Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN. F = m a

Transcrição

1 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 GRAVIACIÓN INRODUCIÓN MÉODO 1. En xeal: a) Debúxanse as fozas que actúan sobe o sistema. b) Calcúlase cada foza ou vecto intensidade de campo. c) Calcúlase a esultante polo pincipio de supeposición. d) Aplícase a ª lei de Newton (lei Fundamental da Dinámica) F = m a e) Calcúlanse as enexías potenciais nos puntos de oixe 1 e destino. f) Calcúlase o taballo das fozas do campo. W₁ ₂ = - (E ₂ E ₁) = E ₁ - E ₂ g) O taballo da foza exteio seá, se non hai vaiación de enexía cinética: W(exteio) = -W(campo). Nos poblemas de satélites: A foza gavitacional F G que exece o asto de masa M sobe un satélite de masa m que xia aedo del nunha óbita de aio está diixida caa ao asto (é unha foza cental), e éxese pola lei de Newton da gavitación univesal F G =G M m As taxectoias dos satélites son pacticamente ciculaes aedo do cento do asto. Po se a foza gavitacional unha foza cental, a aceleación só ten compoñente nomal a N = v² /, e, ao non te aceleación tanxencial, o módulo da velocidade é constante. A velocidade lineal v dun movemento cicula unifome de aio está elacionada co peíodo pola ecuación: v = π Como a única foza que actúa é a foza gavitacional, queda F = F G =m a =m a N =m v G M m =m v v = Igualando as dúas expesións da velocidade obtéñense ecuacións paa o peíodo ou o aio. Se non se ten a masa da ea, iguálase o peso no chan coa foza gavitacional Substitúese G M po g₀ R². m g 0 =G M m R g₀ R² = G M 3. Nos poblemas de campo gavitacional de masas puntuais: a) Cálculo do vecto intensidade de campo gavitacional nun punto ceado po unha soa masa:

2 Física P.A.U. GRAVIACIÓN A intensidade do campo gavitacional g ceado po unha masa puntual M nun punto situado a unha distancia é igual á foza gavitacional F G que execeía a masa M sobe a unidade de masa situada nese punto. g = F G / m Sendo m a masa de poba situada no punto. Se substituímos F G pola expesión da lei da gavitación univesal de Newton, queda: (a.1) (a.) (a.3) g = G M u Detemínase a distancia ente a masa M (situada no punto 1) que cea o campo e o punto. Se os datos son as coodenadas dos puntos, a distancia ₁₂ ente eles é: 1 = 1 = (x x 1 ) +(y y 1 ) Se son puntos nun tiángulo, a altua h calcúlase: h = L sen α E se o tiángulo é equiláteo, a distancia d desde o punto medio O a un vétice A pódese calcula como d = L / cos 30 Detemínase o vecto unitaio a pati do vecto de posición do punto especto ao punto 1 onde se atopa a masa M que cea o campo. Se os datos son as coodenadas dos puntos, o vecto de posición ₁₂ é: O vecto unitaio seá: 1 =(x x 1 ) i +(y y 1 ) j u = En caso de coñece o ángulo α, o vecto unitaio calcúlase coa expesión: u = cos α i + sen α j Calcúlase o vecto intensidade de campo coa ecuación: A L α L d 30 L / h h O g = G M u (a.4) Sen esquece escibi as unidades (N/kg) no esultado. Calcúlase o módulo do vecto intensidade de campo sen esquece escibi as unidades. b) Cálculo do vecto intensidade de campo gavitacional nun punto ceado po vaias masas: A intensidade de campo gavitacional nun punto debido a vaias masas puntuais é a suma vectoial das intensidades de campo gavitacional ceadas po cada masa coma se as outas non estivesen. (b.1) (b.) (b.3) Debúxanse os vectoes foza ou intensidade de campo gavitacional poducidos no punto po cada unha das masas, e debúxase tamén o vecto foza ou campo esultante, que é a suma vectoial deles (pincipio de supeposición). Calcúlanse cada un dos vectoes foza ou intensidade de campo ceados polas masas do mesmo xeito que se indicou no apatado anteio, aínda que ás veces non é necesaio epeti cálculos poque se poden deduci os esultados a pati do pimeio, á vista da simetía da situación. Calcúlase o vecto foza ou intensidade de campo gavitacional esultante no punto como a suma vectoial das fozas ou intensidades de campo gavitacional poducidas po cada masa, aplicando o pincipio de supeposición.

3 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 3 (b.4) (b.5) Analízase o esultado compaándoo co esbozo debuxado. Calcúlase o módulo do vecto foza ou intensidade de campo esultante sen esquece escibi as unidades. c) Cálculo do vecto foza gavitacional sobe unha masa m nun punto ceado po vaias masas: A foza gavitacional F G ente dúas masas, M e m, puntuais sepaadas unha distancia éxese pola lei de Newton da gavitación univesal: F = G M m u Realízase de foma análoga á do campo gavitacional, usando a expesión da foza en vez da intensidade de campo, e tendo en conta que as unidades son newtons (N). d) Cálculo do taballo necesaio paa despaza unha masa m ente dous puntos. Supoñendo que a masa pate do epouso desde o punto 1 e que chega a punto con velocidade nula, o taballo da foza esultante é nulo, e o taballo da foza exteio seá igual e de signo contaio ao taballo das fozas do campo: W' = - W₁ ₂ O taballo que fan as fozas do campo consevativo é igual ao valo da masa m que se despaza pola difeenza de potencial ente os puntos de patida 1 e chegada : W₁ ₂ = - (E ₂ E ₁) = E ₁ - E ₂ A enexía potencial dun obxecto de masa m que está a unha distancia dun asto é o taballo que fai a foza gavitacional cando o obxecto tasládase desde a súa posición ata o infinito E P =W = F G d = G M m u d = G M m d =[ G M m ] = G M m (d.1) (d.) (d.3) (d.4) Paa o punto de patida calcúlanse as distancias ente o punto no que hai que calcula a enexía potencial e os puntos nos que se atopan as masas, se non se calculaon antes. Calcúlase a enexía potencial no punto poducido po cada masa M, coa ecuación: E P = G M m Súmanse as enexías potenciais poducidos po cada masa nese punto. Repítese o poceso paa o punto de chegada. e) Calcúlase o taballo das fozas do campo. W₁ ₂ = - (E ₂ E ₁) = E ₁ - E ₂ Explícase que o taballo das fozas exteioes é de signo contaio. f) A velocidade de escape dun asto é a velocidade mínima que hai que comunica a un copo na supeficie deste paa que poida afastase a unha distancia infinita del. Alí a enexía potencial é nula, Eₚ = 0, e a velocidade suponse nula po se a velocidade de escape unha velocidade mínima. Aplícase o pincipio de consevación da enexía ente a supeficie do asto e o infinito, tomando a velocidade no infinito como 0 (E + Eₚ) S = (E + Eₚ) 1 m v e+ ( G M m R ) =0 v e= G M R

