APRIMORAMENTO DE FORMULAÇÃO DO MEF PARA BARRA GERAL LAMINADA TRIDIMENSIONAL PELA CONSIDERAÇÃO DA CINEMÁTICA DE EMPENAMENTO PARA SEÇÃO QUALQUER

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS APRIMORAMENTO DE FORMULAÇÃO DO MEF PARA BARRA GERAL LAMINADA TRIDIMENSIONAL PELA CONSIDERAÇÃO DA CINEMÁTICA DE EMPENAMENTO PARA SEÇÃO QUALQUER ANA PAULA FERREIRA SANTOS Dissrtação aprsntada à Escola d Engnharia d São Carlos, da Univrsidad d São Paulo, como part dos rquisitos para obtnção do Título d Mstr m Engnharia d Estruturas. ORIENTADOR: Prof. Assoc. Humbrto Brvs Coda CO-ORIENTADOR: Dr. Sc. Rodrigo Ribiro Paccola São Carlos 8

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5 DEDICATÓRIA À vovó Maria Frrira d Olivira, com carinho, por todo o su amor.

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7 AGRADECIMENTOS Agradço a Dus pla prsnça constant m minha vida, suprindo smpr todas as minhas ncssidads guiando-m plos Sus Caminhos. À minha mã, Abnair Frrira d Olivira, por sr uma pssoa sábia m toda a sua simplicidad, contribuindo para qu u chgass à ralização dst trabalho. A toda à minha família qu smpr participa do mu dsnvolvimnto, tios, tias primos, qu foram além dos sus papéis sndo para mim pais, mãs irmãos, rspctivamnt. Cada um dls sab a grand importância qu têm na minha vida o privilégio d srm numrosos impossibilitam citar sus noms aqui, vitando o risco d injustiças. Ao Padr Luiz Silva plas dificants convrsas ao longo dsss vint anos d amizad. E aos quridos amigos Danila, Danill, Danilla, Isabl, Juliana, Marcllo, Patrícia, Rnato, às suas rspctivas famílias pla prciosa amizad. Ao mu namorado, Baardo, por transformar sss dois anos m momntos ainda mais spciais, com a sua prsnça ncantadora. Aos stimados Profssors da graduação Antonio Paulo Mnds, Edson Tjrina Caldrón Elias Calito Carrijo plos mplos d ddicação, profissionalismo conduta moral. Ao Profssor João Batista d Paiva plos nsinamntos, por toda atnção, paciência motivação. E pla prsnça na comissão aminadora dsta dissrtação, nriqucndo-a com a sua rspitávl priência. Ao orintador dst trabalho, Profssor Humbrto Brvs Coda, pla oportunidad plo ficint acompanhamnto dst trabalho inclusiv no príodo do su pós-doutorado na Univrsidad d Cambridg.

8 Ao co-orintador dst trabalho, Dr. Sc. Rodrigo Ribiro Paccola, pla ficaz co-orintação, além da colaboração na disciplina d lmntos finitos. Ao profssor Carlito Calil Junior pla manifstação ncssária no momnto da solicitação da bolsa à FAPESP. Aos Profssors José Elias Lair Wilson Srgio Vnturini, porqu além dos conhcimntos transmitidos nas disciplinas, rsponsabilizaram-s pla minha orintação na ausência do Prof. Coda. Aos Profssors Dagobrto Dario Mori, Jorg Munaiar Nto, José Samul Giongo, Marcio Antonio Ramalho, Maimiliano Malit Srgio Prsival Baroncini Pronça pla boa vontad m disponibilizar matrial sclarcr dúvidas rfrnts a st trabalho. Ao Profssor Libânio Miranda Pinhiro, porqu foi o primiro contato com o SET por sr smpr simpático atncioso com todas as pssoas. A todos os profssors funcionários qu contribuíram dirta ou indirtamnt para o dsnvolvimnto dst trabalho. Espcialmnt a todo o pssoal do laboratório d informática da scrtaria do dpartamnto d Engnharia d Estruturas pla paciência disposição ao atndr. E aos funcionários da bibliotca da EESC plas orintaçõs. Aos amigos do SET, spcialmnt ao Rodolfo Sanchs ao Rogério Carrazdo qu colaboraram para o mu dsnvolvimnto m programação computacional. E ao Eduardo Lima Junior, à Érica Kimura, ao Raimundo Amorim ao Waltr Olivira pla rprsntação discnt. Ao admirávl Prof. Aloisio Ernsto Assan pla prsnça na comissão aminadora dst trabalho, nriqucndo-o com o su conhcimnto cintífico. À Fundação d Amparo à Psquisa do Estado d São Paulo, FAPESP, plo financiamnto dsta psquisa.

9 S você quisr, mu filho, ficará instruído s você s mpnhar, s tornará hábil. S você gosta d scutar, aprndrá; s dr ouvido, s tornará sábio. Frqünt a runião dos anciãos apgu-s a qum for sábio. Escut d boa vontad toda palavra divina, não s dscuid das máimas sábias. S você ncontrar um homm sábio, madrugu para visitá-lo, qu su pé gast a solira da porta dl. Rflita sobr os prcitos do Snhor mdit sm cssar nos mandamntos Dl. Então El fortificará m você a intligência, o su dsjo d sabdoria ficará saciado. Eclsiástico 6: 3-37

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11 RESUMO SANTOS, A. P. F. (8). Aprimoramnto d formulação do MEF para barra gral laminada tridimnsional pla considração da cinmática d mpnamnto para sção qualqur. Dissrtação (Mstrado) - Escola d Engnharia d São Carlos, Univrsidad d São Paulo, São Paulo, 8. O prsnt trabalho consist no aprimoramnto d formulação do Método dos Elmntos Finitos (MEF) para barra gral laminada tridimnsional pla considração da cinmática d mpnamnto para sção qualqur. Dsnvolv-s um código computacional para s solucionar o mpnamnto, considrando-s uma drivada do giro m rlação ao io longitudinal d valor unitário, do problma d torção livr d Saint-Vnant para uma sção transvrsal d gomtria qualqur, homogêna não-homogêna. Postriormnt o código dsnvolvido é adaptado d forma a sr acoplado a um programa com formulação d barra gral tridimnsional laminada, qu sgu a cinmática d Rissnr-Timoshno gnralizada, nriqucndo-o com a considração do mpnamnto. A primira contribuição significativa do dsnvolvimnto do trabalho é a inclusão d gomtrias quaisqur para a sção transvrsal, possibilitando, por mplo, a considração d núclos struturais mistos m difícios, abrtos fchados por trchos. A sgunda contribuição é rfrnt à considração d matrial laminado, possibilitando considrar núclos struturais d matriais compostos. Emplos grais são rsolvidos para a vrificação validação da formulação proposta implmntada. Palavras Chavs: Elmntos Finitos; Empnamnto; Barras grais; Laminados.

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13 ABSTRACT SANTOS, A. P. F. (8). An Improvd Finit Elmnt formulation for th analsis of gnral thr-dimnsional laminatd bars with considration of warping for an crosssction. Dissrtation (Mastr) - Escola d Engnharia d São Carlos, Univrsidad d São Paulo, São Paulo, 8. In th prsnt wor an improvd Finit Elmnt formulation for th analsis of thrdimnsional laminatd bars is prsntd. Th improvmnt is mad b introducing th warping mod into th prvious modl that follows a gnral Rissnr-Timoshno inmatics hpotsis. In ordr to do so, a two-dimnsional cod is dvlopd, basd on Saint Vnant s Torsion Problm; to find th warping mod for an considrd cross-sction, including non-homognous matrial. Each warping mod is achivd for unitar rotation b unit of lngth. This warping mod is wightd b a nw paramtr, th intnsit of warping, and thn addd to th Rissnr-Timoshno inmatics, rsulting into th nhancd formulation. Th istnt computational cod is modifid accordingl to this nw inmatics and tstd rgarding its capacit of rproducing analtical rsults for Saint-Vnant torsion and Vlasov bnding-torsion thoris. Som rsults for laminatd cross sctions ar also providd. It is worth strssing that th main contributions of this wor ar two. Th first is th considration of warping for gnral 3D bars with an cross sction, i.., not limitd to thinwalld cross sctions. Th scond is th considration of laminatd matrials for an cross sction. Kwords: Finit Elmnts; Warping; Gnral Bars; Laminatd.

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15 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...7. RESUMO HISTÓRICO TORÇÃO UNIFORME..... TORÇÃO NÃO UNIFORME MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS.... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA OBJETIVOS ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO METODOLOGIA OPERACIONAL JUSTIFICATIVA SOFTWARES UTILIZADOS DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS DA DISSERTAÇÃO...7 TORÇÃO LIVRE DE SAINT VENANT PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS INTRODUÇÃO PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS MOMENTO ESTÁTICO E CENTRÓIDE DE UMA ÁREA MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA E RAIO DE GIRAÇÃO PRODUTO DE INÉRCIA ROTAÇÃO DE EIXOS E EIXOS PRINCIPAIS TORÇÃO LIVRE DE SAINT VENANT CINEMÁTICA PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO (RESUMO E NOTAÇÃO INDICIAL) MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO EM FORMA FRACA PELA APLICAÇÃO DE RESÍDUOS PONDERADOS DISCRETIZAÇÃO DO DOMÍNIO Elmnto finito triangular linar Elmnto finito triangular quadrático EQUAÇÕES DISCRETAS CENTRO DE CISALHAMENTO INTEGRAÇÃO NUMÉRICA IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL... 93

16 3 EXEMPLOS DE TORÇÃO LIVRE EMPENAMENTO INTRODUÇÃO SEÇÃO TRANSVERSAL HOMOGÊNEA FECHADA Elíptica Circular Triangular Rtangular Quadrada ABERTAS E PAREDES DELGADAS Anális d convrgência Prfil Z nrijcido a Prfil U simpls Prfil I SEÇÃO NÃO HOMOGÊNEA PERFIL U LAMINADO CONCRETO ARMADO ESTRUTUTRAS DE AERONAVES Emplo Emplo Emplo Emplo ENRIQUECIMENTO DA CINEMÁTICA DO ELEMENTO DE BARRA GERAL INTRODUÇÃO CINEMÁTICA ORIGINAL E ENRIQUECIMENTO PROPOSTO APROXIMAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS EXEMPLOS DO ELEMENTO DE BARRA GERAL INTRODUÇÃO EXEMPLOS DE FLEXO TORÇÃO EXEMPLO Toria Técnica Rsultados obtidos pla formulação do prsnt trabalho Rsultados ao longo do comprimnto da barra EXEMPLO Toria Técnica Rsultados obtidos pla formulação do prsnt trabalho Rsultados ao longo do comprimnto da barra CONCLUSÃO EXEMPLOS DE NÚCLEOS ESTRUTURAIS SEÇÃO TRANSVERSAL ABERTA SEÇÕES TRANSVERSAIS COM GEOMETRIAS QUAISQUER MATERIAIS COMPOSTOS CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS... 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 7

17 Capítulo INTRODUÇÃO. DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS DA DISSERTAÇÃO Esta dissrtação é composta por sis capítulos, nos quais s põ d forma dtalhada o trabalho dsnvolvido durant st mstrado acadêmico. Aprsntam-s rsumidamnt os tópicos abordados na prsnt dissrtação, d forma qu o litor tnha uma idéia prévia do qu srá posto nos próimos capítulos. Capítulo : INTRODUÇÃO. É o capítulo atual. Após a dscrição dos capítulos da dissrtação aprsnta-s um brv histórico da toria da torção livr d Saint-Vnant. Comnta-s também sobr a origm da toria d flo-torção atribuída à Vlasov. Aborda-s rsumidamnt o dsnvolvimnto inicial do Método dos Elmntos Finitos (MEF), qu é o método numérico utilizado para a implmntação computacional da formulação posta no prsnt trabalho. Alguns trabalhos importants no dsnvolvimnto da toria d barra gral submtida à flo-torção srão citados. Aprsntam-s também os objtivos, organização, mtodologia

18 8 Capítulo : Introdução justificativas para st trabalho. Finalmnt listam-s os programas utilizados na laboração dst trabalho. Capítulo : TORÇÃO LIVRE DE SAINT-VENANT PELO MEF. Eplana-s a cinmática d mpnamnto studada implmntada computacionalmnt. Rfr-s à toria da torção livr d Saint-Vnant plo Método dos Elmntos Finitos. Capítulo 3: EXEMPLOS DE TORÇÃO LIVRE DE SAIN-VENANT. Aprsntam-s rsultados d mplos obtidos pla cinmática dscrita no Capítulo, qu são validados através da comparação com valors forncidos por análiss ftuadas por outros autors, possibilitando a avaliação da ficiência computacional da cinmática implmntada dscrita no capítulo antrior. Além d mplos d sçõs homogênas, aprsntam-s outros, cujas sçõs são não-homogênas. Capítulo 4: CINEMÁTICA ENRIQUECIDA DO ELEMENTO DE BARRA GERAL. Trata-s da dscrição do acoplamnto da cinmática dsnvolvida no Capítulo ao programa com formulação d barra gral tridimnsional laminada, dsnvolvido m PACCOLA (4); Capítulo 5: EXEMPLOS DO ELEMENTO DE BARRA GERAL. Epõm-s os rsultados obtidos através do programa dsnvolvido m PACCOLA (4), após acoplamnto do código computacional dsnvolvido no prsnt trabalho, dscrito no Capítulo. Aprsntam-s mplos d flo-torção, núclos struturais nãolaminados laminados. Os rsultados são validados através da comparação com a toria técnica. Adota-s um mplo cujo rsultado é comparado com o programa ANSYS. Dpois d confirmada a ficiência do prsnt trabalho, sugr-s qu outros autors qu s intrssm por st assunto, comparm sus futuros trabalhos com o mplo d núclo strutural d concrto armado aprsntado no final do Capítulo 5.

19 Capítulo : Introdução 9 Capítulo 6: CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS. Discutm-s as conclusõs rlativas ao prsnt trabalho, d acordo com os objtivos propostos inicialmnt os rsultados alcançados. Também s sugr tópicos para os dsnvolvimntos futuros, rlacionados com o tma abordado nst trabalho; Após os capítulos dsta dissrtação listam-s as fonts consultadas, m ordm alfabética, para a laboração dsta dissrtação m REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, trata-s d um lvantamnto bibliográfico sobr o tma abordado no prsnt trabalho com l rlacionado, sugrindo-s ao litor obras para um aprofundamnto maior dst assunto.. RESUMO HISTÓRICO O prsnt trabalho ngloba a toria d torção livr d Saint-Vnant ou torção uniform, qu foi o fundamnto para o dsnvolvimnto do código computacional bidimnsional rfrnt à sua primira part, o qual tm como rsultado o mpnamnto (dslocamnto na dirção longitudinal) para qualqur sção transvrsal, homogêna não homogêna, d uma barra com io longitudinal unitário. Após o acoplamnto ao programa com formulação d barra gral tridimnsional laminada, st trabalho passa a justificar-s nas hipótss da flo-torção d Vlasov, qu considra a torção não uniform.

20 Capítulo : Introdução Portanto aprsnta-s um brv histórico do dsnvolvimnto do problma d torção uniform não uniform. E também do Método dos Elmntos Finitos (MEF), qu é o método numérico scolhido para o dsnvolvimnto do prsnt trabalho... TORÇÃO UNIFORME O problma da torção uniform, também é conhcido como torção livr d Saint- Vnant. Trata-s do problma m qu uma barra prismática d sção transvrsal constant é submtida a um conjugado d momntos torçors m suas trmidads, ond o mpnamnto das sçõs transvrsais ocorr livrmnt não varia ao longo da barra. C. A. Coulomb (736-86) nascu m Angoulêm. Estudou m Paris ntrou para o corpo militar d ngnhiros. El foi nviado para a ilha d Martiniqu, ond durant nov anos, studou as propridads mcânicas dos matriais divrsos problmas d ngnharia strutural. A primira tntativa d s solucionar problmas d torção m pças homogênas d sção circular foi fita por Charls Augustin Coulomb m 784. O problma da torção foi studado postriormnt por Louis Mari Navir, m 864, qu adotou hipótss qu lvavam a rsultados rrônos. O dsnvolvimnto da toria d torção m barra com sção gnérica dv-s a Barré d Saint-Vnant, qu m 855 aprsntou sua famosa mmória sobr torção à Acadmia Francsa d Ciências, com a solução corrta para a torção d barras prismáticas. Ludwig Prandtl, m 93, aprsntou uma formulação matmática para a solução d problmas d torção utilizando a analogia da mmbrana. Est modlo stablc rlaçõs

21 Capítulo : Introdução particulars ntr a suprfíci dformada d uma mmbrana sob carrgamnto uniformmnt distribuído, a distribuição d tnsõs m sçõs submtidas à torção... TORÇÃO NÃO-UNIFORME LIMA, GUARDA & PINHEIRO (7) afirmam qu m gral, os studos sobr torção dsconsidram a rstrição ao mpnamnto, como nas hipótss d Saint-Vnant, mas, na prática, as próprias rgiõs d apoio (pilars ou outras vigas) tornam praticamnt impossívis o livr mpnamnto. Como consqüência surgm tnsõs normais (d coação) no io da pça há crta rdistribuição da tnsão cisalhant. Ess fito pod sr dsconsidrado no dimnsionamnto das sçõs mais usuais d concrto armado (prfis maciços ou fchados, nos quais a rigidz à torção é alta), uma vz qu as tnsõs d coação tndm a cair bastant com a fissuração da pça o rstant passa a sr rsistido apnas plas armaduras mínimas. Assim, os princípios básicos d dimnsionamnto propostos para a torção clássica d Saint-Vnant continuam adquados, com crta aproimação, para várias situaçõs práticas. No caso d sçõs dlgadas, ntrtanto, a influência do mpnamnto pod sr considrávl, dvm sr utilizadas torias mais grais, como por mplo, as hipótss da flo-torção d Vlasov, para o dimnsionamnto.

22 Capítulo : Introdução Vasilii Zaharovich Vlasov nascu m 4 d fvriro d 96, na vila d Karvo, na antiga União Soviética. Em 93 ingrssou na Faculdad d Engnharia Civil d Moscou, m 953, foi lito mmbro da Acadmia d Ciências da União Soviética. V. Z. Vlasov ddicou toda a sua vida ao studo d lmntos struturais constituídos por pards dlgadas. Ests lmntos struturais são utilizados m struturas modrnas otimizadas, projtadas com um pso mínimo uma máima rigidz. São aplicados m cobrturas d difícios industriais, struturas d aronavs ou submarinos, foguts, tc. Os principais rsultados d suas invstigaçõs são ncontrados m VLASOV (94). A principal vrsão consultada sobr sta toria é a do livro Thin-walld Elastic Bams, d 96. VLASOV (96) dsnvolvu uma toria para barras com sção transvrsal abrta pards dlgadas, na qual é aprsntada a dfinição d bimomnto, qu é o sforço, mpnamnto qu é o dslocamnto...3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Os principais artigos qu dscrvm o dsnvolvimnto inicial do MEF, sgundo GRUPTA & MEEK (3), são: COURANT (94), ARGYRIS (955), TURNER t al. (956), CLOUGH (989, 96 96) ZIENKIEWICZ & CHEUNG (965). Em rsumo, os artigos d COURANT (94) mostram qu l utilizou o Princípio da Minimização da Enrgia Potncial intrpolação polinomial por lmntos, aplicados sobr sub-rgiõs triangulars, para rsolvr o problma da torção d Saint-Vnant.

23 Capítulo : Introdução 3 A séri d artigos com o título Enrg Thorms and Structural Analsis por ARGYRIS (955) é talvz um dos mais significants marcos da mcânica strutural d todos os tmpos. Esta publicação dsnvolv a toria matricial d struturas para lmntos discrtos mostra qu st é somnt um caso particular do contínuo gral m qu as tnsõs dformaçõs dvm sr spcificadas. Esta dscobrta conduz ao concito d flibilidad rigidz. Est método matricial torna-s a bas para a maioria das aplicaçõs d análiss d tnsõs do MEF. Rconhc-s qu o artigo d TURNER t al. (956) foi scrito sm o conhcimnto do trabalho d ARGYRIS (955). Els dsnvolvram indpndntmnt a toria para a rigidz d um lmnto triangular plano m stado d tnsão constant studou as caractrísticas da convrgência dst lmnto. CLOUGH (989) sboça o programa d psquisa mprndida na Boing Compan m para o cálculo dos coficints d flibilidad para a anális dinâmica d struturas d asa. Clough du crédito a Turnr pla criação do lmnto plano d tnsão triangular no stado d tnsão constant. Clough rfriu-s à primira invnção com o nom método dos lmntos finitos, mostrando a difrnça ntr anális contínua método matricial m anális strutural. A técnica da minimização do funcional, dscrita indirtamnt por COURANT (94), foi finalmnt gnralizada por ZIENKIEWICZ CHEUNG (965) abriu caminho para análiss grais plo MEF.

24 4 Capítulo : Introdução.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O Método dos Elmntos Finitos (MEF) é, sm dúvida, a frramnta numérica mais difundida adquada para o cálculo strutural da atualidad. Sua habilidad m modlar lmntos sólidos, d suprfíci (cascas placas) d linha (barras grais simpls) por um conjunto d quaçõs natural único dmonstra sua suprioridad quando comparado a outras técnicas, como por mplo, o Método dos Elmntos d Contorno (MEC) o Método das Difrnças Finitas (MDF). Para s obtr st conjunto d quaçõs algébricas, usualmnt s part do princípio da mínima nrgia potncial total qu pod sr prsso m divrsos formatos, como os aprsntados via Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), Cálculo das Variaçõs (CV), pla minimização difrncial dirta do potncial ou msmo pla técnica dos rsíduos pondrados (SORIANO (3), SAVASSI (), BATHE (996), REDDY (993), COOK (989), BREBBIA & FERRANTE (975) tc.). Sgundo ASSAN (3), o Método dos Rsíduos Pondrados o Método d Galrin difrm dos métodos ditos variacionais por não ncssitar da istência d um funcional, utilizando dirtamnt a quação difrncial (forma fort) do problma a sr rsolvido. Indpndntmnt do formato adotado, o ponto d partida para a construção do MEF é a aproimação do contínuo, dividido m subdomínios (lmntos finitos), através d parâmtros nodais d dslocabilidads (graus d librdad) d funçõs intrpoladoras (funçõs d forma). Elmntos d barra gral tridimnsional d matrial laminado, sguindo a cinmática gnralizada d REISSNER-STAVSKY (96), usualmnt chamada no caso d barras d

25 Capítulo : Introdução 5 Rissnr-Timoshno, possum como graus d librdad os dslocamntos giros nodais. A partir dsss valors nodais, dtrminam-s os dslocamntos para cada ponto do lmnto, sguindo a hipóts d Rissnr-Timoshno, ncontrando-s as dformaçõs, consqüntmnt, o potncial d nrgia d dformação. Associando-s st potncial ao trabalho das forças trnas, rsulta o potncial d nrgia total a solução do problma é calculada com a minimização dst último m rlação aos parâmtros nodais incógnitos. REISSNER-STAVSKY (96) studa struturas laminadas considrando os fitos do cisalhamnto na dformação. Considra matrial anisotrópico. A cinmática utilizada considra a rotação da sção transvrsal como parâmtro indpndnt da drivada do dslocamnto vrtical no ponto. D manira similar ao qu foi aprsntado para o lmnto d pórtico dsnvolvido m PACCOLA (), com bas nos trabalhos d MENEZES & DEVLOO () DEVLOO t al. (999), para o lmnto d placa quadrilatral com aproimação linar quadrática d variávis, PACCOLA (4) propõ o dsnvolvimnto d um lmnto d casca (folículos triangulars planos) com cinmática d laminados ou Rissnr gral d barra tridimnsional. MENEZES, PACCOLA & DEVLOO () tratam da formulação tórica d placas laminadas apoiadas sobr bas lástica. Adotam hipótss d Rissnr-Mindlin d placas spssas com cinmática d pqunos dslocamntos. Utiliza-s d técnicas d intgração rduzida para o cálculo das contribuiçõs dos sforços d cisalhamnto, mlhorando os rsultados do problma d nrijcimnto conhcido na litratura com o nom d fito d travamnto. A bas lástica é considrada sgundo as hipótss d Winlr sua contribuição na formulação é lvada m conta no cálculo do Princípio dos Trabalhos Virtuais.

