GRUPO VIII GRUPO DE ESTUDO DE SUBESTAÇÕES E EQUIPAMENTOS ELÉTRICOS (GSE)

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1 GSE/ à 22 de outubro de 1999 Foz do Iguaçu Paraá - Brasil GRUPO VIII GRUPO DE ESTUDO DE SUBESTAÇÕES E EQUIPAMENTOS ELÉTRICOS (GSE) TRANSFORMADAS WAVELETS APLICADAS NO RECONHECIMENTO DE DESCARGAS PARCIAIS EM EQUIPAMENTOS ELÉTRICOS Hélio P. Amorim Juior Guilherme G. Lima Alai F. Saso Levy Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro (PUC-Rio) Cetro de Pesquisas de Eergia Elétrica (CEPEL) Atoio RESUMO As técicas de processameto de siais são ferrametas de grade aplicação as áreas de desevolvimeto tecológico. Em seu campo de atuação, pode-se icluir, tremores sísmicos, images médicas, voz humaa, dados fiaceiros, música, dados históricos, etre outros. A aálise ou tratameto destes siais, tais como compressão, simplificação ou mesmo recostrução são exemplos do potecial destas técicas. No etato, detre as ovas técicas de processameto de siais, as trasformadas wavelets vem assumido um papel de destaque. A sua habilidade de realizar aálise local, isto é, aalisar uma miúscula área de um sial de grades proporções, é talvez sua pricipal virtude. O objetivo deste trabalho é justamamete estudar e apresetar os meios pelos quais as trasformadas wavelets podem viabilizar o recohecimeto de descargas parciais (DP) em equipametos elétricos. PALAVRAS-CHAVE Descargas Parciais (DP) e Trasformadas Wavelets INTRODUÇÃO A simples possibilidade da existêcia de problemas operacioais o sistema elétrico, tora o processo em estado de alerta permamete. Um meio pelo qual a miimização ou mesmo a dimiuição do grau deste risco pode ser atigida, é a realização do moitorameto dos equipametos elétricos de alta tesão. Sedo assim, as mauteções preditivas e, por cosequêcia, a avaliação do estado atual dos equipametos elétricos, tem aumetado em muito sua importâcia. Sedo as Descargas Parciais (DP), comprovadamete, uma das pricipais causas da degradação dos materiais isolates, o acompahameto evolutivo de sua preseça é importate o plaejameto operacioal do sistema. Muito itimamete ligado a ecessidade do acompahameto periódico, é que os sistemas de medição apresetaram um grade avaço. No etato, muito se perderia se ferrametas de processameto de siais ou, até mesmo, de técicas iteligetes, ão fossem empregadas os dados dispoíveis por este moderos sistemas de aquisição de dados. É este poto que o trabalho pretede abordar, através da aplicação de técicas moderas os dados reais de siais de DP em equipametos elétricos, mais precisamete das Trasformadas Wavelets. Além disto, a possibilidade de recohecimeto e classificação dos tipos de fotes de DP através do uso de técicas iteligetes, tais como Redes Neurais Artificiais (NN) [11], possibilita a geração de fudametos mais sólidos o que tage a pricipal meta do diagóstico, que é a determiação do grau de risco de falha do equipameto elétrico sob teste WAVELETS: FUNDAMENTOS BÁSICOS A ateção dos pesquisadores aos poucos foi sedo direcioada para a ecessidade de uma aálise baseada em tempo-escala e ão mais em tempofrequêcia como é utilizado pela Aálise de Fourier. Assim, a idéia de olhar um sial em escalas variadas e aalisá-lo com resoluções diversas tem aumetado o iteresse o estudo das Wavelets. Sob um poto de vista histórico, a aálise Wavelet é cosiderada uma ova metodologia que procura realizar algo além do * Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro PUC-Rio Rua: Marquês de São Vicete, 225. Prédio Cardeal Leme 4 0 Adar. CEP: Bairro Gávea Rio de Jaeiro Tel: (021) / (Fax) amorim@fud.cepel.br

2 2 que a aálise de Fourier possibilita. Sua simplicidade e elegâcia levaram-a ao estudo da aálise Wavelet como uma alterativa à aálise de Fourier. A teoria das trasformadas Wavelets foi primeiramete apresetada por Jea Morlet e seu grupo de pesquisa, a Fraça em (84/85) [1]. O algoritmo pioeiro data do trabalho de Stephae Mallat [2] em 1988, formalizado sua expasão através da chamada aálise de multiresolução. Desde etão, pesquisas toraram-se de âmbito iteracioal e trabalhos de cietistas tais como: Igrid Daubecheis [3 ], Roald Coifma [6] etre outros, são relevates para a propulsão desta ova técica. O cotraste etre as técicas de Fourier e Wavelet é que, equato as trasformadas de Fourier realizam a aálise de um sial por jaelas simples, que têm tamaho fixo, as trasformadas de Wavelets utilizam jaelas de tamahos variados que se adequam de acordo com a frequêcia do sial, possibilitado assim, aalisar siais ão-estacioários. A idéia básica da utilização das jaelas está apresetada