UMA ALTERNATIVA PARA O CÁLCULO DO VAR RELATIVO

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1 I I S E M E A T R A A L H O I E N T Í F I O F I N A N Ç A S UMA ALTERNATIA PARA O ÁLULO O AR RELATIO Auores: arlos Aoio ueo Rayudo ouor e egeharia elérica pela POLI/USP; ailo Lopoo eeo, bacharel e adiisração de epresas pela FEA/USP: Alaeda Jaú 320, Residecial, Alphaville, Saaa de Paraíba, , dailobeeo@yahoo.co Resuo: A fi de que se exerça aior e elhor corole sobre o ivesieo realizado, couee adoa-se u ídice de referêcia, deoiado bechar, coparaivaee ao qual o desepeho auferido pelo gesor ou ivesidor será aalisado. Sob ese prisa, e eros de esuração e corole de riscos, o risco relaivo ou ar Relaivo do porfolio passa a ser as edidas esaísicas ais apropriadas para auxílio à gesão, e coraposição ao ar Absoluo. E se raado do ar Relaivo, a eodologia radicioal para obeção do eso, via ariz de variâcia-covariâcia, sofre as esas críicas iposas ao cálculo do ar Absoluo, sedo a pricipal delas a esiação das correlações ere os aivos quado a quaidade dos esos ora-se uio elevada. Focado-se o ercado de reda fixa e adoado-se o IRF-M coo ídice de referêcia, deriva-se ua expressão para a obeção do ar Relaivo aravés do uso do coceio de duraio, siplificado-se sobreaeira o processo de cálculo. eosra-se que o ar Relaivo pode ser expresso coo ua cobiação liear da duraio do porfolio e do bechar adoado. Observa-se, ereao, que o odelo proposo fica exposo às críicas eergidas quado do uso da duraio, sedo a pricipal o fao de cosiderar paralelos os ovieos a curva de juros, o que poderá subesiar o ar Relaivo quado a covexidade dos íulos e quesão for ala. Palavra chave: var, var-relaivo, duraio.

2 Ua aleraiva para o cálculo do ar Relaivo Irodução Ua das quesões priárias, seão a essecial, o processo de ivesieo, referese aos objeivos que o eso deve aigir. iscue-se acerca de perfil de risco, expecaiva de reoro, prazo, legislação e ouros dealhes ierees ao processo de aplicação de capial o ercado fiaceiro. Para fis de corole e avaliação de gesão, escolhe-se u referecial, coparaivaee ao qual será edido o desepeho do ivesieo. Tal referecial pode ser u ídice, u aivo ou ua careira, de odo que suas caracerísicas de risco e expecaiva de reoro seja copaíveis co as cosiderações realizadas quado da escolha do ivesieo. No ercado fiaceiro, ese referecial é abé cohecido coo bechar. Quado da escolha do bechar, a posura a ser adoada pelo ivesidor se resrige a dois ipos: gesão aiva ou gesão passiva. Segudo Gasieau & Kriza (999:29,298) gesor aivo é o geree de careira que exerce papel aivo a seleção de íulos e o gereciaeo de risco... ao passo que o gesor passivo é o gesor de aivos que os ivese e careiras de ídice ou cesas ão-adiisradas de valores obiliários e ouros isrueos, se ear selecioar íulos isolados. asicaee, pode-se dizer que a gesão passiva ocorre quado o ivesieo é adiisrado de fora a replicar o desepeho do bechar; a gesão aiva, quado se quer superá-lo. Traado efeivaee da gesão passiva, o desepeho do ivesieo é apeas próxio, e ão idêico, àquele cosiderado coo bechar. Não sedo idêico ao bechar, as apeas possuido caracerísicas que os aproxia, a seguie quesão se faz ecessária sobre o ivesieo realizado: se os reoros são siilares, o que pode ser dio e relação ao poecial de perda de al ivesieo coparaivaee ao bechar? Face a al pergua, e-se o coceio de Relaive Ris, referido-se o eso, segudo Gasieau & Kriza (999:333), a volailidade ou variâcia do reoro de u aivo, edida de acordo co o reoro de u referecial, ão coo a volailidade absolua do aivo. Aida versado sobre a esa quesão, o RisMerics Maual 2 apresea o coceio de Relaive ar, ou ar Relaivo, idéia ceral a ser explorada adiae. Nese coexo, o objeivo do presee arigo é deosrar, o ercado de reda fixa, sedo o bechar aqui cosiderado o ídice IRF-M, ua eodologia de obeção do ar Relaivo aravés da duraio, e coraposição a uilização da ariz de variâciacovariâcia, siplificado de fora sigificaiva o processo de cálculo. Sedo assi, o arigo será coo segue: iicialee, será abordado o coceio de ar Relaivo, deosrado-se, e lihas gerais, a eodologia de cálculo origialee proposa o RMM. Na seguda seção, discorre-se sobre a eodologia de cálculo proposa, uilizado-se do coceio de duraio, e sobre os argueos aeáicos uilizados. Fialee, a erceira e úlia seção raa da coclusão e coeários gerais. A eos que o bechar, sedo ese u aivo ou ua careira de valores obiliários, possa ser adquirido e adiisrado se que haja cusos de adiisração e rasação, o que pode ser cosiderado algo hipoéico. 2 A ser raado, o presee arigo, pela sigla RMM.

