entre os elementos singulres d frente de fend e os elementos normis podem definirse elementos de trnsição. 16,10 Todos estes elementos podem ter um ordem rdil diferente d trnsversl. 17,18,19 Há outros tipos de elementos singulres isoprmétricos em que não pens posição dos nós é lterd, ms tmbém s funções de form. 20,21 Porém, estes elementos não estão tão disponíveis como queles em que pens posição dos nós é modificd. O tmnho óptimo dos elementos singulres é quele que permite um modelção dequd dos cmpos singulres e não singulres de tensões. Pr cd configurção de fend existe um tmnho óptimo dos elementos singulres, contudo, definição desse tmnho óptimo é dificultd pel vrição ds zons singulres com configurção ds fends. Além disso, est zon évriável àvoltdextremiddedfendeolongod frente de fend. Os seus limites tmbém não podem ser definidos clrmente, porque há um trnsição d região domind pelo termo singulr pr um região em que dominm os termos não singulres, e não um mudnç brusc. Assim, não existe um tmnho óptimo universl e édifícil encontrr linhs geris pr uso dequdo dos elementos singulres pr todos os corpos fissurdos. Tirndo proveito d propriedde de convergênci dos elementos isoprmétricos, pode vrir-se o tmnho dos elementos singulres de modo relizr um estudo de convergênci. Deve porém ter-se em tenção que um estudo de convergênci nem sempre dá ovloróptimo, porque este nem sempre é um ponto de virgem dos resultdos. N vizinhnç dos pontos de cnto (pontos em que frente de fend intersect s superfícies livres), ordem de singulridde éemgerldiferentede0,5,queé singulridde simuld por quse todos os elementos singulres. Assim, os elementos singulres não são dequdos pr serem usdos í e os resultdos de elementos finitos devem ser trtdos com precução. O objectivo deste trblho é vlir o desempenho de diversos elementos finitos 3D n nálise de corpos fendidos com comportmento liner elástico. Os spectos estuddos são otipoedimensão rdil dos elementos d frente de fend. Form considerdos três tipos de elementos: pentédricos, pentédricos singulres e hexédricos colpsdos.

4 320 F.V. Antunes, N. Rilo, J. M. Ferreir y C.M. Brnco A GEOMETRIA DA FENDA DE CANTO A Figur 1 present geometri do corpo 3D fissurdo que é qui estuddo. Trt-se de um provete de secção qudrd, que é utilizdo pr obter s proprieddes de fdig dos mteriis. Est geometri é normlmente designd por provete CC ( Corner Crck ). A fend éplneexistensecção médi do provete. No estudo numérico foi considerd um crg estátic de 60 kn, que solicit fend em modo I (modo de bertur) o longo de tod su frente. As condições de fronteir são indicds n Figur 1 e procurm reproduzir s condições imposts pels mrrs rígids d máquin de ensios. O mteril foi considerdo contínuo, homogéneo, isotrópico e com um comportmento liner elástico. As proprieddes elástics considerds form E =1, P (módulo de Young) e ν =0, 3 (coeficiente de Poisson). Com o objectivo de fcilitr nálise pelo MEF do provete CC presentdo n Figur 1, form considerds váris simplificções. A Figur 2 present um vist tridimensionl do modelo físico considerdo. Figur 1. Provete CC (corner crck) com fend de cnto Figur 2. Geometri d fend de cnto (superficie 1: restrição o movimento n direção z; superficies 2: restrições os movimentos ns direções x e y) OS ELEMENTOS FINITOS E AS MALHAS USADAS Foi usdo o progrm genérico de elementos finitos MODULEF desenvolvido no INRIA desde Neste estudo prtiu-se dos elementos qudráticos isoprmétricos HEXA 3Q2C (hexédro de 20 nós) e PENT 3R2C (pentédro de 15 nós) que integrm bibliotec de elementos lineres elásticos deste progrm. A prtir destes elementos form obtidos dois elementos singulres: o elemento de 20 nós colpsdo (CSE) e o elemento pentédrico singulr (PSE) por lterções d posição de lguns nós como se indic n Figur 3. Foi sempre usd um integrção de Guss complet (3 3 3 = 27 pontos de integrção pr os elementos de 20 nós e 21 pontos de integrção pr os elementos de 15 nós).

