Cálculo dos momentos de inércia sem tabela: Alternativamente cálculo dos momentos de inércia em tabela A i (mm 2 ) x. (mm 4 ) P

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1 Problema ( valores) Determine os momentos principais de inércia do objecto plano da figura ao lado relativamente à origem do referencial dado. Calcule igualmente o ângulo que fa o eio principal de inércia (a qual o momento de inércia é máimo) com o eio horiontal. Justifique esta direcção na circunferência de Mohr marcando o pólo. Separação em formas básicas: Cálculo dos momentos de inércia sem tabela: I + + I p Ł6 9p ł p6 p6 8 p Ł6 9p ł P + Ł 9p p6 Ł ł 6 p p Ł p ł 8,8 p + 5 Ł 6 mm p ł p + p 8 Ł 8 9p ł Ł p ł p ,75 mm ł [ mm] Ł p ł [ mm] 59, mm Alternativamente cálculo dos momentos de inércia em tabela A i (mm ) Ci (mm) Ci (mm) I (mm ) I i (mm ) P i i (mm ) i 785,98,, 58788, 58788, 676, , ,67 565,87 7, , 5, soma 9576, , ,5 A ,6mm i i Ci Ci A 66658,8mm A i Ci Ci 65869,mm

2 I 9576, ,6 8,8 I 69956, ,8 59, mm mm P 98856, , 6,75mm Valores e direcções principais: I + I 8,8 + 59,87 6 I m, 6 mm I I 6 8,8 59,87 R + P + ma Ł m ł Ł 6 (, + 87,5) 6,6 mm 6 (, 87,5) 6 6,6 mm I I + R I min Im R direcções das tensões principais: P ( ) ( 6,75) tg q,66 I I 8,8 59,87 p qp corresponde a I ma usando o facto que P < ( min) ( ma) 5,97º ł 6 ( 6,75) 87,5 mm ( ) 5,97º direcção de eio faceta de a qual é ( ) I min pólo ( ) direcção de eio a qual é faceta de ( ) I ma

3 Problema (5 valores) Um componente mecânico está sujeito a um carregamento que origina o seguinte campo de tensões: σ (5+) a; σ (5) a; τ (76) a; onde a Nmm. 5cm a) Calcule as tensões principais e as direcções principais no centróide, justifique as direcções na circunferência de Mohr marcando o pólo; cm b) Represente graficamente as componentes no rectângulo elementar relativamente ao sistema de coordenadas original e relativamente aos eios alinhados com as direcções principais. c) Calcule a carga (de superfície e de volume),representea graficamente e verifique o equilíbrio na direcção horiontal. a) coordenadas do centróide: C(5, 5) em [mm] devido à unidade do parâmetro a. componentes de tensão no centróide: s ( ) 8,5MPa s ,5 ( ) MPa ( ),5MPa t tensões principais: s + s 8,5 + 6,5 s m,5mpa s s 8,5 6,5 R + t + Ł ł Ł ł sma sm + R,5 + 7,5 MPa smin sm R,5 7,5 5MPa direcções das tensões principais: t ( ) (,5) tg q,75 qp s s 8,5 6,5 corresponde a s usando o facto que t < p ma (,5) 7,5MPa 8,º ( ) [ 8,5;,5] 8,º ( ) [ 6,5;,5] faceta de ( ) faceta de direcção de pólo ( ) s ma direcção de s min

4 b) 8,5MPa,5MPa 6,5MPa 8,5MPa MPa 5MPa MPa 6,5MPa,5MPa 5MPa c) forças de volume: s t + + f f t s + + f 6 + f forças de superfície: lado AB: ( ) f,n / mm ( ) f,n / mm componentes de tensão que correspondem à carga: s ( ), t ( 7 6) especificação do lado AB:, e substituindo: 5 s 5, 5 t 6 nas etremidades: s ( ), s ( 5) MPa, t ( ), t ( 5) MPa lado CD: componentes de tensão que correspondem à carga: s ( ), t ( 7 6) 5 especificação do lado CD:, e substituindo: s 5, t 6 + nas etremidades: s ( ) MPa, s ( 5) MPa, ( ) MPa t ( 5) 9MPa lado AD: t, componentes de tensão que correspondem à carga: s ( 5 + ), t ( 7 6) especificação do lado AD:, e substituindo: s, t 7 nas etremidades: s ( ), s ( ) MPa, t ( ), t ( ) MPa lado CB: componentes de tensão que correspondem à carga: s ( 5 + ), t ( 7 6) especificação do lado CB: 5, e substituindo: s 5, t 7 + nas etremidades: s ( ) 5MPa, s ( ) 7MPa, ( ) MPa t ( ) 9MPa D A t, C B

5 esboço: carga normal carga tangencial MPa MPa 7MPa MPa 9MPa 5MPa MPa F equilíbrio na direcção horiontal F 8N / mm F 9N / mm 9 F 5 N / mm F 5 75N / mm F 5, 5 8N / mm F F 5 F F Nota: a unidade mm está contida na unidade das forças devido ao caso bidimensional

6 Problema (5 valores) O estado das deformações num ponto é caracteriado pelo tensor das deformações [ε], cujas componentes relativamente ao sistema de coordenadas O escrevemse na forma matricial: Ø 5 ø [ e] 5 m. º 8ß a) Calcule as deformações principais; b) Calcule a direcção principal () normaliada com a primeira componente positiva; c) Calcule a máima distorção, a etensão dos braços da máima distorção e a etensão na direcção perpendicular ao plano da máima distorção; d) Calcule a variação do ângulo ABC definido pelos três pontos A[,,], B[,,5], C[,6,c] (determine o parâmetro c para que o ângulo esteja originalmente recto). a) Cálculo dos invariantes: I I 8 ( 5) 5 I 8 ( 5) quação característica: l 8l + 5l ( ) Resolvendo: e, 7m, e 8, 8m, e, 55m b) Direcção principal () ( ) Ø 5 ø Ø8,8 ø v e 8, 8m ( ) 5 8,8 v ( ) Ł º 8ß º 8,8ß ł v ( ) ( ) ( ) Ø,95 5 ø v,95v 5v ( ) ( ) ( ) ( ) 5 8,8 v 5v 8,8v + v ( ) º,8ß v ( ) ( ) v,8v ( ) Arbitrando: v ( ), v ( ) ( ),95 / 5,9, v v /,8 8, ( ) r ( ) v ;,9;8,, v ( ) 8,5, normaliando: e,8;,75;,99 { } ( ) T { } ( ) c) Máima distorção: g ma e e,7 (,55) m, 6m e + e,7 + (,55) tensão dos braços da máima distorção: en m, 976m tensão na direcção perpendicular ao plano da máima distorção: como o ângulo da máima distorção está contido no plano (,), a etensão na direcção perpendicular a este plano é e 8, 8m d) Para o ângulo ABC esteja originalmente recto é preciso que o produto interno dos braços seja nulo, ou seja: BA BC (,,5) (, 6,c 5) T 7 5( c 5) c, normaliando os braços: BA , 6 BC 8+ 5,,96, n BC ( ;,8575;,55), n BA (,;,867;,8) {, + 8 (,8),55 5(, (,8575) + (,867) ) ((,867),55 + (,8) (,8575) )},5m Dq +

