Geometria espacial. Aula 14. Ricardo Ferreira Paraizo. e-tec Brasil Matemática Instrumental

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1 Geometria espacial Aula 14 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Instrumental

2 Meta Apresentar os conceitos da Geometria Espacial. Objetivos Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de: 1. calcular o volume e a área total das principais figuras espaciais; 2. resolver problemas do cotidiano, envolvendo Geometria Espacial. 3. Distinguir as principais figuras espaciais (prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera).

3 Vamos trabalhar em três dimensões! 339 Podemos traduzir um balão em pleno vôo como a Física, fazendo a Geometria e a Arte passearem no espaço. A Geometria Espacial estuda as relações entre formas e medidas dos corpos geométricos que ocupam suas posições no espaço tridimensional (comprimento, largura e altura), onde nós vivemos. Nesta aula, você vai conhecer os principais sólidos geométricos, como prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera, além de aprender a calcular suas áreas e volumes. Aula 14 Geometria espacial Entendendo o espaço O que é o espaço? O tempo todo usamos o espaço. Mas se alguém perguntar o que é o espaço, acredito que muitos terão dificuldades de explicar. Vamos fazer um teste: escreva, no espaço a seguir, o que vem a sua cabeça quando falamos de espaço. Você pode tentar explicar isso, dizendo: o espaço é tudo o que nos envolve e é o local onde podemos nos mover para frente, para trás, para os lados e para cima. Adam Ciesielski Fonte: Imagine um prédio de cinco andares e você precisa chegar ao último andar. É provável que você procure um elevador, certo? Tomando como referência a porta do prédio, por exemplo, imagine que você deva dar dez passos para frente e 6 passos para a direita para chegar até ela. Pronto! Agora é só subir até o quinto andar.

4 340 e-tec Brasil Disciplina Quando afirmamos que vamos nos deslocar para a frente, para os lados ou para cima, devemos quantificar e identificar o quanto iremos nos deslocar nessas direções. Logo, necessitamos conhecer um ponto de partida (uma origem) para o sistema e identificar esse ponto como (0,0,0), pois esperamos que ele seja um ponto de referência para todos os outros pontos. Você pode estar se perguntando o porquê dessa representação (0,0,0). Um ponto no espaço é representado por três coordenadas (x, y e z): P(x, y, z) onde x indicará a quantidade deslocada no eixo que contém os deslocamentos para a frente, y indicará a quantidade deslocada no eixo que contém os deslocamentos para o lado e z indicará a quantidade deslocada no eixo que contém os deslocamentos para cima. Então, de acordo com o exemplo do prédio, a sua posição final dentro do prédio pode ser representada pelo ponto P(10, 6, 5).

5 341 Saiba mais... Coordenadas geográficas Há um Sistema Geográfico de identificação de posição na face da Terra que leva em consideração outros objetos, como meridianos e paralelos, para indicar a longitude e a latitude de um ponto na superfície do globo terrestre. Como uma circunferência tem 360 graus (e a terra tem uma circunferência máxima), os cientistas dividiram 360 graus por 24 (horas) para obter 15 graus por hora. Aula 14 Geometria espacial Considerando a planificação do globo terrestre, traçaram linhas imaginárias geodésicas (verticais) sobre a superfície terrestre. Essas linhas passam pelos pólos Norte e Sul, sendo denominadas meridianos, cuja referência básica foi a cidade de Greenwich (Inglaterra), que tem o meridiano 0. Fizeram o mesmo com linhas horizontais na planificação, denominando-as paralelos. Hoje podemos observar a localização de uma cidade em qualquer lugar do mundo situada no meridiano m e no paralelo p. É lógico que cada local está localizado acima do nível do mar (eixo z), razão pela qual esse sistema pode ser indicado como: P(m,p,z). A Geometria Espacial funciona como uma ampliação da Geometria Plana e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais, como, por exemplo, o cálculo de volume de regiões sólidas. Agora, vamos conhecer alguns sólidos geométricos: Prisma reto Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases situam-se em planos paralelos. Os prismas podem ser classificados como retos ou oblíquos, de acordo com a inclinação das arestas laterais. Veja, a seguir, alguns exemplos:

6 342 e-tec Brasil Disciplina Ricardo Ferreira Paraizo Aresta da base superior Plano da face lateral Aresta lateral Figura 14.1: Representação de um prisma pentagonal: A base é um pentágono. Já em um prisma quadrangular, a base é um quadrado. Algum dia você viu um objeto com o formato de um prisma? Observe o plano da base superior e o plano da face lateral, indicados no prisma pentagonal (Figura 14.1). Agora, responda ao que lhe foi perguntado: POLÍGONO Superfície plana limitada, em todos os lados, por linhas retas. Que tipo de POLÍGONO representa o plano da face lateral? ( ) quadrado ( ) pentágono Adam Ciesielski ( ) retângulo Fonte: Que tipo de polígono representa a base superior? ( ) quadrado Adam Ciesielski ( ) pentágono ( ) retângulo Fonte:

7 Vamos às repostas: 343 O polígono da face lateral é denominado retângulo (quadrilátero de quatro ângulos retos). Já o polígono da base superior é denominado pentágono (polígono de 5 lados). Como a base é formada por um pentágono, temos um prisma pentagonal. Este é um prisma regular, pois a base é formada por um polígono regular, ou seja, um polígono de lados de tamanhos iguais. E, ainda, é um exemplo de um prisma reto, pois suas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Num prisma reto, as faces laterais são retângulos, como é o caso do prisma pentagonal da Figura Aula 14 Geometria espacial O volume de um prisma é dado pela seguinte fórmula: V prisma = S b.h V prisma = volume do prisma S b = Área da base h = altura do prisma Ainda existem outros tipos de prisma: o triangular (a base é formada por um triângulo), o quadrangular (a base é formada por um quadrilátero), o hexagonal (a base é formada por um hexágono) etc. Paralelepípedo O formato prismático que encontramos por todo lado no nosso dia-a-dia é o chamado paralelepípedo, que é um prisma de base formada por um paralelogramo. Veja um exemplo: Ricardo Ferreira Paraizo c a b Figura 14.2: Caixa de giz.

8 344 A caixinha de giz (Figura 14.2) tem o nome de paralelepípedo retângulo (também e-tec Brasil Disciplina chamado de paralelepípedo reto-retângulo ou ortoedro). Veja, a seguir, algumas fórmulas importantes no estudo do paralelogramo: (i) Fórmula para calcular a área total do paralelepípedo retângulo: S Total paralelepípedo = 2(ab + ac + bc) S Total paralelepípedo Lê-se: área total do paralelepípedo Observe que para calcular a área total do paralelepípedo retângulo basta somar as áreas de todas as faces laterais com as áreas das duas bases. (ii) Fórmula para calcular a área total do cubo: S total cubo = 6a 2 S total cubo Lê-se: área total do cubo. A área total do cubo também é calculada somando-se as áreas de todas as faces laterais. (iii) Fórmula para calcular o comprimento da diagonal do paralelepípedo retângulo: D = a + b + c D Lê-se comprimento da diagonal do paralelepípedo. (iii) Fórmula para calcular o comprimento da diagonal do cubo D = a 3 D Lê-se comprimento da diagonal do cubo. Veja um exemplo: Os cavalos da fazenda do Zé estão comendo muita ração ultimamente. Os animais estão consumindo o volume ocupado por um cocho cheio de ração por dia. Qual o volume de ração em m³ que o Zé precisa produzir durante 30 dias, considerando-se as dimensões do cocho representadas na imagem a seguir?

