ANÁLISE DA EXISTÊNCIA E DA ESTABILIDADE DE MÚLTIPLOS ESTADOS ESTACIONÁRIOS PARA A HIDRÓLISE ENZIMÁTICA DA SACAROSE EM REATOR CSTR

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1 ANÁLIE DA EXITÊNCIA E DA ETABILIDADE DE MÚLTIPLO ETADO ETACIONÁRIO PARA A HIDRÓLIE ENZIMÁTICA DA ACAROE EM REATOR CTR F. M. Prira 1 ;. C. d Olivira 2 1- Dpartamnto d Engnharia Química Escola d Engnharia d Lorna - UP, Bairro do Campinho, km 74,5 CEP: Lorna P Brasil. Tlfon: (xx-12) Fax: (xx-12) flix@dqui.fanquil.br 2- Dpartamnto d Biotcnologia Escola d Engnharia d Lorna - UP, Bairro do Campinho, km 74,5 CEP: Lorna P Brasil. Tlfon: (xx-12) Fax: (xx-12) scolivira@dbiq.fanquil.br REUMO Dpndndo das condiçõs opracionais é possívl s tr múltiplos stados stacionários para raçõs nzimáticas conduzidas m rators CTR. Nst trabalho, dtrminou-s o intrvalo d opração d um CTR, m trmos d tmpo d rsidência, para o qual ocorrm múltiplos stados stacionários para a ração d hidrólis da sacaros catalisada pla invrtas. Um studo da snsibilidad paramétrica dst intrvalo d opração da stabilidad dos possívis stados stacionários foi também ralizado, partindo-s d parâmtros cinéticos típicos para sta ração. Os rsultados obtidos na anális d snsibilidad paramétrica mostraram qu o intrvalo opracional d ocorrência d múltiplos stados stacionários é considravlmnt snsívl a variaçõs nos parâmtros cinéticos: vlocidad máxima d ração constant d inibição, a variaçõs na concntração d substrato na alimntação do rator. A anális dinâmica do sistma prmitiu vrificar o comportamnto das variávis d stado durant a partida do procsso analisar a stabilidad dos stados stacionários frnt a prturbaçõs na concntração d substrato vignt no rator. PALAVRA-CHAVE: múltiplos stados stacionários; rator nzimático; modlagm matmática; simulação d procssos. ABTRACT - Dpnding on th opration conditions, multipl stady stats can occur in CTR ractor for th sucros hydrolysis. In this work, th rang of th opration conditions in which multipl stady stats occurs for sucros hydrolysis, catalyzd by invrtas, was obtaind, an analysis of th snsibility for variations in kinctic and opration paramtrs was carrid out and th stability of th possibl stad stats was analyzd. Th rsults from paramtric-snsibility analysis showd that th rang of opration for occurrnc of th multipl stady stats is considrably snsibl to variations in th maximum raction rat, in th inhibition constant, and for variations in th substrat concntration in th ractor fd. Th dynamic analysis of th systm prmittd to vrify both th stat variabls bhavior during th procss start and to analyz th stability of th stationary stats front prturbations in th substrat concntration into ractor.

