MATEMÁTICA 4 Volume 1 RESOLUÇÕES EXERCITANDO EM CASA

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1 MATEMÁTICA Volume 1 RESOLUÇÕES EXERCITANDO EM CASA AULA C A projeção ortogonal do ponto E é o centro do quadrado ABCD. A projeção do trajeto descrito por João vai do vértice A à projeção do ponto E, centro da figura, passando pelo ponto médio (M) do outro lado da base, seguindo até o vértice C, sempre em linha reta. 0. C O encosto e o assento da cadeira na vista lateral serão representados por um retângulo opaco. As pernas da cadeira, o espaço entre os braços da cadeira e o seu assento, serão representados por um retângulo vazado. Portanto, o esboço obtido é melhor representado pela figura a seguir: De B para D, a projeção será um segmento radial, no sentido da linha do equador. De D para C, a projeção será um segmento radial, no sentido do centro. 0. C Considere os seguintes pontos: B projeção do ponto B; D projeção do ponto D; C projeção do ponto C. A projeção do trajeto da pessoa, na base da pirâmide está representada na figura abaixo. 0. E Observe o globo visto de cima: 06. C Girando em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete. Observe: Sendo A e B pontos sobre o mesmo paralelo, a projeção de A para B será um arco de circunferência paralelo à linha do equador. Seja D o ponto da trajetória de B para C que pertence à linha do equador. Assim, pode-se dividir o segundo trajeto em duas partes: de B para D e de D para C. Percebemos que a decomposição do foguete da ponta para a cauda, é formada pela sequência de sólidos: Cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero.

2 07. D 08. E 0. B Na composição espacial do cubo, os vértices que coincidirão com o vértice V são e 6, logo o produto é B Na vista superior observamos duas esferas sobrepostas, uma menor e outra maior. Essa situação está representada somente na opção B. O caminho descrito pelo ponto P no plano do solo será um segmento de reta. 09. A Como em um compasso, o giro de um ponto em torno de outro é sempre um arco de circunferência. Como o ponto A gira duas vezes, a primeira vez em torno de C e a segunda vez em torno de B, sua trajetória será a união dos arcos de duas circunferências. Logo, somente as alternativas A) e B) podem estar certas. A alternativa B) é facilmente descartada, pois ao terminar o primeiro giro, o ponto A não fica sobre a reta que apoia o triângulo. Assim, a figura que aparece na alternativa A), sendo a união de dois arcos de circunferência de 10º, é a que representa a trajetória do ponto A. 10. B O efeito está melhor representado na alternativa B. 06. C A alternativa C é a única que apresenta um trapézio isósceles na lateral e um quadrado no fundo. 07. C Ao montar o cubo, a face branca e a face cinza ficam opostas; logo as alternativas A) e B) estão excluídas. As alternativas D) e E) estão excluídas, pois no cubo não podem aparecer um retângulo branco e outro cinza com um lado menor em comum. 08. E Cortando um canto do cubo, eliminamos um de seus vértices. Como cada vértice se liga a três arestas do cubo, uma representação do cubo cortado deve mostrar três cortes ao redor de um mesmo vértice. AULA 01. D O sólido formado será um prisma pentagonal. Logo, o número de arestas é igual a C Construindo o cubo, temos: 09. E Iniciando a planificação pela face ABFE e observando as coincidências entre as arestas, podemos concluir que a planificação correta é a apresentada na alternativa [E]. 10. E Portanto, as faces paralelas desse cubo são E-M, B-N e E-R. 0. C A planificação deve apresentar uma base e quatro meia laterais adjacentes pintadas, na visão tridimensional. A única alternativa que apresenta tal imagem é a alternativa [C]. D D 15 AULA 01. C No comprimento, conseguiremos colocar 5 caixas, na largura caixas e na altura caixas. Total de caixas 5 0 caixas. Número mínimo de viagens: 1

