Matemática capítulo 3

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1 Matemática capítulo Exercícios propostos 69. Resolva os sistemas abaixo: x+ y= x y= a) b) x y= x y= 6 7. Resolva os sistemas abaixo: 4x+ y= 6 x+ y= a) b) 4x+ y= 6 x+ 6y= x y= 7. Determine a solução do sistema: x 4y= 7. (FGV SP) Um motorista abasteceu seu carro flex num posto com litros de álcool e litros de gasolina pagando R$9,. Na semana seguinte, no mesmo posto, abasteceu com litros de álcool e litros de gasolina pagando R$,. Se não houve alteração nos preços, calcule o preço do álcool nesse posto? 7. (Uniube MG) Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$, e R$, em um total de 4 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$, quanto as de R$, que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$4, da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual era o valor do cheque? x + y = 74. (Cesgranrio) O sistema tem a solução: a) x =, y = b) x =, y = c) x =, y = y+ x= b 7. (Fuvest SP) S = z y= b az + x= b x + 4y = d) x =, y = e) x =, y = Resolva o sistema S para: a) a = e b = b) a = 4 e b = 76. (Unicamp SP) Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o prato principal o grupo gastou R$ 6, e com a sobremesa R$,; cada sobremesa custou R$, a menos do que o prato principal. a) Encontre o número de pessoas neste grupo. b) Qual o preço do prato principal? 77. (UEL PR) Se os sistemas a) 7 b) 4 x+ y= ax y = e x+ y= 4 x by = são equivalentes, então a + b é igual a: c) 9 d) e) 78. Se ab = e a b = 6, quanto vale a b ab? 79. O valor da expressão x y + xy, onde x y = e x + y = 8, é: a) 4 b) 96 c) 44 d) 88 e) 8. Sabe-se que x + y = e x y =, então calcule o valor de 4x y. 8. (UFBA) Uma pessoa retira R$ 7, de um banco, recebendo notas, algumas de R$, e outras de R$,. Calcule quantas notas de R$, a pessoa recebeu. 8. Determine dois números pares positivos e consecutivos cujo produto é 64: a) e 64 b) e c) 4 e 64 d) 4 e 6 e) N.D.A. 8. Pelo método da adição, resolva o sistema de equações dado por: com U = Q x Q. x y= x+ 4y=, 84. (ENEM) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa igual a do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual a expressão que representa a relação entre X e Y? a) X Y + = d) X Y + = b) X Y + = e) X Y + = c) X Y + = 8. (UEMG) Uma pequena empresa fabrica dois tipos de colchão: solteiro e casal. A tabela a seguir referese ao faturamento da empresa nos meses de agosto e setembro: Faturamento mensal com colchão de solteiro Faturamento mensal com colchão de casal TOTAL Agosto (?) (?) R$ 8., Setembro Metade do valor faturado em agosto Um terço do valor faturado em agosto R$., Cada colchão de solteiro custa R$,, e cada colchão de casal custa R$ 48,. A quantidade de colchões de solteiro vendidos em agosto corresponde a: a) 6 c) b) 8 d)

2 86. (UEPA) Uma empresa utiliza o serviço de mala direta como meio de comunicação com seus clientes. O setor financeiro da empresa efetuou levantamento, no mês de agosto, sobre os custos com esse tipo de comunicação e constatou um gasto de com o envio de malas diretas do tipo normal e 9 do tipo urgente. No mês de setembro, a empresa enviou malas diretas do tipo normal e apenas 4 do tipo urgente, totalizando um gasto de R$ 94,. O custo correspondente ao envio de uma mala direta normal é: a) R$, b) R$, c) R$, d) R$, e) R$, 87. (UEPG PR) Se Bruna der 6 reais a Ana, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Carla perder reais, ficará com a mesma quantia que tem Ana. Se Bruna perder um terço do que tem, ficará com a mesma quantia que tem Carla. Nesse contexto, assinale o que for correto. )As três juntas têm mais de reais. )Ana tem menos de reais. 4)Carla tem mais de reais. 8)Bruna tem mais do que Ana e Carla juntas. 