PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira

2 SUMÁRIO FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL.... INTRODUÇÃO.... FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR ZEROS DE UMA FUNÇÃO TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES Translações Verticais Translações Horizontais Refleões FUNÇÃO POLINOMIAL Função constante Função polinomial de o grau Função polinomial de o grau(função quadrática) Função potência FUNÇÃO RACIONAL FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO Interpretação geométrica Propriedades do valor absoluto OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM FUNÇÕES.... COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES.... FUNÇÃO INVERSA.... FUNÇÃO EXPONENCIAL Função Eponencial Natural Crescimento e Decrescimento Eponencial FUNÇÃO LOGARITMO Propriedades dos Logaritmos Função Logaritmo Natural Mudança de Base FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Revisão de Trigonometria no Triângulo Retângulo Radiano Ciclo Trigonométrico Funções Seno e Cosseno As Demais Funções Trigonométricas Relações Importantes Adição e Subtração de Arcos RESPOSTAS... 6 LIMITES E CONTINUIDADE NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE LIMITES LATERAIS.... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM PONTO FUNÇOES BÁSICAS CONTÍNUAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS LIMITES INFINITOS ASSÍNTOTA VERTICAL LIMITES NO INFINITO ASSÍNTOTA HORIZONTAL RESPOSTAS... 7 DERIVADAS TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO(TMV)... 8

3 . DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA REGRAS DE DERIVAÇÃO Derivada da Função Constante Derivada da Função Identidade Derivada da Função Eponencial Natural Derivada da Função Logaritmo natural Derivada da Função Seno Derivada da Função Cosseno Derivada da Soma de duas Funções Derivada do Produto de uma constante por uma Função Derivada da Função Potência Derivada do Produto de duas Funções Derivada do Quociente de duas Funções DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA Derivada da Composta da Função Potência com uma Função f Derivada da Composta da Função Logaritmo Natural com uma Função f Derivada da Composta da Função Eponencial Natural com uma Função f Derivada da Composta da Função Seno com uma Função f Derivada da Composta da Função Cosseno com uma Função f INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA TAXA DE VARIAÇÃO DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR REGRA DE L HOPITAL ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO Ponto Crítico Função Crescente e Função Decrescente Determinação dos Intervalos de Crescimento e Decrescimento Determinação dos Etremos Relativos de uma Função Concavidade e Infleão Taa de Variação de uma Taa de Variação RESPOSTAS... 50

4 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL. INTRODUÇÃO Eemplo: Quando dizemos que o volume ocupado por uma massa constante de um gás, em condições de pressão constante, depende unicamente da temperatura do gás, queremos dizer que conhecida a medida da temperatura T, podemos determinar o seu volume V, através da epressão V = kt. A equação V = kt, onde k é uma constante, define V como função de T, pois dado o valor da variável independente T, eiste, em correspondência, um único valor para a variável dependente V. Uma relação deste tipo é denominada de função de uma variável. Uma grandeza é uma função de outra grandeza, se a cada valor de estiver associado um único valor de. Dizemos que é o valor da função ou a variável dependente, e a variável independente. Escrevemos = f(), onde f é o nome da função. O domínio da função é um conjunto de possíveis valores da variável independente e a imagem é o conjunto correspondente de valores da variável dependente. As funções de uma variável podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. Observe o eemplo a seguir. A tabela abaio, construída eperimentalmente, apresenta a relação entre pressão e volume de um gás ideal numa certa temperatura. P(atm) V(L) Observe que a cada valor de V esta associado um único valor de P e vice versa. Portanto, podemos pensar numa função de V em P ou numa função de P em V. Na físico-química, considera-se P com função de V, sendo então V a variável independente e P a variável dependente. Nota: As tabelas são importantes porque com freqüência é a forma como as funções aparecem

