MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM ESTRUTURA DE DADOS POR ARESTAS APLICADO ÀS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES INCOMPRESSÍVEIS

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1 Copyrigt 2004 nstituto Brasileiro de Petróleo e Gás - BP ste Trabalo Técnico Científico foi preparado para apresentação no 3 Congresso Brasileiro de P&D e Petróleo e Gás a ser realizado no período de 2 a 5 de outubro de 2005 e Salvador. ste Trabalo Técnico Científico foi selecionado e/ou revisado pela Coissão Científica para apresentação no vento. O conteúdo do Trabalo coo apresentado não foi revisado pelo BP. Os organizadores não irão traduzir ou corrigir os textos recebidos. O aterial confore apresentado não necessariaente reflete as opiniões do nstituto Brasileiro de Petróleo e Gás Sócios e Representantes. É de coneciento e aprovação do(s autor(es que este Trabalo será publicado nos Anais do 3 Congresso Brasileiro de P&D e Petróleo e Gás MÉTODO DOS LMNTOS FNTOS COM STRUTURA D DADOS POR ARSTAS APLCADO ÀS QUAÇÕS D NAVR-STOKS NCOMPRSSÍVS Alessandro R.. Antunes 1 Paulo R. M. Lyra 2 Silvana M. Bastos 3 Universidade Federal de Pernabuco Acadêico Hélio Raos s/n Recife-P Resuo O objetivo deste trabalo é estudar e ipleentar ua forulação nuérica para o trataento de probleas envolvendo escoaentos incopressíveis regidos pelas equações de Navier-Stokes. A forulação nuérica é baseada nas propriedades de estabilização da pressão do Fractional Step Metod aplicado às equações de Navier- Stokes incopressíveis. As equações resultantes são discretizadas no espaço aplicando-se o étodo dos eleentos finitos co ua estrutura de dados baseada nas arestas. O étodo dos eleentos finitos utilizando-se ua estrutura de dados por arestas é atrativo tanto do ponto de vista de eficiência coputacional quanto do ponto de vista nuérico pois alé de ser coputacionalente ais econôica te a propriedade de garantir a conservação local e a sietria e nível discreto. Alguns resultados nuéricos preliinares são apresentados coo exeplos. Palavras-Cave: MF; Navier-Stokes ncopressível; strutura de Dados por Aresta Abstract Te ai of tis work is to ipleent a nuerical forulation to deal wit ncopressible Navier- Stokes quations. Tis forulation is based on te pressure stability properties of a Fractional Step Metod. Te final governing equations are discretized by an dge Based Finite leent Metod. Te dge Based discretization is advantageous due to te reduction in te total CPU tie and te enforceent of local conservation and syetry at te dicrete level. Soe nuerical exaples are presented. Keywords: FM ncopressible Navier-Stokes dge Based Data Structure

2 1. ntrodução Muitos fenôenos na natureza envolvendo escoaentos fluidos são odelados coo incopressíveis o que significa que são necessárias enores pressões para causar significativas variações de suas assas específicas. Na indústria estes fenôenos anifesta-se e vários setores e ainda acoplados a outros fenôenos tais coo interações fluido-estruturais e cabos de força edificações altas torres de telefonia aviões cabos subarinos estruturas off-sore e plataforas de petróleo etc. Nas últias décadas diversos procedientos nuéricos vê sendo utilizados para resolver as equações de Navier-Stokes incopressíveis coo: esqueas onolíticos copressibilidade artificial pré-condicionaento das equações de Navier-Stokes copressíveis e étodos de projeção todos eles co suas vantagens e desvantagens. ste trabalo baseia-se e u étodo de projeção utilizando o fracionaento das equações de Navier-Stokes (Cang et al Codina 2001 Perot 1993 Henriksen and Holen 2002 de fora a estabilizar a pressão gerando novas variáveis e equações que deve ser adicionadas ao sistea final. O fracionaento é obtido ediante ua fatoração LU do sistea através de considerações ateáticas. Poré pode ser visto tabé coo ua projeção do gradiente de pressão no espaço de leentos Finitos através de considerações físicas. A discretização espacial é obtida ediante a aplicação do étodo dos leentos Finitos (Codina 1997 Greso vol 1 and vol e cada tero do sistea resultante é escrito coo ua contribuição da aresta (Löner 2001 co a finalidade de obter econoia de tepo coputacional e toar vantage das propriedades de conservação local e sietria e nível discreto. 