Formulação Multidimensional Operações Globais

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1 e conectividade Formulação Multidimensional PME5425 Métodos de Elementos Finitos de Alta Ordem com Aplicações em Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor Prof. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 207

2 e conectividade Até agora, só tratamos de operações locais (elementares) na formulação multidimensional Aproximação deve ser C 0 (Obs ) Operação de montagem Decomposição dos modos elementares em -interior Vantagem em fazer a maior parte das operações no nível do elemento Requisitos de continuidade alternativos podem ser impostos, como, por exemplo, em Galerkin Descontínuo

3 e conectividade 2 2

4 Sumário e conectividade e conectividade 2 3 4

5 Modos de expansão globais e conectividade Sendo φ pq (ξ, ξ 2 ) os modos de expansão locais definidos para os elementos padrão Ω st, e considerando que o domínio de interesse Ω seja dividido em N el elementos denotados por Ω e, os modos de expansão globais φ e pq(ξ, ξ 2 ) são definidos assim: onde φ e pq(ξ, ξ 2 ) = { φpq (ξ, ξ 2 ), (x, x 2 ) Ω e, 0, (x, x 2 ) / Ω e, ξ = [χ e ] (x, x 2 ), ξ 2 = [χ e 2] (x, x 2 ). Modos de interior são naturalmente C 0, mas os modos de fronteira não.

6 Procedimento de mapeamento e montagem I e conectividade Desenvolver a formulação de Galerkin utilizando um conjunto de modos globais que constituem o espaço de teste X ; 2 Dividir cada modo em contribuições locais em todos os elementos, onde todas as operações são feitas; 3 Remontar o sistema.

7 Procedimento de mapeamento e montagem II Global Local e conectividade a) u = u u b) I = I I 2 I u(x,x 2 ) = u(x,x 2 ) I 2 u(x,x 2 )

8 Graus de liberdade locais e globais I e conectividade Chamando de û e o vetor de coeficientes da expansão elementar, então o vetor de coeficientes de todos os graus de liberdade locais, û l, é dado por: û l = û e = û û 2. û N el, que tem dimensão N eof. Aqui estamos utilizando a notação de que sublinhado quer dizer uma extensão sobre todos os elementos. O vetor û l se relaciona com o vetor de graus de liberdade globais, û g, através da matriz A: û l = Aû g

9 Graus de liberdade locais e globais II e conectividade A matriz A é esparsa e retangular, com dimensões N eof N dof ; Valores não nulos serão ou, dependendo da forma dos modos de fronteira dos elementos adjacentes; Se a expansão é nodal, todos os valores são positivos. Exemplo dois triângulos com P = P 2 = 2 (só modos de fronteira, numerados conforme convenção): Triangle 2 Triangle Triangle 2 2 Triangle

10 Graus de liberdade locais e globais III e conectividade Dimensões da matriz A: N eof = 2N m = 2, N dof = 9. û l = û [0] û [] û [2] û [3] û [4] û [5] û 2 [0] û 2 [] û 2 [2] û 2 [3] û 2 [4] = û g [0] û g [] û g [2] û g [3] û g [4] û g [5] û g [6] û g [7] û g [8]. û 2 [5]

11 Graus de liberdade locais e globais IV e conectividade A determinação de û l a partir de û g é uma operação de espalhamento (scattering). Para determinar û g a partir de û l, fazemos uma soma, que não é exatamente o inverso da operação de espalhamento. Considere o produto interno de uma função u(x, x 2 ) com a base Φ n (x, x 2 ): Î g [n] = u(x, x 2 )Φ n (x, x 2 ) dx dx 2 = Ω = u(x, x 2 )φ m (x, x 2 ) dx dx 2, Ω e onde n(m, e) é uma indexação de cada contribuição modal elementar m sobre cada elemento e.

12 Graus de liberdade locais e globais V A avaliação desta integral para todos os graus de liberdade globais (0 n N dof ) é e conectividade onde Î g [n] = A Î l = A Î e, Î e [m] = u(x, x 2 )φ m (x, x 2 )dx dx 2 Ω e Observe que A não é a inversa de A, isto é, û g A Aû g.

