MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
|
|
- Thiago Dias Bernardes
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS ENGENHARIA E TECNOLOGIA ESPACIAIS MECÂNICA ESPACIAL E CONTROLE MESTRADO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Seminário de Dinâmica Orbital I CMC Prof. Dr. Mário César Ricci André Guilherme da Silva Tavares Registro: São José dos Campos, 20 de de 2005
2 Programação: Motivação Exemplo unidimensional Vantagens e desvantagens Convergência Demonstração prática Referências
3 Motivação O Método dos Elementos Finitos (MEF) surgiu na área da indústria aeroespacial no começo da década de 50 como uma poderosa ferramenta numérica para a solução de problema matemáticos da Engenharia e da Física. Ele possibilita a solução de Equações Diferenciais (ou sistemas de Equações Diferenciais) e sua abrangência é bastante ampla, cobrindo desde a análise de vibração simples de uma estrutura até os geradores nucleares, passando por diversas áreas, como a mecânica dos fluidos, dentre diversas outras. E não está limitado a estes exemplos, há inúmeras outras aplicações para este método. Por se enquadrar no grupo das ferramentas mais significativas dentro das Ciências Exatas, o Método dos Elementos Finitos merece ser estudado.
4 O conceito mais fundamental do MEF é que toda função contínua, seja ela de mperatura, pressão ou deslocamento, pode ser aproximada por um modelo composto de um njunto de funções contínuas (dentro de um certo intervalo) definidas sobre um número finitos subdomínios [1]. A situação mais comum é quando desconhecemos o valor da função contínua e eremos saber o quanto ela vale em certos pontos dentro de uma determinada região. construção do modelo discreto do objeto contínuo, denominado aqui por domínio é feita mo segue:
5 ) Um número finito de pontos é identificado no domínio. Estes pontos são chamados Pontos odais ou Nós. ) O valor da função em cada nó é definido como uma variável a ser determinada. ) O domínio é dividido em subdomínios, chamados "elementos ". Estes elementos estão onectados pelos nós comuns e juntos aproximam a forma do domínio. ) A função desejada é aproximada em cada elemento por um polinômio que é definido usando s valores da função nos nós. Um polinômio diferente é definido para cada elemento, mas estes ão selecionados de forma a manter a continuidade ao longo das fronteiras dos elementos.
6 O exemplo unidimensional mais simples desta construção é relacionado à istribuição da temperatura em uma barra não uniforme. A função contínua neste caso é T(x) e domínio é [O,L] (comprimento da barra ao longo do eixo x).
7 A construção do modelo discreto segue as etapas mencionadas anteriormente. ) 5 pontos ao longo do eixo x são identificados e nomeados (a). Estes pontos são os nós, que não precisam necessariamente serem eqüidistantes. Mais que 5 pontos poderiam ser identificados, mas neste exemplo, 5 pontos são o suficiente para demonstrar os conceitos. ) Os valores da função T(x) são especificados para cada nó, sendo que formam o conjunto de variáveis do problema, e são mostrados graficamente, sendo que são nomeados de acordo com o nó ao qual pertencem (b).
8 ) A divisão do domínio em subdomínios pode ocorrer de duas maneiras: Podemos limitar cada elemento a dois nós, resultando em quatro elementos (a); ou então dividir o domínio em apenas dois elementos, contendo três nós cada (b). Obs: observando sempre a continuidade
9 Os polinômios dos elementos são definidos usando as variáveis T(x) de cada nó. Se subdividirmos o domínio em quatro elementos, haverá dois nós por linha. ) A aproximação final de T(x) irá consistir de 4 funções lineares contínuas no intervalo entre os seus nós. Cada função é definida sobre um único elemento. Notamos que a divisão do domínio em dois elementos faz com que as funções associadas aos elementos sejam de ordem quadrática (figura anterior). Tais funções constituem uma aproximação do resultado apenas, pois a inclinação destas duas funções não é necessariamente a mesma no nó 3.
10 Os valores nodais de T(x) devem então ser ajustados a providenciar a melhor aproximação da distribuição da temperatura ao longo da barra. Este ajuste é feito por meio da minimização de alguma quantidade associada ao problema físico em questão. A minimização produz um conjunto de equações algébricas lineares que podem ser solucionadas para os valores nodais de T(x) (que são as variáveis do problema). O conceito básico do MEF é também aplicável a domínios bidimensionais e tridimensionais. No caso bidimensional, os elementos são funções de x e y e possuem em geral forma triangular ou quadrilateral.