26 6 Capítulo : Introdução É sabido, porém, qu sta cinmática d REISSNER-STAVSKY (96) quando aplicada a barras não prmit o mpnamnto das sçõs transvrsais tornando o lmnto d barra gral cssivamnt rígido à torção. Na litratura s ncontram divrsos trabalhos qu considram o mpnamnto na cinmática do lmnto d barra gral (não laminado). Esss trabalhos, m sua maioria, tratam d sçõs abrtas d pard fina aplicados na solução d núclos struturais d difícios altos. Sua primira vrsão numérica foi aprsntada por TARANATH (968) inspirado na toria proposta por VLASOV (96 94) ddicada clusivamnt para a solução d problmas d torção flo-torção d barras com sçõs abrtas d pard fina. Com o objtivo d rduzir drasticamnt o volum d dados d ntrada, para o caso spcífico d núclos d rigidz, TARANATH (968) formulou um lmnto lástico d barra qu possui st graus d librdad por nó, considrando, assim, o mpnamnto. Est lmnto stá associado à técnica d anális matricial d struturas qu difrntmnt do MEF, não part do funcional d nrgia, mas studa dirtamnt o quilíbrio stático d struturas. COSTA (98) studou, através dos tratamntos contínuos discrtos, a dtrminação dos sforços nas pards constituints d núclos struturais d difícios, contravntados por lintéis, sobr fundação flívl. ROCHA (985), utilizando a técnica do mio contínuo, aprsntou um studo d núclos struturais sujitos à torção. Considrou o núclo strutural formado por dois pilars d concrto armado unidos por lintéis ao nívl dos andars considrando ngastada a sua bas m uma fundação rígida. MORI (99), basado m BECKER (989), studou os núclos struturais d sção abrta a não-linaridad gométrica na anális d struturas tridimnsionais d difícios

27 Capítulo : Introdução 7 altos via anális matricial d struturas. Para a anális m sgunda ordm l dsnvolvu uma formulação adaptando as quaçõs difrnciais usuais para o studo d pilars, prmitindo a inclusão d trmos adicionais originados da flo-torção, obtndo dlas as convnints matrizs d rigidz qu viabilizam a anális lvando m conta a influência das dformaçõs no quilíbrio. DIOGO & ISHITANI (993) aprsntaram um rotiro para o cálculo d prfis d sção dlgada, considrando a flo-torção a não linaridad gométrica, utilizando o método dos lmntos finitos lmntos d casca cilíndrica. ANTUNES, MORI & SOUZA (995) dsnvolvram uma tnsão da toria d flo-torção m anális matricial d struturas, lvando m conta não só a anális m ª ordm, como m ª ordm, para lmntos d núclos m sção abrta ou smi-fchada. BADIE, SALMON & BESHARA (997) aprsntaram uma anális d núclos struturais sobr fundação lástica. Analisaram tanto o núclo quanto o solo plo método dos lmntos finitos. Obsrvaram qu ao calcular o núclo sm intração com o solo, os fitos no núclo são substimados. MATIAS JUNIOR (997), m sua dissrtação d mstrado, acrscntou ao programa dsnvolvido por MORI (99) procdimntos para considrar as fundaçõs do difício sobr bas lástica. TORRES (999) aprsnta, no ambint d anális matricial d struturas, a matriz d rigidz d núclo lvando-s m conta a dformação por sforço cortant. MARTINS () studou a anális d strutura tridimnsional d difícios d andars múltiplos considrando a intração d dslocamntos sforços ntr os vários lmntos qu formam a strutura, lvando-s m considração a rigidz transvrsal à flão das lajs. Dsnvolvu st studo através d um modlo qu compatibiliza o lmnto qu

28 8 Capítulo : Introdução discrtiza o núclo com st graus d librdad (anális matricial d struturas), basado na toria da flo-torção d Vlasov, com o rstant da strutura tridimnsional d difícios d andars múltiplos formada plos núclos, pilars, vigas lajs. SOUSA JUNIOR () aprsnta um studo sobr a anális d difícios altos nrijcidos com núclos struturais utilizando-s procssos discrtos. A ligação do núclo strutural com as lajs do pavimnto do difício é o ponto principal dst studo. As vigas, pilars lajs são analisados utilizando-s o Método dos Elmntos Finitos. Os núclos struturais, qu podm sr d sção abrta ou smi-fchada, foram analisados m anális matricial d struturas incluindo a toria da flo-torção m qu é lvada m conta a anális m ª ordm. Na toria d flo-torção é lvada m considração o mpnamnto do lmnto d núclo, dssa forma aparc o sforço dnominado bimomnto. BASAGLIA, CAMOTIM & SILVESTRE (8) obsrvam qu nos anos mais rcnts, há uma crscnt utilização d prfis mtálicos d lvada sbltz (.g., prfis d aço formados a frio) na construção d pórticos dstinados a difícios industriais. Est fato dv-s à produção corrnt d aços com cada vz maior rsistência, o qu conduz à obtnção d soluçõs struturais muito lvs conômicas. No ntanto, ssa msma caractrística torna os pórticos trmamnt susctívis à ocorrência d fnômnos d instabilidad, bm como ao acoplamnto ntr ls - dst modo, uma avaliação rigorosa do su comportamnto gomtricamnt não linar só pod sr consguida através do método dos lmntos finitos, discrtizando as barras do pórtico com lmntos d casca. Apsar d concitualmnt possívl, sta abordagm tm ainda custos computacionais proibitivos para aplicaçõs corrnts, sobrtudo s nvolvrm fnômnos d instabilidad

29 Capítulo : Introdução 9 local. Uma altrnativa trmamnt promissora, tanto computacional como d intrprtação dos rsultados, são as análiss basadas na Toria Gnralizada d Vigas (GBT - "Gnralisd Bam Thor"). Nst artigo, ls abordam a formulação implmntação computacional d um lmnto finito d barra basado na GBT qu prmit analisar o comportamnto global, plano spacial, d pórticos mtálicos a trabalhar m rgim lástico. Para isso, torna-s indispnsávl stablcr rlaçõs cinmáticas qu prmitam assgurar a compatibilidad ntr dslocamntos rotaçõs nas ligaçõs qu unm duas ou mais barras com orintaçõs distintas (principalmnt no qu diz rspito aos dslocamntos d mpnamnto). Após uma brv rvisão dos concitos fundamntais nvolvidos m uma anális strutural basada na GBT, aprsnta-s m dtalh a formulação implmntação numérica d um lmnto finito basado na GBT qu inclui apnas os quatro modos globais d dformação (i.., tnsão aial, flão m torno do io d maior/mnor inércia torção). Em particular, dscrvm-s os procdimntos nvolvidos na dtrminação das matrizs d rigidz, linar gométrica, do lmnto finito do pórtico (as últimas incorporam a influência das ligaçõs condiçõs d apoio do pórtico). Em sguida, abordam-s os modlos cinmáticos para simular a transmissão do mpnamnto m ligaçõs d pórticos qu unm duas ou mais barras com sção m U ou I ibm três configuraçõs difrnts: continuidad da msa continuidad da alma com rforço m diagonal ou m caia. Finalmnt, validam os rsultados obtidos através da comparação com valors forncidos por análiss ftuadas via lmntos finitos d casca, as quais possibilitam também avaliar a ficiência computacional da abordagm basada na GBT. No prsnt trabalho, introduz-s a cinmática d mpnamnto m lmnto d barra gral para sção transvrsal d gomtria qualqur, aprimorando os modlos usuais d barra

30 3 Capítulo : Introdução gral. Est aprimoramnto é fito através d uma técnica d nriqucimnto cinmático não impõ qu o mpnamnto sja proporcional à taa d giro d torção. Tal contribuição significa um avanço, ainda qu modsto, nas técnicas usuais d anális strutural via MEF, principalmnt naqulas disponívis no Dpartamnto d Estruturas da Escola d Engnharia d São Carlos da Univrsidad d São Paulo..4 OBJETIVOS O principal objtivo dst trabalho é o dsnvolvimnto a implmntação computacional d uma formulação d lmnto finito d barra gral tridimnsional laminado, sguindo uma cinmática d Rissnr-Timoshno gnralizada incluindo a considração do mpnamnto à torção. Dsta forma, o lmnto finito rsultant dv sr capaz d simular, com prcisão, problmas d torção flo-torção para sçõs d gomtria qualqur incluindo matriais não homogênos barras com sçõs constants por trchos. Para s atingir tal objtivo gral, dsnvolvu-s implmntou-s um programa computacional para a solução da torção livr d Saint-Vnant para barras com sção transvrsal não homogêna, criando-s o modo d mpnamnto gnralizado, tornando-s um dos objtivos scundários dst trabalho. Finalmnt, ntndr, dominar acoplar o modo d mpnamnto ao código d barra gral tridimnsional laminada m PACCOLA (4) foi o último objtivo dsafio do prsnt trabalho.

31 Capítulo : Introdução 3 A contribuição significativa do dsnvolvimnto do trabalho é sus objtivos atingidos, rsultando na inclusão d gomtrias quaisqur para as sçõs transvrsais, possibilitando, por mplo, a considração d núclos struturais mistos m difícios, abrtos fchados por trchos. Incluindo a considração d matrial laminado, possibilitando análiss d núclos struturais d matriais compostos..5 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO A bas do prsnt trabalho foi o dsnvolvimnto da formulação tórica sua implmntação computacional, d acordo com a cinmática d Rissnr-Timoshno para lmntos d barra gral com o problma d torção livr d Saint-Vnant. Est último fornc, para uma sção transvrsal qualqur, as quaçõs difrnciais ncssárias para s ncontrar a função modo d mpnamnto. Dv-s mncionar qu os dslocamntos longitudinais prsnts na toria d flo-torção, ou torção não-uniform, usual (mpnamnto ral) são proporcionais à grandza dfinida pla drivada do giro da sção m rlação ao io longitudinal. A cinmática d mpnamnto adotada foi ncontrada criando-s o parâmtro nodal mpnamnto (similar à drivada do giro m rlação ao io longitudinal) adotado como parâmtro livr. Tal como o giro à flão é aproimado indpndntmnt da drivada do dslocamnto transvrsal m rlação ao io longitudinal na cinmática d Rissnr- Timoshno. O mpnamnto ral do problma acoplado é proporcional a st novo parâmtro, sguindo modo d mpnamnto adimnsional, ou sja, o mpnamnto obtido na

32 3 Capítulo : Introdução solução da torção livr d Saint-Vnant para uma drivada do giro m rlação ao io longitudinal d valor unitário. Dsta forma, dfiniu-s o procdimnto numérico para s solucionar o problma d torção livr para uma sção transvrsal d gomtria qualqur, homogêna não-homogêna. Basou-s sta mtodologia na técnica dos rsíduos pondrados aplicado sobr a quação d Poisson d mpnamnto, transformando a quação difrncial m sistma algébrico. Nst procsso, aplicou-s a discrtização scundária, prviamnt grada, qu dscrv a cinmática d Rissnr-Timoshno para matrial laminado. Após a dtrminação dos valors d mpnamnto, para uma origm qualqur, dtrminaram-s as coordnadas do cntro d cisalhamnto, d forma qu as tnsõs normais rsultants apnas da torção não causassm momnto fltor. Analogamnt s corrigiram os valors d mpnamnto adimnsional para qu as tnsõs normais vindas da torção não grassm força normal. Após todas ssas considraçõs o io d rfrência da cinmática total é inicialmnt, o io qu passa plo cntro d cisalhamnto da pça. Outros ios foram tstados para vrificar a influência dsta posição nos rsultados sprados. Rsultados analíticos dos mais variados foram utilizados para vrificar a programação..6 METODOLOGIA OPERACIONAL As implmntaçõs numéricas foram fitas, como já comntado, m softwar d anális strutural abrto disponívl no SET. Est código computacional stá programado m ambint visual utilizando a linguagm Dlphi m plataforma Windows. No qual a

33 Capítulo : Introdução 33 considração d lmntos d barra gral casca laminados com matrial m comportamnto viscoplástico s ncontram disponívis. Sua ntrada d dados é fita através d préprocssadors comrciais (PATRAN ANSYS ) su pós-procssamnto visual (in Hous) o tornam ambint ótimo para dsnvolvimntos d psquisa m mcânica computacional. Comnta-s qu o autor do softwar é o Dr. Rodrigo Ribiro Paccola qu acompanhou o dsnvolvimnto do prsnt trabalho na qualidad d co-orintador. Providnciando os comntários, no programa font, ncssários para a boa implmntação da formulação..7 JUSTIFICATIVA O prsnt trabalho contribui originalmnt para a anális strutural, pois não s conhcm na litratura, ou pacots comrciais, lmntos d barra gral qu considrm automaticamnt o mpnamnto a flo-torção para matriais laminados sçõs d gomtria qualqur, bm como, difrnts tipos d sçõs transvrsais ao longo do comprimnto da barra. Além disso, o Dpartamnto d Engnharia d Estruturas (SET) da Escola d Engnharia d São Carlos (EESC) da Univrsidad d São Paulo (USP) vm dsnvolvndo um softwar d anális strutural abrto. Sua utilização por grand part dos psquisadors (alunos d pós-graduação) alunos d graduação vm s incrmntando dsd sua criação. A implmntação d lmnto d barra gral com a considração d mpnamnto srá muito important para s incrmntar as psquisas aplicadas m anális strutural. Além disso,

34 34 Capítulo : Introdução trabalhos dsnvolvidos antriormnt, por psquisadors importants do SET stão sndo rsgatados plo prsnt projto, apsar da formulação proposta aqui sr mais abrangnt qu as antriors, qu abordavam barras d sção abrta d pard fina sguindo mtodologia d programação m anális matricial d struturas..8 SOFTWARES UTILIZADOS Além do softwar utilizado para a programação computacional, utilizaram-s outros para pós-procssamnto validação d rsultados, sndo qu alguns são comrciais outros acadêmicos. Listam-s os softwars mprgados no dsnvolvimnto do prsnt trabalho, bm como a sua função: DELPHI 6.. Softwar utilizado para o dsnvolvimnto computacional da cinmática proposta nst trabalho. Escolhu-s ssa frramnta para atndr com maior facilidad ao acoplamnto proposto inicialmnt, visto qu o programa qu rcbu o prsnt código computacional stá programado nsta linguagm vrsão. ANSYS.. Srviu como grador da malha para os mplos aprsntados no Capítulo. O lmnto utilizado foi do tipo Shll 63. E também na validação d rsultados d um mplo no Capítulo 5. GMEC Visualizador.. Dsnvolvido plo Grupo d Mcânica Computacional, coordnado plo Prof. Humbrto Brvs Coda, foi usado para a aprsntação gráfica dos rsultados rlativos ao mpnamnto, Capítulo 3. Usado também para ilustrar os rsultados rfrnts aos lmntos d barras grais aprsntados no Capítulo 5.

35 Capítulo : Introdução 35 FLEXO II 3.. Programa para o cálculo d propridads d sçõs dlgadas dsnvolvido por Maurício C. Antuns utilizado, a vrsão 3 (999), para a comparação dos rsultados rfrnts a st tipo d sçõs, aprsntados no Capítulo 3. MICROSOFT OFFICE 3. Conjunto d programas da Microsoft, dos quais o EXCEL, WORD POWER POINT foram útis na aprsntação dst trabalho. ACADSOFT. Softwar d anális strutural com formulação d barra gral tridimnsional laminada dsnvolvido m PACCOLA (4), ao qual foi acoplada a cinmática d mpnamnto dsnvolvida no prsnt trabalho. PÓRTICO 3D. Programa dsnvolvido por Rodrigo Ribiro Paccola para a gração da ntrada d dados d PACCOLA (4) provitoso na criação dos dados rfrnts à barra gral aprsntados no Capítulo 5. AUTOCAD. Usado na gração do arquivo d tnsão df ncssário na litura do PÓRTICO 3D. E também na aprsntação das figuras ao longo dsta dissrtação.

36 36 Capítulo : Introdução

37 Capítulo TORÇÃO LIVRE DE SAINT VENANT PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS. INTRODUÇÃO O sgundo capítulo rfr-s ao dsnvolvimnto da cinmática da torção livr d Saint-Vnant plo Método dos Elmntos Finitos, considra-s a sção transvrsal qualqur, homogêna não homogêna. Portanto, dscrvm-s as bass tóricas a formulação implmntada computacionalmnt. Ants da formulação da torção livr d Saint-Vnant aborda-s o concito d cntróid, ncssário na implmntação computacional. O programa qu calcula o mpnamnto acita como dado d ntrada uma origm qualqur para a sção transvrsal, dsta forma o cálculo do cntróid é ncssário, porqu postriormnt o cntro d cisalhamnto é calculado m rlação ao cntróid. Adicionalmnt, calculam-s também os momntos d inércia das áras planas, qu não intrfrm na cinmática do mpnamnto. Aborda-s a cinmática da torção livr d Saint-Vnant, ncssária para a sua implmntação computacional.

38 38 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Aprsnta-s o método dos lmntos finitos d forma sucinta, basado na formulação do problma da torção livr d Saint-Vnant, para o stado plano d tnsão, cuja quação difrncial é do tipo Poisson. O Método dos Elmntos Finitos é atualmnt dfinido como um método matmático para a solução d quaçõs difrnciais parciais tal como a Equação d Poisson Laplac. Dvido às suas caractrísticas d flibilidad stabilidad numérica, l pod sr facilmnt implmntado m um sistma computacional, fato qu plica a sua utilização nst trabalho. Após toda a cinmática d mpnamnto aprsntada, traça-s um squma gral da sua implmntação computacional. Finalmnt dscrv-s a forma usada para os cálculos das intgrais provnints da cinmática do mpnamnto, qu são calculadas numricamnt m domínios triangulars, através dos pontos psos d Hammr.. PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS Dtrminaram-s as propridads d áras planas, ou sja, as propridads da sção transvrsal. Considrou-s qualqur sção transvrsal, composta por apnas um ou por difrnts tipos d matriais. Aprsnta-s apnas a formulação utilizada, maiors dtalhs concitos ncontram-s m TIMOSHENKO & GERE (994) BEER & JOHNSTON (995), ou outros autors qu abordam rsistência dos matriais.

39 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 39.. MOMENTO ESTÁTICO E CENTRÓIDE DE UMA ÁREA A Figura. mostra uma ára A situada no plano. Apsar d não indicado, sta ára foi dividida m sub-áras triangulars qu coincidirão com os lmntos finitos a srm aplicados na solução do problma d torção. Estas sub-áras srão chamadas simplsmnt d lmntos. Figura.. Plano d ára com o lmnto da. S form coordnadas d um lmnto infinitsimal d ára da, rsulta: A q M = = A E da E o (.) ond A q é a ára quivalnt da sção transvrsal, M é o númro d lmntos, E o módulo d lasticidad variávl d cada lmnto finito triangular E o o módulo d lasticidad do matrial prdominant na sção transvrsal. Por mplo, dada uma viga d concrto armado, considrando-s um lmnto situado m uma rgião qu corrsponda à ára d aço, o E srá o módulo d lasticidad do aço E o o módulo d lasticidad do concrto; s o lmnto prtncr à ára corrspondnt ao concrto E srá igual ao E o.

40 4 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Dfin-s o momnto stático d ára A m rlação ao io como a intgral: Q M E da A = (.) = E o D manira análoga, o momnto stático da ára A m rlação ao io é dfinido como a intgral: Q M E da A = (.3) = E o Figura.. Plano d ára com o cntróid. O cntróid da ára A é dfinido como o ponto C d coordnadas (Figura.), qu satisfazm as rlaçõs: c Q = c A Q = (.4) A Tndo-s as coordnadas do Cntróid ( C ), muda-s o sistma d coordnadas qu inicialmnt tinha uma origm qualqur para o cntróid da sção transvrsal, fazndo-s o sistma d coordnadas inicial mnos as coordnadas do cntróid, ou sja: = c = c (.5)

41 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 4 Com o novo sistma d coordnadas calcularam-s os momntos d inércia da sção transvrsal, bm como a cinmática do problma da torção livr d Saint-Vnant... MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA E RAIO DE GIRAÇÃO Considrando-s novamnt a ára A situada no plano (Figura.) o lmnto infinitsimal d ára da d coordnadas. O momnto d inércia da ára A m rlação ao io o momnto d inércia d A m rlação ao io são dfinidos, rspctivamnt, como I = M = EdA A E o I M EdA A = (.6) = E o Dfin-s agora o momnto d inércia polar da ára A m rlação ao ponto O (origm do sistma d coordnadas) (Figura.3) como a intgral: J = ρ da A (.7) ond ρ é a distância d O ao lmnto infinitsimal da. Pod-s stablcr uma rlação ntr o momnto d inércia polar J d crta ára os momntos d inércia rtangulars I I dssa ára. Obsrva-s qu ρ = +, portanto: J = I + I (.8) O raio d giração d uma ára A m rlação ao io é dfinido pla grandza r, qu satisfaz a rlação:

42 4 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF I = r A (.9) ond I é o momnto d inércia d A m rlação ao io. Calculando o valor d r na Equação (.9), tm-s: r I A = (.) Figura.3. Distância da origm ao lmnto infinitsimal d ára. D manira análoga, dfin-s o raio d giração m rlação ao io : r I = (.) A..3 PRODUTO DE INÉRCIA O produto d inércia d uma ára plana m rlação aos ios (Figura.3) é dfinido pla intgral:

43 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 43 I = M = A E da E o (.) Na qual cada lmnto infinitsimal d ára, da, é multiplicado plo produto das coordnadas a intgração é stndida sobr toda a ára...4 ROTAÇÃO DE EIXOS E EIXOS PRINCIPAIS Dsja-s dtrminar as quantidads corrspondnts I, I rfrnts aos ios principais (Figura.4), d uma ára qualqur. Isto é fito dirtamnt com: I + I I I, ± I I = + (.3) ond I rprsnta o maior dos dois momntos I o mnor. Figura.4. Rotação d ios. Localizam-s os ios principais, pla sguint quação:

44 44 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF tgθ = p I I I (.4) ond θ p rprsnta o ângulo θ qu dfin os ios principais..3 TORÇÃO LIVRE DE SAINT-VENANT Sgundo ZAGOTTIS (979) o Método Smi-Invrso, criado por Saint-Vnant, consist m psquisar a solução do sistma gral, não dntro do conjunto d todas as funçõs possívis d três variávis,, z, mas sim dntro d um conjunto mais rstrito, o conjunto das funçõs qu possum drminada forma. A forma d tais funçõs é sugrida pla primntação ou pla intuição, mdiant hipótss grais fitas no início do procsso. S for ncontrada, dntro dss conjunto rstrito, uma solução, trá sido ncontrada a única solução do problma, o qu é garantido plo torma da unicidad. S não for ncontrada a solução, a forma adotada d início dv sr rvista. O studo da torção livr d barras prismáticas é um mplo do Método Smi-Invrso. A cinmática da torção livr d Saint-Vnant é obtida aplicando-s as hipótss stablcidas por Saint-Vnant, d forma a atndr às Equaçõs Grais da Elasticidad no domínio (quaçõs difrnciais do quilíbrio, componnts d dformação, quaçõs d compatibilidad d dformaçõs, quaçõs constitutivas Li d Hoo gnralizada) no contorno (condiçõs d contorno) da barra. Essas quaçõs são aprsntadas d forma

45 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 45 rsumida, apnas com o objtivo d formular o problma lástico da torção livr d Saint- Vnant. Sus concitos dduçõs ncontram-s m várias outras bibliografias qu abordam a toria da lasticidad, ntr las s dstacam LAIER & BARREIRO (5), VILLAÇA & GARCIA (996), CHOU & PAGANO (99) TIMOSHENKO & GOODIER (98). O dsnvolvimnto, do módulo computacional d idntificação da função mpnamnto, srá inicialmnt indpndnt, do programa final. Rsolv-s assim, o problma d torção livr d SAINT-VENANT (855) m ambint bidimnsional para o stado plano d tnsão. O problma a sr rsolvido é dscrito a sguir d acordo com PAGANO (99). A tnsão cisalhant no cilindro d sção circular homogêna sob torção é dada por uma fórmula lmntar d torção. É mostrado qu satisfita stas tnsõs qu govrnam as quaçõs da lasticidad, bm como as condiçõs d contorno, las rprsntam a solução ata para um cilindro circular. O comportamnto do cilindro d sção transvrsal circular sob torção é smlhant m todas as sçõs transvrsais normais aos ios rstants do plano. Ou sja, a hipóts d qu as sçõs transvrsais da barra prmancm planas giram sm distorção durant a torção lva a solução ata do problma. Esta toria dsnvolvida por COULOMB (787) foi aplicada postriormnt por NAVIER (864) a barras d sção transvrsal não circular. Para barras d sção transvrsal qualqur, sujitas a momnto torçor, sta condição não prvalc acontc o mpnamnto. Dv-s considrar agora uma barra com algumas sçõs transvrsais momntos torçors aplicados nas trmidads. A solução ata para st problma foi formulada primiramnt por SAINT-VENANT (855) usando o método smi-invrso. Fazndo inicialmnt crtas hipótss quanto ao mpnamnto da barra

46 46 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF submtida à torção, dmonstrando qu com tais hipótss podriam sr atndidas as quaçõs d quilíbrio as condiçõs d contorno. TIMOSHENKO (98) dscrv qu, Kirchhoff, basado na hipóts d qu a nrgia d dformação, consqüntmnt, as tnsõs no corpo dsaparcm, quando l é librado das açõs d forças trnas, provou a unicidad das quaçõs da lasticidad. Plo torma da unicidad, as hipótss d Saint-Vnant stão corrtas a solução obtida é ata para o problma d torção livr..3. CINEMÁTICA Orintando-s plas dformaçõs qu surgiam na barra circular, Saint-Vnant assumiu qu as dformaçõs da barra d sção qualqur submtida à torção obdc aos sguints princípios:. A projção d qualqur sção transvrsal dformada no plano (Figura.5) gira como um corpo rígido, o ângulo d torção por unidad d comprimnto é constant;. Cada ponto é dslocado na dirção longitudinal (ocorr mpnamnto). El ainda assumiu qu st mpnamnto é o msmo para todas as sçõs transvrsais, ou sja, o dslocamnto w é indpndnt da dirção z. Est comportamnto pod sr visualizado considrando os dslocamntos nas hipótss ocorrndo sparadamnt. A rotação considrada m é a msma qu ocorr no cilindro circular. Acompanhando sta rotação ntão, tm-s o dslocamnto longitudinal dscrito m.

47 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 47 Figura.5. Torção d uma barra cilíndrica. Figura.6.Dslocamnto grado pla rotação. Esta condição d carrgamnto é mostrada na Figura.5. Os ios são considrados no plano infrior da sção transvrsal. A dirção z é paralla ao comprimnto do cilindro. O momnto torçor T na trmidad do plano é positivo s o vtor qu rprsnta T (pla rgra da mão dirita) atua na dirção da normal para fora dst plano. O dslocamnto d um ponto P qualqur grado pla rotação é mostrado na Figura.6. A linha OP girada d um pquno ângulo β m torno d O. O corpo é posicionado tal qu o cntro d torção coincida com a dirção z. Dsd qu o ângulo d torção β sja pquno, o arco ' PP é dfinido como sndo uma linha rta normal à OP. Portanto, as componnts d dslocamnto d P, são scritas como: u = rβsnθ = β v = rβ cos θ = β Ests são acompanhados plo dslocamnto w na dirção z (mpnamnto), ond: ( ) w = w, Dsd qu o mpnamnto d cada sção transvrsal sja considrado o msmo, w é função só d, não é função d z. Obsrva-s qu a Figura.6 é a vista da trmidad d uma sção transvrsal mostrando a posição dformada d OP. Por convniência, para a

48 48 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF sção transvrsal na origm, assum-s qu u= v=. Assim s a sção transvrsal da Figura.6 stá a uma distância z da origm, o ângulo d torção é dado por: β = αz ond α é o ângulo d rotação por unidad d comprimnto ao longo da dirção z. Consqüntmnt, os dslocamntos podm sr scritos da sguint forma: u = αz v = αz (.5) ( ) w = w, D acordo com toria da lasticidad, as Equaçõs (.5) podm sr considradas como part da solução do problma no método smi-invrso. Dv-s mostrar agora qu a solução para os stados planos d tnsão dformação qu tm origm nas Equaçõs (.5) qu também satisfazm às quaçõs d quilíbrio às condiçõs d contorno podm sr obtidas. As hipótss stablcidas antriormnt rprsntam a solução do problma st tm uma única solução. Tm-s os dslocamntos dscritos plas Equaçõs (.5) o problma d torção livr pod sr formulado m trmos das tnsõs ou dos dslocamntos w. Para a formulação do problma da torção livr é ncssário dfinir as quaçõs grais da lasticidad para st problma spcífico.

49 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 49 As componnts d dformação, para o problma da lasticidad linar d um sólido, são constituídas plas sguints quaçõs: u ε = γ u v = + ε v = γ z v w = + z (.6) w ε z = γ z z w u = + z ond ε é a dformação linar spcífica (ou alongamnto rlativo) m uma dirção γ a dformação angular (ou distorção) associada a um par d dirçõs ortogonais. Ond os índics rfrm-s ao sistma cartsiano global z. Combinando as Equaçõs (.6) com as Equaçõs (.5), têm-s as componnts d dformação para o problma da torção livr d Saint-Vnant: ε = ε = εz = γ = γ z w = α (.7) w γ z = + α A Li d Hoo, para o problma d um sólido lástico-linar, é dada por: [ σ ν ( σ σ )] ε + E = z = γ G τ [ σ ν ( σ σ )] ε + E = z z = z γ G τ (.8) [ σ ν ( σ σ )] ε + E γ = G τ z = z z z

50 5 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF ond G é o módulo d lasticidad transvrsal, σ a tnsão normal τ a tnsão cisalhant. O módulo d lasticidad transvrsal é calculado pla quação: E G = ( +ν ) As Equaçõs (.8) podm sr rsolvidas para as componnts d tnsão m trmos das componnts d dformação, qu rsulta na Li d Hoo gnralizada: ( ε + ε ) = ε + λ z τ = Gγ σ G + ε ( ε + ε ) = ε + λ z τ z = Gγ z σ G + ε ( ε + ε ) σ = + + τ z = Gγ z z Gε z λ ε z (.9) ond λ é a constant d Lamé, dada por: λ = νe ( + ν )( ν ) Aplicando as componnts d dformação, Equação (.7) na Equação (.9) têm-s as prssõs qu prmitm ncontrar as tnsõs para o problma da torção livr d Saint- Vnant m função do dslocamnto w do ângulo d torção por unidad d comprimnto α : τ τ z z w = Gγ z = G α w = Gγ z = G + α (.) σ = σ = σz = τ = Apsar da solução numérica dsnvolvida nsta dissrtação não fazr uso d todo o procdimnto matmático dscrito a sguir, st srá mantido d forma a compltar as informaçõs técnicas para o bom ntndimnto do problma studado.

