DETECÇÃO DO CAOS NO ESPAÇO DE FASE POR MEIO DO EXPOENTE DE LYAPUNOV

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1 Revista Ciêcias Exatas DETECÇÃO DO CAOS NO ESPAÇO DE FASE POR MEIO DO EXPOENTE DE LYAPUNOV ISSN: Vol. 21 Nº. 1 Ao 2015 Jizreel Pereira da Silva Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro Istituto de Física jizreelsilva@yahoo.com.br RESUMO Neste trabalho, usa-se a distribuição dos expoetes de Lyapuov, ferrametal importatíssimo para aalisar a diâmica de partículas iteragetes o espaço de fase, através da sesibilidade. Um sistema é classicamete caótico quado ele apreseta sesibilidade expoecial às codições iiciais. Opodo-se a sistemas caóticos estão os sistemas itegráveis, ode a existêcia de tatas costates de movimeto quato o úmero de graus de liberdade faz com que o movimeto resultate seja bastate simples. Palavras-chave: Caos, expoete de Lyapuov, espaço de fase. ABSTRACT I this paper, we use the distributio of expoets of Lyapov, importat to aalyze the dyamics of iteractig particles i phase space through sesitivity toolig. A system is classically chaotic whe he presets expoetial sesitivity to iitial coditios. Opposig chaotic systems are the itegrable systems, where the existece of so may costats of motio as the umber of degrees of freedom makes the resultig motio is quite simple. Keywords: Chaos, Lyapuov expoet, phase space. Correspodêcia/Cotato UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ Departameto de Egeharia Mecâica Rua Daiel Daelli, s/, Jd. Morumbi Taubaté - SP CEP Foe (12) Editores resposáveis Prof. Dr. Luiz Eduardo Nicolii do P. Nues luiz.ues@uitau.com.br Profa. Dra. Valesca Alves Correa valesca.correa@uitau.com.br p. 1

2 Detecção do Caos o Espaço de Fase por meio do Expoete de Lyapuov 1 INTRODUÇÃO Um sistema diâmico é descrito por qualquer cojuto de gradezas, cohecidas como variáveis depedetes que variam o tempo (variável idepedete), (LEMOS, N. A, 2007). Dada uma fução f(x, y, z), esta descreve a equação de estado de uma partícula o espaço, em particular de três dimesões e o caso de f(x, y, z, t), observamos a evolução através do tempo que é o parâmetro para descrever a diâmica do sistema, ode a superfície poderá estar em movimeto ou se deformado. O espaço de fase é o espaço de estados possíveis para o sistema, ode a evolução é descrita por um cojuto de equações discretas ou difereciais que costituem a regra, permitido prever o comportameto futuro, total ou parcial, uma vez cohecido o seu estado iicial. A diâmica em termos da fução Hamiltoiaa, os permite descrever com mais detalhes a evolução de sistemas com relação à Mecâica Newtoiaa que é baseada em coordeadas cartesiaas, sedo que com sistemas que aparecem vículos ou ecessitam de maior quatidade de variáveis, os Sistemas Hamiltoiaos, defiem um espaço de coordeadas (q,p), ode evetualmete pode depeder do tempo t. Através dos estudos de sistemas (qualquer que seja) e aalisado as propriedades de sesibilidade quato às codições iiciais, ou seja, dois potos se separam, por mais próximos que estivessem iicialmete o espaço de fases e ser limitado, observa-se a preseça do caos. Normalmete, o espaço de fases de sistemas coservativos é composto por domíios ode a diâmica pode ser regular, caótica ou mistura de ambos. Neste trabalho, observa-se as trajetórias caóticas através dos expoetes de Lyapuov, que são gradezas utilizadas para quatificação de caos em sistemas diâmicos extremamete sesíveis. 2 SISTEMAS HAMILTONIANOS E O ESPAÇO DE FASE Os sistemas hamiltoiaos podem ser descritos pelas equações de movimeto, de Hamilto, (PELLEGRINO, 1991):, ( ) (1) Sedo H(q,p) a hamiltoiaa do sistema e k, seu úmero de graus de liberdade. Para um determiado sistema, q, a coordeada geeralizada da posição e p, do mometo, a quatidade F(q,p), fução das variáveis diâmicas, é dita costate de movimeto (df/dt = 0), se {F,H} = 0, ode {,} são parêteses de Poisso, (BERNARDES, 2002). Se o sistema possui costates de movimeto idepedetes F i tais que {F i,f j } = 0 para quaisquer i,j {1,2,,}, etão o sistema é dito itegrável. A difereça etre movimeto regular e irregular (caótico) é o úmero de costates de movimeto além da eergia E: movimeto completamete regular (quase-periódico e estável) é próprio de sistemas itegráveis. De uma forma geral, os sistemas são ão-itegráveis e podem executar movimeto regular (quase periódico) em determiadas regiões do espaço de fase e caótico em outras regiões. Uma maeira de se distiguir o movimeto caótico do regular, baseia-se o fato de que aquele é extremamete sesível às codições iiciais; trajetórias iicialmete próximas, x 1 e x 2, divergem expoecialmete o tempo:, (2) Revista Ciêcias Exatas Vol. 21 Nº. 1 Ao 2015 p. 2

