Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes

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1 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes Aula 12 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Instrumental

2 Meta Apresentar as grandezas geométricas: perímetro, área e volume. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. transformar uma unidade de medida de comprimento em outra; 2. calcular a área de algumas das principais figuras geométricas planas; 3. transformar uma unidade de área em outra; 4. transformar uma unidade de volume em outra; 5. resolver problemas de aplicação de transformação de medidas e cálculo de áreas das figuras planas. Pré-requisito Para acompanhar esta aula, é importante ter em mãos: cartolina, cola e tesoura.

3 A origem do cálculo de área 289 Desde os tempos mais remotos até os dias de hoje, a ocupação de terras para plantar, morar e armazenar alimentos tem sido uma preocupação dos cidadãos, que as ocupam, e do governo, que cobra impostos pela ocupação. Na sua profissão, você vai lidar com medidas a todo o momento. Por exemplo: para saber a quantidade de ração necessária para sustentar um determinado animal, você precisará entender de volume. Para saber quantos canteiros retangulares poderá construir numa fazenda, você vai precisar entender o cálculo de área. Nesta aula vamos desenvolver algumas aplicações importantes que poderá observar no seu dia-a-dia. Mas este assunto não pára por aqui; você manterá contato com ele com muita freqüência nas disciplinas técnicas de seu curso e na prática profissional. Estude com muita atenção e desenvolva as atividades com cuidado e dedicação. Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes Vamos medir Vamos iniciar analisando as formas de alguns objetos. Por exemplo, uma caixa de leite tem formato de um paralelepípedo retângulo. Figura 12.1: A caixa de leite tem formato de um paralelepípedo retângulo (prisma). Podemos medir o seguimento AB utilizando a régua. A mesma ação pode ser empregada para medir o perímetro da folha de seu caderno. Você lembra o que é perímetro? É a soma dos lados de uma figura plana. Medir o perímetro do caderno é somar a medida dos quatro lados da folha do caderno.

4 290 e-tec-brasil Matemática Instrumental Escrever na folha de caderno: O perímetro (2p) é: 2p = 279, , , ,9 Logo, 2p = 990,6 mm Medidas de comprimento Desde a Antigüidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada povo possuía sua própria unidade. Com o desenvolvimento do comércio, ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada SISTEMA MÉTRICO grandeza. Foi assim que, em 1791, surgiu o SISTEMA MÉTRICO DECIMAL. DECIMAL Faz parte do sistema internacional (SI) de unidades. Este é adotado no Brasil e tem como unidade principal e fundamental o metro. Saiba mais... Metro A palavra metro tem origem grega métron e significa o que mede. Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro corresponde a uma fração da circunferência da Terra, mais precisamente a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil, o metro foi adotado oficialmente em 1928.

5 Além do metro, que é a unidade fundamental de comprimento, existem ainda seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados pelos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Mudança de unidades de comprimento Utilizamos os múltiplos do metro para medir grandes distâncias e os submúltiplos para medir pequenas distâncias. Veja os múltiplos e submúltiplos do metro na tabela a seguir: Tabela 12.1: Múltiplos e submúltiplos do metro. Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro km hm dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes 291 Observe que cada unidade de comprimento é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. km = quilômetro (mil vezes o metro) hm = hectômetro (cem vezes o metro) dam = decâmetro (dez vezes o metro) m = metro (unidade fundamental) dm = decímetro (décimo do metro) cm = centímetro (centésimo do metro) mm = milímetro (milésimo do metro) Para a mudança de unidade no sistema métrico decimal, podemos usar uma regra prática, que explicaremos logo a seguir. Por exemplo: o comprimento do terreno retangular onde fica a minha casa é 55,6 m. Quantos centímetros correspondem a essa medida?

6 292 e-tec-brasil Matemática Instrumental Observe que dessa forma lemos a medida em metros. Então, se eu colocar a vírgula a direita do zero, lemos centímetros (cm). Ou seja, 55,6 metros (m) equivalem a centímetros (cm). Saiba mais... Comprimento da circunferência Para medir o comprimento (l) de uma circunferência, usamos a fórmula: l = 2.π.r Onde: l = comprimento da circunferência R = raio da circunferência π 3,14 (o valor de π é aproximadamente 3,14) Exemplo: Quantos metros de arame farpado você precisa usar para dar uma volta completa num cercado circular de 20 metros de raio? Substituindo na fórmula, temos: l = 2.π.r l = 2. 3, l = 125,60 m Portanto, você vai precisar de 125,60 metros de arame para dar uma volta completa num cercado circular.