2 1. INTRODUÇÃO A ocorrência d múltiplos stados stacionários m sistmas biológicos tm sido rportada na litratura para culturas microbianas (Axlsson t al., 1992, Europa t al., 2000, Li t al., 2003) O trabalho d Hrvagault t al. (1983), utilizando fosfofrutoquinas d células d músculo d colho, qu consist m uma nzima cuja atividad é fortmnt inibida por xcsso do substrato ATP, dmonstrou a ocorrência d múltiplos stados stacionários ao utilizar um rator contínuo simpls tipo célula d difusão. Vários outros trabalhos também rportam a ocorrência d múltiplos stados stacionários quando são utilizados rators contínuos d mistura prfita para ftuar raçõs nzimáticas inibidas por substrato /ou produto (Vasquz-Bahna t al., 2004, Ho t al., 2000, Elnashai t al., 1983, O Nill t al., 1971). A ocorrência d múltiplos stados stacionários m CTRs nzimáticos dpnd, ntr outros fators, das condiçõs opracionais do rator (fluxo concntração d substrato na corrnt d alimntação volum racional), do tipo d cinética nzimática nvolvida no procsso (sm inibição, com inibição por substrato /ou produtos) dos valors dos parâmtros cinéticos. No trabalho d Vasquz-Bahna t al. (2004), vrificou-s xprimntalmnt a ocorrência d múltiplos stados stacionários para a hidrólis nzimática da sacaros utilizando-s invrtas m solução m um CTR. Uma das tapas nvolvidas no projto na opração d rators nzimáticos contínuos consist na simulação do comportamnto dsts rators m divrsas condiçõs opracionais. Entr as divrsas condiçõs possívis para a opração do rator, pod xistir um dtrminado intrvalo opracional para o qual é possívl s vrificar mais d um stado stacionário. Portanto, a dtrminação do intrvalo d ocorrência dos múltiplos stados stacionários bm como a anális da snsibilidad dst intrvalo com rlação aos parâmtros cinéticos opracionais a stabilidad dsts stados stacionários constitum-s m aspctos rlvants a srm considrados durant o projto d tais rators. hacham t al. (1994) aprsntou, através da anális do comportamnto dinâmico d um CTR xotérmico, uma mtodologia para avaliar a stabilidad dos múltiplos stados stacionários. No rfrido trabalho, a xistência dos múltiplos stados stacionários stava intimamnt rlacionada aos mcanismos d transfrência d calor nvolvidos no CTR. No prsnt trabalho studou-s a xistência a stabilidad d múltiplos stados stacionários para a hidrólis nzimática da sacaros m um CTR utilizando-s a xprssão d vlocidad valors d parâmtros cinéticos rportados por Vasquz-Bahna t al. (2004). O objtivo foi dtrminar o intrvalo d opração para o qual a ocorrência d múltiplos stados stacionários é toricamnt possívl, analisando-s a snsibilidad dst intrvalo com rlação aos parâmtros cinéticos opracionais. Uma anális da stabilidad dos stados stacionários é também aprsntada. 2. MODELAGEM MATEMÁTICA Para um CTR com volum d líquido constant no intrior do rator (V m litros), o

3 balanço matrial d substrato é rprsntado pla quação 1. d 1 1 dt ond: 0 r s (1) = concntração d substrato no rator (M); 0 = concntração d substrato no fluxo d ntrada do rator (M); t = tmpo (min); = V/F = tmpo d rsidência (min) F = fluxo d ntrada d saída do rator (V=constant) (L/min); r s = vlocidad d consumo d substrato (M/min) No stado stacionário d/dt=0 a quação (1) pod sr rscrita como: 1 1 r 0 (2) 0 s A xprssão d vlocidad para a hidrólis da sacaros catalisada pla invrtas é: r s v max 2 i (3) ond v max é a vlocidad máxima d consumo d substrato, é a constant d dissociação do complxo nzima-substrato i é a constant d inibição. 3. METODOLOGIA 3.1 Parâmtros Utilizados Nas imulaçõs Nas simulaçõs, foram utilizados como parâmtros d rfrência aquls aprsntados na tabla 1, os quais foram xtraídos da litratura (Vasquz-Bahna t al., 2004). Tabla 1. Valors dos parâmtros d rfrência utilizados nas simulaçõs (Vasquz-Bahna t al., 2004) v max i 0 (M/min) (M) (M) (M) Considrando 0 constant os parâmtros aprsntados na tabla 1, foi possívl calcular o intrvalo d (ntr um valor mínimo min um valor máximo max) para o qual, toricamnt, ocorrm múltiplos stados stacionários. Os parâmtros aprsntados na tabla 1 também foram utilizados para avaliar a stabilidad dos stados stacionários tóricos para os valors d min, max md=( min + max )/2. Para a anális da snsibilidad paramétrica, foram fitas simulaçõs ralizandos, m cada parâmtro da tabla 1, altraçõs d 2% no valor d rfrência, calculando-s os valors d min max corrspondnts a ssas altraçõs. Com isso, pôd-s avaliar a snsibilidad paramétrica do intrvalo d opração citado antriormnt com rlação a cada parâmtro.