7 Problema ( valores) Numa roseta de etensómetros (veja a figura) colocada na superfície de um componente mecânico, mediramse as seguintes deformações: etensómetro (a): ea m, º etensómetro (b): eb 5m, etensómetro (c): ec 75m. eb Calcule: a) As tensões principais sabendo que 8GPa, ν,5; b) As direcções principais e a correspondente matri de rotação; c) sboce o referencial principal. Nota: assumese que as superfícies sem cargas encontramse no estado de tensão plana. e a ec 5º º a). Introdução do referencial: Sabendo que a alteração da posição dos e e b c etensómetros para uma localiação paralela com a original não afecta a solução, vamos faer as modificações de acordo com a figura no lado 5º direito e introduir os eios, como e a indicado.. Cálculo das componentes de deformação relativamente ao referencial introduido: e e a 5 eb e cos 6 + e sin 6 + e sin 6cos6 + e + e 75 eb e cos + e sin + e sin cos, +,5868e,988e Resolvendo e 555,6m, e 58,m e e m. Deformações principais no plano: 58, (58,) em,78m, R + (555.6) 877,5m Ł ł e, ,5 98,m, e,78 877,5 556,7m (não é preciso calcular o terceiro valor, porque só são eigidas as tensões principais e devido ao estado de tensão plana sabemos que o valor principal que corresponde à direcção perpendicular ao plano é ero). Tensões principais: 8 6 s ( e + ne ) ( 98, +,5 (556,7)),5MPa n,5 8 6 s ( e + ne) (556,7 +,5 98,) 9,8MPa n,5 s Reordenando: s,5mpa, s, s 9,8MPa b) Sabese que as direcções principais das tensões e das deformações coincidem. Na fórmula tem que se introduir as componentes das deformações, porque apenas estes são conhecidos relativamente ao referencial original (,): (555,6) tg( q p ) qp 9,6º, corresponde a direcção principal () porque e ( 58,) < ( ) assim: e cos(9,6); sin(9,6); T,9;,6; { } ( ) ( ) T e c 7º e b 6º e a

8 ( ) { e } ( ;; ) T ( ) { e } ( sin(9,6); cos(9,6);) T (,6;,9; ) T Os sinais da direcção principal () foram escolhidos de tal maneira para assegurar o valor do determinante da matri de rotação positivo. Ø,9,6 ø [ R] º,6,9 ( ) ß c) ( ) ( ) 9,6º

9 Problema (5 valores) O conjunto de dois troços está sem tensões na temperatura ambiente de ºC. Aplicamse as forças, designadas na figura ao 55kN lado, com a distribuição uniforme sobre as áreas onde actuam. 5kN a) Determine a temperatura final a aplicar ao conjunto para assegurar o deslocamento da etremidade livre no valor de,mm para a esquerda. b) Para o caso da alínea a) determine a variação do comprimento das arestas das secções transversais, assumindo que são quadradas.,8m,5m c) Assumindo que o troço está dentro de uma cavidade que não lhe permite eibir deformações transversais positivas e aplicando apenas as forças designadas na figura, qual é o deslocamento da etremidade livre? Dados: troço : 5GPa, α 5 ºC ; A 5cm ; ν,; troço : GPa, α 5 ºC, A cm ; ν,. a) Os dois troços sofrem deformações elásticas devido às forças aplicadas e igualmente as deformações térmicas: T ( ) 5 T 5 5 e( ) e( ) + e( ) + DT, e ( ) e( ) + e( ) + DT 5 5 Variações dos comprimentos: T ( ( ) ( )) ( ) 5 DL e + e L + DT 8,85 +,8DT Ł 5 5 ł T 5 5 DL ( e( ) + e( ) ) L + DT 5,5 +,DT Ł ł Condição eigida: DL + DL,,6 +,8DT, DT,5º C Temperatura final: Tfin Tini + DT,5 9,8º C b) Assumindo que a direcção longitudinal foi, direcções transversal terão índice e T ( ) 5 e( ) e( ) e( ) + e( ), + (,5),87m 5 5 Lado da secção transversal: a 5 5mm 6 Variação do comprimento do lado da secção transversal: Da,87 5,5mm T 5 5 e( ) e( ) e( ) + e( ), + (,5),9m Lado da secção transversal: a mm 6 Variação do comprimento do lado da secção transversal: Da,9,mm ( ) c) troço : tensões: s ( ),MPa, s ( )?, s ( )? 5 deformações: e ( )?, e ( ), e ( ) de simetria: s ( ) s( ), por isso: e( ) ( s( ) n( s( ), ) s( ),95MPa e( ) ( s( ) n( s( ) + s( ) ) (,,(,95,95) ), m 5 5 troço : tensões: s ( ),5MPa, s ( ), s( ) s( ),5 deformações: e( ), 5m 6 DL e L + e L, 8 +,5 5,755mm 7,55 ( ) ( ) ( ) mm

10 Problema (5 valores) O estado das deformações do paralelepípedo da figura ao lado é caracteriado pelas seguintes componentes: e a( 7 + 5), e a( ), H e a( ), F e a( 5 + 7), G cm e e, A D onde a 6 mm. cm a) Verifique a compatibilidade das deformações; B 5cm C b) Calcule a variação de comprimento da aresta HG; c) Calcule e esboce a carga na face anterior (com a normal oposta ao ) assumindo que 5GPa e ν,5. a) O campo de deformações é linear, por isso não é preciso de verificar a compatibilidade. Campo linear é sempre compatível (fisicamente possível) porque cada termo das condições de compatibilidade contém segundas derivadas das componentes de deformação que se anula. 6 6 b) DHG e ( 5, ) d ( ) d ( 5) d,5mm c) componentes de tensão que definem a carga na face ADH: s, t e t s ( )( ) ( n ) e ( ) + n e + e + n n 5 ( )( ) ((,5)( 7 5),5( ) ) ,5,5,, + +,5 5 G 6GPa ( + n) ( +,5) 6 t Gg 6 t Gg Na face ADH s, +,5 t,6,8 + Valores nos vértices: s, +,5,A s,d, 5 +,5 55MPa s, 5 +,5 9MPa s t t t t,h,, +,5,A,6 +,8,D,6 5 +,8,H,6 5 +,8,,6 +,8 ( 5 + 7),,6 +,8 6MPa 5MPa MPa 5MPa 6 A H Carga normal D 9 55 A Carga tangencial 5 H D 5

11 Problema ( valores) a) Determine os momentos principais de inércia do objecto plano da figura ao lado relativamente à origem do referencial dado. b) Calcule igualmente o ângulo que fa o eio principal de inércia (a qual o momento de inércia é máimo) com o eio horiontal e trace o referencial principal no referencial dado. c) Justifique estas direcções principais na circunferência de Mohr pelas rotações e igualmente marcando o pólo. Separação em formas básicas: istem várias opções de separação em objectos: [ mm] (i) retirar três quartos de círculo (desvantajoso); (ii) retirar um semicírculo e um quarto de círculo (duas opções); (iii) retirar um círculo completo e repor um quarto de círculo Optaremos pela separação de acordo com a figura ao lado Cálculo dos momentos de inércia sem tabela: I 85 6 p6 8 I 55 6 p 8 6 Ł 8 9p ł P 55 p 6 Ł6 9p ł p Ł p6 55 Ł 6 p ł Ł 55 9 ł Ł 6 p ł 85 9 ł p 6 Ł6 9p ł,5 6 mm p Ł Ł 9p 8 ł 6 Ł p ł ł p6 57,5 6 Ł p ł 6 mm 75,88 6 mm Alternativamente cálculo dos momentos de inércia em tabela A i (mm ) Ci (mm) Ci (mm) I (mm ) I i (mm ) P i i (mm ) i 67, , ,8 7568, 565,87 5,6 5898, 5, 87, 5,6 5,6 75, 75, 6,9 soma 5686, ,8 786,9 A i i Ci Ci A A i Ci Ci 957,mm 59957,mm 79,mm I 5686,59 957,,5 I 6899, , 57,5 P 786,9 79, 75,88 6 mm 6 6 mm mm