88. (Udesc) Um Pet Shop tem cães, gatos e passarinhos à venda, totalizando 8 cabeças e patas. Sabese que nenhum destes animais apresenta algum tipo de deficiência física e que a metade do número de passarinhos mais o número de cães supera em duas unidades o número de gatos. Se o preço de venda de cada cão, gato e passarinho é, respectivamente,, 9 e reais, então, ao vender todos estes animais, o Pet Shop terá arrecadado: a) 4.77 reais b).9 reais c) 6. reais d). reais e).7 reais 89. (Unesp) Um negociante trabalha com as mercadorias A, B e C de cada uma das quais tem um pequeno estoque não nulo. Se vender cada unidade de A por R$,, cada uma de B por R$, e cada uma de C por R$ 4,, obtém uma receita de R$,. Mas, se vender cada unidade, respectivamente, por R$,, R$ 6, e R$,, a receita será de R$ 6,. Calcular o número de unidades que possui de cada uma das mercadorias. 9. (FGV SP) Se a terna ordenada (a, b, c), de números reais, é solução do sistema x+ y z = x y+ z= x + y z=, então a soma a + b + c é igual a: a) c) b) d) e) 4 9. (UFMG) Uma indústria produz três produtos, A, B e C, utilizando dois tipos de insumo, X e Y. Para a manufatura de cada quilo de A, são utilizados grama do insumo X e gramas de insumo Y; para cada quilo de B, grama de insumo X e grama de insumo Y e, para cada quilo de C, grama de X e 4 gramas de Y. O preço de venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C é R$,, R$, e R$,, respectivamente. Com a venda da produção de A, B e C manufaturada com quilo de X e quilos de Y, essa indústria arrecadou R$.,. Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos. 9. (UFES) Resolva o sistema linear x+ y+ z = x+ y+ z = 6 x+ y+ z = 8 9. (UEL PR) Um lojista pretende colocar um certo número de agasalhos em algumas prateleiras, de modo que o número de peças em cada prateleira seja o mesmo. Se colocar 9 agasalhos em cada prateleira, duas delas deixarão de ser usadas; entretanto, se colocar 7 em cada uma, usará todas as prateleiras. O número de agasalhos que ele deve acomodar é: a) b) 6 c) 8 d) 6 e) Determine geometricamente a interseção das retas dadas por: x + y = 4 e x + y = A qual quadrante pertence esse ponto? 9. (UFPE) Se (a, b, c) é a solução do sistema calcule (a + b + c) 4. x + y z = x y + z = x + y + z = 96. (UFRGS) O sistema de equações possui: a) nenhuma solução. b) uma solução. c) duas soluções. d) três soluções. e) infinitas soluções. x+ 4y+ = x 4y 8 = 97. (UTF-PR) Num jogo de decisão de campeonato, os preços dos ingressos num estádio de futebol eram: arquibancada R$, e geral R$,. A renda com a venda desses dois tipos de ingressos foi de R$48.,. Sabendo que todos os ingressos foram vendidos e que o número de ingressos da arquibancada equivale a / do número de ingressos da geral, determine quantos ingressos da arquibancada foram vendidos. a).4 b) 964 c).84 d).4 e) 89 4

3 98. (UEL PR) A tabela a seguir apresenta a capacidade de geração de energia C, a área inundada A e a razão da capacidade de geração de energia pela área inundada E = C/A, de usinas hidrelétricas brasileiras. Hidrelétrica C (MW) A (km ) E (MW/km ) Itaipu 4..,4 Porto Primavera.8.,8 Serra da Mesa.7.784,7 Sobradinho. 4.4, Tucuruí 8.7.4,4 O maior valor de E é aquele da usina de Itaipu. O par ordenado (x,y) do sistema linear 4,,, 4, 8, 7 x = y, 4 fornece a quantidade de vezes que se deve aumentar o valor de E nos pares de usinas Tucuruí/Sobradinho e Porto Primavera/Serra da Mesa para que cada par ordenado tenha o mesmo valor E de Itaipu. Com base no enunciado e nos conhecimentos sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, considere as afirmativas a seguir. I. O sistema linear dado tem infinitas soluções. II. Para que a usina de Sobradinho tenha o mesmo E da usina de Tucuruí, é necessário que ela aumente 9,7 vezes sua capacidade de geração de energia. III. A matriz do sistema linear dado tem determinante não nulo, portanto a solução do sistema linear é única. IV. Para que a usina de Porto Primavera tenha o mesmo E da usina de Itaipu, é necessário que ela aumente, vezes sua capacidade de geração de energia. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são corretas. b) Somente as afirmativas II e IV são corretas. c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. e) Somente as afirmativas I, III e IV são corretas 99. (Unioeste PR) Um fabricante de ração deseja fabricar três tipos de ração. Para isso, ele dispõe de três tipos de mistura, Mistura, Mistura e Mistura. Cada quilograma da Ração custa R$, e contém gramas da Mistura, gramas da Mistura e 6 gramas da Mistura. Cada quilograma da Ração custa R$, e contém gramas da Mistura e 8 gramas da Mistura. Cada quilograma da Ração custa R$6, e contém 6 gramas da Mistura e 4 gramas da Mistura. Em virtude do disposto, é correto afirmar que: a) um quilograma da Mistura custa R$,. b) o custo de um quilograma da Mistura, somado com o custo de um quilograma da Mistura, é R$,. c) um quilograma da Mistura custa R$,. d) somando-se os custos de um quilograma da Mistura, um quilograma da Mistura e um quilograma da Mistura, obtêm-se R$,. e) um quilograma da Mistura custa R$,.. (UFSJ MG) No quadro de alimentos que devem compor uma dieta alimentar específica, o total de carboidratos, proteínas e lipídios a ser ingerido diariamente deve ser de 7 gramas. A prescrição é que a quantidade de proteínas ingerida seja /4 da quantidade de carboidratos e que a quantidade de lipídios equivalha a % da quantidade de carboidratos e proteínas. Considerando essa dieta, é incorreto afirmar que o consumo diário de: a) carboidratos é superior ao consumo diário de proteínas. b) lipídios e carboidratos é de gramas. c) carboidratos excede o de proteínas em 4 gramas. d) proteínas e lipídios são de 4 gramas.. (UFRGS RS) As soluções do sistema de equações 4x y + z = x z = 8x + 6y z = estão representadas pela terna 4x x a) x,, 9 b) x x, 4x, c) 4x x,, 9 x d) x, 4x, x 4x x e) x,, 9. (Fatec) Se a terna de números reais (a, b, c) é uma solução de sistema de equações então é verdade que: a) a = c/ b) a = c x + 6y 9z = x y + 4z = 6y 4z = c) a = c/ d) a = c e) a = 4c. (UFRGS-RS) Três discos estão soldados como na figura a seguir. Considerando que as medidas de A, B e C, em centímetros, são, respectivamente,, 6 e 8, os diâmetros dos discos P, Q e R, nesta ordem, medem, em centímetros: a), 7 e b), 6 e 4 C Q P c), 7 e d) 4, 6 e A R B e) 9, 8 e 6

4 4. (PUC-PR) O valor de Y no sistema de equações. (CFTRJ) x z = x y z = 4x 4y z = 4 é: a) 4 b) c) d) e). Resolva e classifique os sistemas abaixo: a) b) x+ y+ z = x+ y+ 8z = 4 x+ y+ 8z = x+ y+ z = 7 x+ y z = x+ 4y+ z = c) d) 6. Resolva e classifique o sistema: x y= 8 x+ y= x+ y= x+ y+ z = x y+ z = x y+ z = x+ y+ z = x y z = x+ y+ z = 7. (FGV SP) Os números reais x, y e z são tais que x + y + z = 6 e x + 4y + z = 7. a) Encontre uma solução do sistema formado por essas duas equações. b) Determine todas as soluções do sistema. c) Calcule o valor de 8x+y+7z. 8. Resolva e classifique o sistema: x+ y+ z = 4 x y+ z = x y+ 4z = 9. (UFRGS RS) Inovando na forma de atender aos clientes, um restaurante serve alimentos utilizando pratos de três cores diferentes: verde, amarelo e branco. Os pratos da mesma cor custam o mesmo valor. Na mesa A, foram consumidos os alimentos de pratos verdes, de amarelos e de 4 brancos, totalizando um gasto de R$ 88,. Na mesa B, foram consumidos os alimentos de pratos verdes e de brancos, totalizando um gasto de R$ 64,. Na mesa C, foram consumidos os alimentos de 4 pratos verdes e de amarelo, totalizando um gasto de R$ 8,. Comparando o valor do prato branco com o valor dos outros pratos, verifica-se que esse valor é: a) 8% do valor do prato amarelo. b) 7% do valor do prato amarelo. c) % do valor do prato verde. d) maior que o valor do prato verde. e) a terça parte do valor da soma dos valores dos outros pratos. Um pai deixou herança para seus filhos Aldo, Baldo e Caldo, mas determinou que, distribuída a herança: Aldo desse uma parte do que recebera a Baldo e a Caldo, de modo que os legados de Baldo e Caldo dobrassem; Depois disso, Baldo desse uma parte do que recebera a Aldo e a Caldo, de modo que os legados de Aldo e Caldo dobrassem; Finalmente, Caldo fizesse o mesmo, de modo que os legados de Aldo e Baldo dobrassem. Cumpridas as determinações do pai, os filhos verificaram que cada um ficara com 6 mil reais. Qual é a soma dos algarismos do número que representa o que fora o legado original de Aldo? a) b) 6 c) 7 d) 8. (UFES) Dona Lúcia, preocupada com o longo tempo que seu filho Lucas passava conectado à internet, bem como com a sua pouca motivação para estudar em casa, fez ao filho