4 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 4 APROXIMACIÓNS 1. Os astos considéanse como copos esféicos homoxéneos. Así, pódense considea o campo e a foza gavitacional no seu exteio coma se toda a masa do asto estivese concentada no seu cento.. Só se ten en conta a influencia gavitacional do asto máis póximo especto ao satélite. 3. Nas tansfeencias de óbitas, lanzamentos, caídas, suponse que a única foza que actúa é a foza gavitacional, que é consevativa. Po tanto a enexía mecánica consévase. RECOMENDACIÓNS 1. Faase unha lista cos datos, pasándoos ao Sistema Intenacional se non o estivesen.. Faase outa lista coas incógnitas. 3. Debuxaase un esbozo da situación, pocuando que as distancias do esbozo sexan coheentes con ela. Debease incluí cada unha das fozas ou das intensidades de campo, e a súa esultante. 4. Faase unha lista das ecuacións que conteñan as incógnitas e algún dos datos, mencionando á lei ou pincipio ao que se efien. 5. En caso de te algunha efeencia, ao temina de face os cálculos faase unha análise do esultado paa ve se é o espeado. En paticula, compoba que os vectoes campo gavitacional teñen a diección e o sentido acode co esbozo. 6. En moitos poblemas as cifas significativas dos datos son incoheentes. Resolvease o poblema supoñendo que os datos que apaecen con unha ou dúas cifas significativas teñen a mesma pecisión que o esto dos datos (polo xeal tes cifas significativas), e ao final faase un comentaio sobe as cifas significativas do esultado. ACLARACIÓNS Os datos dos enunciados dos poblemas non adoitan te un númeo adecuado de cifas significativas, ben poque o edacto pensa que a Física é unha ama das Matemáticas e os númeos enteios son númeos «exactos» (p. ex. a velocidade da luz: 3 10⁸ m/s ce que é , m/s) ou poque aínda non se decatou de que se pode usa calculadoa no exame e paécelle máis sinxelo usa 3 10⁸ que m/s). Po iso supuxen que os datos teñen un númeo de cifas significativas azoables, case sempe tes cifas significativas. Menos cifas daían esultados, en cetos casos, cunha inceteza desmedida. Así que cando tomo un dato como c = 3 10⁸ m/s e eescíboo como: Cifas significativas: 3 c = 3,00 10⁸ m/s O que queo indica é que supoño que o dato oixinal ten tes cifas significativas (non que as teña en ealidade) paa pode ealiza os cálculos cunha inceteza máis pequena que a que teía nese caso. (3 10⁸ m/s ten unha soa cifa significativa, e unha inceteza elativa do 30 %. Como as incetezas adóitanse acumula ao longo do cálculo, a inceteza final seía inadmisible. Entón, paa que ealiza os cálculos? Cunha estimación seía suficiente).

5 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 5 PROBLEMAS LEIS DE KEPLER 1. O peíodo de otación da ea aedo do Sol é un ano e o aio da óbita é 1,5 10¹¹ m. Se Xúpite ten un peíodo de apoximadamente 1 anos, e se o aio da óbita de Neptuno é de 4,5 10¹² m, calcula: a) O aio da óbita de Xúpite. b) O peíodo do movemento obital de Neptuno. (P.A.U. Set. 05) Rta.: a) = 7,8 10¹¹ m; b) 160 anos Datos Cifas signiffativas: Peíodo de otación da ea aedo do Sol ₁ = 1 ano = 3, 10⁷ s Raio da óbita teeste ₁ = 1,5 10¹¹ m Peíodo de otación de Xúpite aedo do Sol ₂ = 1 anos = 3,8 10⁸ s Raio da óbita de Neptuno ₃ = 4,5 10¹² m Infógnitas Raio da óbita de Xúpite ₂ Peíodo do movemento obital de Neptuno ₃ Efuafións 3ª lei de Keple Solufión: 1 = a) A 3ª lei de Keple di que os cadados dos peíodos de evolución dos planetas aedo do Sol son diectamente popocionais aos cubos dos aios das óbitas (apoximadamente ciculaes). Aplicando esta lei á ea e a Xúpite Raio da óbita de Xúpite: 1 = (1 [año]) (1, [ m]) =(1 [años]) 3 3 =1, [m] 3 1 =7, m Análise: O esultado está compendido ente as distancias Sol-ea e Sol-Neptuno, como se espeaba. ( (óbita ea) = 1,5 10¹¹ m) < ( (óbita Xúpite) = 7,8 10¹¹ m) < ( (óbita Neptuno) = 4,5 10¹² m) b) Aplicando a mesma lei á ea e a Neptuno Peíodo da óbita de Neptuno: (1 [ año]) (1, [m]) = 3 3 (4, [m]) 3 3 =1 [ año] 30 3 =1,6 10 años Análise: O peíodo obital calculado paa Neptuno é maio que o de Xúpite, como se espeaba. ( (obital Neptuno) = 1,6 10² anos) > ( (obital Xúpite) = 1 anos) Este poblema podeía esolvese como un poblema de satélites.

6 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 6 CAÍDA LIBRE 1. A masa da Lúa especto da ea é 0,0110 M e o seu aio é R / 4. Dado un copo cuxo peso na ea é 980 N (g₀ = 9,80 m/s²), calcula: a) A masa e o peso do copo na Lúa. b) A velocidade coa que o copo chega a supeficie luna se cae desde unha altua de 100 m. (P.A.U. Set. 04) Rta.: a) m = 100 kg; P L = 176 N; b) v = 18,7 m/s Datos Cifas signiffativas: 3 Masa da Lúa M L = 0,011 M Raio da Lúa R L = ¼ R Peso na ea P = 980 N Altua da que cae h = 100 m Valo da aceleación da gavidade na supefcie da ea g = 9,80 m/s² Infógnitas Masa do copo m Peso do copo na Lúa P L Velocidade coa que o copo chega a supefcie luna v Outos símbolos Constante da gavitación univesal G Masa da ea M Raio da ea R Efuafións Lei de Newton da gavitación univesal (foza que exece un planeta esféico sobe un copo puntual) F G =G M m Peso P = m g Enexía cinética E = ½ m v² Enexía potencial gavitacional (efeida ao chan, suposta g constante) Eₚ = m g h Solufión: a) Calcúlase a masa a pati da expesión do peso: m = P / g = 980 [N] / 9,80 [m/s²] = 100 kg O peso é a foza de atacción gavitacional dada pola lei de Newton da gavitación univesal. Na supefcie da ea, P =G M m R Na supefcie da Lúa, P L =G M L m R L Dividindo a segunda ente a pimeia: P L O peso na Lúa seá: P =G M L m / R L G M m /R =M L M R R = 0,011 M L M R (R /4) = 0,011 M M P L = 0,179 P = 0, [N] = 176 N R R /16 =0,011 16=0,179 Análise: O peso na Lúa é meno que na ea, como se espeaba. Nos execicios adoita usase a apoximación de que a aceleación da gavidade na Lúa é 1/6 da da ea. O valo obtido (0,179) coincide con 1/6, peo tas epasa as opeacións debemos concluí que os datos non ean tan pecisos como paecían, e que cando tomamos o aio da Lúa como un valo exacto, non tivemos en conta que só ea unha apoximación. O númeo de cifas signifcativas entón é unha e non tes. Nese caso, o esultado fnal é de 00 N, ou sexa 1/5 do da ea. b) Ao cae desde un punto de altua hₚ, póximo á supefcie da Lúa, a aceleación da gavidade pode considease constante. Se a única foza que ealiza taballo é a gavitacional, a enexía mecánica consévase.

