correlações, tirar delas suas consequências para descrição, explicar o que passou e fazer previsões. A estatística pode ser descritiva, em que o

Transcrição

1 - INTRODUÇÃO A mostrgem é um ferrment e sum importâni pr se onheer populções e é por meio ess que são luls s estimtivs os seus prâmetros. O esenvolvimento ess áre o onheimento está intimmente reliono om evolução esttísti, uilios pel mtemáti. Será or, seguir, um reve isussão sore o esenvolvimento os ensos e inventários oorrios o longo históri. O Egito ntigo, uj sorevivêni populção epeni priniplmente griultur, esenvolveu-se às mrgens o Rio Nilo e possuí um progrm e istriuição e limentos por meio ornç e impostos. Se-se que esses impostos erm oros proporionlmente à áre e que no oorri hei o Rio Nilo, esmrno s iviss que lolizvm s propriees. Portnto, pr efetur ornç esss ts, er neessário fzer um enso pr onheer áre ultivável totl e qunto esss terrs griultor possuí (STRUIK, 987). N Gréi ntig surgirm os primeiros estuos emográfios os quis se tem onheimento. Nesss pesquiss, populção to er entrevist, um vez que não eisti iéi e mostrgem. Com o pssr os nos e o umento populção, tornou-se etremmente trlhoso fzer esse levntmento, neessitno-se, ssim, e um sistem mis rápio e que emnsse um menor quntie e mão-e-or (IFRAH, 947). Um enso envolve um eme e toos os elementos e um o grupo, o psso que mostrgem envolve o estuo e pens um prte os elementos. A finlie mostrgem é fzer generlizções sore too um grupo sem preisr eminr um e seus elementos. Seguno BOYER (996), plvr esttísti surgiu epressão em Ltim sttistium ollegium (plestr sore os ssuntos o Esto), originno o termo em língu itlin sttist, que signifi "homem e esto", ou polítio. Em lemão, Sttistik esign nálise e os sore o Esto. O sentio oto tulmente surgiu no iníio o séulo 9. Slient-se que o esenvolvimento e erts áres eperimentção iológi só foi possível evio o uso os métoos esttístios (MOOD; GRAYBILL, 978). Form então esses mesmos iólogos os que esenvolverm prte essenil est teori. A efinição e esttísti mis hitul tulmente é que ess é um áre o onheimento que utiliz teoris proilístis pr eplição e eventos, estuos e eperimentos. Ess teori tem por ojetivo oter, orgnizr e nlisr os, eterminr sus

2 orrelções, tirr els sus onsequênis pr esrição, eplir o que pssou e fzer previsões. A esttísti poe ser esritiv, em que o ojetivo é, em gerl, simplifição e informções, e proilie, situções em que envolvm so, e e inferêni, que é nálise e interpretção e os mostris (JOHNSON; LEONE, 964). De oro om EUES (995), o psso eisivo pr funmentção teóri inferêni esttísti, ssoi-se o esenvolvimento o álulo s proilies, que teve sus origens nos jogos e zr, no séulo XVII. Há utores que sustentm que o álulo s proilies teve su origem n Itáli om Pioli (445-54), Crno (5-576), Trtgli ( ), Glileo (564-64) e outros. O livro "De Rtioiniis in Luo Alee", esrito por Huyghens (69-645), é onsiero o primeiro livro sore álulo s proilies e tem prtiulrie notável e introuzir o oneito e espernç mtemáti. Ness pulição ele it que s proilies são utilizs pr eprimir hne e oorrêni e etermino evento. A mostrgem é o to e oter um mostr e um populção qul se esej fzer inferêni. O levntmento por mostrgem, quno ompro om o enso, present ustos menores, resultos em menor tempo e ojetivos mis mplos. Um mostrgem proilísti oorre quno elemento populção, qul é esolhi mostr, tem um proilie onhei e iferente e zero e pertener el. Com ojetivo e mplir os estuos e profunr os resultos, form esenvolvis istriuições e freqüêni, que são grupmentos e os em lsses. Um istriuição e freqüênis reltivs, pr os resultos e um espço mostrl, onstitui um istriuição e proilie. Esss istriuições poem ser ontínus ou esontínus, e oro om os tipos e vriáveis em questão, isrets ou ontínus. Enqunto um vriável letóri isret poe ser esolhi e possíveis vlores finitos ou infinitos numeráveis, s vriáveis letóris ontínus presentm um onjunto e possiilies inontáveis ou não numeráveis. Com rição teori e mostrgem houve neessie o esenvolvimento e Funções Proilístis pr vlição e istriuições ontínus. Assim, surgirm s Funções Densie e Proilie. Seguno ROSS (988), primeir e mis utiliz função esenvolvi foi Curv Norml, ri pelo mtemátio frnês Arhm De Moivre, em 733, om finlie e proimr proilies referentes lnçmentos e moes. Entretnto, pens em 89 o oneituo mtemátio Johnn Crl Frierih Guss usou omo um prte integrl su proimção pr preizer o lol e enties

3 3 stronômis, puli n tereir seção o livro Theori Motus. Nesse moelo áre so urv entre méi e um ponto ritrário é função o número e esvios prões entre méi e quele ponto. Ess istriuição esempenh um ppel essenil n históri o estuo s populções e é mplmente plio n áre iológi, resultno em um eelente erêni. Foi om se nest função que Guss esenvolveu teori e regressão liner, funmentl pr evolução o juste e moelos preitivos. Novs pesquiss, ns mis iverss áres, form relizs e form esoerts istriuições e os que não erm stisftorimente representos pel Curv Norml, o que fomentou us por istriuições ssimétris em relção à méi ritméti. Dos moelos mis utilizos, poe-se itr Função Weiull, esenvolvi em Stokholm por Ernst Hjlmr Wloi Weiull em 939 om finlie e relizr um plnejmento esttístio sore fig e mteriis. A istriuição Bet é utiliz priniplmente pr nálises Byesins, PERT e CPM, por ser inomil. A função Gmm é hm e istriuição χ n (lê-se qui-quro) om n grus e liere quno λ = e n t =, n seno um inteiro positivo. A Eponenil poe ser onsier omo so prtiulr Gmm e tem sio utiliz pr prever o períoo e tempo neessário té oorrêni e um evento. No entnto, mesmo esss istriuições vêm teno esempenho io s epettivs quno vriilie os os é lt. BARROS (98), no interior Amzôni, pesquisno istriuição imétri e espéies róres ntivs, enontrou-se um onjunto e os e form pltiúrti, iferente e tuo que se onhei nesse âmito. Nesse estuo form justos ois tipos e funções Eponenil, em omo os moelos e Mervrt, Pierlot, Goff e West, Weiull e Bet. As florests nturis o Brsil possuem rterístis únis em euerâni e heterogeneie. Há um esforço por prte os pesquisores pr entener o omportmento o resimento e espéies ntivs, tnto iniviulmente, qunto oletivmente. Esses profissionis vêm usno n esttísti novs funções que sejm sufiientemente fleíveis pr pliá-ls em os e regenerção nturl esss espéies. Outro ponto importnte ser onsiero é o tmnho s populções florestis. Esss gerlmente se ompõem e etenss áres e úni lterntiv pr orá-ls é mostrgem, um vez que nesss irunstânis torn-se inviável o enso, em função o tempo e, priniplmente, o usto requerio pr ess operção.

4 4 Muitos estuos têm sio relizos no Brsil fim e entener inâmi e resimento e espéies ntivs. Nesss pesquiss tem se utilizos iverss funções ensie e proilie, lém s its nteriormente, omo por eemplo, Log- Norml, que é um vrição norml. JUSTIFICATIVAS Um função mtemáti que poss tener às vlições e mortlie e sorevivêni e regenerção nturl terá importâni e plição pr elorção os plnos e mnejo e florests nturis, em omo onheer om mior profunie tenêni e mortlie oorrente nesses mientes. Após plir os moelos lássios à istriuição e lturs o Sssfrás (Oote oorifer) verifiou-se que esses não resultrm em om juste, priniplmente ns primeirs lsses, one estão onentrs té 9% os inivíuos. Atulmente, o moelo mis utilizo pr representção regenerção nturl e espéies ntivs é o eponenil, onheio n litertur florestl omo J invertio. Esse moelo present um om juste, ms onsier, em um istriuição e lturs, que há β inivíuos om ltur zero, o que não é um relie. Funment-se est pesquis n neessie e esenvolver um função ensie e proilie pz e representr, e form stisftóri, istriuição e lturs e espéies róres ntivs. Esse moelo eve ser sufiientemente fleível pr representr grne vrição oorrente entre s lsses, ou sej, grne quntie e inivíuos onti ns primeirs lsses e o pequeno número e regenerções que formm s lsses suseqüentes, em omo pssr pel origem, ou sej, quno =, f ( ) = premiss supõe-se teorimente que não eistem inivíuos om ltur (zero).. Amitino-se ess últim OBJETIVOS Ojetivo Gerl O ojetivo prinipl est pesquis foi justr moelos mtemátios que possm ser onvertios em funções ensie e proilie e que sejm pzes e permitir vlição proilísti regenerção nturl e espéies florestis ntivs.

