PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA Prof. Francisco Leal Moreira /

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3 SUMÁRIO. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS.. FUNÇÕES HOMOGÊNEAS.. CURVAS DE NÍVEL.. SITE RELACIONADO.. RESPOSTAS 6. DERIVADAS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 9.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS.. TAXAS DE VARIAÇÃO. ELASTICIDADE.. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM.. HESSIANO 6.6. REGRA DA CADEIA(RC) 7.7. FUNÇÃO IMPLÍCITA 8.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 9.9. TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO.. SITES RELACIONADOS.. RESPOSTAS. DIFERENCIAIS.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTICA DA DIFERENCIAL.. DERIVADA COMO UM QUOCIENTE 6.. DIFERENCIAL TOTAL 7.. RESPOSTAS 9. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO.. PONTO CRÍTICO.. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE.. DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO.. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO... TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP)... TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS).. CONCAVIDADE E INFLEXÃO... TESTE DA CONCAVIDADE... PONTO DE INFLEXÃO.6. TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA TAXA DE VARIAÇÃO 6.7. WINPLOT 7.8. SITES RELACIONADOS 8.9. RESPOSTAS 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS.. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS.. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES.. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS... MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO... MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.. SITES RELACIONADOS 6.. RESPOSTAS 7 6. INTEGRAL INDEFINIDA PRIMITIVA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA REGRAS DE INTEGRAÇÃO SITES RELACIONADOS 6.. RESPOSTAS 6 7. INTEGRAL DEFINIDA PROPRIEDADES BÁSICAS INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS 6

4 7.. EXCEDENTE DO CONSUMIDOR EXCEDENTE DO PRODUTOR SITES RELACIONADOS RESPOSTAS BIBLIOGRAFIA APÊNDICE 68.CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 68. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 69. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 69. INTERVALOS 7. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 7 6. PRODUTOS NOTÁVEIS 7 7. FATORAÇÕES COMUM E DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS 7 8. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE O GRAU 7 9. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE O GRAU 7. PRODUTO NULO 7. RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO O GRAU 7. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO O GRAU 76. POTÊNCIAS 77. EQUAÇÃO PONTO-DECLIVIDADE 78. IMAGEM DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO RESPOSTAS 8 7. DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA REGRAS DE DERIVAÇÃO INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO APLICAÇÕES DE DERIVADAS SITES RELACIONADOS RESPOSTAS 9 8. BIBLIOGRAFIA 9

5 . FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Uma função f de duas variáveis é uma relação que a cada par ordenado de números reais (,) faz corresponder um único número real f(,). Eemplo: Seja a função dada por f(,) =. Determine f(,), f(, ), f(,), Dom f e Im f. Solução: a) f(,) = b) f(, ) = ( ) ( ) c) f(,) = d) O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares ordenados do para os quais a função tem sentido, neste caso, para os quais a f(,) = é um número real. Como +, para qualquer (,), o Dom f =. e) A imagem de f é o conjunto formado pelas imagens de todos os elementos do domínio de f, neste caso, como a imagem de qualquer (,) par é dada por f(,) =, a im f =. O gráfico de f é a superfície do que apareça abaio. z Observação: As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente.

6 E) Seja a função dada f(,) = + (duas variáveis). Encontre: ) f(,) ) f(,) ) f(, ) ) Dom f ) Im f O gráfico de f é uma superfície do (parabolóide abaio). z E) Seja a função dada por f(,) =. Determine: ) f(,) ) f(, 7) ) f(, ) ) Dom f ) a representação gráfica do Dom f E) Seja f(,) =. Determine: ) f(,) ) f(, 7) ) f(, ) ) Dom f ) a representação gráfica do Dom f E) Represente graficamente os domínios das seguintes funções : ) f(,)= ) f (, ) ) f(,)= ln ( ln - + ) ) f(,) = E) Uma loja vende apenas dois produtos, o primeiro a u.m. a unidade e o segundo a 6 u.m. a unidade. Sejam e as quantidades vendidas dos dois produtos. Determine: a)função receita b)a representação gráfica dos pontos (,) para os quais a receita é u.m.