5 Análise liner elástic por elementos finitos 3D de um corpo com fend 321 Figur 3. Elementos isoprmétricos singulres: () elemento de 20 nós colpsdo (CSE); (b) elemento pentédrico singulr (PSE) A Figur 4 mostr um mlh tıpic de elementos finitos considerd pr um fend de cnto de form circulr com 5 mm de rio. El compreende três prtes principis, um mlh em tei de rnh à volt d frente d fend (Figurs 5 e 6), um mlh de trnsição e um mlh regulr longe d frente de fend. Est mlh foi lterd pr diferentes forms edimensões de fend mntendo no entnto o mesmo pdrão. Figur 4. Mlh de elementos finitos 3D típic

6 322 F.V. Antunes, N. Rilo, J. M. Ferreir y C.M. Brnco Figur 5. Plno d mlh de elementos finitos 3D em tei de rnh, em volt de um fend circulr, com refinmento junto os cntos Figur 6. Mlhs tipo tei de rnh usds à volt de cd elemento d frente de fend N definição d zon de mlh em tei de rnh, foi tido um cuiddo especil porque os erros provêm principlmente d dificuldde de simulção d singulridde existente n frente d fend. A distribuição de elementos é mis refind junto às superfícies pr ter em cont os efeitos de bordo.

7 Análise liner elástic por elementos finitos 3D de um corpo com fend 323 PRECISÃO DOS RESULTADOS DO MEF A precisão do MEF está relciond com cpcidde de representr o cmpo de deslocmentos rel, de modo que depende dos seguintes prâmetros: o tipo de elementos eordemdeintegrção ds mtrizes elementres, mlh de elementos finitos (sendo prticulrmente importnte distribuição dos elementos o longo e à volt d frente de fend). A precisão depende tmbém do tmnho d plvr com que o computdor funcion, que influênci o erro de rredondmento. Alguns destes prâmetros form definidos à prtid. Os prâmetros ind não definidos, que são estuddos seguir, sãootipodos elementos d extremidde d fend e su dimensão rdil. Oprâmetro, ou vriável dependente, usdo no estudo d precisão foi, em gerl, o trblho ds forçs exteriores. As distribuições reis dos deslocmentos, tensões e deformções num corpo fissurdo são em gerl desconhecids, de modo que não épossível obter o erro de um nálise por elementos finitos. A estimtiv d precisão fz-se usndo experimentção computcionl, em que o problem é resolvido váris vezes com diferentes mlhs, sucessivmente mis refinds. O refinmento d mlh reduz os erros do MEF e ssim os resultdos são convergentes pr solução exct, que seri obtid com um número infinito de grus de liberdde. O objectivo do estudo de convergênci não é gerlmente obter ess solução exct, ms pens estimr precisão de um solução existente. A vrição dos resultdos com vrição dos grus de liberdde é usd como um medid de precisão, porque com proximção àsolução exct ess vrição reduz-se. Influênci do tipo de elementos d frente d fend O tipo de elemento utilizdo n frente de fend é um specto fundmentl pr correct simulção d singulridde de tensões pelo MEF. Os elementos de extremidde de fend qui estuddos são: - elementos pentédricos (PE) com 15 nós; 8,9 - elementos pentédricos singulres (PSE) com 15 nós; 15,11 -elementoshexédricos singulres colpsdos (CSE) com 20 nós. 13,7,14 Pr estudr influênci dos elementos d extremidde d fend, form considerds qutro mlhs em tei de rnh num fend circulr com 5 mm de rio. Ests mlhs são presentds n Figur 6, enqunto s respectivs dimensões rdiis são presentds n Tbel I. A frente de fend foi dividid em 18 elementos com um refinmento junto os cntos como se mostr n Figur 7. Designção L 1 (%) L 2 (%) L 3 (%) L 4 (%) Nós Elementos M 1 5 7,6 9,05 21, M M , M 4 37, Tbl I. Dimensões dos elementos vizinhos d frente de fend ( é o comprimento de fend)