5 5 Ojetivos Espeífios Testr iverss funções, fim e esolher o moelo que melhor represent istriuição os os e regenerção nturl; Comprr efiiêni est e e outrs funções ensie e proilie lássis, omo Norml, Weiull, Gmm, Bet e Eponenil, que tulmente são s mis plis pr ess rterizção; Testr o moelo mtemátio seleiono em istriuição e lturs e um espéie ntiv pr omprovr su efiiêni em termos e fleiilie e erêni; Desenvolver s fórmuls pr lulr os prâmetros méi, vriâni e mo, em omo pr os pontos e infleão; e Simulr s forms que função poerá ssumir, e oro om vrição os oefiientes.

6 - REVISÃO DE LITERATURA REGENERAÇÃO NATURAL A regenerção nturl é um proesso importnte pr sorevivêni s florests. Pr SEITZ (994) esse é um proesso rterístio e espéie, em perfeit sintoni om s onições mientis e o meio, permitino, ssim, perpetução o ptrimônio genétio urnte o tempo. Pr CRESTANA (), regenerção nturl sustitui s árvores morts n florest. CORVELLO (983) iz que regenerção nturl onstitui um liere pr sorevivêni e o esenvolvimento o eossistem florestl e represent um esfio pr os ténios áre florestl evio, em prte, os esssos onheimentos sore uto-eologi s espéies ntivs. Consierno inâmi e resimento e esenvolvimento s florests, o estuo omposição e estrutur regenerção nturl é origtório pr elorção e plição orret os plnos e mnejo silviulturl, permitino, ssim, o proveitmento rionl e permnente e áres florestis (CARVALHO, 98). Seguno MARIANO et l. (998), regenerção nturl e espéies lím result o no e plântuls ou que e sementes em lois propíios o seu esenvolvimento. SEITZ (994) firmou que tos s espéies possuem onições e se regenerr nturlmente, entretnto o suesso ess inâmi está iretmente reliono vários ftores, tis omo: proução, ispersão e snie e sementes / propágulos, presenç e preores, umie o sustrto, tempertur, iniiores ioquímios, energi (luz), nutrientes e miorrizos. O suesso regenerção nturl epene germinção e ompetição, pois no fim o urto proesso germinção plântul eie um superfíie fotossintéti sufiiente pr o seu próprio steimento em limento. A ompetição é um proesso que efine intensie e regenerção por espéie, em que s plnts soreviventes serão quels que estiverem genéti e fisiologimente pts utilizr o máimo os ftores e proução (INOUE, 979). Seguno SANQUETA; NINOMIYA; OGINO (99), os tipos e estrtégi e regenerção nturl e florests ntivs poem ser simente os seguintes: Espéies formors e no e sementes: pioneirs epositors e sementes que permneem ormentes no solo à esper por istúrios n florest que fvoreçm su germinção;

7 7 Espéies formors e no e mus: espéies lím proutors e sementes que germinm e sorevivem so somr; Espéies ispersors: espéies proutors e sementes que poerão germinr so somr, ms que não sorevivem e mneir signifitiv; Espéies om pie e reproução vegettiv: espéies que rotm e rerotm, ums somente so éu erto e outrs so somr. Os resultos e pesquiss respeito e regenerção nturl vism propor metoologis e mnejo propris pr espéie, em omo e informções sore o omportmento s espéies n florest que, em onseqüêni, servirão pr um infinie e tivies relions à reproução s espéies ntivs (SILVA; BRITEZ; SOUZA, 993). O ojetivo o levntmento etermin os limites regenerção nturl e onstitui o poio eológio pr sorevivêni o eossistem florestl (FINOL, 969). Os inivíuos que onstituem regenerção nturl são queles om DAP menor que 5 m (ROLLET, 969; VOLPATO, 994). CARVALHO (98) eterminou omo limite superior regenerção o DAP e 5 m e, seguno LONGHI (98), poe-se onsierr os inivíuos róreos om DAP menor que m inlusos ness lssifição. Alguns utores onsierm omo regenerção nturl toos os esenentes s plnts róres que se enontrm entre, m e ltur té os m e iâmetro à ltur o peito (DAP) (HOSOKAWA, 986; FINOL, 97). Ess será efinição ot no presente estuo. Mortlie é o número e árvores que form mensurs, não form orts e morrerm urnte o períoo e resimento. Os ftores que usm mortlie são ie ou senilie, ompetição e supressão, oençs ou prgs, onições limátis, fogos silvestres, nelmento e envenenmento, injúris, orte ou te árvore (SANQUETTA, 996). A tivie meristemáti ger o resimento s árvores, ou sej, o longmento e engrossmento s rízes, glhos e trono, o umento o peso, volume e form árvore. Em um florest, o umento em tmnho oorrio em um intervlo e tempo é efinio omo resimento e é o pel tivie s árvores vivs, porém su somtóri não represent o resimento florest omo um too, pois árvores morrem, são orts ou reruts. O resimento s árvores, mis onvenientemente meio pelo inremento irunferêni ou iâmetro à ltur o peito é e grne interesse pr silviultur e o mnejo florestl (GOMIDE, 997).

8 8 As vriáveis utilizs ness pesquis são o DAP (iâmetro ltur o peito), meio em entímetros, um ltur e,3 metros, om preisão e,5 entímetros, utilizno-se fit métri, e ltur, mei em metros, utilizno-se fit métri, om preisão e, metros. Seguno ARCE et l. (998), o resimento s florests poe ser entenio omo um proesso ontínuo, que inlui um entr, um movimento e um sí e mtéri. A entr é o ingresso, o movimento é o resimento, e sí é mortlie. SASSAFRÁS O sssfrás (Oote oorifer (Vellozo) J. G. Rohwer) é onheio omo nelsssfrás, sssfrás mrelo, sssfrás rjo, sssfrás preto, sssfrás esuro em Snt Ctrin e omo nel em Mins Geris (MATTOS FILHO, 958). Ess espéie rterizse por ser um plnt perenifóli, preferino o lto s enosts e solos rsos e e rápi rengem. Ns formções mpestres e ltitue, seu trono é urto e plnt é mis i ( m) om op em rreon. Prouz nulmente irregulr quntie e sementes (LORENZI, 998). Est espéie present resimento monopoil, om os glhos istriuíos, n fse jovem, em pseuo-vertiilos e inserios em ângulos e 9º e su região e oorrêni é o esto o Rio Grne o Sul té Mins Geris. O sssfrás present ispersão irregulr e esontínu e sementes (INOUE; RODERJAN; KUNIYOSHI; 984). Seguno CARVALHO (3) o sssfrás é um plnt esiófit e om resimento reltivmente lento quno jovem. Qunto o grupo suessionl, o sssfrás é um espéie seunári tri ou lím e é tolernte à somr. N áre e su oorrêni nturl, o sssfrás é um espéie lím, formor e no e mus, prouzino sementes que germinm e sorevivem so somr (REITZ; KLEIN; REIS, 978; REITZ; KLEIN; REIS, 988). TÓPICOS DE MATEMÁTICA Há um sensível e importnte iferenç entre os oneitos e o e informção. O proessmento e os onstitui um ju porque reuz quntie e etlhes. Além isso, filit onsttção e relções. Do é o onjunto e vlores meios, mensuros ou oservos, enqunto que seu proessmento trnsform-os em informções, orgniznoos e onensno-os em gráfios ou em pouos números, os quis, então, trnsmitem essêni os os. O efeito onsiste em eliminr etlhes menores e enftizr os spetos importntes os os (STEVENSON, 98).