12 Valores e direcções principais: I + I,5 + 57,5 6 I m,9 6 mm I I 6,5 57,5 R + P + 75,88 ma Ł m ł Ł 6 (,9 + 77,6) 6 8,5 mm 6 (,9 77,6) 6 6,7 mm I I + R I min Im R direcções das tensões principais: P ( ) ( 75,88) tg q,6 I I,5 57,5 p qp corresponde a I min usando o facto que P < ł 8,9º 77,6 6 mm pólo faceta de ( ) ( min) ( ma) direcção de eio a qual é I ma faceta de ( ) ( ) direcção de eio a qual é I min 8,9º 8,9º ( )

13 Problema (6 valores) Uma placa no estado de tensão plana (da figura ao lado) está sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear, cujos valores nos cantos estão designados na figura. Considere o referencial dado e calcule: a) as funções de deslocamentos no plano da placa; b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa deformada; c) a carga (de superfície e de volume), representea graficamente e verifique o equilíbrio global (GPa, ν,); d) tensões e deformações principais e as suas direcções no ponto (5dm, dm), esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (GPa, ν,); e) componentes do tensor de rotação no ponto F(7dm, 7dm); f) a função do deslocamento perpendicular ao plano da placa, sabendo que a espessura é 5cm.??? D,5mm A,5mm,mm,mm C 5dm dm B,mm,5mm a) u + u u u a + b c, v v v a + b + u u u u canto A:,5 a + b + c c, 5, canto B: canto C:,5 a, u,5 v, v + b v + c v c v c v,5 u u u a + b,5 a,5,,5 a v + b v +,5 a v, u u,,5 + b 5,5 b,,,, + b, +, v 5 +,5,5 +,5 b v,,5mm,mm,mm,mm b) canto D: u D,5, 5,5,5mm vd, +, 5 +,5,mm O componente mecânico deformado podese determinar a partir da posição nova dos quatro vértices. Os lados mantémse rectos, porque a função do deslocamento é linear. c) Primeiro é preciso calcular as deformações no plano,5mm,5mm,mm,5mm (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos) u e,5, u v e,, g +,,, nas condições de tensão plana ( s ),8 6,9,77 s ( e + ne ) (,5 +,,) 6,9MPa n, [ MPa] [ MPa] s ( e + ne ) (, +,,5),8MPa n, G ( ) ( ) ( t ),,77MPa 6,9,77 g g + n +,8 As componentes de tensão correspondem directamente a carga aplicada, as forças de volume são nulas porque a distribuição das tensões é uniforme quilíbrio global: as cargas normais opostas equilibramse directamente porque as forças resultantes actuam na mesma linha de acção e são opostas; as forças resultantes da carga tangencial formam dois binários da mesma

14 intensidade e rotação oposta. O facto de os binários terem as intensidade iguais é obvio, porque no cálculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braço são trocados relativamente ao outro. Mais ainda, a carga corresponde a representação das componentes num rectângulo elementar, tem que por isso corresponder a um estado em equilíbrio. d) um dos valores principais tem a direcção perpendicular ao plano, ( ) { e } (,, ) T n, ou seja s, e ( e + e ) (,5 +,),5, n, valores a direcções principais no plano (a designação do ponto é despreável, porque a distribuição é uniforme) Deformações principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensões principais): e + e,5 +, e e 5 em 75m, + e m Ł ł + Ł R 8, 7, Ł ł ł ema em + R ,7, 7m, emin em R 75 8,7 6, m e tg( q p ),55 qp 8,6º (corresponde a e ma porque e < ) e e A direcção de e min é perpendicular Quadrado elementar deformado Reordenação e ema, 7m (direcção definida pelo q p 8,6º ) No referencial original e emin 6, m 6,7 (direcção no plano (,) perpendicular a definida pelo q p 8,6º ) ( m) e e 5m (direcção (,,) T ) 5 Tensões principais: 6,7 s ( e + ne ) (,7 +,,6),8MPa n, No referencial principal s ( e + ne) (,6 +,,7) 7,MPa n, 6, s ( m) 8,6º e) tensor de rotação em qualquer ponto: Ø u v u w ø Ø ø,7 (, ()) ( ) Ł ł Ł ł v w 6 [ w] ( ) Ł ł antisim antisim º ß º ß Ø 6,7 ø 6 6,7 º ß f) w ed,5 (assumindo que o referencial está posicionado na superfície média da placa onde w )

15 Problema (5 valores) Considere uma coluna de altura de m composta de dois materiais. a) Considere que o material não sofre deformações e que o material encaia como se mostra na figura ao lado. Considere ainda que o material suporta uma força vertical de compressão de kn. Calcule o aumento de temperatura que tem que se aplicar ao material, para se fechar a fuga de, mm entre os materiais. Qual é neste caso a variação de altura do material? b) Mantendo o aumento de temperatura no material (somente) e despreando os efeitos transversais, calcule a máima força que se pode colocar na placa rígida (que assegura a distribuição da força para os dois materiais), sabendo que a tensão de compressão não pode ultrapassar MPa no material e MPa no material. Qual é neste caso a variação de altura do material? Dados: GPa, n,, GPa, n,, a) Introdução do referencial: Dados do material : s? e, s e, s,667mpa? 5 e Das relações constitutivas: T e e + e s n( s + s ) + adt e, e + e 5 a º C. ( ) s,(,667) T Resolvendo: D T 5,º C, s,6mpa A variação da altura do material : DL e L s n( s + s ) + adt L Ł ł Ł 5 ( ) + DT 5 ( s n ( s + s )) + a DT (,( s,667) ) + DT ( ),667,(,6 + ) 5 ( ) + 5,,mm b) Assumindo MPa (em compressão) no material : Assumindo MPa no material : e ( ) s ( ) e ( ) s Corte Vista de cima ( ) 5 + adt,+ 5,,79 Para se manter a compatibilidade, os valores da etensão tem que ser iguais Para não se ultrapassar os valores de tensão, tem que se escolher o valor mínimo no valor absoluto, ou seja ( ) 5 e e,79 ( ) Impondo este valor no material a tensão correspondente será s e,79,6mpa,mm, 5 5,5 [ dm] ł F ma m

16 ( ) ( ) MN e a força suportada correspondente: F s A,6,7,,5,5 Neste caso a fuga,mm da figura do enunciado é despreável. No material a tensão atinge o seu valor admissível e assim a força suportada é: ( ) F s A,,5 6MN A força total máima (de compressão): F ma, ,5MN A variação da altura do material : DL e L Ł 5 ( s n ( s + s ) + a DT L + 5,,79mm ł Ł ł

17 Problema ( valores) stabeleça as equações que determinam as dimensões R e L do objecto plano da figura ao lado para que o centróide da peça coincida com a origem do referencial eibido.,596,7 R L Para duas incógnitas R e L é preciso escrever duas equações. stas serão as que determinam a posição do centróide. Para as poder escrever é preciso introduir um referencial auiliar, por eemplo de acordo com a figura ao lado, onde está igualmente introduida uma das possíveis separações em objectos básicos. Logo: A ( 5 R) Ai Ci 5 6,5 ( 5 R) pr R i C i A i A L 5 + Ł ł 5 6 ( 5 R) L + pr L R 5 6 ( 5 R) L 6 R 6 + p + Ł Ł p ł ł 5 6 ( 5 R) L + pr i Ci i C i i,76,596,76,78,596,7 R,76,78 L