a Figura 1. baseia a utilização de baco de filtros em quadratura (quadratutre mirror filters QMF) [5], demostrado pela Figura 2. FIGURA 2. Filtros em Quadratura (QMF) A Aálise de Multiresolução é desigada para represetar siais ode, um simples eveto pode ser decomposto em tão fios detalhes quato se queira. Para tato, são itroduzidas as seguites fuções: fução escala ( que defie o coceito de resolução e fução wavelet ( que é origiada a partir da fução escala e defie o coceito de traslação. A equação recursiva fudametal a teoria da fução escala é apresetada a seguir (1), e de acordo com a referêcia utilizada, pode ser chamada de: equação de refiameto, equação da aálise de Multiresolução ou equação dilatio. ( t) = h ( ) 2 (2t ) Ζ (1) 0 FIGURA 1 Exemplos das Jaelas Utilizadas Portato, técica de Wavelet se baseia a utilização de logos itervalos de tempo, ode as iformações de baixa freqüêcia são dispoíveis e de curtos itervalos de tempo, ode as iformações de alta freqüêcia estão mais evidetes. Deste modo, surgem a teoria da aálise de multiresolução, que se ode (t) represeta a fução escala, h 0 são os coeficietes do filtro passa-baixa, (2t-) é a traslação da fução escala, de ode se é possível extrair os siais de pior resolução e a raiz de 2 matêm a orma da fução escala. Sedo assim, a aálise multiresolução pode gerar espaços que coteham siais tato de alta resolução como de baixa resolução. Estas mudaças de escalas proporcioada pela equação de refiameto (1) ou Fução Escala, pode ser represetada pela Figura 3 e devem satisfazer a relação:.. V -2 V -1 V 0 V 1 V 2... L 2

3 3 ode V 0 é gerado pela fução escala (t-) e L 2 é o espaço. A Figura 4 demostra como os espaços das fuções escalas e wavelets se toram complemetos ortogoais (exceto o elemeto zero). FIGURA 3 - Vetor de Espaços Origiados pela Fução Escala Essa relação assegura que os elemetos em um espaço são simplesmete versões dos elemetos dos espaços atecedetes. No etato, a mudaça de escala ão é tão covecioal e propriamete eficaz quado utilizada separadamete. Surge etão a fução wavelet, que possibilita a aplicação das trasformadas wavelets, muito similar à teoria de baco de filtros. A fução wavelet trabalha com as difereças o espaço, ou seja, as traslações, e pode ser determiada pela seguite expressão: t = h ( ) 2 (2t (3) ( ) ) 1 ode (t) represeta a fução wavelet, h 1 são os coeficietes do filtro passa-alta e (2t-) é a traslação da fução escala. Importates características do sial podem deixar de ser percebidas se utilizamos somete a fução escala, isto pelo fato de existirem difereças etre os espaços gerados pelas várias escalas da fução escala. As fuções que tedem a exergar tais características recebe o ome de fuções wavelets. Na prática exige-se que as fuções escala e wavelet sejam ortogoais. Um dos motivos mais sigificativos, é que a ortogoalidade permite simples cálculo dos coeficietes de expasão e seguem o teorema de Parseval, ode a eergia de um sial pode ser particioada. O complemeto ortogoal de V j em V j+1 é defiido por W j. Isto implica que todos os membros de V j são ortogoais aos membros de W j, levado-os: j, ( ( t) = ( ( dt (4) FIGURA 4 Vetor de Espaços das Fuções Escala e Wavelet Exemplos de fução escala e fução wavelet A fução escala Haar [7] ou Daubechies-2, é uicamete um deslocameto ode (2t) pode ser usada para costruir (t) por: (t) = ( 2t ) + ( 2t - 1 ) (8) que satisfazedo a equação de refiameto (1) leva aos seguites coeficietes h(0) = 1/ 2 e h(1) = 1/ 2. A fução está represetada a Figura 5, juto a outro exemplo: fução triâgulo que, satisfazedo a equação de refiameto (1) resultaria em: h(0) = 1/2 2, h(1) = 1/ 2 e h(2) = 1/2 2 Da equação ode V 0 V 1 V 2. L 2, pode-se defiir o subespaço wavelet por: V 1 = V 0 W 0 (5) Extededo a todos os compoetes: V 2 = V 0 W 0 W 1 (6) Em geral isto resulta em: L 2 = V 0 W 0 W 1 (7) FIGURA 5 - Fução Escala Haar (ou db2 ) e Fução Escala Triâgulo