9 9 Seguno LEITHOLD (98) vriável rel é um símolo que represent qulquer um os números e um onjunto rel e números. Esse onjunto é o mpo ou omínio vriável. Um onstnte é um quntie ujo vlor permnee inltero num o prolem. O mpo ou omínio e um onstnte é um número, simplesmente. Entene-se por um função f um tern ( A B, ), one A e B são ois onjuntos e, um regr que permite ssoir elemento e A um únio e B. O onjunto A é o omínio e f e ini-se por D f, ssim A=D f. O onjunto B é o ontromínio e f. O únio e B ssoio o elemento e A é inio por f ( ) (GUIDORIZZI, 987). Sej S um espço em que se efin um função e proilie. Sej um função e vlores reis efini em S ( função trnsform pontos e S em pontos e ). Diz-se que é um vriável letóri (vriável letóri uniimensionl) (MOOD; GRAYBILL, 978). As vriáveis letóris poem iviir-se em us lsses: ) um vriável letóri isret é quel que tom somente um número finito ou um infinie numerável e vlores; ) Um vriável letóri ontínu poe ssumir qulquer vlor e erto intervlo ou oleção e intervlos sore esse, sem restrição e que queles sejm números isolos. Um vriável isret poe ssumir um número finito ou infinito numerável e vlores, enqunto que um vriável ontínu poe ssumir um número infinito e vlores não numeráveis. Diz-se que é um vriável letóri isret uniimensionl se é um vriável letóri que tom somente um numero finito ou infinito numerável e vlores esse. Suponh-se que tom unimente vlores,,..., n f ( ),..., ( ) f,,... om proilies ( ) f n,... e imgine-se que A é qulquer suonjunto os pontos,,..., n,..., proilie P ( A) o suesso A (proilie e que estej em A) se efine omo = P ( A) f ( ), em que f ( ) represent som e ( ) A A pertenem A (MOOD; GRAYBILL, 978). f pr queles vlores i que MOOD; GRAYBILL (978) efine que é um vriável letóri ontínu uniimensionl se eiste um função f tl que ( ) f pr too o intervlo < < e tl que pr qulquer suesso e A P ( A) = P( estej em A) = f ( ), em que ( ) enomin função ensie e. A f se

10 De oro om FLEMMING; GONÇALVES (99), seno f um função, o gráfio e f é o onjunto e toos os pontos ( f ( ) ) omínio e f. Se um função f ( ) é por ( ) f ( ) é um função onstnte (LEITHOLD, 994). Função ientie é função, e um plno ooreno, em que pertene o f =, seno um número rel, então iz-se que f : IR IR efini por f ( ) =. O gráfio ess função é um ret issetriz os qurntes ímpres (FLEMMING, GONÇALVES, 99). As mesms operções vális pr números são vális pr funções, ou sej, poe-se prouzir novs funções efetuno-se operções omo iionr, sutrir, multiplir e iviir. FLEMMIMG; GONÇALVES (99) firmm que s s funções f e g, su som f + g, iferenç f - g, prouto f g e quoiente f /g, são efinis por: ) ( f g)( ) = f ( ) + g( ) + ; ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) ; ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) ) ( g)( ) ( ) ( ) f f / =. g ; e = n n n Se um função for efini por ( ) n,,, são números reis n n f, em que e n é um número inteiro não negtivo, então ( ) f será hm e função polinomil e gru n. Um lssifição mis rngente efine função lgéri omo quel form por um número finito e operções lgéris sore s funções ientie e onstnte (SILVA, 3). Limites Sejm f um função e p um ponto o omínio e f ou etremie e um os intervlos que ompõem o omínio e f. Diz-se que f tem limite L em p, se, pr too ε > o, eistir um δ > tl que, pr too D f, < p < δ f ( ) L < ε. Tl número L, que quno eiste é únio, é inio por f ( ) ε >, δ > tl que, pr too D f lim f ( ) = L (GUIDORIZZI, 987). p < p < δ f ( ) L < ε lim. Assim, p

11 De oro om FLEMMING; GONÇALVES (99), um função f é ontínu no ponto se s seguintes onições forem stisfeits: f é efini no ponto ; f ( ) lim eiste; e f ( ) = f ( ) lim. Derivs y A eriv e um função f ( ) ( + ) f ( ) y = em relção é efini por y f = f '( ) = y' = lim = lim ese que o limite eist. A t instntâne e vrição e um função f ( ) (PISKOUNOV, 993). y = em relção é por A eriv fornee inlinção ret tngente à urv f ( ) ( f ( )). Portnto, geometrimente, eriv função f ( ), inlinção urv nesse ponto (FLEMMING, GONÇALVES, 99). y y = no ponto y = no ponto represent To função erivável num ponto é ontínu nesse ponto (PISKOUNOV, 993). Do que f ( ) eiste pr toos os vlores e (, ) one < <, se f '( ) eiste, então f '( ) =. e f tem um etremo reltivo em, Se função f é erivável num intervlo erto onteno, se (, f ()) é um ponto e infleão o gráfio e f, então se f () eiste, f () = (LEITHOLD, 98). Integris Teorem Funmentl o Cálulo De oro om SWOKOWSKI (994), supono-se f ontínu em um intervlo feho [, ] : Se função G é efini por G ( ) = f ( t) t pr too em [ ] ntieriv e f em [, ] ; e Se F é qulquer ntieriv e f em [, ], então f ( ) = F( ) F( ).,, então G é um

12 FLEMMING; GONÇALVES (99) itm que quno função f é ontínu e não negtiv em [, ] efinição integrl efini oinie om efinição áre. Portnto, neste so, integrl efini ( ) e o eio s sisss no intervlo e té. f é áre região o gráfio elimit entre urv FIGURA REPRESENTAÇÃO DA ÁREA DEFINIDA ENTRE A CURVA E O EIXO DAS ABSCISSAS Integris imprópris SWOKOWSKI (994) efine s integris imprópris omo: Se f é ontínu em [, ) então ( ) = f ( ) f lim ; e t t Se f é ontínu em (,], então ( ) = f ( ) f lim, ese que o limite eist. t t MODELAGEM De oro om STEVENSON (98), um os prinipis instrumentos etensmente usos n esttísti é o moelo. Os moelos são versões simplifis e lgum prolem ou situção vi rel. São usos pr ilustrr ertos spetos situção, evitno grne número e etlhes que tlvez sejm irrelevntes pr o prolem; poem, ssim, jur reuzir o gru e ompleie e um prolem. Seguno MEYER (969), tos s vezes que se empreg mtemáti fim e estur lguns fenômenos e oservção eve-se essenilmente omeçr por onstruir um moelo mtemátio (eterminístio ou proilístio) pr esses fenômenos. Inevitvelmente, o moelo eve simplifir s oiss e ertos pormenores evem ser esprezos. O om resulto o moelo epene e que os pormenores esprezos sejm ou não relmente sem

13 3 importâni n eluição o fenômeno estuo. A resolução o prolem mtemátio poe estr orret e, não ostnte, estr em grne isorâni om os os oservos, simplesmente porque s hipóteses ásis feits não sejm onfirms. Gerlmente é stnte ifíil firmr om ertez se um moelo mtemátio espeifio é ou não equo ntes que lguns os e oservção sejm otios. A fim e verifir vlie e um moelo eve-se euzir erto número e onseqüênis o moelo e, seguir, omprr esses resultos previstos om oservções. Um moelo eterminístio é quele que estipul onições so s quis um eperimento ser eeuto etermin o resulto o eperimento. Em um moelo eterminístio empreg-se onsierções físis pr prever o resulto, enqunto que em um moelo não-eterminístio (tmém hmo e proilístio ou estoástio) empregse mesm espéie e onsierções pr espeifir um istriuição e proilie (MEYER, 969). Pr STEVENSON (98), estimção é o proesso que onsiste em utilizr os mostris pr estimr os vlores e prâmetros populionis esonheios. Essenilmente, qulquer rterísti e um populção poe ser estim prtir e um mostr letóri. Entre os mis omuns estão méi e o esvio prão e um populção e proporção populionl. A vlição e inventários, estimção o usto e projetos, vlição e novs fontes e energi, preições sore relizção e empreenimentos, estimtivs e tempo méio são tos situções que envolvem estimção. A estimtiv pontul é estimtiv úni e um prâmetro populionl, enqunto que estimtiv por intervlo á um intervlo e vlores possíveis, no qul se mite estej o prâmetro populionl. A moelgem teve seu iníio no inventário florestl, um vez que ess téni possiilit esrição quntittiv e qulittiv s florests nturis ou rtifiiis. A esrição quntittiv é feit prtir o volume e meir e o número e árvores isponíveis, enqunto que esrição qulittiv s espéies ontis n florest é feit onsierno-se sus rterístis e utilizções (COUTO s..) O inventário fornee situção florest no momento em que ess foi mei. (PENG, ). A moelgem poe ser feit prtir e árvores iniviuis, que são otis pelo inventário e pontos permnentes e poem inir mortlie o inivíuo em estuo, lém e outros spetos. A moelgem empíri é se moelgem utiliz em mnejos florestis e meniist é mis ireion pr pesquiss. A moelgem florestl está