7 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 7 (E + Eₚ)ₕ = (E + Eₚ)₀ A enexía potencial dun obxecto de masa m, que está a unha altua h, nas poximidades da Lúa, éxese po Eₚ = m g L h. Substituíndo, 0 + m g L h = ½ m v² + 0 v² = g L h O valo da gavidade na Lúa pode obtese do seu peso: g L = P L / m = 176 [N] / 100 [kg] = 1,76 m/s² A velocidade que alcanza un copo o cae desde unha altua h = 100 m ata o chan, na Lúa é v= g L h= 1,76 [ m/ s ] 100 [ m]=18,7 m/s LEI DA GRAVIACIÓN UNIVERSAL: SAÉLIES 1. A luz do Sol tada 5 10² s en chega á ea e,6 10³ s en chega a Xúpite. Calcula: a) O peíodo de Xúpite obitando aedo do Sol. b) A velocidade obital de Xúpite. c) A masa do Sol. Datos: (ea) aedo do Sol: 3,15 10⁷ s; c = 3 10⁸ m/s; G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ². (Supóñense as óbitas ciculaes) (P.A.U. Set. 1) Rta.: a) = 3,74 10⁸ s; v = 1,31 10⁴ m/s; b) M =,01 10³⁰ kg Datos Cifas signiffativas: 3 empo que tada a luz do Sol en chega á ea t₁ = 5,00 10² s = 500 s empo que tada a luz do Sol en chega a Xúpite t₂ =,60 10³ s Peíodo obital da ea aedo do Sol ₁ = 3,15 10⁷ s Velocidade da luz no baleio c = 3,00 10⁸ m/s Constante da gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Infógnitas Peíodo obital de Xúpite ₂ Velocidade obital de Xúpite v Masa do Sol M Outos símbolos Masa de Xúpite ou a ea m Distancia dun planeta ao Sol Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Solufión: Calcúlanse as distancias da ea ao Sol e de Xúpite ao Sol, tendo en conta a velocidade da luz. ea: ₁ = c t₁ = 3,00 10⁸ [m/s] 5,00 10² [s] = 1,50 10¹¹ m Xúpite: ₂ = c t₂ = 3,00 10⁸ [m/s],60 10³ [s] = 7,80 10¹¹ m Resólvese pimeio o apatado c) A velocidade da ea aedo do Sol calcúlase a pati do seu peíodo obital v= π = 3,14 1, [m] =, m /s 3, [s] A masa do Sol pode calculase da expesión da velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M:

8 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 8 v= M = v =(, [ m/s]) 1, [m] =, kg G 6, [ N m kg ] b) Aplicando a ecuación anteio paa calcula a velocidade de Xúpite, v= = 6, [ N m kg ], [kg ] =1, m /s=13,1 km /s 7, [ m] a) O peíodo calcúlase a pati da expesión da velocidade no movemento cicula unifome: = π v = 3,14 7, [ m] =3, s 1, [ m/s] Análise: A teceia lei de Keple di que os cadados dos peíodos son diectamente popocionais aos cubos dos aiovectoes que unen ao Sol cos planetas. A maio distancia ao Sol, maio peíodo. Este método daía: = =3, [s] (7, [ m]) 3 1 (1, [ m]) 3 =3, s. Un satélite atificial de 64,5 kg xia aedo da ea nunha óbita cicula de aio =,3 R. Calcula: a) O peíodo de otación do satélite. b) O peso do satélite na óbita. Datos: ea: g₀ = 9,80 m/s²; R = 6370 km (P.A.U. Xuño 05) Rta.: a) = 4 h 58 min.; b) Pₕ = 117 N Datos Cifas signiffativas: 3 Raio da ea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Raio da óbita =,3 R = 1,48 10⁷ m Aceleación da gavidade na supefcie da ea g₀ = 9,80 m/s² Masa do satélite m = 64,5 kg Infógnitas Peíodo de otación do satélite aedo da ea Peso do satélite na óbita = foza gavitacional que actúa sobe o satélite Pₕ Outos símbolos Masa da ea M Valo da velocidade do satélite na óbita aedo da ea v Constante da gavitación univesal G Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Relación ente a masa, a gavidade e o aio dun asto G M = g₀ R² Solufión: a) O aio da óbita vale: =,3 R = 1,48 10⁷ m A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo dun asto de masa M é: v= A velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo é: v= π satélite F G ea R Substituíndo esta expesión na anteio e elevando ao cadado queda

9 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 9 ( π ) = G M Ao non te a masa da ea substitúese G M po g₀ R². ( π ) = g 0 R Despéxase o peíodo e substitúense os datos = π 3 (1, [m]) 3 = 3,14 g 0 R 9,80 [ m/s ](6, [m]) =1, s=4 h 58 min Análise: Pola teceia lei de Keple, tamén aplicable a satélites que xian aedo dun asto, os cadados dos peíodos son diectamente popocionais aos cubos dos semieixes maioes das elipses, ou, se as taxectoias son ciculaes, aos aios das óbitas. O peíodo da Lúa, que está a uns 60 R é de 8 días. O peíodo deste satélite, que está a uns,4 R (5 veces meno) seía de 5³ 15 veces meno 0,5 días 6 hoas. b) Substituíndo G M po g₀ R² na expesión da foza gavitacional, (peso) P h =F G =G M m = g 0 R m = 9,80 [ m/s ](6, [m]) 64,5 [ kg] (1, [m]) =117 N Análise: O peso diminúe coa altua, sendo invesamente popocional ao cadado da distancia ao cento da ea. A unha distancia,4 R, o peso debeía se unhas,4² = 6 veces meno que no chan m g₀ = 63 N, ou sexa uns 100 N. 3. Un satélite atificial de 100 kg descibe óbitas ciculaes a unha altua de 6000 km sobe a supeficie da ea. Calcula: a) O tempo que tada en da unha volta completa. b) O peso do satélite a esa altua. Datos: ea: g₀ = 9,80 m/s²; R = 6400 km (P.A.U. Xuño 06) Rta.: a) = 3 h 48 min.; b) Pₕ = 61 N Datos Cifas signiffativas: 3 Raio da ea R = 6400 km = 6,40 10⁶ m Altua da óbita h = 6000 km = 6,00 10⁶ m Aceleación da gavidade na supefcie da ea g₀ = 9,80 m/s² Masa do satélite m = 100 kg Infógnitas empo que tada en da unha volta completa Peso do satélite a esa altua Pₕ Outos símbolos Masa da ea M Valo da velocidade do satélite na óbita aedo da ea v Constante da gavitación univesal G Raio da óbita Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Peso P = m g Relación ente a masa, a gavidade e o aio dun asto G M = g₀ R² Solufión: O aio da óbita vale:

10 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 10 = R + h = 6,40 10⁶ [m] + 6,00 10⁶ [m] = 1,4 10⁷ m A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= Ao non te a masa da ea substitúese G M po g₀ R². v= g 0 R = 9,80 [m /s ] (6, [ m]) =5, m/s 1, [ m] O peíodo calcúlase a pati da expesión da velocidade no movemento cicula unifome: = π v = 3,14 1,4 107 [ m] =1, s=3 h 48 min 5, [m /s] Análise: Pola lei de Keple, tamén aplicable a satélites que xian aedo dun asto, os cadados dos peíodos son diectamente popocionais aos cubos dos semieixes maioes das elipses, ou, se as taxectoias son ciculaes, aos aios das óbitas. O peíodo dun satélite de óbita baixa (h = 400 km) é de hoa e media. O aio da óbita deste satélite é apoximadamente o dobe, polo que o peíodo debeía se ³ 3 veces maio, dunhas cato hoas e media. b) Substituíndo G M po g₀ R², na expesión da foza gavitacional, (peso) P h =G M m = g R 0 m satélite = 4, [m 3 /s ] 100 [kg] (1, [m]) =61 N Análise: O peso diminúe coa altua, sendo invesamente popocional ao cadado da distancia ao cento da ea. A unha distancia R, o peso debeía se unhas ² = 4 veces meno que no chan m g₀ = 980 N, ou sexa uns 50 N. F G h R iea ób 4. A nave espacial Discovey, lanzada en outubo de 1998, descibía aedo da ea unha óbita cicula cunha velocidade de 7,6 km s ¹: a) A que altua sobe a supeficie da ea atopábase? b) Canto tempo tadaba en da unha volta completa? c) Cantos amencees vían cada 4 hoas os astonautas que ían no inteio da nave? Datos: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ²; R = 6370 km; M = 5,98 10²⁴ kg (P.A.U. Xuño 16) Rta.: a) h = 503 km; b) = 1 h 34 min; c) n = 15 Datos Cifas signiffativas: 3 Velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea. v = 7,6 km/s = 7,6 10³ m/s Raio da ea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Masa da ea M = 5,93 10²⁴ kg Constante da gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Infógnitas Altua da óbita h empo dunha volta completa Númeo de voltas en 4 hoas n Outos símbolos Masa do satélite m Raio da óbita Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π

11 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 11 Solufión: a) A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: Despéxase o aio da óbita v= = G M v = 6, [ m/s ] 5, [ m] (7, [m /s]) =6, m Calcúlase a altua a pati do aio da óbita e o aio da ea: h = R = 6,87 10⁶ [m] 6,37 10⁶ [m] = 5,0 10⁵ m = 500 km Análise: Espéase que a altua dun satélite en óbita baixa aedo da ea sexa aedo de 400 km. O esultado de 500 km está de acodo con esta suposición. b) O peíodo calcúlase a pati da expesión da velocidade no movemento cicula unifome: = π v = 3,14 6, [m ] =5, s=1 h 34 min 7, [m/ s] c) O númeo de amencees que ven os astonautas en 4 h é n= 4 h 1,57 h =15 5. Un satélite atificial de masa 10² kg xia aedo da ea a unha altua de 4 10³ km sobe a supeficie teeste. Calcula: a) A súa velocidade obital, aceleación e peíodo, suposta a óbita cicula. b) Acha o módulo do momento angula do satélite especto do cento da ea. c) Enuncia as leis de Keple. Datos: R = 6,37 10⁶ m; g₀ = 9,81 m/s² (P.A.U. Set. 16) Rta.: a) v = 6,0 km/s; = h 55 min; a = 3,70 m/s²; b) L O = 6,45 10¹² kg m²/s Datos Cifas signiffativas: 3 Raio da ea R = 6,37 10⁶ m Altua da óbita h = 4,00 10³ km = 4,00 10⁶ m Aceleación da gavidade na supefcie da ea g₀ = 9,81 m/s² Masa do satélite m = 100 kg Infógnitas Valo da velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea v Peíodo de otación do satélite aedo da ea Valo da aceleación do satélite a Módulo do momento angula do satélite especto do cento dela ea L O Outos símbolos Constante da gavitación univesal G Masa da ea M Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Lei de Newton da gavitación univesal (foza que exece un planeta esféico sobe un copo puntual) F G =G M m Relación ente a masa, a gavidade e o aio dun asto G M = g₀ R²

12 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 Solufión: a) O aio da óbita vale: = R + h = 6,37 10⁶ [m] + 4,00 10⁶ [m] = 1,06 10⁷ m A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= Ao non te a masa da ea substitúese G M po g₀ R². v= g 0 R = 9,81 [m /s ] (6, [m]) =6, m/s=6,0 km /s 1, [ m] Análise: Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade duns poucos km/s. O esultado de 6,0 km/s está de acodo con esta suposición. O peíodo calcúlase a pati da expesión da velocidade no movemento cicula unifome: = π v = 3,14 1, [m] =1, s= h 55 min 6, [m/ s] Análise: O peíodo dun satélite en óbita baixa ( km) é de hoa e media. O valo obtido é maio, poque a altua da óbita 4000 km tamén o é. A única foza que actúa sobe o astonauta é o seu peso, ou sexa, a atacción gavitacional da ea. Pola lei de Newton da gavitación univesal, na óbita de aio : F =G M m = g 0 R m A aceleación seá a= F m = g 0 R = 9,81 [ m/s ] (6, [m]) (1, [ m]) =3,70 m/s b) O momento angula L O dunha patícula de masa m que se move cunha velocidade v especto dun punto O que se toma como oixe é: L O = m v O módulo do momento angula do satélite especto ao cento da ea é: L O = m v sen α = 1,06 10⁷ [m] 100 [kg] 6,0 10³ [m/s] sen 90 = 6,45 10¹² kg m²/s c) As leis de Keple poden enunciase así: 1ª lei: Os planetas móvense en óbitas elípticas aedo do Sol que ocupa un dos focos da elipse. ª lei: O aiovecto que une o Sol cun planeta vae áeas iguais en tempos iguais. 3ª lei: Os cadados dos peíodos dos planetas aedo do Sol son diectamente popocionais aos cubos dos semieixes maioes das elipses. ENERXÍA POENCIAL 1. Un satélite atificial de 500 kg descibe unha óbita cicula aedo da ea cun aio de 10⁴ km. Calcula: a) A velocidade obital e o peíodo. b) A enexía mecánica e a potencial. c) Se po ficción pédese algo de enexía, que lle ocoe ao aio e á velocidade? Datos g₀ = 9,8 m/s²; R = 6370 km (P.A.U. Set. 10) Rta.: a) v = 4,46 km/s; = 7 h 50 min; b) E = -4,97 10⁹ J; Eₚ = -9,94 10⁹ J