51 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 5 Das duas primiras Equaçõs (.), obsrva-s a prmanência das componnts d tnsão, τ z τ z, qu são funçõs somnt d. Pod-s agora liminar w das Equaçõs (.), drivando a primira quação m rlação à a sgunda m rlação à : τ z w = G Gα τ z w = G + Gα subtraindo-as, tm-s a quação d compatibilidad para o stado plano d tnsão: τ τ z z = Gα (.) A quação d compatibilidad tridimnsional, para o problma sólido lástico-linar, é scrita da sguint forma: ε ε γ + = ε γ ε z + = z z z ε z ε γ z + = z z ε γ = z z γ + z γ + z (.) ε z γ = z γ z γ + z ε γ z = z z γ + z γ z

52 5 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF A quação d compatibilidad m trmos d dformação para o problma d torção livr também pod sr obtida intgrando as quaçõs d compatibilidad tridimnsional, Equaçõs (.) substituindo nas Equaçõs (.7), rsultando: γ z γ z = α As quaçõs d quilíbrio grais são: σ τ τz F = z τ σ τ z F = z (.3) τ τ z z σ z F z = z ond F são as forças d massa (por unidad d volum). Rscrvndo a trcira quação d quilíbrio, com força d massa igual à zro, tms a quação d quilíbrio para o stado plano d tnsõs nvolvndo apnas tnsõs cisalhants: τ τ z z + = (.4) Como σ = σ = σ = τ =, as duas outras quaçõs d quilíbrio com forças d z massa iguais à zro, também são satisfitas. Insrindo uma função d tnsão, introduzida por PRANDTL (93), ond é função d d, tais como: τ τ z z = = (.5)

53 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 53 A Equação (.4) é satisfita, lmbrando-s qu = no contorno. Substituindo a Equação (.5) na Equação (.) rsulta: ou: + = Gα = Gα (.6) ond: = + Esta quação rprsnta a solução do problma, já qu s la for satisfita, consqüntmnt as quaçõs d quilíbrio as condiçõs d contorno também starão satisfitas. Figura.7. Suprfíci d forças. Considrando o corpo mostrado na Figura.7. A distribuição d força na suprfíci (tnsão) é spcificada plas componnts μ T, μ T T μ z, quando μ é um vtor unitário normal à suprfíci com dirção oposta a la. As coordnadas dos pontos na suprfíci do contorno são dnotadas por,, z, stas são rlacionadas com as quaçõs na suprfíci d o o o contorno.

54 54 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Isolando um ttradro infinitsiamal OABC mostrado na Figura.8, ond a fac inclinada ncontra-s no contorno, prssando o quilíbrio d forças, ncontram-s as condiçõs d contorno para qualqur sólido lástico-linar, dadas plas rlaçõs: T μ = σ o μ + τ o μ + τ z o μ z T μ = τ o μ + σ o μ + τ z o μ z (.7) T μ z = τ z o μ + τ z o μ + σ z o μ z ond σ, τ, tc. são componnts d tnsão dtrminadas no contorno (,, z ), o o o o o μ, μ, μ são as dirçõs dos cossnos dirtors do vtor unitário normal, com dirção z oposta à suprfíci, μ m rlação à, z, rspctivamnt (ou simplsmnt as componnts d μ ao longo das três dirçõs coordnadas). Figura.8. Equilíbrio no contorno. Considrando as condiçõs d contorno dadas plas Equaçõs (.7). Na suprfíci μ μ μ latral, ond não há forças trnas; consqüntmnt, nstas suprfícis T = T = T =. z Dsd qu as normais a stas suprfícis sjam prpndiculars à dirção z, μ z dv sr igual a zro.

55 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 55 Figura.9. Tnsõs cisalhants no plano z, próimo do contorno. As duas primiras das Equaçõs (.7) são satisfitas a trcira, dada pla rlação (o subscrito o é omitido para o stado plano d tnsão): τ μ τ μ = (.8) z + z Como τ z é componnt d tnsão cisalhant no plano atuando na dirção z, τ z é no plano z atuando na dirção, τ z = τ. z Pla Figura.9, lmnto bidimnsional, vrifica-s qu o lado squrdo da Equação (.8) é igual à componnt d tnsão cisalhant no plano z normal à suprfíci d contorno latral, ou: τ μ τ μ + τ μ = (.9) z = z z Dsd qu sja igido qu sta componnt dsaparça, a rsultant da tnsão cisalhant na sção transvrsal (plano z ) dv sr tangnt ao contorno. Novamnt, d acordo com a Figura.9: d ds μ = μ = d ds supondo s o aumnto d a para b. Usando stas rlaçõs as Equaçõs (.5), a Equação (.8) é rscrita da sguint forma: d d + = ds ds

56 56 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF aplicando a rgra d difrnciação: d = ds Assim a função d tnsão dv sr constant ao longo do contorno da sção transvrsal. S o contorno é simplsmnt apoiado, a constant pod sr scolhida arbitrariamnt (sta constant não intrfr nas componnts d tnsão, é somnt a causa do dslocamnto d corpo rígido), d modo qu no sguint problma la é suposta igual a zro ou: = no contorno (.3) S sta condição for atndida, logo, a Equação (.8) é satisfita. Tm-s, para st ponto, qu a tnsão stablcida é dfinida por, atndndo a Equação (.6) a Equação (.3), rprsnta a solução do problma m lasticidad para st caso particular d barra cilíndrica sm forças aplicadas na suprfíci latral. O objtivo agora é dtrminar quais forças (por unidad d ára) dvm sr aplicadas nas trmidads das suprfícis planas tais qu stas tnsõs istam. Dsd qu as trmidads planas sjam normais a dirção z : μ = μ = μ = para o plano z =, : μ = μ = μ =+ para o plano z z z = L. Substituindo sts valors dos cossnos dirtors nas Equaçõs (.7), têm-s as componnts d forças d suprfíci distribuídas d acordo com: T τ T μ μ = m z z = mτ T μ = (.3) z dvm sr aplicadas nas trmidads planas para atndr as condiçõs d contorno. Aqui os sinais supriors rfrm-s ao plano z =, os sinais infriors ao plano z = L.

57 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 57 Figura.. Tnsõs no contorno das trmidads planas. Da Figura., vrifica-s qu a componnt da rsultant d força m cada trmidad plana, tndo m vista as Equaçõs (.5), é: = m dd (.3) μ T dd τ zdd = ± A última intgração dupla pod sr tirada da primira cução da intgração intrna ao longo da dirção como mostrado na Figura., ou: T μ dd = ± C = d d = ± = d d = ± = C = C ( ) d = (.33) ond = ( ) é a quação da part squrda do contorno da curva C ( ) quação da part dirita. = é a Figura.. Intgração sobr o plano da trmidad.

58 58 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Dsd qu sjam avaliados ao longo d (no contorno), ambos dsaparcm. Essa obsrvação é fita caso suponha-s = c no contorno ond c é uma constant difrnt d zro, também são liminados. Da msma forma, pod sr mostrado qu: T μ dd = (.34) Assim, as componnts da rsultant d forças m cada trmidad do plano são iguais a zro a carga d suprfíci aplicada qu ag sobr cada trmidad é staticamnt quivalnt ao momnto sobr a dirção z. O momnto T, como mostrado na Figura., é: μ μ ( T T ) T = m dd (.35) Est pod sr prsso m trmos da função d tnsão. Substituindo as Equaçõs (.5) as Equaçõs (.3) na Equação (.35): T = dd dd (.36) Fazndo a intgração intrna do primiro trmo por parts: = = = = d = d = d = dsd qu = = no contorno. Consqüntmnt, o primiro trmo da Equação (.36) pod sr scrito da sguint forma: Da msma forma: dd = dd = dd dd Portanto, o momnto torçor para o stado plano d tnsão é: d T = dd (.37)

59 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 59 Obsrva-s qu as duas intgrais na Equação (.36) são iguais; assim cada uma das componnts d tnsão τ z τ z contribum para a mtad do momnto. A força aplicada na suprfíci por unidad d ára na trmidad plana como nas Equaçõs (.3) são fórmulas compltamnt rstritas qu raramnt srão ncontradas m aplicaçõs práticas. Dvido ao princípio d Saint-Vnant, ntrtanto, a solução para torção dada para sta sção pod sr usada para qualqur carga aplicada na trmidad, contanto qu a rsultant da carga da trmidad satisfaça às condiçõs das Equaçõs (.33), (.34) (.37). Em outras palavras, s a carga aplicada é um momnto d valor T, contudo sua distribuição sobr a trmidad plana, m sçõs a uma pquna distância dos planos da trmidad (s as dimnsõs da sção transvrsal form pqunas m rlação ao comprimnto) tm as tnsõs dadas plas Equaçõs (.5), Equação (.6) Equação (.3). Voltando à anális, nota-s qu a solução do problma d torção livr, bm como qualqur problma strutural m lasticidad linar, dvm satisfazr às 5 quaçõs dominants da lasticidad. Dsd qu também sjam satisfitas as condiçõs d contorno, a solução é única. Para o dsnvolvimnto da formulação numérica, rsolvr-s-á a Equação difrncial d Equilíbrio (.4) com a Condição d Contorno (.9). Rsolvndo-s dirtamnt o mpnamnto w utilizando-s a Equação (.). Tal mpnamnto srá proporcional ao parâmtro α qu é o giro por unidad d comprimnto qu srá chamado parâmtro d mpnamnto. Est parâmtro srá uma variávl incógnita do lmnto d barra gral o mpnamnto da sção, no caso gral, não srá constant no comprimnto da barra, mas sim l l aproimado como ( ) α ξ = i α, ond i l α i são os valors nodais i as funçõs d forma.

60 6 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Para compltar o tto rfrnt aos procssos matmáticos dscrv-s rsumidamnt a toria para o stado plano d dformação. Nst caso rstará uma quação m trmos d w : w = (.38) Esta é a quação d Laplac, qu é mais facilmnt solucionada do qu a quação do tipo Poisson, Equação (.6), na formulação para o stado plano d tnsão. As condiçõs d contorno para o stado plano d dformação, ntrtanto, não são simpls como a Equação (.3). Substituindo as Equaçõs (.) nas Equaçõs (.8), as condiçõs d contorno ficam: w w α μ + α μ = no contorno (.39) o momnto é dado por: T w w = G α + α + dd (.4).3. PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO (RESUMO E NOTAÇÃO INDICIAL) O problma da torção livr d Saint-Vnant, considrando o stado plano d tnsão, no qual a dformação na dirção z não é impdida, s compõ da quação d Poisson, Equação (.6). A Figura. mostra uma barra prismática com comprimnto na dirção z sção transvrsal no plano, com domínio Ω contorno Γ. No contorno Γ há um sistma ortogonal com vtor tangnt n normal [ ] T μ = μ, μ.

61 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 6 Figura.. Torção d uma barra prismática. A suprfíci latral da barra tm torção livr. Consqüntmnt, o vtor τ dv sr prpndicular à μ no contorno Γ. Nglignciando as forças d massa, o problma d valor d contorno fica: τ = (, ) 3, ii i = no Ω τ i μi = τ μ i = (, ) no Γ 3 3 = (.4) d acordo com as Equaçõs d Equilíbrio (.4) Condiçõs d Contorno (.9), rspctivamnt. O sistma d coordnadas cartsianas m notação indicial é scrito assumindo-s a rlação:,, z 3 (.4).4 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Uma vz dfinido o problma d valor d contorno qu s dsja rsolvr passa-s para a solução do msmo por mio do Método dos Elmntos Finitos. O problma dfinido

62 6 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF antriormnt é um problma do tipo contínuo, uma vz qu todos os pontos do domínio são incluídos tanto na dscrição quanto na solução do problma. O MEF transforma st domínio contínuo m um domínio discrto, ond a solução é ncontrada m pontos discrtos do domínio d cálculo, por mplo, m pontos d união d uma malha triangular (nós). O caminho utilizado aqui, para s drivar o MEF mais rápido, é a aplicação d métodos rsiduais para a obtnção das quaçõs discrtas. Nst caso, srá mprgado o método dos rsíduos pondrados (Galrin), também com a particularidad d qu as quaçõs d aproimação s rfrm a subdomínios discrtos (lmntos da malha)..4. EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO EM FORMA FRACA PELA APLICAÇÃO DE RESÍDUOS PONDERADOS Escrvndo-s a Li d Hoo gnralizada (.), d acordo com a Notação Indicial mostrada m (.4), tm-s: τ ( w α ) 3 G, = (.43) : ( w α ) τ = + (.44) 3 G, A Equação d Equilíbrio (.4) é a primira das Equaçõs (.4), qu pod sr scrita na forma variacional, multiplicando-s a quação difrncial pla variação w função pso: δ, ond ( ) w, é a δ wτ (.45) 3 i, i = Intgrando-s ambos os lados da Equação (.45) sobr o domínio Ω rsulta:

63 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 63 Ω δ wτ 3 i, i dω = (.46) Intgrando por parts, tm-s: Ω wτ 3 i i dω = δw τ 3i μ i dγ δw, iτ 3idΩ = δ, Γ Ω (.47) Como a função w (, ) é arbitrária pod-s scolhr ( ) w, d tal forma qu a sguint Condição d Contorno sja satisfita: δ w= ct sobr Γ (.48) Assim, da sgunda quação (.4), tm-s qu a intgral no contorno m (.47) é liminada. Logo, a Equação (.47) pod sr scrita da sguint forma: Ω δ w, i τ 3 i dω = (.49) Substituindo (.43) (.44) m (.49), tm-s: Ω δ w ( α ) + δw G( w α ), G w,,, d Ω = ou ainda, após fazr as simplificaçõs possívis: Ω [( w, w, ) ( δw, w )] dω = α G( δw, δw, ) G δ + dω (.5) Ω A Equação (.5) é a forma fraca da Equação d Equilíbrio das Condiçõs d Contorno naturais (.4) qu dv atndr às condiçõs d contorno ssnciais (m dslocamntos). A forma é dita fraca por sr uma quação mnos gral, com ordns d drivação mnors qu a original. O Método dos Elmntos Finitos srá rconstruído sobr a Equação (.5) aplicando-s a discrtização do domínio dscrita como s sgu.

64 64 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF.4. DISCRETIZAÇÃO DO DOMÍNIO A próima tapa na aplicação do MEF é a subdivisão do domínio original m uma séri d subdomínios mnors, st procsso é chamado d discrtização. Os subdomínios podm sr d uma forma gométrica qualqur, tais como triângulos, rtângulo, quadrilátros, pntágonos, tc. Pod-s também misturar subdomínios d formas gométricas distintas, tais como triângulos rtângulos. Cada subdomínio é chamado d lmnto. A forma mais simpls d lmnto utilizado na prática é o triângulo, l pod aproimar domínios d formas quaisqur com boa prcisão. Em cada lmnto são dfinidos pontos caractrísticos, nos quais a solução srá dtrminada. No caso mais simpls d lmntos triangulars são scolhidos os três vértics dos msmos como pontos caractrísticos, os quais são chamados d nós. O númro d lmntos utilizados na prática dpnd da naturza do domínio m studo do comportamnto particular da solução. Em gral a prcisão da solução aumnta com o númro d lmntos utilizados, havndo, no ntanto um limit para o númro d lmntos, a partir do qual os rros d arrndodamnto s acumulam d tal forma qu um aumnto do númro d lmntos não traz uma mlhora na prcisão. Por outro lado, a prcisão da solução dpnd também muito do tipo da função d aproimação utilizada (função linar, função quadrática, função cúbica, ponncial, tc.), do tipo d lmnto utilizado (triangular, rtangular, tc.). O domínio discrtizado é comumnt dsignado por malha, do inglês msh, quando dvria sr dnominado como uma rd d malhas. E a rd é subdividida m lmntos (subdomínios), os quais são as malhas da rd (domínio). No prsnt trabalho, optou-s por um lmnto triangular com variação quadrática para os dslocamntos, qu rsulta m variação linar para as tnsõs dformaçõs.

65 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 65 Quando prssa m coordnadas cartsianas, as funçõs d intrpolação para o lmnto triangular são complas algbricamnt. As coordnadas d ára (coordnadas homogênas) são uma forma d simplificar as funçõs d intrpolação. Apsar d adotar-s o lmnto triangular com variação quadrática para os dslocamntos, dscrv-s o lmnto finito triangular linar com o objtivo d introduzir-s o concito d coordnadas homogênas, procdndo-s d acordo com ASSAN (3)..4.. Elmnto finito triangular linar O lmnto triangular linar tm como função intrpoladora para o mpnamnto (dslocamnto na dirção z ) o sguint polinômio d primiro grau: (, ) a + a + a = (.5) w 3 sndo o lmnto mostrado na Figura.3. Figura.3. Elmnto finito triangular linar. O lmnto triangular stá inicialmnt m coordnadas cartsianas srá formulado m coordnadas triangulars ou homogênas. O lmnto finito triangular é numrado no sntido anti-horário sus lados têm o númro do nó oposto.

66 66 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF O sistma d coordnadas homogênas é mostrado na Figura.4. Estas coordnadas rlacionam-s ao lado do lmnto triangular, variando d a. Portanto, as coordnadas homogênas são dfinidas da sguint forma: ξ é a distância rlativa ntr os nós 3 ao longo do lado d comprimnto l 3, dfinm-s as outras coordnadas d forma análoga. Figura.4. Coordnadas homogênas. Introduz-s um ponto P, intrno ao triângulo, com coordnadas para s obtr as rlaçõs ntr as coordnadas cartsianas homogênas. Figura.5. Rprsntação vtorial. A Figura.5 mostra a rprsntação das bass vtoriais i, j f, f dfinidas rspctivamnt m rlação aos sistmas, _ ξ, ξ _. Portanto, scrv-s o vtor posição do ponto P : r = p+ q = i + j (.5)

67 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 67 Os vtors P Q podm tr ssa rprsntação: p = 3 i + 3 j q = l3ξ f+ l3ξ f (.53) Substituindo-s as Equaçõs (.53) na Equação (.5): r = 3 i + 3 j+ l3 f+ l3ξ f ξ (.54) Os vtors l f f 3 3 l projtados nas dirçõs são: l 3 f 3 3 ( ) i + ( ) = j l 3 f 3 3 ( ) i + ( ) = j (.55) rsultando: Substituindo as Equaçõs (.55) na Equação (.54), tm-s: i j = i j ξ 3 ( ) i + ξ ( ) i + ξ ( ) j+ ( ) + ξ j (.56) = = ( 3 ) + ξ ( 3 ) = ξ + ξ + ( ξ ξ ) ξ ( 3 ) + ξ ( 3 ) = ξ + ξ + ( ξ ξ ) ξ (.57) As coordnadas homogênas também podm sr plicadas como rlaçõs ntr as áras dos triângulos dfinidos plos nós,, 3 o ponto P, d acordo com a Figura.6. Figura.6. Triângulo dividido m áras.

68 68 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF A altura do triângulo P 3 é igual à ξ h. Da Figura.4, vrifica-s qu s o ponto P coincidiss com o nó 3, o produto ξ h sria nulo, já qu nss nó ξ = ; porém, s o ponto P coincidiss com o nó, o produto ξ h sria igual a h, já qu no nó tm-s ξ =. Portanto a ára A do triângulo P 3 é dada por: A = l3ξ h (.58) Analogamnt, tm-s para a ára A do triângulo P 3: A = l3ξh (.59) D acordo com a Figura.4 tm-s o valor da ára A do triângulo 3: A = l3h = l3h (.6) Dividindo-s A A por A obtém-s: A ξ = A A ξ = (.6) A E a sguint rlação dv sr obdcida: A = A + (.6) + A A3 Dividindo-s a Equação (.6) por A, tm-s: A 3 = ξ + ξ + (.63) A Portanto, dfin-s: A 3 ξ 3 = (.64) A Substituindo-s a rlação (.64) na Equação (.63): = ξ + ξ + ξ (.65) 3

69 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 69 Lmbra-s qu as prssõs para as áras A, A 3 A, m trmos das coordnadas dos vértics do triângulo 3: 3 3 A = 3 3 A = A 3 = (.66) Substituindo as Equaçõs (.66) nas Equaçõs (.6) (.64) ncontram-s as coordnadas homogênas m rlação às coordnadas cartsianas: ( ) ( ) [ ] A + + = ξ ( ) ( ) [ ] A + + = ξ ( ) ( ) [ ] 3 A + + = ξ (.67) ond A é a ára do lmnto triangular, dadas plas coordnadas dos três vértics do triângulo 3, pod sr obtida da rlação: 3 3 A = (.68) ou sja: [ ] A + + = (.69) Substituindo-s a Equação (.65) nas Equaçõs (.57): 3 3 ξ ξ ξ + + = 3 3 ξ ξ ξ + + = (.7) Qu são as rlaçõs ntr as coordnadas cartsianas homogênas. D acordo com a Equação (.5):

70 7 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF i i i a a a w = com 3 =,, i. (.7) qu lva ao sguint sistma d quaçõs: = w w w a a a (.7) Rsolvndo os coficints polinomiais do sistma (.7) ncontram-s: ( ) ( ) ( ) [ ] w w w A a + + = ( ) ( ) ( ) [ ] w w w A a + + = ( ) ( ) ( ) [ ] w w w A a + + = (.73) Substituindo a Equação (.73) na Equação (.5): ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] = , w w w A w (.74) Escrvndo-s: ( ) ( ) [ ] A + + = ( ) ( ) [ ] A + + = ( ) ( ) [ ] 3 A + + = (.75) Lvando-s m considração as dfiniçõs (.75), a Equação (.74) pod sr scrita: = = 3 i iw i w (.76) ou w i m notação indicial.

71 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 7 Esta quação prssa os dslocamntos m um ponto sobr o lmnto m trmos dos dslocamntos nodais do lmnto. Para st lmnto, as funçõs i dvm sr polinômios d primira ordm m ξ, ξ ξ 3. A variação das funçõs d forma stá rprsntada na Figura.7, prmitindo visualizar como os dslocamntos variam. Por mplo, para ξ = tm-s ξ = ξ, os dslocamntos w tm a variação mostrada na Figura.7. 3 = Figura.7. Funçõs d forma para o lmnto triangular linar. conclusão: Comparando-s as Equaçõs (.75) com as Equaçõs (.67) chga-s à sguint = ξ ξ = 3 = ξ3 (.77)

72 7 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF.4.. Elmnto finito triangular quadrático Nst caso, a localização do comportamnto do lmnto é dfinida por mio do campo dos dslocamntos contínuos aproimados por polinômios compltos do sgundo grau m : (, ) d + d + d + d + d d w = + (.78) Nos lados do lmnto, os dslocamntos também têm variação quadrática. Considrando-s somnt dois nós m cada lado, a compatibilidad dos dslocamntos ntr os lmntos podria não istir, porqu um númro infinito d parábolas passaria plos dois pontos. Entrtanto, dsd qu sjam 6 parâmtros dsconhcidos m (.78), o lmnto dv tr 6 nós. Colocando três nós adicionais, cada lado trá três nós. Dsd qu sja somnt uma parábola qu pass através dos três pontos, a compatibilidad dos dslocamntos ntr os lmntos é assgurada. O lmnto finito triangular com variação do dslocamnto quadrática é ilustrado na Figura.8. 6 Figura.8. Elmnto finito triangular com variação quadrática. Escrvndo-s a Equação (.78) m coordnadas d ára tm-s:

73 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF ξ ξ ξ ξ ξ ξ c c c c c c w = (.79) Assim têm-s as funçõs ( ) ξ,ξ w : nó : = ξ = ξ 3 = ξ 4 c c c w + + = nó : = ξ = ξ 3 = ξ 6 3 c c c w + + = nó 3 : = ξ = ξ 3 = ξ 3 c w = nó 4 : ξ = = ξ ξ 3 = c c c c c c w = nó 5 : = ξ ξ = ξ 3 = c c c w + + = nó 6 : = ξ = ξ ξ 3 = c c c w + + = (.8) Escrvndo-s o sistma d quaçõs (.8) na forma matricial: = w w w w w w c c c c c c Rsolvndo-s o sistma d quaçõs chga-s aos rsultados dos coficints i c, com i igual ao númro d nós do lmnto variando d a 6 : = w w w w w w c c c c c c

74 74 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Substituindo os valors d c i na Equação (.79) plicitando-s as funçõs aproimadoras m rlação aos dslocamntos nodais scrv-s: w = i w i (.8) com as funçõs d forma i dadas plas rlaçõs: = = ξ ( ξ ) ξ ξ ξ ξ = = ξ ( ξ ) = ξ + ξ + 4ξ ξ 3ξ 3ξ = ξ ( ξ ) = 4ξξ = 4ξξ 3 3 (.8) 5 = 4ξ 4ξξ 4ξ = 4ξ ξ3 6 = 4ξ 4ξ 4ξξ = 4ξ 3ξ As funçõs d forma do lmnto finito triangular quadrático tm a variação mostrada na Figura.9. Figura.9. Funçõs d forma para o lmnto triangular quadrático. Analogamnt às Equaçõs (.7) (.77) têm-s as rlaçõs ntr as coordnadas cartsianas homogênas para o lmnto finito triangular quadrático:

75 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 75 = = (.83) ond as funçõs d forma ( ) ncontram-s nas Equaçõs (.8)..4.3 EQUAÇÕES DISCRETAS Uma vz qu o domínio m studo foi discrtizado, podm-s scrvr as quaçõs aproimadas para cada subdomínio do lmnto dsignado por Ω, chamadas d quaçõs discrtas. Considrando-s a subdivisão do domínio original m M lmntos, pod-s inicialmnt scrvr a Equação (.5) na sguint forma: M M G[ ( w, w, ) + ( δw,w )] dω = α G ( δw, δw, ) Ω Ω = = δ dω (.84) A Equação (.84) stablc simplsmnt qu a intgral foi divida m uma soma d intgrais parciais, abrangndo todos os M lmntos qu compõm o domínio. A fim d avaliar as intgrais na Equação (.84), é prciso substituir as funçõs pondradora ( δ w) incógnita ( w) por suas aproimaçõs discrtas. Para qu a anális sja mais prcisa admitiram-s funçõs quadráticas lmntos triangulars. No método d Galrin, tanto as funçõs incógnitas quanto as funçõs pso são aproimadas d forma idênticas m cada triângulo. Com stas considraçõs rsulta a matriz d rigidz do lmnto [ K como a intgral sobr um lmnto d domínio Ω : ]

76 76 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF t { }[ K ] { w} = G [( w w ) + ( w w )] Ω Dw δ,, δ, dω (.85) ond { Dw } são valors nodais arbitrários da pondradora { w } o vtor incógnito. Analogamnt, o vtor d forças é dado por: t { }{ F} = G ( δw w ) Ω Dw α, δ, dω (.86) Nst caso, as soluçõs aproimadas são ncontradas por uma subdivisão do domínio d intgração do problma m M lmntos d tamanhos finitos, cada um tndo 6 pontos nodais. Rsolv-s a Equação (.84) plo MEF mprgando o lmnto finito triangular quadrático. A função mpnamnto é dada pla Equação (.8) as funçõs d forma plas Equaçõs (.8). Epandindo-s a Equação (.8): w = + (.87) w + w + 3w3 + 4w4 + 5w5 6w6 scrvndo-a na forma vtorial: w w w 3 w = [ ] (.88) w4 w 5 w6 Da Equação (.87) ncontram-s as drivadas da função mpnamnto m rlação às dirçõs, rspctivamnt: w w +, =,w +,w + 3,w3 + 4,w4 + 5,w5 6,w6 +, =,w +,w + 3,w3 + 4,w4 + 5,w5 6,w6 (.89) Gnralizando as Equaçõs (.89), afirma-s qu a drivada da função mpnamnto ( w ) m rlação a uma dirção qualqur ( j ) é dada por:

77 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 77 = = 6,, i i j i j w w (.9) qu na forma vtorial fica: [ ] = , 5, 4, 3,,,, w w w w w w w j j j j j j j (.9) O msmo é fito para a pondradora: = = 6 i i w i w δ δ (.9) na forma vtorial: [ ] = δ δ δ δ δ δ δ w w w w w w w (.93) Analogamnt ao dscrito para a drivada da função mpnamnto, a drivada da pondradora é scrita da sguint forma: = = 6,, i i j i j w w δ δ (.94) ou na forma vtorial:

78 78 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF, j, j 3, j δ w, j = [ δw δw δw3 δw4 δw5 δw6 ] (.95) 4, j 5, j 6, j Multiplicando a Equação (.95) pla Equação (.9) fazndo j =, tm-s: T δw,,,,, 3,, 4,, 5,, 6, w δw,,,,, 3,, 4,, 5,, 6, w δw 3,, 3,, 3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6, 3 w3 δ w,w, = (.96) δw 4,, 4,, 4, 4 3, 4, 4, 4, 5, 4, 6,w4 δw 5 5,, 5,, 5, 3, 5, 4, 5, 5, 5, 6, w5 δw6 6,, 6,, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6, 6, w6 Multiplicando a Equação (.95) pla Equação (.9) fazndo j =, tm-s: δw, w, δw δw δw 3 = δw4 δw 5 δw6 T,, 3, 4, 5, 6,,,,,,,,, 3, 4, 5, 6,,,,,,,,, 3, 4, 5, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3,,, 3, 4, 5, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 4,,, 3, 4, 5, 6, 5, 5, 5, 5, 5, 5,, 6, w,6, w 3,6, w 3 4,6, w4 5,6, w5 6,6, w6 (.97) Multiplicando-s a Equação (.95) por fazndo j = :,, 3, δ w, = [ δw δw δw3 δw4 δw5 δw6 ] (.98) 4, 5, 6, Multiplicando-s a Equação (.95) por fazndo j = :

79 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 79,, 3, δ w, = [ δw δw δw3 δw4 δw5 δw6 ] (.99) 4, 5, 6, Substituindo as Equaçõs (.96) (.97) na Equação (.85) rlmbrando-s os valors nodais tm-s a matriz d rigidz do lmnto: [ K ] G dω = Ω (.) ] ond a matriz d rigidz do lmnto [ K é dada pla intgral no domínio dos sguints coficints: = + = = =, =, 3, 4, 5, 6,,,,,,,,,, +, 3, + 4, 5, + + 6,,, = + = +,,,,,, = = = = = = = 3, 4, 5, 6, 3, 4, 5,,,,, 3, 3, 3, , 4, 5, 6, 3, 4, 5,,,,, 3, 3, 3, = = = = = = = 6, 4, 5, 6, 5, 6, 6, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, , 4, 5, 6, 5, 6, 6, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, (.) Substituindo as Equaçõs (.98) (.99), na Equação (.86) liminando-s os valors nodais da pondradora tm-s o vtor d cargas para o lmnto:

80 8 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 3 { F} G dω = Ω f f f f4 f 5 f6,ond : f f f f f f =,, = 3, 4, 5, 6,, =, 3, 4, 5, 6, = = = (.) Escrvndo-s a Equação (.84) sm os parâmtros nodais arbitrários da Pondradora na forma matricial: M = Ω G w f w f w M 3 f3 dω = α G dω (.3) w4 = Ω f4 w f 5 5 w6 f6 Pla quação (.3) afirma-s qu o mpnamnto é proporcional ao ângulo d rotação por unidad d comprimnto ( α ). Considrando todos os lmntos, obtém-s um sistma local smlhant ao sguint: w f w f w 3 f = w4 f w 5 f w6 f para cada lmnto, ond a matriz d coficints locais é simétrica. A fim d s obtr a matriz global do sistma, dvm-s somar todos os sistmas locais, d acordo com a Equação (.84), obtndo-s dsta forma um sistma único d quaçõs chamado sistma global. Os índics,,3,4,5, 6 nas quaçõs locais d cada lmnto possum uma corrspondência com a numração global dos nós. Dv-s avaliar a contribuição d cada um dos lmntos adicioná-la à matriz global. Por mplo, supondo qu o lmnto d uma

81 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 8 malha contndo 5 nós stja sndo considrado qu ista a sguint corrspondência ntr os nós locais globais: Ao sr procssado o lmnto m qustão, a sua contribuição srá adicionada à matriz global da forma squmatizada abaio: = f f f f f f w w w w w w w w w w w w w w w (.4) D acordo com a Equação (.4) as contribuiçõs locais são colocadas nas linhas colunas da matriz global dadas plo númro d nós globais; por mplo srá colocado na linha 5 coluna 7, 3 na linha 5 coluna 9, tc. Rptindo-s o procdimnto ilustrado para todos os lmntos da malha obtém-s um sistma d quaçõs linars global, Equação (.3), do tipo: [ ]{ } { } F w K = (.5) Obsrva-s qu a matriz d coficints [ ] K é simétrica, com poucos lmntos fora da diagonal principal.

82 8 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Após montada a matriz d coficints, solucionou-s o sistma d quaçõs rsultant (global) obtndo-s os mpnamntos ( w ). Ants d rsolvr o sistma d Equaçõs (.3) é ncssário solucionar as intgrais. Rsolvm-s stas, utilizando intgração numérica com 7 pontos d Hammr, como srá dscrito postriormnt, ainda nst capítulo. Ao s rsolvr o sistma d quaçõs (.5) ncontra-s um mpnamnto com io d rfrência arbitrário. Est mpnamnto não é o idal a sr aplicado no programa gral. É important s scolhr uma origm com significado físico. Nst trabalho adota-s o Cntro d Cisalhamnto ( CC ) ou o Cntro d Gravidad ( CG ) da sção. O sgundo é d dtrminação trivial. Assim a dtrminação do CC é dscrita no próimo sub-itm..4.4 CENTRO DE CISALHAMENTO O Cntro d Cisalhamnto é um ponto caractrístico da sção transvrsal, plo qual dv passar o plano d aplicação da rsultant das cargas transvrsais, consqüntmnt das forças cortants, d modo qu não ocorra torção, apnas flão. Calculou-s o Cntro d Cisalhamnto a partir da função mpnamnto através do Método dos Elmntos Finitos. O cálculo do cntro d cisalhamnto é ncssário na prsnt cinmática dsnvolvida, visto qu ao contrário os rsultados aprsntariam movimnto d corpo rígido. As tnsõs d cisalhamnto para uma origm qualqur são calculadas a partir das Equaçõs (.).

83 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 83 Dtrmina-s uma nova origm ( o, o ), substituindo-s m todos os cálculos: por por o o (.6) Lmbra-s qu os opradors não são altrados d acordo com as coordnadas da nova origm, pois valm as rlaçõs: = ( o) = ( o) (.7) Dadas rlaçõs (.6), (.7) substituindo-as nas Equaçõs (.) ncontram-s as tnsõs d cisalhamnto para uma nova origm: w τ z = G + α( ) τ z w = G α( ) (.8) Plas prssõs (.7) sab-s qu a matriz d rigidz para o cálculo d w não s altra. Assim, para sta nova origm, tm-s a sguint quação m lmntos finitos a rsolvr, após substituição das Equaçõs (.6) (.8) na Equação (.5): [( w, w, ) + ( δw, w, )] da = α G[ δw, ( o ) δw ( o )] δ da (.9) G, A A O novo mpnamnto gnérico para a origm ( o, o ) é calculado como: G[ ( δw, w, ) + ( δw, w, )] da = A α G( δw, δw, ) da α Gδw, oda + α A A A Gδw, da o (.) Analogamnt à Equação (.84), a Equação (.) pod sr scrita m rlação ao númro d lmntos:

84 84 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF M = α M A G [( δw w ) + ( δw w )] G,,,, da M M ( δw, δw, ) da α Gδw, oda + α A = = = A = A Gδw, da o (.) A Equação (.) pod sr scrita particularizando-a para cada lmnto: []{ w} α { F} + αo{ F } + αo{ F} = (.) Da Equação (.) da Equação (.) tm-s qu a matriz d rigidz [ K é dada ] por: t { }[] = G [( w w ) ( w w )] Dw δ,, + δ,, da (.3) A E ncontra-s scrita na forma matricial nas Equaçõs (.) (.). O vtor d cargas { F } fica: t { Dw }{ F} = G ( w, δw, ) A δ da (.4) E stá scrito na forma vtorial nas Equaçõs (.). A parcla corrspondnt ao vtor d } cargas { F é: t { }{ F} = Dw G, A δ w da (.5) scrito na forma vtorial, liminando-s os valors nodais arbitrários da Pondradora, fica: 3, { F} = G da A,, 4, 5, 6, } E a parcla corrspondnt ao vtor d cargas { F é: (.6) t { }{ F} = Dw G, A δ w da (.7)

85 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 85 qu pod sr scrito na forma vtorial, liminando-s { Dw } t, como aprsntado na quação abaio: 3, { F} = G da A,, 4, 5, 6, (.8) Pod-s dividir a solução da função mpnamnto ( w ) como: { w + w w } w = α + (.9) o o o Lmbra-s qu w é função da nova origm d acordo com a rlação (.6): [( ) ( )] w = w, (.) o o Da Equação (.) após a contribuição d todos os lmntos, tm-s o sistma d quaçõs global: []{ w} α { F} + α { F } + α { F } = (.) o o Substituindo-s a Equação (.9) na Equação (.), conclui-s qu: { w o } = [ K] { F} { w } [ K] { } = { w } [ K ] { } F = (.) F Dada a cinmática do mpnamnto considrando-s uma mudança d origm, Equação (.), ncssita-s dtrminar o Cntro d Cisalhamnto da sção transvrsal. Portanto, rlmbra-s a hipóts já citada qu também foi dscrita por ABRAMENTO (98), d qu cada sção transvrsal, inicialmnt plana, sofr um mpnamnto com a aplicação d um momnto torçor, diando d sr plana. Admit-s qu st mpnamnto é tal qu a sção mantém sua projção no plano com a forma inicial da sção, qu todas as sçõs mpnam do msmo modo, sndo qu o valor do mpnamnto é proporcional ao giro

86 86 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF por unidad d comprimnto ( α ). O mpnamnto da sção corrspond aos dslocamntos z d uma sção, assim, pod-s scrvr: ( z) w( ) w = α, (.3) ond α = β β é mostrado na Figura.6. Eistindo impdimnto ao livr mpnamnto z das sçõs, as fibras longitudinais sofrrão variação d comprimnto, d modo qu um lmnto d comprimnto dz tm su comprimnto variado d dw, sndo o alongamnto corrspondnt: w ε z = (.4) z Substituindo-s a Equação (.3) na Equação (.4) tm-s: ( ) ε z = α' w, (.5) Sndo σ σ idnticamnt nulos, as sçõs girando m torno do io d torção starão, portanto, sujitas à tnsão: σ = ε = Eα' w (.6) z E z Qu dvrá sr auto quilibrada na sção, nquanto apnas o momnto torçor for aplicado, dss modo, pod-s afirmar qu: σ zda = σ zda = σ z da = (.7) A A A Ou sja, nss caso, a tnsão σ não possui rsultant m força normal ( N z = σ da ) m A z momntos fltors ( M = σ da M = σ da). D ond dcorr qu sgundo MORI A z A (978), adotando-s a origm no Cntro d Gravidad ( CG ) ou no Cntro d Cisalhamnto ( CC ), as sguints condiçõs são vrdadiras: z

87 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 87 wda = A wda = A wda = A (.8) Para s calcular o Cntro d Cisalhamnto ( CC ), adota-s a origm inicial no Cntro d Gravidad ( CG ) aplicam-s as duas ultimas Equaçõs (.8). Rlativas à nova posição (cntro) d rfrência para o qual a condição é válida tal como m (.), ou sja, o CC. Assim: A [( ), ( )]( ) da = EwdA EwdA = cc cc cc Ew (.9) Substituindo-s a primira das Equaçõs (.8) na Equação (.9): A [( ), ( )]( ) da = EwdA = cc cc cc A A Ew (.3) Da Equação (.3) pod-s afirmar qu: cc A A A Ew Ew [( ), ( )] da = cc [( ), ( )] da = cc cc cc (.3) Portanto, rscrv-s a Equação (.9), considrando-s a nova origm como sndo o Cntro d Cisalhamnto ( CC ): [( ) ( )] = α{ w + w w } w, + (.3) cc cc o cc cc Substituindo-s a Equação (.3) na primira das Equaçõs (.3), lvando-s m considração a Equação (.) particularizando-a d acordo com o númro total d lmntos ( M ) tm-s: M = A ( w + w + w ) da = o cc cc E α (.33) Simplificando-s a Equação (.33) rorganizando-a tm-s: M M M E( w ) da + cc E( w ) da = E( wo ) A A A = = = cc da (.34)

88 88 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Particularizando a Equação (.34) para cada lmnto, têm-s os sguints coficints: a a = = A A = E E A ( w ) ( w ) F E da da ( w ) o da (.35) Intgrados os coficints (.35), a Equação (.34) pod sr scrita na forma global, após a contribuição d todos os lmntos: a = F (.36) cc + a cc Analogamnt substituindo-s a Equação (.3) na sgunda das Equaçõs (.3) fica: M = A ( w + w + w ) da = E α (.37) o cc A Equação (.37) pod sr assim rscrita: cc M M M E( w ) da + cc E( w ) da = E( wo ) A A A = = = cc da (.38) Particularizando a Equação (.38) para cada lmnto, têm-s os sguints coficints: a a = = A A = E E ( w ) ( w ) F E A da ( w ) o da da (.39) Intgrados os coficints (.39), a Equação (.38) pod sr scrita na forma global, após a contribuição d todos os lmntos:

89 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 89 a = F (.4) cc + a cc Da Equação (.36) da Equação (.4) tm-s o sistma d quaçõs global: a a a a cc cc F = F (.4) Rsolvndo o sistma d Equaçõs (.4) ncontram-s as coordnadas do Cntro d Cisalhamnto CC ( cc ; cc ). Muda-s o sistma d coordnadas fazndo: = = cc cc (.4) A partir do novo sistma d coordnadas ncontram-s os mpnamntos para o problma da torção livr d Saint-Vnant, para qualqur sção transvrsal, homogêna ou não-homogêna, cuja origm do sistma d coordnadas é o Cntro d Cisalhamnto, indpndnt da origm inicial adotada.

90 9 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF.4.5 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Uma forma d solucionar as intgrais rlativas à matriz d rigidz ao vtor d cargas nodais do lmnto finito triangular é calculá-las numricamnt. D acordo com ASSAN (3), a intgração numérica é ralizada no domínio dscrito plas coordnadas homogênas, ntão, o mapamnto é fito d modo a transformar todas as grandzas para o domínio ral do lmnto, cujas coordnadas são as cartsianas ( ),. No prsnt trabalho calcularam-s as intgrais numricamnt, utilizando-s st pontos d Hammr. A rlação ntr as coordnadas cartsianas as coordnadas homogênas para o lmnto finito triangular quadrático são dadas plas Equaçõs (.83). Qu após substituição das funçõs d forma ncontradas nas Equaçõs (.8) são scritas apnas m função d ξ ξ, como: ( ) ( ) ( ) = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + + ( ) ( ) ( ) = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + + (.43) Chamando J a matriz Jacobiana dada por: = ξ ξ ξ ξ J (.44)

91 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 9 Em ASSAN (3) ncontra-s a rprsntação gométrica do Jacobiano. Os coficints da matriz Jacobiana são ncontrados drivando-s as Equaçõs (.43) m rlação às coordnadas ξ ξ : + + = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + + = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ (.45) o dtrminant do Jacobiano é: = dt ξ ξ ξ ξ J (.46) a matriz invrsa da matriz jacobiana é: [ ] = dt ξ ξ ξ ξ J J (.47) Das Equaçõs (.45) scrvm-s as drivadas das funçõs d forma m rlação ao sistma local ( ) L : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = 6, 5, 4, 3,,, 6, 5, 4, 3,,, ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ L L L L L L L L L L L L ond:

92 9 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF = i i, j com 6 ξ j i =,,3,4,5, j =, Para transformar a drivada das funçõs d forma do sistma local para o global, dvs multiplicar a matriz invrsa do dtrminant do jacobiano plas drivadas das funçõs d forma:,, dt,, ξ ξ 3, 3, 4, 4, ξ ξ 5, 5, 6, = 6, (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L, L 3, L 4, L 5, L 6, L, L, L 3, L 4, L 5, L 6, L J (.48) Considrando o lmnto finito triangular com coordnadas homogênas, Figura., têm-s qu as matrizs vtors formulados no prsnt trabalho podm sr scritos através da ára do triangulo. Figura.. Elmnto triangular com coordnadas homogênas. Figura.. Pontos d intgração do lmnto triangular. Portanto tm-s: (, ) da = g( ξ, ξ, ξ ) ω dt J ( ξ, ξ ξ ) A i= n f (.49) 3 i, i A intgral é calculada rfrnt aos st pontos d intgração intrnos, Figura., da Tabla.. 3

93 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 93 Tabla. - Pontos psos (Hammr) para ξ ( =,,3 ) ngrau ( ) Pontos ξ ξ ξ 3 7 ( quíntuplo) i i, ASSAN (3). a, , , , 5 b, 79747, 865, 865, c, 865, 79747, 865, d, 865, 865, 79747, 69696, 474, 474, 5976, 6697 f, 5976, 474, 474, 6697 g, 474, 5976, 474, 6697 ω i Sndo n o númro d pontos tomados no intrvalo [, ], ξ i é a coordnada do ponto i são os psos associados ao ponto i. ω i.4.6 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Aprsntou-s nos sub-itns antriors a solução do problma da torção livr d Saint- Vnant plo MEF, com o objtivo d dtrminar o mpnamnto, para qualqur sção transvrsal, homogêna ou não-homogêna, cuja origm do sistma d coordnadas é o Cntro d Cisalhamnto, indpndnt da origm inicial adotada. Agora s aprsnta um fluograma (Figura.) da sua implmntação para uma maior comprnsão da strutura do código computacional rfrnt ao prsnt trabalho. Dscrvm-s as fass da implmntação computacional d forma sucinta squmática, visto qu a cinmática do mpnamnto foi dscrita dtalhadamnt nos subitns antriors.

94 94 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Figura.. Fluograma do código computacional rfrnt à torção livr d Saint-Vnant plo MEF. Para a implmntação computacional da solução da torção livr, primiramnt informam-s ao programa os dados da strutura (dnominados dados d ntrada) para a qual s dsja calcular o mpnamnto. Os dados d ntrada são: númro d lmntos, númro d nós, módulo d lasticidad longitudinal do lmnto do matrial prdominant, coordnadas nodais, incidência do lmnto (nós qu formam dtrminado lmnto) coficint d Poisson. Os dados d ntrada do lmnto rfrm-s a um lmnto finito triangular linar, no código computacional cutam-s cálculos d forma a adicionar um nó no mio d cada lado do lmnto, obtndo-s assim um lmnto finito triangular quadrático. Também s calcula o módulo d lasticidad transvrsal do lmnto do matrial prdominant na sção transvrsal. Dpois da litura d dados, calcula-s a posição do Cntro d Gravidad da sção transvrsal, cujo objtivo é a mudança da origm do sistma d coordnadas, inicialmnt qualqur, para o Cntro d Gravidad da sção. Dtrminam-s outras propridads da sção, qu não intrfrm na cinmática do mpnamnto, para qu stas sjam comparadas com outro autor no Capítulo 3. A tapa sguint é a solução dos sguints sistmas d quaçõs linars globais:

95 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF 95 [ K ]{ w } = { F } o o o [ K ]{ w } = { F } [ K ]{ w } = { F } (.5) Como já comntado tm-s qu a formulação das matrizs d rigidz não s altra, ou sja: [ K ] [ K ] = [ K ] = [ K ] = (.5) o As matrizs d rigidz dos lmntos são dadas plas Equaçõs (.) (.). O vtor d cargas do lmnto { F } é dado plas Equaçõs (.), considrando-s o vtor após a contribuição d todos os lmntos, tm-s a igualdad: { F } = { F o } (.5) Os vtors d cargas globais { } F { F } tm os sus vtors corrspondnts, para cada lmnto, dscritos na Equação (.6) na Equação (.8), rspctivamnt. Da solução dos sistmas d quaçõs (.5) ncontram-s { w o }, { } w { w } ncssários para o cálculo das coordnadas do Cntro d Cisalhamnto d acordo com o sistma d quaçõs (.4). Dtrminadas as coordnadas do Cntro d Cisalhamnto muda-s novamnt a origm do sistma d coordnadas, do Cntro d Gravidad para o Cntro d Cisalhamnto. Finalmnt rsolv-s o sistma d quaçõs global: [ ]{ w} { F} K = (.53) Obtndo-s como rsultado o mpnamnto do problma da torção livr d Saint-Vnant, objtivo dst código computacional. Obsrva-s qu o usuário pod ntrar com uma sção transvrsal d gomtria qualqur considrá-la composta por quaisqur matriais, homogêna ou não.

96 96 Capítulo : Torção livr d Saint-Vnant plo MEF Lmbra-s ainda qu o mpnamnto obtido para α = é chamado modo d mpnamnto srá adicionado à cinmática d Rissnr-Timoshno d barra gral laminada 3D d forma a incluir o parâmtro intnsidad d mpnamnto.

97 Capítulo 3 EXEMPLOS DE TORÇÃO LIVRE EMPENAMENTO 3. INTRODUÇÃO Est capítulo tm como objtivo comprovar a ficiência da cinmática dsnvolvida no prsnt trabalho dscrita no Capítulo, no cálculo do mpnamnto para o problma da torção livr d Saint-Vnant. Portanto, a partir d mplos d barras submtidas à torção livr d Saint-Vnant comprova-s a ficácia do procdimnto numérico dsnvolvido m solucionar st problma para uma sção transvrsal d gomtria qualqur, homogêna não-homogêna. O mpnamnto é vrificado a partir da comparação d rsultados provnints da toria técnica d soluçõs analíticas conhcidas para mplos d torção livr d Saint- Vnant com sçõs transvrsais fchadas abrtas com pards dlgadas, compostas por um ou difrnts tipos d matriais. O io d rfrência dsta cinmática é o io qu passa plo cntro d cisalhamnto da pça. Mostram-s os rsultados m outro io ( CG) vrificando-s a influência dsta posição nos rsultados sprados, no mplo do Prfil U simpls, Figura 3.8 Figura 3.9.

98 98 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 3. SEÇÃO TRANSVERSAL HOMOGÊNEA Para as sçõs transvrsais homogênas vrificaram-s os rsultados do mpnamnto para sçõs abrtas fchadas. 3.. FECHADA Aprsntam-s as aplicaçõs da torção livr d Saint-Vnant, comparando-s com outros autors os rsultados obtidos para o problma da torção uniform m barras com sção transvrsal m forma d lips, círculo, triângulo qüilátro, rtângulo quadrado. A solução dst problma, considrando sçõs fchadas, é aprsntada por vários autors, tais como SILVA (5), ABRAMENTO (98), TIMOSHENKO & GOODIER (98), ZAGOTTIS (979), cujos rsultados são smlhants. Els rsolvm o problma da torção livr no contto da toria da lasticidad, plo método smi-invrso, d acordo com as hipótss d Saint-Vnant. Comprova-s o bom rsultado do prsnt trabalho ao rsolvr ss problma comparando-s o mpnamnto obtido m SILVA (5) para a lips, o círculo, o rtângulo o quadrado. Os rsultados para a sção transvrsal na forma d triângulo qüilátro são comparados com ABRAMENTO (98). Os rsultados rfrm-s ao cntro d cisalhamnto da sção transvrsal, qu para sts mplos coincidm com o cntro d gravidad.

99 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Elíptica A função mpnamnto para a sção transvrsal líptica d SILVA (5), rfrnts à torção livr Saint-Vnant é: b a w (, ) = + w (3.) b + a ond w é o mpnamnto; são as coordnadas cartsianas; a b são as dimnsõs mostradas na Figura 3.. Adotou-s a = b =. Figura 3.. Sção transvrsal líptica. Figura 3.. Malha da sção transvrsal líptica adotada no Prsnt Trabalho. Grou-s uma malha com 96 lmntos. 89 nós, como ilustra a Figura 3.. A Figura 3.3 aprsnta o mapa d dslocamntos a configuração dformada, rfrnts ao Prsnt Trabalho, para a sção transvrsal líptica.

100 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Figura 3.3. Mapa do mpnamnto configuração dformada da sção transvrsal líptica rfrnt ao Prsnt Trabalho. E a Figura 3.4 é o mapa d dslocamntos a configuração dformada rlativo aos rsultados d SILVA (5). Figura 3.4. Mapa do mpnamnto configuração dformada da sção transvrsal líptica rfrnt a SILVA (5). A razão rlativa ntr o Prsnt Trabalho SILVA (5), para a lips, é aprsntada na Tabla 3.. Os rsultados ncontrados são aproimadamnt iguais, com uma difrnça dsprzívl, m situaçõs práticas d ngnharia.

101 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Tabla 3. - Comparação do mpnamnto rlativo da sção transvrsal líptica. Prsnt Trabalho SILVA (5) w ma w min ma wmin w ma w w min wma wmin Razão Rlativa (%) 59, ,936 9,875 59,967-59,967 9,9544, Circular D acordo com SILVA (5), para a sção transvrsal circular utiliza-s a msma função usada para a lips, Equação (3.), faz-s (, ) w a = b, obtndo-s a sguint função: w = (3.) Admitiu-s a = b =. Figura 3.5. Malha da sção transvrsal circular adotada no Prsnt Trabalho. Figura 3.6. Empnamnto da sção transvrsal circular rfrnt ao Prsnt Trabalho a SILVA (5).

102 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Para a implmntação numérica adotou-s uma malha com lmntos 44 nós, mostrada na Figura 3.5. A Figura 3.6 aprsnta a configuração dformada, do Prsnt Trabalho d SILVA (5), para a sção circular. A razão rlativa ntr o Prsnt Trabalho SILVA (5) é aprsntada na Tabla 3.. Como sprado, para a sção circular, d acordo com a toria d Coulomb, ambos os trabalhos não aprsntam mpnamnto, ou sja, stão d acordo com a hipóts d qu as sçõs transvrsais da barra prmancm planas giram sm distorção durant a torção, lvando à solução ata do problma da barra com sção transvrsal circular. Tabla 3. - Comparação do mpnamnto rlativo da sção transvrsal circular. w ma ( cm ) Prsnt Trabalho SILVA (5) w cm min ( ) w ma w min ( cm ) w ma ( cm ) w cm min ( ) w ma w min ( cm ) Razão Rlativa (%)

103 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Triangular Quando a sção transvrsal é um triângulo qüilátro, sgundo ABRAMENTO (98), tm-s a sguint função mpnamnto para a torção livr Saint-Vnant: w 3 (, ) ( 3z ) = (3.3) a ond a é a dimnsão mostrada na Figura 3.7. Adotou-s a = 3. Figura 3.7. Sção transvrsal triangular. Figura 3.8. Malha da sção transvrsal triangular adotada no Prsnt Trabalho. Calculou-s o mpnamnto nst trabalho utilizando-s uma malha com 5 lmntos 33 nós, aprsntada na Figura 3.8. A Figura 3.9 aprsnta o mapa do mpnamnto a configuração dformada, do Prsnt Trabalho, para a sção transvrsal triangular.

104 4 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Figura 3.9. Mapa do mpnamnto configuração dformada da sção transvrsal triangular rfrnt ao Prsnt Trabalho. E a Figura 3. é o mapa do mpnamnto a configuração dformada rfrnts aos rsultados ABRAMENTO (98). Figura 3.. Mapa do mpnamnto configuração dformada da sção transvrsal triangular rfrnt à ABRAMENTO (98). A razão rlativa ntr o Prsnt Trabalho ABRAMENTO (98), para a sção transvrsal qu corrspond ao triângulo qüilátro, é aprsntada na Tabla 3.3. A difrnça istnt ntr os dois trabalhos pod sr dsconsidrada, uma vz qu os rsultados são muito smlhants.