14 4 intimmente lig o mnejo e florests, pois, om onição e se preizer o futuro e um florest é mis fáil eplorá-l rionlmente, sem que hj gressões o meio miente (VANCLAY et l., 997). Pr que um moelo mtemátio poss ser onsiero um função ensie e proilie, é neessário que s onições esrits no próimo item sejm tenis. TÓPICOS DE ESTATÍSTICA A onepção profn e esttísti usulmente inlui oleção e grne quntie e os e presentção esses em tels ou gráfios; poe inluir tmém o álulo e totis, méis, porentgens, entre outros. Em too so, esss operções são pens um pequen prte esttísti (MOOD; GRAYBILL, 978). Pr JOHNSON; LEONE (964), plvr esttísti é us em iversos ontetos. Infelizmente lgums pessos menos informs efinem pens omo um mer oleção e os, tis omo A esttísti o Brsil, O enso e um pís, Tels e mortlie, Esttísti proução e um fzen, entre outros. Esss oleções e os ertmente são importntes fontes e informção, seno pré-requisitos pr um trlho esttístio. Porém ess é pens um prte esttísti. A prtir e olet e os so onições ontrols poe-se oter lgum informção que possiilite tirr onlusões. MOOD; GRAYBILL (978) slient, sore origem teori esttísti, que erts áres eperimentção iológi lnçrm um ponto que, pr que houvesse progresso, er impertivo o uso os gor enominos métoos esttístios. Form então esses mesmos iólogos os que esenvolverm prte essenil est teori. O urioso é que esse esenvolvimento eu-se e form prlel quse toos os mpos o onheimento strto. Seguno JOHNSON; LEONE (964), esttísti poe ser ivi em três prtes: ) Esttísti esritiv: Compreene orgnizção, o resumo e, em gerl, simplifição e informções, que poem ser muito omples; ) Proilie: Útil pr nlisr situções que envolvm so, omo istriuições imétris, volumétris, flhs em menismos, jogos e os e rts; e 3) Inferêni: Diz respeito à nálise e interpretção e os mostris. As origens mtemáti proilie remontm o séulo XVI. As plições iniiis referim-se quse tos jogos e zr. Os jogores rios plivm o onheimento teori s proilies pr plnejr estrtégis e posts. Mesmo hoje in há muits plições que envolvem jogos e zr, tis omo os iversos tipos e loteri, os ssinos, s orris e vlos e os esportes orgnizos. Tovi, utilizção s proilies

15 5 ultrpssou muito o âmito esses jogos. Hoje os governos, s empress, s orgnizções profissionis inorporm teori s proilies em seus proessos iários e elierções (STEVENSON, 98). Ain e oro om STEVENSON (98), s proilies são utilizs pr eprimir hne e oorrêni e etermino evento. A proilie e oorrêni e um evento é por um número e que poe vrir e. O métoo lássio pli-se à situções que tem resultos igulmente prováveis. Os jogos e zr usulmente presentm est rterísti e resultos igulmente prováveis. Clulr proilie por esse métoo onsiste em ientifir o número e resultos fvoráveis e ivii-lo pelo totl e sos possíveis no espço mostrl. Seguno orgem sujetiv, proilie é um vlição pessol o gru e viilie e um evento e está fortemente relion om renç (STEVENSON, 98). A efinição lássi e proilie, seguno MOOD; GRAYBILL (978), iz que se um suesso poe oorrer e n mneirs mutumente eluentes e igulmente verossímeis e se n A esss possuem um triuto A, proilie e A é frção n A. n Emor nenhum plno e mostrgem poss grntir que mostr sej etmente semelhnte à populção qul foi etrí, um mostr letóri permite estimr o vlor o erro possível, isto é, izer quão próim está mostr populção, em termos e representtivie. As mostrs não-letóris não presentm ests rterístis. A prte o too tom é hm mostr e o too o qul se etri mostr é esigno omo populção ou universo. Os elementos que ompõem um populção poem ser inivíuos, firms, proutos mnufturos, árvores ou prels, esols, nots e ul, preços, ou qulquer ois que poss ser mensur, ont ou oren seguno postos (STEVENSON, 98). De oro om STEVENSON (98), o propósito mostrgem é fzer generlizções sore populção ási; é iomátio que populção lvo sej estelei e moo que se poss fzer generlizções vális. As populções limits em tmnho são enomins finits, enqunto que s não limits em tmnho são hms infinits. A mostrgem é preferível o enso quno: A populção for infinit, pois o trlho nun ri; Se neessit informções em urto espço e tempo; Se neessit estruir os itens pr relizr o eperimento (testes estrutivos); O usto o enso torn-o inviável eonomimente; e

16 6 A utilizção e mostrs permite mensurr vriáveis que não serim viáveis se fosse relizo um enso, em função o tempo e o usto. Assim, por meio mostrgem é possível relizr um estuo mis mplo e profuno. O enso é preferível à mostrgem quno: A populção poe ser tão pequen que o usto e o tempo e um enso sejm pouo mior que pr um mostr; Se o tmnho mostr é grne em relção o populção, o esforço iionl requerio por um enso poe ser pequeno; Se é eigi preisão omplet, então o enso é o únio proeimento eitável; e Osionlmente já se ispõe e informção omplet, e moo que não há neessie e mostr. A finlie mostrgem, onforme esrito por JOHNSON; LEONE (964), é oter um inição o vlor e um ou mis prâmetros e um populção, tis omo méi, o esvio prão, ou proporção e itens que possuem etermin rterísti. A esttísti mostrl que orrespone esses prâmetros populionis é us pr proimr os vlores esonheios queles prâmetros. Assim é que méi mostrl é us pr estimr méi populção e o esvio prão mostrl é uso pr estimr o esvio prão populionl. DISTRIBUIÇÕES Um istriuição e proilie ou e freqüênis reltivs é síntese o grupmento e os em um espço mostrl; mostr proporção s vezes em que vriável letóri tene ssumir um os iversos vlores (STEVENSON, 98). As istriuições esontínus e proilies envolvem vriáveis letóris reltivs os que poem ser ontos, omo o número e oorrênis por mostr, ou o número e oorrênis por unie num intervlo e tempo, e áre, ou e istâni (STEVENSON, 98). De oro om MEYER (969), se X um vriável isret, portnto, R, o ontromínio e X, será formo no máimo por um número infinito numerável e vlores,,.... A possível resulto enomino proilie e i. Os números p ( ) ssoi-se um número p ( ) P( X = ) i i =, i i, i =,,... evem stisfzer s seguintes onições, em que função p é enomin função e proilie vriável letóri X: ) ( ) p, pr too i, i

17 7 i= p =. i ) ( ) Função ensie e proilie ontínu, enot por fp, são limites e um infinit seqüêni e istriuições isrets, ujs vriáveis formm um onjunto enumerável e vlores. Tis istriuições evem verifir s seguintes onições, seguno SILVA, 3: f ( ) +, pr toos os vlores e, pois não eiste proilie negtiv; f ( ) =, o que etermin que áre entre urv representtiv função f ( ) em too o intervlo sej igul ; e,, ou sej, proilie vriável letóri X f ( ) = P( < X ) > ssumir vlor em um intervlo será pel integrl função nesse intervlo. Geometrimente fi esteleio que proilie em um etermino intervlo orrespon à áre etermin so região pln elimit pel função nesse intervlo. Propriees eorrentes efinição e função ensie e proilie (MEYER, 969): ) P ( X < ) < represent áre so urv no gráfio Figur, entre = e =. FIGURA REPRESENTAÇÃO DA ÁREA SOB A CURVA ) Um onseqüêni eorrente esrição proilísti e X im é que, pr qulquer vlor espeifio e X,, tem-se P ( X = ) =, porque ( X ) = f ( ) P = = ;