2. Forulação Mateático-Nuérica As equações de Navier-Stokes escritas na sua fora incopressível (Greso vol 1 and vol são fracionadas utilizando-se o Fractional Step Metod (Henriksen 2002 de fora a peritir o desacoplaento das variáveis de pressão e velocidade se inviabilizar a solução segregada do sistea (Codina 2002 Codina and Soto O tero convectivo e o gradiente de pressão são estabilizados utilizando-se a projeção ortogonal destes teros no espaço de eleentos finitos o que na prática iplica e controlar o resíduo ediante a aplicação do étodo dos resíduos ponderados o que está apresentado no quinto e segundo teros das quações 1 e 2 respectivaente. n A forulação variacional (Soto et al Soto et al do problea pode ser descrita coo: dado u p e V Q V V tal que: p encontrar ( n u e δt 1 i n 1 i 1 θ i θ i 1 i 1 ( u u v + ( u u v + ( υ u v ( p v θ i 1 θ i θ i 1 θ i 1 θ θ i 1 + ( τ ( u u u v = ( f v + ( n v Γ nu 1 (1 1 i 1 i 1 1 i 1 i 1 1 i 1 1 i δ t( p p q + ( τ ( p β q = - ( q θ i n i n i ( v + θ + θ = ( u u v u (2 (3 1 i n i ( v + 1 = ( p v (4 ( v q v v V Q V V onde u p são o vetor velocidade a pressão a projeção do tero convectivo e a projeção do gradiente de pressão no espaço de eleentos finitos respectivaente e V Q V V são os espaços vetoriais correspondentes às variáveis acia citadas respectivaente. Os sobrescritos n e i refere-se ao passo de tepo e ao contador de iterações e cada passo de tepo respectivaente o subescrito refere-se ao problea discreto t é o taano do passo de tepo é o parâetro de estabilização controlado pelo gradiente de pressão é o parâetro que controla a estabilidade e a convergência do sistea é o controlador da orde da integração no tepo ( = 1.0 Backward uler e = 0.5 Crank-Nicolson é o tensor viscoso f é o vetor das forças externas aplicadas nu é a porção do contorno co condições de contorno de Newan é a viscosidade dinâica do fluido e ν q são as funções de ponderação dos espaços de eleentos finitos para a velocidade as projeções da convecção e do gradiente de pressão e da pressão respectivaente. Teos ainda a fora funcional ( definida coo

3 ( a b ( a b = a bdω (5 Γ Ω = a bdγ (6 Γ As variáveis e são auxiliares e não necessita condições de contorno e iniciais. As atrizes resultantes da discretização espacial por eleentos finitos são obtidas ediante ua estrutura de dados por arestas (Löner 2001 que te coo principal vantage sobre ua estrutura baseada nos eleentos o gano de tepo coputacional pois uitos teros discretos e todas as integrações nuéricas são coputadas no início coo pré-processaento e apenas alguas poucas operações necessita ser ipleentadas para que seja recoputados os diferentes teros não-lineares dos vetores do sistea. Tabé através de ua ipleentação por arestas é possível garantir a conservação local e a sietria e nível discreto. Duas foras de estrutura de dados por arestas pode ser ipleentadas e coparadas no caso bidiensional sendo ua delas a estrutura tradicional onde o loop é feito na aresta e nos nós que copõe tal aresta e outra ua estrutura alternativa tipo estrela onde o loop é realizado nos nós e a seguir nos nós que tê conectividade co aquele nó. teros de eficiência coputacional nenua das duas estruturas apresenta vantage sobre a outra e de odo que neste trabalo optou-se pela tradicional ou seja o loop é realizado nas arestas considerando u tero típico do sistea de equações 1-4. A seguir é apresentado de fora siplificada coo é realizada a udança de estrutura de dados partindo do tero contínuo para o tero discreto co loop nos eleentos e odificando para loop nas arestas. Seja então o prieiro tero da quação 2 que possui caráter de transporte difusivo eliinando os sub/superíndices por siplicidade e assuindo S J J k ndi Ω Ω xk refere-se a: eleento aresta nó inicial da aresta nó final da aresta direção coordenada diensão espacial doínio total doínio do eleento coordenada espacial na direção k núero de arestas soatório sobre todos os eleentos