a seguinte proposta, que foi aceita por ele: a cada dia em que Lucas não acessasse a internet e estudasse em casa, ela lhe daria R$,; a cada dia em que ele acessasse a internet, mas, em compensação, estudasse, ela lhe daria R$,, e, finalmente, a cada dia em que Lucas não estudasse, ele devolveria R$,. a) Sabendo que, num período de dias, a quantidade de dias em que Lucas acessou a internet e estudou foi igual à soma da quantidade de dias em que ele não acessou a internet e estudou com a quantidade de dias em que ele não estudou e que, nesse período, devido ao acordo, ele teve um saldo de R$,, calcule a quantidade de dias desse período em que Lucas não acessou a internet e estudou. b) Sabendo que, em outro período de dias, Lucas estudará todos os dias, determine todos os possíveis valores que ele poderá ganhar nesse período.. (UFG GO) Um fabricante combina cereais, frutas desidratadas e castanhas para produzir três tipos de granola. As quantidades, em gramas, de cada ingrediente utilizado na preparação de g de cada tipo de granola são dadas na tabela a seguir. Tipo de granola/ingredientes Cereais Frutas Castanhas Light 8 Simples 6 4 Especial 6 6

5 O fabricante dispõe de um estoque de 8 kg de cereais, 6 kg de frutas desidratadas e kg de castanhas. Determine quanto de cada tipo de granola ele deve produzir para utilizar exatamente o estoque disponível.. (UERJ) Uma família comprou água mineral em embalagens de L, de L e de L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de R$ 6,. Veja na tabela os preços da água por embalagem: Volume da embalagem (L) Preço (R$), 6,, Nessa compra, o número de embalagens de L corresponde ao dobro do número de embalagens de L, e a quantidade de embalagens de L corresponde a n. O valor de n é um divisor de: a) b) 6 c) 77 d) 8 4. (IFPE) Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático para o ano letivo de. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram: ª) canetas, 4 cadernos e lápis por R$ 6,; ª) canetas, cadernos e lápis por R$ 66,; ª) canetas, cadernos e 7 lápis por R$ 44,. Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é: a) R$, b) R$ 8, c) R$ 6, d) R$ 4,. (IFAL) Analise as afirmativas abaixo. x+ y= I. O sistema x y= é possível e indeterminado. x+ y z = 4 II. O sistema x y+ z = é possível x+ y z = 7 e determinado. x+ y= III. O sistema é impossível. 4x+ y= e) R$, Marque a alternativa correta. a) Apenas I é verdadeira. d) Apenas I é falsa. b) Apenas II é verdadeira. e) Apenas III é falsa. c) Apenas III é verdadeira. 6. (UEPA) Em um shopping center, uma pessoa verificou o valor por unidade de CD de diferentes gêneros musicais (samba e forró) nas lojas A e B, conforme indicado na tabela abaixo: Samba Forró Loja A R$ 8, R$, Loja B R$ 7, R$, Se essa pessoa decidisse comprar x unidades de CD do gênero samba e y unidades de CD do gênero forró, na loja A, ela gastaria R$ 8,. Mas, se ela comprasse as mesmas quantidades de CDs x e y na loja B ela gastaria R$,. Então a soma x + y é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) e) 4 7. (Unesp) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$.88,. A loja B vendia a TV e o freezer por R$.698, e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$.88,. A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de: a).767,. b).777,. c).787,. d).797,. e).87,. 8. (UFU MG) A prefeitura de uma cidade, preocupada com o meio ambiente e com o problema da falta de espaço físico adequado destinado a depósitos de lixo, criou uma cooperativa de reciclagem em parceria com os moradores de baixa renda. A Tabela fornece os preços de venda (em reais) de cada kg de papel, vidro e plástico referente à primeira semana dos meses de setembro de 9 e setembro de ; a Tabela expressa a quantidade total (em kg) vendida desses três materiais na primeira semana dos meses mencionados acima e o rendimento (em reais) referentes à venda dos materiais reciclados, obtidos nas referidas semanas Tabela Papel Vidro Plástico Set. / 9,,, Set. /,4,, Tabela Quantidade (kg) Rendimento (reais) Set. / 9 8. R$.8, Set. / 9. R Sabe-se que, na primeira semana de setembro de, foram vendidos % a mais de papel do que o vendido na primeira semana de 9 e iguais quantidades, que aquelas comercializadas na primeira semana de 9, de vidro e plástico. Interprete e analise o texto dado, descrevendo expressões matemáticas que conduzam ao valor de R. Determine-o. 9. (IFSC) Um cinema recebeu R$ 66, (seiscentos e sessenta e três reais) pela venda de ingressos (entrada), durante uma única sessão. 7