18 8 ) Se um função f stisfizer s onições f ( ) pr too, e f ( ) = k +, one k é um número rel positivo (não neessrimente igul ), então f não stisfz tos s onições pr ser um fp. No entnto, poe-se filmente efinir um nov função g, em termos e f, ssim, ( ) onições e um fp. ( ) f g = pr too. Dess mneir g stisfrá tos s k ) Se X tomr vlores somente em lgum intervlo finito [, ], poe-se simplesmente ritrr f ( ) = pr too [, ] os vlores reis e e poe-se eigir que ( ) =. Em onseqüêni, fp firá efini pr toos + f. PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Seguno ROSS (998), supono um eperimento em que o resulto poss ser lssifio omo suesso ou flh e ssumio X = pr suesso e X = pr flh, então função e proilie e X é por: p p (, ) p. ( ) = P{ X = } = ( ) = P{ X = } = p Em que p é proilie e suesso. Est vriável letóri X será hm e vriável letóri e Bernoulli, pr lgum O mtemátio suíço Jques Bernoulli (654 75) foi o primeiro estur eperimentos inepenentes, teno um proilie e suesso omum p. Em seu livro Ars Conjetni ( rte e onjeturr), pulio pelo seu sorinho Niols oito nos pós su morte em 73, Bernoulli mostrou que se um número e tis eperimentos for grne, então proporção eles que terá suesso se proimrá e p om um proilie próim e. Jques Bernoulli é primeir gerção fmíli os mis fmosos mtemátios e toos os tempos. Su fmíli fez ontriuições funmentis pr proilie, esttísti e mtemáti. Um ifiule em ser o número eto e ontriuições e memro fmíli onsiste no fto e que lguns eles possuím o mesmo nome. Outr ifiule é que eles utilizvm nomes iferentes em iferentes lolies, por eemplo, Jques, qui ito, ssinv tmém omo Jques. Entretnto, seus números, influêni e resultos form proígios. Assim omo os Bh pr músi, os Bernoulli pr mtemáti onstituírm um fmíli que entrou pr históri (ROSS, 998).

19 9 Us-se o termo inomil pr esignr situções em que os resultos e um vriável letóri poem ser grupos em us lsses ou tegoris. Os os são, pois, nominis. As tegoris evem ser mutumente eluentes, e moo eir perfeitmente lro qul tegori pertene etermin oservção; e s lsses evem ser oletivmente eustivs, e form que nenhum resulto for els é possível (STEVENSON, 98). A istriuição inomil é, provvelmente, e uso mis freqüente entre s istriuições isrets, ns plições teori esttísti. Ess istriuição está ssoi om s provs repetis e um mesmo suesso (MOOD; GRAYBILL, 978). De oro om STEVENSON (98), Distriuição e Poisson é útil pr esrever s proilies o número e oorrênis num mpo ou intervlo ontínuo (em gerl tempo ou espço). Diz-se que vriável se istriui seguno um istriuição e Poisson se função e quntie é f ( ) m e m =, om =,,, em que m é qulquer número! positivo (MOOD; GRAYBILL, 978). Ess istriuição sei-se ns seguintes hipóteses:. A proilie e um oorrêni é mesm em too o mpo e oservção;. A proilie e mis e um oorrêni num únio ponto é proimmente zero; e 3. O número e oorrênis em qulquer intervlo é inepenente o número e oorrênis em outros intervlos. A Distriuição Multinomil, seguno STEVENSON (98), é us em situções one há mis e ois resultos mutumente eluentes. Tl omo n inomil, eige-se que s provs sejm inepenentes, om proilie onstnte. Um eemplo e istriuição multinomil é jog e um o. A Distriuição Hipergeométri refere-se situções om ois ou mis resultos, em que proilie e suesso vri e um prov pr outr (STEVENSON, 98). A função e quntie hipergeométri é m n ( ) r f =, om =,,,, r (MOOD; GRAYBILL, 978). m + n r PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Dentre s Funções Densie e Proilie lássis estão Eponenil, Gmm, Bet, Weiull e Norml (Guss), que serão presents seguir.

20 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL A Distriuição Eponenil esempenh um ppel importnte n esrição e um grne lsse e fenômenos, prtiulrmente nos ssuntos teori onfiilie (MEYER, 974). Pr JOHNSON; LEONE (964), esse moelo poe ser onsiero omo um so prtiulr Distriuição Gmm, que será present no tópio seguir. A istriuição eponenil tem sio utiliz pr prever o períoo e tempo neessário té um evento oorrer, por eemplo o tempo té onteer um terremoto, ou té omeçr um nov guerr ou té o telefone tor, voê tener e pereer que isrm erro ou té quno vi um lâmp epirr ou queimr (ROSS, 998). A istriuição eponenil, e oro om STEVENSON (98), envolve proilie o longo o tempo ou istâni entre oorrênis num intervlo ontínuo. Por eemplo, eponenil é us omo moelo o tempo entre flhs e equipmento elétrio, tempo e heg e lientes em um supermero, tempo entre hms telefônis, entre outros. No âmito s Ciênis Florestis Distriuição Eponenil é us omo moelo pr vlição e regenerção nturl. Ain seguno MEYER (974), função ensie e proilie eponenil, om vriável letóri ontínu X, é pel Equção : f ( ) e = β β pr, β > e.o.. O gráfio o moelo é mostro n Figur 3 EQUAÇÃO FIGURA 3 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL, QUANDO β =

21 A méi e vriâni, trvés epettiv mtemáti, são luls trvés s seguintes fórmuls, respetivmente, (EQUAÇÕES e 3): ( ) = β E EQUAÇÃO σ = β EQUAÇÃO 3 Est istriuição interept o eio y no ponto β pois: Tomno-se Distriuição Eponenil: y = e β β Sustituino = y = e β β y = e β Como: e = Logo: y =.q. β DISTRIBUIÇÃO GAMMA f A Distriuição Gmm é efini seguir (EQUAÇÃO 4): ( ) = Γ( ) e pr e.o., EQUAÇÃO 4 Em que e são vlores positivos e fetm form e esl, respetivmente (ROUSSAS, 997). A Figur 4 represent urv ger prtir Função Gmm, em que =,5 e vri entre e 3. A Distriuição Gmm om = e e istriuição χ n (lê-se qui-quro) om n grus e liere. n = (n seno um inteiro positivo) é hm

22 FIGURA 4 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO GAMMA, PARA = (SÓLIDO), =,5 (PONTOS), = (TRAÇOS) E =3 (PONTOS E TRAÇOS) E =,5 A méi e vriâni são s pels equções 5 e 6, respetivmente. E ( ) = EQUAÇÃO 5 σ = EQUAÇÃO 6 DISTRIBUIÇÃO BETA Consier-se Função Bet omo seno (EQUAÇÃO 7): f ( ) = Γ Γ( + ) ( ) Γ( ) ( ) + ( ) ( ) se < < EQUAÇÃO 7 e.o.. A Distriuição Bet poe ssumir iverss forms, e oro om os vlores e e, omo oserv-se ns Figurs 5 8.

23 3 A Bet poe ser us omo moelo e fenômenos letórios ujo onjunto e vlores possíveis é um intervlo finito [, ], ou sej, no intervlo e té, omo unie e mei poe ser trnsform pr um intervlo [,]. FIGURA 5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO BETA, PARA = E = (SÓLIDO), = E = (PONTOS) E = E = (TRAÇOS)

24 4 FIGURA 6 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO BETA, PARA =,3 E =,8 (SÓLIDO) E =,3 E =,3 (PONTOS) FIGURA 7 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO BETA, PARA = E = 3 (SÓLIDO), =5 E = 3 (PONTOS) E = E = (TRAÇOS)

25 5 FIGURA 8 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO BETA, PARA =,5 E =,5 (SÓLIDO) E = 3 E =,5 (PONTOS) E A méi é pel Equção 8 e vriâni pel Equção 9. ( ) = EQUAÇÃO 8 + σ = EQUAÇÃO 9 ( + ) ( + + ) DISTRIBUIÇÃO WEIBULL Est istriuição é mplmente utiliz pr testes e onfiilie e vi útil (JOHNSON; LEONE, 964). A função ensie e proilie Distriuição WEIBULL present-se onforme seguinte epressão (EQUAÇÃO ): 9). f ( ) = e se, > e.o.. e > EQUAÇÃO Assim omo função et, Weiull tmém poe ssumir váris forms (FIGURA A Distriuição Weiull é usulmente utiliz n engenhri evio à su verstilie. Foi originlmente propost pr interpretção e fig e mteriis em Stokholm por Ernst Hjlmr Wloi Weiull em 939, ms tulmente seu uso esteneu-se muitos outros prolems e engenhri.

