log7 8 3, pois logab só existe caso log bc log b log c 1. DEFINIÇÃO Para os reais positivos a e b com a 1 tais que

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1 . DEFINIÇÃO Pr os reis posiivos e b com is que b x, diz-se que x é o logrimo de b n bse, com x, ou sej: Universlmene us-se noção dd seguir: Slienndo que logrimo nd mis é que um expoene que os ser elevdo bse resul no logrimndo. Dess form, x o subsiuir x log b em b, obém-se: Exemplos: ) log 8, pois log 8 ou 8 8. b) log /, pois ou log5 5 c) log5 5, pois 5 5 ou 5 5 d) log7 7, pois 7 7 log log7 7 ou log 8 e) log8 4, pois 8 ou 8 f) log4 8, pois OBSERVAÇÃO É conveniene descr que Proprieddes log ou 4 8 logb só exise cso,b e. Pr os reis posiivos, b e c prov-se s proprieddes operóris dos logrimos seguir. P: Logrimo do Produo Pr, em-se: log bc log b log c P: Pr o rel m e em-se, de form imedi d definição de logrimo, que: * log m m

2 Conseqüênci d ª Propriedde: log, pois log log P: Pr, em-se: log logb logb b P4: Logrimo do Quociene Pr, em-se: b log logb logc c P5: Logrimo d Poênci Pr o rel m e, em-se: log b m m.log b P6: Poênci n Bse Pr o rel não nulo n e, em-se: log b log n b n P7: Mudnç de Bse Pr e c, em-se: log b log b c ou logc.log b c log c log b OBSERVAÇÃO No desenvolver d eori dos logrimos, dus bses form nodmene uilizds e em virude disso presenm noções própris. É ocso do logrimo deciml, ou de bse, mbém conhecido por logrimo briggsino, em homengem Henry Briggs (56-6), que em gerl não se desc bse, ou sej, logx logx. O ouro cso é o logrimo nurl ou Neperino, em homengem John Npier (55-67), cuj bse é o número de Euler, e, 78..., que é nodo por log x ln x. e. FUNÇÃO LOGARÍTMICA Definimos função logrímic od função * f: dd por * f(x) log x com e. Exemplo: Pr s funções logrímics f(x) logx e g(x) log x, noe que: ) f(4) log4 b) f log 8 8 g() log c) d) g() log

3 A função logrímic com bse é invers d função exponencil com bse, ou sej, pr exponencil x * que f(x), com e, em-se f : * dd por f (x) logx. * f: l Exemplo: ) A energi E(x) de um eléron o rvessr um nepro, composo de um deermindo meril, cuj espessur x é dd kx por Ex Ee, em que E é su energi inicil, k é um consne posiiv que depende d composição do nepro e e é bse do logrimo nurl. Com isso: ) expresse, em função de E(x), espessur x do nepro. b) indique, em ermos de k, espessur do meril pr qul o eléron perc 99% de su energi inicil. RESOLUÇÕES E x E e, obém-se: ) Aplicndo logrimo nurl os dois ldos d iguldde kx lne(x) ln E e kx lne(x) lne ln e lne(x) lne kx kx lne lne(x) kx E x ln k E(x) b) Pr que o eléron perc 99% de su energi inicil, su energi o rvessr o nepro deverá ser de % de E su energi inicil, ou sej, E(x) E. Aplicndo esse resuldo n expressão obid no iem, E(x) em-se: x ln( ) k x ln() k EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Após cionr um flsh de um câmer, beri imedimene começ recrregr o cpcior do flsh, o qul rmzen um crg eléric dd por Q() Q e, onde Q é cpcidde máxim d crg e é medido em segundos. O empo que levrá pr o cpcior recrregr 9% d cpcidde é de proximdmene: (considere ln =,6 e ln5=,6) ) segundos. b) segundos. c) 4 segundos. d) 5 segundos. e) 6 segundos.. Biólogos esimm que populção P de cer espécie de ves é dd em função do empo, em nos, de cordo com relção P 5 (,) 5, sendo o momeno em que o esudo foi inicido. Em qunos nos populção dess espécie de ves irá riplicr? log, e log,48.) ) 45 b) 5 c) (ddos:

4 d) 8 e) n n. Se 4 6, enão log n é igul : ) b) c) d) e) x y 4. Se, ribuindo, pr log, enão o vlor de x y é ),. b),5. c),7. d). e),. 5. A solução d equção n vriável rel x, log x(x 6), é um número ) primo. b) pr. c) negivo. d) irrcionl. 6. A lei de Benford, mbém chmd de lei do primeiro dígio, sugere que, em vários conjunos de ddos numéricos, ocorrênci dos lgrismos de 9 no início dos números (d esquerd pr direi em cd número) do conjuno de ddos não é igulmene provável. A lei se verific em diversos conjunos de ddos reis como, por exemplo, o conjuno ds populções dos diversos municípios de um pís, o conjuno dos ddos numéricos conidos ns cons de energi eléric d populção de um município, o conjuno dos comprimenos dos rios de um pís ec. Qundo lei de Benford se plic os ddos nlisdos, probbilidde P(n) de que o lgrismo n sej o primeiro n lgrismo em um ddo numérico qulquer do conjuno de ddos será P(n) log. n Por exemplo, se lei se plic, probbilidde de que o lgrismo (n ) sej o primeiro (d esquerd pr direi) em um número soredo o cso do conjuno de ddos é igul log, ou sej, proximdmene %, já que log,. Admi que os ddos numéricos indicdos n bel enhm sido reirdos d declrção de imposo de rend de um conribuine. Tmbém dmi que Recei Federl enh expeciv de que is ddos obedeçm, ind que proximdmene, à lei de Benford. Tbel A bel regisrr frequênci do primeiro dígio (d esquerd pr direi) dos ddos d bel pr os csos em que n, n e n 4. Tbel n 4 Frequênci de n Frequênci 9 5 6,67% reliv de n 4,% 5 6,67%

5 Admi que um declrção de imposo de rend vi pr mlh fin (nálise mis delhd d Recei Federl) se diferenç, em módulo, enre frequênci reliv do primeiro dígio, em porcengem, e probbilidde dd pelo modelo d lei de Benford, mbém em porcengem, sej mior do que quro ponos percenuis pr lgum n. Argumene, com ddos numéricos, se declrção nlisd n bel deverá ou não ir pr mlh fin. Adoe nos cálculos log, e log, O cálculo proximdo d áre d superfície exern de um pesso pode ser necessário pr deerminção d dosgem de lgums medicções. A áre A (em cm ) d superfície exern de um crinç pode ser esimd por meio do seu peso P (em kg) e d su lur H (em cm) com seguine fórmul, que envolve logrimos n bse : loga,45logp,75logh,84 (Delfield Du Bois e Eugene Du Bois. A formul o esime he pproxime surfce re if heigh nd weigh be known, 96. Adpdo.) Rfel, um crinç com m de lur e 6 kg de peso, precis omr um medicção cuj dose dequd é de mg pr cd cm de áre exern corporl. Deermine dose dequd dess medicção pr Rfel. Adoe nos seus cálculos log, e bel seguir. x x, 995,4 5,5 6,6 98,7 5,8 6, Qundo um elemeno rdioivo, como o Césio 7, enr em cono com o meio mbiene, pode fer o solo, os rios, s plns e s pessos. A rdição não orn o solo inféril, porém udo que nele crescer esrá conmindo. A expressão, Q() Qe represen qunidde, em grms, de áomos rdioivos de Césio 7 presenes no insne, em dis, onde Q é qunidde inicil. O empo, em dis, pr que qunidde de Césio 7 sej mede d qunidde inicil é igul Use In,69 ) 6. b). c) 5. d) 5.

6 e). 9. Suponh que vzão de águ de um cminhão de bombeiros se dá pel expressão V() V, em que V é o volume inicil de águ conido no cminhão e é o empo de escomeno em hors. Qul é, proximdmene, uilizndo um cs deciml, o empo de escomeno necessário pr que o volume de águ escodo sej % do volume inicil conido no cminhão? (uilize: log,.) ) h e min. b) h e min. c) h e 8 min. d) h e 5 min. e) h e min.. Um invesidor plicou cer quni, em reis, à x de juro composo de % o mês. Nese problem, desprezndo qulquer ipo de correção moneári devido à inflção, respond s perguns seguir. ) Nese invesimeno, pós meses, seri possível resgr o vlor plicdo com lucro de R$ 4.,. Clcule o vlor inicilmene plicdo. b) No invesimeno indicdo, é possível resgr um monne de 4 vezes o cpil inicilmene plicdo em 9, meses. Cso o cálculo fosse feio dondo-se log, e log,5, que são logrimos com pens css decimis de proximção, seri obido um vlor proximdo de nos. Chmndo de E 9, o erro comeido no cálculo devido o uso de pens css decimis de proximção nos logrimos indicdos, clcule E.. No rigo Desmmeno n Amzôni Brsileir: com que inensidde vem ocorrendo?, o pesquisdor Philip M. Fernside, do INPA, sugere como modelo memáico pr o cálculo d áre de desmmeno função k D() D() e, em que D() represen áre de desmmeno no insne, sendo medido em nos desde o insne inicil, D() áre de desmmeno no insne inicil, e k x médi nul de desmmeno d região. Admiindo que l modelo sej represenivo d relidde, que x médi nul de desmmeno (k) d Amzôni sej,6% e usndo proximção n,69, o número de nos necessários pr que áre de desmmeno d Amzôni dobre seu vlor, prir de um insne inicil prefixdo, é proximdmene ) 5. b) 5. c) 5. d) 5. e). 4. Se logx logx logx logx, o vlor de x é: ) b), c) d), e). Um professor de Memáic pede pr que seu filho fç compr de lguns ingredienes pr fzer um bolo e pães doces. Pr esr os conhecimenos do filho sobre logrimo, el fz seguine lis de comprs: Produo Qunidde Açúcr log6 8 kg Frinh de rigo log kg Achocoldo log pcoes de g Ouros doces log6 g