5 Esta mesma função de V em P, poderia ser dada através do gráfico abaio. 0 P(atm) Notas: V(L) a) A variável independente V não é uma variável discreta e sim uma variável continua, pois assume valores numéricos num intervalo e não valores isolados. b) Através do gráfico podemos perceber propriedades globais rapidamente, por eemplo: domínio, imagem, velocidades de crescimento e decrescimento, etc... Outra forma de apresentar esta função de V em P é através de uma fórmula. 40 Da tabela, P.V = 40 e portanto a função pode ser dada pela equação P =. V Nota: As fórmulas são eatas e sujeitas à análise. E) Qual o significado de f() =, 4, = 4? E) Esboce os gráficos de f() =, g() = 4 e h() = +, mostrando as intersecções com os eios coordenados. E) Qual a solução da inequação, 4? E4) Qual o significado de + =4? A equação define uma função do tipo = f()? E5) Interprete as equações = f() =, v = f(t) = t, v = f() = t. E6) Você tem um orçamento fio de R$ 50,00 para gastar com refrigerantes e óleo de bronzear, que custam R$,00 e R$0,00 por litro, respectivamente. a) Obtenha uma equação epressando a relação entre o número de litros de refrigerante e o número de litros de óleo de bronzear que você pode comprar caso use todo o seu orçamento. (Esta equação é sua restrição orçamentária.)

6 b)esboce o gráfico da restrição orçamentária supondo que você possa comprar frações de litro. Indique as intersecções com os eios vertical e horizontal. c) Suponha que seu orçamento de repente é dobrado. Esboce o gráfico da nova restrição orçamentária usando os mesmos eios. d) Com um orçamento de R$50,00, o preço do óleo de bronzear dobra repentinamente. Esboce o gráfico da nova restrição orçamentária usando os mesmos eios. E7) Em um carro que comporta até cinco passageiros, a despesa com a gasolina será dividida entre o número de pessoas que efetuará uma viagem. Se a despesa com gasolina é R$ 45,00, organize uma tabela que relacione o número de passageiros do carro e o valor a ser pago por cada um. Epresse uma lei que relacione essas variáveis. E8) Achar o domínio das seguintes funções: a) f() = b) f() = c) f() = 6 d) f() = 4 e) f() = + f) f() = g) f() = + h) f() = 4 E9) Com uma folha de cartolina de 0cm por 0 cm, queremos construir uma caia retirando de cada canto quadrados de lado. a)escrever a lei que epressa o volume da caia. b)esta lei define uma função? Em caso afirmativo determine o domínio. E0) Epressar a diferença entre a idade de seu pai e a sua em função do tempo. E) A tarifa de uma corrida de tái em determinada cidade é composta de duas partes: uma parte fia chamada bandeirada e uma parte variável que corresponde ao número de quilômetros que o tái percorre. Sabe-se que a bandeirada custa R$,80 e o preço por quilômetro rodado é de R$ 0,80. Epresse o preço a pagar em função do número de quilômetros rodados. E) Um botijão de gás contém kg de gás. Em média, é consumido, por dia, 0,5 kg. a) Epresse a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de consumo). b) Esboce o gráfico dessa função. c) Determine o domínio dessa função.

7 E) Um professor pediu para sua turma uma tarefa a ser realizada em grupo. Os grupos variam de dois a no máimo 5 componentes. A despesa de cada grupo que será de R$ 60,00 será dividida entre seus elementos. Encontre uma epressão que especifique o valor a ser pago por um aluno de um possível grupo. E4) Uma caia aberta deve ser construída de uma folha retangular de metal de 8 cm por 5 cm cortando fora quadrados com lados de comprimento de cada canto, dobrando os lados. Epresse o volume V da caia em função de. Quais os valores que poderão ser assumidos pela variável independente? E5) Hoje a população de um país é de 00 milhões de habitantes e sua taa de crescimento é de % ao ano. Supondo que essa taa se mantenha, qual a fórmula que dá a população, em milhões, daqui a n anos? E6) Qual dos gráficos melhor se ajusta a cada função? t G(t) H(t) K(t) 0, 4 0,5 6 9, , 5 44, ,7 (a) (b) (c) (d). FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR a) Uma função f é par quando para todo no domínio de f têm-se f(-) = f(). b) Uma função f é ímpar quando para todo no domínio de f têm-se f(-) = -f(). E7) Identifique as funções que são pares ou ímpares. a) f() = b) f() = c) f() = - d) f() = e) f() = 5 - Observação: O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eio das ordenadas e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.. ZEROS DE UMA FUNÇÃO Zeros ou raízes de uma função f são os valores de para os quais f() = 0. Geometricamente, são os pontos de interseção da curva, gráfico de f, com o eio dos. E8) Encontre os zeros das funções: a) f() = 4 b) f() = c) f() = 4 4