9 345 Ricardo Ferreira Paraizo Aula 14 Geometria espacial Figura 14.3: Os cavalos estão se alimentando satisfatoriamente? Figura 14.4: Ampliação do cocho. Vamos à solução: 1º passo: Calculamos o volume de um cocho cheio. Observando a Figura 14.4, podemos ver que o cocho é um prisma (considere a base formada por um trapézio). Para calcular o volume desse prisma, basta multiplicar a área da base (que é um trapézio) pela altura do prisma. V prisma = S b H S b = área da base de um trapézio H = altura do prisma B + b h S 2 S b = área da base (trapézio) b = ( ) B = comprimento do lado maior do trapézio = 49,5 cm b = comprimento do lado menor do trapézio = 30 cm

10 346 h = altura do trapézio = 35 cm. e-tec Brasil Disciplina ( ) B b h Substituindo a fórmula S = + temos: b 2 ( 49, ) 35 79, , 5 S b = = = = 1391, 25cm º passo: Calcular o volume do prisma utilizando a fórmula. V prisma = S b H 2 V prisma = 1391,25 350= ,5 cm³ Transformando a medida temos: km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 4, V prisma = 4,869375,5 m³ 3º passo: Vamos à regra de três para calcular o consumo de ração em 1 mês. Em 1 dia os cavalos consomem 4, m³ Em 30 dias os cavalos vão consumir x x= 30 4, ,08 m³ Logo, o volume de ração em m³ que o Zé precisa produzir durante 30 dias será de aproximadamente 146,08 m³ Pirâmide Ricardo Ferreira Paraizo Consideremos um polígono contido em um plano horizontal e um ponto V localizado fora desse plano. Uma pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide. Figura 14.5: Pirâmide quadrangular.

11 É possível calcular o volume da pirâmide através da fórmula: V pirâmide = 1 S b.h 3 V pirâmide = Volume da pirâmide S b = área da base da pirâmide h = altura da pirâmide Aula 14 Geometria espacial 347 Exemplo: Veja a pirâmide da figura a seguir e calcule: a. sua área lateral b. sua área total c. seu volume H = cm Vamos à solução: a. S lateral = 4.S equilátero (Lê-se: A área lateral é igual a quatro vezes a área de um triângulo isósceles.) S equilátero = b. h 2 h equilátero = l 3 2 = S equilátero = = cm 2 4 Como a área lateral é 4.SS equilátero, temos: S lateral = = , 73 43, 75cm 4 A área lateral é igual a 43,75 cm². 2 3 b. S total = S base + S lateral (Lê-se: A área total é igual a área da base, somado com a área lateral.)

12 348 S base = S quadrado e-tec Brasil Disciplina (Lê-se: A área da base é igual à área do quadrado.) Sbase = l² Sbase = 25 cm² Como S total = S base + S lateral. Temos: S total = ,75= 68,75 cm². c. V pirâmide = 1 3 S b.h V pirâmide = =. 2 20, 83. 1, 41 29, 37cm 2 6 Agora, você precisa verificar se realmente aprendeu o que foi ensinado até aqui. 3 Atividade 1 Atende aos Objetivos 1 e 2 Faça com atenção a atividade a seguir para que possamos continuar a aula. Quando a pirâmide de Quéops terminou de ser construída tinha 146 m de altura e 233 m de aresta da base. Sabendo que essa pirâmide é uma pirâmide regular quadrangular, calcule o volume dessa pirâmide. Cilindro O conceito de cilindro é muito importante. Em diversos lugares, encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixasd água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, muitos deles com formas cilíndricas.

13 349 Ricardo Ferreira Paraizo h Planificação do cilindro Aula 14 Geometria espacial r Figura 14.6: Formato cilíndrico. Em um cilindro, a área lateral e total é dada por: S lateral = 2πrh S total = 2πr(h + r) S lateral Lê-se: área lateral do cilindro S total Lê-se: área total do cilindro h = altura do cilindro r = raio da circunferência π 3,14 E o volume o cilindro é calculado pela fórmula: V cilindro = πr 2 h V cilindro Lê-se: volume do cilindro O cilindro reto é também chamado cilindro de revolução. Isso porque o mesmo é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.

