ESTATÍSTICAS DE ORDEM DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON: UM ESTUDO ASSINTÓTICO DE SEUS MOMENTOS

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1 ESTATÍSTICAS DE ORDEM DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON: UM ESTUDO ASSINTÓTICO DE SEUS MOMENTOS Flavia Barbato RIBEIRO 1 Maria Cecilia Medes BARRETO 2 RESUMO: O cohecimeto de certas propriedades de estatísticas de ordem, em particular, seus mometos, tem sido de fudametal importâcia o estudo dos estimadores lieares ão viciados ótimos obtidos a partir de amostragem de cojutos ordeados. Pela literatura recete, o procedimeto de amostragem de cojutos ordeados tem grade aplicação em pesquisa do Meio Ambiete, pricipalmete quado o custo de observação exige estimadores mais eficietes. Neste trabalho fizemos um estudo das estatísticas de ordem para uma variável com distribuição de Poisso, que pouca ateção tem tido a literatura e que é de grade importâcia em aplicações práticas. Para isso calculamos os valores esperados e variâcias de estatísticas de ordem, através de uma fução criada o software S-Plus e ivestigamos se para algum tamaho de amostra, as médias e variâcias das estatísticas de ordem padroizadas covergem para valores assitóticos à medida que λ aumeta. Cocluímos que os valores esperados e as variâcias padroizadas das estatísticas de ordem estudadas covergem para os respectivos valores da distribuição Normal Padrão à medida que λ aumeta, para cada tamaho de amostra. PALAVRAS-CHAVE: Amostragem de Cojutos Ordeados, Mometos de Estatísticas de Ordem, Potos Extremos, S-Plus, Distribuição de Poisso, Distribuição Normal Padroizada, Estatística Aplicada ao Meio Ambiete. 1 Departameto de Estatística da UFSCar Caixa Postal 676, CEP São Carlos SP. cbarreto@power.ufscar.br (Bacharelado em Estatística). 2 Departameto de Estatística da UFSCar Caixa Postal 676, CEP São Carlos SP. cbarreto@power.ufscar.br Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21 13

2 1 Itrodução O procedimeto de amostragem de cojutos ordeados foi elaborado para situações em que a variável resposta de iteresse é difícil e cara de ser coletada, mas é possível fazer alguma suposição ecoômica a respeito das ordes dos futuros resultados. Itroduzido por McItyre (1952), sua grade vatagem está o aumeto da precisão da media amostral como um estimador da média populacioal. O processo cosiste a seleção de poteciais amostras, cada uma de tamaho. A seguir um profissioal especializado da área, ordea os idivíduos detro de cada amostra através de valores de uma variável cocomitate ou por algum método barato. Para i = 1,,, a i-ésima amostra ordeada, observa-se a variável de iteresse, X, apeas o idivíduo que obteve o posto i, obtedo-se o valor x i( i). A amostra de cojutos ordeados (raked set samplig RSS) é formada, etão, por x1 ( 1 ),x2( 2 ),, x( ), ode dos idivíduos 2 selecioados, apeas são efetivamete mesurados a quatia X. Uma propriedade importate dos elemetos dessa amostra é que as observações x i( i) são idepedetes, uma vez que cada elemeto amostral provém de uma amostra idepedetemete selecioada. A média dos elemetos da amostra de cojutos ordeados é um estimador ão viciado da média populacioal e sua variâcia é meor ou igual a variâcia de uma média amostral de uma amostra aleatória simples de mesmo tamaho. Esses resultados são válidos para qualquer tipo de distribuição. Na literatura recete, o procedimeto de amostragem de cojutos ordeados tem sido amplamete estudado por diversos autores. Por exemplo, a estimação de parâmetros de várias distribuições (Muttlak & McDoald, 199; Muttlak & McDoald, 1992; Lam et al, 1994; Boh, 1996; Kaur et al, 1996; Samawi et al, 1996; Siha et al, 1996; Yu & Lam, 1997; Barett & Moore, 1997); a estimação da fução de distribuição (Kvam & Samaiego, 1994; Stokes, 1995; Boh, 1996; Stokes & Sager, 1998); em testes de hipóteses para duas populações ( Boh & Wolfe, 1992; Boh & Wolfe, 1994; Koti & Babu, 1996); a estimação de parâmetros em modelos de regressão liear simples (Muttlak, 1995; Barreto & Barett, 1999) e o plaejameto de experimetos de um fator de classificação (Muttlak, 1996). 14 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21

