1. Noção de tensão e de deformação

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1 Capítulo 2 CONCEITOS BÁSICOS DE MECÂNIC 1. Noção de tensão e de deformação Tensão: = F - Tensão (N/m 2 ou Pa) F força (N) Área (m 2 ) Estado interno gerado num corpo para equilibrar a força F aplicada numa dada área de contacto Deformação: L ε = L 0 Por eemplo, num ensaio de um provete de aço à tracção: F L L 0 1

2 No espaço bidimensional y y y = y y yy y y y y = y = y y y = = = y y y y Para os solos é costume adoptar-se y=1(direcção vertical, do peso próprio) =2 (direcção horizontal) s deformações têm igual correspondência ε γ Significado físico das deformações: ε yy ε y ε 1/2γ y ε yy 1/2γ y 1/2γ y ε etensão γ 1/2γ 1/2γ 1/2γ y ε yy distorção 2

3 y y y y B y y No espaço bidimensional y = y yy = y = y y y Círculo de Mohr das tensões 90º y y y 290º y Convenção de sinais adoptada na Mecânica dos Solos + Nos solos não há valores negativos de tensões normais B Compressões positivas Tensões tangenciais positivas quando os binários fazem rodar no sentido anti-horário Círculo de Mohr V = I H = II B H = II B B V = I θ B B B Cada ponto do círculo de Mohr representa o estado de tensão num plano com uma dada orientação no espaço 2D. I e II são as tensões principais s rotações dos planos, no círculo, são o dobro das rotações reais (observadas no espaço). O sentido é o mesmo porque a convenção de sinais adoptada na mecânica dos solos para as tensões normais é contrária à adoptada na Mecânica dos Meios Contínuos. B H = II B 2θ V = I 3

4 Círculo de Mohr das deformações y δε 1/2δγ y 1/2δγ y δε y 1/2δγ y B 90º δε y 1/2δγ y δε 1/2δγ δε 1/2δγ y 1/2δγ y 290º δε y B Pode haver valores positivos e negativos de deformações volumétricas δε No espaço bidimensional 1 δε y δε δε δγ y 2 ε = = δε yδε yy 1 δγ yδε yy 2 ε ε ε = ε y = ε y ε y 1 γ y 2 Convenção de sinais igual à das tensões 2. Modelos de comportamento mais usuais 1 1- Elástico linear 1 =Eε 1 E módulo de Elasticidade 11 1 ν ν 0 ε11 E 22 = ν 1 ν 0 ε 22 ( 1 ν )( 1 2ν ) ν ε Constantes elásticas: E, v e G ε 3 1 ε 1 ε 1 ε 3 = -vε 1 v coeficiente de Poisson E G= 2(1+v) G módulo de distorção 4

5 2- Elástico não linear 1 E tan módulo de elasticidade tangente E sec módulo de elasticidade secante Pequenas deformações ε 1 Pode ser assumido como um comportamento elástico linear nas pequenas deformações 3- Elástoplástico Tensão de cedência y carga descarga recarga ε P ε e ε ε P - Deformações irreversíveis ou plásticas ε e - Deformações elásticas ou reversíveis 5

6 Para os materiais mais comuns em Engenharia Civil: ço (tracção) Betão (compressão simples) E =Eε E =Eε Elástico linear ε ε Elástico não linear Solo (compressão com tensões crescentes de confinamento) H crescentes V V H H E ε V Elastoplástico 3. Tensões nos solos Superfície do terreno Na ausência de carregamento, num ponto à profundidade z, as tensões são devidas ao peso do solo: z Tensões verticais: V = γ h z H = II V = I V = I H = II Tensões horizontais: = k = kγ z H γ h peso volúmico do solo (seco, húmido ou saturado) k coeficiente de impulso (há várias epressões para o seu cálculo) V h Convenciona-se que a direcção vertical e a horizontal são direcções principais 6

7 Tensão total, pressão intersticial e tensão efectiva Solo húmido NF z1 z Tensão total: =γ h z Solo saturado (submerso) B z 2 =h w B =γ h z 1 +γ sat h w presença de água no solo tem que ser considerada u=γ w h w Pressão intersticial: u =0 u B =γ w h w com γ w =10kN/m 3 (peso volúmico da água) Pressão intersticial Representações mais usuais: u<0 Solo húmido (Sr<100%) Solo saturado (Sr=100%) u>0 N.F. N.. É positiva nos solos totalmente saturados e negativa (sucção) caso os solos não estejam saturados. 7