105 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 5 Tabla Comparação do mpnamnto rlativo da sção transvrsal triangular. Prsnt Trabalho ABRAMENTO (98) w ma w min ma wmin w ma w w min wma wmin Razão Rlativa (%) 33,6-33,6 66,54 33,554-33,554 66,58, Rtangular A função mpnamnto para a sção rtangular d SILVA (5), rfrnts à torção livr Saint-Vnant é: (, ) w 35 ( a + 9a b 9 a b b ) + a b = w a + 4a b + 4a b + b ( ) (3.4) ond a b são as dimnsõs mostradas na Figura 3.. Adotou-s a = b =. Dv-s obsrvar qu sta função não é complta, pois sgundo Timoshno (98) a solução complta é dada por séri d Fourrir. Figura 3.. Sção transvrsal rtangular. Figura 3.. Malha da sção transvrsal rtangular adotada no Prsnt Trabalho.

106 6 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Criou-s uma malha com 4 lmntos 86 nós, para o prsnt trabalho, qu stá rprsntada na Figura 3.. A Figura 3.3 aprsnta o mapa do mpnamnto a configuração dformada, do prsnt trabalho, para a sção rtangular. Figura 3.3. Mapa do mpnamnto configuração dformada da sção transvrsal rtangular rfrnt ao Prsnt Trabalho. E a Figura 3.4 é o mapa do mpnamnto a configuração dformada rfrnts aos rsultados d SILVA (5). Figura 3.4. Mapa do mpnamnto configuração dformada da sção transvrsal rtangular rfrnt a SILVA (5).

107 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 7 A razão rlativa ntr o Prsnt Trabalho SILVA (5), para a sção rtangular, é aprsntada na Tabla 3.4. Para sta sção há uma pquna difrnça ntr os rsultados, sndo qu o prsnt trabalho é mais prciso, por sr mnos aproimado. Tabla Comparação do mpnamnto rlativo da sção transvrsal rtangular. Prsnt Trabalho SILVA (5) w ma w min ma wmin w ma w w min wma wmin Razão Rlativa (%) 4, , ,98956,94 -,94,3884 3, Quadrada A função mpnamnto para a sção transvrsal quadrada d SILVA (5) é a msma Equação (3.4), nst caso, adotou-s a = b =. Grou-s uma malha com 8 lmntos. 68 nós, como ib a Figura 3.5. Figura 3.5. Malha da sção transvrsal quadrada adotada no Prsnt Trabalho. A Figura 3.6 aprsnta o mapa do mpnamnto a configuração dformada, do Prsnt Trabalho, para a sção transvrsal quadrada.

108 8 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Figura 3.6. Mapa do mpnamnto configuração dformada da sção transvrsal quadrada rfrnt ao Prsnt Trabalho. E a Figura 3.7 é o mapa do mpnamnto a configuração dformada, d SILVA (5), para a sção transvrsal quadrada. Figura 3.7. Mapa do mpnamnto configuração dformada da sção transvrsal quadrada rfrnt a SILVA (5). A razão rlativa ntr o Prsnt Trabalho SILVA (5), para a sção quadrada, é aprsntada na Tabla 3.5. A sção quadrada aprsnta uma difrnça ntr os rsultados mnor do qu a sção rtangular.

109 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 9 Tabla Comparação do mpnamnto rlativo da sção transvrsal quadrada. Prsnt Trabalho SILVA (5) w ma w min ma wmin w ma w w min wma wmin Razão Rlativa (%) 58, ,473 6, , , ,46666, Com sss mplos d torção livr para sçõs transvrsais fchadas, confirmam-s as implmntaçõs computacionais sguindo as hipótss d Saint-Vnant vrifica-s a capacidad dst código computacional m solucionar st tipo d problma d forma satisfatória. 3.. ABERTAS E PAREDES DELGADAS Sgundo VLASOV (96) uma barra é considrada d sção dlgada quando suas dimnsõs rlativas satisfazm as sguints ordns d grandza: δ, d d L, (3.5) ond δ é a spssura, d é a largura ou altura da sção transvrsal L o comprimnto, como mostra a Figura 3.8. Figura 3.8. Barra com sção dlgada.

110 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Os rsultados numéricos do Prsnt Trabalho, rfrnts ao MEF basados na toria d torção livr d Saint-Vnant, srão comparados com a Toria Técnica para barras com pards abrtas sçõs dlgadas, dsnvolvida por Vasilii Zaharovich Vlasov (96). Encontram-s publicaçõs rfrnts a sta toria m datas antriors a sta, como m VLASOV (94). Eplicar o qu sja uma sção transvrsal abrta com pards dlgadas quais suas particularidads d cálculo stão além dos objtivos dssa dissrtação. Tais informaçõs podm sr ncontradas nos sguints trabalhos: VLASOV (96), RACHID (975), MORI (978), MORI (988) MUNAIAR NETO (6). Comparou-s a formulação dsnvolvida com os rsultados, das propridads das sçõs dlgadas os valors da ára storial na linha squlto da sção transvrsal, obtidos através do programa FLEXO II, dsnvolvido por ANTUNES (999) com bas nas rfrências supra-citadas. Procurando-s tstar a formulação com dimnsõs rais adotaram-s alguns prfis struturais d aço formado a frio, com sção transvrsal abrta, traídos da NBR 6355/3. Escolhram-s as spssuras paras os prfis U simpls, conform a tabla A. (NBR 6355/3). E prfil Z nrijcido a 9, conform a tabla A.4 (NBR 6355/3). Também s considrou o prfil I, a partir d dois prfis U. Pla toria d Vlasov, o mpnamnto ( w ) é dado por: w = ωα (3.6) ond ω é a ára storial α o giro por unidad d comprimnto. Através da Equação (3.6) calcularam-s os valors para os mpnamntos das sçõs transvrsais abrtas com pards dlgadas, rfrnts à toria técnica. Os valors d α foram adotados com o objtivo d simular situaçõs usuais na prática do trabalho com struturas mtálicas.

111 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Para fito d cálculo dsprzou-s a curvatura formada por lmntos adjacnts nos prfis formados a frio. Considrou-s qu todos sss ângulos são iguais a 9 ocorrm abruptamnt. A toria d Vlasov considra a linha squlto da sção transvrsal para a dtrminação do diagrama d ára storial. Portanto os valors do mpnamnto, obtidos por ambas as torias, srão comparados para a linha squlto. A unidad dos dslocamntos (mpnamnto) para os mplos com sçõs transvrsais abrtas pards dlgadas é o milímtro ( mm ) Anális d convrgência O objtivo da anális d convrgência é dtrminar o númro d lmntos a partir do qual os rsultados não aprsntm altraçõs significativas. Dado o prfil Z 9 5 7, (Tabla 3.7), vrificou-s o mpnamnto no ponto (Figura 3.) para malhas com difrnts quantidads d lmntos. Ests rsultados ncontram-s na Tabla 3.6. Tabla Anális d convrgência do Prfil Z 9 5 7,. N º lmntos w ( mm ) 8,98754,9953 8, , ,99745

112 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr E a vrificação é fita através d mplos qu srão aprsntados postriormnt. Rprsntou-s a anális d convrgência graficamnt como mostra a Figura 3.9, na abscissa tm-s o númro d lmntos na ordnada os valors do mpnamnto no ponto. Em rlação aos rsultados, a partir da anális d convrgência para as sçõs transvrsais abrtas com pards dlgadas pod-s afirmar qu por mais pobr qu sja a malha, a difrnça no rsultado é dsprzívl, m situaçõs práticas d ngnharia, como s obsrva na Tabla 3.6 Figura 3.9. Portanto, para mplos com sçõs transvrsais dss tipo considrou-s a dimnsão máima possívl para o lmnto triangular (dois lmntos para cada trcho triangular), garantindo-s a conformidad dos lmntos, rspitando a dimnsão do prfil, impondo a istência d nós na linha squlto. Já qu os rsultados são pouco snsívis à malha adotada. Figura 3.9. Rprsntação gráfica da anális d convrgência do prfil Z 5 7,. 9

113 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Prfil Z nrijcido a 9 As dimnsõs adotadas para o prfil Z 9 foram obtidas a partir da NBR 6355/ 3, procurando-s vrificar a formulação dsnvolvida m casos d dimnsõs rais (Tabla 3.7). Tabla Séri comrcial do prfil strutural Z rspctiva dsignação (NBR6355/3). Séri Sção transvrsal Dsignação ) Z nrijcido a 9 ) As dimnsõs são aprsntadas m milímtros. Z 9 b w b f D tn Emplos: Z 5 7, 9 Z 5 7, 9 Z 5 7 3, 9 Analisou-s o mpnamnto dos Prfis Z 9 com malhas constituídas por 8 lmntos 57 nós, como ilustra a Figura 3.. Figura 3.. Malha adotada para o Prfil Z 9. Figura 3.. Nós do vértic da linha squlto do Prfil Z 9. Os nós, cujos mpnamntos da sção transvrsal Z, qu prtncm à linha squlto foram scolhidos para a comparação ntr a toria técnica os rsultados numéricos, stão rprsntados na Figura 3..

114 4 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Ára Storial Propridads Ára Storial Propridads Ára Storial Propridads Figura 3.. Propridads ára storial do Prfil Z 9, ANTUNES (999).

115 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 5 Lmbra-s qu a sção Z é ponto - simétrica, portanto tm-s a ára storial o mpnamnto d forma qu os valors do nó são iguais aos do nó 6, iguais aos 5 3 iguais aos 4, Figura 3.. Do programa FLEXO II, dsnvolvido por ANTUNES (999) têm-s as propridads (Figura 3., à dirita) valors d ára storial (unidad: mm ) dos Prfis Z 9 (Figura 3., à squrda), para difrnts spssuras. Ond D é o Cntro d Torção, CG o Cntro d Gravidad (,) a origm do sistma d coordnadas. Como a sção Z é ponto - simétrica, o cntro d torção ( D ) ou d cisalhamnto ( CC ) coincid com o cntro d gravidad ( CG ), conform rsultados obtidos através do programa FLEXO II. Os valors na linha squlto são as spssuras das sçõs (Figura 3., à dirita - Propridads). As cotas são m rlação ao io da sção transvrsal, ou sja, na linha squlto. A unidad d rfrência é o milímtro ( mm ). Aprsntam-s na Tabla 3.8 os rsultados das propridads dos Prfis Z 9, para difrnts spssuras, obtidos a partir do Prsnt Trabalho d ANTUNES (999), bm como, a comparação dsts rsultados. A difrnça ncontrada é dsprzívl m situaçõs práticas d ngnharia.

116 6 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Tabla Comparação das propridads do Prfil Z 9. Propridads Prsnt Trabalho ANTUNES (999) Razão Rlativa (%) Z 9 5 7, Ára (mm²) 75,4 75,4, I (mm 4 ) , ,, I (mm 4 ) 6.748,4 6.73,8,6 (CG) (mm) 48,8 48,8, (CG) (mm) 49,4 49,4, θ ( ) -9,57-9,57, J t (mm 4 ) 33,83 3,,35 (D) (mm) 48,8 48,8, (D) (mm) 49,4 49,4, Z 9 5 7, Ára (mm²) 45, 45,, I (mm 4 ) 94.98, ,,5 I (mm 4 ) , 98.97,,6 (CG) (mm) 48, 48,, (CG) (mm) 49, 49,, θ ( ) -9, -9,, J t (mm 4 ) 65,49 6,67,8 (D) (mm) 48, 48,, (D) (mm) 49, 49,, Z , Ára (mm²) 666, 666,, I (mm 4 ).33.93, ,, I (mm 4 ) 39.49, ,,38 (CG) (mm) 47, 47,, (CG) (mm) 48,5 48,5, θ ( ) -8,78-8,78, J t (mm 4 ).56,7.998,,85 (D) (mm) 47, 47,, (D) (mm) 48,5 48,5, A Figura 3.3 mostra o mapa do mpnamnto a configuração dformada dos prfis Z, para difrnts spssuras, no cntro d gravidad da sção transvrsal, qu coincid com o cntro d cisalhamnto, para st mplo d prfil Z ponto - simétrica. Ests rsultados rfrm-s ao prsnt trabalho.

117 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 7 Figura 3.3. Mapa d dslocamntos configuração dformada do Prfil Z 9 no CG CC. Os rsultados dos mpnamntos, rfrnts aos nós rprsntados na Figura 3., para os valors obtidos a partir da toria técnica (Vlasov) do prsnt trabalho (Saint- Vnant), para difrnts spssuras, ncontram-s na Tabla 3.9. Os rsultados da ára storial são d ANTUNES (999) ncontram-s na Figura 3..

118 8 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Nós Tabla Comparação do mpnamnto do Prfil Z 9. Prsnt Trabalho Empnamnto ( mm ) Ára Storial ( mm ) Giro ( rad mm) Toria Técnica Empnamnto ( mm ) Razão Rlativa (%) Z 9 5 7, 8,737.95,5, ,773,3 7,89.495,9, ,849,3 3-43,37-95,53, ,38, Z 9 5 7,,987.33,6,3357 3,7,9 5,83.465,6,3357 5,95,8 3-9,3-886,938,3357-9,38,7 Z , 6,636.56,3, ,648,9 4,395.47,73, ,4,6 3 -,63-85,769, ,66, A Figura 3.4 é a rprsntação gráfica dos valors dos mpnamntos nos pontos, 3 da linha squlto, ilustrados na Figura 3.. Os nós 4, 5 6 foram omitidos por srm simétricos. O prsnt trabalho aprsnta o cálculo do mpnamnto m toda a sção transvrsal como mostra a Figura 3.3. A toria técnica calcula o mpnamnto apnas na linha squlto, qu são os rsultados comparados com o prsnt trabalho. Apsar da cinmática do prsnt trabalho sr mnos simplificada aprsntar rsultados mais próimos dos rais, a toria técnica também aprsnta uma prcisão acitávl na linha squlto como mostram a Tabla 3.9 a Figura 3.4.

119 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 9 Figura 3.4. Rprsntação gráfica do mpnamnto do Prfil Z Prfil U simpls As dimnsõs adotadas para o Prfil U simpls foram obtidas a partir da NBR6355/3, procurando-s vrificar a formulação dsnvolvida m casos d dimnsõs rais (Tabla 3.). Tabla 3. - Séri comrcial do prfil strutural U rspctiva dsignação (NBR6355/3). Séri Sção transvrsal Dsignação ) U simpls ) As dimnsõs são aprsntadas m milímtros. U b b t w Emplos: U 75, 65 U 75 3, U 75 3, 75 U 75 8, f n

120 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Analisou-s o mpnamnto dos Prfis U simpls com malhas constituídas por lmntos 33 nós, como ilustra a Figura 3.5. Figura 3.5. Malha adotada para o Prfil U simpls. Figura 3.6. Nós do vértic da linha squlto do Prfil U simpls. Os nós, cujos mpnamntos da sção transvrsal U, qu prtncm à linha squlto foram scolhidos para a comparação ntr a toria técnica os rsultados numéricos, stão rprsntados na Figura 3.6. Do programa FLEXO II, dsnvolvido por ANTUNES (999) têm-s as propridads (Figura 3.7, à dirita) valors d ára storial (unidad: mm ) dos Prfis U simpls (Figura 3.7, à squrda). Ond D é o Cntro d Torção, CG o Cntro d Gravidad (,) a origm do sistma d coordnadas. Os valors na linha squlto são as spssuras das sçõs (Figura 3.7, à dirita - Propridads). As cotas são m rlação ao io da sção transvrsal, ou sja, na linha squlto. A unidad d rfrência é o milímtro ( mm ). Aprsntam-s na Tabla 3. os rsultados das propridads dos Prfis U simpls, para difrnts spssuras, obtidos a partir do Prsnt Trabalho d ANTUNES (999), bm como a comparação dsts rsultados. A difrnça é dsprzívl m situaçõs práticas d ngnharia.

121 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Ára Storial Propridads Ára Storial Propridads Ára Storial Propridads Ára Storial Propridads Figura 3.7. Propridads ára storial do Prfil U simpls, ANTUNES (999).

122 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Tabla 3. - Comparação das propridads do Prfil U simpls. Propridads Prsnt Trabalho ANTUNES (999) Razão Rlativa (%) U 75,65 Ára (mm²) 648, ,455, I (mm 4 ).9.56,857.9.,,4 I (mm 4 ) , ,,5 (CG) (mm),75,8 -,3 (CG) (mm) 48,675 48,675, θ ( ),,, J t (mm 4 ).539,5.57,93,4 (D) (mm) -3, -3,79 -,6 (D) (mm) 48,675 48,675, U 75 3, Ára (mm²) 73, 73,, I (mm 4 ) , ,,5 I (mm 4 ) , ,,7 (CG) (mm),3,4,4 (CG) (mm) 48,5 48,5, θ ( ),,, J t (mm 4 ).3,85 96,,56 (D) (mm) -3, -3, -,33 (D) (mm) 48,5 48,5, U 75 3,75 Ára (mm²) 99,375 99,375, I (mm 4 ) , ,,8 I (mm 4 ) , ,, (CG) (mm),36,5,7 (CG) (mm) 48,5 48,5, θ ( ),,, J t (mm 4 ) 4.344,74 4.6,7,89 (D) (mm) -9,779-9,963,6 (D) (mm) 48,5 48,5, U 75 8, Ára (mm²).87,.87,, I (mm 4 ) , ,,4 I (mm 4 ).49.54,94.44.,,5 (CG) (mm),47,54,3 (CG) (mm) 46, 46,, θ ( ),,, J t (mm 4 ) 4.35, , 3,36 (D) (mm) -8,4-9,9,34 (D) (mm) 46, 46,, A Figura 3.8 mostra o mapa do mpnamnto a configuração dformada dos prfis U simpls, para difrnts spssuras, no cntro d gravidad da sção transvrsal.

123 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 3 Figura 3.8. Mapa d dslocamntos configuração dformada do Prfil U simpls, origm no CG. Figura 3.9. Mapa d dslocamntos configuração dformada do Prfil U simpls, origm no CC.

124 4 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr E a Figura 3.9 ilustra o mapa do mpnamnto a configuração dformada para os prfis U simpls, com origm no cntro d cisalhamnto da sção transvrsal. Ests rsultados rfrm-s ao prsnt trabalho. Obsrvam-s na Figura 3.8 Figura 3.9 qu os valors do mpnamnto obtidos considrando-s a origm no CG são difrnts daquls para a origm no CC, porqu ocorr movimnto d corpo rígido. Visto qu a difrnça ntr o mpnamnto máimo mínimo d cada sção coincid para ambas as origns. Os rsultados dos mpnamntos, rfrnts aos nós rprsntados na Figura 3.6, para os valors obtidos a partir da toria técnica (Vlasov) do prsnt trabalho (Saint- Vnant), para difrnts spssuras, ncontram-s na Tabla 3.. Os rsultados da ára storial são d ANTUNES (999) s ncontram na Figura 3.7. Tabla 3. - Comparação do mpnamnto do Prfil U simpls no CC. Nó Prsnt Trabalho Empnamnto ( mm ) Ára Storial ( mm ) Giro ( rad mm) Toria Técnica Empnamnto ( mm ) Razão Rlativa (%) U 75,65 8,737.7,9, ,7,3-6, ,94, ,578,5 3 6,46.468,94, ,578,5 4-8, ,9, ,7,3 U 75 3, 5,9844.4,39,8463 5,9898,4-4, ,36,8463-4,55,9 3 4,436.46,36,8463 4,55,9 4-5, ,39,8463-5,9898,4 U 75 3,75 3, ,7, ,378,7 -, ,97, ,466,3 3,986.44,97,459579,466,3 4-3, ,7, ,378,6 U 75 8,, ,86,53454,9583,36 -, ,4, ,534,38 3,45.338,4,53454,534,4 4 -, ,86, ,9583,3

125 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 5 A Figura 3.3 é a rprsntação gráfica dos valors dos mpnamntos nos pontos ilustrados na Figura 3.6. Figura 3.3. Rprsntação gráfica da comparação do mpnamnto do Prfil U simpls. O prsnt trabalho aprsnta o cálculo do mpnamnto m toda a sção transvrsal como mostra a Figura 3.9. A toria técnica calcula o mpnamnto apnas na linha squlto, qu são os rsultados comparados com o prsnt trabalho. Apsar da cinmática do prsnt trabalho sr mnos simplificada aprsntar rsultados mais próimos dos rais, a toria técnica também aprsnta uma prcisão acitávl na linha squlto como mostram a Tabla 3. a Figura 3.3.

126 6 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Prfil I A sção I considra a união d dois Prfis U simpls. As dimnsõs são as dscritas na Tabla 3.3. Tabla Séri do Prfil I adotado a partir d dois prfis struturais U rspctiva dsignação. Séri Sção transvrsal Dsignação ) I I = (U b w b f tn ) Emplos: I = (U 75.65) I = (U 75 3.) I = (U ) I = (U 75 8.) ) As dimnsõs são aprsntadas m milímtros. Analisou-s o mpnamnto dos Prfis I com malhas constituídas por 4 lmntos 45 nós, como ilustra a Figura 3.3. Os nós, cujos mpnamntos da sção transvrsal I, qu prtncm à linha squlto foram scolhidos para a comparação ntr a toria técnica os rsultados numéricos, stão rprsntados na Figura 3.3.

127 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 7 Figura 3.3. Malha adotada para o Prfil I. Figura 3.3. Nós do vértic da linha squlto do Prfil I. Do programa FLEXO II, dsnvolvido por ANTUNES (999) têm-s as propridads (Figura 3.33, à dirita) valors d ára storial (unidad: mm ) dos Prfis I (Figura 3.33, à squrda), para difrnts spssuras. Ond D é o Cntro d Torção, CG o Cntro d Gravidad (,) a origm do sistma d coordnadas. Os valors na linha squlto são as spssuras das sçõs (Figura 3.33, à dirita - Propridads). As cotas são m rlação ao io da sção transvrsal, ou sja, na linha squlto. A unidad d rfrência é o milímtro ( mm ). Aprsntam-s na Tabla 3.4 os rsultados das propridads dos Prfis I, para difrnts spssuras, obtidos a partir do Prsnt Trabalho d ANTUNES (999), bm como, a comparação dsts rsultados. A difrnça ncontrada é dsprzívl m situaçõs práticas d ngnharias.

128 8 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Ára Storial Propridads Ára Storial Propridads Ára Storial Propridads Ára Storial Propridads Figura Propridads ára storial do Prfil I, ANTUNES (999).

129 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 9 Tabla Comparação das propridads do Prfil I. Propridads Prsnt Trabalho ANTUNES (999) Razão Rlativa (%) I = (U 75.65) Ára 96,9 3,96,8 I 59,74 95,,43 I 498, ,, (CG) 75, 75,, (CG) 48,675 48,675, θ,,, J t 674, ,,76 (D) 75, 75,, (D) 48,675 48,675, I = (U 75 3.) Ára 464, 48,,3 I 5399, ,,6 I 6899,8 6895,, (CG) 75, 75,, (CG) 48,5 48,5, θ,,, J t 9765, 9684,,83 (D) 75, 75,, (D) 48,5 48,5, I = (U ) Ára 88,75 846,88,55 I 3494,7 3643,, I 67,39 76,, (CG) 75, 75,, (CG) 48,5 48,5, θ,,, J t 8993,9 888,6,97 (D) 75, 75,, (D) 48,5 48,5, I = (U 75 8.) Ára 3744, 387, 3,4 I , 6945, 4, I 45867, ,,6 (CG) 75, 75,, (CG) 46, 46,, θ,,, J t 7939,9 768,,44 (D) 75, 75,, (D) 46, 46,, A Figura 3.34 mostra o mapa do mpnamnto a configuração dformada, rfrnt ao prsnt trabalho, dos prfis I, para difrnts spssuras, no cntro d gravidad da sção transvrsal, qu para st prfil coincid com o cntro d cisalhamnto.

130 3 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Figura Mapa d dslocamntos configuração dformada do Prfil I no CG CC. Os rsultados dos mpnamntos, rfrnts aos nós rprsntados na Figura 3.3, para os valors obtidos a partir da toria técnica (Vlasov) do prsnt trabalho (Saint- Vnant), para difrnts spssuras, ncontram-s na Tabla 3.5. Os rsultados da ára storial são d ANTUNES (999) s ncontram também na Figura A Figura 3.35 é a rprsntação gráfica dos valors dos mpnamntos nos pontos ilustrados na Figura 3.3. O prsnt trabalho aprsnta o cálculo do mpnamnto m toda a sção transvrsal como mostra a Figura A toria técnica calcula o mpnamnto apnas na linha squlto, qu são os rsultados comparados com o prsnt trabalho.

131 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 3 Nó Tabla Comparação do mpnamnto do Prfil I. Prsnt Trabalho Empnamnto ( mm ) Ára Storial ( mm ) Giro ( rad mm) Toria Técnica Empnamnto ( mm ) Razão Rlativa (%) I = (U 75.65) -3, ,6, ,4334,7 3, ,63, ,4335,7 3 3, ,6, ,4334,7 4-3, ,63, ,4335,7 I = (U 75 3.) -, ,5, ,36,, ,5,649466,36, 3, ,5,649466,36, 4 -, ,5, ,36, I = (U ) -, -369,37, ,5,34, 369,38,33388,5,34 3, 369,37,33388,5,34 4 -, -369,38, ,5,34 I = (U 75 8.) -,6-345,, ,96,48,6 345,,353497,96,48 3,6 345,,353497,96,48 4 -,6-345,, ,96,48 Apsar da cinmática do prsnt trabalho sr mnos simplificada aprsntar rsultados mais próimos dos rais, a toria técnica também aprsnta uma prcisão acitávl na linha squlto como mostram a Tabla 3.5 a Figura Figura Rprsntação gráfica da comparação do mpnamnto do Prfil I.

132 3 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 3.3 SEÇÃO NÃO-HOMOGÊNEA Para a vrificação da formulação da torção livr considrando-s a sção transvrsal composta por difrnts matriais analisaram-s alguns mplos. Primiro considrou-s um Prfil U simpls constituído por dois matriais difrnts. No sgundo mplo, analisou-s o comportamnto d uma sção transvrsal formada por concrto armado. E finalmnt obsrvaram-s sçõs transvrsais corrspondnts às struturas aronáuticas PERFIL U LAMINADO O Prfil U simpls foi obtido da NBR 6355 (Tabla 3.6), procurando-s tstar a formulação dsnvolvida para o mpnamnto m casos d dimnsõs rais: Tabla Séri comrcial do prfil strutural rspctiva dsignação (NBR6355/3). Séri Sção transvrsal Dsignação ) U simpls U b b t w U f n ) As dimnsõs são aprsntadas m milímtros.

133 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 33 A malha foi discrtizada m 46 lmntos finitos triangulars com variação do mpnamnto quadrática 9 nós (Figura 3.36). Considrou-s a sção transvrsal laminada (Figura 3.36), sndo qu o matrial da maioria dos lmntos é a borracha, com o sguint módulo d lasticidad E 9 = N / m coficint d Poisson 5 ν =,. O matrial adotado para quatro 4 lmntos foi o aço ( E =,5 N / m, ν =, 3 ). Os lmntos constituídos por aço ncontram-s nas trmidads do prfil U como mostra o dtalh A da Figura Figura Malha para o prfil U laminado. O prfil U, com as caractrísticas dscritas antriormnt, aprsnta o mapa d dslocamntos a configuração dformada ilustrados na Figura Com o único objtivo d ilustrar, a Figura 3.38 aprsnta o mapa d dslocamntos a configuração dformada (m milímtro) do prfil U 5758, formado por um único matrial, o aço. Aqui não srão vrificados os valors dos mpnamntos para a sção constituída por apnas um matrial, uma vz qu ssa validação d rsultados já foi fita antriormnt.

