problemas teoremas PdM Problema do mês PoMProblemofthemonth

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1 problemas teoremas PdM Problema do mês PoMProblemofthemoth Américo Tavares October 17, 1 Cotets 1 Euciados:: Statmets 1.1 PdM:: PoM# EuciadodoProblema ProblemStatemet PdM:: PoM# EuciadodoProblema ProblemStatemet PdM:: PoM# EuciadodoProblema ProblemStatemet PdM:: PoM# EuciadodoProblema ProblemStatemet PdM:: PoM# EuciadodoProblema ProblemStatemet PdM:: PoM# EuciadodoProblema ProblemStatemet PdM:: PoM#

2 1.7.1 EuciadodoProblema ProblemStatemet Resoluções:: Solutios 8.1 PdM:: PoM#1(valoraçãop-ádica,p-adicvaluatio) SolutioparPierreBerard,Frace Solutio by Pierre Berard, Frace; traslated by Américo Tavares Resolução de Pierre Berard, Fraça; tradução de Américo Tavares PdM:: PoM#(coeficietes da série biomial, biomial series coefficiets) Resoluçãodeatoiogirao Solutiobyatoiogirao PdM:: PoM#3(Poliómioreal,realpolyomial) SoluciódeM: ResoluçãodeM;traduzidaporAméricoTavares SolutiobyM;traslatedbyAméricoTavares PdM:: PoM#4(Itegralimpróprio,ImproperItegral) SolucãodeProf. PauloSérgio: Solutio by Prof. Paulo Sérgio; traslated by Américo Tavares PdM :: PoM #5 (Uma fução real cotíua ilimitada, A uboudedcotiuousrealfuctio) SolutiobyJacquesGlorieux Resolução de Jacques Glorieux; traslated by Américo Tavares PdM:: PoM#6(Círculos,Circles) Resolução de Jacques Glorieux; traslated by Américo Tavares SolutiobyJacquesGlorieux: Euciados:: Statmets 1.1 PdM:: PoM#1 N. Determie, justifi Euciado do Problema Seja m o maior iteiro positivo tal que 1 ( ) cado, um majorate de m.

3 Nota: ão se permite a utilização de calculadoras ou computadores. Sairá vecedora a melhor estimativa justificada. Afirmaçãoãodemostrada: 1éummajoratedem. Ecotreum mais pequeo. O prazo limite para apresetar resoluções é Problem Statemet Letmbethegreatestpositiveitegersuchthat 1 ( ) 13 5 N. Fid,with proof,aupperboudform. Remark: the use of calculators or computers is ot allowed. The best justified estimate will wi. Claim: 1isaupperboudform. Fidasmalleroe. The deadlie for submittig solutios is July 19, PdM:: PoM# 1..1 Euciado do Problema Admitaque1,,3,... Sejax umúmeroreal, ( ) x x(x 1) (x +1).! ( ) x 1e Deduza a idetidade ( ) ( ) x x + 1 ( ) x+1. O prazo limite para apresetação das resoluções é 9.9.9, através de acltavares@sapo.pt ou cometado o blogue. 3

4 1.. Problem Statemet Supposethat1,,3,... Letx bearealumber, ( ) x x(x 1) (x +1).! Derivetheidetity ( ) ( ) x x + 1 ( x+1 ). ( ) x 1ad The deadlie for submittig solutios is September 9, 9 either via acltavares@sapo.pt or commet box. 1.3 PdM:: PoM# Euciado do Problema SejaP(x)umpoliómiorealdegrau. Supohaqueocoeficietedo termodemaiorgraudep éiguala1. Proveque P (x) P (x) 1 1 k1,em x w k quew 1,w,...,w 1 sãoasraízesdep (x). O prazo limite para apresetação das resoluções é 1..1, através de acltavares@sapo.pt ou cometado o blogue Problem Statemet Let P(x) be a real polyomial of degree. Assume that the leadig coefficiet of P is equal to 1. Prove that P (x) P (x) 1 1 k1, where x w k w 1,w,...,w 1 aretherootsofp (x). The deadlie for submittig solutios is February 1, 1 either via acltavares@sapo.pt or commet box. 1.4 PdM:: PoM# Euciado do Problema Prove ou ifirme π cosx cos3x dx x 4