7 Outro exemplo: 293 Agora, vamos transformar 234 cm em dm. A medida é 234 cm = 234,0 cm. Veja a tabela: km hm dam m dm cm mm 2 3 4, 0 Observe que o último algarismo antes da vírgula e a própria vírgula devem ficar na coluna da unidade indicada inicialmente, ou seja, na coluna do cm. Depois disso, deslocamos a vírgula para a unidade desejada. Veja: A vírgula desloca-se para o dm: km hm dam m dm cm mm 2 3, 4 0 Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes Logo, 234 cm = 23,4 dm. A seguir, há uma atividade para que você pratique um pouco e fixe esse conceito, que é o pré-requisito para entender as unidades de área que virão a seguir. Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Complete: a. 5,3 km =... m b. 2,36 m =... cm

8 294 Unidades de área e-tec-brasil Matemática Instrumental Vamos pegar um pedaço de papel e uma régua. Com a régua vamos fazer um retângulo de 10 cm x 5 cm e quadriculá-lo com cinqüenta quadrados de mesmo tamanho. Zsuzsanna Kilián Fonte: Figura 12.2: Saber calcular a área do retângulo é fundamental para entender o cálculo da área de outras figuras planas. Veja como ficou o retângulo quadriculado:

9 Agora, vamos analisar º. O retângulo foi subdividido em 50 quadrados. 2º. Cada quadrado tem 1 cm de lado. 3º. Qual é a área desse retângulo? Podemos observar que a medida da superfície desse retângulo é a área que queremos calcular. Como a figura foi dividida em 50 quadradinhos de 1 cm de lado, concluímos que a área total do retângulo é 50 cm 2. 4º. Mas como obter a área do retângulo sem fazer quadriculado? altura = 5 cm Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes comprimento = 10 cm Basta multiplicar o comprimento pela altura, ou seja, 10 cm x 5 cm = 50 cm². Logo, podemos concluir que a área de qualquer retângulo é o comprimento multiplicado pela altura. A retângulo = base (b) x altura (h) O quadrado também tem a área calculada pelo produto da base pela altura. Mas, neste caso, podemos modificar essa fórmula:

10 296 No quadrado, como todos os lados são iguais, podemos dizer que a base é igual a e-tec-brasil Matemática Instrumental l e a altura é igual a l. Então, substituindo na fórmula, temos: A quadrado l. l Vamos a uma situação prática para que você entenda melhor: Imagine que precisamos fazer um canteiro para replantar 50 mudas de alface de tal forma que cada pé ocupe 400 cm². Qual deverá ser a área desse terreno? Não se assuste com o que foi pedido. Você vai ver que não é complicado resolver a questão. Podemos resolver este problema usando uma regra de três simples, ou seja: Ricardo Ferreira Paraizo 1 pé de alface ocupa 400 cm² 50 pés de alface ocuparão x cm². Figura 12.3: Usando unidade de área na prática agrícola. pé cm x = x = cm 2 50 x Área das principais figuras planas Nesta seção, você vai aprender que a fórmula da área do retângulo é a base para o cálculo de áreas de figuras planas elementares. Observe!

11 Área do triângulo 297 Veja o retângulo a seguir: traçando uma diagonal, dividimos esse retângulo em dois triângulos iguais. Você já conhece a fórmula da área do retângulo (A = b. h). Então, o que fazer para determinar a área do triângulo? Ora, se o retângulo foi dividido em dois triângulos iguais e desejamos saber a área de apenas um deles, basta dividir a área do retângulo por 2. Ou seja: A triângulo = b.h 2 Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes Área do paralelogramo Observe as figuras a seguir. Para o cálculo da área, podemos cortar um pedaço do paralelogramo e encaixá-lo do outro lado, transformando-o num retângulo: Veja que a altura do paralelogramo é a distância de uma base a outra. Sendo assim, a altura é perpendicular à base. Com isso, a área do paralelogramo é igual à área do retângulo obtido, ou seja, o produto das medidas da base pela altura. A paralelogramo = b.h