8 4. TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES Para facilitar o traçado de um gráfico, é bastante útil saber o que acontece com o gráfico de uma função = f() quando f() é substituído por f( ) ou f() ou f(+k) ou f( k ) ou f() + k ou f() k, onde k é uma constante positiva. 4.. Translações Verticais a) O gráfico da função definida por = f() + k tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k unidades para cima. b) O gráfico da função definida por = f() k tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k unidades para baio. 4.. Translações Horizontais a) O gráfico da função definida por = f( + k) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k unidades para a esquerda. b) O gráfico da função definida por = f( k) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k unidades para a direita. 4.. Refleões a) O gráfico da função definida por = f() tem o mesmo formato do gráfico de f, porém simétrico ao gráfico de f em relação ao eio. b) O gráfico da função definida por = f( ) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém simétrico ao gráfico de f em relação ao eio. E9) Dados os gráficos das funções abaio, faça por refleões e translações os gráficos das funções dadas: = = = = = a) = b) = + c) = d) = e) = (+) f) = g) = h) =+ i) = j) = k) = + l) = m) = ( + ) n) = 5

9 5. FUNÇÃO POLINOMIAL É uma função definida por uma equação da forma f() = a 0 n + a n- + a n a n- +a n, onde a 0, a, a... a n- e a n são números reais chamados coeficientes e n é um número inteiro não-negativo. Se a 0 0 dizemos que esta função polinomial é de grau n. Eemplos: a) f() = é polinomial do grau b) f() = 5 é polinomial do grau c) f() = + é polinomial do grau d) f() = 5 é polinomial do grau 0 e) f() = 0 é polinomial e não se atribui grau 5.. Função constante É uma função polinomial da forma f() = c, onde c lr. O gráfico cartesiano de uma função constante é sempre uma reta paralela ao eio dos e que intercepta o eio dos no ponto (0, c). c 0 Dom f = lr Im f = { c } 5.. Função polinomial de o grau É uma função polinomial da forma f() = a + b, com a e b lr e a 0. O gráfico cartesiano de uma função polinomial do o grau é sempre uma reta de equação = a + b, onde a é o coeficiente angular ou declividade e b é o coeficiente linear. f b f α α o Como o o Como 0 < α < 90, a = tg α > 0 e portanto f é crescente. o o < α 80, a = tg 90 < α < 0 e portanto f é decrescente. b E0) Numa função polinomial do o grau o coeficiente angular a não pode ser zero, por quê? 6

10 E) Um caso particular da função polinomial do o grau é a função Identidade, definida por f() =. Esboce o seu gráfico. E) Construa os gráficos das seguintes funções: a) f() = + b) f() = +, [-,) c) f() =, (-,] Importante: Numa função polinomial do o grau, a razão de variação de em relação a é constante e igual ao Δ coeficiente angular a, isto é, = a. Δ Δ Δ Δ Δ 0 0 Δ Δ = a > 0 = a < 0 Δ Δ E) Valores correspondentes a p e q são dados na tabela abaio. a)determine se a tabela define q como uma função linear de p. b)determine se a tabela define p como um função linear de q. p 4 q E4) Ao longo dos anos iniciais dos Jogos Olímpicos, a marca vencedora do salto com vara teve um crescimento dado pela tabela: Ano Altura (m),,5,7,9 a) Ache uma lei que represente a altura atingida no salto em função do tempo em anos, desde 900. b) Esboce o gráfico da equação obtida em a. E5) Uma equação linear foi usada para gerar os valores da tabela abaio. Encontre esta equação. 5, 5, 5,4 5,5 5,6 7,8 9, 0,6,4 E6) Às 9h0min da manhã, uma sonda lunar está a.000 pés acima da superfície da lua e começa uma descida vertical atingindo o solo lunar às 0h min da manhã. Supondo que a sonda mantenha uma velocidade constante, ache uma função D tal que D(t) epresse aproimadamente a altitude da sonda acima da lua como uma função de t. 7

