VE1deFMID-4/5/2007 Questão Total Pontuação

Transcrição

1 Nome: VE1deFMID-/5/007 Quesão Toal Ponuação Máximo )[10 ps] O espaço veorial das radiações eleromagnéicas visíveis em infinias dimensões. No enano, para represenar cor, uilizamos um espaço apenas ridimensional(por exemplo, RGB). Por quê? Porqueoolhohumanopossuiapenasrêsiposdesensoresdecor. Paranóshumanos,umacorérepresenadaporapenasrês números(um para a inensidade de resposa de cada sensor). Assim, o espaço de cor para os humanos é apenas ridimensional. )[10 ps]nadigializaçãodeumaimagem,háprocessosdequanizaçãoeamosragem. Oquefazcadaumdeles? Amosrageméoprocessoderansformarodomínio R deumaimagem I:R R(ou I:R R 3 nocasocolorido)num domínio discreo, e ransformá-la numa mariz m n com números reais. Amosragem é discreização do"espaço" onde esá a imagem. Quanização é o processo de ransformar o conra-domínio R (ou R 3 ) de uma imagem I :R R (ou R 3 ) num conradomínio discreo. Assim, a imagem I passa a assumir apenas um número finio de valores. Uma escolha comum é omar o conra-domínio como o conjuno {0, 1,,..., 55}, mas freqüenemene usam-se conjunos com ainda menos ons de cor para efeios de compressão de imagens. Quanização é a discreização das"cores" da imagem. 3)[10 ps]umaimagem em8onsdecinzaapresenaoseguineHisograma Tom de Cinza NúmerodePixels Queremos converê-la para uma imagem com apenas dois ons de cinza um que reunirá odos os pixels com valores de 0 a 100eouroomquereuniráodosospixelscomvaloresde10a50. Quaisdevemserosvaloresdesesdoisnovosonspara minimizar o erro médio quadráico quando comparando a nova imagem com a original? Osnovosonsdecinzaserãoasmédiasponderadasdascoresdaimagemoriginalemcadainervalo,asaber: c 1 = 0(000)+10(000)+0(1000)+90(1000)+100(000) = = 30 =15 c = 10(500)+00(500)+50(1000) = = =.5 Exra: a propósio, para que uma quanização binária seja um mínimo local do erro quadráico médio, seu limiar deve saisfazer q= c 1+c =.5+15 =130.3 oqueéocasodeseproblema(odosospixelsabaixode 130vãoparaonível c 1 eosacimade 130vãopara c ). 1

2 )[0ps]Muliplicandoosinalf()pelopenededelascomb()= δ( n),obemososinalg()= f(n)δ( Agoravamosenarreconsruirosinaloriginalfazendoaconvoluçãodeg()comoseguinefilroh()(ambémchamadofilro ha, ou seja, chapéu): h() a)exiseumarelaçãosimples enreográficodep()=(g h)()eográficodosinal originalf(). Qualéesarelação? Em paricular,queipodesinalf()eriadeserparaermosreconsruçãoperfeia,isoé,paraermosp()=f()? b)aconvoluçãocomh()éumafilragem. Enconreĥ(w)eesboceseugráfico. Vocêdiriaqueesaéumafilragem"passa-ala" ou"passa-baixa"? a)soluçãoalgébrica/gráficacura: g()éumaamosragemde f()para variandodeumemum,assim: f(1) f(-1) f(0) f(3) f() Convoluirisocom h()écolocarumacópiade h()noopodecadaumdesasdelas;noequealargurade h()éexaamene 1,enão g hseráasomadevárioschapéuscadaumcenradonumnúmeroineiro ( ) g h= f(n)δ( n) h()= f(n)(δ( n) h())= f(n)h( n) h() Emcadainervalodaforma [n,n+1],esesomaórioseráasomadeapenasduasfunções,ambasafins;porano,emcada inervalodaforma [n,n+1],eremosumafunçãoafim(segmenoderea). Enfim,noequenosineirosasomadáexaamene f(n)(poisapenasumchapéunãoseanulaali). Conclusão: ográficode h()seráumalinhapoligonalcomvéricesnosponos (n, f(n)) da amosragempara que esa reconsrução seja perfeia, seria necessário que o gráfico de f() fosse uma linha poligonal com vérices nos ponos de abcissas ineiras.