11 As funções dos elementos passam a ser planos ou superfícies curvas (figuras abaixo) A função de um plano é associada ao número mínimo de nós por elemento, que é três, no caso de elementos triangulares e quatro para os quadrilaterais (figura da esquerda). Analogamente, as funções podem ser superfícies curvas quando mais do que o número
12 Um número excessivo de nós sendo utilizados também permite que os elementos tenham fronteiras curvas. A aproximação final da função contínua bidimensional Φ (x,y) é um conjunto de superfícies contínuas dentro dos seus intervalos. Cada qual definida dentro de um elemento utilizando os valores de Φ (x,y) nos pontos nodais. A habilidade de separar um elemento típico de um conjunto de elementos para o propósito de definir a função do elemento é um aspecto importante no MEF. Esta propriedade permite que a função do elemento seja definida sem depender da localização final do elemento no modelo ao qual ele está conectado e também sem depende das funções dos outros elementos.
13 iscretização de um domínio A discretização do domínio não tem uma regra teórica, depende do feeling de quem está solucionando o problema. A má escolha dos pontos nodais irá produzir resultados incertos, uma vez que as etapas seguintes do processo dependem desta primeira. Este procedimento envolve a escolha do número, tamanho e forma dos elementos. O feeling mencionado permite que definamos menores elementos nas regiões de intensa modificação no valor da função objetivo e permite que aumentemos o tamanho dos elementos nas regiões onde o gradiente da função é pequeno e a função é praticamente constante (reduzindo esforço computacional). Este feeling se adquire com a experiência. Para os menos experientes existem algumas regras gerais a seguir.
14 egras gerais para a discretização de um domínio contínuo ) Tipos de elementos finitos lementos unidimensionais O caso mais simples possui dois pontos nodais (a), m em cada extremidade do elemento. Se possuir mais pontos nodais pode ser um elemento uadrático (3 nós, fig. b) ou cúbico (4 nós, fig. c).
15 Elementos bidimensionais stendendo os conceitos dos elementos unidimensionais btém-se os elementos bidimensionais, que podem também presentar o mínimo de pontos nodais (3), ou apresentar ontos intermediários, possibilitando as superfícies curvas.
16 Elementos tridimensionais e forma análoga, temos os elementos ridimensionais.
17 divisão do domínio em elementos A divisão do domínio deve ter início com a divisão do meio contínuo em regiões, que serão epois divididas em elementos. As subdivisões em regiões devem acontecer onde houver mudança na geometria, nas ropriedades físicas do meio ou ambos os casos. Após a divisão em regiões, acontece a divisão de cada região em elementos. Para o caso de ma região triangular, haverá (n-1)² elementos nesta região, sendo n o número de nós dentificados na lateral da região. Para o caso de elementos quadrilaterais, haverá em uma região 2(n-1)(m-1) elementos, ond e m são os números de nós das laterais adjacentes.
18 omeando os pontos nodais A nomenclatura não pode ser feita sem uma prévia análise, pois o esforço computacional epende da numeração dos nós. O conjunto de equações lineares obtido com a utilização do MEF tem um grande número d oeficientes nulos. Quando as equações estão na forma matricial, vê-se que alguns destes também alguns não nulos ficam entre uma faixa limitada por duas linhas paralelas à diagonal rincipal. distância destas linhas com relação a diagonal principal é chamada de bandwidth. Todos o oeficientes fora desta faixa são nulos e não têm necessidade de serem armazenados.
19 É interessante, com relação à redução do esforço computacional, que esta faixa seja o mais streita possível. faixa, B, é calculada usando: B = (R+1) NDOF nde, R é a maior diferença entre os números dos nós em um mesmo elemento da malha e DOF é o número de graus de liberdade desconhecidos de cada nó. A minimização de B epende da minimização de R, que pode ser facilitada com a numeração dos nós no sentido de enor dimensão.
20 No exemplo abaixo, que considera 1 grau de liberdade desconhecido, vemos que a figura (a) fornece B=10 (R=9 e R+1 = 10) enquanto na figura (b), B=22 (R=21 e R+1=22). Daí a necessidade do cuidado na hora de nomear (numerar) os pontos nodais. Os números entre parêntesis são a identificação do elemento. A diferença no sentido da nomenclatura implica em uma diferença de 50% de processamento.
21 nterpolação polinomial linear Como visto na definição do conceito fundamental do MEF, a solução é aproximada por um onjunto de funções. A forma mais comum destas funções são polinômios. A ordem destes polinômios depende o número de itens conhecidos sobre a função objetivo em cada ponto nodal de cada elemento. Os elementos finitos são classificados em três grupos, de acordo com a ordem do polinômio ssociado a ele. Estes grupos são: Simplex, Complex e Multiplex. Os elementos Simplex têm uma aproximação polinomial que consiste de um termo onstante, mais os termos lineares. O número de coeficientes no polinômio é igual à dimensão o espaço de coordenadas, mais 1.