134 34 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Portanto, considra-s o giro da sção transvrsal por unidad d comprimnto ( α ) unitário, uma vz qu os mpnamntos rais também já foram vrificados antriormnt, o objtivo é ilustrar o comportamnto d um prfil laminado. Figura Mapa d dslocamntos configuração dformada do Prfil U 5758 borracha aço. Figura Mapa d dslocamntos configuração dformada do prfil U 5758 aço. A origm do sistma d coordnadas rprsntada nas Figura 3.37 Figura 3.38 são os cntros d cisalhamnto, das rspctivas sçõs transvrsais. Através dssas figuras vrificas a mudança da posição do cntro d cisalhamnto. Obviamnt ocorr também mudança nas posiçõs dos cntros d gravidad.

135 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 35 Através da Figura 3.37 da Figura 3.38 prcb-s uma mudança da posição ond os mpnamntos nodais são nulos, cto, é claro, a posição qu prtnc ao io d simtria, aí s tm mpnamnto igual a zro nos dois casos. As posiçõs ond o mpnamnto nodal é zro, para o prfil não laminado, são conhcidas da toria d Vlasov já foi mncionada antriormnt. Já para o prfil laminado vrifica-s qu o mpnamnto nodal é igual a zro na rgião ond o matrial é o aço (Figura 3.36). S a situação foss invrtida, s colocass aço na maioria dos lmntos nos 4 lmntos dtalhado na Figura 3.36 o matrial considrado foss a borracha, o rsultado tndria ao ncontrado para o prfil não laminado. Também s vrifica a mudança d valors do mpnamnto rlativo, d acordo com a Tabla 3.7. Os valors dsta tabla stão m rlação a uma origm (,) localizada na trmidad infrior squrda do prfil U. Tabla Comparação ntr o do prfil U 5758 laminado não laminado. sção U aço borracha aço CG ( mm ) (,693;75,) ( 7,;75,) CC ( mm ) (,69;75,) ( 6,8;75,) wma w min ( ) mm 758, , 986

136 36 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 3.3. CONCRETO ARMADO Para st mplo considrou-s uma sção transvrsal constituída por concrto armado, cuja armadura longitudinal infrior é igual à mm. Figura Sção transvrsal d concrto armado, cotas: cm. Figura 3.4. Sção quivalnt d concrto armado, cotas: cm. Dtalhou-s a disposição d tais armaduras na Figura A Figura 3.4 ilustra a sção transvrsal quivalnt adotada para st mplo. Discrtizou-s a malha m lmntos 73 nós, sndo qu a part corrspondnt ao aço foi dividida m 4 lmntos, qu stão dstacados na Figura 3.4. Figura 3.4. Malha para a sção d concrto armado. Figura 3.4. Mapa do mpnamnto na origm do sistma d coordnadas.

137 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 37 A Figura 3.4 é o mapa d dslocamntos na origm do sistma d coordnadas da sção considrada. Figura Mapa d dslocamntos configuração dformada do concrto armado. A Figura 3.43 é o mapa d dslocamntos a configuração dformada para a sção transvrsal corrspondnt ao concrto armado. E para comparar os rsultados, têm-s na Figura 3.44 o mapa do mpnamnto a configuração dformada para a sção transvrsal corrspondnt, considrando-a constituída por concrto. Figura Mapa d dslocamntos configuração dformada do concrto.

138 38 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr A Tabla 3.8 é a comparação ntr os rsultados da sção transvrsal corrspondnt ao concrto ao concrto armado. Os valors do CG CC stão m rlação à origm do sistma d coordnadas mostrada na Figura 3.4. Tabla Comparação ntr o concrto concrto armado. sção U concrto concrto armado CG ( cm ) ( 5,;,) ( 5,;9,34) CC ( cm ) ( 5,;,) ( 5,;9,56) wma w min ( ) cm 5, 48 56, 85 Através da Figura 3.43, da Figura 3.44 pla Tabla 3.8 vrificam-s as difrnças ntr as sçõs considradas. Para a sção com apnas um matrial o cntro d gravidad coincid com o cntro d cisalhamnto stão situados atamnt no cntro da sção. O msmo não ocorr para a sção d concrto armado, na qual o cntro d gravidad não coincid com o cntro d cisalhamnto o cntro d cisalhamnto stá mais próimo do io da pça o cntro d gravidad mais abaio. A difrnça rlativa do mpnamnto máimo é maior para a sção d concrto armado. Nst ponto s mostra uma aplicação intrssant qu é a informação da posição do Cntro d Cisalhamnto d sçõs transvrsais d concrto armado para projtistas.

139 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr ESTRUTUTRAS DE AERONAVES As struturas d uma aronav são basicamnt compostas d barras com sçõs transvrsais fchadas barras com sçõs transvrsais abrtas pards dlgadas sujitas à sforços d flão, cisalhamnto, torção aial (Figura 3.45). MEGSON (5) afirma qu os Prfis T, Z ou I são alguns dos qu constitum as parts da strutura rfrnts às sçõs abrtas pards dlgadas, garantindo rigidz à suprfíci dlgada trna da aronav srvindo d apoio para as cargas trnas dos pisos, fiaçõs do motor tc. Como mplo d aplicação, aprsnta-s a comparação da posição do cntro d cisalhamnto ( CC ) d sçõs d asas fuslagns idalizadas d acordo com a toria técnica. PROENÇA (7) afirma qu a anális rfrnt à toria técnica é simplificada, por fazr uso d uma idalização da sção, tanto m rlação à sua gomtria quanto à capacidad rsistnt d transmissão d tnsõs dos sus lmntos constituints. E advrt qu sta anális dv sr usada apnas para uma avaliação rápida d studo prliminar d projtos. Maiors dtalhs sobr tnsõs normais fluos d cisalhamnto m sçõs d asas fuslagns sob flão ncontram-s m MEGSON (5) PROENÇA (7). Figura Estrutura d uma aronav (MEGSON, 5).

140 4 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Na idalização fita m MEGSON (5), l rprsnta um rforço na strutura, na forma circular. A comparação com o prsnt trabalho é fita considrando-s a strutura, com o rforço m forma circular, também, considrando a strutura laminada (rforço concntrado), nss caso, rlaciona-s a ára do círculo a um módulo d lasticidad quivalnt: A E = A E ou c c R R E = R Ac E A R c (3.7) ond A é a ára E o módulo d lasticidad longitudinal. O índic c rfr-s ao círculo o R ao rtângulo quivalnt à ára do rforço, considrando o módulo d lasticidad quivalnt. Em rlação aos rsultados ncontrados para o prsnt trabalho a discrtização da malha quando a sção é considrada laminada smpr é mnor do qu a com rforço circular, o qu ocorr m dcorrência da ncssidad d um maior númro d lmntos triangulars ncssários para a aproimação do círculo. Lmbra-s qu a malha é a mnor possívl, uma vz qu nss caso, o aumnto no númro d lmntos aprsnta uma altração dsprzívl nos rsultados. Ilustram-s as malhas apnas com o objtivo d visualizar a sção transvrsal com dimnsão d rforço.

141 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Emplo Figura O primiro mplo é a idalização d um prfil d uma asa conform ilustrado na Figura Dimnsõs da sção do mplo. A Figura 3.47 mostra a localização do Cntro d Cisalhamnto ( CC ) a partir d uma distância ( d ) do io da trmidad dirita da sção. Figura Posição do CC da sção do mplo. Para o prsnt trabalho, considrando-s o rforço com dimnsão como m PROENÇA (7), discrtizou-s a sção m uma malha com 64 lmntos 67 nós, Figura 3.48.

142 4 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Figura Malha da sção do mplo com o rforço. Já para a sção laminada (rforço com mnor dimnsão) discrtizou-s a sção m uma malha com 48 lmntos nós, Figura Adotou-s o módulo d lasticidad da maior part da sção igual a E C = N m. Nas posiçõs ond s ncontram os rforços, rprsntados plos círculos d raio igual à,m, considraram-s m sus lugars quadrados d lado,m (msma spssura da sção) com E R = 3 N m. E para as áras com raio igual à,43m,6, m adotaram-s rtângulos d dimnsõs ( ) E R = 4 N m acordo com a Equação (3.7).. Os módulos d lasticidad quivalnts ao rforço foram calculados d Figura Malha da sção não-homogêna do mplo.

143 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 43 A Tabla 3.9 é a comparação da posição do Cntro d Cisalhamnto ntr o prsnt trabalho PROENÇA (7), do mplo. A toria técnica é simplificada para sçõs fchadas, não sndo smpr prcisa. Acrdita-s qu o prsnt trabalho aprsnta rsultados bm próimos dos rais, tndo m vista todos os tsts fitos antriormnt. Posição do CC d m ( ) Tabla Posição do CC do mplo. Razão Rlativa (%) PROENÇA Sçõs do Prsnt Trabalho (7) Laminada Rforço,78, 37, 3 4,75 7, Emplo A Figura 3.5 ilustra a strutura rfrnt ao sgundo mplo as suas dimnsõs. Os rforços rprsntados por círculos são todos iguais, com áras iguais à,65m. Figura 3.5. Dimnsõs da sção do mplo.

144 44 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr A Figura 3.5 mostra a localização do Cntro d Cisalhamnto ( CC ) a partir d uma distância ( d ) à squrda da aba vrtical. Figura 3.5. Posição do CC do mplo. Para o prsnt trabalho, considrando-s o rforço com as dimnsõs dadas m PROENÇA (7), discrtizou-s a sção m uma malha com 49 lmntos. 69 nós (Figura 3.5). Figura 3.5. Malha da sção do mplo com o rforço. Para a sção laminada discrtizou-s a sção m uma malha com 38 lmntos 7 nós (Figura 3.53). Adotou-s o módulo d lasticidad da maior part da sção igual a

145 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 45 E C = N m. Substituíram-s os rforços por quadrados d lado,m (msma spssura da sção) com E R = 65N m, d acordo com a Equação (3.7). Figura Malha da sção não-homogêna do mplo. A Tabla 3. é a comparação da posição do Cntro d Cisalhamnto ntr o prsnt trabalho PROENÇA (7), do mplo. Para st mplo, apsar da maior simplificação da toria técnica quando comparada ao prsnt trabalho, ambos aprsntam os msmos rsultados. Posição do CC d ( m ) Tabla 3. - Posição do CC (mplo ). Razão Rlativa (%) PROENÇA Sçõs do Prsnt Trabalho (7) Laminada Rforço,5, 5, 5,,

146 46 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Emplo 3 A Figura 3.54 ilustra a strutura rfrnt ao trciro mplo as suas dimnsõs. Os rforços rprsntados por círculos são todos iguais, com áras iguais à,65m. Figura Dimnsõs da sção do mplo 3. A Figura 3.55 mostra a localização do Cntro d Cisalhamnto ( CC ) a partir d uma distância ( d ) à squrda das abas vrticais. Figura Posição do CC do mplo 3. Para o prsnt trabalho, considrando-s o rforço com as dimnsõs dadas m PROENÇA (7), discrtizou-s a sção m uma malha com 54 lmntos. 3 nós (Figura 3.56).

147 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 47 Figura Malha da sção do mplo 3 com o rforço. Para a sção laminada discrtizou-s a sção m uma malha com 8 lmntos 65 nós (Figura 3.57). Adotou-s o módulo d lasticidad da maior part da sção igual a E C = N m. Substituíram-s os rforços por quadrados d lado,m (msma spssura da sção) com E R = 56,5N m, d acordo com a Equação (3.7). Figura Malha da sção não-homogêna do mplo 3. A Tabla 3. é a comparação da posição do Cntro d Cisalhamnto ntr o prsnt trabalho PROENÇA (7), do mplo 3. A anális da toria técnica é simplificada os rsultados do prsnt trabalho dvm rprsntar mlhor os valors rais.

148 48 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Posição do CC d m ( ) Tabla 3. - Posição do CC do mplo 3. Razão Rlativa (%) PROENÇA Sçõs do Prsnt Trabalho (7) Laminada Rforço,44, 49, 4 4,5 4, Emplo 4 A Figura 3.58 ilustra a strutura rfrnt ao quarto mplo as suas dimnsõs. Os rforços rprsntados por círculos são todos iguais, com áras iguais à,65m. Figura Dimnsõs da sção do mplo 4. A Figura 3.59 mostra a localização do Cntro d Cisalhamnto ( CC ) a partir d uma distância ( d ) à squrda do rforço situado sobr o io d simtria.

149 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr 49 Figura Posição do CC do mplo 4. Para o prsnt trabalho, considrando-s o rforço com as dimnsõs dadas por PROENÇA (7), discrtizou-s a sção m uma malha com 34 lmntos 78 nós (Figura 3.6). Figura 3.6. Malha da sção do mplo 4 com o rforço. Para a sção laminada discrtizou-s a sção m uma malha com 8 lmntos 7 nós (Figura 3.6). Adotou-s o módulo d lasticidad da maior part da sção igual a E C = N m. Substituíram-s os rforços por quadrados d lado,5m com E R = 5 N m, d acordo com a Equação (3.7).

150 5 Capítulo 3: Emplos d Torção Livr Figura 3.6. Malha da sção não-homogêna do mplo 4. A Tabla 3. é a comparação da posição do Cntro d Cisalhamnto ntr o prsnt trabalho PROENÇA (7), do mplo 4. A difrnça aprsntada ntr os rsultados é pquna. Tabla 3. - Posição do CC (mplo 4). Posição do CC PROENÇA Sçõs do prsnt trabalho (7) Laminada Rforço d ( m ) Razão Rlativa (%),35, 34, 357,66, Nsts mplos obsrva-s qu a utilização do softwar dsnvolvido traria informaçõs mais confiávis do qu aqulas forncidas plas torias simplificadas d cálculo d Cntro d Cisalhamnto d prfis laminados rforçados.

151 Capítulo 4 ENRIQUECIMENTO DA CINEMÁTICA DO ELEMENTO DE BARRA GERAL 4. INTRODUÇÃO O lmnto finito dsnvolvido m PACCOLA (4), utilizado no programa ACADSOFT do SET, é um lmnto d barra gral rto com aproimação quadrática para dslocamntos rotaçõs (linars) no spaço tridimnsional. Est lmnto utiliza a cinmática d Rissnr-Timoshno no qu diz rspito ao comportamnto da barra gral à flão. Entrtanto, ao considrar giros d torção, aplicou-s uma cinmática smlhant à d Rissnr-Timoshno, ou sja, os pontos da sção s movimntavam proporcionalmnt ao giro d torção à sua distância ao io d rfrência. Com sta simplificação a sção transvrsal ra impdida d mpnar, rsultando m lmnto muito mais rígido à torção do qu aqul qu s prtndia modlar. Naqul trabalho adotou-s coficint d pnalização da rigidz à torção para contornar st travamnto indsjado. O modo d mpnamnto à torção livr, dsnvolvido no Capítulo dst trabalho, foi utilizado como função nriqucdora da cinmática d Rissnr-Timoshno,

152 5 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral introduzido no programa ACADSOFT mlhorando su dsmpnho no qu diz rspito ao comportamnto à torção. Nst capítulo srá fita uma brv rvisão da cinmática adotada originalmnt, mostrando-s a introdução do modo d mpnamnto na formulação, qu é pondrada por um parâmtro livr (incógnito) chamado d intnsidad d mpnamnto. Est é o sétimo parâmtro nodal da formulação é smlhant (s confundindo com st m casos trmos) à taa d giro por unidad d comprimnto longitudinal, aprsntada nas torias clássicas d flo-torção. 4. CINEMÁTICA ORIGINAL E ENRIQUECIMENTO PROPOSTO A cinmática proposta s basia no nriqucimnto da cinmática d Rissnr para barras grais laminadas tridimnsionais. Inicialmnt srá aprsntada a cinmática original discutindo o qu ocorr com rlação à rigidz à torção caso não sja nriqucida. As lâminas qu possibilitam a inclusão d matrial não homogêno na sção transvrsal aprsntam gomtria triangular. A hipóts cinmática d Rissnr implica qu sçõs planas ortogonais à linha d rfrência do lmnto, ants da aplicação das solicitaçõs trnas, prmancrão planas após a aplicação das msmas, porém não mais ortogonais à linha d rfrência. Em trmos práticos isto significa qu a aproimação dos dslocamntos transvrsais é fita d manira totalmnt indpndnt da aproimação dos giros d flão. Por simplicidad o lmnto adotado é rto. As coordnadas locais do

153 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral 53 lmnto a localização d uma lâmina gnérica podm sr vistas, juntamnt com os sforços solicitants (conjugados dos graus d librdad), na Figura 4.. z Vz Mz V M Z f z f N M Y X a Coordnadas locais lâmina gnérica b Esforços solicitants Figura 4.. Configuração para dtrminação da cinmática do lmnto 3D sforços solicitants (PACCOLA, 4). Uma vista latral da cinmática d Rissnr é aprsntada na Figura 4. para auiliar o ntndimnto do qu s sgu. Y Y θ f h =h/ =-h/ P X f+ v u P' X Figura 4.. Vista latral da cinmática d Rissnr (PACCOLA, 4). A partir d uma anális da Figura 4. da Figura 4. pod-s scrvr a cinmática original d Rissnr, utilizada m Paccola (4), para uma barra gral 3D qu dsnvolv pqunos dslocamntos como:

154 54 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral Z Y ( ) ( ) θ ( ) θ ( ) u X,,z = u X X ( f + ) + X ( f + z) P Y Z P X ( ) ( ) θ ( ) v X,,z = v X X ( f + z) Z (4.) P X ( ) ( ) θ ( ) w X,,z = w X + X ( f + ) ond u, v w são os dslocamntos do lmnto na linha d rfrência, Y θ, θ z θ são os giros m torno dos ios X, Y Z com origm na linha d rfrência f f z são as distâncias do baricntro das fibras triangulars ao io d rfrência. Os ios,, z são parallos aos ios locais X, Y Z. Dv-s comntar qu, ao s forncr as coordnadas v Z dos vértics das fibras, calculam-s as coordnadas corrspondnts v v z como: v Y v v = Y f v v z = Z f z (4.) Ants d substituir as aproimaçõs usuais do MEF, sobr o lmnto finito, calculam-s as dformaçõs no ponto gnérico P como: u ε = p ( X,,z) ε ε z ( ) ( ) γ up X,,z vp X,,z = = + ( ) ( ) γ up X,,z wp X,,z z = = + z (4.3) Dv-s obsrvar qu s drivar uma grandza m rlação às coordnadas maiúsculas ou minúsculas é indifrnt. É obvio qu, ao s aplicar um momnto torçor cinmática, a variávl M constant m uma barra com sta θ srá não nula, ntrtanto o dslocamnto u ( ) P,,z srá idnticamnt nulo, ou sja, não havrá mpnamnto, grando uma distribuição d

155 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral 55 dformação ε z ε não nulas, mas rradas, ou sja, associadas a um problma d torção com o mpnamnto totalmnt rstrito. Est lmnto aprsntará rigidz à torção muito suprior ao problma ral. Como comntado na introdução dst capítulo, nas aplicaçõs corrnts s faz uma pnalização dsta rigidz para atnuar su fito na dslocabilidad global da strutura, porém as distribuiçõs d dformaçõs tnsõs continuam aprsntando rsultados não satisfatórios. Para corrigir sta dficiência propõ-s nriqucr a cinmática d Rissnr introduzindo-s um modo d dslocamnto proporcional ao mpnamnto da sção transvrsal quando submtida à torção livr d Saint Vnant, Capítulo. Isto é fito como sgu: ( ) ( ) ( ) ( ) u X,,z = u X θ X ( f + ) + θ X ( f + z) + α ( X )u (,z) Z Y X P Y Z wp P X ( ) ( ) θ ( ) v X,,z = v X X ( f + z) Z (4.4) P X ( ) ( ) θ ( ) w X,,z = w X + X ( f + ) Y ond α X (X), qu srá scrito m função d novos parâmtros nodais, rprsnta a intnsidad do mpnamnto qu ocorr na sção transvrsal localizada na coordnada X u wp(,z) é o modo d mpnamnto (warping) da sção transvrsal m qustão, vtor rsultado do sistma d quaçõs dscritos plas Equaçõs (.85) (.86). Est modo d mpnamnto é conhcido, pois, tal como mostrado no Capítulo, é calculado indpndntmnt para qualqur sção transvrsal matrial constituint. Nst ponto, a difrnça ntr a formulação proposta os dsnvolvimntos antriors ncontrados na litratura dv sr dstacada. Dv-s lmbrar qu na cinmática d Eulr- Brnoulli as igualdads v / X=θ Z w / X=θ são impostas, da msma forma s Y impõ a igualdad θ / X =α na cinmática d Vlasov. Na cinmática d Rissnr as X X

156 56 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral dsigualdads v / X θ Z w / X θ ocorrm no nriqucimnto aqui proposto a Y dsigualdad θ / X α stá prsnt, ou sja, garantindo maior abrangência da X X formulação aqui proposta m rlação à cinmática d Vlasov. Adotando-s rlação constitutiva lástica linar com módulo d lasticidad longitudinal E módulo d lasticidad transvrsal G, aplicando s a dfinição das componnts d dformação dadas plas Equaçõs (4.3), à luz da cinmática proposta, s scrv a nrgia d dformação para a barra gral como: ( ) Z Y X u X θ (X) θ (X) α (X) U= E (fy Y) (fz z) u wp(,z) X X X X ( ) X z v X θ u (X) wp(,z) X G θ (X ) + ( fz + z) + α (X ) + X X ( ) X Y w X θ u (X) wp(,z) X G θ (X ) + + ( fy + Y ) + α (X ) dv X X z (4.5) E as componnts d tnsão como: σ ( ) u X θ (X) θ (X) α (X) E ( f Y ) ( f z) u (,z) X X X X Z Y X = Y + + Z + + wp ( ) X z v X θ u (X) wp(,z) X τ = G θ (X ) + ( fz + z) + α (X ) X X (4.6) ( ) X Y w X θ u (X) wp(,z) X τz = G θ (X ) + + ( fy + Y ) + α (X ) X X z Unificando-s a notação das componnts d dslocamnto, pod-s scrvr: z { u v w θ θ θ α } = { u u u3 u4 u5 u6 u7} = { u} T T T (4.7) E assim a nrgia d dformação fica scrita d forma matricial, facilitando as implmntaçõs computacionais, como:

157 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral 57 T u wp(,z) U {} z = Gz {} u G u + z u wp(,z) G G u wp(,z) u wp(,z) u wp(,z) u wp(,z) Gz G Gz + G z z T u {} u + + Gz Gz ( fy + ) X G G ( fz + z) u wp(,z) u wp(,z) u wp(,z) u wp(,z) G Gz Gz ( fy + ) G ( fz + z) z z u wp(,z) G G u wp(,z) T Gz G z u z + {} u + X u wp(,z ) u wp(,z ) Gz ( fy + ) G ( fz + z) Gz ( fy ) G ( fz z + + ) z (4.8) E E( fz + z) E( fy + ) Eu wp(,z) G G ( fz + z) Gz Gz ( fy + ) T u + G ( fz + z) Gz ( fy + ) Gz ( fy + ) + G ( fz + z) u dv X E( fz + z) E( fz + z) E( fz + z)( fy + ) Eu wp(,z )( fz + z X ) E( fy + ) E( fz + z)( fy + ) E( fy + ) Euwp(,z) ( fy + ) Eu wp(, z) Eu ( ) ( ) ( ) wp(,z) fz z Eu wp(,z) fy Eu wp(, z) + + Os sforços solicitants são calculados conform indicado m Paccola (4) liminando-s ntrtanto a constant d corrção para momnto torçor lá indicada.

158 58 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral 4.3 APROXIMAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS A cinmática aprsntada no itm antrior srá scrita m função dos parâmtros l l l nodais. Os parâmtros por nó l do lmnto finito são três translaçõs ( U,V,W ou U,U,U l l l ), três rotaçõs ( 3 Θ l, Θ l, Θ l X Y Z l l ou U,U,U l 4 5 6) uma intnsidad d mpnamnto ( Α l ou U l 7 ). Utilizando-s polinômios d Lagrang ou funçõs d forma, usuais nas aplicaçõs do MEF, as aproimaçõs são scritas m notação indicial como: u(x) = (X)U i l l i X u(x) i l (X) l Ui = X (4.9) ond l é função d forma associada a cada nó l i é o grau d librdad d cada nó, variando d até 7. As aproimaçõs (4.9) são ao longo do lmnto d barra gral os parâmtros nodais associados são, ftivamnt, as variávis do problma. Os valors das cntricidads (distância da linha d rfrência ao baricntro da fibra) f λ Y f λ Z são únicos para cada lâmina λ. Os valors, z, u wp(,z), u wp(,z) u (,z) z são scritos para cada lâmina triangular utilizando funçõs d forma para wp psudo-lmntos finitos triangulars planos d fibra. Utilizam-s coordnadas triangulars adimnsionais ( ξ, ξ, ξ 3 ) tal como scrito no Capítulo, como bas d gração das funçõs d forma, rsultando m mapamnto quadrático. Dfinindo κ como um ponto gnérico (quivalntmnt a um nó m lmntos finitos) da lâmina s scrv:

159 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral 59 = ( ξ, ξ, ξ )Y f λ κλ λ κ 3 Y z = ( ξ, ξ, ξ )Z f λ κλ λ κ 3 Z u (,z) = ( ξ, ξ, ξ )U λ κλ wp κ 3 wp ξ ξ ξ = z z λ u wp(,z) κ(,, 3) κλ Uwp (4.) ξ ξ ξ = λ u wp(,z) κ(,, 3) κλ Uwp ond Y κλ Z κλ são coordnadas dos pontos qu formam o psudo-lmnto d fibra U κλ wp são os valors do modo d mpnamnto para cada ponto nodal da fibra. Ests valors não caractrizam variávis incógnitas do problma studado são calculados indpndntmnt, para cada tipo d sção transvrsal, conform dscrito no Capítulo tstado no Capítulo 3. Dv-s comntar qu st conjunto d valors (mpnamnto) é caractrística qu dpnd apnas da gomtria dos matriais qu constitum a sção transvrsal. Portanto, as variávis incógnitas do método proposto são os 6 graus d librdad usuais dos lmntos d barra gral as intnsidads d mpnamnto nodais U 7 d cada nó l. D poss do mapamnto da cinmática da sção transvrsal dado plas Equaçõs (4.) substituindo-s as Equaçõs (4.9) na quação (4.8) rsulta a nrgia d dformação da barra gral m função dos st parâmtros nodais dos nós do lmnto finito, fica dada como:

160 6 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral T T U = {}[ ] [ ]{} u u + Gz Gzu ap,z G Guap, Gzuap,z Guap, G ( uap, ) Gz ( uap, z ) + T T {}[ u ] [ ' ]{} u + Gz Gz ( fy + ) G G ( fz + z) Guap, Gzuap,z G ( fz z) uap, Gz ( fy ) uap, z G Gu ap, Gz Gzu ap,z T T {}[ u ' ] G ( fy + ) G ( f + z) G ( f + z) u + G ( fy + ) u [ ]{} u Z Z ap, z a z p,z + (4.) E E( fz + z) E( fy + ) Euap G G ( fz + z) Gz Gz ( fy + ) T T {}[ u ' ] G ( fz + z) Gz ( fy + ) G ( fz + z) + Gz ( fy + ) [ ' ]{} u dv E( fz z) E( Z ) ( Y )( Z ) Eua p( fz z) + f + z E f + f + z + E( fy + ) E( fy + )( fz + z) E( fy + ) Eua p( fy + ) Euap Euap ( fz + z) Euap ( fy + ) ( Eua p ) Difrnciando-s a prssão (4.) duas vzs m rlação aos parâmtros nodais ncontra-s a intgral sobr o volum do lmnto qu rsulta na matriz d rigidz para o lmnto finito proposto d ordm st vzs o numro d nós adotados para aproimar o lmnto. Dv-s lmbrar qu a primira drivada da nrgia d dformação m rlação aos parâmtros nodais é o vtor d força intrna. As intgrais ncssárias são fitas na ára da sção transvrsal no comprimnto do lmnto finito. Na ára da sção transvrsal sgu-s atamnt o qu foi dscrito no Capítulo, nquanto no comprimnto do lmnto aplicou-s aproimação quadrática (três nós) com as funçõs d forma dadas por: ξ ξ ξ ξ ξ 3 ξ ξ ξ ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( + ) (4.) E suas drivadas: ' ' ' ξ ξ ξ ξ 3 ξ ξ ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( + ) (4.3)

161 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral 6 E sua intgração foi fita usando pontos psos d Gauss. As formas dstas funçõs são dadas na Figura 4.3: (ξ) 3 (ξ) (ξ) (ξ) ξ Figura 4.3 Funçõs d forma para o lmnto quadrático (PACCOLA, 4). Comnta-s ainda qu os parâmtros nodais d intnsidad do mpnamnto possum o su conjugado nrgético natural, ou sja, a grandza bimomnto, dfinida na toria técnica d flo-torção, i.., toria d Vlasov. Como comntado antriormnt, a difrnça ntr a proposta dst trabalho a rfrida toria é na forma d como a intnsidad do mpnamnto s rlaciona com a taa longitudinal d giro m torno do io da barra gral não na naturza do mpnamnto d sua rlação com o bimomnto. Isto ocorr smlhantmnt na cinmática d Rissnr ond os momntos d flão continuam sndo conjugados nrgéticos dos giros da sção transvrsal, tal como na cinmática d Eulr-Brnoulli, apsar da difrnça d como o giro da sção transvrsal s rlaciona com a taa do dslocamnto transvrsal ao longo do io do lmnto.