12 298 Área do losango e-tec-brasil Matemática Instrumental O losango é uma figura geométrica que possui lados iguais e diagonais perpendiculares. Podemos construir um retângulo de maneira que o losango fique inscrito nesta construção. Dessa forma, a área do losango, determinada em função de suas diagonais, é metade da área do retângulo. A losango = diagonal maior (D) diagonal menor (d) 2 Área do trapézio O trapézio é um polígono que possui quatro lados (ou seja, é um quadrilátero); dois desses lados são paralelos. Esses lados paralelos chamam-se bases. base menor (b) base maior (B)

13 Agora, construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de cabeça para baixo em relação ao outro. A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio. Assim, a área do trapézio é: base maior (B) base menor (b) A trapézio = ( + ) h 2 Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes 299 Atividade 2 Atende ao Objetivo 2 Calcule a área da superfície de um bloco de pedra em forma de paralelogramo de 8 m de base e 6 cm de altura.

14 300 e-tec-brasil Matemática Instrumental Atividade 3 Atende ao Objetivo 2 O quadrilátero ABCD adiante representa um terreno em forma de trapézio, sendo 35% desse terreno ocupado por uma reserva florestal. A área total do terreno ABCD e a área da reserva florestal são respectivamente iguais a: Dados: AB = 5km DE = 4km DC = 2km a. 14 km² e 4,9 km² b. 15 km² e 5,25 km² c. 14 km² e 6,0 km² d. 15 km² e 6,3 km² e. 10 km² e 6,3 km²

15 Mudanças de unidades de medidas de área 301 Vamos começar esta seção com um exemplo: A área de uma fazenda é de 3,421 km². Você sabe quantos m² (metros quadrados) correspondem a essa medida? Nathan Berry Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes Fonte: Figura 12.4: Para medir áreas muito grandes, normalmente são usados os múltiplos do m 2. Atenção! Cada unidade de medida da área é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, e não dez vezes maior, como era no caso das unidades de comprimento.

16 302 Para fazer a transformação de km 2 para m 2, vamos construir uma tabela com todas e-tec-brasil Matemática Instrumental as unidades de área. Observe que, quando trabalhamos com unidade de área, colocamos em cada casa, à direita da vírgula, dois dígitos. E com a mesma regra prática usada para as transformações de unidades de comprimento, podemos resolver esse problema. Veja: Se colocarmos a vírgula aqui, lemos a medida em m 2. Então, 3,421 km 2 equivalem a m 2. Saiba mais... Medidas agrárias Para medir as superfícies de terrenos, podemos utilizar as medidas agrárias: i. hectare (ha) ii. are (a) iii. centiare (ca)

17 A mudança de unidade se faz da mesma forma que nas medidas de superfície (área) ca = 2 ha ha a ca 1 a = 100m alqueire utilizado em Minas Gerais, Rio de Janeiro e Goiás vale m 2 = 4,84 ha. 1 alqueire utilizado em São Paulo vale m 2 = 2,42 ha. 1 alqueire utilizado no Norte vale m 2 = 2,7225 ha. Atividade 4 Atende ao Objetivo 3 Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes Complete: a. 5 km 2 =...m 2 b m 2 =...km 2 c. 0,0242 km 2 =...m 2 Volume Quando estudamos o cálculo de área, trabalhamos com figuras da geometria plana. Agora, vamos observar os corpos que temos ao nosso redor, isto é, aqueles que ocupam lugar no espaço, como os rios, os móveis ou qualquer tipo de construção. Freqüentemente, temos de calcular volume de espaço que um tanque, por exemplo, ocupa. Tal conhecimento é fundamental para a agropecuária.

18 304 e-tec-brasil Matemática Instrumental Craig Jewell Fonte: Figura 12.5: O silo cilíndrico, usado para armazenar soja, é um sólido e, portanto, podemos calcular o seu volume. Medir um sólido é compará-lo com outro sólido, tomado como unidade. Por exemplo: precisamos de um recipiente em que caibam 640 cm³ (centímetros cúbicos) de água. Para isso você pode fazer um modelo utilizando cartolina e cola, seguindo a planificação adiante. 10 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm Podemos dizer que nesse paralelepípedo cabem 640 cubinhos de 1 cm de aresta (cubinhos como o da figura). 1 cm 8 cm 10 cm 8 cm 8 cm 1 cm 1 cm 8 cm V = a.b.c = = 640 cm³, onde a, b e c são as três dimensões do paralelepípedo. Assim, podemos calcular o volume de qualquer paralelepípedo retângulo fazendo o produto de suas dimensões.