22 O polinômio Φ = α 1 + α 2 x + α 3 y é a função Simplex de um elemento triangular bidimensional, uma vez que o polinômio é linear em x e y e contém três coeficientes, já que o triângulo possui três nós. Os elementos Complex utilizam funções polinomiais compostas por um termo constante e por termos lineares, além dos termos de segunda, terceira e quantas ordens mais forem necessárias. Os elementos Complex têm a mesma forma que os elementos Simplex. No entanto, possuem pontos nodais adicionais nas fronteiras e podem também ter nós internos. A diferença primária entre os elementos Simplex e Complex é que o número de nós nos
23 O polinômio interpolador para elementos Complex bidimensionais triangulares tem a forma: Φ = α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x² + α 5 xy + α 6 y² sta equação tem seis coeficientes; então o elemento deve ter seis pontos nós. Isto também é ercebido pela presença de termos de segunda ordem. (segunda ordem implica o dobro de nós; erceira ordem implica o triplo, etc). Os elementos Multiplex também usam polinômios contendo termos de ordem superior, mas s fronteiras do elemento devem ser paralelas aos eixos de coordenadas para executar a ondição de continuidade entre os elementos. As fronteiras dos elementos Simplex e Complex não estão sujeitas à esta restrição. Os elementos retangulares alinhados aos eixos de coordenadas são um exemplos de
24 lementos Simplex unidimensionais Os elementos Simplex unidimensionais são segmentos de reta com comprimento L e dois ontos nodais, um em cada extremidade. Os nós são referenciados por i e j e os valores nodais or Φi e Φj. A origem do sistema de coordenadas é fora do elemento. A função polinomial para uma uantidade escalar Φ é: Φ = α 1 + α 2 x s coeficientes α 1 e α 2 podem ser determinados utilizando as condições nodais: Φ = Φ i quando x = X i e também Φ = Φ j quando x = X j
25 Estas duas condições nodais resultam no ar de equações i = α 1 + α 2 X i j = α 1 + α 2 X j ue pode ser solucionado por: 1 = Φ i X j Φ j X i L 2 = Φ j Φ i L
26 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Substituindo os valores de α 1 e α 2 na equação original, temos ue pode ser rearranjado em: As funções lineares de x acima são chamadas de funções interpoladoras. Estas funções são ndicadas por aí como N, com um índice associado ao nó ao qual elas pertencem. o caso acima, as funções interpoladoras são: N i = X j x e N j = x X i x L L X X i j i j j i + = φ φ φ φ φ j i i j L X x L x X φ φ φ + =
27 A equação final, contendo as funções interpoladoras, pode ser escrita na forma matricial: Φ = N i Φ i + N j Φ j = [N] {Φ} nde N é uma matriz linha [N] = [N i N j ] e {Φ} é um vetor coluna {Φ i Φ j } T.
28 Exemplo unidimensional Exemplo: Um elemento Simplex unidimensional foi usado para aproximar a distribuição de emperatura em uma barra. A solução indica que a temperatura nos nós i e j são 120º e 90º, espectivamente. Determine a temperatura a um ponto 4cm distante da origem e o gradiente de emperatura dentro do elemento. Os nós i e j estão localizados a 1.5cm e 6cm da origem. A temperatura T é dada por: X j x x X T = Ti L + L Sendo: X i = 1.5cm X j = 6.0cm T i = 120ºC T j = 90ºC x = 4.0cm L = X j -X i = 4.5cm i T j
29 O gradiente de temperatura é obtido por: T = -1 T i + 1 T j = 1 (T j T i ) x L L L Exemplo unidimensional T = ºC/cm x
30 Convergência O MEF irá convergir na direção da solução correta à medida em que o tamanho dos elementos forem diminuindo, de modo que os valores das funções polinomiais gerem um valor constante ao longo dos elementos quando os valores nodais forem numericamente constantes. A existência de um valor constante também implica no desaparecimento do gradiente de qualquer função (desejado no limite do tamanho mínimo de cada elemento).
31 Vantagens e desvantagens O MEF tem sido amplamente utilizado em todos os problemas físicos que são governados por equações diferenciais. Diversas vantagens apresentadas na utilização deste método têm contribuído com o aumento da sua utilização. lgumas das principais vantagens são: As propriedades dos materiais não precisam ser necessariamente as mesmas em elementos adjacentes, o que possibilita a utilização de corpos compostos por diversos materiais. Fronteiras irregulares podem ser aproximadas usando elementos com lados estreitos ou epresentadas com exatidão utilizando elementos com fronteiras curvas. O tamanho dos elementos pode ser variado. Esta propriedade permite que os lementos tenham tamanhos adaptados ao gradiente da função objetivo.