14 350 Exemplo: e-tec Brasil Disciplina Quantos litros de água cabem no bebedouro para os cavalos, considerando o formato do bebedouro o mesmo da imagem a seguir. Ricardo Ferreira Paraizo Figura 14.7: O cavalo está matando a sede! Figura 14.8: Cilindro dentro do cilindro. Veja a solução: 25 cm H = cm r A C B A C B 94 cm I II III O recipiente é um cilindro dentro de um cilindro. O volume do recipiente que contém água é o cilindro interno. Para calcular o volume do cilindro interno: (1º passo) Calculamos o raio do cilindro interno (r): r = AB BC = = 22 cm r = raio do cilindro interno

15 (2º passo) Calculamos o volume do cilindro interno: 351 V cilindro interno = π R² H V cilindro interno = π (22)² 80 V cilindro interno = π = 38720π cm³ , ,8 cm³ = ,8 ml kl hl dal l dl Cl ml 1 2 1, Aula 14 Geometria espacial V cilindro interno = ,8 ml = 121,5808 litros Portanto, no bebedouro para os cavalos, cabem aproximadamente 121 litros de água. Agora, teste seus conhecimentos na atividade a seguir para depois continuar estudando os sólidos geométricos. Quantos m 2 de alumínio você precisará adquirir para construir um reservatório Atividade 2 Atende aos Objetivos 1 e 2 (sem tampa) do formato a seguir? Cone

16 352 Considere uma região plana limitada por uma curva suave fechada e um ponto P e-tec Brasil Disciplina fora desse plano. Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região plana. g = GERATRIZ DO CONE Fonte: Michal Zacharzewski Figura 14.9: A casquinha do sorvete tem formato cônico.

17 Podemos calcular a área lateral do cone pela fórmula: 353 S lateral = πrg S lateral Lê-se: área lateral do cone. g = geratriz do cone r = raio do cone E a área total do cone é dada por: S total = π r(g + r) Aula 14 Geometria espacial S total Lê-se: área total do cone. Já para calcular o volume do cone, fazemos: V= 1 3 r2 h V = volume do cone h = altura do cone Vamos fazer um exemplo: Um cone circular reto de altura 3 2 cm tem volume igual a 18 2π cm³. Calcular o raio da base desse cone. Solução: 1 VCone =. Sb. h VCone =. π. R. h π =. π. R. 3 2 R = 18 R = 9. 2 R = 3 2 cm 3 Então, o raio da base desse cone é igual 3 2cm.

18 354 e-tec Brasil Disciplina Atividade 3 Atende ao Objetivo 1 Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é sua área lateral em cm²? Tronco do cone Quando fazemos um corte horizontal no cone e jogamos fora a ponta, a parte que sobra é o tronco do cone. Observe a figura a seguir: um recipiente no formato de um tronco de cone. R Ricardo Ferreira Paraizo h Figura 14.10: Tanque para colocar água quente para filagem do queijo. O tanque representa um tronco de cone. Veja a fórmula para calcular o volume e a área lateral desse tronco de cone.

19 V tronco do cone = 1 3.π.h[R2 + Rr + r 2 ] 355 S lateral = π(r + r)g S total com tampa = π[r(g + R) + r(g + r)] S total com a tampa = área total do tronco, considerando que o mesmo tem uma superfície circular tampando o tanque na sua parte superior. V tronco do cone = volume do tronco do cone Aula 14 Geometria espacial S lateral = área lateral do tronco S total = área total do tronco h = altura do tronco do cone R = raio maior r = raio menor π 3,14 Saiba mais... No processamento do queijo mussarela, há uma etapa de filagem, que consiste em filar a massa em água quente a 75 80º C (isto é, a massa, ao ser colocada em água quente, torna-se elástica, capaz de ser amassada e esticada facilmente, formando fios compridos). Em seqüência, é feita a moldagem no formato desejado. Agora, mais uma vez, chegou a hora de praticar.