13 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 13 Datos Cifas signiffativas: 3 Masa do satélite m = 500 kg Raio da óbita =,00 10⁴ km =,00 10⁷ m Aceleación da gavidade na supefcie da ea g₀ = 9,80 m/s² Raio da ea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Infógnitas Valo da velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea v Peíodo obital do satélite Enexía mecánica do satélite en óbita E Enexía potencial do satélite en óbita Eₚ Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Relación ente a masa, a gavidade e o aio dun asto G M = g₀ R² Enexía cinética E = ½ m v² Enexía potencial gavitacional (efeida ao infnito) E p = G M m Enexía mecánica E = E + Eₚ Solufión: a) A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= Ao non te a masa da ea substitúese G M po g₀ R². v= g 0 R = 9,80 [m /s ] (6, [ m]) =4, m/s=4,46 km /s, [m] Análise: Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade duns poucos km/s. O esultado de 4,46 km/s está de acodo con esta suposición. O peíodo calcúlase a pati da expesión da velocidade no movemento cicula unifome: = π v = 3,14, [m] =, s=7 h 50 min 4, [m /s] b) A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial. A enexía potencial vale: E p = G M m = 9,80 [m/s ] (6, [m]) 500 [ kg] = 9, J, [ m] A enexía cinética é E = m v² / = 500 [kg] (4,46 10³ [m/s])² / = 4,97 10⁹ J A enexía mecánica é E = E + Eₚ = 4,97 10⁹ [J] + (-9,94 10⁹ [J]) = -4,97 10⁹ J Análise: A enexía mecánica vale a metade da enexía potencial como se ve no apatado seguinte.

14 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 14 c) A enexía mecánica pódese expesa en función do aio da óbita. Substituíndo v² po G M / na expesión da enexía mecánica, queda E=E c +E p = 1 m v G M m = 1 G M m G M m = 1 G M m Se diminúe a enexía mecánica, (é máis negativa), o aio da óbita tamén se fai máis pequeno, polo que o satélite achégase á supefcie da ea. A velocidade, pola conta, aumentaá, pois a súa elación co aio é v= Canto máis pequeno é o aio da óbita máis gande é a súa velocidade. Análise: É o mesmo que lle ocoe a calquea copo que se move peto da supefcie da ea. Ao pede enexía pede altua, e cae caa ao chan, gañando velocidade.. Un satélite atificial de 500 kg de masa xia nunha óbita cicula a 5000 km de altua sobe a supeficie da ea. Calcula: a) A súa velocidade obital. b) A súa enexía mecánica na óbita. c) A enexía que hai que comunicalle paa que, patindo da óbita, chegue ao infinito. Datos: R = 6370 km; g₀ = 9,8 m s ² (P.A.U. Set. 15) Rta.: a) v = 5,91 km/s; b) E = -8,74 10⁹ J; c) ΔE = 8,74 10⁹ J Datos Cifas signiffativas: 3 Masa do satélite m = 500 kg Altua da óbita h = 5000 km = 5,00 10⁶ m Aceleación da gavidade na supefcie da ea g₀ = 9,80 m/s² Raio da ea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Infógnitas Velocidade obital v Enexía mecánica do satélite en óbita E Enexía que hai que comunicalle paa que chegue ao infnito ΔE Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Relación ente a masa, a gavidade e o aio dun asto G M = g₀ R² Enexía cinética E = ½ m v² Enexía potencial gavitacional (efeida ao infnito) E p = G M m Enexía mecánica E = E + Eₚ Solufión: a) O aio da óbita é: = R + h = 6,37 10⁶ [m] + 5,00 10⁶ [m] = 11,37 10⁶ m A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v=

15 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 15 Ao non te a masa da ea substitúese G M po g₀ R². v= g 0 R = 9,80 [m /s ] (6, [ m]) =5, m/ s=5,91 km /s 11, [ m] Análise: Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade duns poucos km/s. O esultado de 5,91 km/s está de acodo con esta suposición. b) A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial. A enexía potencial vale: A enexía cinética é A enexía mecánica é E p = G M m = g 0 R m = 9,80 [ m/s ] (6, [m]) 500 [ kg] = 1, , [m] E = m v² / = 500 [kg] (5,91 10³ [m/s])² / = 8,74 10⁹ J E = E + Eₚ = 8,74 10⁹ [J] + (-17,5 10⁹ [J]) = -8,74 10⁹ J Análise: A enexía mecánica ten o valo oposto ao da enexía cinética c) A enexía potencial no infnito é nula po defnición. Supoñendo que chega ao infnito con velocidade nula, a enexía que teá no infnito seá nula. A enexía que hai que comunicalle é: ΔE = E( ) E(óbita) = 0 (-8,74 10⁹ J) = 8,74 10⁹ J J 3. Deséxase poñe en óbita un satélite de 1800 kg que xie a azón de 1,5 voltas po día. Calcula: a) O peíodo do satélite. b) A distancia do satélite á supeficie teeste. c) A enexía cinética do satélite nesa óbita. Datos: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ²; R = 6378 km; M = 5,98 10²⁴ kg (P.A.U. Set. 09) Rta.: a) = 1 h 55 min; b) h = 1470 km; c) E = 4,58 10¹⁰ J Datos Cifas signiffativas: 3 Raio da ea R = 6378 km = 6,38 10⁶ m Fecuencia de xio do satélite na óbita aedo da ea. f = 1,5 voltas/día = 1,45 10 ⁴ s ¹ Constante da gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Masa da ea M = 5,98 10²⁴ kg Masa do satélite m = kg Infógnitas Peíodo do satélite Distancia do satélite á supefcie teeste (altua de óbita) h Enexía cinética do satélite na óbita E Outos símbolos Raio da óbita Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Enexía cinética E = ½ m v² Solufión: a) O peíodo é a invesa da fecuencia:

16 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 16 = 1 f = 1 1, [s 1 ] =6, s=1,9 h=1 h 55 min b) A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= A velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo é: v= π Substituíndo esta expesión na anteio e elevando ao cadado queda ( π ) = G M Despexando o aio da óbita e substituíndo valoes, A altua é: 6,67 = 3 G M 4 π = [ N m kg ] 5, [ kg] (6, [s]) =7, m 4 π h = R = 7,84 10⁶ [m] - 6,38 10⁶ [m] = 1,47 10⁶ m = 1470 km c) A velocidade do satélite na súa óbita é: A enexía cinética é: v= π 3,14 7, [m] =7, m /s 6, [s] E = m v² / = 1,80 10³ [kg] (7,13 10³ [m/s])² / = 4,58 10¹⁰ J 4. Os satélites Meteosat son satélites xeoestacionaios (situados sobe o ecuado teeste e con peíodo obital dun día). Calcula: a) A altua á que se atopan, especto da supeficie teeste. b) A foza execida sobe o satélite. c) A enexía mecánica. Datos: R = 6,38 10⁶ m; M = 5,98 10²⁴ kg; m = 8 10² kg; G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² (P.A.U. Set. 08) Rta.: a) h = 3,59 10⁷ m; b) F = 179 N ; c) E = 3,78 10⁹ J; Eₚ = -7,56 10⁹ J; E = -3,78 10⁹ J Datos Cifas signiffativas: 3 Satélite xeoestacionaio (peíodo igual ao da ea) = 4 h = 8,64 10⁴ s Constante da gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Masa da ea M = 5,98 10²⁴ kg Masa do satélite m = 8,00 10² kg Raio da ea R = 6,38 10⁶ m Infógnitas Altua do satélite h Foza sobe o satélite F Enexías cinética, potencial e total do satélite en óbita E, Eₚ, E Outos símbolos Raio da óbita Valo da velocidade do satélite na óbita xeoestacionaia v