19 305 Atenção! O volume de um corpo é a quantidade de espaço que ele ocupa. Quanto maior o espaço ocupado, maior o seu volume, e vice-versa. Com isso, o volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura. O volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é: V = a x b x c Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes Quanto ao volume do cubo, também é o produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura. Como os três comprimentos são iguais, tome um deles e o eleve ao cubo. V = a 3 a a a Mudanças de unidades de volume Imagine uma caixa d água que tem volume de 4,387 m 3 (metros cúbicos). Você saberia dizer quantos cubinhos de 1 cm de ARESTA cabem nessa caixa? Veja o diagrama com as unidades de volume e pense um pouco... ARESTA Em Geometria, é a linha de intersecção de duas faces de um sólido. Um cubo, por exemplo, tem 12 arestas.

20 306 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 e-tec-brasil Matemática Instrumental As unidades de volume aumentam ou diminuem de em 1.000, isto é, cada unidade de volume é vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e vezes menor do que a imediatamente superior. Se colocarmos a vírgula aqui, lemos a medida em cm³. km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 4, Observe que em cada casa colocamos três dígitos, pois se trata de volume. Portanto, ,0 cm³, ou seja, cabem ,0 cubinhos de 1 cm de aresta dentro dessa caixa d água. Agora é sua vez! Tente fazer as atividades a seguir para fixar o conceito e os procedimentos para transformar unidades de volume. Depois, tente resolver a atividade-desafio. Atividade 5 Atende ao Objetivo 4 Complete: a. 3 m 3 =...dm 3 b dm 3 =... m 3 c mm 3 =... cm 3

21 307 Atividade 6 D E S A F I O Atende ao Objetivo 5 A fazenda São Carlos, localizada no estado de Minas Gerais, mede 200 ha. De um lado dessa fazenda fica a fazenda Santa Rosa, que mede 300 alqueires. Do outro lado há outra fazenda chamada Santa Maria, com área de 4 km². De acordo com as informações responda: Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes a. Quantos por cento de área a fazenda Santa Rosa tem a mais que a área da fazenda Santa Maria? b. Qual é a fazenda de maior área? Represente esta área em hectare. c. Faça um gráfico de colunas colocando no eixo x o nome das fazendas e no eixo y as áreas em m².

22 308 e-tec-brasil Matemática Instrumental Resumindo... A todo momento de sua vida você está medindo alguma coisa. E para medir precisamos usar algumas normas, o principal objetivo desta aula. O comprimento serve para medir distâncias: Unidades de Comprimento quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro km hm dam m dm cm mm Comprimento da circunferência: l = 2.π.r A área serve para medir superfícies: Unidades de Área km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Área das principais figuras planas (S): (i) Triângulo: S = b. h 2 (ii). Quadriláteros Paralelogramo : S = b x h Retângulo : S = b x h

23 Losango: Trapézio: 309 S D d =. 2 Informação sobre a próxima aula ( B + b). h S = 2 Na próxima aula, vamos trabalhar com semelhança de triângulos e Teorema de Talles. Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes Respostas das Atividades Atividade 1 a. Vamos colocar a parte inteira (parte da unidade) na direção da unidade de medida, que neste item é o km. A vírgula precisa ficar à direita da unidade dada. Na casa seguinte, copiamos o número que acompanha o 5, que é o número 3. É muito simples: basta copiar 5,3 dentro das casas. Veja: km hm dam m dm cm mm 5, 3

24 310 Como queremos passar para metro (m), a vírgula desloca-se para o metro. e-tec-brasil Matemática Instrumental Lembre-se sempre de colocar zero em cada casa em branco. Agora a vírgula se desloca do km para o metro. Veja: km hm dam m dm cm mm , 0 Veja que a vírgula se deslocou para a direita da nova unidade de medida (que é o m). Resposta: 5,3 km = 5300 m b. km hm dam m dm cm mm 2 3 6, 0 Resposta: 2,36 m = 236 cm Atividade 2 h = 6 m Cuidado: não confunda o lado (l) do paralelogramo com a sua altura (h). b = 8 m h b l Para se calcular a área de um paralelogramo, basta multiplicar a base pela altura. S = b. h = 8. 6 = 48 m² Logo, a área da superfície da pedra é de 48 cm². Atividade 3 ( B + b). h A fórmula para se calcular a área do trapézio ABCD é S = 2 B = comprimento da base maior (AB) b = comprimento da base menor (CD) h = altura do trapézio (DE) S = (5 + 2).4 2 = = 14 km2