26 6 Em prtiulr, é omumente us no mpo os fenômenos vi, omo um istriuição e tempo e vi e lgum ojeto prtiulrmente quno o moelo e ligção mis fr é proprio pr o ojeto. Isto é, onsierr um ojeto om muits prtes e supor que eistirá um flh no ojeto. So esss onições foi mostro que Distriuição Weiull fornee um o proimção om istriuição o tempo e vi o item (ROSS, 998). E A méi e vriâni são s pels Equções e respetivmente. = EQUAÇÃO ( ) + Γ + σ σ y = EQUAÇÃO em que σ y é lulo pel Equção 3. = Γ + Γ σ y + EQUAÇÃO 3 FIGURA 9 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO WEIBULL, COM =, = e =,7 (SÓLIDO), COM =, = e = (PONTOS), COM =, = e = (TRAÇOS), COM =, = e = 3,6 (PONTOS E TRAÇOS)

27 7 DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU DE GAUSS De oro om MEYER (974), Distriuição Norml, esenvolvi por De Moivre, é e etrem importâni no mpo s proilies, om plições em iverss áres o onheimento. Esse moelo é efinio omo se segue (EQUAÇÃO 4): f ( ) µ σ e < < + = π σ EQUAÇÃO 4 e.o.. A Distriuição Norml poe ser represent grfimente pel Figur : FIGURA DISTRIBUIÇÃO NORMAL, σ = E µ = As Equções 5 e 6 representm méi e vriâni, respetivmente. ( ) = méi ritméti = µ E EQUAÇÃO 5 vr ( ) = σ EQUAÇÃO 6 Est istriuição possui s seguintes propriees: A urv norml tem form e sino; É simétri em relção à méi; Prolong-se e - + ;

28 8 C istriuição norml fi ompletmente espeifi por su méi e seu esvio prão; há um istriuição norml istint pr ominção e méi e esvio prão; A áre totl so urv é onsier omo %; A áre so urv entre ois pontos é proilie e um vriável normlmente istriuí tomr um vlor entre esses pontos; Como há um número ilimito e vlores no intervlo - +, proilie e um vriável letóri istriuí normlmente tomr etmente etermino vlor é zero. Assim, s proilies se referem intervlos e vlores; e A áre so urv entre méi e um ponto ritrário é função o número e esvios prões entre méi e quele ponto. A veloie em qulquer ireção, o erro n mei e um quntie físi, istriuição e freqüêni e volumes e iâmetros em um florest, possuem um omportmento que proim-se istriuição e proilies norml (ROSS, 998). A istriuição norml foi introuzi pelo mtemátio frnês Arhm De Moivre, em 733. De Moivre, que usou ess istriuição pr proimr proilies referentes lnçmentos e moes, hmou e urv eponenil em form e sino (eponentil ell-shpe urve). Entretnto, foi present relmente pens em 89, quno o fmoso mtemátio lemão K. F. Guss usou omo um prte integrl su proimção pr preizer o lol e enties stronômis. Como resulto tornou-se omum pós ess t hmá-l e istriuição Gussin (ROSS, 998). Do meio pr o finl o séulo XIX, entretnto, muitos esttístios pssrm reitr que miori os intervlos e os teri histogrms e oro om form e sino Gussino. Além isso, tornou-se eitável que fosse norml pr qulquer onjunto e os em omportos seguir est urv. Como resulto, seguino o esttístio ritânio Krl Person, s pessos omeçrm se referir à urv e Guss hmno- e urv norml (ROSS, 998). Hoiernmente não fltm onsultores em esttísti, muitos trlhno em esritórios elegntes. Entretnto, no omeço o séulo XIX, o primeiro nesse rmo e trlho gnhv inheiro no esuro, postno em ss e jogos em Long Ares, Lonres, onheis omo ss e fé. Ele er Arhm De Moivre, um protestnte refugio Frnç Ctóli e, por um preço, ele poeri omputr proilie e gnhr em jogos e zr em toos os tipos e jogos (ROSS, 998). Entretnto, De Moivre, o esorior urv norml, fez su vi em um loj e fé, ele er um mtemátio e hilies reonheis. Além isso, ele er um memro soiee rel e foi onvoo por Sir Is Newton. Esutno Krl Person e imginno De Moivre n s e

29 9 fé: Eu pinto De Moivre trlhno em um mes suj n s e fé om um jogor quero o seu lo e Is Newton nno pelo orreor oservno seu migo. Dri um grne quro pr um rtist inspiro (ROSS, 998). Krl Frieerih Guss ( ), um os primeiros usuários urv norml, foi um os miores mtemátios e toos os tempos. O onheio mtemátio historior E. T. Bell epressou em seu livro Men of mthemtis (Homens mtemáti), em um pítulo intitulo The prine of mthemtiins (O prínipe os mtemátios): Arquimees, Newton e Guss; esses três estão em um lsse por si mesmos entre grnes mtemátios e não serim pores mortis pzes e lssifiá-los em orem e mérito. Os três iniirm tenênis em mtemáti pur e pli. Arquimees estimou su mtemáti pur mis que sus plições; Newton preeu ter enontro justifitiv hefe pr sus invenções mtemátis nos usos ientífios nos quis ele oloou; enqunto Guss elrou que pr tuo trlh-se no lo puro e plio (ROSS, 998).

30 3 3 - METODOLOGIA LOCALIZAÇÃO DA ÁREA A Fzen Eperimentl Grlh Azul loliz-se no muniípio e Fzen Rio Grne, Região Metropolitn e Curiti, no esto o Prná, Primeiro Plnlto Prnense (FIGURA ; ). Ess unie e pesquis está situ num áre e proimmente 877 hetres, one estão instls 6 (seis) prels permnentes o Progrm Eológio e Long Durção (PELD), SITE 9, one form oletos os e DAP (m) (iâmetro ltur o peito) e ltur (m) e regenerções nturis e árvores ults e Sssfrás (Oote oorifer). Neste entro e pesquiss estão instls viultur e orte, viultur e postur, uniultur, ovinoultur e leite, ovinoultur, hospitl veterinário, frutiultur, pstgens, lvours nuis, suinoultur, ovinoultur e leite e grgem e máquins. Est unie situ-se entre s seguintes oorens geográfis: Ltitue 5º37'3" S e 5º4'33" S; Longitue 49º5'9" W e 49º7'7" W, possui ltitues entre 87 e 9 m e pertene à Bi Hirográfi o Alto Iguçu. O Aesso prinipl á-se pel Roovi BR 6 no quilômetro,5. FIGURA LOCALIZAÇÃO DA FAZENDA EXPERIMENTAL GRALHA AZUL Fonte: PUCPR

31 3 FIGURA MAPA DA ÁREA DA UNIDADE EXPERIMENTAL Fonte: RELATÓRIO SASSAFRÁS COLETA DE DADOS Ns áres em que se relizou o presente estuo form enontrs té espéies róres por prel, o que ument ompleie e estur-se su regenerção nturl. O inventário etlho regenerção nturl o Sssfrás: Oote oorifer, espéie fmíli Luree, foi relizo efinino-se seis prels permnentes e hetre e suiviino-s em su-unies e m² (PROJETO SASSAFRÁS: Bioeologi e Uso Sustentável). Diviiu-se prel em ez fileirs, nomes pels letrs A, B, C, D, E, F, G, H, I e J e, fileir em ez loos (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ), e oro om figur 3. Proeeu-se à ientifição e meição s regenerções nturis pel Fileir A, prosseguinose em zig-zg pels emis fileirs té Fileir J (PELD Progrm Eológio e Long Durção).

32 3 FIGURA 3 - REPRESENTAÇÃO DAS PARCELAS PERMANENTES. Consierou-se omo regenerção nturl tos s árvores om DAP (Diâmetro à Altur o Peito) menor ou igul m (ez entímetros), em que se meiu o iâmetro à ltur o olo e ltur. A istriuição e lturs foi utiliz pr o presente estuo, onsierno-se intervlos e lsse e m (um metro). Os olsists o Projeto Sssfrás meirm em por ento s mus e sssfrás lssifis omo regenerção nturl s seis prels permnentes. Tos s regenerções nturis s seis prels permnentes form lolizs e ientifis trvés e mrção om etiquets vermelhs, numers seqüenilmente, preeis letr S (Sssfrás), lém o referenimento oto pr lolizção espil ns prels s regenerções trvés e um sistem e oorens (, y), ujos vlores e e e y form tomos e zero ez metros, prtir e su-unie ou loo (CALIJURI, M. L.; RÖHM, 995). Slient-se que os moelos form justos à istriuição e lturs regenerção nturl o Sssfrás, pois se onsier, por efinição teóri, que não hj inivíuos om ltur (zero).