11 E7) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$40,00 por dia e 5 centavos o quilômetro. Os carros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 0 centavos o quilômetro. a)para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar um carro por dia em função da distância percorrida. b) Nos mesmos eios, esboce o gráfico de ambas as funções. c) Como decidir que empresa está com o aluguel mais barato? E8) Para pequenas variações de temperatura, a fórmula para a dilatação de uma barra de metal submetida a mudanças de temperatura é l l = al t ), onde l é o comprimento do objeto quando a ( 0 0 t0 temperatura é t,l0 é o comprimento inicial na temperatura t 0, e a é uma constante que depende do tipo de metal. a) Epresse l como função linear de t. Encontre a inclinação e a intersecção vertical. b) Suponha que você tenha uma barra que, inicialmente, mede 00cm a uma temperatura de 0ºC, e feita de um metal com a igual a da temperatura t Obtenha a equação que dá o comprimento da barra em função c) O que diz o sinal da inclinação a respeito da dilatação de um metal sob uma variação de t? 5.. Função polinomial de o grau(função quadrática) É uma função polinomial da forma f() = a + b + c, com a, b e c lr e a 0. Seu gráfico é uma parábola : a) com eio de simetria paralelo ao eio das ordenadas; b b) de vértice V( V, V ), onde: V = a e V = f( V ) ou V = Δ, com Δ = b 4ac; 4a c) com a concavidade voltada para cima se a > 0 e com a concavidade voltada para baio se a < 0. Y = a + b + c (a > 0, Δ = 0, c > 0) c V o V c = a + b + c (a < 0, Δ > 0, c < 0) 8

12 E9) Construa os gráficos de: a) f, quadrática, tal que = =, c = - e V(,0) b) f, quadrática, tal que = 0, = 4, c = 0 e V(,-4) c) f, quadrática, tal que, R, c = -4 e V(,-) d) f() = 4 e) f() = - + f) f() = + g) f() =, [-,) E0) Na figura, ABCD é um quadrado de lado igual a 4. Os pontos M e N, deslocam-se sobre os lados AB e AD de modo que se tenha AM =.AN. Se AN =, determine: a) a área S() do quadrilátero MCDN, em função de. b) o valor de para que a área desse quadrilátero seja máima. c) o valor máimo da área citada em b. C B 4 M D N A 5.4. Função potência É uma função polinomial da forma f() = n, onde n é um número inteiro positivo. E) Trace os gráficos das funções dadas por = e = 4, no mesmo sistema de eios e compare-os. E) Trace os gráficos das funções dadas por =, = e = 5, no mesmo sistema de eios e compare-os. 6. FUNÇÃO RACIONAL p() É uma função da forma f() = onde p() e q() são funções polinomiais e q() 0. q() Seu gráfico pode apresentar retas denominadas assíntotas verticais nos pontos onde o denominador se anula e retas denominadas assíntotas horizontais se f() se aproima de um valor finito quando cresce ou decresce sem limites. Eemplo: f() = - Assíntotas verticais: = - e = Assíntota horizontal: = 9