4 3.2 Dtrminação Do Intrvalo D Opração D Ocorrência D Múltiplos Estados Estacionários Do ponto d vista matmático, a dtrminação d tal intrvalo consist m dtrminar a faixa d valors d tmpo d rsidência para a qual xistm múltiplas soluçõs da quação d balanço d massa d substrato m rgim prmannt, multiplicidad sta, oriunda do trmo não linar d inibição prsnt na xprssão d vlocidad da ração, dsprzando-s nsta anális variaçõs nos parâmtros cinéticos dcorrnts d fitos térmicos. A dtrminação do intrvalo dos valors d min max foi ralizada a partir da figura 1, na qual stão plotadas as curvas d vlocidad d ração calculada através do balanço matrial (quação 2 - rtas com inclinação 1/ min 1/ max ) da cinética (quação 3 curva m forma d sino). inclinação = -1/ max inclinação = -1/ min Figura 1. Curvas d vlocidad d ração calculada através do balanço matrial (quação 2 - rtas com inclinação 1/ min 1/ max ) da cinética (quação 3 curva m forma d sino). D acordo com a figura 1, é possívl tr múltiplos stados stacionários m condiçõs opracionais ntr min max,. A dtrminação dsss valors pod sr obtida através da igualdad ntr as inclinaçõs das curvas obtidas, no ponto =, ond quival às concntraçõs d substrato nos pontos m qu a rtas (com inclinação 1/ min 1/ max ) obtidas através do balanço matrial (quação 2) tangnciam a curva obtida através da cinética (quação 3). Drivando-s as quaçõs 2 3 igualando-s a inclinação das curvas no ponto =, obtém-s a quação 4. 1 v max 2 i v max 2 i i (4) O cálculo d min max a partir da quação 4 é possívl através da obtnção das duas raízs possívis para a partir das soluçõs obtidas a partir do sistma d quaçõs rprsntado plas quaçõs (2) (3), fazndo nstas quaçõs =, substituindo o trmo 1/ pla xprssão aprsntada na quação 4 variando a stimativa inicial d d forma qu o método d Nwton-Rhapson convirja para cada raiz dsjada. Dsta forma, é possívl calcular o intrvalo d valors d para o qual é possívl s obtr múltiplos stados stacionários. 3.3 Anális Da Estabilidad Dos Estados Estacionários A obtnção do intrvalo d ocorrência dos múltiplos stados stacionários possibilita a ralização da anális d stabilidad dos stados stacionários, nst caso, srão considrados valors próximos dos stados stacionários obtidos das condiçõs opracionais limits, min máx, para os quais ocorrrão dois possívis

5 stados stacionários para qualqur outro valor d prtncnt ao intrvalo, no caso srá utilizado o valor médio no intrvalo, md, para o qual pod ocorrr três stados stacionários. A anális da stabilidad dos stados stacionários srá ralizada considrando o comportamnto dinâmico do rator, através da intgração da quação Métodos Numéricos Para a solução das quaçõs algébricas não linars oriundas do balanço matrial da xprssão d vlocidad d ração, foi utilizada a função fsolv, qu incorpora o método d Nwton-Rhapson,, para a intgração da quação difrncial com rlação à coordnada tmporal (rgim transint) utilizada na anális da stabilidad dos stados stacionários, foi utilizada a função od, a qual incorpora métodos d intgração numérica d EDOs. Ambas funçõs são intgrants do softwar scilab -3.0 (INRIA,NPC), o qual foi mprgado para a xcução dst trabalho. 