3 Etre os estimadores cosiderados esses artigos, estão estimadores defiidos por combiações lieares mais gerais de observações de amostragem de cojuto ordeados ( Stokes,1995; Bhoj & Ashsaullah, 1996; Siha et al, 1996; Bhoj,1997; Barett & Moore, 1997 e Barreto & Barett, 1999). Nesses trabalhos, a variável de iteresse, X, é cotíua e sua distribuição pertece à família locaçãoescala, isto é, pode ser escrita a forma F[ ( X µ ) / σ ], ode F é uma família de distribuições. e os estimadores obtidos são os estimadores lieares ão viciados ótimos a classe de combiações lieares da amostra de cojutos ordeados (best liear ubiased estimators BLUEs). A variável reduzida U = ( X µ ) / σ tem uma distribuição livre de parâmetros. Nesse caso as estatísticas de ordem reduzida, U ( i ) = ( X( i ) µ )/ σ, têm esperaça α i:, variâcia ν i: e covariâcia ν ij: que depedem da ordem da estatística, do tamaho da amostra e da distribuição da variável aleatória origial. Na situação de amostras de cojutos ordeados, ode cada observação provém de uma amostra idepedete, os mometos podem ser escritos por E 2 2 ( Y ) µ + σα, Var ( Y ) = σ ν e Cov( Y, Y ) = σ ν = r( r ) = r:m r( r ) r:m r( r ) s( s ) rs: m Os estimadores lieares ão viciados ótimos de µ e σ correspodem a combiações lieares dos elemetos da amostra de cojutos odeados, cujos coeficietes depedem das esperaças α e das variâcias ν i:. Barreto (21) apreseta uma revisão sobre estimadores lieares ão viciados ótimos de amostras de cojutos ordeados para a média populacioal e para os parâmetros de uma regressão liear simples quado a distribuição da variável de iteresse é a Normal. Nos trabalhos citados maior ateção tem sido dada às variáveis aleatórias cotíuas, pricipalmete àquelas que pertecem a distribuição da família locação escala. Nehuma ateção, etretato tem sido dada às variáveis discretas. Por outro lado, estatísticas de ordem e suas propriedades tem sido estudadas por diversos autores e algumas refereciais básicas são: David (1981), Arold & Balakrisha (1989), Balakrisha & Cohe (1991) e Johso et al (1992). No caso de distribuições discretas, Balakrisha (1986) obteve várias relações de recorrêcia e ide- i: Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21 15

4 tidades para mometos e produto de mometos de estatísticas de ordem. Gupta & Pachapakesa (1974) preocuparam-se com estatísticas de ordem vidas de populações biomiais idepedetes. Melick (198) apreseta um método para calcular mometos de variáveis discretas ordeadas, baseado em uma relação recursiva etre os mometos da i-ésima estatística de ordem e os mometos das estatísticas de ordem dos extremos. O método foi ilustrado com variáveis Poisso idepedetes, ode a média e a variâcia do míimo e do máximo foram calculadas. Uma lacua parece existir, portato, o estudo da distribuição assitótica das estatísticas de ordem para distribuições discretas. Com o adveto de microcomputadores muitos softwares estatísticos calculam para diversas distribuições de probabilidade, a desidade, a fução acumulada e a iversa da fução acumulada. Não existe, etretato, ehuma fução específica que calcule os mometos das estatísticas de ordem. Nosso iteresse foi, etão, fazer um estudo da distribuição assitótica das estatísticas de ordem de uma variável aleatória com distribuição de Poisso. Como coseqüêcia, foi elaborada uma fução o S Plus que calcula os mometos das estatísticas de ordem de uma variável com distribuição de Poisso, para qualquer valor de λ e. Na seção 2 apresetam-se algus resultados sobre estatísticas de ordem para distribuições discretas. Os resultados específicos para estatísticas de ordem da distribuição de Poisso estão a seção 3. Nessa seção também é apresetada a estratégia de aálise para o estudo do comportameto assitótico dos mometos. Os resultados e discussões sobre as esperaças e variâcias das estatísticas de ordem obtidas a partir da fução escrita em S Plus são apresetadas a seção 4, jutamete com o estudo de seu comportameto assitótico para diversos valores do parâmetro λ e do tamaho de amostra. 2 Uma revisão sobre estatísticas de ordem e seus mometos Ates de obter uma forma explícita para a média e variâcia das estatísticas de ordem para a distribuição de Poisso, apreseta-se uma revisão sobre algus resultados básicos, que podem ser ecotrados, por exemplo, em David (1981). 16 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21