3 Solução algébrica comprida: em primeiro lugar, escrevamos h() expliciamene 1,se0 <1 h()= 1+,se 1< 0 0,se 1 Assim: (g h)()= g(u)h( u)du= f(n)δ(u n)h( u)du= f(n)h( n) Noequeháapenasdoisvaloresde nquefazemcomque n [ 1,1](e,porano, apenas dois valoresnosomaórioacima quenãoseanulam). Defao,suponha que k (k+1)(onde k=[] éineiro). Enão 1 (k+1) 0 k 1. Isosignificaque n=ke n=k+1dãoosúnicosvaloresnão-nulosnosomaórioacima. Porano: Usandoaexpressãode h()acima: (g h)()=f(k)h( k)+f(k+1)h( (k+1)) (g h)() = f(k)(1 ( k))+f(k+1)(1+ (k+1))= = f(k)(1 ( k))+f(k+1)( k) Em suma, os valores de g h no inervalo [k,k+1] são inerpolações lineares dos valores f(k) e f(k+1) (noe que =k α=0e =k+1 α=1),ouseja,ográficode (g h)()neseinervaloéumsegmenoderealigando (k,f(k))e (k+1,f(k+1)). b) ĥ(w) = = = h()e πiw d= ( (1+)e πiw πiw ] πiw 1 πiw + 0 (1+)e πiw d+ 1 0 e πiw 1 ( (1 )e πiw 1 πiw d+ πiw ( ] e πiw 0 ( ] e πiw 1 π w π w (1 )e πiw d= ] e πiw 0 πiw d= = eπiw e πiw + π w = cos(πw) π w = sin (πw) π w =(sinc(πw)) w Exra: noe que h() é a convolução de duas funções idênicas do ipo "box" (consanes iguais a 1 em [ 1, ] 1 ); por ese moivo,ĥ(w)éoquadradodaransformadadefourierdeumabox,isoé,oquadradodeum sinc. 3

4 5) [0 ps]considereaimagemdigiali mosradaaseguiràesquerda(queé10 10),aimagemhàdireia(demesmo amanho),asmáscarasg,l,d 1 ed easmudançasdeinensidadeg 1,g eg 3 aseguir: G= 1 5 I L= 1 [ ] 1 1 D1 = 7 h D = g 1 g g 3 A parir deles, efeuamos as 10 seguines operações de filragem ou modificação de brilho: a)i G b)i G G G c)i L d)g 1 (I) e)g (I) f)g 3 (I) g)55 (I D 1 ) h)55 (I D ) i)i δ(x 80,y 0) j)i h Os resulados esão denre as 11 imagens nas próximas páginas. A que imagem corresponde cada operação? Descreva brevemene o efeio das seis primeiras operações a-f(use no máximo uma linha para cada descrição). Você não precisa jusificar as suas resposas. Solução: a)esaoperaçãoborraaimagememodasasdireções. Imagem5. b)esaoperaçãoborraaimagemaindamais,emodasasdireções. Imagem. c) Esa operação borra a imagem apenas na direção horizonal(aresas horizonais coninuarão níidas). Imagem 3. d) Negaivo da imagem. Imagem 10. e)quanizaçãodaimagemem3ons. Imagem11. f)correçãogamacom α>1.0(maisbrilhonaimagem). Imagem. g) D 1 éumaespéciedederivadanadireçãohorizonal,o 55fazonegaivo. Desacaráaresasvericais. Imagem8. h) D éumaespéciedederivadanadireçãoverical,o 55fazonegaivo. Desacaráaresashorizonais. Imagem7. i) A convolução com a dela ransladada ranslada a imagem (como as imagens são digiais finias, convolução é circular). Imagem 9. j) Convoluindo comonegaivo de h daria umaborraçãona direção do raço. Enão esa operação é uma borração na direção do raço, composo com um negaivo. Imagem 1.

5 Imagens(p.1):

6 Imagens(p.):