5 Nota: ão se permite a utilização de calculadoras ou computadores. O prazo limite para apresetação das resoluções é 8.3.1, através de acltavares@sapo.pt ou cometado o blogue Problem Statemet Prove or disprove π cosx cos3x dx. x Remark: the use of calculators or computers is ot allowed. Thedeadlieforsubmittigsolutiosis March8, 1eithervia acltavares@sapo.pt or commet box. 1.5 PdM:: PoM# Euciado do Problema Seja f(x) uma fução real cotíua ilimitada o itervalo I [, [. O itegral impróprio f(x)dx pode ser covergete? I Oprazolimiteparaaapresetaçãoderesoluçõesé17.5.1,aquiou por acltavares@sapo.pt 1.5. Problem Statemet Letf(x)beacotiuousuboudedrealfuctioitheitervalI[, [. May the improper itegral f(x)dx coverge? I The deadlie for submittig solutios is May 17, 1. Submissios may be here or via acltavares@sapo.pt 5

6 1.6 PdM:: PoM# Euciado do Problema Os quatro círculos têm o mesmo raio. Determie-o o caso do triâgulo medir1m. Serão bem-vidas soluções até ao fim do mês, cometado ou por e- mail: acltavares@sapo.pt 1.6. Problem Statemet Thefourcircleshaveequalradius. Fiditifthesizeofthetriagleis1m. Solutio till the ed of the moth will be welcome, i the commets box or via acltavares@sapo.pt 6

7 1.7 PdM:: PoM# Euciado do Problema Mostre que N k+1 ( 1) +k ( )( ) +k k k N k+1 ( 1) +k ( )( )( k )+ ( 1)N+k 1 k ( )( ) 1 1+k k N N+k k k k k k Soluções: até 8 Novembro 1, via ou caixa de cometários Problem Statemet Show that N k+1 ( 1) +k ( )( ) +k k k N k+1 ( 1) +k ( )( )( k )+ ( 1)N+k 1 k ( )( ). 1 1+k k N N+k k k k k k Solutios: util November 8, 1, via or commet box. 7

8 Resoluções:: Solutios.1 PdM:: PoM#1(valoração p-ádica, p-adic valuatio).1.1 Solutio par Pierre Berard, Frace Osaitque (( )) v p k + i1 ( k De plus, chaque terme x+y x y quivautou1). Siiestassezgrad,ilestclairque k k ) k vaut ou 1 (o a toujours k k. Précisémet, puisque k,ilsuffitque >,c est-à-direi>log p ()pourque k k. Oadoc: (( )) v p k log p () i1 ( ) k k log p }{{ i p () } ou 1 (( )) 13 5 Docv p log 13 (13 5 ) 5. Et5c estmieuxque Solutio by Pierre Berard, Frace; traslated by Américo Tavares Wekowthat (( )) v p k + i1 ( k k ). k k Furthermore, each term is or 1 (we have always x+y x y whichisor1). k k Forisufficietlylargeitisclearthatwehave. Ad because k it is sufficiet that >, i. e. i > log p () to have 8

9 k (( )) v p k k. Therefore: log p () i1 ( ) k k log p }{{ i p () } or1 (( )) 13 5 Thusv p log 13 (13 5 ) 5. Ad5isbettertha Other solvers: fede(commets i Gaussiaos s blog) ad fatima..1.3 Resolução de Pierre Berard, Fraça; tradução de Américo Tavares Sabe-se que (( )) v p k + i1 ( k k ). k k Além disso, cada termo vale ou 1 (tem-se sempre x+y x y queéigualaou1). k k Paraisuficietemetegradeéclaroquesetem. Ora,dadoque k,ésuficietequep i >,istoéi>log p ()paraseter k k. Portato: (( )) v p k log p () i1 ( ) k k log p }{{ i p () } or1 (( )) 13 5 Destemodov p log 13 (13 5 ) 5. E5émelhordoque Outros: fede(commetários o blogue Gaussiaos) e fatima. Notas: 1. v p (r)desigaavaloração(ouvalorização)p-ádica(valuatiop-adique) der: oexpoetedoúmeroprimopadecomposiçãoemfactoresprimosdo iteiror. Poroutraspalavras,p vp(r) dividermasp 1+vp(r) ãodivider. 9