5 Para um cojuto de variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas, X 1, X 2,, X, cada uma com fução distribuição acumulada P ( x ), as estatísticas de ordem são defiidas como seu arrajo em ordem crescete e idicadas por X ( 1 ),X ( 2 ),, X ( ), ode X ( r ) correspode a r-ésima estatística de ordem. A fução distribuição acumulada da r-ésima estatística de ordem, idicada por F r ( x ), r = 1,,, pode ser obtida por i Fr ( x ) = P 1 i i= 1 i ( x) [ P( x) ] Como casos especiais têm-se a fução distribuição do míimo e do máximo das estatísticas de ordem que são idicadas por [ P( x )] F1 ( x ) = 1 1 e F ( x ) = P ( x ) respectivamete. Um resultado importate sobre a fução distribuição acumulada de estatísticas de ordem é dado por ode ( x) = I ( r, r +1) F r P( x ) I p ( a,b) p a 1 t = 1 t a 1 ( 1 t) ( 1 t) b 1 b 1 dt dt é a chamada fução beta icompleta. Esses resultados são válidos para qualquer variável aleatória. Quado a variável de iteresse é discreta assumido, sem perda de geeralidade, os valores, 1, 2,, a distribuição de probabilidade da r-ésima estatística de ordem pode ser escrita como f r P( x ) P( x ) 1 ( x ) = I ( r, r + 1) I 1 ( r, r + ). Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21 17

6 O k-ésimo mometo de X ( r ) pode ser obtido, etão, diretamete pela defiição µ ( k ) r: k ( x) = x fr. x= Como coseqüêcia desses resultados, tem-se que o valor esperado e a variâcia da r-ésima estatística de ordem podem ser escritas como: [ 1 I ) ( r, r 1 ] µ r : P( x + ) (1) = e V( X 2 [ 1 I ( r, r 1 ] + µ µ ( r ) ) = 2 x P( x ) + ) r: r: x= (2) Na próxima seção vamos usar esses resultados para obter umericamete as médias e as variâcias das estatísticas de ordem de uma distribuição de Poisso, uma vez que ão ecotramos a literatura sua forma explícita. 3 Os mometos das estatísticas de ordem a distribuição de Poisso Para o cálculo do valor esperado e da variâcia da r-ésima estatística de ordem dados em (1) e (2) é importate cohecer a forma da fução distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição de Poisso. Ela é dada por P( x ) x e = i! i= λ i λ (3) Sabe-se que a distribuição de Poisso coverge para a distribuição Normal (por exemplo, Mood et al, 1974). Ivestigamos se as 18 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21