13 E) Trace os gráficos das funções dadas por = e =, compare-os e determine os domínios. E4) Trace os gráficos das funções dadas por = e determine os domínios. e = +, compare-os com o gráfico de = E5) Trace os gráficos das funções dadas por = e = E6) Trace os gráficos das funções dadas por = e = ( + ), compare-os e determine os domínios., compare-os com o gráfico de = e determine os domínios. E7) Trace o gráfico da função dada por = 7. FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA e determine o domínio. É uma função da forma n f () =, onde n é um número inteiro maior que um. E8) Trace os gráficos das funções dadas por = e =, compare-os e determine os domínios. E9) Trace os gráficos das funções dadas por =, = +, = e = o gráfico de =. e compare-os com E40) Trace os gráficos das funções dadas por = +, = -, = e = o gráfico de =. e compare-os com 8. FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI E4) Um imposto é cobrado em função da renda mensal do contribuinte da seguinte maneira: até 0 sm (salários mínimos), inclusive, o contribuinte está isento; entre 0 sm e 0 sm paga 0%; 0 sm ou mais, paga 5%. Dê a lei dessa função e esboce o seu gráfico. E4) Esboce o gráfico da função abaio, determinando o domínio e imagem. f() = + 5,,, se se se 5 < < E4) Defina uma função que forneça a distância de um ponto da reta à origem. 0

14 9. FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO É a função definida por f() = onde, se 0 =., se < 0 Observação: = E44) Esboce o gráfico da função valor absoluto, determinando o domínio e imagem. E45) Resolva as equações: a) 4 = b) + = 5 c) = 9.. Interpretação geométrica Se R, representa na reta a distância do ponto à origem. 9.. Propriedades do valor absoluto Se lr, lr e a lr +, temos:. =. =. =, = a = a = a 6. a a a 7. a a a 8. = E46) Resolva as inequações: a) + < b) 4 > c) d) + 4 E47) Esboce os gráficos das funções definidas abaio : a) f() = b) f() = + c) f() = 4 d) f() = e) f() = + f)f()= g) f() = - E48) No eercício E47, defina as funções como funções definidas por mais de uma lei.

15 0. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM FUNÇÕES Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir números reais, obtendo novos números reais, podemos operar com funções, produzindo novas funções. Duas funções f e g podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas para formar as funções f f + g, f g, f.g e, ditas, respectivamente, função soma, função diferença, função produto e função g quociente, assim definidas: (f + g)() = f () + g() (f g)() = f () g() (f.g)() = f ().g() f () = g f () g() Sendo: Dom(f + g) = Dom(f g) = Dom(f.g) = Domf I Domg f Dom = Domf Domg { IR / g() = 0} g I E49) Usando f() = e g( ) =, achar as funções: f+g,f g,f.g, f/g, eplicitando os domínios.. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES fog g g() f f(g()) dom g dom f Dadas as funções f e g, a composta de f e g denotada por fog, é a função definida por (fog)()=f(g()). Dom fog = { dom g / g() dom f}

16 E50) Em certa fábrica, durante o horário de trabalho, o custo de fabricação de q unidades é dado por C(q) = q + q reais. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de produção, são fabricadas q(t) = 5 t unidades. a) Determine o custo total em função de t. b) Quanto terá sido gasto na produção, no final da a hora? E5) Dadas as funções f e g, determine as compostas fog, gof, fof, gog e respectivos domínios. a) f() = 6 e g() = b) f() = e g( ) = c) f() = e g() = + d) f() = e g() = + E5) A queda de uma pedra num lago cria ondas circulares que se espalham a uma velocidade de 60cm/s. a) Epresse o raio desse círculo como função do tempo t (em segundos). b) Se A é a área do círculo como função do raio, encontre Aor e interprete-a. E5) Se f() = ( +), encontre duas funções g e h, tais que f = goh. E54) Se f() = +5 e h() = ++, encontre uma função g tal que fog = h.. FUNÇÃO INVERSA E55) Se invertermos os pares da função f de A em B abaio, teremos uma função g de B em A? A B A B a) f b) f E56) Se invertermos os pares das funções dadas por = e = teremos novas funções? A f B f - = f() f - () = Dom f = Im f e Dom f = Im f