17 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 17 Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Peso P = m g Enexía cinética E = ½ m v² Enexía potencial gavitacional (efeida ao infnito) E p = G M m Solufión: a) A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= A velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo é: v= π Substituíndo esta expesión na anteio e elevando ao cadado queda ( π ) = G M Despexando o aio da óbita e substituíndo valoes, A altua é: = 3 G M = 3 6, [ N m kg ] 5, [kg](8, [ s]) =4, m 4 π 4 3,14 h = R = 4,3 10⁷ 6,38 10⁶ = 3,59 10⁷ m b) A foza que exece a ea sobe o satélite é a foza gavitacional. F G =G M m = 6, [ N m kg ] 5, [ kg] 800 [kg ] (4, [m ]) =179 N Análise: O peso diminúe coa altua, sendo invesamente popocional ao cadado da distancia ao cento da ea. A unha distancia 7 R, o peso debeía se unhas 7² 50 veces meno que no chan m g₀ 8 10³ N, ou sexa uns 160 N. c) A enexía potencial é E p = G M m = 6, [ N m kg ] 5, [ kg] 800 [kg ] = 7, J 4, [m] Substituíndo v² po G M / na expesión da enexía cinética, queda E c = 1 mv = 1 G M m = 3,78 10⁹ J A enexía cinética é a metade e de signo contaio que a enexía potencial. A enexía (mecánica) total é a suma das enexías cinética e potencial, e vale o mesmo que a enexía cinética, peo é negativa. E = E + Eₚ = 3,78 10⁹ [J] 7,56 10⁹ [J] = -3,78 10⁹ J

18 Física P.A.U. GRAVIACIÓN Un satélite atificial de 00 kg descibe unha óbita cicula a unha altua de 650 km sobe a ea. Calcula: a) O peíodo e a velocidade do satélite na óbita. b) A enexía mecánica do satélite. c) O cociente ente os valoes da intensidade de campo gavitacional teeste no satélite e na supeficie da ea. Datos: M = 5,98 10²⁴ kg; R = 6,37 10⁶ m; G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² (P.A.U. Set. 11) Rta.: a) v = 7,54 km/s; = 1 h 38 min; b) E = -5,68 10⁹ J; c) gₕ/g₀ = 0,84 Datos Cifas signiffativas: 3 Masa do satélite m = 00 kg Altua da óbita h = 650 km = 6,50 10⁵ m Masa da ea M = 5,98 10²⁴ kg Raio da ea R = 6,37 10⁶ m Constante da gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Infógnitas Valo da velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea v Peíodo obital do satélite Enexía mecánica do satélite en óbita E Cociente ente os valoes de g no satélite e na supefcie da ea. gₕ/g₀ Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Enexía cinética E = ½ m v² Enexía potencial gavitacional (efeida ao infnito) E p = G M m Enexía mecánica E = E + Eₚ Intensidade do campo gavitacional teeste a unha distancia do cento Solufión: a) O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula de aio = R + h = 6,37 10⁶ [m] + 6,50 10⁵ [m] = 7,0 10⁶ m g = F G m =G M A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= = 6, [ N m kg ] 5, [ kg] =7, m/s=7,54 km /s 7, [m] Análise: Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade duns poucos km/s. O esultado está de acodo con esta suposición. O peíodo calcúlase a pati da expesión da velocidade no movemento cicula unifome: = π v = 3,14 7,0 106 [ m] =5, s=1 h 38 min 7, [m/ s] b) A enexía potencial vén dada po: E p = G M m = 6, [ N m kg ] 5, [ kg] 00 [kg ] = 1, , [ m] J

19 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 19 A enexía cinética vale: E = m v² / = [00 [kg] (7,54 10³ [m/s])²] / = 5,68 10⁹ J A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial: E = E + Eₚ = 5,68 10⁹ [J] + (- 1,14 10¹⁰ [J]) = -5,68 10⁹ J Análise: A enexía mecánica ten o valo oposto ao da enexía cinética c) A intensidade do campo gavitacional nun punto que dista do cento da ea é a foza sobe a unidade de masa situada nese punto. g = F G m A gavidade a unha altua h vale: g h =G M (R +h) Na supefcie da ea vale: g 0 =G M R Dividindo a pimeia ente a segunda queda: M m / =G =G M m g h G M /(R +h) = = R =(6, [m]) g 0 G M / R (R +h) (7, [m]) =0,84 6. Un satélite de 00 kg descibe unha óbita cicula a 600 km sobe a supeficie teeste: a) Deduce a expesión da velocidade obital. b) Calcula o peíodo de xio. c) Calcula a enexía mecánica. Datos: R = 6400 km; g₀ = 9,81 m/s² (P.A.U. Xuño 13) Rta.: a) v= ; b) = 1 h 37 min; b) E = -5,74 10⁹ J Datos Cifas signiffativas: 3 Masa do satélite m = 00 kg Altua da óbita h = 600 km = 6,00 10⁵ m Raio da ea R = 6400 km = 6,40 10⁶ m Aceleación da gavidade na supefcie da ea g₀ = 9,81 m/s² Infógnitas Velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea v Peíodo obital do satélite Enexía mecánica do satélite en óbita E Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo Lei de Newton da gavitación univesal (foza que exece un planeta esféico sobe un copo puntual) v= π F G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de aio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Peso P = m g Enexía cinética E = ½ m v²

20 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 0 Lei de Newton da gavitación univesal (foza que exece un planeta esféico sobe un copo puntual) Enexía potencial gavitacional (efeida ao infnito) F G =G M m E p = G M m Enexía mecánica E = E + Eₚ Solufión: a) O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula de aio = R + h = 6,40 10⁶ [m] + 6,00 10⁵ [m] = 7,00 10⁶ m A foza gavitacional F G que exece o asto de masa M sobe un satélite de masa m que xia aedo del nunha óbita de aio está diixida caa ao asto, é unha foza cental, e éxese pola lei de Newton da gavitación univesal: F G = G M m En moitos casos a taxectoia do satélite é pacticamente cicula aedo do cento do asto. Como a foza gavitacional é unha foza cental, a aceleación só ten compoñente nomal. Ao non te aceleación tanxencial, o módulo da velocidade é constante e o movemento é cicula unifome. O valo da aceleación nomal nun movemento cicula unifome obtense da expesión a N = v A ª lei de Newton di que a foza esultante sobe un obxecto poduce unha aceleación diectamente popocional á foza. F = m a Como a foza gavitacional que exece o asto sobe o satélite é moito maio que calquea outa se pode considea que é a única foza que actúa. A ª lei de Newton, expesada paa os módulos, queda u F = F G =m a =m a N =m v A expesión do módulo F G da foza gavitacional, queda Despexando a velocidade obital do satélite, queda G M m =m v v= Como non se teñen os datos da masa da ea nin da constante da gavitación univesal, necesítase atopa unha elación ente elas e o aio da ea. Esta elación obtense igualando o peso dun obxecto coa foza gavitacional sobe el na supefcie da ea. v= g 0 R m g 0 =G M m R G M = g₀ R² = 9,81 [ m/s ] (6, [m]) =7, m/s=7,58 km /s 7, [ m] Análise: Espéase que un satélite en óbita aedo da ea teña unha velocidade duns poucos km/s. O esultado está de acodo con esta suposición. Especifcamente o enunciado do poblema non pide que se calcule a velocidade, peo mello é calculala. Ademais, vaise necesita no cálculo do peíodo obital.