7 estatísticas de ordem de Poisso covergem para as correspodetes estatísticas de ordem da distribuição Normal. Como estratégia de aálise da covergêcia, decidiu-se etão comparar os valores esperados e as variâcias padroizadas das estatísticas de ordem da distribuição de Poisso com os respectivos valores de uma distribuição Normal Padrão. Para tato os mometos das estatísticas de ordem da distribuição de Poisso foram reescritos como µ = λ + λα e V(X (r) ) = λνr:. Espera-se que α r: e ν r: covirjam para os respectivos valores de uma Normal Padrão. Usado os resultados (1), (2) e (3) com a somatória trucada em 2, uma fução foi criada o S-PLUS-4.5 (Veables & Ripley, 1977) especialmete para o cálculo dos valores de µ e V(X ). No Apêdice ecotra-se uma cópia desse procedimeto. Para sistematizar o estudo, primeiramete foram calculados os valores de µ e V(X (r) ) para diversos tamahos de amostras etre 3 r: e 19 e valores do parâmetro λ etre 1 e 1. Como a distribuição de Poisso é assimétrica e a distribuição Normal, simétrica, a difereça maior etre as respectivas estatísticas de ordem ocorreu, como esperado, os extremos. A estatística de ordem cetral também é um bom idicador de assimetria da distribuição padroizada. Assim, como elemetos de comparação apreseta-se e discute-se aqui os resultados para as estatísticas de ordem X 1 ( 1 ), X + + e ( ) ( 1 ) / 2[ ( 1) / 2] r: r: (r) r: X para tamahos de amostras ímpares, e X 1(1), X / 2 [ / 2 ] e X ( ) para tamahos de amostras pares. A comparação dos valores esperados e variâcias das duas distribuições foi feita através do erro relativo, a forma ER = 1 ( N P) / N ode P é o valor de α r: ou νr: a distribuição de Poisso e N, o respectivo valor tabelado a Normal (Pearso & Hartley, 1976). Para apresetar e discutir os resultados, foram selecioados algus valores do parâmetro λ e também algus tamahos de amostras. Na próxima seção são cometadas as esperaças e variâcias de Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21 19

8 algumas estatísticas de ordem para a distribuição de Poisso para tamahos de amostras iguais a 3, 5, 1, 15 e Resultados e discussões A aálise da covergêcia da seqüêcia em λ dos valores esperados, α i:, e das variâcias, ν i:, da i-ésima estatística de ordem padroizadas em amostras aleatórias simples de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ pode ser feita através dos gráficos dessas seqüêcias, para valores escolhidos de, e de tabelas cotedo os erros relativos, para diversos valores de λ e de. A Figura 1 refere-se aos valores esperados padroizados, α 1:, da primeira estatística de ordem em amostras casuais da distribuição de Poisso de parâmetro λ. Quado λ cresce, estes valores esperados se aproximam dos valores esperados das respectivas estatísticas de ordem em amostras de tamaho da distribuição Normal Padrão, correspodedo o gráfico ao valor de λ igual a 11, para o mesmo tamaho de amostra. Pode-se observar aida que para diferetes valores de tamaho de amostra o comportameto das lihas são semelhates. valores esperados do míimo -, ,5-2 lambda =3 =5 =1 =15 =19 FIGURA 1 Valores esperados padroizados da primeira estatística de ordem ( α 1: ) em amostras de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ. Para melhor quatificar a covergêcia de apresetam-se os erros relativos para os valores de α 1:, a Tabela 1 α. Estes variam de,57% à 45,78%. Fixado o tamaho da amostra, o erro relativo dimiui coforme aumeta-se o valor do parâmetro λ. O valor do erro relativo é meor para tamahos pequeos de amostras, e maior para 1: 11 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21

9 tamahos grades de amostras. Pode-se dizer que o erro relativo dos valores de α aumeta à medida que cresce. 1: Tabela 1 Erro relativo dos valores esperados padroizados da primeira estatística de ordem ( α 1: ) em amostras de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ. λ ,89 22,8 35,64 42,42 45,78 3 5,43 9,33 14,14 16,83 18,39 5 3,74 6,66 1,14 12,5 13,14 7 2,97 5,4 8,26 9,81 1,7 1 2,34 4,36 6,69 7,96 8,69 2 1,5 2,92 4,52 5,38 5,89 3 1,17 2,33 3,61 4,31 4,72 4,98 1,99 3,9 3,69 4,4 5,86 1,76 2,74 3,27 3,59 6,77 1,6 2,48 2,96 3,26 7,71 1,47 2,28 2,73 3, 8,65 1,37 2,12 2,54 2,8 9,61 1,29 1,99 2,39 2,63 1,57 1,22 1,88 2,26 2,49 X 1 1, ν 1: As variâcias padroizadas de ( ), da distribuição de Poisso de parâmetro λ estão a Figura 2. Quado λ cresce, estas variâcias se aproximam das respectivas variâcias em amostras de tamaho da distribuição Normal Padrão, correspodedo o gráfico ao valor de λ igual a 11, para o mesmo tamaho de amostra. Assim como o caso deα 1: pode-se observar que as lihas se comportam de maeira semelhate, sedo quase paralelas. Na Tabela 2 tem-se os erros relativos dos valores de ν 1 : 1. Estes variam de 6.% à 99,96%, com valor meor para tamahos de amostras pequeas e maior para tamahos de amostras grades. Fixado o tamaho de amostra, o erro relativo dos valores de ν dimiui a medida que λ aumeta. 1: Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