3 Jizreel Pereira da Silva Ou seja, ão importa quão pequeo seja (t = 0). O expoete de Lyapuov λ, marca desse tipo de istabilidade, sedo idicador para observação de sistemas caóticos. Em geral, os sistemas hamiltoiaos coservativos ão-itegráveis, têm apeas a eergia E como costate de movimeto. As trajetórias o espaço de fase estão restritas à superfície H(q,p) = E de dimesão 2-1. Como existe a possibilidade de regiões com movimeto regular e caótico, seria iteressate caracterizar o sistema segudo μ(e) da superfície H(q,p) = E, ocupada por movimeto caótico. Se μ(e) = 1, o sistema é dito ergódico e uma trajetória típica preeche desamete a superfície de eergia E. Com relação ao Espaço de Fase (Fig. 1), podemos imagiar um espaço com coordeadas q i e p i de tal forma que evoluido o tempo, variam cotiuamete, descrevedo uma trajetória este espaço, (FERRARI, 2011). Figura 1 - Trajetória o espaço de fase Neste caso, p e q são coordeadas idepedetes, pois p é obtido a partir de q. Podemos eteder o estado do sistema um determiado istate como descrito tato pelas coordeadas geeralizadas q quato pelos mometos caoicamete cojugados p, que são variáveis idepedetes etre si, e que depedem do tempo. Num istate t 0, cohecemos seus valores iiciais, q 0 = q(t 0) e p 0 = p(t 0), e determiamos as fuções q(t) e p(t), sedo soluções de determiada equação diferecial. As equações difereciais que descrevem a diâmica do sistema do espaço de fase são de 1ª ordem o tempo e a especificação de um poto este espaço também especifica completamete uma codição iicial deste sistema de equações, sedo úica a solução do sistema de equações dada esta codição iicial. Se observarmos com relação ao espaço de cofigurações, vemos que ão vale, pois, a especificação de um poto o espaço de cofigurações defie apeas as posições das partículas que compõem o sistema aquele istate, e ão suas velocidades. As equações de movimeto o espaço de cofigurações são equações de 2ª ordem o tempo. É possível, que do mesmo poto iicial o espaço de cofiguração, emaem duas soluções fisicamete válidas das equações de movimeto (Fig. 2). Revista Ciêcias Exatas Vol. 21 Nº. 1 Ao 2015 p. 3

4 Detecção do Caos o Espaço de Fase por meio do Expoete de Lyapuov Figura 2 Possibilidade de dois camihos a trajetória A formulação Hamiltoiaa tem em sua particularidade a simetria (Fig. 3), o formalismo é costruído de tal forma que as coordeadas q i e p i aparecem de forma simétrica. Figura 3 simetria o espaço de fase A fução Hamiltoiaa provém da equação de Euler-Lagrage, assim: (3) Se q(t) e p(t) satisfazem as equações caôicas de movimeto, = = Comparado as equações, vemos que (4) Em particular Revista Ciêcias Exatas Vol. 21 Nº. 1 Ao 2015 p. 4