8 324 F.V. Antunes, N. Rilo, J. M. Ferreir y C.M. Brnco Figur 7. Distribuição dos elementos o longo d frente de fend A Figur 8 present os deslocmentos obtidos pr o ponto B situdo n superfície d fend, com coordends α =45 e r =1, 5 mm. Qundo são usdos elementos pentédricos (não singulres) n frente d fend, o refinmento d mlh produz um convergênci pr um vlor com um erro desprezável. Observ-se um umento dos deslocmentos nodis com o refinmento d mlh, que é explicdo pel redução d rigidez do corpo. Este resultdo er esperdo um vez que é conhecido que os erros dos elementos finitos produzem um umento d rigidez dos corpos. Figur 8. Deslocmento z de um ponto B d superficie d fend (x = y =1, 06 mm; z =0), pr diferentes elementos de frente de fend N Figur 8 pode ver-se que, pr cd um ds mlhs, substituição de elementos isoprmétricos por elementos singulres melhor significtivmente os resultdos. A diferenç reduz-se com o refinmento d mlh, porque com pequenos elementos regulres n frente d fend os resultdos são mis correctos, de modo que melhori conseguid com elementos singulres é menor. Comprndo diferentes mlhs, pode ver-se que

9 Análise liner elástic por elementos finitos 3D de um corpo com fend 325 mlhm4( L 1 = 38 %) com elementos singulres, dá melhores resultdos do que mlh M1 ( L 1 = 5 %) com elementos isoprmétricos (não singulres) n frente de fend. Este bom desempenho dos elementos singulres er esperdo porque estes simulm singulridde r 0,5 existente junto à frente d fend. Junto àsuperfície hátmbém um singulridde do tipo r λ, contudo λ<0, 5 pr um fend em qurto de círculo. Os elementos singulres ssumem tmbém í singulridde r 0,5,peloqueé introduzido um erro nos resultdos do MEF. Os resultdos pr elementos hexédricos colpsdos e pentédricos singulres são semelhntes, sendo ligeirmente melhores pr os primeiros. Contudo, os elementos colpsdos exigem que os nós d extremidde d fend sejm coincidentes pr um correct simulção d singulridde r 0,5,são muito sensíveis àposição dos nós intermédios opostos àfrentedefendetêm mis nós. Um vez que diferenç entre os elementos colpsdos eospentédricos singulres não é importnte, estes são os mis dequdos pr usr n frente d fend, de entre os qui estuddos. Influênci do tmnho dos elementos vizinhos d frente d fend Aquestão gor é: que dimensão rdil deve ser considerd pr os elementos próximos d frente d fend pr ter melhor simulção d singulridde? Podem ocorrer três situções, que são ilustrds n Figur 9: ) os elementos d extremidde d fend estão dentro d região singulr; b) os elementos d extremidde d fend e região singulr têm dimensões idêntics; c) os elementos d extremidde d fend sãomioresdoqueregião singulr. Se L 1 <r s, onde L 1 é dimensão rdil dos elementos singulres e r s é dimensão rdil d região singulr, prte d região singulr é simuld por elementos não singulres, o que introduz erros. Se L 1 >r s, os elementos singulres podem ter dificulddes n simulção d região não singulr. Esper-se pois que o tmnho óptimo dos elementos singulres sej idêntico o tmnho d região singulr. Deve ter-se em tenção que extensão d região singulr vri o longo e à volt d frente de fend, como se indic n Figur 9, pelo que o tmnho óptimo é sempre um vlor de compromisso. Além disso, não há um mudnç brusc pr um região não singulr, ms sim um trnsição de um zon domind pel singulridde pr um zon onde dominm os termos não singulres. Figur 9. Relção entre dimensão rdil dos elementos d pont d fend L 1 eregião singulr r s :()L 1 <R s ;(b)l 1 r s ;(c)l 1 >r s Pr estudr influênci d dimensão dos elementos d frente d fend, form considerds qutro fends, que são representds n Figur 10. Três dels (4, 2, 1) são fends em qurto de círculo com comprimentos de 1, 3 e 5 mm, enqunto outr (3) é um fend com um efeito de túnel pronuncido junto à superfície. Ests fends form considerds pr estudr influênci do comprimento e form d fend n precisão d nálise pelo MEF. Pr estudr influênci d dimensão rdil dos elementos próximos d superfície,