10 valores esperados do míimo -, ,5-2 lambda =3 =5 =1 =15 =19 FIGURA 2 Valores das variâcias padroizadas da primeira estatística de ordem ( ν 1: ) em amostras de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ. Tabela 2 Erro relativo das variâcias padroizadas da primeira estatística de ordem ( ν 1: ) em amostras de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ. λ ,64 77,76 97,9 99,67 99, ,2 44,44 57,54 64,29 67, ,87 34,88 45,13 5,36 53,2 7 22,3 29,75 38,56 43,6 45, ,56 25,11 32,61 36,47 38, ,27 17,99 23,47 26,31 27,59 3 1,88 14,77 19,31 21,69 22,69 4 9,45 12,84 16,8 18,89 19,73 5 8,46 11,5 15,7 16,96 17,69 6 7,73 1,51 13,78 15,53 16,17 7 7,16 9,74 12,78 14,41 14,98 8 6,7 9,12 11,97 13,5 14,2 9 6,32 8,6 11,3 12,75 13,22 1 6, 8,16 1,72 12,11 13,62 A apresetação e aálise do comportameto dos mometos das estatísticas cetrais estão agrupados para tamahos de amostras ímpares e tamahos de amostras pares. 112 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21

11 Na Figura 3 tem-se os valores de α + para tamahos de ( 1 ) / 2: amostras ímpares da distribuição de Poisso de parâmetro λ. Percebese que eles covergem para o valor esperado a Normal Padrão, correspodete o gráfico ao valor de λ igual a 11, à medida que λ aumeta, idepedete do valor de. As lihas defiidas para cada tamaho de amostra são praticamete paralelas. Como o respectivo valor a Normal é zero, ão é possível calcular o correspodete erro relativo. valores esperados das estatísticas cetrais ,4 -,9 -,14 lambda =3 =5 =11 =15 =19 FIGURA 3 Valores esperados padroizados da estatística de ordem cetral ( α ( + 1 ) / 2: ) em tamahos de amostras ímpares da distribuição de Poisso com parâmetro λ. / 2: Na Figura 4 tem-se os valores de α da distribuição de Poisso com parâmetro λ para tamahos de amostras pares. Coforme λ aumeta, eles covergem para o valor esperado a Normal Padrão, correspodete o gráfico ao valor de λ igual a 11, idepedete do valor de. As lihas defiidas para cada tamaho de amostra são praticamete paralelas. Neste caso podemos observar dois tipos de situações, uma para tamahos de amostras pares e outra para ímpares. Na figura 5 tem-se os valores de ν da distribuição de Pois- / 2: so com parâmetro λ. Percebe-se que coforme λ aumeta, eles covergem para as respectivas variâcias da Normal Padrão, correspodete o gráfico ao valor de λ igual a 11, para o mesmo valor de. Podemos observar aida o mesmo comportameto paralelo das lihas. A quatificação da covergêcia dos erros relativos dos valores de ν / 2: estão a Tabela 3. Eles variam de,11% à 48,39%, com valor meor para tamahos de amostras pequeas e maior, para ta- Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