3 0. D Veja que precisamos dividir 8, 18 e 1 pelo mesmo número, e na maior quantidade possível. Devemos então calcular o MDC de 8, 18 e 1, que é 6. Logo: O lado que mede 8 cm será dividido em O lado que mede 18 cm será dividido em 18 6 O lado que mede 1 cm será dividido em 1 6 Total de cubos: C Total de pacotes por caixa. (largura) (comprimento) (altura) 8 pacotes Número de caixas ,5 Portanto, a empresa precisará de 1 pacotes. 0. A No comprimento conseguiremos colocar 8 doces, na largura doces e na altura doces. Total de doces No comprimento, conseguiremos colocar x cubos, na largura y cubos e na altura z cubos. Total de caixas x y z 50 cubos. Ao dobrarmos as dimensões internas conseguiremos colocar, no comprimento x cubos, na largura y cubos e na altura z cubos. Assim, o total de cubos será x y z 8 x y z E A área total da caixa será: A total ( ) cm 0,76 m. 07. C Área do corpo da caixa: A corpo cm Área da tampa da caixa: A tampa cm Área total cm 0,18 m. Para as caixas a empresa pagará: 0, R$ 00, A A área impermeabilizada será dada por: A 10 x x 1 x + 0 x 1 x 60 m. O fornecedor A vende lata de 10 L por R$ 100,00 cada. Logo, o número de latas será igual a: 60 6, e o custo será 6 x 100 R$.600, O fornecedor B vende lata de 15 L por R$ 15,00 cada. Logo, o número de latas será igual a: 60 17,. Como o número de latas é inteiro, 15 então o custo será 18 x 15 R$.610, C A área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é igual a 18 m, logo: (1 x) x 18 x + 1x 18 0 Dividindo-se os dois membros por ( ), obteremos: x 6x x m 10. E Área das paredes sem considerar portas e janela: A x,70 x + x,70 x 7,80 m. Descontando a área correspondente às portas e janela, teremos: Área 7,80 x 1,60,60 m. AULA 01. B Multiplicando as dimensões, temos o valor de seu volume em m. 0. D O volume pedido é dado por cm 0. E Se o volume da piscina olímpica é igual a m, e o volume da piscina original era m, então o resultado é % 88% E Seja V o volume real do armário. O volume do armário, no projeto, é 1 6 cm. Logo, temos 6 1 V cm V B Sendo a a aresta do cubo, temos: a 18 a 16 a D V volume do cubo maior volume do cubo menor V 1-8 V V D O volume total de petróleo contido no reservatório é igual a 60 x 10 x 10 6,0 x 10 m Desse volume, após o vazamento, restarão apenas ,8 10 m Em consequência, a resposta é 6,0 x 10,8 x 10, x 10 m 08. B Sendo a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de baixo mede.

4 Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos ( ) para despejar unidades de volume, + então ela levará 8 10 minutos para encher completamente o restante do depósito. 09. D O volume de água a ser escoado da câmara é de m. Logo, como a vazão de escoamento é.00 m por minuto, segue que uma embarcação leva cerca de minutos para descer do nível mais alto até o nível da jusante. 10. C Seja v o volume da mistura sabor morango que será colocado na embalagem. Tem-se que 1,5 ( v) v 600 cm AULA B Sendo a o comprimento das arestas da base e b a altura, pode-se escrever: Vantigo a b ( ) V a b V a b V V antigo 0. A O volume do silo que o agricultor possui é igual a L h m. Desse modo, o silo a ser comprado deverá ter volume igual a L h m. Portanto, dentre as opções apresentadas pelo fornecedor, a única que apresenta a capacidade desejada é o silo I. 0. B a 1.8 a cm Diâmetro da esfera 1 cm No comprimento do cubo podemos colocar esferas. Na largura do cubo podemos colocar esferas. Na altura do cubo podemos colocar esferas. Logo, o número de esferas será C cm cm cm O nível da água subiria.00 cm, 0 0 fazendo a água ficar com cm de altura. 05. A Lembrando que o volume de líquido deslocado é igual ao volume do corpo submerso, segue que o número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a 0 15 (10 6) D Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a Hcm. Agora, sabendo que as dimensões da nova lata são 5% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova lata, temos 5 16 h H h H h 6% H, 5 isto é, a altura da lata atual deve ser reduzida em 100% 6% 6%. 07. D Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espessura e a largura da porta original. Logo, segue que o volume da porta original é igual a x y z. 1 Aumentando-se em a altura da porta e 8 preservando a espessura, deve-se ter, a fim de manter o custo com o material, 9x 8z y z1 x y z z 1, 8 9 com z 1 sendo a largura da nova porta. 1 Portanto, a razão pedida é z 8. z C O volume do castelo corresponde ao volume da coluna de água que subiu. Portanto: V 1 dm x 6 dm x 1,5 dm 108 dm 09. A A caixa terá as seguintes dimensões após a montagem: Comprimento: 0 x Largura: x Altura: x Assim, seu volume será dado por: (0 x) (-x) x ( x 108x + 70) x. 10. D 1 o momento: As duas torneiras retiram água da parte superior do cubo (acima da torneira A) Volume (capacidade) acima da torneira A: 1 m x 1 m x 60 cm 10 dm x 10 dm x 6 dm 600 dm, equivalem a 600 litros. Vazão das torneiras A e B juntas: litros/minuto. Tempo: 600 : 0 0 minutos para esvaziar a parte superior. Ainda restam 15 minutos de torneiras abertas.