162 6 Capítulo 4: Cinmática nriqucida do lmnto d barra gral

163 Capítulo 5 EXEMPLOS DO ELEMENTO DE BARRA GERAL 5. INTRODUÇÃO Est capítulo tm como propósito dmonstrar qu os objtivos dst trabalho foram atingidos d forma satisfatória, para tanto, aprsntam-s os rsultados d alguns mplos rfrnts às barras tridimnsionais, com difrnts tipos d sçõs transvrsais por trchos, abrtas fchadas com a considração d matrial laminado. Primiramnt, para a vrificação da programação, utilizaram-s rsultados analíticos d flo-torção d barras d sção abrta d pard fina dscritos no sub-itm Emplos flo-torção. Comprova-s o bom rsultado obtido na rsolução d núclos struturais como mostrado no primiro mplo rfrnt ao sub-itm Emplos d núclos struturais. Através dsts mplos tm-s o intuito d dmonstrar as contribuiçõs significativas obtidas com o dsnvolvimnto dst trabalho. A primira, qu é a inclusão d gomtrias quaisqur para a sção transvrsal, possibilitando, por mplo, a considração d núclos struturais mistos m difícios, abrtos fchados por trchos, é vrificada no sgundo mplo rfrnt ao sub-itm Emplos d núclos struturais. A sgunda contribuição é

164 64 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral rfrnt à considração d matrial laminado, possibilitando considrar barras grais d matriais compostos para várias aplicaçõs, é confirmada no trciro mplo dst capítulo, rlativo a Emplos d núclos struturais. 5. EXEMPLOS DE FLEXO-TORÇÃO A toria rfrnt à flo-torção d barras com sção transvrsal abrta pards dlgadas pod sr ncontrada m inúmros trabalhos. Entr ls dstacam-s alguns trabalhos dsnvolvidos no SET/EESC/USP (Dpartamnto d Engnharia d Estruturas da Escola d Engnharia d São Carlos prtncnt à Univrsidad d São Paulo), tais como: MORI (978) & (988), RACHID (975) RACHID & MORI (993). LANGENDONCK (96) & (959), também dscrv ss tma. Entrtanto, dstaca-s o trabalho d VLASOV (96), qu foi qum dsnvolvu a toria d barras com pards abrtas sção dlgada. Obsrva-s qu st assunto iniciou-s ants d 96, há rfrências m VLASOV (94). O objtivo aqui é comprovar a ficiência do prsnt trabalho na rsolução d struturas d barras com sção transvrsal abrta pards dlgadas sujitas a torção nãouniform ou flo-torção. Portanto, qustionar os métodos concitos d flo-torção stá além da proposta dst trabalho. Nst capítulo, srão aprsntadas as fórmulas imdiatas, para o cálculo dos rsultados, rlativos à flo-torção, ncssários para a validação do prsnt trabalho. Essa formulação é particular para cada mplo, uma vz qu é rsultado da considração das condiçõs d contorno na formulação gral, m cada situação spcífica. A rsolução

165 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 65 dtalhada dsts mplos ncontra-s nas notas d aula d MUNAIAR NETO (6) também m MORI (988) & (978). Os concitos físicos, bm como as formulaçõs grais podm sr ncontrados nos trabalhos mncionados, ou m outra bibliografia rfrnt à flo-torção d barras com sção transvrsal abrta pards dlgadas. 5.. EXEMPLO O mplo é a viga indicada na Figura 5.. Trata-s d uma barra ngastada com forças F aplicadas na trmidad livr. Figura 5. Rprsntação da strutura do mplo. Os valors ncssários para o cálculo dsta strutura são:

166 66 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral F = 5N L = cm t =, 8cm h = cm b = cm E =.N cm G = 8.N cm O objtivo, nst mplo, é a comparação do ângulo d rotação ao longo da dirção m radianos ( ); do ângulo d rotação por unidad d comprimnto ao longo da dirção ( '); da tnsão normal na trmidad livr ( σ ); da tnsão máima d cisalhamnto ( ) do mpnamnto ( u ) nos pontos,, 3 4, dstacados na Figura 5.. τ ; ma 5... Toria Técnica O diagrama d ára storial para o prfil I é rprsntado na Figura 5.. Para st mplo, m dcorrência do sntido adotado para o io, a ára storial aprsnta os valors ilustrados na figura. Figura 5.. Diagrama d ára storial principal do prfil I do mplo ( cm ). Os momntos d inércia à torção storial são dtrminados da sguint forma:

167 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 67 I,8 3 3 t = t ds 3 = = 3 s 4 ( + ) 5,46cm I ω 3,8 6 = ω da = = 4.8cm 4 A E o comprimnto d comparação é calculado pla prssão abaio: r EI GI = ω t = ,46 = 48,4cm As condiçõs d contorno para st mplo são: - trmidad ngastada σ B = '= u = ' = - trmidad livr com tnsão normal σ ou carga P i aplicada i ω i (5.) B = σ ωda ou B = A i F i ω i Ond σ é a tnsão normal, B o bimomnto, o ângulo d rotação ao longo da dirção, ' o ângulo d rotação por unidad d comprimnto ao longo da dirção, A a ára, u o mpnamnto, ω a ára storial, F a carga concntrada i o ponto considrado. A partir das Condiçõs d Contorno (5.) dtrmina-s o bimomnto aplicado. O produto ntr as forças aplicadas os valors d ára storial principal produzirá um bimomnto ngativo localizado na msma sção, m rsposta à ocorrência d parclas ngativas, produzidas por força positivas (Figura 5.) multiplicada por ára storial ngativa (Figura 5.) vic-vrsa. A quação gral do bimomnto é:

168 68 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral B = Csnh + C cosh + r m (5.) r r Para st mplo a parcla d carga d torção distribuída é dsconsidrada ( m = ). Analisando o carrgamnto aplicado na barra a solicitação na viga, é possívl considrar qu o momnto d torção total rsulta nulo, ou sja, M =. Como t M + t = M L M ft, para ss mplo M ft M L = M L = GI t ', ond M ft é o momnto dvido à flo-torção M L o momnto dvido à torção livr. Pla condição d contorno '( = ) =, tm-s qu '( = ) = constant C. Por outro lado, tm-s B( L) = F = Fhb quação do bimomnto, dtrmina-s C. i i i B dtrmina-s a = ω. Substituindo ssa condição na Portanto, substituindo-s as constants dsconsidrando-s m =, a quação do bimomnto rsulta na forma: Fhb B = cosh L r cosh r 5 B = cosh 48,4 cosh 48,4 (5.3) M Logo, dtrminam-s os momntos d torção livr flo-torção, já qu = M B' : L ft =

169 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 69 M L = M ft Fhb = snh L r r cosh r (5.4) Sndo M L = GI t ', intgrando a Equação (5.4), aplicando a condição d contorno ( = ) = isolando : = GI t Fbh cosh L r cosh r 5 = cosh 48,4 8. 5,46 cosh 48,4 (5.5) Como ( r) cosh rsultam smpr maior ou igual à unidad, os valors d são smpr ngativos, isto é, as sçõs sofrm rotaçõs no sntido horário para um obsrvador posicionado com visão no sntido positivo d. Drivando-s, dtrmina-s o ângulo d rotação por unidad d comprimnto ao longo da dirção : Fbh ' = snh L r GItr cosh r 5 ' = 8. 5,46 48,4 cosh 48,4 snh 48,4 (5.6) Como: u = ω ' (5.7) ' rsulta smpr ngativo, para os pontos,, 3 4, têm-s:

170 7 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral u u = u4 < = u3 > Por fim, as tnsõs normais σ são dadas por: σ = B I ω ( ω) σ ω 5 = cosh 48,4 Iω cosh 48,4 (5.8) Como, nss caso, B < I >, para os pontos,, 3 4, rsultam: ω σ σ () = σ ( 4) < ( ) = σ ( 3) > (5.9) O valor do momnto stático storial é calculado pla sguint quação: s Sω = ωda = t ωds = 6cm² (t ára da figura ) (5.) A s Portanto S ω é o produto da spssura pla ára da figura formada no diagrama d ára storial. A tnsão d cisalhamnto máima por flo-torção é dada por: τ ft = M ft ti S ω ω τ ft = B' S ti ω ω τ ft 5 6 = snh 48,4, ,4 cosh 48,4 (5.) A tnsão d cisalhamnto máima por torção livr é scrita pla sguint fórmula:

171 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 7 τ = L M I t L t τ L 5 = 48,4 cosh 48,4 snh 48,4,8 5,46 (5.) A partir das Equaçõs, para st mplo, obtidas para o giro m radianos (5.5), giro por unidad d comprimnto (5.6), tnsão normal (5.8), tnsão d cisalhamnto (5.) (5.) mpnamnto (5.7) para valors d coordnadas, d a cm, obtivram-s os rsultados numéricos para postrior comparação com o prsnt trabalho Rsultados obtidos pla formulação do prsnt trabalho Para obtr os rsultados do prsnt trabalho, para o mplo m qustão, ntrou-s no programa, após acoplamnto ao ACADSOFT, com os dados dsta strutura. Para a gração dos dados d ntrada utilizou-s um aplicativo dsnvolvido m PACCOLA (4). Primiro, dsnhou-s a sção transvrsal no programa AutoCAD, Figura 5.3. Com a sção transvrsal, criaram-s as camadas, smpr no sntido anti-horário, através do 3D fac, Figura 5.4. Salvou-s o arquivo m tnsão df, Figura 5.5.

172 7 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Figura 5.3. Sção transvrsal do mplo. Figura D Fac do mplo.

173 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 73 Figura 5.5. Salvar o arquivo do mplo m tnsão df. Abriu-s o aplicativo qu gra os arquivos d ntradas d dados digitaram-s os tipos d sção transvrsal, como na Figura 5.6. Figura 5.6. Tipos d sção transvrsal do mplo. Dtrminou-s a origm da sção transvrsal, Figura 5.7.

174 74 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Figura 5.7. Origm da sção transvrsal do mplo. Abriu-s o arquivo das camadas da sção transvrsal m tnsão df, prviamnt dfinidas, Figura 5.8. Figura 5.8. Litura das camadas m tnsão df do mplo.

175 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 75 O grador dsnha ssas camadas na tla. Subdividiram-s as camadas ( 4 divisõs m 4 m z ) d forma a mlhorar a discrtização da sção transvrsal a fim d obtr mlhors rsultados para st mplo, Figura 5.9. Figura 5.9. Divisão da sção transvrsal do mplo m lmntos. Após a subdivisão, avançou-s para as próimas tlas do programa ond s dfiniram as caractrísticas gométricas dos matriais dst mplo, bm como as condiçõs d contorno nvolvidas. Na tla sguint digitaram-s os dados da strutura, como ilustrado na Figura 5.. Tais como, númro d lmntos; númro d nós; dirçõs vinculadas, carrgadas dslocadas; númro d matriais trcho. Coordnadas nodais, rotação da sção transvrsal propridads dos matriais.

176 76 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Figura 5.. Dados da strutura do mplo. A Figura 5. mostra a ntrada d dados das condiçõs d contorno carrgamnto. Obsrva-s qu para st mplo substituíram-s as quatro cargas concntradas na trmidad plo bimomnto aplicado quivalnt, na dirção corrspondnt a ss sforço solicitant. Tal dirção é a 7 corrspond ao giro por unidad d comprimnto. Est aplicativo para a gração do arquivo d ntrada d dados não stá ligado ao ACADSOFT, l apnas gra um arquivo d ntrada d dados, qu pod sr altrado postriormnt. Sndo assim, cutou-s o ACADSOFT após grar o arquivo d ntrada d dados.

177 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 77 Figura 5.. Dados da strutura do mplo. Figura 5.. Adotou-s uma sção transvrsal com 4 lmntos 53 nós, como ilustrada na Figura 5.. Malha da sção transvrsal da sção I do mplo. Dfinida a malha da sção transvrsal, com o objtivo d s dtrminar a malha da barra qu lvaria a rsultados mais prcisos, ralizou-s uma anális d convrgência, ncontrada na Tabla 5. rprsntada graficamnt na Figura 5.3. Nsta anális, compararam-s os valors obtidos pla toria técnica plo prsnt trabalho. Para a trmidad livr ( = cm ) compararam-s os rsultados do giro por unidad d comprimnto, para difrnts discrtizaçõs da barra. E para a msma posição d,

178 78 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral scolhndo-s o ponto 3 da sção transvrsal (Figura 5.), compararam-s os valors da tnsão normal. n º lmntos Tabla 5. - Anális d convrgência do mplo. ' ( radianos cm) prsnt toria trabalho técnica razão rlativa ( ) % prsnt trabalho σ ( N cm ) razão rlativa (%) toria técnica -,796 -, ,5 6,9 37,5 83,5 -,4968 -,8577,63 6, 37,5 56,77 3 -,79 -,8577 5,49,38 37,5 4,3 4 -,783 -,8577,64 6,53 37,5 9,4 8 -,8576 -,8577, 33,96 37,5 9,45 -,864 -,8577,3 35,3 37,5 5,8 -,8699 -,8577,43 37,3 37,5,7 5 -,87 -,8577,44 37,43 37,5,8 6 -,87 -,8577,44 37,46 37,5, 8 -,873 -,8577,44 37,5 37,5, 3 -,873 -,8577,44 37,56 37,5,5 4 -,874 -,8577,44 37,6 37,5,3 -,874 -,8577,44 37,69 37,5,5 Lmbra-s qu para a toria técnica, o giro por unidad d comprimnto a tnsão normal para a sção transvrsal da trmidad livr ( = cm ), indpnd do númro d lmntos dpnd somnt da posição, ao contrário do prsnt trabalho. O intrss aqui é a comparação da técnica dsnvolvida com a toria técnica plos dados da Tabla 5. obsrva-s uma altração pquna nos valors d tnsão, para a quantidad suprior a 5 lmntos finitos. Obsrvando-s a anális d convrgência, tanto na Tabla 5. quanto na Figura 5.3, conclui-s qu a rsposta mais próima da toria técnica para a tnsão normal é aqula qu corrspond à malha d 8 lmntos. Comparando-s a toria técnica o prsnt trabalho vrifica-s qu para 8 lmntos tm-s o msmo valor para a tnsão normal ( σ ), após ss númro ainda ocorr

179 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 79 uma variação nos rsultados do prsnt trabalho, mas trata-s d uma difrnça insignificant por sr trmamnt pquna praticamnt imprcptívl como mostra a Figura 5.3. Em rlação ao giro por unidad d comprimnto ( '), após 5 lmntos a difrnça mantém-s constant dsprzívl. Obsrva-s, ntrtanto, qu os rsultados dvm convrgir para valor pouco difrnt da toria técnica, rsultando m uma anális ainda mais ralista do problma ral. Figura 5.3. Rprsntação gráfica da anális d convrgência do mplo Rsultados ao longo do comprimnto da barra Finalmnt podm-s comparar os rsultados do prsnt trabalho com a toria técnica. Obtivram-s os rsultados da toria técnica, aprsntados antriormnt, rsolvndo suas rspctivas formulaçõs. E, têm-s os rsultados do prsnt trabalho ao longo da barra, obtidos da forma com as malhas, transvrsal longitudinal (8 lmntos), dscritas no itm

180 8 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral antrior. Lmbrando qu a comparação dos rsultados rfr-s ao ponto 3 (Figura 5.), da sção transvrsal ao longo da barra. A Tabla 5. é a comparação do giro do giro por unidad d comprimnto ntr a toria técnica o prsnt trabalho, obsrva-s uma pquna difrnça ntr ls. Para a comparação ntr os rsultados, a Tabla 5. mostra-s alguns dos 57 nós ilustrados na Figura 5.4. Tabla 5. - Ângulo d rotação ângulo d rotação por unidad d comprimnto do mplo. ( cm ) ( radianos ) prsnt toria trabalho técnica razão rlativa (%) ' ( radianos cm) prsnt toria trabalho técnica razão rlativa (%),,,,,,, 4,3 -,874 -,9,5 -,66 -,68,83 8,6 -,7663 -,7778,49 -,556 -,56,8 4,9 -,7887 -,85,46 -,896 -,93,74 57, -, ,33947,4 -,36 -,35,67 7,4 -, ,5657,37 -,855 -,866,58 85,7 -,8689 -,8843,3 -,56 -,573,48, -,9536 -,364,4 -,3495 -,359,38 4,3 -, ,89777,6 -,4745 -,4757,7 8,6 -,6696 -,696,8 -,64 -,643,6 4,9 -, ,376,99 -,8673 -,8676,4 57, -,5599 -,5663,9 -,74 -,695,8 7,4 -, ,7537,8 -,5787 -,5756, 85,7 -,977 -,977498,7 -,89 -,,3, -,3764 -,33598,59 -,873 -,8577,44 A Figura 5.4 a Figura 5.5 são os gráficos do ângulo d rotação ao longo da dirção, m radianos por unidad d comprimnto, rspctivamnt. Esss gráficos mostram uma difrnça praticamnt imprcptívl ntr os dois trabalhos. Lmbra-s aqui qu s comparou dirtamnt o parâmtro intnsidad d mpnamnto α com o giro por unidad

181 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 8 d comprimnto ', pois são grandzas qu praticamnt s confundm. Tal procdimnto é adotado m todos os mplos. Figura 5.4. Rprsntação gráfica do ângulo d rotação do mplo. Figura 5.5. Diagrama do ângulo d rotação por unidad d comprimnto do mplo. Como B( ) = 6Ncm para a toria técnica: =. Substituindo sss valors na Equação (5.8), tm-s 6 σ 3 = = 3 = 37, 5 N cm 4.8 ( )( ) ( ) Para o prsnt trabalho, considrando-s uma malha com 4 lmntos para a sção σ 3 = = 37, 5 N cm transvrsal 8 lmntos para a barra, tm-s ( )( ), ou sja, o msmo valor ncontrado na toria técnica. A Figura 5.6 ilustra o mapa d tnsõs normais, para o prsnt trabalho no ponto 3 ao longo da barra. Para a dtrminação da máima tnsão d cisalhamnto pla toria técnica dv-s dtrminar a tnsão d cisalhamnto máima por flo-torção, no qu corrspond ao máimo M ft. Da Equação (5.):

182 8 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral τ ( = ),9586 N cm ft = E a tnsão d cisalhamnto máima por torção livr qu corrspond ao máimo d acordo com a Equação (5.): τ ( = ) 8,898N cm L = O valor da tnsão d cisalhamnto máima é o sguint: M L, τ ma = τ ft + τ L =, 44 N cm (5.3) Para o prsnt trabalho, como mostram os mapas d tnsõs d cisalhamnto ilustrados na Figura 5.7 na Figura 5.8, a tnsão d cisalhamnto máima é igual a,4465 cm N. A difrnça ntr os dois trabalhos é igual a,6% 5. Figura 5.6. Mapa d σ do mplo, unidad: N cm². Figura 5.7. Mapa d τ do mplo, unidad: N cm². Figura 5.8. Mapa d τ z do mplo, unidad: N cm². Os valors do mpnamnto para os pontos dstacados na Figura 5., para a toria técnica, são os sguints: u = u =, 8573cm 4 u = u, 8573cm 3 =

183 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 83 E para o prsnt trabalho: u = u =, 8579cm 4 u = u, 8579cm 3 = Portanto, há uma difrnça d,7%, ntr os dois trabalhos. Lmbrando qu a toria técnica só fornc os valors do mpnamnto nodal na linha squlto. O mapa d dslocamntos configuração dformada para = cm, rfrnt ao prsnt trabalho, rlativo a st mplo, ncontram-s na Figura 5.9. Figura 5.9. Mapa d dslocamntos configuração dformada do mplo, unidad: N cm². 5.. EXEMPLO O mplo é a viga squmatizada na Figura 5., admitiram-s vinculaçõs nas trmidads do tipo vínculos d garfo cargas aiais d tração aplicadas nas sçõs transvrsais no cntro d torção qu coincid com o cntro d cisalhamnto. Trata-s d uma barra com sção transvrsal Z ponto-simétrica:

184 84 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral O objtivo, nst mplo, é a comparação do ângulo d rotação ao longo da dirção m radianos ( ), do ângulo d rotação por unidad d comprimnto ao longo da dirção ( '), da tnsão normal ( σ ), da tnsão máima d cisalhamnto ( ) ( u ) nos pontos,, 3 4, dstacados na Figura 5., m τ do mpnamnto ma = 5cm. Figura 5.. Rprsntação da strutura do mplo Toria Técnica O diagrama d ára storial para o prfil Z é rprsntado na Figura 5.. Os momntos d inércia à torção storial são dtrminados da sguint forma: I I = t t ds = 4 = ω s = t ω ds = s 3,33cm 3 ( ) ( ) = 4.666,67 5 cm A ára da sção transvrsal dss prfil Z é igual à 4cm.

185 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 85 Figura 5.. Pontos da sção transvrsal do mplo. Figura 5.. Diagrama d ára storial principal cm. do prfil Z do mplo ( ) E o comprimnto d comparação é calculado pla prssão abaio: r EI GI = ω t = , ,33 = 9,57cm As condiçõs d contorno para st mplo são: - trmidad com vínculo d garfo = B = (s não houvr bimomnto aplicado na trmidad) - trmidad livr com tnsão normal σ ou carga P i aplicada (5.4) B = σ ωda ou B = A i F i ω i Ond σ é a tnsão normal, B o bimomnto, o ângulo d rotação ao longo da dirção, A a ára, ω a ára storial, F a carga concntrada i o ponto considrado. trmidads: Dadas as Condiçõs d Contorno (5.4), tm-s o valor do bimomnto aplicado nas

186 86 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral ( = L ) = B( = L ) = ( 5) = 5.Ncm ( = L ) = B( = L ) = ( 5) = 5.Ncm A quação gral do bimomnto é: B = Csnh + C cosh + r m (5.5) r r Para st mplo a parcla d carga d torção distribuída é dsconsidrada ( m = ). Portanto: C C ' = cosh + snh (5.6) r r r r B Plas condiçõs d contorno sab-s qu '( = ) = B ncontra-s C. E da = =, tm-s C. condição B( L ) = 5.Ncm Substituindo-s as constants na Equação (5.5), chga-s à quação do bimomnto d sua drivada, para st mplo: 5 5 B = cosh = cosh L r 45 9,57 cosh cosh r 9, B ' = snh = snh L r 45 9,57 r cosh 9,57 cosh r 9,57 (5.7) A viga dst mplo é vinculada, nas trmidads por vínculos d garfo. Est vínculo impd a rotação da sção, porém sm intrfrir nos dslocamntos longitudinais (não rstring o mpnamnto). Ao rstringir a rotação, o vínculo d garfo pod solicitar a sção com um momnto d torção qu, nss caso pod sr admitido, como igual m módulo, porém com sntidos contrários. Dssa forma, é possívl considrar qu M t sja constant ao longo do comprimnto da barra. Portanto, prmanc válida a igualdad M = M + M. Substituindo-s t L ft

187 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 87 M L = GI t ' M ft = B' m M t intgrando-s m, ncontra-s uma quação para com uma constat ainda incógnita. Das condiçõs d contorno ( = L ) = ( = L ) =, a constant é dtrminada igual a 5.Ncm, concluindo-s qu M t =. A nulidad obtida para o momnto d torção confirma a considração dss sforço como constant, inicialmnt assumida. Então, a quação da rotação rsulta: cosh cosh 5 r 5 = 9,57 = (5.8) GI t L 8. 3,33 45 cosh cosh r 9,57 sua drivada: snh snh 5 r 5 = 9,57 ' = (5.9) rgi t L 9, ,33 45 cosh cosh r 9,57 Como é positivo, a sção cntral gira no sntido anti-horário, para um obsrvador no sntido positivo d. σ = Para a tnsão normal, tm-s: N + ± A B I ω ( ω) σ = 5 5 ω + cosh = cosh 4 L 45 9, ,67 cosh r cosh 9,57 r O valor do momnto stático storial é calculado pla sguint quação: (5.) s Sω = ωda = t ωds = 8,5cm² (5.) A s A tnsão d cisalhamnto máima por flo-torção é dada por:

188 88 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral τ ft = B' S ti ω ω τ ft 5 8,5 = snh 45 9, ,67 9,57 cosh 9,57 (5.) A tnsão d cisalhamnto máima por torção livr é scrita pla sguint fórmula: τ L = M I t L t τ L snh 5 9,57 = 8. 9, ,33 45 cosh 9,57 (5.3) O mpnamnto é dado pla quação: u = ω' (5.4) A partir das Equaçõs, para st mplo, obtidas para o giro m radianos (5.8), giro por unidad d comprimnto (5.9), tnsão normal (5.), tnsão d cisalhamnto (5.) (5.3) mpnamnto (5.4) para valors d coordnadas, d 5 a 5 cm, obtivrams os valors numéricos para postrior comparação com os rsultados obtidos pla técnica aprsntada no prsnt trabalho.

189 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Rsultados obtidos pla formulação do prsnt trabalho A ntrada d dados para sta strutura foi fita da msma forma dscrita no mplo. Com o aplicativo para a gração do arquivo d ntrada d dados dsnvolvido m PACCOLA (4), fz-s a litura das camadas prviamnt dfinidas m um ditor d arquivo df dsnharam-s stas camadas na tla. Com o aplicativo subdividiram-s stas camadas d forma a mlhorar a discrtização da sção transvrsal a fim d s obtr mlhors rsultados para st mplo. Subdividiram-s as camadas m 4 divisõs m 4 m z (Figura 5.3). Figura 5.3. Divisão da sção transvrsal do mplo m lmntos. Avançou-s no programa, dfinindo-s as caractrísticas gométricas dos matriais dst problma, bm como as condiçõs d contorno (Figura 5.4).

190 9 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Obsrva-s qu o vínculo d garfo impd duas translaçõs, sndo las m z (v w, rspctivamnt); três rotaçõs as rotaçõs ( θ, θ θ z ); ficando livr a translação m (u ) o ângulo d rotação por unidad d comprimnto ao longo da dirção ( ' ou α ). Em rlação ao carrgamnto aplicado, obsrva-s qu além da carga aial na dirção u, ntrou-s com o bimomnto grado por ssa carga na variávl nodal associada à α (Figura 5.5). Figura 5.4. Dados da strutura do mplo. Adotou-s uma malha para a sção transvrsal com 6 lmntos 369 nós, como ilustra a Figura 5.6.