18 Problema (5 valores) É dado um campo de deformações na forma: e ( 6 + )m ; e ( 8 + )m ; e ( )m e ; ( 9 5 )m ; e ( 7 + )m ; e ( )m onde as coordenadas,, deverão ser introduidas em milímetros. a) verifique se o campo é fisicamente admissível; b) calcule a variação do comprimento OA; c) calcule a etensão em B na direcção BC; d) calcule a variação do ângulo originalmente recto BDC; e) calcule as componentes cartesianas e intrínsecas do vector das tensões na face ABC no ponto A. Considere as seguintes coordenadas dos pontos em milímetros: A(,,); B(,,); C(,,6) e constantes elásticas 8GPa, n,5. Nota: O ponto D está posicionado no meio da recta AB. A C O D B a) g (9 5 ) m (8 )m ; g g ( 7 + ) m ( + 8 )m ( ) m ( 8 6 )m ; g e e + + e g g g + + Ł ł e g g g + + Ł ł e g g g + + Ł ł g e e, + ( + + ) ( + + ) ( + + ) g e e +, b) D OA e (, ) d d 6 mm Ø 5 ø Ø 8 e m B º sim. ß º sim. direcção BCCB[,,6], BC ø 6 ß c) [ ] m ( ( ) 8 ( ) ( ) ) 9, m BC eb BC +, d) direcção DBBD[,,], DB + direcção DCCD[,,6], DC verificação de ortogonalidade: DB DC ( ) ( ) + ( ) + 6 Ø º ø sim. ß Ø º sim. 56 8ø ß [ e] 8 + m 6 m D

19 Dq BDC 5,7 DB DC 6 rad ( ( ) ( ) ( ) + 56 (( ) ( ) + ( ) ) + 8 (( ) 6 + ) + 6 ( 6 + ) ) Ø 9 7 ø Ø 8 ø e) [ e] m A m º sim. ß º sim. ß ( )( ) ( ) ( ) 8 ( )( ) (( ) ),5,5,5 8 6 s,68mpa n e + n e + e + n n + ( )( ) ( ) ( )) 8 s n e + n e + e + n n ( )( ) (,5 8) 6 +,5,5,56MPa ( )( ) ( ) ( ) 8 s n e + n e + e + n n ( )( ) (,5 8) 6 +,5,5,56MPa 6 t, t Gg 6,8MPa, t Gg 6,76 + n + n ( ) Ø,68,76 6,8ø [ s ] A,56 MPa º sim.,56 ß Determinação da normal à face ABC quação do plano (forma canónica): r r A normal: ~ n,, ~ n + Ł 6 ł Ł ł Ł ł Componentes cartesianas: { t} Componentes intrínsecas: t t ABC A ~ ~ n 6 ( ) + Ł ł Ø,68,76,56 º sim. ( ) MPa 6,8ø /,6 { } [ s ] { } /,5 n MPa A { ~ } { t } n,56 ß / 6 /,6;,5;,789 /,789 ( ) ABC T { ~ } n ( ),885MPa ABC n,a A / 6 ABC ABC { t} ( t ) (,6) + (,5) + (,789) (,885) 6,5MPa ABC t,a A n,a

20 Problema (6 valores) Um bloco de betão, cujas constantes elásticas são o módulo de Young 5cm cm b GPa e o coeficiente de Poisson n,, tem na sua face superior 8cm colocada uma placa perfeitamente lisa e rígida, de peso volúmico 78,5kN/m. sta placa está ligada à superfície de apoio inferior por quatro varões de secção transversal de cm e módulo de Young de GPa. No estado sem carga a altura do bloco e o comprimento dos varões são de m. Considerando a aplicação de uma pressão lateral de 5MPa, de um aumento de temperatura de ºC e do peso da placa superior, determine: cm a) A força desenvolvida em cada varão; b) A variação de volume do bloco. cm 6 6 Dados: a bloco º C ; a varão º C. a) Introdução do referencial: Análise das incógnitas (desenvolvemse apenas as componentes normais e serão uniformes em cada material): b b b Bloco: s? (ligado na equação de equilíbrio com o outro material), s, s 5MPa b? v v? b b e v s v v e (ligado na equação de compatibilidade com o outro material), e?,? v Varões: s? (ligado na equação de equilíbrio com o outro material), s, e (ligado na equação de compatibilidade com o outro material), e?, e? (sem importância) quação de equilíbrio: (as incógnitas foram introduidas como se fossem positivas) Peso da placa rígida: P 78,5,,8,5,56kN 56N P v b 56 + s + s b (assumindo as tensões em MPa) s v v b v b v quação de compatibilidade: D h Dh e e s s b b b b b 6 b e ( s nb ( s + s ) + abdt ( s,( 5) ) + ( s + ) + b v v v v v 6 v e ( s nv ( s + s ) + avdt ( s ) + ( s ) +, v Substituindo: b v ( s + ) + ( s ) +, b v Resolvendo as duas equações: s,99mpa, s 56,67MPa v v Assim a força em cada varão é: F s 5667N 5,67kN b b b b b) e V e + e + e b b e ( s + ) + (,99 + ) + 5,m b b b b e ( s nb ( s + s ) + abdt (,(,99 5) ) + 55,m b b b b e ( s nb ( s + s ) + abdt ( 5,(,99) ) + 6,7m b b b b 6 6 e V e + e + e ( 5, + 55, 6,7) 6, b b 6 DV e V 6, 79mm V

21 Problema ( valores) a) A partir dos dados presentes na circunferência de Mohr construa o tensor de tensão relativamente ao sistema de coordenadas cartesiano (,) b) Tendo em consideração o pólo irradiante de facetas indicado na circunferência, represente graficamente os eios coordenados (,), as tensões aplicadas num rectângulo elementar alinhado com esse sistema de eios e os eios principais de tensão P () 5 c) Calcule as componentes intrínsecas de tensão numa faceta que fa 8º com a horiontal indicando os seus reais sentidos. Refira e eplique sucintamente uma forma alternativa de calcular as mesmas componentes de tensão () [kpa] d) Diga qual o estado de tensão a somar directamente ao estado encontrado em a) por forma a originar um estado de pressão hidrostática com tensão normal kpa a) De acordo com a circunferência acima indicada, podese concluir: Componentes na faceta de : s kpa, t kpa (o ponto está desenhado acima do eio das abcissas) Componentes na faceta de : s 5kPa, t kpa (o ponto está desenhado abaio do eio das abcissas) Ø ø Tensor de tensão, componentes na forma matricial: [ s ] kpa 5 º ß b) De acordo com a definição de pólo, tem que se marcar as facetas e os eios coordenados correspondentes: Faceta de () direcção de A direcção dos eios P () Faceta de () direcção de 5 () Os sentidos tem que se definir para os eios formarem um referencial direito: ou [kpa]

22 scolhendo o referencial o rectângulo elementar representase: É aconselhável não escrever sinais nos valores das componentes, porque os sinais estão eprimidos pelos sentidos das setas. 5 [ kpa] 5 No entanto é preciso dier, que o rectângulo elementar visualiavase no referencial na forma igual A determinação dos eios principais é solicitada a partir da circunferência pela utiliação da posição do pólo, e não pelo cálculo. ( min) ( ma) P Faceta de (ma) direcção de (min) () Faceta de (min) direcção de (ma) () 5 [kpa] c) A faceta de 8º está posicionada no referencial da maneira seguinte: As componentes intrínsecas poderiam ser calculadas por eemplo pela rotação. Neste caso podese considerar uma rotação de º tal como indicado. A componente normal corresponderá a componente s e a componente tangencial a t. s s sin º + s cos º t sin º cos ( ) ( ) ( ) (º) º 8º sin t s (º) + 5cos (º) ( ) sin( º) cos( º),kPa ( s ) sin( º) cos( º) + t ( cos (º) sin (º)) 5 sin º cos º ( cos º sin º ),5kPa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,5 8º Mostrase na figura ao lado o sentido real das componentes