4. REULTADO E DICUÃO Através da rsolução do sistma d quaçõs aprsntado plas quaçõs 2, 3 4, para =, foram obtidos os rsultados aprsntados na tabla 2. Tabla 2. Rsultados obtidos a partir da rsolução do sistma d quaçõs aprsntado plas quaçõs 2, 3 4, para =. imulação 0 v max k i min max Os rsultados aprsntados na tabla 2 mostram qu o intrvalo d opração é mais snsívl ao parâmtro 0 (difrnça d 3% com rlação aos valors obtidos na simulação 1), sguido do parâmtro v max (2%), i (1%) (0.2%). Considrando qu, nos casos mais snsívis, o intrvalo obtido chgou a sr difrnt do obtido para a simulação 1, concluis qu, uma obtnção ralista do intrvalo d ocorrência dpnd d uma stimativa rigorosa dos parâmtros cinéticos d um control rigoroso da concntração d substrato na alimntação da concntração d nzimas no rator, qu stá dirtamnt corrlacionada com o parâmtro v max. Partindo dos parâmtros aprsntados na tabla 1, foi ralizado um studo da stabilidad do stado stacionário para = ( min +0.01), ( md ) ( max -0.01). Nst caso, foi ncssário somar 0.01 ao valor d min subtrair 0.01 do valor d max, a fim d garantir qu o valor d stja dntro do intrvalo no qual ocorrrão múltiplos stados stacionários. Para ssa anális, primiramnt calculou-s os valors d ( 1, 2, 3, sndo 1 > 2 > 3 ) r (r s,1, r s,2 r s,3 ) no stado stacionário, através das soluçõs obtidas plo sistma composto plas quaçõs 2 3. Os rsultados obtidos são aprsntados na tabla 3. Tabla 3. Estados stacionários obtidos através da rsolução do sistma rprsntado plas quaçõs r,1 2 r,2 3 r, Conform aprsntado na tabla 3, foram obtidos três stados stacionários para cada condição opracional, sndo qu quando tnd a max, 1 2 tndm a sr raízs idênticas quando tnd a min, 2 3 tndm a coincidir.

6 Para a ralização da anális da stabilidad dos stados stacionários utilizando-s os valors d condição inicial (concntração d substrato inicial no rator i ) aprsntados nas tablas 4, 5 6. Tabla 4. Valors d concntração inicial d substrato utilizados na intgração da quação 1 para = min. i Prcisão na décima sxta casa dcimal 1.5 Na figura 2, obsrva-s qu quando tnd a min (para > min ) obtêm-s três stados stacionários, sndo qu dois são praticamnt coincidnts ( 2 3 na tabla 3), apnas um dls é um stado stacionário stávl ( 1 na tabla 3), uma vz qu qualqur aumnto da concntração d substrato no rator acima d 2 acarrtará uma tndência do rator m stabilizar-s no stado stacionário stávl 1. Tabla 5. Valors d concntração inicial d substrato utilizados na intgração da quação 1 para = min. i Prcisão na décima sxta casa dcimal Tabla 6. Valors d concntração inicial d substrato utilizados na intgração da quação 1 para = min. i Prcisão na décima sxta casa dcimal Utilizando as concntraçõs iniciais aprsntadas nas tablas 4, 5 6 foram obtidas as curvas aprsntadas nas figuras 2, 3 4, rspctivamnt, ao intgrar-s a quação 1. Figura 3: imulação do comportamnto transint obtido através da quação 1, para = 919,95 min, utilizando as condiçõs iniciais aprsntados na tabla 5. Conform aprsntado na figura 3, para assumindo valors próximos à média ntr min max, é possívl s obsrvar 3 stados stacionários distintos (tabla 3), sndo qu dois dsts são stávis ( 1 3 na tabla 3) um instávl ( 2 ), sndo qu qualqur variação d concntração acima d 2 faz com qu a concntração d substrato no stado stacionário convirja para 1 qualqur concntração abaixo d 2 faz com qu sta concntração convirja para 3. Figura 2: imulação do comportamnto transint obtido através da quação 1, para = 900,33 min, utilizando as condiçõs iniciais aprsntados na tabla 4.