10 326 F.V. Antunes, N. Rilo, J. M. Ferreir y C.M. Brnco foi considerd um região superficil estendendo-se por cerc de 7,5 prtir de cd ponto de cnto, como se indic n Figur 10. Figur 10. Fends pr estudr precisão d nálise pelos elementos fintios 3D Influênci de L 1 e L 2 pr um fend circulr com 5 mm de rio A Figur 11 present o trblho ds forçs externs (W E ) obtido pr um fend circulr com 5 mm de rio (fend 1 d Figur 10), considerndo diferentes dimensões rdiis pr os elementos d frente de fend L 1. Um vez que o objectivo er estudr influênci de L 1, L 2 foi mntid constnte ( L 2 =15, 22 %, onde é dimensão d fend). L 3 tmbém foi vrido, decrescendo com o umento de L 1, sendo (L 1+L 2 +L 3 ) constnte e igul 43,3 %. Pode ver-se que, qundo são usdos elementos pentédricos (PE) n frente de fend, redução de L 1 melhor significtivmente os resultdos porque simulção d singulridde é melhor. Pr vlores de L 1 menores do que 5 %, vrição de W E com L 1 reduz-se. Isto indic que, embor exist um melhor simulção d singulridde pelos elementos d frente de fend, segund cmd de elementos tmbém simul os cmpos singulres ms com menor precisão. Assim, região singulr étlque r s 5 %, onde r s é su dimensão rdil. No limite L 1 = 0, singulridde é simuld pens pel segund cmd de elementos, que tem dimensão L 2 =15, 22%,essimosresultdossão clrmente piores. Diferentes vlores de L 2 form considerdos pr L 1 = 15 % e 37,8 %, sem lterção significtiv de resultdos, o que indic que segund cmd de elementos está fordregião singulr pr este vlor de L 1. Assim, esper-se que extensão d região singulr sej menor do que 15 % do comprimento d fend. Qundo são utilizdos elementos singulres pentédricos (PSE) n frente d fend, vrição de W E com L 1 present um vlor máximo pr L 1 10 %, que é dimensão óptim dos elementos singulres. Est étmbém um indicção d dimensão médi d região singulr o longo e à volt d frente de fend. Pr L 1 < 10 %, W E ument com L 1 porque os elementos singulres estão dentro d região singulr, e ssim prte dest é simuld por elementos não singulres. Neste cso, dimensão d segund cmd de elementos torn-se importnte. Pr L 1 > 10 %, W E reduz-se com o incremento de L 1, porque os elementos singulres estão simulr regiões não singulres. Neste cso, esper-se que dimensão de L 2 sej menos importnte. N Figur 11 são presentdos três vlores de W E pr L 2 diferente de 15,22 %, obtidos pr ( L 1 )= (5, 10), (6, 10) e (15, 22,8) %. Estes, L 2

11 Análise liner elástic por elementos finitos 3D de um corpo com fend 327 resultdos confirmm que dimensão rdil d segund cmd de L 2 é mis importnte pr L 1 < 10 %. Figur 11. Influênciddimensão rdil dos elementos d frente de fend L 2 pr um fend em qurto de círculo com 5 mm =15, 22 % A influênci de L 2 pode estudr-se melhor n Figur 12. Pr L 1 = 1 %, os elementos singulres ficm dentro d zon singulr, e ssim prte dest é simuld por elementos d segund cmd. O tmnho óptimo de L 2 é proximdmente 8 %, o que confirm que extensão d zon singulr é proximdmente 10 %. Pr L 2 < 8 %, segund cmd de elementos fic tmbém n zon singulr, ssim prte dest é simuld pel terceir cmd de elementos que tem dificulddes pr o fzer. Por outro ldo, pr L 2 > 8 %, segund cmd de elementos tem dificuldde n simulção d zon singulr. Pr L 1 =10 %, que é dimensão proximd d região singulr, pode ver-se n Figur 12 que o tmnho óptimo de L 2 é proximdmente 10 %, o que tem ver com simulção dequd do cmpo não singulr. Pode tmbém confirmr-se que influênci de L 2 sobre W E émuitomis importnte pr L 1 =1 % do que pr 10 %, como já foi visto. Figur 12. Influênciddimensão rdil d segund cmd de elementos