12 mahos de amostras grades. Porém, coforme λ aumeta, seu valor dimiui. valores esperados das estatísticas cetrais -, ,2 -,3 -,4 -,5 lambda =4 =6 =1 =14 =18 FIGURA 4 Valores esperados padroizados da estatística de ordem cetral ( α / 2: ) em tamahos de amostras pares da distribuição de Poisso com parâmetro λ. variâcia dos valores cetrais,6,5,4,3,2, lambda =3 =5 =1 =15 =19 FIGURA 5 Valores das variâcias padroizadas estatística de ordem cetral ( ν / 2: ) em amostras de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ. Na Figura 6 temos os valores de α : para diversos valores de λ e de. Eles covergem para os valores esperados a Normal Padrão, correspodete o gráfico ao valor de λ igual a 11, coforme λ aumeta, para o mesmo tamaho de amostra. Pode-se observar aida que para diferetes valores de o comportameto das lihas são semelhates. A Tabela 4 apreseta algus valores dos erros relativos de α :. Estes variam de,38% à 18,16%, com valor meor para tamahos de amostras pequeas e maior para tamahos de amostras grades. Podese dizer que o erro relativo dos valores de α dimiui coforme : aumeta o valor de λ, fixados os tamahos de amostras. 114 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21

13 Tabela 3 Erro relativo das variâcias padroizadas da estatística de ordem cetral ( ν ) em amostras de tamaho da / 2: distribuição de Poisso com parâmetro λ. λ ,32 31,49 62,72 51,62 48,39 3 4,28 7,95 12,3 26,19 32,71 5 2,46 4,68 6,23 15,38 19,68 7 1,73 3,32 3,94 1,93 13,97 1 1,2 2,31 2,32 7,63 9,75 2,59 1,15,62 3,81 4,86 3,39,77,14 2,53 3,23 4,29,58,7 1,9 2,42 5,23,47,17 1,52 1,94 6,19,39,23 1,26 1,61 7,16,34,27 1,8 1,38 8,14,3,29,95 1,21 9,12,26,31,84 1,7 1,11,24,32,76,96 valores esperados dos máximos 2,5 2 1,5 1, lambda =3 =5 =1 =15 =19 FIGURA 6 Valores esperados padroizados da -ésima estatística de ordem ( α : ) em amostras de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

14 Tabela 4 Erro relativo dos valores esperados padroizados da -ésima estatística de ordem ( α : ) em amostras de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ. λ ,38 5,98 12,99 16,36 18,16 3 1,19 4,66 8,67 1,66 11,71 5 1,26 3,92 7,4 8,6 9,42 7 1,22 3,46 6,11 7,44 8,13 1 1,14 3, 5,24 6,35 6,93 2,94 2,25 3,85 4,65 5,5 3,82 1,88 3,2 3,86 4,18 4,74 1,65 2,8 3,37 3,66 5,68 1,49 2,53 3,4 3,29 6,63 1,37 2,32 2,79 3,2 7,59 1,27 2,16 2,6 2,81 8,56 1,2 2,3 2,44 2,63 9,54 1,13 1,92 2,31 2,49 1,51 1,8 1,83 2,2 2,37 Na Figura 7 estão os valores de ν :. Eles covergem para as respectivas variâcias em amostras de tamaho a Normal Padrão, correspodete o gráfico ao valor de λ igual a 11, coforme aumeta o valor de λ, para o mesmo tamaho de amostra. Assim como o caso de α : pode-se observar que as lihas se comportam de maeira semelhate, além de serem paralelas. Na Tabela 5 ecotram-se os erros relativos para os valores de ν :. Estes variam de 6,37% à 171,33%, com valor meor para tamahos de amostras pequeas e maior para tamahos de amostras grades. Pode-se dizer que o erro relativo dos valores de ν dimiui a medida que λ aumeta, fixado o tamaho da amostra. : 116 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21