5 Jizreel Pereira da Silva Se a Hamiltoiaa ão depede explicitamete do tempo t, etão H(q,p,t) é costate ao logo da trajetória do poto represetativo do sistema o espaço de fase, ou seja, H(q,p) é uma costate do movimeto. Cosiderados sistemas diâmicos simpléticos, em que o volume do espaço de fases é coservado, obedecedo ao teorema de Lioville (OTT, 2002), observa-se um mapa simplético da forma x +1 = M N (x ), para que a codição simplética possa ser escrita, como (5) Que é a matriz Jacobiaa, J T a sua trasposta, x = (p,q) = (p 1,,p N, q 1,.,q N ) e (6) é a matriz simplética, composta por matrizes idetidade I N e matrizes ulas 0 N de ordem N, (WOELLNER, 2006). Nos sistemas hamiltoiaos e dissipativos caóticos, caracterizam-se por sesibilidade extrema às codições iiciais, maifestada pela divergêcia expoecial de trajetórias iicialmete próximas. Aliada à cotração de áreas o espaço de fase, cria uma situação icoveiete: as trajetórias divergem e ao mesmo tempo permaecem cofiadas uma região fiita. É possível esta situação, pela justificativa dos atratores estrahos para determiadas regiões o espaço de fase, (PELLEGRINO, 1991). Podemos classificar as características especiais dos sistemas dissipativos, ou seja, camihos que levam ao caos esses sistemas, como; itermitêcia, cascata subarmôica de duplicação de períodos e trasição para o caos a partir de movimeto quasiperiódico, (PELLEGRINO, 1991). Os sistemas dissipativos podem apresetar jaelas de periodicidade detro de regiões caóticas. A defiição são os itervalos de valores dos parâmetros que comparecem às equações de movimeto do sistema. 3 O EXPOENTE DE LYAPUNOV O expoete de Lyapuov é uma das maeiras de verificar o quato é caótico para o comportameto de um sistema diâmico. Existe a sesibilidade às codições iiciais. Por defiição, adota-se a seguite aproximação: ( ) e (7) ode ε() é a distâcia etre os potos a eésima medida e λ é o expoete de Lyapuov. Se λ > 0 a distâcia irá aumetar equato que se λ < 0, irá dimiuir, (WOELLNER, 2006). No caso do mapa logístico, a eésima iteração etre duas posições distaciadas iicialmete de ε ocorre: f ( x ) f ( x) e (8) f ( x) f ( f (... f ( x vezes. ode ))) e Tomado-se o logaritmo: f ( x ) f ( x) log (9) Revista Ciêcias Exatas Vol. 21 Nº. 1 Ao 2015 p. 5

6 Detecção do Caos o Espaço de Fase por meio do Expoete de Lyapuov Para pequeos valores de ε essa expressão se tora: 1 log e df ( x) dx (10) Desevolvedo-se a derivada f ( x) dx ( x)).( f ( f df ( x) dx d ' ( 1) ' ( 2) ' ( 3) df ( x) dx f ( f f 1 i 0 ' ( x)).( f ' ' ( x 1). f ( x 2). f ( x 3)... f '( x ) i obtém-se, pela regra da cadeia: ( f ( x))... Aplicado-se a propriedade de logaritmo da multiplicação e tomado-se o limite para tededo a ifiito: 1 1 lim log f '( x ) (12) i 0 e i No caso do mapa logístico, f '( x) (1 2x). Se dois potos iiciais muito próximos covergem para um atrator (λ < 0), o sistema ão é sesível às codições iiciais, se a distâcia etre eles se matém costate (λ = 0) o sistema está o limite e se os potos se afastam expoecialmete (λ > 0) o sistema é sesível (MONTEIRO, 2006). Para que haja o aumeto da distâcia etre os potos iiciais em virtude da iteração é ecessário que o expoete de Lyapuov seja positivo. Observado-se o gráfico, vemos que o expoete de Lyapuov só é positivo para determiados valores de μ. Quado o expoete é positivo ocorre o comportameto caótico. (11) Figura 4 Expoete de Lyapuov para valores de ( ) Revista Ciêcias Exatas Vol. 21 Nº. 1 Ao 2015 p. 6