7 Com bse ns informções, nlise s proposições bixo e ssinle som d(s) CORRETA(S). ) A mãe pediu,5 kg de çúcr o filho. ) A mãe pediu 4 pcoes de chocoldo o filho. 4) A mãe pediu pr o filho não comprr ouros doces. 8) Se mãe ligsse pr o filho no cminho do mercdo e flsse: Fiz con errd pr qunidde de frinh. À qunidde que lhe disse, dicione log, el esri reduzindo qunidde de frinh pedid. 6) Se mãe ligsse pr o filho no cminho do mercdo, e flsse; Fiz con errd pr qunidde de " " frinh. À qunidde que lhe disse, dicione log e o filho fizesse con qunidde de frinh = log (./), ele esri cero pr qunidde de frinh. ) Em quilos, qunidde ol que o filho levrá pr cs, pel lis inicilmene fei, é,8 kg. 4. Em seembro de 987, Goiâni foi plco do mior cidene rdioivo ocorrido no Brsil, qundo um mosr de césio-7, removid de um prelho de rdioerpi bndondo, foi mnipuld indveridmene por pre d populção. A mei-vid de um meril rdioivo é o empo necessário pr que mss desse meril se reduz à mede. A mei-vid do césio-7 é nos e qunidde resne de mss de um meril rdioivo, pós k nos, é clculd pel expressão M() A (,7), onde A é mss inicil e k é um consne negiv. Considere, como proximção pr log. Qul o empo necessário, em nos, pr que um qunidde de mss do césio-7 se reduz % d qunidde inicil? ) 7 b) 6 c) 5 d) 54 e) 5. Pr comber um incêndio num flores, um vião sobrevo cim d fumç e sol blocos de gelo de um oneld. Ao cir, cd bloco se disnci d liude em que foi solo pelo vião de cordo com lei d, em que é o empo em segundos. A mss M do bloco (em quilogrms) vri, em função dess disânci de qued d (em meros), conforme expressão M 5log d. Se o bloco deve chegr o chão olmene derreido, liude mínim em que o vião deve solá-lo e o empo de qued nesse cso devem ser ). meros e segundos. b). meros e segundos. c). meros e segundos. d). meros e segundos. e). meros e segundos.

8 Gbrio: Respos d quesão : C Queremos clculr, pr o qul se em Q(),9 Q. Lembrndo que n n b b e c n c n, com, b reis posiivos e c rel, vem:, 9 Q Q ( e ) e n e n n n. (,6)(,6) 4, Respos d quesão : [E] Pr? P() P() P() 5 (,) 5 P() 5 Logo, P() P() 5 (,) 5 5 (,) 5 Aplicndo logrimos, emos: log(,) 5 log log log 5 log log log 5 log log log log 5 (,),48,48 5,8,48 nos 5 Respos d quesão : [B] n n n n n 4 n n n Onde,

9 n 4 n Porno, logn log Respos d quesão 4: [E] x y x y x log log x log y log( ) x y (log log) x y,, y Respos d quesão 5: [A] Sbendo que c log b c b, pr quisquer e b reis posiivos, e, emos log x(x 6) x x 6 x, que é um número primo. Respos d quesão 6: n Clculndo pelo modelo d lei de Benford, iso é, P(n) log, n emos: P() log log log log,48,,8 8% 8% 6,67% 4% 4 P() log log log 4 log,6,48, % %,% 4% 4 5 P(4) log log log5 log 4,7,6, % % 6,67% 4% 4 4 Porno, deverá ir pr mlh fin. Respos d quesão 7: Considerndo P 6 kg e H cm, emos seguine equção: log A, 45 log6, 75 log, 84 4 log A,45 log,75,84 log A,45 4log,45,84 log A,7,,9 log A,8,8 A A 6 cm Sbemos que Rfel deve omr mg pr cd por: 6 6,mg. cm de seu corpo. Porno, dose diári de Rfel será dd

10 Respos d quesão 8: [B] Q() Q e, Q Q e n ne n,,,,69, Respos d quesão 9: [C] V() V, V V, Aplicndo logrimo n bse nos dois membros d iguldde, emos: log, log log,,... Uilizndo um cs deciml, como foi pedido no enuncido enconrmos o seguine vlor pr.,h h e (, 6)min h e 8min Respos d quesão : ) Sej C o vlor inicilmene plicdo. Tem-se que 4 C 4 C (,) C, C R$., b) Pr M 4C, vem 4C C (,) (,) log log(,) log log (log log ) log (log log log) log,,5,,, 5,5. Porno, emos E 5,5 9,, meses.