12 328 F.V. Antunes, N. Rilo, J. M. Ferreir y C.M. Brnco Influênci de L 1, L 1,i e L 1,s pr um fend com efeito de túnel Pr fends com forms não circulres, esper-se que o desempenho do MEF sej diferente. De fcto, form d fend influenci singulridde existente perto dos pontos de cnto e os elementos singulres usdos pens simulm singulridde r 0,5.AFigur13 present influênci de L 1 sobre W E pr fend número 3 d Figur 10, que tem um efeito de túnel pronuncido perto d superfície (L 1 é o tmnho rdil dos elementos singulres pr um distribuição uniforme de elementos o longo d frente de fend). A Figur 13 present tmbém resultdos pr um distribuição não uniforme de elementos singulres o longo d frente de fend. Neste cso, form considerds dus regiões superficiis e um região interior, como se indic n Figur 10, sendo L 1,i o tmnho rdil dos elementos singulres interiores e L 1,s o tmnho rdil dos elementos singulres próximos d superfície. O vlor de L 1,s foi mntido constnte enqunto L 1,i foi vrido. O tmnho óptimo de L 1 pr um distribuição uniforme dos elementos singulres d extremidde d fend émenor ou igul 5 %, enqunto o tmnho óptimo dos elementos interiores é proximdmente 10 %. A vrição de W E com L 1 é muito mis importnte do que com L 1,i, o que indic que influênci de L 1 está relciond com dificulddes de simulção junto às superfícies. De fcto, diferenç entre s dus curvs presentds n Figur 13 édevidpensà dimensão dos elementos próximos d superfície, que tem o vlor constnte L 1,s =5%no estudo d influênci de L 1,i. Figur 13. Influênci d dimensão rdil dos elementos d pont d fend num fend com efeito de túnel (fend 3 d Figur 10) O efeito de refinmento d mlh perto d superfície pode estudr-se melhor n Figur 14, n qul L 1,s vri enqunto L 1,i é mntido constnte. Observ-se um melhori clr com redução do tmnho rdil dos elementos próximos d frente de fend L 1,s, sendo o vlor óptimo L 1,s 2, 5 %. A dimensão rdil dos elementos singulres deve ser pequen junto àsuperfície, porque estes não simulm dequdmente singulridde íexistente. Esperm-se ind dificulddes de simulção n direcção longitudinl àfrentedefend. De fcto, junto àsuperfície singulridde vri rpidmente de r λ té r 0,5, enqunto os elementos usdos conseguem pens justr um vrição qudrátic de deslocmentos o longo d frente de fend.

13 Análise liner elástic por elementos finitos 3D de um corpo com fend 329 Figur 14. Influêncidorefinmentodmlhjuntoà superficie ( L 2 =5%). Influênci do comprimento e form d fend A Tbel II present os tmnhos óptimos dos elementos de frente de fend pr s qutro fends presentds n Figur 10. A influênci do comprimento de fend pode ser estudd comprndo os resultdos obtidos pr s fends em qurto de círculo. Pode verse que o tmnho óptimo dos elementos interiores é independente do tmnho de fend L 1,i = 10 12, 5 %. Os elementos d superfície devem ser mis pequenos porque singulridde é diferente de r 0,5 junto àsuperfície. Porém, pr fends em qurto de círculo importânci de L 1,s é pequen qundo comprd com importânci de L 1,i. Nykännen 24 nlisou um fend superficil (tridimensionl) sujeit modo I de crregmento, tendo verificdo que o vlor óptimo de L 1 vriv de 12,5 27,5 % (onde L 1 é dimensão dos elementos singulres o longo d frente de fend). A influênci d form de fend pode ser estudd comprndo s fends 2 e 3, que têm tmnhos semelhntes ms forms diferentes. O tmnho óptimo dos elementos singulres interiores éomesmo,oqueeresperdoumvezqueoefeitodetúnel estáloclizdopróximo d superfície. Contudo, o tmnho óptimo de L 1,s reduz-secomoefeitodetúnel, o que está relciondo com vrição d singulridde próximo d superfície e com s dificulddes de simulção experimentds pelos elementos singulres. O efeito de L 1,s torn-se dominnte sobre influênci de L 1,i (embor extensão d região superficil considerd sej menor), sendo o principl responsável pel influênci de L 1 qundo é considerd um distribuição uniforme de elementos o longo d frente de fend. Isto explic redução de L 1op, vlor óptimo de L 1,comoefeitodetúnel. Assim, dependendo d form d fend, L 1,s pode ser muito importnte n precisão do MEF. A fend não circulr nlisd épensum exemplo de fends com o efeito de túnel. Pr fends com forms diferentes esper-se um desempenho diferente do MEF, um vez que singulridde superficil vri com form d fend. Influênci do tmnho rdil d mlh em tei de rnh Os resultdos presentdos n Tbel II form obtidos fixndo o tmnho rdil totl d mlh em tei de rnh, isto é, L 1 + L 2 + L 3. O crescimento de L 1 foi compensdo pelo decréscimo de L 3, sendo L 2 constnte. Se L 3 tmbém for mntido constnte, o incremento de L 1 ument o tmnho rdil totl d mlh em tei de rnh. Est situção pode ser estudd n Figur 15, que present resultdos pr um fend circulr com 3 mm de