13 Matriz de conectividade I e conectividade Construção explícita de A não é eficiente. Melhor é construir uma matriz de conectividade map[e][i] = n(e, i), que identifica o grau de liberdade local i do elemento e como parte do grau de liberdade n. Dimensões da matriz: N el max e (N e m), onde N e m é o número de graus de liberdade locais do elemento e. Definimos também uma outra matriz sign[e][i] de mesmas dimensões de map[e][i], que contém ou de acordo com a forma dos modos nas fronteiras entre os elementos.

14 Matriz de conectividade II e conectividade Para o nosso exemplo: Triangle 2 Triangle Local Numbering Triangle 2 2 Triangle Global Numbering Matriz de conectividade: [ ]

15 Matriz de conectividade III e conectividade Operação de espalhamento (û l = Aû g ): for e = : N el do for i = 0 : N e m do û e [i] = sign[e][i] û g [map[e][i]] end for end for Operação de soma Î g [n] = A Î l : for e = : N el do for i = 0 : N e m do Î g [map[e][i]] = Î g [map[e][i]] sign[e][i] Î e [i] end for end for

16 Conectividade de I e conectividade envolve primordialmente modos de, pois os modos de interior podem ser numerados como modos globais de forma independente. Veremos no futuro que com a condensação, podemos remover os modos de interior do sistema. Portanto, precisamos somente da matriz de conectividade de bmap[e][i], que é uma submatriz de map[e][i] que considera somente os graus de liberdade de.

17 Conectividade de II e conectividade Assumimos que na numeração dos graus de liberdade do elemento, os modos de vêm primeiro. Havendo n b [e] modos de no elemento e, a montagem do sistema é Î g [n] = A b Îe b, feita da seguinte forma for e = : N el do for i = 0 : n b [e] do Î g [bmap[e][i]] = Î g [bmap[e][i]] sign[e][i] Î e [i] end for end for

18 Conectividade de aresta em expansões modais I e conectividade É preciso considerar a orientação do sistema de coordenadas local. Se os eixos paralelos das arestas de cada um dos elementos tiver orientação oposta, os modos ímpares de um deles devem ser negados. Pode parecer que a ordem dos modos de aresta preciso ser revertido. Entretanto, esse não é o caso, pois a numeração dos modos é feita de acordo com o grau do polinômio. Element Element Element Element

19 Conectividade de aresta em expansões modais II e conectividade Element ξ2 ξ Element 2 ξ 2 ξ

20 Conectividade de aresta em expansões modais III e conectividade Procedimento automático para identificar quais arestas precisam ter os modos ímpares negados: Se, por exemplo, dois elementos e e k tem uma aresta em comum, sendo que no elemento e a aresta é aquela com ξ 2 = e no elemento k a aresta é aquela com ξ =, os vetores paralelos a esta aresta orientados de acordo com o sistema local de coordenadas são x e edg = [ χ (, ) χ (, ) χ 2 (, ) χ 2 (, ) x k edg = [ χ (,) χ (, ) χ 2 (,) χ 2 (, ) ], ], x = χ (ξ, ξ 2 ), x 2 = χ 2 (ξ, ξ 2 ) x = χ (ξ, ξ 2 ), x 2 = χ 2 (ξ, ξ 2 ) Os modos ímpares do elemento k devem ser negados se x e edg xk edg < 0 e k > e

21 Conectividade de aresta em expansões nodais I e conectividade Casamos os modos referentes aos mesmos nós. Utilizamos uma convenção de numeração no sentido anti-horário para os modos. Desta forma, a ordem dos modos tem que ser sempre revertida para um dos elementos. 7 8 Element Element Element Element Local Numbering Global Numbering