23 ntre as outras possibilidades é possível mencionar a utiliação das condições de equilíbrio, do pólo da circunferência, das formulas para componentes intrínsecas e da introdução dos vectores n r e s r. m seguida mostrase a metodologia mencionada em último lugar: r n ( cos8º;sin 8º ) O sentido do vector s r é arbitrário e foi escolhido de acordo com a figura: r s ( sin 8º;cos8º ) Salientase que é preciso de ter cuidado com o referencial nãohabitual, para determinar as componentes destes vectores, ou seja as projecções aos eios coordenados, correctamente. n r s r 8º Logo: s n sn + sn + tn n cos 8º + 5sin 8º + t s n s + s n s + t n s + s n ns ( ) ( ) sin 8º cos8º,kpa ( sin 8º ) + 5sin 8º cos8º ( cos8º cos8º sin 8º sin 8º ),5kPa cos8º Dado que o valor da componente tangencial é positivo, o seu sentido real coincide com o sentido arbitrado para o vector s r. d) O estado da pressão hidrostática de kpa, podese representar com componentes na forma matricial como: Ø ø [ s ] ph kpa º ß,,5 8º Logo: Ø º ø Øs + S 5 ß º t S t S S s ø Ø ß º ø ß Øs S º t S t S S s ø Ø ß º ø 5 ß É preciso somar o estado de tensões definido por: Øs S º t S S t s S ø Ø ß º ø 5 ß

24 Problema (6 valores) Considere a pirâmide de base rectangular definida na figura ao lado composta por um material isotrópico com propriedades MPa e n,. Admita conhecido o campo de deslocamentos referido ao referencial (,,), igualmente representado, definido pelas equações: 6 u ( + ) 6 v ( + ) 6 w ( + ) Introduindo as coordenadas dos pontos em cm, o deslocamento será definido igualmente em cm. a) sboce a face ABCD deformada no plano (,). b) Diga, justificando, se se trata de um estado de deformação uniforme. Calcule o estado de deformação no ponto (,,) cm. c) Calcule, neste ponto, as deformações principais e as direcções principais. Faça a representação das deformações principais no cubo elementar. d) Determine a componente segundo da força de volume aplicada. e) Calcule e represente graficamente a carga normal aplicada sobre a face BC. a) Para esboçar a base deformada é preciso desenhar todas as arestas na posição deslocada. Dado que se solicita este esboço apenas na plano (,), é possível primeiro substituir nas funções de deslocamentos u e v: 6 u 6 v As funções u e v depois da substituição não são lineares e por isso, em geral, não é suficiente calcular os deslocamentos apenas nos vértices da base, mas é preciso juntar deslocamentos dos pontos no meio de cada aresta para poder esboçar a curva. 6 u 5,75 cm u u D( 5; 7,5) G( 5;) C( 5;7,5) A 6 u F cm 6 C 5 6 A 7,5 6 v cm 6 B 7,5 u H u,75 cm u u ( ) G D ( ) 8, cm vh vd v vg v 8, cm vf vc,75 B ( ; 7,5) H A ( 5;) D cm 5cm A( 5; 7,5) B( 5;7,5) B F( ;7,5) C cm D G C 8, 8, H F A B cm No entanto verificase, que a dependência cúbica realiouse apenas na variável espacial na direcção de deslocamento correspondente, por isso a introdução dos pontos no meio das atestas não foi necessária e as arestas deformada mantémse rectas.,75

25 b) Dado, que as funções de deslocamento não são lineares, o estado de deformação não poderá ser uniforme, ou seja as funções de componentes de deformação não poderá ser constantes. Cálculo do campo de deformação: u 6 e ( + ) 9 m (se for em cm) v 6 e ( + ) 6 m (se for em cm) w 6 e ( + ) m u v 6 e + ( + ) + ( + ) m (se for em cm) Ł ł Ł ł v w 6 e + ( + ) + ( + ) Ł ł Ł ł u w 6 e + ( + ) + ( + ) Ł ł Ł ł Ø9 ø Ø9 6 ø Tensor de deformação: [ e] º 6 m ß º ß, no ponto (,,) [ e] ( ) 6 m,, c) Deformações principais: directamente: l m e + e 9 + em 6, 5 m ( ) e e 9 R + e + 6 9, 6 m Ł ł Ł ł l em + R 6,5 + 9,6 6, m l e R 6,5 9,6 6, 9 m m ordenação: e 6, m, e 6, 9 m, e m direcções principais no plano (,): e 6 tg( q p ) qp 9,º e e 9 corresponde a e 6, 9 m, usando o facto que e > r a terceira direcção principal: e ( ) (,,), dado que e m estava na posição e m ( ) 9,º 6,9m (,, ) ( ) ( ) ( ) 6,m ( )

26 d) A componente segundo do campo vectorial das forças de volume podese calcular da primeira equação de equilíbrio. Assim é preciso primeiro calcular as seguintes componentes do campo de tensão: ( )( ) ( ) ( ) (,8 9,( 6 ) 6, s,56[ kpa] n e + n e + e n n,,6 6 t Gg e, [ kpa] ( + n), t s t + t + + f ( +, +,56) + (,) + ( ) kpa kn f cm m È preciso salientar que para manter a unidade acima indicada, a coordenada tem que ser substituída em cm. + f + f e) A carga normal sobre a face podese calcular como componente normal intrínseca do vector das tensões actuante nela. Dado que não serão precisas as componentes cartesianas, pode se usar directamente a fórmula: T t n { n} [ s] { n}, onde o vector { n } é a normal eterior unitária à face Primeiro é preciso calcular as restantes componentes do campo de tensão: ( )( ) ( ) ( )) (,8 6 (, 9 ) 6,5, s,56[ kpa] n e + n e + e n n,,6 ( )( ) ( ) ( ) (,8 ( 6, 9 ) 6,5, s,[ kpa] n e + n e + e n n,,6 t e determinar as componentes da normal: r 7,5 n ( ;cosa;sin a) ; ; ( ;;7,5) a Ł + 7,5 + 7,5 ł + 7,5 n r T t n { n} [ s] { n} ( +, +,56) + 7,5 + (,5 +, +,56) + (,5 +, +,) 7,5 +, ) a,5 +, +,76,76 Valores nos vértices: t n,b,5 5 +, 7,5 +,76 8,6 kpa, t,5 5 +, 7,5 +,76 8,6 ( ) kpa n,c n,,5 +, +,76 t,76 kpa Valores no meio das arestas: t,5 +, 7,5 +,76 68, kpa t t n,bc n,b,5,5 +,,75 +,76 n,c,5,5 +,,75 +,76, kpa ( ), kpa [ kpa], B C 8,6 68, 8,6

27 Problema ( valores) Um corpo elástico composto por dois materiais distintos está submetido a uma carga distribuída conforme a figura. O corpo está introduido numa cavidade e encontrase em condições de tensão plana. Assumese que a carga está aplicada sobre uma placa rígida, que assegura uma distribuição das tensões e das deformações uniforme em ambos materiais. Mais ainda todas as paredes admitem desliamento sem atrito o que igualmente assegura a distribuição uniforme de tensões e deformações. Determine a máima carga p que é possível aplicar, em simultâneo com um aumento de temperatura de ºC, para que não haja desenvolvimento de tensões segundo a direcção vertical em nenhum dos materiais. Calcule as componentes da tensão e da deformação em ambos os materiais, a variação da dimensão horiontal e as variações das dimensões verticais em todos os materiais. 6 Dados: GPa, GPa, n, 5, a º C, a Nos cálculos considere a direcção como horiontal e como vertical. 7 º C a) No último instante em que a carga ainda não desenvolve as tensões na direcção vertical, o corpo vai eactamente encaiar na cavidade e a fuga de,mm vai estar fechada. Resumindo: tensões deformações Material ( ) ( ) ( ) ( ) s? s e? e? Material ( ) ( ) ( ) ( ) s? s e? e? Condições na interface: ( ) ( ) ( ) ( ) Notase que assim a condição na interface s s está automaticamente satisfeita, mas a condição e e tem que se impor adicionalmente e vai faer parte do sistema de equações que servirá para a resolução das incógnitas. p 9, 5 [ mm] Condição de equilíbrio: A condição de equilíbrio na direcção horiontal toma a forma: ( ) ( ) p( 5 + ) + s 5 + s (é preciso introduir as componentes de tensão no sentido positivo) p ( ) s ( ) s Condição de compatibilidade: A condição de compatibilidade na direcção vertical tem a forma: ( ) ( ) e 5 + e, Ainda são disponíveis as equações constitutivas, que ligam as componentes de tensão e de deformação. Devido a este facto, além da desconhecida carga, é possível definir as incógnitas apenas em termos de tensão ou em termos de deformação. scolhendo a tensão, as incógnitas são: ( ) ( ) s?, s?, p? e as equações: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e ( s ns ) + adt ( s ns ) + adt () ( ) 6 ( ) 7 s + s +