15 α : variâcias dos máximos 1,2 1,8,6,4, lambda =3 =5 =1 =15 =19 FIGURA 7 Valores das variâcias padroizadas da -ésima estatística de ordem ( ν : ) em amostras de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ. Tabela 5 Erro relativo das variâcias padroizadas da -ésima estatística de ordem ( ν : ) em amostras de tamaho da distribuição de Poisso com parâmetro λ. λ ,76 14,43 139,22 159,4 171, ,83 55, 73,27 82,88 88,91 5 3,6 41,46 55,7 62,17 66, ,8 34,55 45,81 51,65 55,45 1 2,75 28,56 37,79 42,55 45, ,45 19,85 26,18 29,4 31, ,72 16,9 21,19 23,76 25,64 4 1,12 13,88 18,26 2,45 22,11 5 9,3 12,39 16,28 18,22 19,72 6 8,24 11,29 14,83 16,58 17,98 7 7,62 1,44 13,7 15,32 16,63 8 7,12 9,76 12,8 14,3 15,55 9 6,71 9,2 12,6 13,46 14,65 1 6,37 8,72 11,43 12,75 13,9 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

16 5 Coclusões Em amostras de cojutos ordeados, os mometos das estatísticas de ordem padroizadas são importates a obteção de BLUEs. Neste trabalho foram apresetados os resultados de um estudo sobre o comportameto assitótico do valor esperado e da variâcia de algumas estatísticas de ordem para variáveis aleatórias com distribuição de Poisso com parâmetro λ. Mostrou-se que os valores de médias e variâcias das estatísticas de ordem X ( 1 ) X vidos de uma distribuição Poisso com 1 e ( ) parâmetro λ, quado padroizadas, covergem para os valores das esperaças e variâcias das respectivas estatísticas de ordem de uma Normal Padrão, em amostras de tamaho, a medida que se aumeta o valor do parâmetro. A variação do erro relativo pode ser cosiderada baixa e sofre um acréscimo a medida que o tamaho da amostra aumeta. Para as estatísticas de ordem do míimo e do máximo existe um comportameto muito semelhate e as difereças os erros relativos são muito pequeas. Além do mais, o comportameto do erro relativo idica que a aproximação é melhor para amostras de tamaho pequeo. Em relação aos valores de α pôde-se observar que eles se / 2: aproximam, quado λ cresce, do correspodete valor esperado a distribuição Normal, coforme aumeta o valor do parâmetro, para cada tamaho de amostra. Resultado aálogo obteve-se para as variâcias. Coclui-se etão que os dois primeiros mometos cetrais das estatísticas de ordem padroizadas de uma amostra aleatória de tamaho de uma variável aleatória com distribuição de Poisso com parâmetro λ covergem para os mometos correspodetes destas estatísticas em amostras de mesmo tamaho vido as de uma distribuição Normal padrão, quado λ. 118 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21

17 RIBEIRO, F. B., BARRETO, M. C. M. Order stastistics for poisso distributio: a asymptotic study of its momets, Rev. Mat. Estat. (São Paulo), v.19, p , 21. ABSTRACT: The kowledge of the properties of the momets of order statistics are very importat i the study of best liear ubiased estimators for raked set samplig. I recet papers, the procedure of raked set samplig are used i reseach of the Eviromet, maily whe the cost of observatios required more efficiet estimators. I this paper we have studied the properties of order statistics from Poisso distributio, which is little attetio is give i the literature but is very importat i applicatios. We have calculated the expected values ad variaces of the order statistics from Poisso distributio usig a fuctio i S-Plus software. We have checked for some sample values, if the meas ad variaces of reduced order statistics from Poisso distributio coverge for some values as λ icrease. We have cocluded that the expected values ad the variaces of reduced order statistics for Poisso distributio coverge for same figures of the stadard Normal distributio as λ icrease, for the same values of sample size. KEYWORDS: Raked set samplig, momets of order statistics, extreme poits, S-Plus, Poisso distributio ad stadard ormal distributio, Evirometal statistics. Referêcias bibliográficas BALAKRISHNAN, N. Order Statistics from discrete distributios, Comu. Stat, Part A-Theory Meth., v.15, p , BARNETT, V., MOORE, K. Best liear ubiased estimates i raked set samplig with particular referece to imperfect orderig, J. Appl. Stat., v.24, p , BARRETO, M. C. M., BARNETT, V. Best liear ubiased estimators for the simple liear regressio model usig raked set samplig. J. Ecol. Eviro. Stat., v.6, , BARRETO, M. C. M. Plaejametos eficietes em pesquisa o Meio Ambiete usado amostragem em cojutos ordeados. Rev. Mat. Estat., v.19, p.71-84, 21. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