22 Conectividade de aresta em expansões nodais II e conectividade Element 2 Element 2 2

23 Conectividade de faces quadrilaterais I (modal e nodal) Complexidade extra devida ao número de diferentes orientações possíveis e conectividade 2 b b a b 3 2 b a a a 2 ) same orientation 2) a direction opposite 3 2 b 2 b a 3 2 a 3 b a a b 3 2 3) a and b transposed 4) a and b transposed and opposite directions

24 Conectividade de faces quadrilaterais II (modal e nodal) e conectividade Técnica para determinar orientação e sentido das coordenadas da face, considerando que a face em questão do elemento e seja aquela com ξ 3 = : x e a = x e b = χ (,, ) χ (,, ) χ 2 (,, ) χ 2 (,, ) χ 3 (,, ) χ 3 (,, ) χ (,, ) χ (,, ) χ 2 (,, ) χ 2 (,, ) χ 3 (,, ) χ 3 (,, ) x = χ (ξ, ξ 2, ξ 3 ), x 2 = χ 2 (ξ, ξ 2, ξ 3 ), x 3 = χ 3 (ξ, ξ 2, ξ 3 ),, Definimos também analogamente dois outros vetores x k a e x k b na face adjacente do elemento k, com o mesmo vértice comum (χ e (,, ), χe 2 (,, ), χe 3 (,, ))

25 Conectividade de faces quadrilaterais III (modal e nodal) e conectividade Teste para orientação: if x e a x k a = x e a x k a then x e a x k a a e a k, b e b k else x e a x k b a e b k, b e a k end if Teste para o sentido: o mesmo teste definido para arestas no caso bidimensional. Para expansões nodais pode-se também parear cada um dos graus de liberdade checando a correspondência com os graus de liberdade globais.

26 Conectividade de faces triangulares (modal) I e conectividade Local top vertex a) Permitido b) Proibido

27 Conectividade de faces triangulares (modal) II e conectividade Sendo o vértice colapsado da base (ξ =, ξ 2 =, ξ 3 = ) e o vértice colapsado do topo (ξ =, ξ 2 =, ξ 3 = ), um procedimento que leva à orientação correta de malhas tetraédricas é O vértice colapsado do topo é aquele de menor número 2 O vértice colapsado da base é aquele de segundo menor número 3 Os outros dois vértices são orientados de forma consistente com a rotação local do elemento (tipicamente anti-horária) Não é possível estabelecer um procedimento geral para todas as malhas (que utilizam tetraedros, prismas e pirâmides). Contudo, existem permutações de conectividades suficientes para garantir uma boa flexibilidade.

28 s matriciais globais I e conectividade Exemplo: transformação para frente. Recapitulando a transformação para frente elementar, usando projeção de Galerkin: M e û e = (B e ) W e B e û e = (B e ) W e u e. Podemos representar esta transformação para todos os elementos através das matrizes bloco diagonais: M 0 0 M e 0 M 2 0 = M N el

29 s matriciais globais II e conectividade (B ) W 0 0 (B e ) W e 0 (B 2 ) W 2 0 = (B N el) W N el de forma que o sistema é M e û l = (B e ) W e u l, que é possível e determinado porque os sistemas locais são desacoplados e possíveis e determinados. Entretanto, não há garantia de continuidade entre os elementos. Sabendo que û l = Aû g, podemos escrever: M e Aû g = (B e ) W e u l

30 s matriciais globais III e conectividade Para termos uma matriz quadrada, temos que pré-multiplicar os dois lados da equação por A : [ ] A M e A û g = Mû g = A (B e ) W e u l M é a matriz de massa. Um procedimento idêntico pode ser seguido para qualquer matriz elementar, como a matriz laplaciana ( L = A L e A ). Não é eficiente montar as matrizes explicitamente desta forma. Entretanto, o termo (B e ) W e u l pode ser calculado no nível do elemento (fazendo uso de fatoração da soma) e depois mapeado para um vetor através da tabela de conectividade.