28 ( ) ( ) ( 5 ) + s 5 + s p e + () ( ) ( ) ( ) ( ) 5 + e ( ) ( ) ns + Ł, 6 ł Ł ( ) ( ) ( s ns ) + a DT 5 + ( s ns ) ns Ł 7 ł Resolvendo as equações (): ( ) ( ) s 7,8MPa, s,8mpa, p,mpa ł, Ł + adt ł, Assim as tensões são determinadas, falta calcular das equações constitutivas as componentes de deformação: ( ) ( ) ( ) ( ) e, 8m, e, 68m, e e 7, 7m ( ) n ( ) ( ) e ( s + s ) + adt, 8m ( ) n ( ) ( ) e ( s + s ) + adt, 68m e as variações de comprimento correspondentes: Lembrase, que são solicitadas apenas as variações no plano (,) Variação da dimensão horiontal: ( ) 6 DL e 9 7,7 9,mm Variações das dimensões verticais: ( ) 6 Dh e 5,8 5,6mm, Dh ( ) e 6,68,mm. ()

29 Problema ( valores) a) Determine os momentos de inércia do objecto plano da figura ao lado relativamente ao referencial definido na figura. b) Represente estes resultados na circunferência de Mohr. stime da circunferência as direcções principais (sem cálculo) e esboceas na figura original. 7 [ cm] º a) Os valores dos momentos de inércia formam componentes do tensor de inércia, que é um tensor de segunda ordem em duas dimensões. Devido a este facto é possível calcular primeiro os valores relativamente a um referencial auiliar e depois aplicar as formulas de rotação. O referencial auiliar tem que obrigatoriamente ter os eios paralelos com os eios aos quais os valores das formas básicas são tabelados, para se poder usar o teorema de Steiner (teorema dos eios paralelos). A origem do referencial auiliar tem que coincidir com a origem do referencial. A i (cm ) Ci (cm) Ci (cm) I (cm ) I i (cm ) P (cm ) i i i 89 6,5 98,5, 5 6,7 8,89,8 5,,7,5 8, soma 9,58 57,59 98,5 A i Ci Ci A i A i Ci Ci 659,8cm 6,86cm 6,8cm I 9, ,8 95,76cm I 57,59 6,86,7cm P 98,5 6,8 6,68cm Tensor de inércia (mudase o sinal do produto de inércia, ou seja I P ): Ø95,76 6,68ø [ I ] cm 6,68,7 º ß Componentes no referencial (ângulo de rotação é positivo): I I cos + I sin + I cossin 599,9cm ' ' ' I' cos + I' sin I' I cossin 9,56cm 7 [ cm] 6 5 9

30 ( I I ) sin cos + I ( cos sin ) 88,7cm I Consequentemente: P I 88,7cm Resposta da alínea a): Os momentos de inércia no referencial são: I 599,9cm, I 9,56cm, P 88,7cm b) A circunferência de Mohr deveria ser construída dos primeiros valores calculados, ou seja a partir de: Ø95,76 6,68ø [ I ] cm 6,68,7 º ß 6,68 direcção de eio a qual é ( ) I ma ( ) faceta de pólo ( ) direcção de eio a qual é I min,7 95,76 ( ) faceta de º ( ) 6,68 ( ) º [ cm] 9

31 Problema (6 valores) O campo de deslocamentos num corpo contínuo isotrópico com propriedades 5GPa e n,5 representado na figura ao lado é definido pelas seguintes fórmulas referidas ao referencial igualmente aí indicado: H 6 u ( + ) F 6 G cm v ( + + ) 6 w ( A D Introduindo as coordenadas dos pontos em cm, o deslocamento será cm definido igualmente em cm. B 5cm C a) Calcule os valores das deformações principais no vértice C e esboce no vértice C as direcções principais na figura original; b) Separe as deformações principais no vértice C na parte volúmica e desviatórica e represente estes valores no cubo elementar unitário; c) Calcule a tensão de von Mises igualmente no vértice C; d) Calcule e represente graficamente a carga normal e tangencial que está aplicada na face CDHG. a) Cálculo das deformações: e ( + ) m (se for em cm) e ( + + ) ( + )m (se forem, em cm) e ( ) ( )m (se forem, em cm) e ( + ) + ( + + ) ( )m (se forem, em cm) Ł ł e ( + + ) + ( ) ( / ) m / m (se for em Ł ł cm) e ( + ) + ( ) ( +.5) m.5 m (se for em cm) Ł ł Componentes no vértice C(,5,): Ø ø [ e] C 5 m º 5ß Valores próprios: directamente: l 5 m e + e + 5 em 5 m e e 5 R + e +, 7 m Ł ł Ł ł

32 l em + R 5 +,7 77, 7 m l e R 5,7 7, 7 m m ordenação: e 77, 7 m, e 5 m, e 7, 7 m direcções principais no plano (,): e 8 tg( q p ) qp,7º e e 5 corresponde a e 7, 7 m, usando o facto que e > ( ) C,7º ( ) ( ) Ø77,7 ø P D 77, ,7 C, valor médio em D: em 5 m º 7,7ß Ø5 ø V e C 5 m, º 5ß Ø77,7 5 ø Ø5,7 V e m C 5 5 º 7,7 5ß º b) [ e] 5 m parte volúmica: [ ] parte desviatórica: [ ] ø m,7ß 5m ( ) ( ) m 5m ( ) 5m ( ) ( ),7m 5,7m ( ) c) Para calcular a tensão de von Mises, é preciso de saber as tensões principais. Sabendo as deformações principais, é possível num material isotrópico calcular as tensões principais directamente no referencial principal. Logo: ( )( ) (( ) ( )) 5 ( ( )),5,5,75 77,7,5 5 7,7 6 s,mpa n e + n e + e + + n n ( )( ) (( ) ( )) 5 ( ( )),5,5,75 5,5 77,7 7,7 6 s,9mpa n e + n e + e + + n n ( )( ) (( ) ( )) 5 ( ( ) ( )),5,5,75 7,7,5 77,7 5 6 s,8mpa n e + n e + e n n s vm ( s s ) + ( s s ) + ( s s ) ) (,,9) + (,,8) + (,9,8) ),MPa

33 d) Carga na fase CDHG nesta fase as componentes de carga correspondem às seguintes componentes de tensão: s, t, t por isso é preciso calcular somente estas componentes, que agora tem que ser no referencial original. Carga normal: ( ) 5 (,75 ( ),5 ( )) 6 s n e + n e + e n n,5,5 ( )( ) ( ) ( ),7 +,7 +,68 Na fase CDHG coordenada 5cm, por isso: s,75 +,7 + assim a carga normal têm valores nos vértices: D: p D n,75 +,7 +,68,75MPa C: p C n,75 +,7 +,68,5MPa G: p G n,75 +,7 +,68 7,9MPa H: p H n,75 +,7 +,68 6,79MPa,68 [ MPa],75 6,79 7,9 p n Carga tangencial: 5 6 t Gg e ( ),56,8 ( + n),5 5 6 t Gg e (,5), ( + n),5 Na fase CDHG coordenada 5cm, por isso: t,,8 e t, assim a carga tangencial têm valores nos vértices: D H p t,,8,mpa pt C G p t,,8,mpa pt [ MPa], D C p t, pt H G p t,,mpa pt,, [ MPa], p t,,5, p t