32 Vantagens e desvantagens A principal desvantagem da utilização do MEF é relacionada à necessidade de programas e computador e facilidades computacionais. Além da necessidade de um computador, o método necessita de uma grande quantidade de emória para a solução de grandes problemas complicados. Na verdade, essa desvantagem foi motivo de preocupação durante algumas décadas, porém a atualidade, com o avanço da tecnologia e a redução do preço dos equipamentos, considerae neste grupo os computadores, tal desvantagem quase que desaparece.
33 Implementação prática LEVsoft IEAv/CTA
34 Implementação prática LEVsoft IEAv/CTA
35 Referências [1] SEGERLIND; Larry. J., Applied Finite Element Analysis John Wiley & Sons, New York, ISBN: [2] RIBEIRO; Fernando L. B., Introdução ao método dos elementos finitos COPPE/UFRJ Notas de aulas do Programa de Engenharia Civil, [3] PILCHOWSKI; Hans-Ulrich, Estudo da solução numérica de alguns problemas de difusão, usando o método de elementos finitos INPE-3003-TDL/154, Tese de doutorado em Ciência Espacial, [4] AZEVEDO; Álvaro F. M., Faculdade de Engenharia da Universidade de Porto Portugual, 1ª edição, [5] BARKANOV; Evgene., Introduction to the finite elements method Institute of
Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Leia maisCapítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias
Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Departamento de Matemática balsa@ipb.pt Mestrados em Engenharia da Construção Métodos de Aproximação em Engenharia 1 o
Leia maisUNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT CURSO DE TECNOLOGIA EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT CURSO DE TECNOLOGIA EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO COMPUTER AIDED ENGINEERING - CAE FABIANO RAMOS DOS SANTOS SERGIO DA COSTA FERREIRA
Leia maisObjetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e
MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas
Leia maisTópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções
Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções 1. INTRODUÇÃO Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados em um gráfico apresentam comportamento
Leia mais6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D
6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia mais(x, y) = (a, b) + t*(c-a, d-b) ou: x = a + t*(c-a) y = b + t*(d-b)
Equação Vetorial da Reta Dois pontos P e Q, definem um único vetor v = PQ, que representa uma direção. Todo ponto R cuja direção PR seja a mesma de PQ está contido na mesma reta definida pelos pontos P
Leia mais1 Descrição do Trabalho
Departamento de Informática - UFES 1 o Trabalho Computacional de Algoritmos Numéricos - 13/2 Métodos de Runge-Kutta e Diferenças Finitas Prof. Andréa Maria Pedrosa Valli Data de entrega: Dia 23 de janeiro
Leia maisUniversidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática. Imagem. Prof. Thales Vieira
Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Imagem Prof. Thales Vieira 2014 O que é uma imagem digital? Imagem no universo físico Imagem no universo matemático Representação de uma imagem Codificação
Leia maisUtilização do SOLVER do EXCEL
Utilização do SOLVER do EXCEL 1 Utilização do SOLVER do EXCEL José Fernando Oliveira DEEC FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO MAIO 1998 Para ilustrar a utilização do Solver na resolução de
Leia maisO ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2
3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata
Leia maisAPLICAÇÕES DA DERIVADA
Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,
Leia maisIntrodução ao Método dos Elementos Finitos Conceitos Iniciais Divisão do Domínio e Funções de Base Aplicação do Método dos Resíduos Ponderados ao
Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Educação Tutorial Autor: Bruno Pinho Meneses Orientadores: Janailson Rodrigues Lima Prof. Dr. Ricardo
Leia maisUnidade: Vetores e Forças. Unidade I:
Unidade I: 0 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode
Leia maisA função do primeiro grau
Módulo 1 Unidade 9 A função do primeiro grau Para início de conversa... Já abordamos anteriormente o conceito de função. Mas, a fim de facilitar e aprofundar o seu entendimento, vamos estudar algumas funções
Leia maisFaculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
1 Programação Não Linear Aula 25: Programação Não-Linear - Funções de Uma única variável Mínimo; Mínimo Global; Mínimo Local; Optimização Irrestrita; Condições Óptimas; Método da Bissecção; Método de Newton.