10 . Tambémseusaaotaçãoord p (r)(ordemouordialderemp)com o mesmo sigificado. 3. v p ( r s )v p(r) v p (s)(comr Q). 4. Teorema de Legedre: Qualquer que seja o iteiro positivo, o expoetedoúmeroprimopadecomposiçãoemúmerosprimosde!éigual a i 1 Remarks: 1. v p (r)deotesthep-adicvaluatioofr: theexpoetoftheprimepi thefactorizatioitoprimeumbersoftheitegerr. Iotherwordsp vp(r) dividesradp 1+vp(r) doesotdivider.. Withthesamemeaigaotherotatioisalsoused: ord p (r)(order orordialofratp). 3. v p ( r)v s p(r) v p (s)(withr Q). 4. Theorem(Legedre): For every positive iteger, the expoet of the primeumberpithefactorizatioitoprimeumbersof!is. i 1. PdM :: PoM # (coeficietes da série biomial, biomial series coefficiets)..1 Resolução de atoio girao [Usou a otação x! (x )! x(x 1) (x +1)]. ( ) x x! (x )!! ( ) x x! 1 (x +1)!( 1)! 1

11 x! (x )!! + x! (x +1)!( 1)! x! (x )!! + x! (x +1)!( 1)! x!(x +1) (x )!!(x +1) + x! (x +1)!( 1)! x!(x +1) (x )!!(x +1) + x! (x +1)!! x![(x +1)+] (x +1)!! x!(x+1) (x +1)!! (x+1)! (x +1)!! (x+1)! (x+1 )!! ( ) x+1 Outros: Pierre Berard e MathOMa.. Solutio by atoio girao [He used the otatio x! (x )! x(x 1) (x +1)]. ( ) x x! (x )!! ( ) x x! 1 (x +1)!( 1)! 11

12 x! (x )!! + x! (x +1)!( 1)! x! (x )!! + x! (x +1)!( 1)! x!(x +1) (x )!!(x +1) + x! (x +1)!( 1)! x!(x +1) (x )!!(x +1) + x! (x +1)!! x![(x +1)+] (x +1)!! x!(x+1) (x +1)!! (x+1)! (x +1)!! (x+1)! (x+1 )!! ( ) x+1 Other solvers: Pierre Berard ad MathOMa Notas: 1. Estes coeficietes são os da série biomial ( ) x (1+t) queécovergetepara t <1.. Ocoeficietedeordeméumpoliómiodegrauemx. Remarks: 1. These coefficiets are the biomial series oes ( ) x (1+t) t, whichiscovergetfor t <1.. Thecoefficietoforderisapolyomialofdegreeix. t 1

13 .3 PdM:: PoM#3(Poliómio real, real polyomial).3.1 SoluciódeM: Si P(x) (x a i ) etoces log P(x) log x a i (parax a i ). i1 i1 Derivado(cuidado bie el sigo etre las raíces): P (x) 1 x a i i1 Tucasoseparticularizaco{P (x),p (x)}. Otros: Dai (Cometario de Gaussiaos aquí, copia) y MathOMa (aquí). ***.3. Resolução de M; traduzida por Américo Tavares Se P(x) (x a i ) etão log P(x) log x a i (parax a i ). i1 Derivado(tedo especial cuidado com o sial das raízes): i1 P (x) 1 x a i i1 Asoluçãoéocasoparticular{P (x),p (x)}. Outros: Dai e MathOMa. 13