14 330 F.V. Antunes, N. Rilo, J. M. Ferreir y C.M. Brnco rio (fend 2 d Figur 10). Pode ver-se que influênci de L 1 é muito mis importnte qundo o tmnho rdil totl d mlh em tei de rnh é fectdo. Isto indic que este tmnho influenci precisão d nálise pelo MEF. Fend L 1op L 1,iop Fend em qurto de círculo de 5 mm (fend 1) 10 % L 1,sop Fend em qurto de círculo de 3 mm (fend 2) 10 12,5 % 10 12,5 % 5% Fend com efeito de túnel (fend 3) 5% 10 % 2,5 % Fend em qurto de círculo de 1 mm (fend 4) 10 12,5 % 10 12,5 % 5% Tbl II. Tmnhos rdiis óptimos dos elementos d frente de fend Figur 15. Influênci do tmnho rdil d mlh em tei de rnh pr um fend em qurto de círculo com 3 mm de rio A Tbel III present os tmnhos óptimos dos elementos de frente de fend, obtidos qundovrição de L 1 lter o tmnho d mlh em tei de rnh, e ssim o tmnho dos elementos finitos n mlh de trnsição. Um comprção com Tbel II mostr que os vlores óptimos são clrmente miores, especilmente pr fends com um pequeno comprimento, o que indic que mlh de trnsição tem dificulddes n simulção dos cmpos de tensões. O incremento do tmnho d mlh em tei de rnh melhor precisão porque reduz o tmnho dos elementos finitos n região de trnsição. Assim, os vlores indicdos n Tbel III são vlores óptimos flsos pr dimensão rdil dos elementosdefrentedefend,porquenão estão relciondos com simulção dequd dos cmpos singulres. Os vlores vrim significtivmente com o comprimento de fend, porque s dificulddes de simulção n mlh de trnsição tmbém vrim. A fend r =1 mm é mis fectd porque tem elementos finitos miores n mlh de trnsição. Pr r = 3 mm, dificuldde de simulção for d mlh em tei de rnh ind existe, como se pode ver n Figur 15, ms é menos importnte do que pr r = 1 mm. Estes resultdos sugerem que mlh de trnsição deveri ter sido refind.

15 Análise liner elástic por elementos finitos 3D de um corpo com fend 331 Fend L 1op L 1,iop L 1,sop Fend em qurto de círculo de 5 mm (fend 1) 10 % Fend em qurto de círculo de 3 mm (fend 2) 30 % 30 % 5% Fend com efeito de túnel (fend 3) 7,5 % 22,5 % 2,5 % Fend em qurto de círculo de 1 mm (fend 4) > 40 % > 35 % 5% Tbl III. Tmnhos rdiis óptimos de elementos de frente de fend, pr tmnho vriável d mlh em tei de rnh Análise nterior é essencilmente qulittiv. Em termos quntittivos, são obtids pequens vrições de W E pr um lrg gm de dimensões dos elementos finitos, o que indic um bo precisão. Por exemplo, pr fend com efeito de túnel (fend 3 n Figur 10), vrição máxim obtid com elementos de frente de fend vrindo de 1 25 % do comprimento de fend, édepens0,014%. Estboprecisão é explicd pel loclizção remot, em relção à frente de fend, dos nós envolvidos no cálculo de W E. Esper-se que precisão do MEF diminu com proximção à frente de fend. CONCLUSÕES Os elementos isoprmétricos singulres revelrm-se dequdos pr serem usdos n frente d fend. De fcto, estes elementos simulm singulridde r 0,5, que é singulridde observd em pontos interiores d frente de fend. O elemento pentédrico singulr com 15 nós dá bons resultdos e é recomendável. O uso de elementos singulres isoprmétricos é muito interessnte, um vez que o efeito pretendido é conseguido pel simples mudnç d posição de nós em elementos normis, sem necessidde de introduzir elementos especiis de pont d fend. No provete CC estuddo, form identificds três zons crítics onde o MEF tem dificulddes de simulção dos cmpos: -próximo de pontos interiores d frente de fend, onde singulridde é r 0,5 ; -próximo d superfície, porque singulridde éemgerldiferenteder 0,5 e ssim os elementos singulres não são dequdos; - n mlh de trnsição, porque ns fends com um comprimento pequeno os elementos finitos são muito grndes. Amlhóptim é quel que dá melhor respost ests dificulddes. Est mlh óptim depende d form d fend, porque est influenci singulridde junto os pontos do cnto. Depende tmbém do comprimento d fend, porque este influenci dimensão dos elementos n mlh de trnsição. Pr fends em qurto de círculo com r = 1 mm, influênci d mlh de trnsição é dominnte em relção à influênci do tmnho dos elementos d frente de fend. Um vez que mlh óptim édependentedformedo comprimento de fend, não se consegue definir um mlh óptim universl. Contudo, podem-se definir vários spectos d mlh. Assim, deve ser utilizd um mlh não uniforme o longo d frente de fend, com elementos mis pequenos próximodsuperfície L 1,s = 25%,porqueí singulridde é em gerl diferente d singulridde simuld pelos elementos singulres. As dificulddes de simulção próximo d superfície, e consequentemente importânci de L 1,s, dependem d form d fend, umentndo com o efeito de túnel. Os elementos singulres interiores devem ser miores ( L 1,i 10 12, 5%). Pr