5 o momento: Volume (capacidade) abaixo da torneira A: 1 m x 1 m x 0 cm 10 dm x 10 dm x dm 00 dm, equivalem a 00 litros. Vazão da torneira B: 10 litros/minuto. Tempo aberta: 15 minutos Quantidade retirada: 15 x litros. Restou: litros ou 50 dm Logo, 1 m x 1 m x k 50 dm 10 dm x 10 dm 50 dm K,5 dm ou 5 cm (altura da água restante), logo a altura da água que foi retirada equivale a 75 cm. AULA E V Vmaior Vmenor V D A área da base da coluna de concreto é dada pela área do triângulo equilátero de lado 1 m. Assim, l 1 Ab Ab m O volume gasto de concreto em uma coluna será: V A b x H x 10 m. O volume das dez colunas será: V 10 x x 10 5 x 1,7,5 m. Pode-se calcular a área de cada um dos hexágonos regulares (maior e menor), por: 6L Shex.reg 6 8 Shex.maior Shex.maior Shex.menor Shex.menor 5 Assim, a área S da base será: Sbase Shex.maior Shex.menor Sbase 96 5 Sbase Por fim, pode-se calcular o volume total da peça, em cm : Vpeça Sbase h Vpeça 5 Vpeça.99 cm 06. C O sólido indicado é um prisma reto triangular, cujo volume é igual a A Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a 5m. Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5 m x 0 m serão cobertas por telhas, segue que o resultado pedido é dado por D Logo, o custo do concreto será:,5 x 00 R$ 8.500,00 0. C O sólido sombreado é um prisma de base trapezoidal. Portanto, seu volume V será dado por: (7 + ) 10 V Ab h B Sendo a o comprimento das arestas da base e b a altura, pode-se escrever: Vantigo a b ( ) V a b V a b V V antigo O volume total da peça será dado por: Vpeça Sbase h A área S da base será dada por: Sbase Shex.maior Shex.menor 09. D 6x. V(hexagonal) 6 V(triangular) (x) 8 Altura triângulo equilátero: Altura do trapézio: 1.

6 10. D O trapézio, base desse prisma, possui as seguintes medidas: ( + ) 8. Abase 1 V A base. H cm 8. V A base.h.h 16.h Então, 16.h 19 h 1cm Na figura, temos: B 0 cm, b 8 cm, L 10 cm e (B b) L h +. Logo: h B h + h 8cm (0+ 8).8 Área da Base: Ab 11cm Área Lateral: A l ( ) cm Área Total: A t. A b + A l 800 cm AULA E A vista superior da planificação do bebedouro é composta por duas semicircunferências e um retângulo. 0. A Área da superfície externa da lata: A π 5 + π π +.000π.65π cm. Cálculo da massa da lata: 0,8.65ππ.900π g. 0. D Se a altura do cilindro mede m 0 dm e o diâmetro 8 cm 0,8 dm, então a capacidade do cilindro é dada por: 0,8 π. 0,1.0, ,08dm 10L 0. D Volume da jarra 8. 0 ml.00 ml.00 cm A b A b 80 cm Raio do cano 1 m e o raio da manilha 1, m. Volume do cano,1 x 1 x 1, m, e o volume da manilha,1 x (1,) x 17,856 m. Assim, o volume de concreto 17,856 1, 5,56 m. Logo: Custo 5,56 x 10 5, B O volume de um cilindro que representa um tambor é 0, π.r.h..1 0,1m. Como na figura existem 6 tambores, então o volume total será de 6 x 0,1 0,7m. Sabendo que se pagará,50 por m, logo o valor a ser pago por uma família que usa 1 vezes a capacidade total do kit é,50 x 0,7 x 1 R$ 1, D Se os bolos devem ter a mesma quantidade de massa, então eles terão o mesmo volume. Se o volume do cilindro πr. h e o volume do prisma L. h, então: L. h πr. h L πr L r π 08. B Vamos calcular as capacidades. Volume Antigo πr. h cm Volume Novo cm Volume Novo/ Volume Antigo / ,8 > 10 Satisfeita a condição sobre a capacidade, calculemos o custo da lixeira nova. Área Nova: A πr +. ππr. h cm Custo; C 0,0 x / 100 C 7 reais > R$ 0,00 Como o custo de R$ 7,00 superou a meta de R$ 0,00, então será rejeitado.