que conté o nó soatório sobre todos os eleentos que conté a aresta J e soatório sobre todas as arestas respectivaente. onde (( δt p N = ( δt p NdΩ = ( δt N ˆ J NdΩ p = Ω Ω ( δt N ( ˆ ˆ N JdΩ p pj = (7 S = 1 J Ω n di J ( δt d Ω ( ˆ ˆ p pj = C J ( pˆ pˆ J x S = 1 J Ω k = 1 k k x C J é o coeficiente associado á aresta J dado por CJ = t n di dω J Ω k = 1 x k xk S = 1 J ( δ (8 Note que o tero final da quação 7 é naturalente conservativo eso e nível discreto o que do ponto de vista físico significa que o transporte difusivo do ponto para o ponto J é igual ao transporte difusivo do ponto J para o ponto. sta propriedade é garantida para todos os teros de cada equação do sistea resultante fazendo co que os teros que não são naturalente conservativos torne-se conservativos obtendo os teros da diagonal principal de cada atriz resultante de cada tero do sistea coo a negativa da soa dos eleentos que estão fora da diagonal principal poré na esa lina sendo portanto garantida a conservação de todo o sistea e nível discreto (Soto et al. (2004. J S = 1 3. Aplicações Nuéricas Alguns exeplos nuéricos fora obtidos para testar a forulação por arestas. stes exeplos são siplificações do sistea copleto que traduze os principais fenôenos associados a escoaentos de fluidos incopressíveis. Nos exeplos a seguir considerou-se a teperatura coo a grandeza escalar de interesse então T refere-se à teperatura e desta fora υ refere-se ao coeficiente de condutividade térica Difusão Pura

4 Prieiraente apenas o tero difusivo foi ipleentado e alguns testes fora realizados para verificar a propriedade de conservação para probleas co coeficiente de condutividade constante poré considerando probleas oogêneos e eterogêneos. ( T N = υ N N dω ( Tˆ Tˆ υ J J J (9 s= 1 J Ω υ + υ J υ J = (10 2 Note que na quação 9 o coeficiente de condutividade υ precisa ser obtido sobre a aresta o que não acarreta probleas se o problea for oogêneo pois basta toar o coeficiente na aresta coo a édia aritética dos valores dos coeficientes nos nós que copõe tal aresta coo na quação 10. ntretanto quando o problea não é oogêneo é preciso toar cuidado para não tornar o tero não-conservativo eliinando a principal característica do tero difusivo. Para esta situação os teros da diagonal principal da atriz resultante da discretização são a negativa da soa dos teros de fora da diagonal principal na esa lina. Co isso a propriedade de conservação é antida e o tero difusivo fica válido para tratar probleas não oogêneos. A conservação é estendida aos teros nãoconservativos do sistea obtendo-se sepre os teros da diagonal principal coo a negativa da soa dos teros da esa lina desta fora a soa dos eleentos de cada lina é zero. Os dois exeplos a seguir fora obtidos co ua ala co 124 nós e 206 eleentos triangulares isotrópica sobre ua geoetria quadrada de aresta edindo 1. A Figura 1 ostra os resultados obtidos para u problea referente a ua placa plana co teperaturas prescritas nas faces leste e oeste de T=10ºC e 0ºC respectivaente e isolada nas faces norte e sul ou seja co fluxo noral zero e coeficiente de condutividade oogêneo. Coo esperado a solução é linear ao longo da lina A e exata ostrando a efetividade do tero difusivo escrito para a aresta. ste problea tabé foi resolvido através de ua ipleentação do tero difusivo baseado nos eleentos obtendo-se total concordância co a ipleentação por aresta. Figura 1. Transporte difusivo co oogeneidade no coeficiente de condutividade. A Figura 2 ostra u exeplo considerando a esa placa do exeplo anterior co a esa ala coputacional e esas condições de contorno poré co eterogeneidade no coeficiente de condutividade. Neste caso o coeficiente de condutividade na região que copreende ua faixa diagonal no centro do doínio é oito ordens de grandeza enor do que no restante do doínio isto representa ua barreira ao transporte naquela região. Note no gráfico ao longo da lina o elevado gradiente na região central do doínio provocado pela baixa condutividade. Os vetores indica o fluxo de calor ao longo da placa ostrando que na região de baixa condutividade á pouco ou quase nenu fluxo de calor.