17 E57) A função dada por f() = + é inversível? Em caso afirmativo qual a lei da inversa, o domínio e a imagem? Represente graficamente a f e a inversa de f no mesmo sistema de eios. Quem é a composta da f com a inversa? E58) A função dada por g() = é inversível? Em caso afirmativo, repita o eercício E57 e em caso contrário, determine uma restrição do domínio onde g seja inversível, com os respectivos domínios, imagens e gráficos no mesmo sistema de eios. Neste caso, encontrar a composta de g com a inversa. E59) Encontre, caso eista, a inversa da função f. a) f() = b) f() = c) f() =, 0 d) f() = + e) f() = IMPORTANTE: a) Toda função crescente (decrescente) é inversível. b) Uma função f é inversível se e somente se cada Im f é imagem de um único Dom f. Geometricamente: Uma função f é inversível se e somente se o gráfico de f for cortado, no máimo, uma vez por qualquer reta horizontal. c) Os gráficos de f e f - são simétricos em relação à reta =. d) f (f()) =, A e f(f ()) =, B. FUNÇÃO EXPONENCIAL E60) Suponha que eista inicialmente bactéria em certa cultura. Sabendo que a cada hora o número de. bactérias duplica, escreva a lei da função que relaciona o número de bactérias com o tempo em horas. E6) A pressão que a camada de ar eerce sobre um corpo, ao nível do mar, é de atm(atmosfera). Para cada metro de altitude acima do nível do mar, essa pressão cai em 0 %. Construa uma tabela que forneça a pressão, em atmosferas, em função da altitude, em metros. Escreva a lei que relaciona a pressão com a altitude. 4

18 A Função Eponencial é uma função definida por f() = a, onde a lr, a > 0 e a. O gráfico de f() = a depende do valor da base a. = a = a 0 0 a > 0 < a < função crescente função decrescente A fórmula f()= f o a gera uma família de funções eponenciais com parâmetro f 0 e base a. A base tem a mesma importância para uma função eponencial do que a declividade tem para uma função linear. O crescimento ou decaimento eponencial é descrito com freqüência em forma de porcentagem. Por eemplo, 0 se uma população está aumentando 0%, o fator de crescimento é a = + = + 0,0 =,. De modo 00 0 análogo, se uma população está diminuindo 0%; o fator de decaimento é a = - = 0,8. 00 Observação: No E60, o número de bactérias está aumentando eponencialmente 00% a cada hora, logo o fator de crescimento é a =. No E6, a pressão está diminuindo eponencialmente 0% a cada metro de altitude, logo o fator de decrescimento é a = 0,0 = 0,9. E6) A tabela abaio nos dá a população do Méico no período de : Ano População ( em milhões) , , 98 70,9 98 7, , , ,59 Escreva a lei da função que relaciona a população do Méico em função do tempo. E6) Suponha que Q= f(t) é uma função eponencial de t. Se f(4) = 8.00 e f(7) = 8.700: a) Encontre a base. b) Encontre a taa de crescimento percentual. c) Calcule f(0). d) Calcule f(0). 5

19 E64) Uma droga é injetada na corrente sangüínea de um paciente ao longo de um intervalo de cinco minutos. Durante esse tempo, a quantidade de droga no sangue cresce linearmente. Após os cinco minutos a injeção é interrompida, e, então, a quantidade de droga decai eponencialmente. Esboce um gráfico da quantidade versus tempo. E65) Investigar o valor de ( + ) para valores de cada vez maiores... Função Eponencial Natural Se a = e (Número de Euler), a função eponencial é chamada função eponencial natural e é notada por f() = e... Crescimento e Decrescimento Eponencial Uma função f cresce eponencialmente se f () = f o e k e decresce eponencialmente se f() = f o e -k onde f o é o valor f(0). E66) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50e 0,0t milhões de habitantes. a) Qual é a população atual do país? b) Qual será a população, daqui a 0 anos? E67) Uma certa máquina desvaloriza de tal forma que, após t anos, seu valor é dado pela função Q(t) = Q o e -0,04t. Após 0 anos, a máquina vale R$ 8.986,58. Qual era seu valor original? E68) Suponha que eistam inicialmente 000 bactérias em certa cultura e que eistirão 6000 bactérias 0 minutos depois. Sabendo que o número de bactérias cresce eponencialmente, determine o número de bactérias que eistirão, após uma hora. E69) A função eponencial de base a é inversível? Em caso afirmativo, determine a lei da inversa, o domínio, a imagem e o gráfico? 6