7 09. B O volume da garrafa cilíndrica que estava parcialmente cheia será: V πr h.. 1 cm Como cm foram produzidos e armazenados colocando-se apenas cm em cada garrafa, então o número de garrafas utilizadas foi: A O volume do copinho é igual a V c ππ. ². 16π, e o volume da leiteira é igual a V L ππ. ². 0 0π. O volume da leiteira é 0 vezes o volume do copinho, ou seja, é igual ao volume de 0 copinhos. Portanto, para encher 0 copinhos pela metade, é suficiente encher uma leiteira pela metade. 06. D O volume do tanque (suposto cilíndrico) é dado por π 0,6 1,5 0,05 m 05 L. Por conseguinte, como o caminhão consumiu 05 L, 5 segue que ele percorreu 79km. 07. D V A b. h V π (9 8 ). 0,1 V,1. (81 6). 0,1 V, ,1 V 5,8 m 08. C AULA C Raio da nova lata é o dobro da antiga, então: R n.r A. Como o volume não se altera, podemos escrever: V N V A, ou seja, π. R N. H N π. R A. H A. Substituindo R N por. R A, teremos: (. R A). H N R A. H A. Logo, H N H A / 0. A V π π cm 0. C O volume da cisterna é igual a π 9m. Mantendo a altura, o raio r da nova cisterna deve ser tal que 81 π r, ou seja, r m. Em consequência, o aumento pedido deve ser de, aproximadamente, 1 m. 0. B Fazendo os cálculos: V1 π 6 V π x V1 1,6 V π 6 1, 6 π x 1 1, x x 10 cm Moeda de cm de diâmetro: V π.. h. π. h. Moeda de 8 cm de diâmetro: V π.. h 16. π. h. Como o volume aumenta de vezes, o preço deve aumentar na mesma proporção. Portanto, o preço justo será x 1,50 6,00. Volume do cilindro central π. r. h Volume livre do segundo cilindro π. (r ). h π.r.h π.r.h Então para encher o volume livre do segundo cilindro levará 10 min, ou seja, 1/ de 0min. O tempo total será min 09. A Queremos calcular r, de modo que 1 π r 1. Portanto, considerando como o valor aproximado de π, temos 8 1 r r 8 0< r 0 < r 1, 6, Ou seja, a medida do raio máximo da ilha de lazer, em metros, é um número que está mais próximo de 1, B Sejam r1 cm e h1 1,5cm, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro, cujo rótulo custa R$ 0,60. Se V 1 e A 1 denotam, respectivamente, a capacidade e a área do rótulo, então V1 π 1,5 5πcm e A 1 π 1,5 5πcm. Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura da nova embalagem. Como h r e as