34 Problema (5 valores) Um corpo elástico composto por dois materiais distintos foi introduido numa cavidade e encontrase em condições de tensão plana. Assumese que todas as paredes admitem desliamento sem atrito e que a distribuição uniforme de tensões e de deformações está assegurada. Determine: a) A mínima variação de temperatura que é preciso aplicar para o corpo eactamente encaiar na cavidade. Calcule igualmente todas as componentes da tensão e da deformação nos dois materiais. b) Define as incógnitas e as equações que servem para a resolução do problema de determinação da máima variação de temperatura para as tensões normais na direcção não ultrapassarem no valor absoluto os valores admissíveis em ambos os materiais. 55cm 8cm,5mm 5cm Dados: GPa, 8GPa, n, 5, a, 6 º C a, 7 º C ( ) s MPa,,adm ( ) s 8 MPa.,adm a) No momento em que o corpo vai eactamente encaiar na cavidade a fuga de,5mm vai estar fechada, no entanto não se vão desenvolver as tensões na direcção vertical. Resumindo: tensões deformações Material ( ) ( ) ( ) ( ) s? s e e? Material ( ) ( ) ( ) ( ) s? s e e? ( ) ( ) ( ) ( ) Notase que assim as condições na interface s s e e e são automaticamente satisfeitas. A condição de equilíbrio entre os dois materiais na direcção horiontal, não é preciso de escrever, porque esta envolve a reacção das paredes verticais, ou seja aumenta as incógnitas. ( ) ( ) A condição de compatibilidade na direcção vertical tem forma: e 5 + e 55,5. Ainda são disponíveis as equações constitutivas, que ligam as componentes de tensão e de deformação. Devido a este facto, além da desconhecida variação de temperatura, é possível definir as incógnitas apenas em termos de tensão ou em termos de deformação. scolhendo a tensão, as incógnitas são: ( ) ( ) s?, s?, D T? e as equações: ( ) ( ) ( ) ( ) e ( s ns ) + adt s + adt ( ) ( ) ( ) ( ) e ( s ns ) + adt s + adt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e 5 + e 55,5 ( s ns ) + adt 5 + ( s ns ) + adt 55,5 Ł ł Ł ł ( ) ( ) ns ns + adt adt 55,5 Ł ł Ł ł

35 Resolvendo: ( ) ( ) s 7,MPa, s,58mpa, D T 7,º Outras componentes: ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) n ( ) e 9, 9m, e 9, m, e ( s + s ) + adt s + adt 9, 9m ( ) n ( ) ( ) n ( ) e ( s + s ) + adt s + adt 9, m b) Neste caso já se vão desenvolver as tensões verticais. As tensões horiontais são limitadas pelos valores admissíveis. É obvio, que o limite serão primeiro atingido num dos materiais. Para decidir qual será, é preciso ver a solução da alínea a). Como as tensões são no valores absoluto muito maiores no material, há de esperar que neste material o limite atingese mais cedo. No entanto é preciso notar que a tensão é de compressão e por isso terá que ser introduida com o sinal negativo. Logo: tensões deformações Material ( ) ( ) ( ) ( ) s MPa s? e e? Material ( ) ( ) ( ) ( ) s? s? e e? ( ) ( ) Assim a condição na interface e e é automaticamente satisfeita e a condição s s s redu o número das incógnitas. ( ) ( ) A condição de compatibilidade na direcção vertical tem novamente a forma: e 5 + e 55,5. Ainda são disponíveis as equações constitutivas, que ligam as componentes de tensão e de deformação. Devido a este facto, além da desconhecida variação de temperatura, é possível definir as incógnitas apenas em termos de tensão ou em termos de deformação. scolhendo a tensão, as incógnitas são: ( ) s?, s?, D T? e as equações são parecidas com as da alínea a): ( ) ( ) ( ) 6 e ( s ns ) + adt (,5s ) + DT ( ) ( ) ( ) ( ) 7 e ( s ns ) + adt ( s,5s ) + DT 8 e ( ) ( ) ( ) ( ) 5 + e Ł 55,5 Ł ( ) ( ) ( s ns ) + a DT 5 + ( s ns ) 6 ( ) ( s,5( )) + DT 5 + s,5s ł ł Ł 8 Ł ( ) ( ) 7 ( ) + DT 55, 5 + adt ł ł 55,5

36 Problema ( valores) a) Determine os momentos centrais de inércia do objecto plano da figura ao lado relativamente a um referencial alinhado com as direcções horiontal e vertical. b) Defina as componentes do tensor de inércia, calcule os valores e as direcções principais. c) Marque na figura original o eio associado ao momento de inércia máimo e o eio associado ao momento de inércia mínimo. d) Determine o máimo valor do produto de inércia e marque na figura original um referencial associado a este valor, para o qual ele é positivo. 5 [ cm] 5 9 a) Primeiro é preciso determinar os momentos centrais, isso significa em primeiro lugar determinar o centróide. Para isso é preciso escolher um referencial auiliar, por eemplo de acordo com a figura: A i (cm ) Ci (cm) Ci (cm) ,7, 7 soma 9,7 5 5 ( 6) + ( 9,7) (,) A C + A C 89 C 6,9cm A 9,7 obviamente A C + A C 89 ( 7) + ( 9,7) ( 7) C 7cm A 9,7 que não era preciso de calcular como as ordenas dos dois objectos são iguais 9 posicionado os eios no centróide: Ci C (cm) Ci C (cm) I (cm ) I i (cm ) P (cm ) i i i,9 6,5 98,5,7 5, 68,6 soma 85,6, 98,5 5 C C 5 9

37 Problema (6.5 valores) O estado das tensões no ponto P é dado no referencial pelas componentes escritas na forma matricial: Ø 7 ø [ ] 7 s [ MPa]. º 5ß 5 a) Represente as componente no paralelepípedo elementar; [ MPa] P 5 b) Calcule as tensões principais; º c) Verifique os invariantes e justifique o significado desta verificação; d) Calcule a direcção principal normaliada associada a s ; e) Retire o estado bidimensional das componentes dadas no plano (,) e calcule as componentes do estado de sobreposição com o estado (B) da figura ao lado, no referencial original; f) sboce a circunferência de Mohr do estado de sobreposição. g) Marque no referencial original as direcções principais e as facetas onde actua a máima tensão de corte (sem calculo usando apenas o pólo); h) Marque na mesma circunferência os lugares onde se visualiam as componentes intrínsecas, que actuam na faceta da figura. i) stime os valores e represente a actuação real das componentes na faceta dada, determine o sentido da componente tangencial na faceta do equilíbrio (sem cálculo). a) 5 ( B) faceta 5º 5 [ MPa] 7 7 [ MPa] Componentes normais Componentes tangenciais b) Cálculo das tensões principais baseiase na resolução da equação característica: equação característica: l Il + Il I cálculo dos invariantes: I + 5 ( ) + ( ) ( 7) 79 ( ) 5 + ( 7) ( ) ( 7) I I substituindo na equação característica l Il + Il I l + l 79l 5865 resolvendo: l,mpa, l 5,5MPa, l,9mpa tensões principais é preciso reordenar na ordem decrescente: s,9mpa, s 5,5MPa, s,mpa