4 4 As wavelets Haar e triâgulo que foram associadas às fuções escala - Figura 5, serão represetadas a fução Wavelet a Figura 6. Nela, de acordo com a equação (3), os coeficietes seriam: h 1 (0) = 1/ 2 e h 1 (1) = -1/ 2 para fução Haar e h 1 (0) = -1/2 2, h 1 (1) = 1/ 2 e h 1 (2) = -1/2 2 para fução triâgulo. ode o coeficiete d j () efatizam as difereças etre a traslação e o parâmetro escalar j. Os coeficietes c(), c j () ou c() represetam os coeficietes da fução escala. Estes coeficietes são chamados de trasformada wavelet discreta (DWT) de um sial g( Se certas codições foram satisfeitas, esse coeficietes podem, assim como os coeficietes da Série de Fourier, ser usados para aálise, descrição, aproximação ou filtragem de um sial. Se o sistema wavelet é ortogoal, estes coefietes podem ser calculados pelo seu produto itero: cj ( ) ( t) = g( ( dt (12) dj ( ) ( t) g( j, ( dt (13) = FIGURA 6 Fução Wavelets Haar e Triâgulo Como uma série de expasão em termos de fução escala e wavelet, qualquer fução g(t) L 2 (R) pode ser escrita como: g( t) = c( ) ( t) + d( ) ( t) = j= 0 = (9) o primeiro somatório proporcioa uma baixa resolução ou pobre aproximação de g( Para cada aumeto do termo j o segudo somatório uma resolução mais fia é atigida, que adicioa detalhes maiores. Isto é um tato similar a Série de Fourier, ode as altas frequêcias cotêm detalhes do sial. No desevolvimeto de ovas propriedades a direção de bases ortogoais é possível escrever: = c( ) = c0( ) ( t) g( ( dt (10) = dj ( ) = d( ) ( t) g( ( dt (11) Na maioria das aplicações somete os coeficietes h() e h 1 () e suas expasões c() e d j () são cosiderados. Mas o etedimeto de sua procedêcia é parte importate para a aplicação desta ova ferrameta. Portato, como demostrado, as aálises são realizadas por meio de baco de filtros, formados por filtros passa-baixa e passa-alta ou fuções escalas e wavelets. Estes filtros são caracterizados pelos seus respectivos coeficietes e são eles que defiem o tamaho e a regularidade do baco de filtros. A utilização da fução escala e da fução wavelet é capaz de cotrolar a resolução do sial, como exemplo, para se determiar detalhes mais fios de um sial o fator de escala deve ser dimiuído. A equivalêcia etre Trasformada Wavelet Discreta (DWT) e a teoria de baco de filtros digitais é extremamete grade. A Figura 7 apreseta a aplicação de fuções wavelet e escala em um determiado sial. Note que, a cada ível se é respeitado a expressão (5), ode V 3 = V 2 W 2 e assim, sucessivamete. FIGURA 7 Trasformada Wavelet Discreta (DWT) SINAIS DE DESCARGAS PARCIAIS (DP)

5 5 Descargas Parciais (DP) são defiidas pela ASTM (America Society for Testig ad Materials) [10], como um tipo de descarga localizada, resultate da ioização trasiete do gás, quado a tesão aplicada excede um valor crítico. Sua preseça em um sistema de isolameto em equipametos de alta tesão é siôimo de falha futura. Visto que, os siais de DP são altamete descotíuos e, sujeito a ruídos e oscilações, a aplicação das trasformadas wavelets é perfeitamete viável. Os meios os quais se emprega a técica, depede da fialidade do trabalho. No caso em especial, a base da aplicação estará a caracterização de compoetes que dêem margem a atuação dos algoritmos de recohecimeto e classificação de padrão. Sedo assim, características ivisíveis os siais de DP que tedam a idetificar o sial e correlacioar com o tipo de fote de DP, devem ser efocadas. Além disto, a compactação de dados também será utilizada. Desta forma, serão cosiderados os coeficietes origiados por via das fuções escala e wavelet, que tedam a represetar mais fielmete o cojuto de dados obtidos através dos siais de DP. Com posse destes coeficietes, a redução ou compressão de dados é sigificativa. Seja um sial represetado pela Figura 8, ode o sial do topo é origial de uma fote DP. A pricípio tem-se um total de 1024 potos. FIGURA 8 Sial de DP, Decomposição e Recostrução Utilizou-se as wavelets Daubechies (db4 ou db6) que são mais idicadas para curtos e rápidos distúrbios. As duas curvas seguites ao sial origial são obtidas através das fuções escala e wavelet o terceiro ível, ou de acordo com a Figura 7, os valores V0 e W0. Se observa através destas curvas uma redução o úmero de potos das curvas, de 1024 para 136. Recostruido o sial a partir destas duas curvas, obtém-se a quarta curva, com um total de 264 amostras. Estes potos podem represetar perfeitamete o sial origial, ode tem-se uma redução razoável de amostras. Um outro sial origial de uma fote de DP, é apresetado pela Figura 9. Os mesmos cometários sugeridos a Figura 8 é cabível a este exemplo. FIGURA 9 Sial de DP, Decomposição e Recostrução A Figura 10 é formada por duas curvas represetado respectivamete - o sial origial e sial aproximado. Para tato foi aplicado a wavelet daubechies 6 (db6) em dois íveis. A quatidade de íveis refere-se ao úmero de filtros utilizados o baco de filtros. Neste caso, por exemplo, dois bacos de filtros foram utilizados e a saída do ível dois de aproximação ou da fução escala é apresetada. Como a idéia básica da fução escala é similar a de um filtro passa-baixa, os siais de alta frequêcia, o caso represetado pelos ruídos, são extitos pelo processo de aplicação das trasformadas wavelets.