33 33 AJUSTE DOS MODELOS As pesquiss relizs no Projeto Sssfrás revelrm que istriuição e lturs, regenerção nturl espéie róre Sssfrás é eresente. Ess situção é represent usulmente pelo moelo eponenil, ms outrs funções poem tmém ser justs esse tipo e os. Pr presente pesquis form justs s Distriuições e Proilie Eponenil, Gmm, Bet, Weiull e Norml, em que se utilizou istriuição e lturs regenerção nturl. Form esolhis 5 (ino) funções mtemátis pr serem justs, om o uílio o softwre Tle Curve, os os e regenerção nturl e que resultou em melhor erêni foi esolhi. Ess função foi trnsform em função ensie e proilie, verifino-se s premisss esrits nteriormente, e form esenvolvis s epressões que, por meio os oefiientes, trvés s quis são luls méi e vriâni o moelo. Pr efetur-se omprção entre os moelos, form lulos o oefiiente e eterminção múltiplo, o erro prão estimtiv relulo em perentgem, teste o χ e o e Kolmogorov-Smirnov. Proeeu-se um verifição qulittiv os resultos, prtir nálise e resíuos, fim e se verifir se os moelos são teneniosos ou possuem vriâni homogêne o longo e to istriuição. Há, no mpo mtemáti, us mneirs e se justr um moelo: por meio e regressão liner ou não liner. A regressão liner rteriz-se simente por justr prâmetros e funções polinomiis e gru n, seno que lguns moelos poem ser linerizáveis, priniplmente utilizno-se teori e logritmos. Aquels funções que não poem ser linerizs são justs por regressão não liner. Resslt-se que teori e regressão liner é mis onsoli que regressão não liner. Os moelos testos no presente estuo form justs por meio e regressão não liner, seguno o proeimento e Mrqut, pelo métoo e mínimos quros, om múltipls iterções, e oro om Mrqut (963), utilizno-se o softwre Tle Curve. A miori os lgoritmos pr estimr prâmetros não lineres pelo métoo e mínimos quros entrrm-se sore qulquer um e us proimções. Por um lo, o moelo poe ser epnio omo um série e Tylor e s orreções os prâmetros luls iterção n suposição e lineries lois. Por outro lo, váris moifições o métoo griente estão seno uss. O métoo e Mrqut utiliz o métoo e máim verossimilhnç, que eeut um ótim interpolção entre o métoo série e Tylor e o métoo griente. A interpolção é se em máim verossimilhnç, n qul série e Tylor trun

34 34 em que fornee um representção equ e um moelo não-liner (MARQUADT, 963). o moelo ser justo os os, Sej E( y) = f (,, ; β, β, β ) (, β ),,,, m k = f β, β, β m são s vriáveis inepenentes, k são os k prâmetros e E ( y) o vlor espero vriável y. Denotno-se os pontos mostros omo ( Y X, X,, X ), i,, n =. O prolem onsiste em omputr esss estimtivs os i, i i ni, = n prâmetros que minimizem φ [ Y Y ] i= i ˆ i = Y Yˆ E ( y) no i-ésimo ponto mostro (MARQUADT, 963)., em que Yˆ i é o vlor e y preito por MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE A méi e vriâni poem ser etermins por meio Função Gertriz os Momentos ou Epettiv Mtemáti. Ess últim foi utiliz no presente estuo. EXPECTATIVA MATEMÁTICA Sej X um vriável letóri ontínu om função ensie e proilie f. Definese o vlor espero E(X) e X, em que E(X) é méi, onforme Equção 7 seguir (GUIDORIZZI, 994): + ( X ) f ( ) E = EQUAÇÃO 7 A vriâni poe ser esrit seguinte form (EQUAÇÃO 8): + ( ) [ E( X )] σ = f EQUAÇÃO 8 AVALIAÇÃO DO AJUSTE Os moelos justos form ompros por meio o oefiiente e eterminção múltiplo, oefiiente e eterminção múltiplo justo, erro prão estimtiv relulo em perentgem, teste o χ, pelo teste e Kolmogorov-Smirnov e pel nálise os resíuos.

35 35 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO MÚLTIPLO O oefiiente e eterminção múltiplo é rzão entre som os quros regressão e som os quros totis, e oro om Equção 9: SQregressão R = SQT EQUAÇÃO 9 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO MÚLTIPLO AJUSTADO O Coefiiente e eterminção múltiplo justo é orreção o R² pr moelos om iferentes números e prâmetros (EQUAÇÃO ). n R justo = ( R ) EQUAÇÃO n p ERRO PADRÃO DA ESTIMATIVA RECALCULADO O erro prão estimtiv relulo é riz qur o quoiente entre: ) o somtório o quro iferenç entre os vlores oservos e os estimos, e ) iferenç entre o número e os e o número e prâmetros estimos pelo moelo em questão, onforme Equção : S y relulo = n i= ( y yˆ ) i n p i EQUAÇÃO O erro prão estimtiv em perentgem é o pel rzão entre o erro prão estimtiv e méi (EQUAÇÃO ): S y S y % = EQUAÇÃO Em que: y i é freqüêni oserv; ŷ i é freqüêni estim pelos moelos; é méi ritméti; n é o número e os; e p o número e prâmetros estimos pelo moelo em questão.

36 36 KOLMOGOROV E SMIRNOV O teste e erêni e Kolmogorov e Smirnov onsiste em omprr máim iferenç entre freqüêni oserv e freqüêni estim, ivii pelo número e oservções, e poe ser otio pel Equção 3: l ( F ( X ) F ( X )) o e = m EQUAÇÃO 3 n Em que F o ( X ) é freqüêni oserv umul, ( X ) umul, estim pelo moelo e n o número e oservções. Se F e é freqüêni esper l for menor que o vlor limite telo, eit-se o juste. Se n for menor que 5, pr α = 5%, e α = %, etermin-se o vlor rítio por meio s Equções 4 e 5 seguir.,36 α = 5% n EQUAÇÃO 4,63 α =% n EQUAÇÃO 5 QUI-QUADRADO ( χ ) O Qui-quro é um teste e erêni e é lulo pel Equção 6: ( y yˆ ) i i χ = EQUAÇÃO 6 yˆ i ANÁLISE DE RESÍDUOS Tem se torno onsenso que nenhum equção eve ser esolhi pr uso em proessos preitivos ntes e se performr um nálise gráfi e resíuos. Ess nálise, emor um tnto sujetiv, é que relmente vi inir se o juste foi om o longo e to estimtiv, se não há teneniosie, se os resíuos são inepenentes e se vriâni é homogêne em to etensão os vlores estimos.

37 37 Define-se resíuo em perentgem omo rzão entre iferenç freqüêni oserv e estim pelo moelo justo e freqüêni oserv. DESVIO RELATIVO Utilizou-se o esvio reltivo entre s soms oserv e estim s freqüênis pr omprr s funções proilístis justs, e oro om equção 7. f os f est DESVIO % = EQUAÇÃO 7 f os As freqüênis form elevs à primeir, segun, tereir e qurt potênis, equno o que foi proposto por Mltmo et l (995).

38 38 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO - DESENVOLVIMENTO DA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PROPOSTA Pr esenvolver função ensie e proilie propost nesse trlho, form esolhis 5 funções mtemátis, presents seguir. No iníio esolheu-se um equção que tivesse um omportmento não resente, onforme oorrente n istriuição eponenil, porém om mior fleiilie (EQUAÇÃO 8). f ( ) = EQUAÇÃO 8 ( + ) FIGURA 4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO 8 AJUSTADO AOS DADOS DE ALTURA DE REGENERAÇÃO NATURAL DE SASSAFRÁS Not-se n Figur 4 que o moelo justou-se e moo stisftório, porém não teneu um os pré-requisitos, que foi gerr um equção unimol. Com o propósito e fleiilizr in mis primeir equção, mis um oefiiente foi introuzio, resultno n Equção 9. f ( ) = EQUAÇÃO 9 + +

39 39 FIGURA 5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO 9 AJUSTADO AOS DADOS DE ALTURA DE REGENERAÇÃO NATURAL DE SASSAFRÁS Este moelo gerou resultos semelhntes o nterior e o mesmo efeito, flt e um mo (FIGURA 5). Nest etp o trlho foi neessário rever s hipóteses e pesquisr novs fmílis e urvs, ms sem lterr sustnilmente propost iniil. Com o intuito e ritrr que representção gráfi o moelo psssse pel origem (interseção os eios oorenos), Equção 8 foi multipli por (EQUAÇÃO 3). Dess form, quno =, f ( ) = o oefiiente fosse mior ou igul zero. f ( ). Pr que não houvesse ineterminção, ritrou-se que = + + EQUAÇÃO 3 Pr verifir o omportmento urv o termo multiplior e memro o enominor, eeto o termo inepenente, form elevos o quro, resultno n Equção 3. Esse proeimento foi oto om finlie e tornr istriuição mis omport, ou sej, om mplitue menor, porém, o resulto foi pior que o moelo testo nteriormente, resultno em um gráfio eresente.