38 c) Cálculo dos invariantes a partir das tensões principais permite verificar se a equação característica foi correctamente resolvida. Infelimente este calculo não permite verificar se os invariantes foram calculados correctamente a partir das componentes no referencial original. Uma das indicações do error nos invariantes são raíes da equação característica compleas, dado que tensores simétricos têm sempre todos os valores principais reais. componentes no referencial (rodado) principal: Ø,9 ø [ s ] 5,5 [ MPa] º,ß invariantes: I,9 I,9 ( 5,5) + ( 5,5) (,) +,9 79,9 I ( ) ( ) 5865 d) direcção principal () normaliada: Ø 7 ø Ø,9,9 7 Ł º 5ß º ( ) ø v s ( ) Ø,9 7 ø 7 6,9 º 8,9ß v v v ( ) ( ) ( ),9,9ß ł v v ( ) 7v ( ) ( ) ( ) ( ) 6,9v ( ) ( ) ( ) v v,95 v 8,9v v,57 r ( ) v ( ;,95;,57) A equação que não foi utiliada deveria servir para verificação. sta verificação confirma o valor correcto do valor principal, ou seja do valor que anule o determinante do sistema das equações.,9 7 (,95) normaliação r ( ) v + (,95) +,57, 59 r,95,57 e Ł,59,59,59 ł ( ) ; ; (,685;,75;,75) Ø 7 ø e) stado bidimensional no plano (,): [ s ] A [ MPa] 7 º ß Ø 5ø estado B no referencial rodado: [ s ] B [ MPa] 5 º ß Para poder sobrepor os dois estados, é preciso primeiro rodar as componentes do estado B pelo ângulo a º orig s s cos a + s sin a + t sin a cosa,b cos s orig,b sin s ( ) sin ( ) + (5) sin( ) cos( ),56MPa sin a + s cos a t sin a cosa ( ) cos ( ) (5) sin( ) cos( ) 5,56MPa

39 t orig,b ( s ) sin a cosa + t ( cos a sin a) sin cos ( cos sin ) 5,MPa s ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) sobreposição Ø 7 ø Ø,56 s S 7 + º ß º 5, 5, ø Ø55,56 5,56 ß º,78,78 ø 5,56 ß [ ] [ MPa] f) ( ) ( ) g) ( min) ( ) faceta de faceta de t ma t ma ( ) ( ma) P ( min) faceta de faceta de t t ma ma faceta de faceta de t t ma ma ( ma) h) i) faceta dada t t» 5,78 ( ) t n» ( ) P 55,56 5,56 5,78 [ MPa] O sentido da componente tangencial é óbvio devido aos sentidos das outras componentes

40 Problema (.5 valores) Um componente estrutural triangular de largura m e de altura,5m, está sujeito a um carregamento que causa um campo de tensões bidimensional na forma: t. s ( ), s ( ), ( ) + Assumese que ao introduir as coordenadas dos pontos em metros, as componentes de tensão terão a unidade MPa. a) Calcule o campo das forças de volume. b) Determine e esboce a carga normal e tangencial aplicada na aresta AB. c) Represente as tensões no rectângulo elementar no ponto C [,] d) Represente, igualmente no ponto C, a parte volúmica e desviatórica das tensões. B A a) As forças de volume calculamse usando as equações de equilíbrio: s t + + f + f f MN / m t s + + f + + f f MN / m Nota: a unidade das forças de volume tem que ser força / volume, no nosso caso a unidade correcta determinase como a unidade de tensão/a unidade em que são definidas as coordenadas, ou seja MPa/m MN/m. b) Para a rotação especificada na figura ao lado: B tg a a 57,99º,5 Carga normal é formada pela componente: a s ( 7 5) cos a + ( 7) sin a ( + ) sin a cosa 8,6 +,88, 76 Carga tangencial é formada pela componente: A t (( 7 5) ( 7) ) sin a cosa ( + )( cos a sin a),9 7, + 7, 6 Valores em A: s,a 8,6 +,88,76 7,9MPa t,a,9 7, + 7,6,7MPa Valores em B: s,b 8,6 +,88,5,76 6,9MPa t,b,9 7,,5 + 7,6,7MPa Nota: em alternativa poderiam ser rodadas pelo ângulo a as componentes no ponto A e as componentes no ponto B, o que simplificava o cálculo das funções apresentadas acima. Ø7 5 ø Ø5 6ø Ø7,5 5,5ø Ø7,5,5ø [ s ] A MPa 7 6 6, [ s ] B MPa º ß º ß,5 7,5 º ß º ß sboços: 6,9,7 [ MPa] [ MPa] 7,9,7 Carga normal Carga tangencial

41 c) as componentes no ponto C: [ ] MPa C ß ø º Ø ß ø º Ø s d) a separação na parte volúmica e desviatórica: 5MPa m s [ ] MPa C ł Ł ß ø º Ø + ß ø º Ø ß ø º Ø s Parte volúmica Parte desviatórica 9 9 C [ ] MPa C [ ] MPa 5 C [ ] MPa 5 5 5

42 Problema ( valores) a) Determine o produto de inércia do objecto plano da figura ao lado relativamente ao referencial dado. b) Marque na figura original a posição prevista para o eio associado ao momento de inércia máimo e o eio associado ao momento de inércia mínimo. Justifique. a) Separação em formas básicas, cujos valores são tabelados: [ cm] 9 P, , 9 655,cm 7 + Ł ł P, ,5cm P, + p ,9cm Ł p ł p P, 5 + p ,9 +,9 55,cm Ł6 9p ł Ł p ł p P P + P P P 655,+ 55,5 7,9 55, 866,99cm,,,, b) dado que a componente tensorial I P 866,99cm, < o eio do mínimo corta os quadrantes positivos. ma min

43 Problema (5,5 valores) Um componente estrutural está sujeito a um carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos é linear (u, v lineares, w ). Sabese que o vértice B[5cm,cm] deslocase para cima,mm e para a direita,mm e o vértice C[cm,8cm] para a esquerda,mm e para baio,mm. Sabese ainda que o material do componente é ortotrópico com as direcções principais do material formadas pelo lado AB ( ) e pela direcção perpendicular ao plano do componente ( ). As constantes do material têm os valores seguintes: 9GPa, 5GPa, G 5GPa, G 8GPa, GPa, n,, n n,, n, 5. G a) Determine e represente graficamente no quadrado elementar unitário as deformações no ponto D[cm,cm]; b) scolha um referencial onde seja mais fácil determinar as tensões de corte e estabelecer as equações cujas soluções definam as tensões normais, (determina e estabelece as). a) Determinação do campo de deslocamento: u u u u a + b + c u(,) u u u a + b + c u c u( 5,) u u u a 5 + b + c, u(,8) u u u a + b 8 + c, Resolvendo: u a u 5,6, b,6 u 5,6,6 v v v v a + b + c v, v v v a + b + c c v 5, v v v a 5 + b + c, v,8 v v v a + b 8 + c, Resolvendo: v a v,68, b, v,68, ( ) v ( ) ( ) ( ) ( ) C A A C B B Determinação das deformações: u u a 5,6 v e, e b, e Ł ł v u v ( b + a ) (,6 +,68 ),6 u v + m 6m 56m 6m Como as componentes de deformação são constantes, os mesmos valores verificamse no ponto D. Representação no quadrado elementar unitário visualiase no esboço em cima. b) Dado que o material é ortotrópico, as equações constitutivas só poderão ser utiliadas no referencial principal do material. Componentes da deformação no referencial principal do material podemse calcular pela rotação. B Cálculo do ângulo de rotação: tan a a,8º. B e e cos,8º +e sin,8º + e sin,8º cos,8º 56cos,8º sin e e cos,8º +e sin cos,8º + 56sin,8º e e e sin,8º cos,8º +e,8º + 6sin,8º cos,8º 7m,8º e sin,8º cos,8º 6sin,8º cos,8º 85m cos,8º sin,8º ( ) ( ) ( 56 ( ) ) sin,8º cos,8º + 6( cos,8º sin,8º ) 76m B a