3 . ar Relaivo ofore ciado aerioree, o coceio de ar Relaivo foi origialee proposo o RMM. Tal edida foi cocebida e fução de diversos ivesidores e adiisradores de aivos focare ão o risco absoluo de suas posições as si a probabilidade e agiude e que ão alcaçaria o desepeho do bechar adoado. Sedo assi, cofore o próprio RMM, a esaísica ais apropriada para esuração e corole do risco seria ão o ar da careira de ivesieo as si o ar da esa e relação ao bechar. A idéia é, cosiuido-se ua ova careira coposa da difereça ere a posição do ivesidor e aquela represeaiva do bechar, aplicar a eodologia de cálculo sugerida pelo RMM para a obeção do ar. Segudo Jorio (999:209), a fórula a ser uilizada para o cálculo do ar Relaivo é a seguie: = α 0 X 0 () ar Relaivo ( X X ) Σ( X ) ode: α = Iverso da disribuição cuulaiva oral padrão; X = eor de posições da careira de ivesieo; X 0 = eor de posições do bechar; Σ = Mariz de variâcia-covariâcia dos aivos. ada a esa eodologia de cálculo, as esas críicas ao processo de obeção do ar via ariz de variâcia-covariâcia são iposas ao ar Relaivo, quais seja: A quaidade de correlações a sere calculadas auea geoericaee co a quaidade de aivos, orado ais coplexa a esiação da ariz de variâciacovariâcia; O ar obido pode ão ser posiivo; e As correlações pode ser esiadas de aeira iprecisa. A exisêcia de odelos que perie siplificar a ariz de variâciacovariâcia, coo o odelo diagoal e o de faores 3, a despeio de siplificare e reduzire a quaidade de cálculos ecessários, ora os resulados eos precisos, sedo ecessário balacear o gaho obido co al siplificação do processo e coraposição à perda de acurácia da edida obida. Idealee, porao, a elhor aleraiva seria u odelo que, aedo-se preciso, ão fosse rabalhoso. A próxia seção, se objeivar esgoar o assuo as si propor ua ova eodologia, irá apresear os argueos aeáicos para a obeção do ar Relaivo aravés da duraio, de odo a alcaçar os esos resulados obidos via ariz de variâcia-covariâcia, reduzido-se sobreaeira os cálculos ecessários para al. 3 iado e Jorio (999:54).

4 2. Obeção do ar Relaivo via duraio oceiualee, a derivação da fórula para obeção do ar Relaivo via duraio segue os esos pricípios adoados o RMM. osiderado-se duas careiras 4, seja o valor presee do ídice ou porfolio uilizado coo referêcia (bechar, por hipóese o IRF-M) e o valor presee da careira do ivesidor, a qual esá refereciada e. Teos eão que: = = + (2) = R = + (3) ode: = Fluxo fiaceiro do íulo a daa ; R = Fluxo fiaceiro do íulo R a daa ; y = Taxa de juros. Supodo < 5, eos que e, respecivaee. Assi:, sedo e as duraios odificadas de = + = + (4) (5) sedo e as duraios de Macaulay 6. 4 Por hipóese, se coproeieo dos resulados obidos, assue-se que abas as careiras seja coposas de u úico íulo. 5 Sedo o IRF-M, al afiração seria iválida se e soee odos os íulos federais co redieo prefixado e poder do público perecesse a u úico ivesidor, o que, de fao, ão ocorre. 6 efiida por Macaulay, e 938, coo a soa poderada dos vecieos de cada pagaeo de u íulo do govero, cujas poderações são proporcioais ao valor presee do fluxo de caixa, iso é: = T T = = ( + y) ( + y).