20 4. FUNÇÃO LOGARITMO A Função logarítmica é a função definida por f() = log a, onde a lr, a > 0 e a. A função logarítmica de base a é a inversa da função eponencial de base a. Assim temos = log a a = = log a 0 0 = log a a > 0 < a < função crescente função decrescente E70) Calcule: a) log 8 b) log 9 c) log 5 5 d) log 6 E7) Se f() = e g() = log, ache fog(), gof(), fog( ), fog( ) e fog(/). 4.. Propriedades dos Logaritmos. log b = 0. log b b =. log AB = log A + log B A 4. log = log A log B 5. log A m = m log A b b b b b B E7)Resolva as equações: a) = 6 b) = 5 c) t = 7 b b b 4.. Função Logaritmo Natural Se a = e (Número de Euler), a função Logaritmo é chamada função logarítmica natural e é notada por: f() = ln ou f() = L() Como a função logarítmica natural é a inversa da função eponencial, temos: = ln e = E7) Calcule os valores eatos de: a).lne + ln (/e) b)lne + e lne c).ln(e lne) + ln( lne) 7

21 E74) Determinar o domínio e representar geometricamente o gráfico das funções abaio: a)f() = ln(+) b) f() = ln( ) c) f() = ln d) g() = ln E75) No eercício E74, cada função f é uma composta de duas funções g e h. Determine g e h para cada f. E76) Se f() = e e g() = ln, ache as composta fog e gof e determine os respectivos domínio. 4.. Mudança de Base As calculadoras científicas, geralmente, fornecem teclas para calcular logaritmos decimais e logaritmos ln log naturais. Para calcular o log utiliza-se uma seguintes fórmulas log = ou log =. b b ln b b log b E77) Calcule: a) log 5 b) log 6 c) log 4 9 E78) Em uma cultura o número de bactérias é dado por f(t)= ,5t (t é o tempo em horas). Quando o número de bactérias for 9.000, qual será o valor de t? E79) Após t horas, a quantidade de bactérias de uma dada espécie é dada por Q(t) = 00. e kt, onde k é uma constante. Se a quantia inicial dobrar em h, quanto tempo levará para se ter de bactérias. E80) Segundo uma pesquisa, após meses de constatação da eistência de uma epidemia, o número de pessoas atingidas por ela é f() =. Daqui a quanto tempo, aproimadamente, o número de pessoas atingidas por essa epidemia será de.000? E8) Encontre a função inversa de f(t) = 50 e 0,t. E8) Definimos f() =. + e a) A f é crescente ou decrescente? b) Eplique por que a f é inversível e encontre uma fórmula para f ().Qual o domínio da? E8) O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade P de um poluente (medido em mg/litro) está diminuindo de acordo com a equação P= Po e -kt, onde t representa o tempo em horas. Se 0% do poluente são removidos nas primeiras cinco horas: a) Que percentagem do poluente ainda permanece após 0 horas? b) Quanto tempo levará até que o poluente esteja reduzido em 50%? c) Faça um gráfico da poluição versus tempo. Mostre os resultados de seus cálculos no gráfico. E84) A população P da Nicarágua, em milhões de habitantes, era de,6 milhões em 990 e estava crescendo a uma taa de,4% ao ano. Seja t o tempo, em anos, desde 990: a) Epresse P como função da forma P=Po a t b) Epresse P como função eponencial usando a base e f 8