21 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 b) O peíodo calcúlase a pati da expesión da velocidade no movemento cicula unifome: = π v = 3,14 7, [m] =5, s=1 h 37 min 7, [m/s] c) Enexía potencial: Enexía cinética: E p = G M m = 9,81 [m /s ] (6, [m]) 00 [ kg] = 1, J 7, [ m] E = m v² / = 00 [kg] (7,58 10³ [m/s])² = 5,74 10⁹ J A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial: E = E + Eₚ = 5,74 10⁹ [J] 1,15 10¹⁰ [J] = -5,8 10⁹ J Análise: Pódese demosta que a enexía mecánica ten o valo oposto ao da enexía cinética substituíndo G M / po v² na expesión da enexía mecánica: E=E c +E P = 1 m v G M m = 1 m v m v = 1 m v = E c Sabendo isto, pódese escibi o valo da enexía mecánica con tes cifas signifcativas, en vez das dúas cifas do esultado anteio obtido seguindo as egas de opeacións con cifas signifcativas : E = -5,74 10⁹ J 7. Deséxase poñe un satélite de masa 10³ kg en óbita aedo da ea e a unha altua dúas veces o aio teeste. Calcula: a) A enexía que hai que comunicalle desde a supeficie da ea. b) A foza centípeta necesaia paa que desciba a óbita. c) O peíodo do satélite en devandita óbita. Datos: R = 6370 km; g₀ = 9,8 m/s² (P.A.U. Set. 13) Rta.: a) E = 5,0 10¹⁰ J; b) F = 1,09 10³ N; c) = 7 h 19 min Datos Cifas signiffativas: 3 Masa do satélite m = 10³ kg = 1,00 10³ kg Raio da ea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Altua da óbita h = 6370 km = 1,7 10⁷ m Aceleación da gavidade na supefcie da ean (en inglés) g₀ = 9,80 m/s² Infógnitas Enexía que hai que comunicalle desde a supefcie da ea E Foza centípeta necesaia paa que desciba a óbita F Peíodo obital do satélite Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Relación ente a masa, a gavidade e o aio dun asto G M = g₀ R² Enexía cinética E = ½ m v² Enexía potencial gavitacional (efeida ao infnito) E p = G M m Enexía mecánica E = E + Eₚ

22 Física P.A.U. GRAVIACIÓN Solufión: a) A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial. A expesión da enexía potencial é: E p = G M m Ao non te a masa da ea substitúese G M po g₀ R². E p = G M m Suponse que na supefcie da ea o satélite está en epouso ª, polo que só ten enexía potencial, que vale: Eₚ(chan) = G M m R = g 0 R m = g R 0 R m= 9,80 [m /s ] 6, [ m] 1, [ kg]= 6, J O aio dunha óbita cicula a unha altua dúas veces o aio teeste é A enexía potencial na óbita é: Eₚ(óbita) = G M m = R + h = R + R = 3 R = 3 6,37 10⁶ [m] = 1,91 10⁷ m = g 0 R m 3 R = g 0 R m = E p s 3 = 6, J =, J 3 3 Paa calcula a enexía cinética na óbita necesitamos calcula a velocidade obital. A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= Substitúese G M po g₀ R² na ecuación da velocidade, e queda v= = g 0 R g 0 R 3 R = g 0 R 3 = 9,80 [ m/s ] 6, [m] =4, m/ s=4,56 km /s 3 Análise: Espéase que un satélite en óbita aedo da ea teña unha velocidade duns poucos km/s. O esultado está de acodo con esta suposición. A enexía cinética en óbita é: A enexía mecánica en óbita valeá E (óbita) = m v² / = [1,00 10³ [kg] (4,56 10³ [m/s])²] / = 1,04 10¹⁰ J E(óbita) = E (óbita) + Eₚ(óbita) = 1,04 10¹⁰ [J] + (-,08 10¹⁰ [J]) = -1,04 10¹⁰ J Análise: A enexía mecánica ten o valo oposto ao da enexía cinética A enexía que hai que comunicalle ao satélite na supefcie da ea é a difeenza ente a que teá en óbita e a que ten no chan: E = E(óbita) E(chan) = -1,04 10¹⁰ (-6,4 10¹⁰ J) = 5,0 10¹⁰ J b) A foza centípeta é: F =m a N =m v =m g 0 R 3 3 R = m g 0 9 = 1, [ kg] 9,80 [ m/s ] =1, N 9 ª Paa un sistema de efeencia no cento da ea, calquea punto da supefcie ten velocidade debido á otación teeste. A velocidade dun punto da supefcie teeste vale: v = ω R = π R / = 463 m/s. Paa un obxecto de 1000 kg, a enexía cinética seía E = ½ m v² = 1,07 10⁸ J moito meno que o valo absoluto da enexía potencial (6,4 10¹⁰ J)

23 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 3 c) O peíodo calcúlase a pati da expesión da velocidade no movemento cicula unifome: = π v = 3,14 1, [m] =, s=7 h 18 min 7, [m/s] 8. Cees é o planeta anano máis pequeno do sistema sola e ten un peíodo obital aedo do Sol de 4,60 anos, unha masa de 9,43 10²⁰ kg e un aio de 477 km. Calcula: a) O valo da intensidade do campo gavitacional que Cees cea na súa supeficie. b) A enexía mínima que ha de te unha nave espacial de 1000 kg de masa paa que, saíndo da supeficie, poida escapa totalmente da atacción gavitacional do planeta. c) A distancia media ente Cees e o Sol, tendo en conta que a distancia media ente a ea e o Sol é de 1,50 10¹¹ m e que o peíodo obital da ea aedo do Sol é dun ano. Dato: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² (P.A.U. Set. 14) Rta.: a) g = 0,77 m/s²; b) E = 1,3 10⁸ J; c) = 4,15 10¹¹ m Datos Cifas signiffativas: 3 Peíodo obital de Cees ₁ = 4,60 anos = 1,45 10⁸ s Masa de Cees M = 9,43 10²⁰ kg Raio de Cees R = 477 km = 4,77 10⁵ m Masa da nave espacial m = 1000 kg Distancia da ea ao Sol ₂ = 1,50 10¹¹ m Peíodo obital da ea ₂ = 1,00 anos = 3,16 10⁷ s Constante da gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Infógnitas Intensidade do campo gavitacional na supefcie de Cees g Enexía da nave espacial na supefcie de Cees paa escapa E Distancia media ente Cees e o Sol ₁ Outos símbolos Masa do Sol M Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Lei de Newton da gavitación univesal (foza que exece un planeta esféico sobe un copo puntual) F G =G M m Enexía cinética E = ½ m v² Enexía potencial gavitacional (efeida ao infnito) E p = G M m Enexía mecánica E = E + Eₚ Solufión: a) A intensidade do campo gavitacional ceado pola masa esféica M do planeta (anano) Cees na súa supefcie, a unha distancia R do seu cento é a foza gavitacional sobe a unidade de masa: g = F G M m G m = R m =G M R =6, [N m kg 9, [kg ] ] =0,77 m (4, /s [ m]) b) A enexía potencial da nave espacial na supefcie de Cees valeá: E p = G M m = 6, [N m kg ] 9, [kg ] 1000 [kg ] = 1, [ J] 4, [ m]