6 Nessa sessão, o número de ingressos vendidos para adultos foi o triplo do número de ingressos vendidos para crianças. O ingresso para adulto custava R$,(doze reais) e o das crianças R$,(três reais). Considere que xseja o número de ingressos vendidos para os adultos e y, o número de ingressos vendidos para as crianças.. (Unaerp SP) Dado o sistema: mx + y mz = x y + z = x + y z = para m =, o sistema é: a) determinado. b) possível. c) possível e determinado. d) impossível. e) indeterminado.. Sem resolver o sistema, classifique-o em possível determinado, possível indeterminado ou impossível. x + y = x + y = Imagem disponível em: Imgres?imgurl= cv/uploads/noticias/big_8969_4994_turma_ da_monica_cine-gibi_.jpg&imgrefurl= expressodasilhas.sap. Acesso em: nov. Assinale a alternativa que expressa corretamente a equação que permite determinar o número de ingressos vendidos para crianças, bem como para os adultos a) b) c) x= y+ x+ y= 66 x= y x+ y= 66 x= y+ x+ y= 66 d) e) x= y x+ y= 66 x= y x+ y= 66. (UFMG) Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y x+ y= 6x+ ay = Observando-se que o coeficiente de y na segunda equação é um parâmetro a, a) determine para quais valores de a o sistema tem solução. b) determine as soluções x e y em função do parâmetro a, caso o sistema tenha solução. c) determine todos os valores de a para os quais o sistema tenha como solução números inteiros x e y.. (Mackenzie SP) Relativas ao sistema kx + 4ky =, k R, considere as afirmações I, II e x+ ky = 8 III abaixo. I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k. II. Apresenta mais de solução para um único valor de k. III. É impossível para um único valor de k. Dessa forma: a) somente I está correta. b) somente II e III estão corretas. c) somente I e III estão corretas. d) somente III está correta. e) I, II e IIIestão corretas 4. (Unesp) Seja o sistema linear x y = S = x y = a x ay = 6 Determinar os seguintes subconjuntos de R: L = {a R: S é possível determinado} L = {a R: S é possível indeterminado} L = {a R: S é impossível}. (Unesp) Determine um valor de p que torne incompatível o seguinte sistema: x+ y z = x 6y+ pz = 9 x 4y z= p 6. (UFMG) Determine os valores de a e b para que o sistema a) tenha solução única. b) tenha infinitas soluções. c) não tenha soluções. x+ y z = x + y+ z= b x+ ay+ z= 8

7 7. (Unesp) Seja (,, ) uma solução particular do sistema linear x + ay = x + by az = Nas incógnitas x, y e z. Nessas condições, o conjunto solução do sistema é: a) {(x, x +, x ) x R }. b) {(,, )}. c) {(x, x, x ) x R}. d) {( y +, y, y - 4) y R}. e) {(z, z, z) z R}. 8. (UFSJ) A respeito do sistema x+ y az = x y z = 6 x+ y z= b é correto afirmar que: a) se a, o sistema tem solução única. b) se b =, o sistema tem infinitas soluções. c) se a = e b =, o sistema não tem solução. d) se a =, o sistema tem infinitas soluções. 9. (UEM PR) Considere os sistemas lineares x y= kx + y= k+ 4 I : e II :, em que k é x y= 6x y= 8 uma constante real, e assinale o que for correto. )O sistema I é possível e determinado. )Não existe valor real de k para o qual o sistema II seja possível e indeterminado. 4)Existe um único valor da constante real k para o qual o sistema II seja possível e determinado. 