18 BHOJ, D. S., AHSANULLAH, M. Estimatio of parameters of the geeralized geometric distributio usig raked set samplig. Biometrics, v.52, p , BOHN, L. L. A review of oparametric raked set samplig methodology. Comu. Stat., Part A-Theory Meth., v.25, p , BOHN, L. L., WOLFE, D. A. Noparametrics 2 sample procedures for raked set samples data, J. Am. Stat. Assoc., v.87, p , BOHN, L. L., WOLFE, D. A. The effect of imperfect judgmet rakigs o properties of procedures based o the raked set samples aalog of the Ma-Whitey-Wilcoxo statistics, J. Am. Stat. Assoc., v.89, p , DAVID, H. A. Order statistics. 2. ed. New York: Joh Wiley, p. DELL, T. R., CLUTTER, J. L. Raked set samplig theory with the use of raked set samplig o grass clover swards. Grass For. Sci., v.4, p JOHNSON, N., KOTZ, S., KEMP, A. Uivariate discrete distributios, 2. ed. New York: Joh Wiley, p. KAUR, A. et al. Evirometal samplig with a cocomitat variable ad stratified simple radom samplig. J. Appl. Stat., v.23, p , KOTI, K. M., BABU, G. J. Sig test for raked set samplig. Comu. Stat. Part A-Theory Meth., v.25, p , KVAM, P. H., SAMANIEGO, F. J. Noparametric maximumlikelihood-estimatio basead o raked set samples. J. Am. Stat. Assoc., v.89, p , LAM, K., SINHA, B. K., WU, Z. Estimatio of parameters i a 2- parameter expoetial distribuitio usig raked set sample. A. Ist. Stat. Math., v.46, p , MOOD, A. M., GRAYBILL, F. A., BOES, D. C. Itroductio to the theory of statistics, 3. ed. Tokyo: McGraw-Hill, p. MUTTLAK, H. A. Parameters estimatio i a simple liear-regressio usig rak set samplig. Biom. J., v.37, p , MUTTLAK, H. A. Estimatio of parameters for oe-way layout with rak set samplig. Biom. J., v.38, p.57-15, MUTTLAK, H. A., MCDONALD, L. L. Raked set samplig with respect to comcomitat variables ad with size biased probability of selectio. Comu. Stat. Part A-Theory Meth., v.19, p , Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21

19 MUTTLAK, H. A., MCDONALD, L. L. Raked set samplig ad the lie itercept method-a more efficiet procedure. Biom. J., v.34, p PEARSON, E. S., HARTLEY, H. O. Biometrika tables for statisticias. Lodo: Griffi, v.2, 286p. SAMAWI, H. M., AHMED, M. S., ABUDAYYEH, W. Estimatig the populatio mea usig extreme raked set samplig. Biom. J., v.38, p , SINHA, B. K., SINHA, B. K., PURKAYASTHA, S. O some aspects of raked set samplig for estimatio of ormal ad expoetial parameters. Stat. Decisios, v.14, p , STOKES, L. S. Raked set samplig with cocomitat variables. Comu. Stat. Part A Theory Meth., v.25, p , STOKES, L. S. Parametric raked set samplig. A. Ist. Stat. Math., v.47, p , STOKES, L. S., SAGER, T. W. Characterizatio of a raked set sample with aplicatio to estimatig distributios fuctios. J. Am. Stat. Assoc., v.83, p , VENABLES, W. N., RIPLEY, B. D. Moder applied statistics with S- Plus, 2.ed. New York: Spriger Verlag, p. Recebido em Apêdice Fução do S-Plus para cálculo dos valores esperados e variâcias das estatísticas de ordem da distribuição de Poisso estatistica.ordem<-fuctio(lam,r,) { x<-seq(,2,1) px<-ppois(x,lam) ip<-pbeta(px,r,-r+1,cp=) w<-1-ip mi<-sum(w) Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

20 sigma<-2*sum(x*w)+mi-mi^2 resposta<-c(mi,sigma) } 122 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 21