24 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 4 A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial. A enexía potencial da nave espacial a unha distancia moi gande de Cees seá nula. A enexía mínima que ha de te na supefcie seá a que coesponde a unha enexía cinética nula moi lonxe de Cees. Po tanto a enexía mecánica que teá a nave espacial moi lonxe de Cees seá nula. A enexía que ha te seá: ΔE = E Eₚ = 0 (-1,3 10⁸ [J]) = 1,3 10⁸ J c) anto a ea como Cees desciben taxectoias apoximadamente ciculaes aedo do Sol, podéndose considea satélites do mesmo. A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= A velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo é: v= π Substituíndo esta expesión na anteio e elevando ao cadado queda ( π ) = G M Reodenando 3 = G M 4 π Aplicando esta ecuación tanto á ea como a Cees e dividindo unha ente a outa quedaía a teceia lei de Keple Aplicando esta lei ente a ea e Cees A distancia media de Cees ao Sol vale = (4,60 [ año]) = (1, [m ]) 3 (1 [ año]) 1 =1, [m] 3 4,60 =4, m Análise: O aio calculado da óbita de Cees sae maio que o da ea, como é de espea. (₁ = 4,15 10¹¹ m) > (₂ = 1,50 10¹¹ m) 9. O vehículo espacial Apolo VIII estivo en óbita cicula aedo da Lúa a 113 km sobe a súa supeficie. Calcula: a) O peíodo da óbita. b) As velocidades lineal e angula do vehículo. c) A velocidade de escape á atacción luna desde esa posición. Datos: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ²; R(Lúa) = 1740 km; M(Lúa) = 7,36 10²² kg (P.A.U. Xuño 15) Rta.: a) = 1 h 59 min; b) v = 1,63 km/s; ω = 8,79 10 ⁴ ad/s; c) vₑ =,38 km/s Datos Cifas signiffativas: 3 Masa da Lúa M = 7,36 10²² kg Raio da Lúa R = 1740 km = 1,74 10⁶ m Altua da óbita h = 113 km = 1,13 10⁵ m Constante da gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ²

25 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 5 Infógnitas Peíodo da óbita Valo da velocidade lineal do satélite v Velocidade angula do satélite ω Velocidade de escape na Lúa vₑ Outos símbolos Masa do satélite m Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Enexía cinética dun obxecto de masa m que se move á velocidade v E = ½ m v² Enexía potencial gavitacional dun obxecto de masa m situado a unha distancia do cento dun asto de masa M (efeida ao infnito) p = G M m E Enexía mecánica E = E + Eₚ Solufión: b) O aio da óbita do Apolo VIII é: = R + h = 1,74 10⁶ [m] + 1,13 10⁵ [m] = 1,85 10⁶ m A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= = 6, [ N m kg ] 7,36 10 [kg ] =1, m/s=1,63 km /s 1, [ m] a) O peíodo calcúlase a pati da expesión da velocidade no movemento cicula unifome: b) A velocidade angula é = π v = 3,14 1, [m] =7, s=1 h 59 min 1, [ m/s] ω = π = 3,14 7, [s] =8, ad/s c) A velocidade de escape é a velocidade mínima que hai que comunicalle a un obxecto en epouso sobe a supefcie da Lúa paa que chegue a unha distancia «infnita» do cento da Lúa. Despezando as inteaccións dos demais obxectos celestes e tendo en conta que a foza gavitacional é unha foza consevativa, aplícase o pincipio de consevación da enexía mecánica ente a supefcie da Lúa e o infnito. (E + Eₚ) L = (E + Eₚ) Ao se a velocidade de escape unha velocidade mínima, tómase que o obxecto chega ao infnito con velocidade nula. Como a oixe de enexía potencial gavitacional está no infnito, a enexía potencial gavitacional dun obxecto no infnito é nula. 1 m v e+( G M m R ) =0 Despexando a velocidade de escape vₑ v e = G M R = 6, [N m kg ] 7,36 10 [ kg] 1, [ m] =, m /s=,38 km/ s 10. As elacións ente as masas e os aios da ea e a Lúa son: M /M L = 79,63 e R /R L = 3,66. a) Calcula a gavidade na supeficie da Lúa.

26 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 6 b) Calcula a velocidade dun satélite xiando aedo da Lúa nunha óbita cicula de 300 km de aio. c) Onde é maio o peíodo dun péndulo de lonxitude L, na ea ou na Lúa? Datos: g₀ = 9,80 m/s²; R L = 1700 km (P.A.U. Xuño 10) Rta.: a) g L = 1,65 m/s²; b) v = 1,44 km/s Datos Cifas signiffativas: 3 Relación ente as masas da ea e da Lúa M /M L = 79,63 Relación ente os aios da ea e da Lúa R /R L = 3,66 Aceleación da gavidade na supefcie da ea g₀ = 9,80 m/s² Raio da óbita do satélite aedo da Lúa = 300 km Raio da Lúa R = 1700 km Constante da gavitación univesal G Infógnitas Gavidade na supefcie da Lúa g L Velocidade do satélite aedo da Lúa v Efuafións Velocidade dun satélite a unha distancia do cento dun asto de masa M v= Velocidade nun movemento cicula unifome de aio e peíodo v= π Peso P = m g Relación ente a masa, a gavidade e o aio dun asto G M = g₀ R² Peíodo dun péndulo simple de lonxitude L nun punto onde a aceleación da gavidade é g = π L g Solufión: a) O peso dun obxecto peto da supefcie da ea é a foza coa que a ea o atae: m g =G M m R Analogamente, o peso dun obxecto peto da supefcie da Lúa é a foza coa que a Lúa o atae: m g L =G M L m R L Dividindo a pimeia ecuación ente a segunda, queda: m g = m g L G M m R G M L m R L Despexando g g L = M / M L (R / R L ) =79,63 3,66 =5,94 g L = 1,65 m/s² Análise: O esultado é azoable, xa que sabemos que a gavidade na supefcie da Lúa é unhas 6 veces meno que na supefcie da ea. b) A velocidade dun satélite que xia a unha distancia aedo do cento dun asto de masa M é: v= Ao non te a masa da ea substitúese G M po g₀ R².