8 Pressão intersticial É a pressão na água dos vazios do solo (solo completamente saturado). É isotrópica ou hidrostática (igual em todas as direcções). resultante das pressões intersticiais é a impulsão. Esta força opõe-se ao peso nos corpos submersos. Tensão efectiva = - u Conceito de tensões efectivas de Terzaghi NF z1 z v v u h h h h u = - u B z 2 =h w v v tensão tensão pressão efectiva = total - intersticial u Tensão total: =γ h z B =γ h z 1 +γ sat h w pressão intersticial: u =0 u B =γ w h w tensão efectiva: =γ h z B =γ h z 1 +(γ sat -γ w )h w Peso volúmico submerso: γ sub ou γ 8

9 Tensão efectiva (Cap. 4) Sendo o solo um agregado de partículas sólidas, a sua resistência e variação de volume depende do arranjo das partículas (estrutura granular). Partícula sólida r (fase gasosa) Vazio com ar e água Partícula sólida Partícula sólida Água (fase líquida) Menisco Tensão efectiva (Cap. 4) No caso dos solos não estarem saturados, há água a formar meniscos nos contactos entre as partículas. Do equilíbrio entre a pressão do ar e da água eistentes nos vazios surgem forças de capilaridade (T). menisco Tubo capilar com diâmetro d h c - altura da água no tubo capilar s forças capilares unem as partículas entre si e, deste modo, aumentam a resistência do solo. nulam-se quando o solo é completamente saturado, o que eplica a perda significativa de resistência observada, por eemplo, na areia húmida. 9

10 Tensão efectiva (Cap. 4) Do ponto de vista macroscópico, o solo entende-se como um meio contínuo e o seu comportamento, descontando a presença da água, eplica-se por variações de tensões efectivas Verifica-se eperimentalmente que as tensões efectivas são as responsáveis pelas variações de volume e pela resistência dos solos. Eemplo de plicação Para os pontos e B: a) Calcule a tensão total,. b) Calcule a pressão intersticial, u. c) Calcule a tensão efectiva,. N.F. 0,0 m =120kPa B =200kPa u =60kPa =60kPa u B =100kPa B =100kPa reia: γ sat =20kN/m 3 6,0 m B 10,0 m 10

11 Capítulo 3 COMPORTMENTO FRICCIONL E COESIVO 1. Resistência ao corte - Distorção de um corpo e rotura por corte F F F γ Plano de corte Distorção (Comportamento elástico) Rotura por corte (Comportamento plástico) tensão neste plano é independente da deformação = f() 11

12 - Critério de rotura de Mohr-Coulomb Comportamento friccional - tensão normal φ c = c + µ = c + tanφ - tensão tangencial µ - coeficiente de atrito T F a =µp P em equilíbrio, T=F a tensão efectiva (normal ao plano de corte) c coesão (MPa) (c =0 se material tem comport. friccional) φ ângulo de resistência ao corte se c =0 Demonstra-se que, na rotura, a relação entre as tensões principais do círculo de Mohr é dada pela epressão: ' ' II I 1 sinφ' = 1+ sinφ' Rotura C φ 90º-φ II I B e B planos principais C plano de rotura 12

13 - Critério de rotura de Tresca C u = C u - tensão tangencial C u resistência não drenada (coesão não drenada) F=C u T Comportamento coesivo (solos coerentes) = C u resistência ao corte resulta das ligações internas do material 2. Comportamento friccional = c + tanφ Verifica-se nos materiais granulares Se c=0, o material tem comportamento puramente friccional (é o caso das areias) c=0, a envolvente passa na origem Escreve-se em termos de tensões efectivas porque se tem que se descontar a parcela do carregamento (peso) equilibrada pela pressão intersticial Corresponde a uma resposta em condições drenadas 13

14 3. Comportamento puramente coesivo = c u Verifica-se nos materiais coerentes como é o caso das argilas e de solos com uma percentagem importante de argila Escreve-se em termos de tensões totais porque não depende do nível de tensão instalado (devido ao carregamento ou ao peso, por eemplo) Corresponde a uma resposta em condições não drenadas 4. Propriedades de resistência (Cap. 4) s propriedades de resistência (φ, c e C u ) são obtidas em ensaios realizados para medir a resistência ao corte de solos lguns ensaios mais correntes: Caia de corte Corte simples Ensaio Triaial Verdadeiro ensaio triaial No ensaio aplicam-se forças (tensões) que provocam a rotura por corte (há corte porque há distorção). Durante o ensaio medem-se as tensões e as deformações até à rotura. 14

15 Ensaio mais simples: Caia de corte N T δ y δ y y γ y Caia de corte Caia de corte y = N Ω = T Ω Ω - área de contacto (ou da superfície onde ocorre a rotura por corte) y Ponto na envolvente de rotura z Eplicação física: pico reia densa F residual h1 h2 reia solta h2>h1 δv olume reia densa γ z umento de volume ψ>0 (dilatante: aumento de volume) γ z ψ<0 (contráctil: diminuição de volume) reia solta 15

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