5 Seguido-se a esa lógica do RMM, crieos eão ua erceira careira, P, dada pela difereça ere a careira cosiderada e o ídice e relação ao qual a esa esá refereciada, ou seja: P = (6) por: Pode-se deosrar que a variação relaiva de P e relação a axa de juros y é dada = R + + ( + y) ( + y) = = + (7) Aida: = = + ( + y) = ( + y) R + (8) Muliplicado-se o úlio ero de (8) por = = R + ( + y) = ( + y) e-se: + = = R + ( + y) = ( + y) + (9) e fao: ( + y) = + ( ) ( ) = = = = + y + y = ( ) ( + y) ( + y) + y = e: ( + y) R R = + ( ) ( ) = = = = + y + y = ( ) ( + y) ( + y) R + y = (0) () Subsiuido (0) e () e (9) eos: = (2)

6 A equação (2) os diz que, e eros perceuais, a variação do porfolio criado P sobre o ídice de referêcia pode ser expressa coo ua cobiação liear das duraios odificadas das careiras e, exposas aerioree. Para oberos o ar Relaivo, basa calcularos o desvio-padrãao dos reoros do porfolio P e relação ao ídice, ou seja, deveos ecorar o desvio-padrão da expressão idicada e (2). Teos que a variâcia de al expressão é dada por: 2 σ = σ Porao: 2 2 ( ) σ ( ) ar Relaivo = σ = σ ( ) (3) Ua vez que a duraio de ua careira coposa por N íulos é a édia poderada das duraios idividuais de cada u dos íulos que a iegra, a exesão das expressões acia ora-se iediaa, periido que o eso resulado seja obido para careiras coposas por ais de u íulo, coo queríaos deosrar. 3. oclusões No ocae a gesão de riscos, quado o objeivo do ivesieo é ober u desepeho siilar a u ídice de referêcia, o ar absoluo da careira coposa pelo ivesidor deixa de ser a edida esaísica ais apropriada para esuração do risco. Para ese fi, ouras iforações passa a ser úeis, coo o risco relaivo ou o ar Relaivo da careira e relação ao bechar adoado. Focado o coceio de ar Relaivo, viu-se que o eso, calculado aravés da eodologia padrão, sofre as esas críicas iposas ao cálculo do ar absoluo, sedo ua delas a coplexidade da esiação da ariz de variâcia-covariâcia quado o úero de aivos da careira orase uio elevado. A expressão obida e (3) idica que odo ese processo pode ser siplificado, basado apeas que seja calculadas as duraios odificadas da careira do ivesidor e do ídice de referêcia adoado, alé da volailidade da variação da axa de juros, de fora que seja siilares os resulados obidos aravés de abas as eodologias. Ereao, e fução do uso do coceio de duraio, pode-se criicar o odelo da esa fora coo al coceio o é, pricipalee pelo fao de cosiderar paralelos os ovieos a curva de juros. Sedo elevada a covexidade dos íulos e quesão, o cálculo do ar Relaivo via duraio pode subesiar o risco e que se esá icorredo. Alé da discussão acerca da eodologia ais coveiee de cálculo do ar Relaivo, vale ressalar a iporâcia de ouras edidas e iforações que auxilie a gesão, coo o ar Margial ou Icreeal. essa fora, o risco pode ser decoposo e a careira elhor aalisada e relação ao ídice de referêcia. Noa-se que, de posse do ar Relaivo, ora-se siples a obeção de ais iforações. Sob a eodologia proposa, basaria que fosse recalculada a duraio

7 odificada, excluido (ou icluido) o aivo e quesão da careira e coparado-se o ovo valor obido para o ar Relaivo co o aerior. Assi, eríaos o ar Margial ou Icreeal do aivo cosiderado e relação ao bechar. 4. ibliografia GASTINEAU, Gary L., KRITZMAN, Mar P. icioário de Adiisração de Risco Fiaceiro. São Paulo: MF rasil, 999 (Trad. olsa de Mercadorias e Fuuros). JORION, Philippe. alue a Ris: A Nova Foe de Referêcia para o orole do Risco de Mercado. São Paulo: MF rasil, 998 (Trad. olsa de Mercadorias e Fuuros). MINA, Jorge, XIAO, Jerry Y. Reur o RisMerics: The Evoluio of a Sadard. New Yor: J. P. Morga a, 200