8)Se k = 6, o sistema II é equivalente ao sistema I. 6)O par ordenado (, ) é solução do sistema II, para algum valor real de k. x y z =. (IFSC) O sistema x+ y+ z = 6 é possível kx + y+ z= 9 e determinado, quando o valor de k for: a) k b) k = c) k = d) k e) k =. (UPE) Os elementos {a,b,c}, todos reais e positivos, estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Sabendo ax + by = que é possível e indeterminado, é correto cx + ay = afirmar que, necessariamente: a) a será o único termo não nulo no conjunto {a,b,c,}. b) se abc, então os elementos {a,b,c} estão, nesta ordem, também em progressão aritmética. c) a ou c, mas a bc = d) a = ou c =, mas a bc e) pelo menos dois elementos no conjunto {a,b,c} são diferentes de zero.. (UPE) Considerando o sistema x+ y+ 4z =, analise as afirmativas x+ 9y+ 8z = 6 x+ y+ 6z = abaixo e conclua. a) O sistema é impossível. b) O sistema é possível e indeterminado. c) O sistema é possível e determinado. d) O sistema admite como solução única x = 4, y = 8, z = e) O sistema admite como solução, para qualquer valorde x, a terna (x, x, x).. (Espcex/Aman) Para que o sistema linear x+ y= seja possível e indeterminado, o valor de ax + y= b a+b é: a) b) 4 c) 9 4. (Cesgranrio) Se o sistema d) 4 e) 9 y = mx + y = ( m ) x + 4 tem apenas uma solução (x, y), então o parâmetro m satisfaz à condição: a) m d) m / b) m e) m c) m. (Fuvest SP) Considere o sistema: x my = m ( + m) x+ y = a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real m. b) Determine m para que o valor de x seja o maior possível. 6. (Unitau) Para que valores de k o sistema a seguir é possível e determinado? x y z = x+ y z= k x+ y+ z = 7 x+ y z = 7. (Unicamp SP) Encontre o valor de a para que o sistema x y + z = a x + y z = 7x + 4y + z = seja possível. Para o valor encontrado de a, ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções. 9

8 8. (UEL PR) O sistema ax + y = x y= é possível e determinado: a) para qualquer valor de a d) se a b) somente para a = e) se a 6 c) somente para a = 6 9. (FGV SP) Considere o sistema linear nas incógnitas x e y mx y = 4x+ y= n a) Para que valores de m e n o sistema é determinado? E indeterminado? E impossível? b) Resolva o sistema para m = e n =. 4. (Udesc) Encontre o valor real de r para que o sistema a seguir admita uma única solução (a,b,c). A resposta é: a) r real b) r = / a+ 7b c = a+ b+ r = a b+ c = c) r / d) r / e) r = / 4. (FGV SP) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y: x+ y= m x py = será impossível quando: a) nunca b) p 6 e m = c) p 6 e m d) p = 6 e m = e) p = 6 e m 4. (Ibmec RJ) Seja o sistema linear nas incógnitas x, y e z: x+ y+ kz = x+ kz = x+ y+ z = Assinale a afirmativa correta. a) Para k =, possui mais de uma solução. b) Para k =, não possui solução. c) Para k =, possui infinitas soluções. d) Para k =, não possui solução. e) Para k =, possui uma única solução. 4. (Fatec SP) Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y e z, x + y + z = S x + y z = m x + ky + z = 4 em que k e m são constantes reais, pode-se afirmar que: a) não admite solução, se k = 4. b) admite infinitas soluções, se k = m =. c) admite infinitas soluções, se k = e m =. d) admite solução única, se k = e m é qualquer real. e) admite solução única, se k e m =. 44. (FGV SP) Considere o sistema linear kx y+ z= x+ ky+ z= k x+ y+ kz = de incógnitas x, y e z. Sendo k um parâmetro real, então: a) o sistema será impossível se k = ou k =. b) o sistema será determinado se k =. c) o sistema será impossível se k = ou k =. d) o sistema será indeterminado se k = ou k =. e) o sistema será determinado se k = ou k =. 4. (Fatec SP) Sejam a e b números reais tais que o sistema, nas incógnitas x e y, π x cosa+ ysen a= sen admita 7π x cosb+ ysen b = cos uma única solução. Nessas condições, pode-se afirmar que, sendo k um número inteiro: a) b a+ k π. π d) b a+ + k π. π π b) b a+ k π. e) b a+ + k. c) b a+ k π. 46. (Unitau SP) Calcule o valor de k para que o sistema a seguir tenha solução diferente da trivial. x + y + z = x + k y z x + y + k z ( ) + = ( ) = 47. (Faap SP) Seja o sistema linear k x 4 y = 4 z Qual é a única alternativa correta? a) Se k =, a única solução é x = y = z =. b) O sistema é impossível. c) O sistema tem infinitas soluções para qualquer k. d) Somente se k =, o sistema é impossível. e) Não é possível investigar o sistema com os dados disponíveis. 48. (UFC CE) Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são tais que 4 m 6 n 7 p 9 q =. Pede-se a) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q). b) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como acima, tais que m + n + p + q= 8.