16 332 F.V. Antunes, N. Rilo, J. M. Ferreir y C.M. Brnco fends com comprimento pequeno (r 3 mm), mlh em tei de rnh deve ser lrg, pr reduzir dimensão dos elementos n região de trnsição. Form obtidos vlores bstnte exctos de W E pr um lrg gm d dimensão rdil dos elementos singulres. Est bo precisão é explicd pel posição remot dos nós envolvidos no cálculo de W E reltivmente à frente de fend, onde o desempenho do MEF émisfrco. NOMENCLATURA CC CSE E MEF K L 1, L 2, L 3 L 1,i, L 2,i, L 3,i L 1,s, L 2,s, L 3,s PE PSE r s W W E α β λ σ ν profundidde de fend fend de cnto (provete) elemento singulr colpsdo módulo de Young método dos elementos finitos fctor de intensidde de tensão dimensões rdiis dos elementos singulres dimensões rdiis dos elementos interiores dimensões rdiis dos elementos próximos d superfície elemento pentédrico elemento pentédrico Singulr dimensão rdil d região singulr lrgur d secção trnsversl qudrd do provete CC trblho ds forçs externs posição ngulr o longo d frente de fend ngulo de intercepção fend/superfície ordem de singulridde de tensões junto às superfícies livres tensão remot coeficiente de Poisson REFERÊNCIAS 1 W.X. Zhu, Singulr stress field of three-dimensionl crck, Eng. Frcture Mechnics, Vol. 36, N 2, pp , (1990). 2 J.P. Benthem, Stte of stress t the vertex of qurter-infinite crck in hlf-spce, Int. Journl of Solids nd Structures, Vol. 13, pp , (1977). 3 J.P. Benthem, The qurter-infinite crck in hlf-spce: lterntive nd dditionl solutions, Int. Journl of Solids nd Structures, Vol. 16, pp , (1980). 4 Z.P. Bžnt e L.F. Estenssoro, Surfce singulrity nd crck propgtion, Int. Journl of Solids nd Structures, Vol. 15, pp , (1979). 5 A.Y.T. Leunge R.K.L. Su, Anlyticl solution for mode I crck orthogonl to free surfce, Int. Journl of Frcture, Vol. 76, pp , (1996). 6 X.M. Su e C.T. Sun, 3D singulr stresses in crcked plte, Proc. of 9th Int. Conference on Frcture (ICF9), Sydney, Austrli, Advnces in Frcture Reserch, B.L. Krihloo et l. (eds.), 1 5 April, (1997). 7 R.W.J. Koers, Use of modified stndrd 20-node isoprmetric brick elements for representing stress/strin fields t crck tip for elstic nd perfectly plstic mteril, Int. Journl of Frcture, Vol. 40, pp , (1989).

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