14 .3.3 Solutio by M; traslated by Américo Tavares. If P(x) (x a i ) the log P(x) log x a i (parax a i ). i1 i1 Now, after diferetiatig(takig ito special accout the root sigs), we get: P (x) 1 x a i i1 Thesolutioforthisproblemistheparticularcase{P (x),p (x)}. Other solvers: Dai ad MathOMa..4 PdM :: PoM #4 (Itegral impróprio, Improper Itegral).4.1 Solucão de Prof. Paulo Sérgio: Para calcular esta itegral, ote que Assim, 1 s xe sx dx I : cos(s) cos(3s) ds s xe sx [cos(s) cos(3s)]dxds Ivertedo a ordem de itegração e usado a defiição de trasformada de Laplace, temos: I x ( x [L{cos(s)}L{cos(3s)}]dx ) dx x 1+x 9+x 14

15 ou seja, I 9 dx 9+x dx 1+x [ ( x 3arcta arcta(x) 3) 3π π π π. Outra resolução: fatima ].4. Solutio by Prof. Paulo Sérgio; traslated by Américo Tavares To evaluate this itegral ote that Hece, 1 s xe sx dx I : cos(s) cos(3s) ds s xe sx [cos(s) cos(3s)]dxds By reversig the order of itegratio ad usig the defiitio of the Laplace trasform we get: I x ( x [L{cos(s)}L{cos(3s)}]dx ) dx x 1+x 9+x therefore, I 9 dx 9+x dx 1+x [ ( x 3arcta arcta(x) 3) 3π π π π. Other Solver: fatima ] 15

16 .5 PdM:: PoM#5(Umafuçãorealcotíuailimitada, A ubouded cotiuous real fuctio).5.1 Solutio by Jacques Glorieux y x The graph of this fuctio is made of a series of triagles. For 1,,3,...,triagleumber hasforheightad 1 forbase. Thecurve 3 so delimited is related to a cotiuous ad ubouded fuctio. The itegral ofthisfuctioisthesumoftheareasofthetriagles. Theareaoftriagle umberis 1 () Thesumoftheareasisthusthesumfrom1 toifiityofthetermsoftheform 1. Thissumis π 6 (awellkowresult). Thus the itegral coverges. Other solver: fatima.5. Resolução de Jacques Glorieux; traslated by Américo Tavares y x 16

17 O gráfico desta fução é costituído por uma série de triâgulos. Para 1,,3,..., o triâgulo úmero tem de altura e 1 de base. A 3 curva assim delimitada está relacioada com uma fução cotíua ilimitada, cujoitegraléasomadasáreasdostriâgulos. Aáreadotriâguloúmero é 1 () Por este motivo a soma das áreas é igual à soma de 1 até ifiitodos termos da forma 1. Esta soma é π 6 (umresultado bem cohecido). Por coseguite o itegral é covergete. Outra resolução: fatima.6 PdM:: PoM#6(Círculos, Circles).6.1 Resolução de Jacques Glorieux; traslated by Américo Tavares (Ver Figure 1) Sejar oraiodoscírculos. VistoqueDE EF r tem-se DEF π/4. ComoDF éparlaleloaab,oâgulo CABπ/4. Assim,oâgulo ABGπ/. LogoHBIF éumquadradodelador. Tem-se BF r BCBF+FCr ( +3rr 3+ ) ( AG BCr 3+ ) AáreaS deabgé,portato,r ( 3+ ). MasestaáreaS 1. Por este motivo 1 r Outras resoluções por: josejua, Prof. Paulo Sérgio..6. Solutio by Jacques Glorieux: (See Figure 1) 17

18 Figure 1: Letrbetheradiusofthecircles. WehaveDEEF rthus DEF π/4. AsDF isparalleltoab,agle CAB π/4. Thusagle ABG π/. ThusHBIF isasquareofsider. Wehave BF r BCBF+FCr ( +3rr 3+ ) ( AG BCr 3+ ) TheareaS ofabgisthusr ( 3+ ). ButthisareaS1. Thus r Other solvers: josejua, Prof. Paulo Sérgio. 18