20 356 e-tec Brasil Disciplina Atividade 4 Atende aos Objetivos 1 e 2 Um depósito de cereais tem a forma da figura a seguir (um cilindro somado a um tronco de cone). Suas medidas estão assinaladas na figura. Calcule a capacidade em litros desse depósito: (use π =3,14) Esfera Do ponto de vista prático, a película fina que envolve um sólido esférico tem o formato esférico. Em um melão, por exemplo, a casca que envolve a fruta tem o formato esférico. Chris Windras Figura 14.11: Olhando com bons olhos, a casca do melão poderia ter formato de uma esfera. Fonte:

21 Empresas de laticínios que armazenam líquidos em tanques de formatos esféricos necessitam realizar cálculos de volumes de regiões esféricas. A fórmula para calcular o volume da esfera é dada por: V = 4 3 πr 3 V = volume da esfera R = raio da esfera π 3,14 Aula 14 Geometria espacial 357 Já para o cálculo da área da superfície esférica, fazemos: S = 4πR 2 S = área R = raio da esfera π 3,14 Veja como aplicar as fórmulas da circunferência no exemplo a seguir. Seja uma esfera de 58 cm de diâmetro. Determinar: a. a área dessa esfera; b. o volume dessa esfera. Vamos à solução: a. Como diâmetro é igual ao dobro do raio (D=2R), temos: 58 = 2R R= 29 cm (raio é igual a 29 cm) Para calcular a área da esfera, usamos: S = 4.π.R S = 4.π.29 = 116.π S 116.3,14 = 364,24 cm² Então, a área da esfera é aproximadamente igual a 364,24 cm². b. Para calcular o volume da esfera, usamos a fórmula: V =. π. R =. π. 29 =. π = 32518, 66πcm , 61cm O volume da esfera é aproximadamente ,61 cm³ Agora que você já conheceu os principais sólidos geométricos, continue praticando. Mãos à obra!

22 358 e-tec Brasil Disciplina Atividade 5 Atende ao Objetivo 1 Determine a área de uma esfera, sendo 2304π cm³ o seu volume. Atividade 6 Atende ao Objetivo 3 Veja as figuras a seguir. Coloque, ao lado de cada item localizado depois das imagens, a numeração que corresponde ao respectivo formato: Ricardo Ferreira Paraizo 5 6 7

23 Aula 14 Geometria espacial Ricardo Ferreira Paraizo a. Prismáticos:... b. Cilíndricos:... c. Cônicos:... d. Piramidais:... e. Esféricos:...

24 360 e-tec Brasil Disciplina Resumindo... A Geometria Espacial estuda as relações entre formas e medidas dos corpos geométricos que ocupam suas posições no espaço em que vivemos. Veja a seguir as tabelas, mostrando os principais sólidos geométricos com suas fórmulas de áreas e volumes: PRISMA RETO Área lateral Área total Volume S l = n.s 1 n= número de faces laterais S 1 = área de uma face lateral S t = S l + S b S b = Área da base V =S b.h h = altura PIRÂMIDE Área total Volume S t = S l + S b V = 1 3 S b.h CILINDRO Área total Volume S t = 2πr(h + r) r= raio da base do cilindro π 3,14 V = πr 2 h

25 361 CONE Aula 14 Geometria espacial Área da base S b = πr² Área lateral S l = πrg g = geratriz do cone Área total S T = πr(g + r) Volume V= 1 3 r2 h TRONCO DO CONE Área lateral Área total S l = π(r + r)g g = geratriz do tronco do cone S T = π[r(g + R) + r(g + r)] Volume V = 1 3.π.h[R2 + Rr + r 2 ] ESFERA Área da superfície esférica Volume S = 4πR 2 R= raio da esfera V = 4 3 πr 3