Leia maisEXPERIMENTO N o 6 LENTES CONVERGENTES INTRODUÇÃO
EXPERIMENTO N o 6 LENTES CONVERGENTES INTRODUÇÃO Ao incidir em uma lente convergente, um feixe paralelo de luz, depois de passar pela lente, é concentrado em um ponto denominado foco (representado por
Leia maisProcessamento de Imagem. Prof. MSc. André Yoshimi Kusumoto andrekusumoto.unip@gmail.com
Processamento de Imagem Prof. MSc. André Yoshimi Kusumoto andrekusumoto.unip@gmail.com Visão Computacional Não existe um consenso entre os autores sobre o correto escopo do processamento de imagens, a
Leia maisModelação 3D. Sumário COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES. Introdução. Introdução. Carlos Carreto
Sumário COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES Modelação 3D Introdução Técnicas de modelação 3D - - - Modelação Procedimental Carlos Carreto Curso de Engenharia Informática Ano lectivo 2003/2004 Escola Superior
Leia maisConceitos Fundamentais
Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan;
Leia maisREFLEXÃO DA LUZ: ESPELHOS 412EE TEORIA
1 TEORIA 1 DEFININDO ESPELHOS PLANOS Podemos definir espelhos planos como toda superfície plana e polida, portanto, regular, capaz de refletir a luz nela incidente (Figura 1). Figura 1: Reflexão regular
Leia maisFigura 7.20 - Vista frontal dos vórtices da Figura 7.18. Vedovoto et al. (2006).
87 Figura 7.20 - Vista frontal dos vórtices da Figura 7.18. Vedovoto et al. (2006). Figura 7.21 - Resultado qualitativo de vórtices de ponta de asa obtidos por Craft et al. (2006). 88 A visualização do
Leia maisDesenhando perspectiva isométrica
Desenhando perspectiva isométrica A UU L AL A Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade e relevo. As partes que estão mais próximas de nós parecem maiores e as partes mais distantes
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =
Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo
Leia maisQuestão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa B. alternativa E. A figura exibe um mapa representando 13 países.
Questão A figura eibe um mapa representando países. alternativa E Inicialmente, no recipiente encontram-se 40% ( 000) = 400 m de diesel e 60% ( 000) = = 600 m de álcool. Sendo, em mililitros, a quantidade
Leia maisDesenvolvimento de um gerador de malhas para o estudo do escoamento transônico em um aerofólio
Desenvolvimento de um gerador de malhas para o estudo do escoamento transônico em um aerofólio Leo Moreira Lima. ITA Instituto tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, 12228-900, Brasil. Bolsista
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3
Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as
Leia maisAlgoritmos e Estrutura de Dados III. Árvores
Algoritmos e Estrutura de Dados III Árvores Uma das mais importantes classes de estruturas de dados em computação são as árvores. Aproveitando-se de sua organização hierárquica, muitas aplicações são realizadas
Leia maisUnidade 9 - Prisma. Introdução Definição de um prisma. Denominação de um prisma. Prisma regular Área de um prisma. Volume de um prisma
Unidade 9 - Prisma Introdução Definição de um prisma Denominação de um prisma Prisma regular Área de um prisma Volume de um prisma Introdução Após a abordagem genérica de poliedros, destacaremos alguns
Leia maisGestão da Qualidade por Processos
Gestão da Qualidade por Processos Disciplina: Gestão da Qualidade 2º Bimestre Prof. Me. Patrício Vasconcelos adm.patricio@yahoo.com.br Gestão da Qualidade por Processos Nas empresas, as decisões devem
Leia maisCAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO
CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção
Leia maisCAPÍTULO 2. Grafos e Redes
CAPÍTULO 2 1. Introdução Um grafo é uma representação visual de um determinado conjunto de dados e da ligação existente entre alguns dos elementos desse conjunto. Desta forma, em muitos dos problemas que
Leia maisx0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?
Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões
Leia maisO Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48
Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração
Leia maisAs fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:
1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares
Leia maisOs caracteres de escrita
III. Caracteres de Escrita Os caracteres de escrita ou letras técnicas são utilizadas em desenhos técnicos pelo simples fato de proporcionarem maior uniformidade e tornarem mais fácil a leitura. Se uma
Leia maisO método de Monte Carlo: algumas aplicações na Escola Básica
1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado novembro/2009 O método de Monte Carlo: algumas aplicações na Escola Básica
Leia maisMRP II. Planejamento e Controle da Produção 3 professor Muris Lage Junior
MRP II Introdução A lógica de cálculo das necessidades é conhecida há muito tempo Porém só pode ser utilizada na prática em situações mais complexas a partir dos anos 60 A partir de meados da década de
Leia maisCotagens especiais. Você já aprendeu a interpretar cotas básicas
A UU L AL A Cotagens especiais Você já aprendeu a interpretar cotas básicas e cotas de alguns tipos de elementos em desenhos técnicos de modelos variados. Mas, há alguns casos especiais de cotagem que
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GEOMETRIA ANALÍTICA ASSUNTO: CÔNICAS
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GEOMETRIA ANALÍTICA ASSUNTO: CÔNICAS. Usando a definição de parábola determinar, em cada um dos itens a
Leia maisVetores Lidando com grandezas vetoriais
Vetores Lidando com grandezas vetoriais matéria de vetores é de extrema importância para o ensino médio basta levar em consideração que a maioria das matérias de física envolve mecânica (movimento, dinâmica,
Leia maisCAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES
CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES 3.1 - IDENTIFICADORES Os objetos que usamos no nosso algoritmo são uma representação simbólica de um valor de dado. Assim, quando executamos a seguinte instrução:
Leia maisLEI DE OHM. Professor João Luiz Cesarino Ferreira. Conceitos fundamentais
LEI DE OHM Conceitos fundamentais Ao adquirir energia cinética suficiente, um elétron se transforma em um elétron livre e se desloca até colidir com um átomo. Com a colisão, ele perde parte ou toda energia
Leia maisObjetivos: Construção de tabelas e gráficos, escalas especiais para construção de gráficos e ajuste de curvas à dados experimentais.
