CE-003: Estatística II - Turma: K/O, Prova Final (19/12/2016)

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1 CE-00: Estatística II - Turma: K/O, Prova Fial (19/12/2016 GRR: Nome: Turma: 1. (15 Cosidere um jogo com um baralho (52 cartas o qual em uma primeira rodada retira-se duas cartas e em uma seguda rodada retira-se uma carta. O iteresse é se as cartas são figuras (valete, dama ou rei de qualquer aipe. Obter: (a o espaço amostral; (b a probabilidade de cada poto amostral; (c a distribuição de probabilidades do úmero de figuras obtidas as três cartas. Deve-se cosiderar duas situações, com e sem reposição das cartas etre a primeira e a seguda rodada. Solução: Notação: F : a carta é uma figura N = F : a carta ão é uma figura ˆ O espaço amostral para as duas situações (com e sem reposição é o mesmo. Ω = {(F F, F ; (F F, N; (F N, F ; (NF, F ; (F N, N; (NF, N; (NN, F ; (NN, N} ˆ Já as probabilidades são afetadas por repor ou ão as cartas Poto amostral (FF,F (FF,N (FN,F (NF,F (FN,N (NF,N (NN,F (NN,N Com reposição Sem reposição ˆ X : úmero de figuras obtidas as três cartas x {0, 1, 2, } Com reposição x P[X=x] P[(NN,N] P[(FN,N] + P[(NF,N] + P[(NN,F] P[(FF,N] + P[(FN,F] + P[(NF,F] P[(FFF] ,45 0,4142 0,1218 0,01149 Sem reposição x P[X=x] P[(NN,N] P[(FN,N] + P[(NF,N] + P[(NN,F] P[(FF,N] + P[(FN,F] + P[(NF,F] P[(FFF] ,4471 0,425 0,1195 0, OBS: o caso sem reposição a v.a. X segue uma distribuição hipergeométrica e as probabilidades podem ser obtidas pela fução de probabilidade desta distribuição. P [X = x] P [X = 0] = P [X = 1] = P [X = 2] = P [X = ] = X HG(N = 52, =, k = 12 ( k N k x( x ( N = 0, = 0, 425 = 0, 1195 = 0,

2 2. (15 Um vededor cosegue veder, em média, 0,5 uidades de um produto por dia. Calcule as probabilidades de: (a veder alguma uidade em um particular dia; (b ão efetuar ehuma veda em uma semaa (cosidere a semaa tedo cico dias úteis; (c em uma semaa (cico dias úteis efetuar vedas em ao meos três dias. Solução: (a (b (c Solução alterativa (sob idepedêcia: Soluções computacioais (liguagem R: X 1 : úmero de vedas em um dia x 1 {0, 1, 2,...} X 1 P(λ = 0, 5 P [X 1 = 0] = e0,5 0, 5 0 = 0, ! P [X 1 1] = 1 P [X 1 = 0] = 0, 95 X 2 : úmero de vedas em uma semaa (cico dias x 2 {0, 1, 2,...} X 2 P(λ = 2, 5 P [X 2 = 0] = e2,5 2, 5 0 = 0, ! P [X 1 = 0 X 1 = 0 X 1 = 0 X 1 = 0 X 1 = 0] id. = (P [X 1 = 0] 5 = 0, 95 = 0, X : úmero de dias com vedas em uma semaa (cico dias x {0, 1, 2,, 4, 5} > (q1 <- ppois(0, lambda=0.5, lower=false [1] 0,95 > (q2 <- ppois(0, lambda=0.5*5 [1] 0,08208 > (q2a <- (ppois(0, lambda=0.5^5 [1] 0,08208 X B( = 5, p = P [X 1 = 0] P [X ] = P [X = ] + P [X = 4] + P [X = 5] = 0, 698 > (q <- pbiom(2, size=5, prob=dpois(0, lambda=0.5, lower=false [1] 0,698. (20 O diagrama ramo-e-folhas abaixo mostra medidas do fluxo aual do rio Nilo próximo à cidade de Ashwa o período de

3 A casa decimal esté 2 digitos à direita de (a Obteha a mediaa e quartis dos dados (b Obteha o máximo, míimo, primeiro e oo decis (c Faça um diagrama box-plot dos dados (d O que pode ser dito da distribuição dos dados baseado-se os gráficos e medidas? Solução: (a Mediaa 1o Quartil o Quartil (b Mi Max 1o decil 9o decil (c boxplot: ( Cosidere o seguite problema (Magalhães & Lima, 2006: Um fabricate afirma que sua vacia cotra gripe imuiza em 80% dos casos. Uma amostra de idivíduos etre os que tomaram a vacia foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imuização ou ão desses idivíduos. Se o fabricate estiver corrreto, qual é a probabilidade de proporção de imuizados ser iferior a 0,75? E superior a 0,85? (a No cotexto do problema idetifique: ˆ a população ˆ o parâmetro de iteresse ˆ o estimador ˆ a estimativa ˆ a distribuição amostral (b Respoda as pergutas propostas o problema (c Quais seriam as estimativas potuais e itervalares se fosse observados 18 imuizados detre os avaliados? (d Qual deveria ser o tamaho da amostra em um ovo estudo para que a margem de erro fosse de o máximo 0,0? (e Supoha que se adote o critério de refutar a afirmativa do fabricate caso sejam observados 17 ou meos ão imuizados. Qual a probabilidade de refutar a afirmativa mesmo quado ela é verdadeira (a vacia de fato imuiza 80%? (f Supoha agora que a imuização real seja de apeas 70%. Qual a probabilidade de mesmo assim ão refutar a afirmativa do fabricate?