25 Os 35% do terreno que é reserva florestal podem ser calculados assim: = = = 4, 9 km Resposta: A Atividade 4 2 a. O raciocínio é um pouco parecido com a transformação da unidade de comprimento. Como agora o assunto é área, cada casa precisa ter 2 (dois) dígitos. Veja que 5 km² = 5,0 km². A parte inteira (parte da unidade) fica em direção à unidade de medida, que neste item é o km². km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 5, 0 Neste trapézio, a reta AB é paralela à reta CD. Essas retas paralelas são as bases maiores e menores respectivamente. Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes 311 Como queremos passar para metro quadrado (m²), a vírgula desloca-se para o m². Vamos colocar dois zeros em cada casa em branco. A vírgula desloca-se do km² para o m². Veja: km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm , 00 Veja que a vírgula se deslocou para a direita da nova unidade de medida (que é o m²). Resposta: 5,0 km² = m² b. Agora a medida é m 2 = ,00 m 2. Os números 00 (as partes da unidade e dezena) em direção ao m². Veja: km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm , 00 A vírgula desloca-se para o km 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 00, Resposta: m 2 = 0,0144 km 2

26 312 c. e-tec-brasil Matemática Instrumental km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 0, A vírgula desloca-se para o m 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm , 00 Resposta: 0,0242 km 2 = m 2 Atividade 5 a. O raciocínio é um pouco parecido com a transformação da unidade de área e comprimento. Como agora o assunto é volume, cada casa precisa ter 3 dígitos. Veja que 3 m³ = 3,0 m³. A parte inteira (parte da unidade) fica em direção à unidade de medida, que neste item é o m³. km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 3, 000 A vírgula vai se deslocar para o dm³. Vamos colocar três zeros em cada casa em branco. A vírgula desloca-se do m³ para o dm³. Veja: km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm , 000 b. Veja que a vírgula se deslocou para a direita da nova unidade de medida (que é o dm³). Resposta: 3 m 3 = dm 3 km 3 hm 3 dam 3 m3 dm 3 cm 3 mm , 000 km 3 hm 3 dam 3 m3 dm 3 cm 3 mm 3 005, Resposta: dm 3 = 5,4 m 3

27 c. 313 Atividade 6 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm , km 3 hm 3 dam 3 m3 dm 3 cm 3 mm 3 050, 000 Resposta: mm 3 = 50 cm 3 Em primeiro lugar, devemos transformar todas as medidas de área para a mesma unidade. Aqui, tudo será reduzido a m 2 ; para isso, vamos usar regra de três. FAZENDA SÃO CARLOS FAZENDA SANTA ROSA 1 ha m² 1 alqueire (MG) m² Aula 12 Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes 200 ha x 300 alqueires x x = m 2 x = m 2 FAZENDA SANTA MARIA km 2 hm 2 dam 2 m 2 4, A tabela a seguir mostra as áreas das três fazendas em m 2. FAZENDA ÁREA São Carlos m² Santa Rosa m² Santa Maria m² a. Se o aumento da área da Santa Maria fosse m² seria de 100%. Como o aumento foi de m² será de x %. m 2 % x

28 314 Resolvendo essa regra de três, temos: e-tec-brasil Matemática Instrumental x = x = = = 263% Portanto, a área da fazenda Santa Rosa é 263% maior que a área da fazenda Santa Maria. b. Podemos ver na tabela que a fazenda de maior área é a Santa Rosa. Agora, vamos representar essa área em hectare: 1 ha m² x m² x = x = x = ha Logo, a maior área em hectare é de ha (Santa Rosa). c. Áreas Área das fazendas São Carlos Santa Rosa Santa Maria Fazendas Referências bibliográficas IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicação v ed. São Paulo: Atual, Matemática e realidade 5ª série. 5. ed. São Paulo: Atual, GIOVANNI, José Ruy et al. A conquista da matemática 5ª série. São Paulo: FTD, MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática idéias e Desafios 5ª série. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.