11 Respos d quesão : [B] Queremos clculr o vlor de pr o qul se em D() D(). Porno, emos,6,6 D() D() e n n e,6,69 5. Respos d quesão : [D] Sbendo que b log b log, pr odo rel posiivo, vem 4 log x log x log x log x log x Respos d quesão : =. logx x x,. Qunidde de çúcr: log log 8 8 log 6 4 6,75kg Qunidde de frinh de rigo: log kg Qunidde de chocoldo: log g 8 g,8kg 4pcoes Qunidde de ouros doces: log6 g Porno: [] Fls. [] Verddeir. [4] Verddeir. [8] Verddeir, pois log log log [6] Fls, pois ele levrá,55kg. Respos d quesão 4: [E] Queremos clculr pr o qul se em M(), A. Sbendo que mei-vid do césio-7 é nos, enconrmos A k A M() A (,7) k (,7). Assim, omndo, como proximção pr log, vem

12 k M(), A A [(,7) ], A log log log log,, ou sej, o resuldo procurdo é, proximdmene, nos. Respos d quesão 5: [A] Qundo o bloco esiver olmene derreido su mss será M. Deerminndo, gor lur, pr M.. 5 log d 5 log d. 4 log d 4 d d. m Deerminndo o empo de qued... s

13 EXERCÍCIOS I ) A emperur médi d Terr começou ser medid por vol de 87 e em 88 já preceu um diferenç: esv (,) C cim dquel regisrd em 87 ( nos nes). A função,5x (x) = (,) com (x) em C e x em nos, fornece um esimiv pr o umeno d emperur médi d Terr (em relção àquel regisrd em 87) no no (88 + x), x. Com bse n função, deermine em que no emperur médi d Terr erá umendo C. (Use s proximções log,6 e log5,. ) (UFSCr) A curv seguir indic represenção gráfic d função f(x) logx, sendo D e E dois dos seus ponos. Se os ponos A e B êm coordends respecivmene iguis (k, ) e (4, ), com k rel e k, áre do riângulo CDE será igul % d áre do rpézio ABDE qundo k for igul (A) (B) (C) 4 (D) (E) ) Ao se esudr o crescimeno ds plmeirs n cidde de Plmeirópolis consou-se que função que descreve esse log ( ) crescimeno em meros, pós nos, é f(). Qunos nos são necessários pr que um deermind plmeir inj 7 meros de lur? 4) O brilho de um esrel percebido pelo olho humno, n Terr, é chmdo de mgniude prene d esrel. Já mgniude bsolu d esrel é mgniude prene que esrel eri se fosse observd um disânci pdrão de prsecs ( prsec é proximdmene km). As mgniudes prene e bsolu de um esrel são muio úeis pr se deerminr su disânci o plne Terr. Sendo m mgniude prene e M mgniude bsolu de um esrel, relção enre m e M é dd proximdmene pel fórmul,48 M = m + 5 log ( d ) onde d é disânci d esrel em prsecs. A esrel Rigel em proximdmene mgniude prene, e mgniude bsolu 6,8. Deermine disânci, em quilômeros, de Rigel o plne Terr. 5) Após esudr o empo ( em minuos) que um deermindo nlgésico lev pr começr fzer efeio em pcienes com,7 iddes de nos, um lborório obeve fórmul = log ( k), sendo k idde (em nos) dos pcienes. Pel fórmul, em quno empo começrá fzer efeio um nlgésico omdo por um pciene com nos de idde? 6) A disseminção de um doenç infeccios em um deermind populção de. frngos em um grnj pode ser descri pel equção. 48 P 4

14 em que é o número de dis decorridos desde deecção d doenç, que é definido como o momeno do precimeno dos primeiros csos P é qunidde ol de frngos infecdos pós dis. e Com bse nesss informções, julgue os iens seguir. () A qunidde de frngos infecdos no momeno em que doenç foi deecd é superior 5. () Cso doenç não sej conrold, od populção de frngos d grnj será infecd. () 4 frngos serão infecdos decorridos +log 5 dis do momeno d deecção d doenç. (4) O número de frngos infecdos somene no erceiro di é inferior. GABARITO EXERCÍCIOS I ) No no 44 ) C ) 4,5 nos 4) 7,9 5 km 5), min. 6) E; E; C; E