6 6 FIGURA 10 Sial Origial e Sial Aproximado CONCLUSÃO Por que aplicar a trasformada wavelet em um sial? Esta é uma questão muito comum quado se trabalha com algo ovo ou ovidades. Sempre se deseja saber o porque ates mesmo de se iiciar o trabalho. O simples fato das wavelets serem ajustáveis e adaptáveis já as toram utilizáveis. Além disto, elas podem ser utilizadas em várias aplicações, tais como apresetado, a compactação e elimaação de ruídos. A geração das wavelets e os cálculos realizados pelas trasformadas wavelet discreta (DWT), é de fácil implemetação computacioal, ão exigido itegrais ou derivadas, mas sim multiplicações e adições. O fato mais marcate talvez seja a sua capacidade de descrever e separar as características do sial, permitido a separação em compoetes o tempo e a frequêcia Sua habilidade de realizar aálise local, ode uma pequea área de um grade sial é aalisado, é uma de suas pricipais vatages. Assim, se é capaz de exergar pequeas descotiuidades que por vezes caracterizam um sial específico, tais como ruídos ou flutuações. A aálise wavelet é capaz de revelar aspectos que ehuma outra técica de aálise de sial pode alcaçar. Por sua habilidade de decompor siais em diferetes escalas e torá-lo mais flexível, ela recebeu o ome de Matemática Microscópica A expasão de uma fução ou sial pela aplicação das trasformadas wavelets tem como cosequêcia origiar coeficietes que cotêm iformações úteis sobre o sial.. Embora, esta expasão receba o ome de DWT, ela poderia ser chamada de Série Wavelet, pois assim como a Série de Fourier, ela também retora coeficietes, o caso para as traslações e j para as escalas. E estes coeficietes são importates as aplicações desta técica BIBLIOGRAFIA [1] GROUPILLAUD, P., GROSSMAN, A. ad MORLET, J., Cyclo-Octave ad Related Trasforms i Seismic Sigal Aalysis, SIAM J. Math. Aal., 15: , [2] MALLAT, S., Wavelet Sigal Processig. Academic Press, [3] DAUBECHIES, I., Te Lectures o Wavelets, SIAM, Philadelphia, Pesylvaia, [4] MISITI, M., MISITI, Y., OPPENHEIM, G. ad POGGI, J.M, Wavelet Toolbox For Use with Matlab, The Math Wors, [5] STRANG, G. ad NGUYEN, T., Wavelets ad Filter Bas, Wellesley-Cambridge Press, [6] COIFMAN, R.R., Wavelet Aalysis ad Sigal Processig, Sigal Processig, Part I: Sigal Processig theory, pp , New Yor, [7] BURRUS, C.S, GOPINATH, R.A. ad GUO, H., Itroductio Wavelets ad Wavelet Trasforms A Primer, Pretice-Hall, New Jersey, [8] WILKINSON, W. A. ad COX, M.D., Discrete Wavelet Aalysis of Power System Trasiets, IEEE Tras. o Power Systems, Vol.11, No. 4, November [9] RIOUL, O. ad VETTERLI, M., Wavelets ad Sigal Processig, IEEE Sigal Processig Magazie, October 1991, pp [10] PERKINS, J. R., Some Geeral Remars o Coroa Discharges, Egieerig Dieletrics Volume I: Coroa Measuremet ad Iterpretatio. ASTM Special Publicatio 699, Philadelphia, 1979, pp [11] ZURADA, J. M., Itroductio to Artificial Neural Networs, West Publishig Compay, 1992.