31 I e conectividade é do tipo Mx = A M e A = f. Utilizando a numeração dos graus de liberdade apropriada, as matrizes elementares tem a estrutura [ ] M e b M e c (M e c) M e i onde M e b são os componentes resultantes de interações -, M e c são componentes resultantes de acoplamento interior e M e i se refere interações de modos interior-interior.

32 II e conectividade Se os graus de liberdade globais são numerados de forma apropriada (primeiro os graus de liberdade de dos elementos, seguidos pelos modos de interior, numerados consecutivamente de acordo com o elemento), este tipo de estrutura é replicado na matriz : [ Mb M c M c M i ] [ xb x i ] = [ fb f i ].

33 III e conectividade

34 IV e conectividade Pré-multiplicando pela matriz [ I Mc M i 0 I chegamos a [ Mb M c M i M c 0 M c M i ] [ xb x i ], ] [ fb M = c M i A equação para as incógnitas de é, portanto, ( ) M b M c M i M c x b = f b M c M i f i. Uma vez que x b está determinado, pode-se calcular x i utilizando as linhas seguintes do sistema: x i = M i f i M i M c x b. f i f i ].

35 V e conectividade Assim, a solução do sistema foi dividida em três passos: Calcular e inverter a matriz de complemento de Schur, M b M c M i M c (operação mais cara); 2 Calcular M i ; 3 Calcular M c M i = [ M i M ]. c Os passos 2 e 3 podem ser feitos no nível do elemento. [ ] M i = M e i = [M e i ] M c M i f i = A b Me c [M e i ] f i M i M c x b = [M e i ] (M e c) A b x b

36 multinível e conectividade Uma numeração adequada dos modos de pode levar a uma matriz de complemento de Schur que também contém uma matriz bloco diagonal, onde a condensação pode ser reaplicada.

37 I e conectividade Estratégia adotada: numerar os graus de liberdade de de forma a posicionar aqueles que tem condição de de Dirichlet no final do vetor. Solução computacional: aplicação de máscara nos graus de liberdade de 0 para graus de liberdade com condição de Dirichlet e para os demais

38 II e conectividade a) b) e=3 5 8 e= e= e= c) d) Unknowns knowns

39 Reordenação dos graus de liberdade de I e conectividade A tabela mask[e][i] contém a máscara do grau de liberdade de i do elemento e, e a tabela Gmask[n] contém a máscara do grau de liberdade n. Para certificar que todos os vértices e arestas da fronteira tenham a máscara apropriada, inicializamos Gmask com e fazemos for e = : N el do for i = 0, n b [e] do Gmask[bmap[e][i]] = Gmask[bmap[e][i]] mask[e][i] end for end for

40 Reordenação dos graus de liberdade de II e conectividade Corrigimos então a tabela local mask[e][i]: for e = : N el do for i = 0, n b [e] do mask[e][i] = Gmask[bmap[e][i]] end for end for Inicializamos então o vetor Gbmap[n] em zero e armazenamos o número total de graus de liberdade globais sem condição de Dirichlet em N bslv.

41 Reordenação dos graus de liberdade de III e conectividade Reordenação: n = n 2 = for e = : N el do for i = 0, n b [e] do if Gbmap[bmap[e][i]] = 0 then if mask[e][i] = then Gbmap[bmap[e][i]] = n n = n else Gbmap[bmap[e][i]] = n 2 N bslv n 2 = n 2 end if end if end for end for

42 Reordenação dos graus de liberdade de IV e conectividade Atualização da tabela de conectividade dos graus de liberdade de : for e = : N el do for i = 0, n b [e] do bmap[e][i] = Gbmap[bmap[e][i]] end for end for

43 Tratamento das condições de no sistema linear Decomposição da aproximação: e conectividade u δ (x) = u H (x) u D (x) = N H j û H j Φ j (x) N b dof j=n H û D j Φ j (x) M HH sc M HD sc u ^ H = f^ H M HH sc M HD sc u ^ H = f^ H b) I ^ u D ^ u D a) M DH sc M DD sc u ^ D M HH sc u ^ H = f^ H M HD sc u ^ D c)