7aula Janeiro de 2012 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS I: Papel Milimetrado Objetivos: Construção de tabelas e gráficos, escalas especiais para construção de gráficos e ajuste de curvas à dados experimentais. 7.1
Leia maisDisciplina : Termodinâmica. Aula 5 ANÁLISE DA MASSA E ENERGIA APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLE
Curso: Engenharia Mecânica Disciplina : Aula 5 ANÁLISE DA MASSA E ENERGIA APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLE Prof. Evandro Rodrigo Dário, Dr. Eng. Vazão mássica e vazão volumétrica A quantidade de massa que
Leia maisProjeção ortográfica de modelos com elementos paralelos e oblíquos
A U L A Projeção ortográfica de modelos com elementos paralelos e oblíquos Introdução Você já sabe que peças da área da Mecânica têm formas e elementos variados. Algumas apresentam rebaixos, outras rasgos,
Leia mais[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a
Leia maisExperimento. Guia do professor. Qual é a área do quadrilátero? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia
Geometria e medidas Guia do professor Experimento Qual é a área do quadrilátero? Objetivos da unidade 1. Apresentar diferentes formas de se calcular ou aproximar a área de quadri láteros; 2. Analisar situações
Leia maisMatemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.
Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução
Leia maisProporcionalidade Directa e Inversa
Proporcionalidade Directa e Inversa Ensino da Matemática I Mestrado no Ensino da Matemática do 3º Ciclo do Ensino Básico e do Secundário Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra Helena
Leia mais5 Equacionando os problemas
A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar
Leia maisTIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 2. Questão 4. Questão 5. Questão 3. alternativa C. alternativa E. alternativa C.
Questão TIPO DE PROVA: A José possui dinheiro suficiente para comprar uma televisão de R$ 900,00, e ainda lhe sobrarem da quantia inicial. O valor que so- 5 bra para José é a) R$ 50,00. c) R$ 800,00. e)
Leia maisUniversidade Federal de Goiás Instituto de Informática Processamento Digital de Imagens
Universidade Federal de Goiás Instituto de Informática Processamento Digital de Imagens Prof Fabrízzio Alphonsus A M N Soares 2012 Capítulo 2 Fundamentos da Imagem Digital Definição de Imagem: Uma imagem
Leia maisMétodo dos mínimos quadrados - ajuste linear
Apêndice A Método dos mínimos quadrados - ajuste linear Ao final de uma experiência muitas vezes temos um conjunto de N medidas na forma de pares (x i, y i ). Por exemplo, imagine uma experiência em que
Leia maisAPLICATIVOS GRÁFICOS (AULA 3)
Prof. Breno Leonardo G. de M. Araújo brenod123@gmail.com http://blog.brenoleonardo.com.br APLICATIVOS GRÁFICOS (AULA 3) Introdução A possibilidade de utilizarmos imagens, gráficos, desenhos e textos artísticos
Leia maisCorrelação e Regressão Linear
Correlação e Regressão Linear A medida de correlação é o tipo de medida que se usa quando se quer saber se duas variáveis possuem algum tipo de relação, de maneira que quando uma varia a outra varia também.
Leia mais3º Trimestre TRABALHO DE MATEMÁTICA - 2012 Ensino Fundamental 9º ano classe: A-B-C Profs. Marcelo/Fernando Nome:, nº Data de entrega: 09/ 11/12
3º Trimestre TRABALHO DE MATEMÁTICA - 2012 Ensino Fundamental 9º ano classe: A-B-C Profs. Marcelo/Fernando Nome:, nº Data de entrega: 09/ 11/12 NOTA:. Nota: Toda resolução deve ser feita no seu devido
Leia maisUm capacitor não armazena apenas carga, mas também energia.