7 Jizreel Pereira da Silva Existem dois limites que devem ser obedecidos com relação à defiição dos expoetes de Lyapuov: a) a distâcia etre as codições iiciais deve teder a zero e b) os valores aalíticos dos expoetes são obtidos o limite do tempo (represetado por uma variável discreta ) tededo para o ifiito. É impossível respeitar o limite de, devemos etão trucar o cálculo dos expoetes em determiado istate de tempo. 3.1 Distribuição dos Expoetes de Lyapuov a Tempo Fiito Os expoetes de uma forma qualitativa podem ser defiidos como quatificadores da taxa média expoecial de expasão ou cotração de um elemeto ifiitesimal de volume em cada direção do espaço de fases. Existem dois tipos de expoetes positivos e os egativos, (PELLEGRINO, 1991). Quado temos expoetes egativos, vemos a aproximação de trajetórias distitas e o caso de positivos o afastameto expoecial etre elas, tudo detro de uma diâmica caótica. Os sistemas caóticos tem um comportameto muito sesível à variação das codições iiciais, são ricos em istabilidade de trajetórias o espaço de fase. Essa riqueza de órbitas istáveis permite a eles uma imesa flexibilidade, por exemplo, se otamos que uma das características básicas dos seres vivos é a capacidade adaptativa; possivelmete os resultados matemáticos proveietes do estudo dos sistemas caóticos poderão ter importâcia para um melhor etedimeto do comportameto dos seres vivos. Uma ideia iteressate é que ao aproveitarmos a riqueza de trajetórias istáveis dos sistemas caóticos, através de perturbações bem programadas, levamos o sistema a se comportar da maeira que se deseja ou aproximadamete. Escolhemos uma órbita que permita ao sistema realizar a forma exigida e estabilizamos essa órbita através de uma pequea perturbação adequadamete escolhida. 4 CONCLUSÃO A determiação de critérios aalíticos que possam garatir a itegrabilidade ou ão de sistemas diâmicos perece de diversas dificuldades. Aalisado umericamete, percebemos sempre a possibilidade de erros comutativos, especialmete o tratameto de sistemas com possível comportameto caótico. Revista Ciêcias Exatas Vol. 21 Nº. 1 Ao 2015 p. 7

8 Detecção do Caos o Espaço de Fase por meio do Expoete de Lyapuov REFERÊNCIAS MONTEIRO, L.H.A. Sistemas Diâmicos. São Paulo: Editora Livraria da Física, LEMOS, N. A. Mecâica Aalítica. São Paulo: Editora Livraria da Física, OTT, E. Chaos i Dyamical Systems. New York: Cambridge Uiversity Press, PELLEGRINO, G. Q. Estudo de Caos em Juções Josephso. Dissertação de Mestrado. Uiversidade Estadual de Campias, Istituto de Física, BERNARDES, E. S. Mecâica Clássica. Notas de Aula. Uiversidade de São Paulo, Istituto de Física, FERRARI, A. F. Mecâica Aalítica II: Mecâica Hamiltoiaa e Uma Itrodução A Sistemas Diâmicos. Notas de Aula. Uiversidade Federal do ABC, WOELLNER, C. F. Aspectos Diâmicos de uma Rede de Mapas Hamiltoiaos Acoplados. Dissertação (Mestrado) Uiversidade Federal do Paraá, Revista Ciêcias Exatas Vol. 21 Nº. 1 Ao 2015 p. 8