40 4 FIGURA 6 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO 3 AJUSTADO AOS DADOS DE ALTURA DE REGENERAÇÃO NATURAL DE SASSAFRÁS Oserv-se n Figur 6 que Equção 3 justou-se os os, gerno um urv unimol, porém ger vlores pr f ( ) ltos, quno proim-se mo. f ( ) + = 4 + EQUAÇÃO 3 FIGURA 7 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO 3 AJUSTADO AOS DADOS DE ALTURA DE REGENERAÇÃO NATURAL DE SASSAFRÁS

41 4 N Figur 7 oserv-se que equção result no mesmo prolem s us primeirs, usêni e mo. Com inserção e prênteses no enominor e fleiilizção os oefiientes esse e o numeror foi possível oter um moelo om tos s rterístis esejs, omo poe ser oservo n Figur 7. f ( ) = EQUAÇÃO 3 ( + ) FIGURA 8 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO 3 AJUSTADO AOS DADOS DE ALTURA DE REGENERAÇÃO NATURAL DE SASSAFRÁS Ess equção teneu tos s eigênis proposts e foi, onseqüentemente, esolhi (FIGURA 8). A função ( ) + f, ujo omínio é o onjunto os números reis positivos ( R ), ou sej, <, + ; +, + 3, >, > e >, efini seguir, será onsier um Função Densie Proilie (fp) se ontemplr s onições,, 3 e 4: f ( ) = ( + )

42 4 CONDIÇÕES PARA QUE UMA FUNÇÃO SEJA CONSIDERADA UMA FDP:. A função eve possuir um omínio rel e positivo. Assim, quno =, f ( ) = f f f ( ) ( ) = = ( ) = ( + ) ( + ). A função eve ser ssintóti no eio, ou sej, lim f ( ) = lim = pois ( + ) Como o vlor e é sempre mior que +, por efinição, o enominor tenerá infinito mis rpimente que o numeror, logo, quno tene infinito, função tene. 3. A função eve ser integrável, ou sej, integrl função, no intervlo vriável entre (zero) e infinito, eve tener pr um vlor rel. f ( ) = ( + ) f ( ) = Γ ( ) Γ( ) Γ( + ) ( ) Logo, fp será o prouto entre função originl e o inverso o resulto nterior: fp >. ( ) = Γ ( ) ( ) ( + ) Γ( ) Γ( + ) EQUAÇÃO 33 A prtir fp present nteriormente surgem s restrições e e, > + e 4. A integrl fp, no intervlo vriável entre (zero) e infinito, eve ser igul (um). fp ( ) = Γ ( ) ( ) ( + ) Γ( ) Γ( + )

43 43 ( ) = fp MÉDIA ARITMÉTICA A méi ritméti e um função proilísti poe ser oti por meio epettiv mtemáti, ou sej, méi é o resulto integrl o prouto função proilísti por, no intervlo vriável entre (zero) e infinito. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Γ Γ + Γ = fp ( ) ( ) ( ) fp + = ( ) ( ) + = ritméti Méi EQUAÇÃO 34 VARIÂNCIA A vriâni, mesm mneir que méi ritméti poe ser oti por meio epettiv mtemáti, ou sej, é iferenç entre o resulto integrl o prouto função proilísti por ² e o quro méi ritméti. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Γ Γ + Γ = fp ( ) ( )( ) ( )( ) fp + + = 3 ( ) ( ) fp fp = ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 Vriâni = EQUAÇÃO 35

44 44 MODA A mo represent o ponto, ou os pontos, e mior freqüêni, em um fp, e poe ser otio prtir primeir eriv função em relção à e igulno-se o resulto ( ) f (zero), ou sej, f f ( ) ( ) =. = = + ( + ) ( + ) = + ( + ) ( + ) =, no so e função ser unimol. EQUAÇÃO 36 ( ) PONTOS DE INFLEXÃO Os pontos e infleão, se eistirem, poem ser otios lulno-se o vlor e o igulr zero segun eriv e um função, ou sej, f f ( ) ( ) f ( ) =. = + + = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ± = EQUAÇÃO 37 ( ) A referi função não terá pontos e infleão quno: I) =, II) ( ) = ou III) ( ) <. Quno ( ) = hverá pens um ponto e infleão. No so e função ser unimol, hverá ois pontos e infleão, e isso oorrerá quno ( ) >. Os resultos otios por meio vlição s onições e eistêni e pontos e infleão poem ser oservos n Figur 9.

45 45 FIGURA 9 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO MODELO PROPOSTO, VARIANDO- SE OS COEFICIENTES, DE ACORDO COM AS CONCLUSÕES DO ESTUDO SOBRE OS PONTOS DE INFLEXÃO Sem pontos e infleão ( = ) Sem pontos e infleão ( ( ) = ) Sem pontos e infleão ( ( ) < ) Um ponto e infleão ( ( ) = ) Dois pontos e infleão ( ) >

46 46 CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DA FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE Pr que fp eist é neessário que s seguintes relções se verifiquem:. > e >. Ess onição é impost pel própri função, f ( ) =, pois, ( + ) se e forem iguis (zero), o enominor torn-se (zero) e função tenerá pr o infinito, o que não é esejável;., + e. Como função gmm é efini pens no mpo os números reis positivos, os oefiientes evem seguir s restrições nteriores, o onsierr fp, fp ( ) = 3. > e + Γ ( ) ( ) ( + ) Γ( ) Γ( + ) tenerá pr o infinito;. Cso restrição nterior não sej verifi méi, ; ( + ) ( ) 4. >, + e + 3. Se esss onições não forem onsiers, o enominor epressão, tenerá pr infinito; ( + ) ( ) ( )( ) > e. Pr que hj mo, tenis; e 6. >, > e > omínio etermino. + ( ), será igul zero e vriâni =, esss eigênis evem ser. Esss três últims restrições tornm função proilísti no Assim, ominno s restrições nteriores tem-se: +, + e + 3 ;, e >., TENDÊNCIA DO MODELO DESENVOLVIDO A NORMALIDADE Ao onsierr-se que méi é igul à mo, ssume-se que função tene à normlie. ( ) ( ) + Méi =

47 47 Mo = ( ) ( + ) = ( ) ( ) + = ( + )( ) = ( ) + = Logo, + = ( + ) = =. Como +, ess hipótese não oorrerá. =. Como >, ess hipótese não oorrerá. =. Como >, ess hipótese não oorrerá. FORMAS QUE A FUNÇÃO PODE ASSUMIR A form e mplitue representção gráfi função vrim e oro om ominção os oefiientes. As forms que o moelo proposto poe ssumir estão represents grfimente n Figur, e form triimensionl. Como se se, form e um moelo se á e oro om seus oefiientes e, o onsierá-los omo seno iguis, poe-se oservr form que o moelo qui proposto ssumirá (FIGURA ). Pr visulizr-se mis lrmente s forms que o moelo proposto poe ssumir, form representos os gráfios, fino-se três oefiientes e vrino outro (FIGURA ; ; 3; 4; 5).

48 48 FIGURA REPRESENTAÇÃO TRIDIMENSIONAL DAS FORMAS GRÁFICAS ASSUMIDAS PELO MODELO PROPOSTO vrino entre - e 5; =,; =,4; e = 6 vrino entre e,5; = ; =,4 e = 6 vrino entre e ; = ; =,; e = 6 vrino entre - e 5; = ; =,; e =,4 FIGURA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO MODELO PROPOSTO, EM QUE OS COEFICIENTES SÃO ARBITRARIAMENTE CONSIDERADOS IGUAIS. Ineterminção, ivisão por zero. = = = = f ( ) = = = = = f ( ) = Hipérole + ( )