Capacitores e Dielétricos (continuação) Energia armazenada num capacitor Um capacitor não armazena apenas carga, mas também energia. A energia armazenada num capacitor é igual ao trabalho necessário para
Leia maisRESUMO 2 - FÍSICA III
RESUMO 2 - FÍSICA III CAMPO ELÉTRICO Assim como a Terra tem um campo gravitacional, uma carga Q também tem um campo que pode influenciar as cargas de prova q nele colocadas. E usando esta analogia, podemos
Leia maisPor que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Leia mais7.5 Planialtimetria 7.5.1 Topologia Tem por objetivo o estudo das formas da superfície terrestre e das leis que regem o seu modelado.
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA UNIDADE DE FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO TÉCNICO DE GEOMENSURA MÓDULO II UNIDADE CURRICULAR TOPOGRAFIA III 7.5
Leia maisCRIANDO MDT. Para criar o MDT Selecione o botão Modelagem ou clique na área esquerda da do programa onde se terá a opção criar Nova Modelagem.
CRIANDO MDT Um MDT no programa AutoGeo tem como finalidade servir como base de dados para informações que servirão para os cálculos a serem realizados tudo que se for projetado a base vem do modelo digital
Leia maisDISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO
Reforço escolar M ate mática Acertando o ponto! Dinâmica 2 9º ano 3º Bimestre DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Matemática Ensino Fundamental 9ª Algébrico simbólico Funções Aluno Primeira Etapa Compartilhar
Leia maisCopiright de todos artigos, textos, desenhos e lições. A reprodução parcial ou total desta aula só é permitida através de autorização por escrito de
1 No início do nível intermediário, falamos brevemente sobre a perspectiva e a aplicação de alguns dos seus elementos, como o ponto de fuga, a linha de horizonte e a relação dos objetos com o olho do observador.
Leia maisNesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.
Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).
Leia maiscomputador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia
Leia mais( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )
Física 0 Duas partículas A e, de massa m, executam movimentos circulares uniormes sobre o plano x (x e representam eixos perpendiculares) com equações horárias dadas por xa ( t ) = a+acos ( ωt ), ( t )
Leia maisForças internas. Objetivos da aula: Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro.
Forças internas Objetivos da aula: Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro. Generalizar esse procedimento formulando equações que podem ser representadas de
Leia maisAnálise Dimensional Notas de Aula
Primeira Edição Análise Dimensional Notas de Aula Prof. Ubirajara Neves Fórmulas dimensionais 1 As fórmulas dimensionais são formas usadas para expressar as diferentes grandezas físicas em função das grandezas
Leia maisDesenhador de Escadas
Desenhador de Escadas Designsoft Desenhador de Escadas-1 Desenhador de Escadas-2 Desenhador de Escadas O Desenhador de Escadas facilita o desenho e a localização de escadas personalizadas no seu projeto.
Leia maisE A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO
E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO Dizemos que uma equação é linear, ou de primeiro grau, em certa incógnita, se o maior expoente desta variável for igual a um. Ela será quadrática, ou
Leia maisFigura 1-1. Entrada de ar tipo NACA. 1
1 Introdução Diversos sistemas de uma aeronave, tais como motor, ar-condicionado, ventilação e turbinas auxiliares, necessitam captar ar externo para operar. Esta captura é feita através da instalação
Leia maisConceitos e fórmulas
1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que
Leia maisProtocolo em Rampa Manual de Referência Rápida
Protocolo em Rampa Manual de Referência Rápida 1 O que é o Protocolo em Rampa O protocolo em rampa é um protocolo para testes de esforço que não possui estágios. Nele o incremento da carga se dá de maneira
Leia maisGerenciamento de Problemas
Gerenciamento de Problemas O processo de Gerenciamento de Problemas se concentra em encontrar os erros conhecidos da infra-estrutura de TI. Tudo que é realizado neste processo está voltado a: Encontrar
Leia maisMESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA. Integradora II T.02 SOBRE A ANÁLISE DINÂMICA MIEM. Integradora II. Elaborado por Paulo Flores - 2015
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA Elaborado por Paulo Flores - 2015 Departamento de Engenharia Mecânica Campus de Azurém 4804-533 Guimarães - PT Tel: +351 253 510 220 Fax: +351 253 516 007 E-mail:
Leia maisCapítulo 1. x > y ou x < y ou x = y
Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
Leia maisUMC Cotas em desenho técnico (Módulo 2) Componentes gráficos de uma cota: Linha de cota Linha de chamada Setas de cota
1 UMC Engenharia Mecânica Expressão Gráfica 2 Prof.: Jorge Luis Bazan. Desenho Básico Cotas em desenho técnico (Módulo 2) Em desenho técnico damos o nome de cota ao conjunto de elementos gráficos introduzidos
Leia maisCI202 - Métodos Numéricos
CI202 - Métodos Numéricos Lista de Exercícios 2 Zeros de Funções Obs.: as funções sen(x) e cos(x) devem ser calculadas em radianos. 1. Em geral, os métodos numéricos para encontrar zeros de funções possuem
Leia maisQual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo?
Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo? Elon Lages Lima IMPA, Rio de Janeiro Quando pensamos num polígono convexo, imaginamos seus vértices todos apontando para fora, ou seja, que ele não possui
Leia maisUsando o Excel ESTATÍSTICA. A Janela do Excel 2007. Barra de título. Barra de menus. Barra de ferramentas padrão e de formatação.
Barra de deslocamento ESTATÍSTICA Barra de menus Barra de título Barra de ferramentas padrão e de formatação Barra de fórmulas Conjuntos e Células (Intervalos) Área de trabalho Separador de folhas Barra
Leia mais1. Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma parábola, conforme a figura a seguir.
1. Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma parábola, conforme a figura a seguir. Nessa trajetória, a altura máxima, em metros, atingida pelo corpo foi de a) 0,52m. b) 0,64m.
Leia maisDesenho Técnico. Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica
Desenho Técnico Assunto: Aula 3 - Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica Professor: Emerson Gonçalves Coelho Aluno(A): Data: / / Turma: Desenho Projetivo e Perspectiva Isométrica Quando olhamos para
Leia maisPROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
(Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é
Leia maisPARA A CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS
1 PARA A CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS Apresentamos dois materiais feitos por estudantes do Curso de Psicologia da Faculdade de Ciências Humanas e da Saúde para construção de gráficos. As instruções das páginas
Leia maisDificuldades de Modelos de PNL. Onde está a solução ótima? Outro exemplo: Condição ótima Local vs. Global. 15.053 Quinta-feira, 25 de abril
15.053 Quinta-feira, 25 de abril Teoria de Programação Não-Linear Programação Separável Dificuldades de Modelos de PNL Programa Linear: Apostilas: Notas de Aula Programas Não-Lineares 1 2 Análise gráfica
Leia maisAPOSTILA TECNOLOGIA MECANICA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE POMPEIA CURSO TECNOLOGIA EM MECANIZAÇÃO EM AGRICULTURA DE PRECISÃO APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA Autor: Carlos Safreire Daniel Ramos Leandro Ferneta Lorival Panuto Patrícia de
Leia mais1 Propagação de Onda Livre ao Longo de um Guia de Ondas Estreito.
1 I-projeto do campus Programa Sobre Mecânica dos Fluidos Módulos Sobre Ondas em Fluidos T. R. Akylas & C. C. Mei CAPÍTULO SEIS ONDAS DISPERSIVAS FORÇADAS AO LONGO DE UM CANAL ESTREITO As ondas de gravidade
Leia maisUnidade 13: Paralelismo:
Arquitetura e Organização de Computadores 1 Unidade 13: Paralelismo: SMP e Processamento Vetorial Prof. Daniel Caetano Objetivo: Apresentar os conceitos fundamentais da arquitetura SMP e alguns detalhes
Leia maisFUNÇÕES. 1. Equação. 2. Gráfico. 3. Tabela.
FUNÇÕES Em matemática, uma função é dada pela relação entre duas ou mais quantidades. A função de uma variável f(x) relaciona duas quantidades, sendo o valor de f dependente do valor de x. Existem várias
Leia maisTIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa
Reflexão da luz TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa LEIS DA REFLEXÃO RI = raio de luz incidente i normal r RR = raio de luz refletido i = ângulo de incidência (é formado entre RI e N) r = ângulo de reflexão
Leia maisAnálise estrutural. Objetivos da aula. Mostrar como determinar as forças nos membros de treliças usando o método dos nós e o método das seções.
Análise estrutural Objetivos da aula Mostrar como determinar as forças nos membros de treliças usando o método dos nós e o método das seções. slide 1 Treliças simples Treliça é uma estrutura de vigas conectadas
Leia maisSomatórias e produtórias
Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +
Leia maisLeitura e interpretação de gráficos: Cada vez mais os vestibulares exigem essa competência
Leitura e interpretação de gráficos: Cada vez mais os vestibulares exigem essa competência Por: George Schlesinger Existem diversos tipos de gráficos: linhas, barras, pizzas etc. Estudaremos aqui os gráficos
Leia maisCÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS
15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em
Leia maisESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática.
Leia mais