4 Solução: (a (b ˆ Os idivíduos que receberam a vacia. X : imuizado (0: ão, 1: sim x {0, 1} X Ber(p ˆ A proporção (p de idivíduos imuizados etre todos os que receberam a vacia (a população. ˆ O cálculo da proporção de idivíduos imuizados a amostra ˆp = i=1 X i/. ˆ A proporção observada em uma determiada amostra (o caso a amostra de = idivíduos. ˆ A distribuição amostral do estimador, ou seja, a distribuição que seria obtida caso fossem obtidas estimativas de diversas amostras. (c ˆ Usado p = 0, 80 0, 72 ± 1, 96 ˆp = 18 = 0, 72 p(1 p (I.C.95%ˆp ± z 0, 80(1 0, 80 0, 72 ± 0, 157 (0, 56 ; 0, 877 ˆ ˆp = 18 (I.C.95% : ˆp ± z 0, 72(1 0, 72 0, 72 ± 1, 96 0, 72 ± 0, 176 = 0, 72 p(1 p (0, 544 ; 0, 896 (d p(1 p z = 0, 0 0, 80(1 0, 80 1, 96 = 0, 0 1, 962 = 0, 80(1 0, 80 = 68 0, 02 (e P [X 17 p = 0, 80] Biomial = i = 0 17( (0, 8 i (1 0, 8 i = 0, 109 i ormal P [ˆp 17, 5/] = 0, 106 (f P [X 18 p = 0, 70] P [ˆp > 17, 5/] = 0, 894 P [X > 17 p = 0, 70] Biomial = i = 18 ( (0, 7 i (1 0, 7 i = 0, 512 i ormal P [ˆp 17, 5/] = 0, 5

5 5. ( Um cojuto de dados (Womelf dispoível o pacote car do programa estatístico R possui registros de codições relacioadas apo trabalho de 26 mulheres o Caadá. Os atributos são: o tipo de trabalho (extero em tempo itegral fulltime, extero em tempo parcial parttime, ão trabalha fora de casa ot.work, o salário do marido (( hicome, se possui ou ão filhos (com filho(s preset, sem filho(s abset, a região do país (dividido em cico regiões. Uma última colua a tabela de dados apreseta uma categorização do salário do marido. Abaixo são mostrados: um extrato da tabela com os 10 primeiros registros e um resumo uivariado de todos os 26 dados. Discuta quais seriam as possíveis questões de iteresse a serem examiadas com procedimetos estatísticos com este cojuto de dados relacioado (ao meos duas variáveis. Verifique, iterprete e discuta os resultados forecidos a seguir. partic hicome childre regio classhi 1 ot.work 15 preset Otario (10,15] 2 ot.work 1 preset Otario (10,15] ot.work 45 preset Otario (20,50] 4 ot.work 2 preset Otario (20,50] 5 ot.work 19 preset Otario (15,20] 6 ot.work 7 preset Otario (5,10] 7 ot.work 15 preset Otario (10,15] 8 fulltime 7 preset Otario (5,10] 9 ot.work 15 preset Otario (10,15] 10 ot.work 2 preset Otario (20,50] partic hicome childre regio classhi fulltime: 66 Mi. : 1,0 abset : 79 Atlatic: 0 [1,5] :22 ot.work:155 1st Qu.:10,0 preset:184 BC : 29 (5,10] :49 parttime: 42 Media :14,0 Otario :108 (10,15]:99 Mea :14,8 Prairie : 1 (15,20]:49 rd Qu.:19,0 Quebec : 65 (20,50]:44 Max. :45,0 fulltime ot.work parttime Sum abset 46,00 26,00 7,00 79,00 preset 20,00 129,00 5,00 184,00 Sum 66,00 155,00 42,00 26,00 Atlatic BC Otario Prairie Quebec Sum abset 0,05 0,18 0,42 0,06 0,29 1,00 preset 0,14 0,08 0,41 0,14 0,2 1,00 Sum 0,19 0,26 0,8 0,20 0,52 2,00 [1,5] (5,10] (10,15] (15,20] (20,50] Sum Atlatic 0,18 0,16 0,06 0,14 0,11 0,66 BC 0,05 0,08 0,14 0,10 0,11 0,48 Otario 0,18 0,4 0,6 0,47 0,55 1,99 Prairie 0,18 0,12 0,1 0,10 0,07 0,61 Quebec 0,41 0,20 0,0 0,18 0,16 1,26 Sum 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 5, Atlatic BC Otario Prairie Quebec fulltime ot.work parttime abset preset

6 preset abset 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 preset abset [1,5] (5,10] (10,15] (15,20] (20,50] fulltime ot.work parttime Atlatic BC Otario Prairie Quebec Atlatic BC Otario Prairie Quebec Pearso's Chi-squared test data: with(womelf, table(partic, regio X-squared = 5,4, df = 8, p-value = 0,7 Pearso's Chi-squared test data: with(womelf, table(childre, partic X-squared = 66, df = 2, p-value = 5e-15