9 49. (Uece) O valor de h para que o sistema x y + z = x + y z = x + h y 6 z = tenha a solução não nula é: a) b) 6 c) 7 d) 8. (Unioeste PR) Sabe-se que x, y e z são números reais. Se (x + y - z ) + (y + x - ) + (z - - y) =, então x + y + z é igual a a) 7 b) 6 c) d) 4 e).. (UFSJ MG) Considere o seguinte sistema de equações lineares, nas incógnitas x, y e z: ax + by + cz = ax + by + cz = ax + by + cz = Sobre seu conjunto solução, é correto afirmar que ele a b c a) possui infinitas soluções quando det a b c a b c a b c b) possui uma única solução quando det a b c = a b c a b c c) possui infinitas soluções quando det a b c = a b c a b c d) não possui solução quando det a b c a b c. (UFJF MG) Considere o sistema de equações lineares nas incógnitas x e y: ax + ( log ay ) = a 4 ( a ) x+ e y= em que a >. É correto afirmar que: a) se a= 4, então o sistema é impossível. b) se a= 4, então o sistema é possível e determinado. c) se a= 4, então o sistema é possível e indeterminado. d) se a 4 então o sistema é impossível. e) se a=, então o sistema é possível e indeterminado.. (ESPM SP) Sendo x e y números reais e (x + y) + (x y + 8) =, o valor de y x é: a) 9 b) 8 c) 8 d) 9 e) 8 4. (FGV SP) O sistema linear x+ αy z = x+ y+ z = x y z = admite solução não trivial, se: a) α = b) α c) α = d) α e) α R, sendo R o conjunto dos números reais.. (UFRGS RS) O sistema linear ( k+ ) x+ y z= x+ ky+ z= x+ ( k ) z = 4 é possível e determinado, exceto para um número finito de valores de k. A soma de todos esses valores de k é: a) c) e) b) d) 6. (Unicamp SP) Dado o sistema linear homogêneo: ( cosα + senα) x+ ( senα) y= ( cosα) x+ ( cosα senα) y = a) Encontre os valores de α para os quais esse sistema admite solução não trivial, isto é, solução diferente da solução x = y = ; b) Para o valor de α encontrado no item (a) que está no intervalo [, π ], encontre uma solução não trivial do sistema. 7. (Fuvest SP) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z: x cosa y sena z x cosb y sen b z cosc y sen c z + ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear. b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais? c) Calcule as soluções do sistema quando sen a = e cos c =. 8. (ESPM SP) Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de gude e algumas latinhas onde guardá-las. Ao colocar 4 bolinhas em cada lata, sobraram bolinhas, mas quando colocou bolinhas em cada lata, a última ficou com apenas bolinhas. Podemos afirmar que todas as latas ficariam com o mesmo número de bolinhas se ele tivesse: a) 6 bolinhas. b) 4 bolinhas. c) 49 bolinhas. d) bolinhas. e) 6 bolinhas.

10 9. (UFPR) Uma bolsa contém moedas, distribuídas entre as de, e centavos, totalizando R$,. Sabendo-se que a quantidade de moedas de centavos é a mesma das moedas de centavos, quantas moedas de centavos há nessa bolsa? a) 6 b) 8 c) 9 d) e) 6. (Unisinos RS) Numa loja, todas as calças têm o mesmo preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça diferente do de uma camisa. Ricardo comprou calça e camisas e pagou R$4,. Roberto comprou calças e camisas e pagou R$4,. Qual o preço, em reais, de uma calça e uma camisa, respectivamente? a) 7 e 9 b) 7 e 9 c) 8 e 8 d) 8 e 8 e) 9 e 7 6. (Espcex/Aman) A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 4. y x Assim, o valor numérico da expressão x y z é: a) b) c) d) e) 6. (IFAL) As equações x + y = (I) e x y = (II) são conhecidas como equações do º grau com duas incógnitas. Separadamente, cada uma dessas equações tem infinitas soluções. Neste caso, existe apenas uma solução que satisfaz às duas equações ao mesmo tempo. Com base no exposto acima, assinale a alternativa correta. a) O par (, ) não é uma das soluções da equação I. b) O par (, ) é uma das soluções da equação II. c) O par (, ) é a solução do sistema formado pelas equações I e II. d) O par (, ) é a solução do sistema formado pelas equações I e II. e) O par, 4 não é uma das soluções da equação I. 6. (UESC) Uma empresa turística pretende alugar alguns ônibus para levar 6 pessoas em excursão. z Para minimizar a despesa com esse aluguel, foi feita uma pesquisa de preços em uma empresa de transportes que, para o período desejado, disponibilizou ônibus de 4 lugares e 8 ônibus de lugares, mas apenas 6 motoristas. Sabendo-se que o aluguel do ônibus maior custa R$., e o aluguel do ônibus menor, R$.,, podese concluir que a menor despesa com aluguel de ônibus, nessa empresa de transportes, será, em reais, igual a: a) R$ 8., d) R$.6, b) R$ 9., e) R$.9, c) R$ 9.9, 64. (UEPG PR) Considere a seguinte situação: Júlia tem em sua bolsa moedas de real, centavos, centavos e centavos. Dessas moedas % são de real, moedas são de centavos e o número de moedas de centavos é igual ao dobro do número de moedas de centavos que, juntas, correspondem a 6% do número total de moedas. Com base nessas informações, assinale o que for correto. ) O número de moedas de real é menor que o número de moedas de centavos. ) O número de moedas de centavos é menor que. 4) Júlia tem a quantia de R$ 8,9 em moedas. 