191 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 9 Figura 5.5. Dados da strutura do mplo. Dfinida a malha da sção transvrsal, com o objtivo d dtrminar-s a malha da barra qu lvaria a rsultados mais prcisos, ralizou-s uma anális d convrgência, ncontrada na Tabla 5.3 rprsntada graficamnt na Figura 5.7. Figura 5.6. Malha da sção transvrsal Z do mplo. Nsta anális, compararam-s os valors obtidos pla toria técnica pla formulação proposta no prsnt trabalho. Para = 5cm compararam-s os rsultados do giro por unidad d comprimnto (α ou ' ) para a msma posição d, scolhndo-s o ponto 3

192 9 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral ( ω = 5) o 4 ( = 75) ω da sção transvrsal (Figura 5. Figura 5.), compararam-s os valors da tnsão normal, para difrnts malhas da barra. O intrss é a comparação dos rsultados obtidos aqui com aquls calculados utilizando a toria técnica usando os dados da Tabla 5.3. Na tabla obsrva-s uma rápida convrgência para todos os valors. n lmntos ' ou α ( radianos cm) prsnt Tabla Anális d convrgência do mplo. razão σ ( 3 ) ( N cm ) rlativa (% ) prsnt trabalho razão σ ( 4 ) ( N cm ) rlativa (% ) prsnt trabalho razão rlativa (% ) trabalho toria técnica toria técnica toria técnica -,496 -,54 7,79 5,977 8, 5,9,64-4, 5,6 -,437 -,54 6,99 6,4 8, 4,47,867-4, 46,67 6 -,5 -,54, 7,57 8, 9,9 -,785-4, 55,36 8 -,55 -,54, 7,5 8, 6,4 -,58-4, 37,5 -,574 -,54,6 7,653 8, 4,34 -,977-4, 5,59 -,584 -,54,39 7,75 8, 3, -3,73-4, 8,7 5 -,59 -,54,5 7,84 8,,98-3,544-4,,4 6 -,593 -,54, 7,86 8,,7-3,65-4, 9,88 8 -,594 -,54,9 7,893 8,,33-3,699-4, 7,53 -,596 -,54,7 7,96 8,,5-3,766-4, 5,85 4 -,597 -,54,4 7,944 8,,7-3,85-4, 3,69 5 -,597 -,54,4 7,949 8,,63-3,867-4, 3,3 3 -,598 -,54,3 7,967 8,,4-3,99-4,,3 4 -,598 -,54, 7,98 8,,3-3,965-4,,87 6 -,598 -,54, 7,99 8,, -3,993-4,,8 -,598 -,54, 7,995 8,,7-4,3-4,,9 -,598 -,54, 7,995 8,,6-4,5-4,, 5 -,598 -,54, 7,996 8,,6-4,6-4,,5 Obsrvando a anális d convrgência, tanto a Tabla 5.3 quanto a Figura 5.7, conclui-s qu a rsposta mais próima da toria técnica para a tnsão normal é aqula qu corrspond à malha com lmntos. Dstaca-s qu a cinmática dsnvolvida no prsnt trabalho é mais prcisa qu a toria d Vlasov. Para ncontrar o rsultado mais próimo possívl do ral dv-s rfinar a malha, tanto da sção transvrsal quanto da barra, até qu os valors obtidos sjam constants.

193 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 93 Comparando-s a toria técnica o prsnt trabalho vrifica-s qu para lmntos têms rsultados aproimadamnt iguais. Em rlação ao giro por unidad d comprimnto (α ou ' ), após 4 lmntos a razão rlativa mantém-s constant dsprzívl. Para a tnsão normal ( 4 ) tm-s a mnor difrnça para lmntos dpois sta aumnta. E para a tnsão normal () 3, após lmntos, obsrva-s uma difrnça dsprzívl (Figura 5.7). Portanto, para fazr comparaçõs ao longo da barra assum-s a discrtização com lmntos finitos. Figura 5.7. Rprsntação gráfica da anális d convrgência do mplo Rsultados ao longo do comprimnto da barra Finalmnt podm-s comparar os rsultados do prsnt trabalho ao longo do comprimnto da barra com a toria técnica. Obtivram-s os rsultados da toria técnica, aprsntados antriormnt, rsolvndo suas rspctivas formulaçõs. E, têm-s os rsultados do prsnt trabalho, obtidos da forma com as malhas dscritas no itm antrior (

194 94 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral lmntos). Lmbrando qu a comparação dos rsultados rfr-s ao ponto 3 4 (Figura 5.), da sção transvrsal. A Tabla 5.4 é a comparação do giro do giro por unidad d comprimnto, rspctivamnt, ntr a toria técnica o prsnt trabalho. Calcularam-s os giros para lmntos, ou sja, nós. Esta tabla mostra a comparação dos rsultados m alguns dsss nós. Tabla Ângulo d rotação ângulo d rotação por unidad d comprimnto do mplo. ( cm ) ( radianos ) razão rlativa ( ) ' ou α ( radianos cm) razão rlativa (% ) prsnt trabalho toria técnica % prsnt trabalho toria técnica -5,,,,,598,54, -,5,93,488,55,3956,3963,8-8,,7957,893,57,36,369,4-57,5,39556,4997,6,357,364,9-35,,85896,87673,6,8,86,35 -,5,366,336,63,355,36,39-9,,3476,34955,65,995,999,44-67,5,366,368538,66,696,7,47-45,,378794,38334,67,44,444,5 -,5,386,38878,67,4,5,5,,388487,396,67,,,,5,386,38878,67 -,4 -,5,5 45,,378794,38334,67 -,44 -,444,5 67,5,366,368538,66 -,696 -,7,47 9,,3476,34955,65 -,995 -,999,44,5,366,336,63 -,355 -,36,39 35,,85896,87673,6 -,8 -,86,35 57,5,39556,4997,6 -,357 -,364,9 8,,7957,893,57 -,36 -,369,4,5,93,488,55 -,3956 -,3963,8 5,,,, -,598 -,54, A Figura 5.8 a Figura 5.9 são os gráficos do ângulo d rotação ao longo da dirção, m radianos por unidad d comprimnto, rspctivamnt. Os valors dos ângulos são

195 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 95 dfinidos para as msmas posiçõs d, m ambos os trabalhos. Obsrva-s uma pquna difrnça ntr os valors do giro, da toria técnica do prsnt trabalho. Figura 5.8. Rprsntação gráfica do ângulo d rotação do mplo. Figura 5.9. Rprsntação gráfica do ângulo d rotação por unidad d comprimnto do mplo. Como B( 5) = 5.Ncm técnica, da Equação (5.): σ σ =. Com bas nsss valors rsultam para a toria 5 5 N cm ,67 3 = = 5 = 8, ( )( ) ( ) 5 5 N cm ,67 4 = = 75 = 4, ( )( ) ( ) Para o prsnt trabalho, considrando-s uma malha d 6 lmntos para a sção σ 3 = 5 = 7,99468N cm transvrsal lmntos para a barra, tm-s ( ) ( ) σ 4 = 5 = -4,347N cm. Ou sja, uma difrnça d,7%,9%, para ( )( ) σ ( 3 )( = 5) σ ( 4 )( = 5) normais, para o prsnt trabalho., rspctivamnt. A Figura 5.3 ilustra o mapa d tnsõs

196 96 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Para a dtrminação da máima tnsão d cisalhamnto dv-s dtrminar a tnsão d cisalhamnto máima por flo-torção, no qu corrspond ao máimo M ft. Da Equação (5.): τ ( = 5),36749 N cm ft = A tnsão d cisalhamnto máima por torção livr corrspond ao máimo M L. Da Equação (5.3): τ ( = 5) 4,837 N cm L = O valor da tnsão d cisalhamnto máima é o sguint: τ = τ ft + τ L = 4, N cm (5.5) ma 4576 Para o prsnt trabalho, como mostram os mapas d tnsõs d cisalhamnto ilustrados na Figura 5.3 na Figura 5.3, a tnsão d cisalhamnto máima é igual a 4,4834 cm N. A difrnça ntr as duas abordagns é igual a,5%. Figura 5.3. Mapa d σ do mplo, unidad: N cm². Figura 5.3. Mapa d τ do mplo, unidad: N cm². Figura 5.3. Mapa d τ z do mplo, unidad: N cm². Os valors do mpnamnto para os pontos dstacados na Figura 5., para a toria técnica, são os sguints:

197 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 97 u = u =, 388cm 4 u = u, 76cm 3 = E para o prsnt trabalho: u = u =, 389cm 4 u = u, 7cm 3 = Portanto, há uma difrnça d,3% ntr os mpnamntos u,39% ntr u, m rlação aos dois trabalhos. Lmbrando qu a toria técnica só fornc os valors do mpnamnto nodal na linha squlto. A Figura 5.33 a Figura 5.34 ilustram o mapa d dslocamntos (mpnamnto) configuração dformada, do prsnt trabalho, para = 5cm = 5cm, rspctivamnt. Figura Mapa d dslocamntos configuração dformada do mplo, para = 5cm, unidad: N cm². Figura Mapa d dslocamntos configuração dformada do mplo, para = 5cm, unidad: N cm².

198 98 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 5..3 CONCLUSÃO Analisando-s os rsultados d ambas as abordagns ncontram-s difrnças, como ra sprado. As difrnças acontcm dvido às simplificaçõs adotadas m cada toria. Sndo qu as hipótss adotadas para a toria técnica são mais simplificadas qu as do prsnt trabalho. Além da toria da Vlasov impor um comportamnto linar das tnsõs d cisalhamnto ao longo da spssura das sçõs transvrsais, sta considra qu o mpnamnto da sção transvrsal é proporcional à ', ou sja, a taa d giro por unidad d comprimnto. Smlhant ao qu ocorr na hipóts d Brnoulli ond o giro da sção transvrsal é a drivada do dslocamnto transvrsal com rlação ao io da barra analisada. Na formulação proposta as tnsõs d cisalhamnto são aproimadas por lmntos finitos na sção transvrsal, diando maior flibilidad d acomodação nrgética. Além disso, o parâmtro α (intnsidad d mpnamnto) não stá amarrado à drivada longitudinal do giro, tal como ocorr na cinmática d Rissnr-Timoshno na anális d barras fltidas. Portanto, acrdita-s qu os rsultados do prsnt trabalho stão mais próimos dos valors rais, uma vz qu a sua cinmática é mnos simplificada qu a da toria d Vlasov.

199 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral EXEMPLOS DE NÚCLEOS ESTRUTURAIS Apsar dos núclos struturais srm barras d sção d pard fina com múltiplas sçõs, adotou-s st nom para sta sção dvido à grand importância dst lmnto strutural m aplicaçõs na ngnharia civil SEÇÃO TRANSVERSAL ABERTA Est mplo rfr-s a um núclo strutural isolado ncontra-s m SOUSA JUNIOR (). El analisou a strutura m três programas. O primiro foi o dsnvolvido por SOUSA JUNIOR (), qu aprsnta um studo sobr a anális d difícios altos nrijcidos com núclos struturais analisados pla toria da flo-torção. O sgundo programa utilizado foi o aprsntado m MATIAS JUNIOR (997) qu também modla o núclo strutural como sndo formado por barras d núclos d sção dlgada analisadas pla toria d Vlasov. E o trciro programa, foi o programa ANSYS vrsão 5.4 qu faz a anális plo método dos lmntos finitos d casca. O prsnt trabalho objtiva comprovar a ficiência do procsso d cálculo dscrito nos capítulos antriors. Portanto, maiors dtalhs sobr os métodos utilizados para o cálculo dsta strutura, rfrnts aos outros trabalhos, ncontram-s m SOUSA JUNIOR ().

200 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Figura Sção transvrsal da strutura. Figura Localização dos pontos na sção transvrsal da strutura. A strutura dst mplo rprsnta o poço d um lvador d vint andars. A Figura 5.35 ilustra a sção transvrsal dsta strutura. A altura do núclo é igual a 6 mtros as spssuras das pards são 5 cntímtros. Adotou-s Coficint d Poisson igual a,5, Módulo d Elasticidad Longitudinal igual a. N/cm², Módulo d Elasticidad Transvrsal igual a 8 N/cm². Considrou-s a strutura totalmnt ngastada na bas. Aplicaram-s cargas horizontais F d valor unitário (N) atamnt no ponto indicado na Figura 5.35, variando-s a cota d 3 m 3 mtros d tal forma qu a carga mais alta stá aplicada no topo da strutura, 6 mtros. Figura Malha da sção transvrsal. Figura Malha da barra.

201 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Nst trabalho discrtizou-s a malha da sção transvrsal m 88 lmntos finitos triangulars quadráticos 657 nós, como mostra a Figura Discrtizou-s a barra m lmntos nós, Figura A Tabla 5.5 mostra os rsultados dos dslocamntos vrticais do prfil do núclo mdidos na part mais lvada da strutura os pontos rfrnciados nsta tabla são os indicados na Figura Tabla Dslocamnto vrtical m cntímtros no topo da strutura. Ponto Prsnt Trabalho SOUSA JUNIOR () ANSYS -,997 -,3 -, -,997 -,3 -, 3,793,798,797 4,793,798,797 5,793,798, ,997 -,3 -, 7 -,997 -,3 -, A Tabla 5.6 contém os rsultados dos dslocamntos horizontais na dirção do carrgamnto mdido no ponto 4 da Figura A coluna pavimnto da Tabla 5.6 rfr-s à altura ond s aplicou as cargas. Considrou-s qu a cada 3 mtros há um pavimnto d um difício d andars. O pavimnto rfr-s à cota d 6 mtros. Obsrva-s qu os rsultados obtidos no prsnt trabalho nos outros são praticamnt iguais, como mostram as tablas Tabla 5.5 Tabla 5.6 a rprsntação gráfica do dslocamnto horizontal no ponto 4, Figura 5.39.

202 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Tabla Dslocamnto horizontal m cntímtros no ponto 4. Pavimnto Prsnt Trabalho SOUSA JUNIOR () MATIAS JUNIOR (997) ANSYS,,,,,9,8,8,,7,7,7,75 3,55,54,54,59 4,65,64,64,7 5,4,399,399,46 6,556,555,555,563 7,73,73,73,739 8,9,9,9,93 9,6,8,8,37,343,345,345,355,569,573,573,58,84,88,88,88 3,44,5,5,6 4,9,97,97,37 5,54,548,548,558 6,79,8,8,8 7 3,46 3,57 3,57 3,66 8 3,3 3,34 3,34 3,33 9 3,557 3,57 3,57 3,58 3,8 3,88 3,88 3,839 Figura Rprsntação gráfica do dslocamnto horizontal no ponto 4.

203 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral SEÇÕES TRANSVERSAIS COM GEOMETRIAS QUAISQUER Est mplo objtiva vrificar a capacidad da técnica aprsntada no prsnt trabalho m calcular struturas d núclos struturais compostas por sçõs transvrsais abrtas fchadas ao longo do su comprimnto. Tabla Séri comrcial do prfil strutural U rspctiva dsignação (NBR 6355/3). Séri Sção transvrsal Dsignação ) U simpls U b b t w Emplo: U 75 3, f n ) As dimnsõs são aprsntadas m milímtros. A sção transvrsal é o prfil U simpls, U 75 3,, a unidad é o milímtro (Tabla 5.7). Para fito d cálculo dsprzaram-s as curvaturas formadas por lmntos adjacnts nos prfis formados a frio. Considrou-s qu todos sss ângulos são iguais a 9. E a sção transvrsal, tm as dimnsõs da sção, porém é um prfil fchado. Figura 5.4. Rprsntação da strutura do mplo.

204 4 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral A strutura é uma viga ngastada d comprimnto total igual a 3 mtros, Figura 5.4. Imaginando-s a barra dividida m três parts iguais, tm-s nos trços das trmidads o prfil U, no trço médio a sção rtangular fchada com as msmas dimnsõs do prfil U simpls. Os valors ncssários para o cálculo dsta strutura são: L = 3cm E =.N cm =, 3 ν D ANTUNES (999) têm-s os valors da ára Momnto d Inércia Storial ncssários para a rsolução dsta strutura. O diagrama d ára storial para o prfil U 75 3, stá rprsntado na Figura 5.4. Figura 5.4. Diagrama d ára storial do prfil U 75 3,, unidad: cm ². E o valor do su Momnto d Inércia Storial ( I ω ) é igual a 6 79,595cm. Para rsolvr sta strutura dv-s dtrminar o valor do Bimomnto qu é dfinido da sguint forma: Como: B = σ ω da (5.6) A

205 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 5 '' σ = Eω (5.7) Substituindo-s a Equação (5.7) na Equação (5.6): '' B = E ω da (5.8) A Figura 5.4. Malha da sção transvrsal. Figura Malha da sção transvrsal. Como I ω = A ω da, qu é o Momnto d Inércia Storial dnominando-s '' a = E, scrvs a Equação (5.8) da sguint forma: B = a I ω (5.9) Substituindo-s a constant a na Equação (5.7): σ aω = (5.3) Ou sja, a tnsão é proporcional aos valors da ára storial. Portanto, a carga por unidad d comprimnto é ncontrada multiplicando-s a tnsão normal pla spssura da sção transvrsal:

206 6 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral q = aω t (5.3) Adotou-s a = t. Substituindo-s os valors d I ω a na Equação (5.9) ncontras B Ncm =.398,65. E substituindo-s a na Equação (5.3) tm-s qu q = ω, ou sja, para st mplo, as cargas por unidad d comprimnto são iguais aos valors da ára storial a unidad d q é N cm. Aplicou-s o valor do Bimomnto na dirção 7, qu corrspond ao parâmtro α, ncontrando-s os rsultados para sta strutura. Para a técnica proposta, discrtizou-s a malha da sção transvrsal m 6 lmntos 369 nós (Figura 5.4), 56 lmntos 576 nós (Figura 5.43), rspctivamnt. Tm-s para a malha da barra 5 lmntos 3 nós, como sclarc a Figura A malha dscrita para o prsnt trabalho corrspond a. 7 graus d librdad, já qu aprsnta 7 graus d librdad por nó os nós da sção transvrsal não gram quação d quilíbrio. Figura Malha da barra. A carga aplicada no programa ANSYS qu produz apnas dslocamnto dvido ao mpnamnto nsta strutura, corrspond a uma tnsão proporcional aos valors da ára storial do prfil U 75 3,, d acordo com a Equação (5.3). Aplicou-s a carga por unidad d comprimnto. Para a modlagm no ANSYS adotou-s o lmnto Shll 63. Os

207 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 7 rsultados finais aprsntados corrspondm à subdivisão das áras da strutura m lmntos nós, o qu corrspond a graus d librdad, ou sja, 6 graus d librdad por nó. Fz-s uma anális d convrgência m mpnamnto para a formulação proposta a partir d 5 lmntos finitos a solução s mantv stávl, ou sja, a convrgência foi atingida. Assim, os valors rfrnts à formulação proposta aprsntada na Figura 5.45 são para sta discrtização, ou sja,. 7 graus d librdad. Figura Rprsntação gráfica do mpnamnto máimo. A Figura 5.45 é a rprsntação gráfica do mpnamnto máimo m função do númro d graus d librdads. Os dados rfrm-s tanto aos rsultados obtidos por st trabalho quanto aos rsultados do ANSYS. Como pod s obsrvar para qu o ANSYS aprsntass valor d mpnamnto próimo ao obtido pla formulação proposta foram ncssários vzs mais graus d librdad. A Tabla 5.8 mostra qu os valors do mpnamnto máimo, da sção transvrsal situada na trmidad livr, obtidos tanto através do prsnt trabalho quanto do ANSYS são aproimadamnt iguais para o númro d graus d librdad igual a do ANSYS.

208 8 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Tabla Empnamnto no máimo da sção transvrsal, unidad: ( cm ). Prsnt Trabalho ANSYS Razão rlativa (%),658,636,79 Figura Mapa d dslocamntos configuração dformada na trmidad livr. Figura Rprsntação do mpnamnto, ANSYS (.), unidad: cm.

209 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 9 O mapa do mpnamnto configuração dformada, unidad m cntímtros (cm), rfrnt ao prsnt trabalho, para a sção transvrsal na trmidad livr, é ilustrado na Figura A Figura 5.47 é o rsultado do programa ANSYS para o mpnamnto dsta strutura. A partir da Figura 5.46, da Figura 5.47 da Tabla 5.8 obsrva-s qu os rsultados do ANSYS stão m boa concordância com os rsultados do prsnt trabalho. Foram fitas análiss smlhants para tnsõs normais máimas d cisalhamnto máimas ncontraram-s difrnças rlativas d,3% 3,46%, rspctivamnt. Para a discrtização do ANSYS com graus d librdad. Para s comparar mlhor os rsultados m tnsõs sriam ncssárias mlhors discrtizaçõs. Como no momnto, as análiss com o ANSYS ficam limitadas plos computadors disponívis, contntou-s com os rsultados aprsntados MATERIAIS COMPOSTOS Propõ-s um mplo d um núclo strutural composto por sçõs abrtas fchadas por trcho, considrando-s como matrial o concrto armado. Como s trata d uma contribuição, ainda qu modsta, apnas os rsultados rfrnts ao prsnt trabalho srão aprsntados. Nst mplo srá analisada a strutura d um difício (Figura 5.5) d vint pavimntos com,8m d pé dirito, constituída clusivamnt por um núclo d sção transvrsal constant ao longo da sua altura, todas as suas pards possum,5m

210 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral (Figura 5.48), sndo ainda contravntada por lintéis (Figura 5.49) ao nívl d cada andar, com a msma spssura das pards altura d,45m. Figura Sção transvrsal abrta. Figura Sção transvrsal dos lintéis. Figura 5.5. Núclo strutural. Para o concrto, o módulo d lasticidad longitudinal adotado é igual a 9 8, gf m² transvrsal 8,75 gf m². Para o aço, o módulo d lasticidad 9 longitudinal adotado é igual a, gf m² transvrsal 8,8 gf m². As açõs aplicadas foram um momnto torçor d 3.756,gfm atuando ao nívl da cobrtura 3.8,gfm nos dmais pavimntos. Distribuiu-s armadura na sção transvrsal da forma indicada na Figura 5.5, considrando-s 8,mm c cm cobrimnto igual a cm. Lmbrando qu a armadura tm o comprimnto do lintél (viga no nívl do pavimnto) na rgião corrspondnt a ss tipo d strutura qu a outra sção é abrta. Figura 5.5. Dtalh d armadura ().

211 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral A malha foi grada d acordo com a dimnsão mínima da armadura idalizada m um quadrado d lado igual a oito milímtros. Discrtizou-s a malha da sção transvrsal abrta m. 37 lmntos finitos triangulars quadráticos 3. 8 nós, como mostra a Figura 5.5. E na sção ilustrada na Figura 5.53 tm-s uma malha com. 56 lmntos finitos triangulars quadráticos nós. Figura 5.5. Malha da sção transvrsal abrta. Figura Malha do lintél. O núclo foi discrtizado ao longo do su comprimnto por uma malha com 4 lmntos 8 nós, d a 56 m. Sndo qu istm dois lmntos m cada pavimnto, um lmnto d comprimnto igual a,35m outro d comprimnto igual a,45m, formados por nós nas trmidads o trciro no ponto médio do lmnto. Na Tabla 5.9 stão os valors das rotaçõs m torno do io longitudinal. Ests também são rprsntados pla curva do gráfico da Figura O parâmtro d intnsidad d mpnamnto stá rprsntado na curva do gráfico da Figura 5.55.

212 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral Tabla 5.9 Rotaçõs (rad) no núclo dslocamnto na dirção do mpnamnto (rad/m). Pav. Cota (m) ( rad ) ( rad m),,,8,56,399 5,6,546, ,4,735,4835 4,,394, ,5, ,8,63, ,6,766, ,4,838, ,,936,337 8,996, ,8,73,565 33,6,39, ,4,995, ,,55, ,983, ,8,3368, ,6,3685, ,4,394, ,,453,76 56,4377,83697 α Figura Rprsntação gráfica a rotação (radianos). Figura Rprsntação gráfica da intnsidad do mpnamnto (rad/m).

213 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral 3 A Figura 5.56 é o mapa d dslocamntos para o mpnamnto no topo do difício. A Figura 5.57 rfr-s ao mapa da tnsão normal ( σ ) máima qu ocorr no pnúltimo pavimnto, na cota = 53, m. Figura Mapa mpnamnto, unidad: m. Figura Mapa d σ máimo, unidad: gf m. O mapa da tnsão d cisalhamnto τ é ilustrado na Figura 5.58, st ocorr no pnúltimo pavimnto, na cota = 53, m. Para τ z o mapa da tnsão d cisalhamnto é ilustrado na Figura 5.59, qu ocorr no pnúltimo pavimnto, na cota = 53, m. Figura Mapa d τ máimo, unidad: gf m. Figura Mapa d τ z máimo, unidad: gf m.

214 4 Capítulo 5: Emplos do lmnto d barra gral

215 Capítulo 6 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS Os objtivos dst trabalho foram atingidos d forma satisfatória. Ou sja, dsnvolvu-s implmntou-s computacionalmnt uma formulação d lmnto finito d barra gral tridimnsional laminado, sguindo uma cinmática d Rissnr-Timoshno gnralizada incluindo a considração do mpnamnto à torção. Dsta forma, o lmnto finito rsultant é capaz d simular, com prcisão, problmas d torção livr flo-torção para sçõs d gomtria qualqur incluindo matriais não homogênos barras com sçõs constants por trchos. A ficácia dst código m solucionar problmas d torção livr é dmonstrada no Capítulo 3 dsta dissrtação a partir da comparação d mplos, com outros autors, d problmas com sçõs transvrsais fchadas, abrtas com pards dlgadas, considrando-s sçõs homogênas não-homogênas. O msmo foi fito com rlação aos problmas d flo-torção, conform aprsntado no Capítulo 5. Como dscrito ao longo da dissrtação, bm como no su título, trata-s d um aprimoramnto qu rsultou na mlhora dos modlos usuais d barra gral, com a introdução da cinmática d mpnamnto para sção transvrsal d gomtria qualqur. Dstaca-s ainda a originalidad da obtnção do Cntro d Cisalhamnto plo MEF. Com ss trabalho, houv um avanço, nas técnicas usuais d anális strutural via MEF disponívis no SET. Essa

216 6 Capítulo 6: Conclusõs dsnvolvimntos futuros contribuição, ainda qu modsta, foi d nívl compatívl com o mstrado acadêmico trará bnfícios para trabalhos futuros. Como dsnvolvimntos futuros sugr-s a implmntação d não-linaridad gométrica na formulação. Bm como o acoplamnto barra gral/ casca a considração d todas as parts struturais do difício, além do núclo strutural.

217 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABRAMENTO, I. (98). O cntro d torção o cntro d cisalhamnto nas barras prismáticas. Dissrtação d Mstrado, Dpartamnto d Estruturas Fundaçõs, EPUSP, São Paulo, SP. ANTUNES, H. M. C. C; SOUSA JUNIOR E.; MARTINS, C. H. (). Intração núclo strutural lajs d pavimntos. [CD-ROM]. In: Congrsso Brasiliro do Concrto, 4. Fortalza, IBRACON. ANTUNES, H. M. C. C.; MORI, D. D.; SOUZA, J. C. A. O. (995). Núclos Estruturais. In: XXVII Jornadas Sudamricanas d Ingniría Estructural, 995. Mmórias., Tucumán Argntina. V. 3. p ANTUNES, M. C. (999). Programa para cálculo d propridads d sçõs dlgadas. [onlin]. Availabl from Intrnt: <