8 capacidades das embalagens são iguais, temos que V1 V 5π πr r r 7. Além disso, a área lateral da nova embalagem é A π 6 6πcm. Supondo que o custo da embalagem seja diretamente proporcional à área lateral da mesma, 0,6 obtemos c1 k A 1 k, sendo k a 5π constante de proporcionalidade e c 1 o custo da primeira embalagem. 0,6 Portanto, c k A 6π R$ 0, 0 e 5π c 6π, ou seja, o valor que o fabricante c1 5π deverá pagar por esse rótulo é de R$ 0,0, pois 1 haverá uma redução de c1 c c1 c1 c1 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo. AULA E A superfície lateral de um cone é obtida a partir de um setor circular. No caso solicitado, adesivar metade do cone, é só vasar o setor, como indicado na figura abaixo. Portanto, se n é o número de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo, então 51 n 17,55. 0 A resposta é B Se a área a ser iluminada mede raio da área circular iluminada, então 8,6 π r 8,6 r r m.,1 8,6 m e r é o Portanto, como g 5 m e r m, segue que h m. 07. E Volume cilindro cm 1 Volume semiesfera... 5cm Volume cone.. 6 cm Volume descartado cm 08. B 1 Volume líquido (figura 1) cm π π 1 Volume líquido (figura )..h.h.cm π π Como o volume de líquido deve ser igual nas duas taças: π. h 18π h 6 cm 09. A O volume do cone retirado é dado por 0. E A expressão superfície de revolução garante que a figura represente a superfície lateral de um cone. 0. B O volume externo aos cones e interno ao cilindro é dado por 1 h π.r.h.. π.r.. π.r.h, ou seja, é igual ao dobro da soma dos volumes dos cones. 0. B π.5.6 Volume do cone 50 cm π Volume do líquido do cilindro da figura 65π - 50π 575π Altura do líquido do cilindro da figura. π.5.h 575π h cm H 0 7 cm O volume do silo é dado por 1 π 1 + π m. 10. A cm, π enquanto que o volume do cilindro é π cm. Portanto, o volume aproximado da peça é igual a cm, mm V cilindro V cone π RH V cone V cilindro πrh πrh H h R πrh π.h AULA B Seja h a altura da camada de gasolina. Assim, como a altura de cada líquido é proporcional ao volume, temos h h 7 m

9 0. A Para medir a capacidade do tanque basta calcular o volume do prisma de base pentagonal e altura 80 cm. V área da base x altura. A base é um pentágono que pode ser dividido em um retângulo e um triângulo, como mostra a figura a seguir. 06. A A área da região que tem cola fica determinada pela diferença entre a área do quadrado e quatro vezes a área do setor circular. Portanto: A cola 10. π cm V cola A cola x altura cm A área do retângulo ABCF será: 60 x 0.00 cm A área do triângulo DEF será: 0 x 0 / 600 cm A área do pentágono ABCDEF será: cm Logo, V.000 x cm 0 dm 0 L 0. B V área da base x altura x x 8 6 cm. Como a densidade do chocolate é de, aproximadamente, 1, g/cm, uma barra desse chocolate pesará: 1, x 6 6,8 g. Como cada caixa de papelão suporta o peso máximo de kg.000 g, então o número de barras que cabe nessa caixa será:.000 6,8 6,1 Logo, o número máximo de barras será 6. CDE CAB 1,5 x x 1,5x 9 6x 7,5x 9 x 1, m 1,5 6 Logo, V (1,) 1,78 m 1.78 L 07. D V V caixa V perfume V caixa cm V perfume, , ,0 cm V 68 9,0 175,98 cm 08. E Através da rotação do quadrado em torno do eixo, obtemos o seguinte sólido. 0. E Volume do cilindro: V cilindro π Volume do cone: V cone 1. π.. 10 Para calcular o número de taças, basta dividir o volume dos dois barris de chope pelo volume da taça. Assim: π.0.0. Número de taças π E Unindo-se os centros dos círculos formamos um quadrado de lado 10 cm, como mostra a figura a seguir. A área da base do sólido é dada por π [(x + 1) x ] π (x + 1)cm. A soma das áreas laterais externa e interna é π (x + 1) 1 + π x 1 π (x + 1)cm. Logo, a área total do sólido é S(x) π (x + 1) + π (x + 1) 8π x + πcm. Observando que a área total é dada por uma função afim, basta calcular S(0) 8π 0 + π π

10 09. C e S(1) 8π 1 + π 1 π para deduzir que o gráfico que melhor representa a área total S do sólido é o da alternativa (E). 10. A x, Na figura 1: x 0 x + 10, 6 r 6 Na figura : r,1,6 0 r 8 Na figura : r,6,6 0 Volume do cone da figura : π (, 1) 6 V 5, 1 Volume do cone da figura : π (, 6) 8 V 16, 1 Volume do ovo V V 16,1 5,1 6cm. V cilindro x x 9 cm ml V cone x x 8 cm 8 ml V total ml A taxa de 1,5 ml/min, depois de h, o paciente terá ingerido um volume igual a: 1,5 x x ml Logo, o volume do medicamento restante no frasco será: 80 ml 60 ml 10 ml