26 362 Informação sobre a próxima aula e-tec Brasil Disciplina Na próxima aula, você vai aprender a resolver e interpretar graficamente os sistemas de equações de 1º grau. Respostas das Atividades Atividade 1 Quando dizemos que uma pirâmide é regular, a sua base é formada por um polígono regular (lados iguais). V pirâmide = 1. S b. h 3 S base = 233² = m² V pirâmide = ,6m 3 3 Então, a pirâmide de Quéops tem um volume aproximado de ,6 m³. Atividade 2 Na verdade, estamos querendo calcular a área total de lataria para fazer um reservatório com o formato indicado. Vamos dividir o objeto em duas partes: Parte prismática (1º) Parte prismática A área da parte prismática consta de retângulos. Como já sabemos, para calcular a área de retângulo basta multiplicar a base pela altura. Então, teremos:

27 S da parte prismática = 2X1,5X0,7 + 2X0,7X1 363 S da parte prismática = 2,1 +1,4 =3,5 m² (2º) Parte semi-cilíndrica (meio cilindro) Agora vamos calcular a área da parte semi-cilíndrica. Para isso, primeiramente vamos calcular a metade da área lateral do cilindro e depois somar com as duas metades das áreas dos círculos. Então, teremos: Aula 14 Geometria espacial Parte semi-cilíndrica (veja que dois semi-círculos formam um círcul.) S lateral do cilindro = 2.π.r.h r = raio do cilindro h = altura do cilindro π 3,14 S lateral do cilindro = 2.π.r.h S lateral do cilindro = 2 3,14 1,5 = 4,71 m² S lateral do semi-cilindro = S S círculo = π.r 2 lateral do cilindro 2 2 4, 71 = 2, 35m , , 14 S círculo = 3, 14 0, = = = m Agora, vamos somar todas as áreas: S TOTAL = S da parte prismática + S lateral do semi-cilindro + S círculo = 3,5 + 2,35 +0,785 6,64 m² S = área A área total de lataria será de aproximadamente 6,64 m².

28 364 Atividade 3 e-tec Brasil Disciplina A área lateral de um cone circular reto pode ser calculada pela fórmula: S lateral = πrg x² = x = 100 g= 10 cm S lateral = πrg S lateral = π.6.10= 60π= 60.3,14 188,4 cm² Atividade 4 1º passo: Calcular o volume da parte cilíndrica (V 1 ). Parte cilíndrica do silo V 1 = π R² h V 1 = π (6)² 6 V 1 = π 36 6 V 1 = π (6)² 6 V 1 = 216π m³

29 2º passo: Calcular o volume da parte do tronco do cone (V 2 ). 365 Aula 14 Geometria espacial Parte em formato de tronco do cone do silo V 2 = 1 3 π h[r2 + R r + r 2 ] V 2 = 1 3 π 4[ ] V 2 = 1 3 V 2 = 1 3 π 4[ ] π 4[43] V 2 = π m³ 3º passo: Somar os volumes da parte cilíndrica V 1 (encontrado no 1º passo) com o volume da parte em forma de tronco de cone V 2 (encontrado no 2º passo). V total = V 1 + V 2 V total = 216π π somando as frações: V total = 648π + 172π 820π 820 3, , 8 = 858, 27m Como 1m³ = 1000 litros, então 858,27 m³ = litros A capacidade em litros do depósito é litros. Atividade 5 Como foi dado o volume da esfera, usamos a fórmula: V = 4 3 π. R π = 4 3 π. R = 4 3. R = 4R 3 3 = 1728 R= 1728 R= R = 12

30 366 Para calcular a área, usamos S = 4πR². e-tec Brasil Disciplina S = 4.π.(12)² S= 4.π.144 S= 576π S 1808,64 cm². Atividade 6 a. prismático: 1; 3; 8; 11 b. cilíndricos: 4; 9; 12; 13; 14; 17 c. cônicos: 6; 10; 15 d. piramidais: 2; 7 e. esféricos: 5; 16 Site consultado Disponível em: < grad2004/queijos/tipos.htm> Bibliografias complementares IEZZI Gelson. et al. Matemática vol ed. São Paulo: Atual, DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações v.2. São Paulo: Ática, 1999.