22 DATAÇÃO POR CARBONO O dióido de carbono eistente no ar contém, além do isótopo estável C ( carbono ), o isótopo radioativo 4 C ( carbono 4 ). As plantas vivas absorvem dióido de carbono do ar, o que significa que a razão entre as massas de C e 4 C em uma planta viva (ou em um animal que se alimenta de plantas) é a mesma que no ar. Quando uma planta ou animal morre, deia de absorver dióido de carbono. A massa de C continua a mesma após a morte do organismo, mas a massa de 4 C diminui eponencialmente por causa do decaimento radioativo, o que faz com que a razão entre as massas de C e 4 C também diminua eponencialmente. É razoável imaginar que a razão R 0 entre as massas de C e 4 C na atmosfera tenha se mantido praticamente constante nos últimos milhares de anos, caso em que podemos supor que a razão entre as massas de C e 4 C em uma atmosfera ( isso é, um fóssil ou artefato) é dada por uma função da forma Q(t) = Q 0 e -kt. A meia vida do 4 C é 570 anos. Comparando Q(t) com Q 0, os arqueólogos podem estimar a idade da amostra (trecho etraido do livro de Cálculo,Um Curso Moderno e Suas Aplicações de Hoffmann e Bradle, ed. LTC,00). Ao estudar fósseis, os cientistas encontram neles elementos radioativos, ou seja, elementos químicos que emitem radiação. A unidade de medida da radiação é a meia-vida: intervalo de tempo necessário para que a massa de uma amostra radioativa se reduza à metade através de desintegração, como mostra o gráfico a seguir. Em geral, se uma substância tem meia-vida de h anos, minutos ou segundos, então a quantidade restante, Q, de substância após t unidades de tempo, se havia uma quantidade inicial Q 0 da substância, é Q(t) = Q 0 Q Q 0 t / h Q 0 / Q 0 /4 Q 0 /8 Q 0 /6 t 0 t 0 +h t 0 +h t 0 +h t 0 +4h t E85) Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade Q o, a quantidade eistente após t anos seja dada por Q(t) = Q 0 e -0,05 t. Calcule a meia vida da substância. 9

23 E86) Um quadro de Vermeer (6-675) ainda contém 99,5% do seu carbono-4. A partir dessa informação, você pode determinar se o quadro é ou não falsificado? E87) O elemento rádio decai eponencialmente, com uma meia vida de 690 anos. Quanto tempo uma amostra de 50 g de rádio leva para se reduzir a 5 gramas? E88) Um arqueólogo encontrou um fóssil no qual / do 4 C eistente na atmosfera continua presente. Qual a idade aproimada do fóssil? E89) Testes realizados em um artefato descoberto no sítio arqueológico de Debert, na Nova Escócia, revelam que 8% do 4 C original ainda está presente. Qual é a idade aproimada do artefato? E90) Os Pergaminhos do Mar Morto foram escritos por volta do ano 00 a.c. Que porcentagem do 4 C original ainda eistia nos pergaminhos em 947, quando foram descobertos? E9) Um quadro supostamente pintado por Rembrandt em 640 conserva 99,7% do 4 C original. Há quanto tempo foi pintado o quadro? Qual seria a porcentagem de 4 C se o quadro fosse legítimo? E9) O iodo radioativo, I, tem uma meia vida de 0,9 horas. Quando injetado na corrente sanguínea, o iodo tende a se acumular na glândula tireóide. a) Depois de 4 horas, um técnico eamina a glândula tireóide do paciente para verificar se está funcionando normalmente. Se a tireóide absorveu todo o iodo injetado, que porcentagem da massa inicial de iodo radioativo deve ser detectada? b) Um paciente volta à clínica 5 horas depois de receber uma injeção de I. O técnico eamina a glândula tireóide e detecta a presença de 4,% da massa de iodo que foi injetada. Qual a porcentagem da massa inicial que foi eliminada do corpo do paciente? E9) Durante o início dos anos 60, a substância radioativa estrôncio-90 foi liberada durante testes de armas nucleares na atmosfera e se acumulou nos ossos das pessoas. Se a meia vida do estrôncio 90 é de 9 anos, que porcentagem do estrôncio 90 absorvido em 960 permanece nos ossos das pessoas em 990? E94) Uma certa substância radioativa decai eponencialmente de tal modo que, após 0 anos, ainda restam 70% da quantidade inicial. Obtenha uma epressão para a quantidade que ainda resta após um número t qualquer de anos. Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual é a meia vida? Quanto tempo é preciso para que reste somente 0% da quantidade inicial? E para que reste somente 0%? 0

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