5 Figura 2. Transporte difusivo co eterogeneidade no coeficiente de condutividade Conveção-difusão Após testar o tero difusivo passaos para o problea onde os fenôenos convectivo e difusivo são iportantes. Neste caso ainda analisando o fluxo de calor ao longo de ua placa realizaos testes considerando diferentes núeros de Peclet considerando oogeneidade no coeficiente de condutividade. As esas condições de contorno fora assuidas poré o doínio foi estendido até 120 para representar ua placa sei-infinita peritindo assi a obtenção de soluções durante grandes intervalos de tepo. As Figuras 3 e 4 ostra u problea convectivo-difusivo considerando Peclet = 05 e diferentes instantes de tepo. Os resultados concorda co os resultados encontrados por Sun (1996 que considerou o transporte de u traçador e ua coluna de areia representando u eio poroso. Os gráficos ostra a solução ao longo da lina édia leste-oeste B sendo o eixo orizontal a distância ao longo da placa e o eixo vertical a teperatura. Figura 3. Convecção-difusão co Peclet = 05 no instante t=5s. Figura 4. Convecção-difusão co Peclet = 05 no instante t=50s. Os testes fora realizados apenas co pequenos núeros de Peclet visto que a forulação é Galerkin e a estabilização do tero convectivo quinto tero da quação 1 está e fase de ipleentação. 4. Conclusões Ua forulação ateática para tratar escoaentos incopressíveis baseada no fracionaento das equações de Navier-Stokes e no étodo dos eleentos finitos co estrutura de dados por arestas está e fase de testes da ipleentação coputacional sendo que os casos siplificados coo difusão pura e convecção-difusão de ua grandeza escalar já fora validados inclusive para eios eterogêneos. A estrutura de dados baseada nas arestas foi coparada co a estrutura tradicional de eleentos finitos ostrando-se eficiente e teros de precisão nuérica. A forulação ateática já foi estendida para tratar fenôenos que envolva fronteira óvel que será o próxio passo a ser abordado.

6 Agradecientos Os autores gostaria de agradecer ao Governo Brasileiro através das agências CAPS CNPq e MCT-ANP pelo suporte financeiro para a realização deste trabalo. Os autores tabé agradece ao Prof. Dr. Rairo B. Willersdorf pelas valiosas discussões realizadas durante o desenvolviento do eso. Referências CHANG W. GRALDO F. PROT B. Analysis of an exact fractional step etod J. Coputational Pysics v. 180 p CODNA R. BLASCO J. A finite eleent forulation for te Stokes proble allowing equal velocity-pressure interpolation Cop. Met. Applied Mecanics and ngineering v. 143 p CODNA R. Stabilization of incopressible and convection troug ortogonal sub-scales in finite eleent etods Copt. Met. Applied ecanics and ngineering v. 190 p CODNA R. Pressure stability in fractional step finite eleent etods for incopressible flows J. Coputational Pysics v. 170 p CODNA R. Stability finite eleent approxiation of transient flows using ortogonal subscales Cop. Met. Applied ecanics and ngineering v. 191 p CODNA R. SOTO O. Approxiation of te incopressible Navier-Stokes equations using ortogonal subscale stabilization and pressure segregation on anisotropic finite eleent eses Cop. Met. Applied Mecanics and ngineering v. 193 p GRSHO P. M. SAN R. L. ncopressible flow and te finite eleent etod Jon Wiley & Sons v GRSHO P. M. SAN R. L. ncopressible flow and te finite eleent etod Jon Wiley & Sons v HNRKSN M. O. HOLMN J. Algebraic splitting for incopressible Navier-Stokes equations J. Coputational Pysics v. 175 p PROT J. B. An analysis of te fractional step etod J. Coputational Pysics v. 108 p LÖHNR R. Applied CFD tecniques - An introduction based on finite eleent etods jon Wiley & Sons Ltd SOTO O. LÖHNR R. CBRAL J. An iplicit onolitic accurate finite eleent scee for incopressible flow probles. n: 15 t AAA Coputational Fluid Dynaics Conference Anaei UA june SOTO O. LÖHNR. R. CBRAL J. CAMLL F. A stabilized edge-based iplicit incopressible flow forulation Cop. Met. Applied Mecanics and ngineering v. 193 p SUN N. Mateatical odeling of groundwater pollution Springer 1996.