7 Figura 4: imulação do comportamnto transint obtido através da quação 1, para = 927,57 min, utilizando as condiçõs iniciais aprsntados na tabla 6. Na figura 4, obsrva-s qu, para o caso d assumir valors próximos a max, 1 2 (tabla 3) tndm a sr próximos, qualqur concntração abaixo d 2 fará com qu o sistma convirja para o stado stacionário stávl 3, sndo stávl apnas o stado stacionário para o qual a concntração d substrato sja igual a 3. for considrado qu o rator irá oprar por um tmpo curto, como por xmplo, mnor qu minutos, dvido a lnta transição d um stado stacionário instávl para um stávl, o rator podrá oprar com condiçõs d concntração próximas à do stado stacionário instávl, sm qu ocorram grands variaçõs na concntração d substrato, o qu pod sr obsrvado a partir da anális das figuras 2, CONCLUÕE A anális da snsibilidad paramétrica mostrou qu, partindo d uma variação d 2% nos valors dos parâmtros, o intrvalo d opração foi mais snsívl ao parâmtro 0 (difrnça d 3% com rlação aos valors obtidos na simulação 1), sguido do parâmtro v max (2%), i (1%) (0.2%). Obsrvou-s qu, nos casos mais snsívis, o intrvalo obtido chgou a sr difrnt do obtido para a simulação utilizando os parâmtros d rfrência, concluindo-s qu, uma stimativa ralista do intrvalo d ocorrência dpnd d uma stimativa rigorosa dos parâmtros cinéticos d um control rigoroso da concntração d substrato na alimntação da concntração d nzimas no rator, qu stá dirtamnt corrlacionada com o parâmtro v max. Na anális da stabilidad dos stados stacionários, obsrvou-s qu s tndr a min (para > min ) obtêm-s três stados stacionários, sndo qu dsts três, os dois d mnors concntraçõs são praticamnt iguais instávis, apnas o d maior concntração é um stado stacionário stávl. Para assumindo valors próximos à média ntr min max, é possívl s obsrvar 3 stados stacionários distintos, sndo stávis apnas o d maior o d mnor concntração instávl o d concntração intrmdiária. assumir valors próximos à max, os stados stacionários d maior concntração tndm a sr próximos instávis, sndo stávl apnas o stado stacionário d mnor concntração. 7. REFERÊNCIA AXELON, JP, MUNCH, T, ONNLEINER, B. Multipl stady stats in continuous cultivation of yast. In. Tarrytown (d). IFAC ymposia ris. Nw York: Prgamon Prss. pp , ELNAHAIE, ELRIFAIE MA, IBRAHIM G, BADRA G., Th ffct of hydrogn ion on th stady-stat multiplicity of substrat-inhibitd nzymatic ractions. II. Transint bhavior, Appl Biochm Biotchnol. 8(6):467-79, 1983.

8 EUROPA, AF, GAMBHIR, A., FU, PC, HU, W. Multipl stady stats with distinct cllular mtabolism in continuous cultur of mammalian clls. Biotchnoll. Biong., 67, 25-34, HERVAGAULT JF, DUBAN MC, ERNEVEZ JP, THOMA D. Multipl stady stats and oscillatory bhavior of a compartmntalizd phosphofructokinas systm, Proc. Natl. Acad. ci. UA. 80, pp , HO, P.-Y. LI, H.-Y., Dtrmination of multipl stady stats in an nzym kintics involving two substrats in a CTR, Bioprocss Enginring, 22; pp , LEI F., OLON L., JORGENEN, B. Exprimntal invstigations of multipl stady stats in arobic cultivations of accharomycs crvisia. Biotchnol. Biong, 82(7), pp , O NEILL, P, LILLY, MD, ROWE, PN, Multipl stady stat in continuous flow stirrd tank nzym ractors. Chm. Eng. ci., 35(11), pp , HACHAM M., BRAUNER N., CUTLIP N.B., Exotrmic CTRs Just how stabl ar th multipl stady stats?. Chm. Eng. Ed., 28, pp , VAQUEZ-BAHENA, J., MONTE- HORCAITA, M.C., ORTEGA-LÓPEZ, J., MAGAÑA-PLAZA, I., FLORE-COTERA, L.B. Multipl stady stats in a continuous stirrd tank ractor: an xprimntal cas study for hydrolysis of sucros by invrtas, Procss Biochmistry, 39, pp , 2004.