8) O número total de moedas é menor que. 6. (Fuvest SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 6 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: - Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; - Carlos e Andreia pesam kg e - Andreia e Bidu pesam 66 kg. Podemos afirmar que: a) Cada um deles pesa menos que 6 kg. b) Dois deles pesam mais de 6 kg. c) Andreia é a mais pesada dos três. d) O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu. e) Carlos é mais pesado que Andreia e Bidu juntos 66. (Unicamp SP) Resolva o seguinte sistema de equações lineares: x+ y+ z+ w= x+ y+ z+ w= x+ y+ z+ w= x+ y+ z+ w= (UFPE) Suponha que x, y e z são números reais tais que x y + z = e x + 9y + z =. Qual o valor de x + y + z? 68. (FEI SP) Se o sistema linear a seguir é impossível, então a) a = b) a = 4 c) a = 4 ax + y+ z= x y+ z = x+ y z = d) a = e) a = 8

11 69. (Unitau SP) O sistema x y = x + 6y = a) é possível e determinado. b) é possível e indeterminado. c) é impossível. d) tem determinante principal diferente de zero. e) não admite nenhuma raiz real. 7. (Mackenzie SP) Para que o sistema a seguir, nas incógnitas x, y e z, seja impossível ou indeterminado, deveremos ter para o real k valores cuja soma é: a) b) kx + y + z = x + ky + z = k x + y + kz = k c) d) e) 7. (Fuvest SP) Considere o sistema de equação lineares x + y + z = n x y z = n x + y z = n + a) Para cada valor de n, determine a solução (x n, y n, z n ) do sistema. b) Determine todos os valores de n, reais ou complexos, para os quais o produto x n y n z n é igual a. 7. (FGV SP) Em um quadrado mágico, como o indicado na figura, a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal assume o mesmo valor. A 4 B 8 C D E 7. (PUC SP) Considere que os elementos da matriz coluna, solução da equação matricial seguinte, são termos da matriz quadrada A = (x ij ) x. x x = x x 6 Se o determinante de A é igual a k, então o número de soluções da equação tg (kx/4) =, para π < x < π, é: a) c) 6 e) b) 4 d) (Unesp) Considere a matriz 6 A = 6 a) Determine todos os números reais λ para os quais se tem det (A λi) =, onde I é a matriz identidade de ordem. b) Tomando λ =, dê todas as soluções do sistema ( ) = 6 λ x y x+ ( 6 λ) y= x y+ ( λ) z = 7. (FGV SP) O sistema linear a seguir x + y z = x y z = 4 a) é impossível. b) admite apenas uma solução. c) admite apenas duas soluções. d) admite apenas três soluções. e) admite infinitas soluções. Se as letras A, B, C, D e E representam números, então D + E é igual a: a) 4 b) 44 c) 4 d) 46 e) 47 Gabarito 69. a) S = {(,)} b) S = 7. a) S = {(x,6 4x)} b) S = {( y, y)} 7. S= {(y, y)} 7. X =,8 e y =,4 7. R$, 74. C 7. a) V = {(,, /)} b) V = {( 4α, α, α); α R} 76. a) 7 pessoas b) R$ 8, 77. E B 8. (x+y) (x y) e 8. 6 notas 8. D 8. V=(8,7) 84. B 8. B 86. E = A 89. unidades de A 4 unidades de B unidades de C 9. A 9. A 7 quilos B quilos C quilos 9. x = y = z = 9. E 94. (,) pertence ao primeiro quadrante B 97. B 98. C 99. B. B. A. C. C 4. E. a) S = {(,,)} SPD b) S = {(,,)} SPD c) S = d) S = {(4+z, z,z)} SPI 6. S = {(, )} SPD 7. a) (,, 4) b) S={(7 a,a,a)} c) 8. S = 9. A. D. a) dias b) (, 6, 8,... 8, 6). kg de granola light, kg de granola simples e 4 kg de especial. C

12 4. D. B 6. B 7. C reais 9. D. a) 9 a 9 b) x = ( a 9) 8 c) 9 = = n n a, com n R* a n. D. SPD. B 4. L = { 7, } L = L = R { 7, }. P=4 6. a) (SPD) a / b) (SPI) a = / e b = c) (SI) a = / e b 7. A 8. A =. D. B. F V F F F. D 4. A. a) D, m R b) m = / 6. k = 4,4 7. a = S = {[(7 z)/, (z+4)/, z)]} (z R ) 8. E 9. a) m 8 SPD m = 8 e n = / SPI m = 8 e n / SI b) S = {( /, 8/)} 4. A 4. E 4. D 4. B 44. C 4. B 46. k = ou k = 47. A 48. m = 4, n = 4, p = 8 e q = C. D. C. B. A 4. A. A π π 6. a) α = + k, k Z 8 b) (( ) ; ) 7. a) sen (a + b) sen (a b) b) Para qualquer c real e b = ±a + kπ, k Z c) S = { (; ; ) }, se cos b e S = {( α; 4α; α), α R }, se cos b = 8. D 9. D 6. E 6. A 6. D 6. B =6 6. E 66. V = {(,,, )} B 69. B 7. A 7. a) x n = n, y n = n + e z n = n b) n = ou n = i ou n = + i 7. D 7. C 74. a) λ = ou λ = ou λ = 9 b) S = {(,, )} 7. E 4