7 .. FUNÇÕES HOMOGÊNEAS Uma função z = f(,... n ) é dita homogênea de grau m se,, f(,... n ) = m f(,... n ). Interpretação: Se uma função f é homogênea de grau m, multiplicando-se as variáveis independentes por um certo número real (lambda) positivo, o valor da função f ficará multiplicado por m. Eemplo: Verifique se a função dada por f(,) = é homogênea, em caso afirmativo determine o grau. Solução: f (λ, λ) (λ) (λ) λ λ λ ( ) λ ( ) λ /.f (, ) Logo, a função f é homogênea de grau /. Observação: / Como f (λ, λ) λ.f (, ), se multiplicarmos, por eemplo, e por, a f(,) ficará multiplicada / por 8, isto é, f(,) =.f (, ) 8.f (, ). E6) Uma função f é homogênea de grau. Se f() =, encontre f(). E7) Uma função f é homogênea de grau. Se f(,) =, encontre f(.). E8) Uma função f é homogênea de grau. Se f(,) =, encontre f(,). E9) Verifique se as funções abaio são homogêneas, em caso afirmativo determine o grau. ) f(,) = ) f() = ) f(,) = ) f(,) = + ) f(,) = 6) f(,) = + 7) f(,) = + 8) f(,) = 9) f(,) = ) f(,) = E) Seja a função dada por f(,) =. )Determine e represente graficamente o domínio da f; )f é homogênea? Em caso afirmativo determine o grau; 6 ) f(,) = + + ) f(,) = E) Uma função P = f(,) é homogênea do grau. Por quanto devem ser multiplicados e para que P seja multiplicada por?

8 .. CURVAS DE NÍVEL C k = (, ) / f (, ) k Eemplo: Seja a função dada por z= +. Determine as curvas de nível para z =, z =, z = e z =. Solução: z = + = (circunferência de centro C(,) e raio ) z = + = (circunferência de centro C(,) e raio ) z = + = (circunferência de centro C(,) e raio ) z = + = (circunferência de centro C(,) e raio ) Mapa de curvas de nível Observação: As curvas de nível nunca se interceptam. Gráfico da Função (parabolóide) z

9 E) Esboce as curvas de nível das funções: ) z = para z =, z = e z = ) z = para z =, z = e z = ) z = ln para z =, z = e z = E) Seja a função dada por z =. Faça as curvas de nível para z =, z = e z = E) Seja C(,) = + + a função Custo Total para dois produtos de quantidades e. Faça as curvas de nível para C =, C = 7, C = e C = 9. As curvas de nível da função Custo são denominadas curvas de isocusto, pois representam as combinações de quantidades e que possuem o mesmo custo. E) Seja P(,) =. a função Produção de uma empresa, onde e são quantidades de insumos(mão de-obra e capital). Faça as curvas de nível para P = e P =. As curvas de nível da função Produção são denominadas isoquantas, pois representam as combinações de quantidades e que correspondem a mesma produção. E6) Seja U(,) = a função que dá a utilidade de um consumidor que deseja adquirir dois produtos em quantidades e. Faça as curvas de nível para U = e U =. As curvas de nível da função Utilidade são denominadas curvas de indiferença, pois representam as combinações de quantidades e que fornecem o mesmo nível de utilidade ou satisfação ao consumidor. E7) Seja q ( p, p ) = p + p + a função Demanda de um produto em função do próprio preço p e do preço p de outro produto que lhe é substituto. Faça as curvas de nível para q =, q = e q =. As curvas de nível da função Demanda são denominadas curvas de isodemanda, pois representam as combinações de preços p e p que determinam a mesma demanda do produto de quantidade q... SITE RELACIONADO

10 .. RESPOSTAS E) ) ) ) ) ) [, ) E) ) ) - 9 E) ) ) ) ) ) {(, ) / } ) {(, ) / } E) ) {(, ) / } ) {(, ) / } ) {(, ) / } ) {(, ) / e } E) ) R = + 6 ) 6 E6) 8 E7),8 E8) E9) ) Sim, grau ) Não ) Sim, grau ) Sim, grau ) Sim, grau 6) Não 7) Sim, grau 8) Sim, grau 9) Sim, grau ) Sim, grau,6 ) Não ) Sim, grau E) ) {(, ) / } ) Sim, grau E) 6

11 E) ) ) ) E) E) E) 7

12 E6) E7) p p 8

13 . DERIVADAS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se = f() é uma função de uma variável real, sua derivada f () = lim f ( ) f () pode ser interpretada como a taa de variação de em relação a ou como a função declividade da reta tangente ao gráfico de f. Se z = f(,) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por isso, denominadas derivadas parciais. Uma derivada parcial é obtida quando varia e permanece constante e, a outra, quando varia e permanece constante. As derivadas parciais de f em relação a e a são denotadas por f ou f e f ou f e são definidas por f (,) = lim f (, ) f (, ) e f (,) = lim f (, ) f (, ) Nota: é uma variante da letra grega (delta minúsculo). Eemplo: Seja a função dada por f(,) = + +. Determine as derivadas parciais de f. Solução: f (,) = 6 + f (,) = + E) Determine as derivadas parciais z z e das funções: ) z = + ) z = ) z = ln( ) ) z = ) z = 6) z = 7) z = ( )e 8) z =.ln 9) z = + ln e 9

14 E)Sejam p = 8 e p = + as equações da demanda para dois produtos de quantidades e. Se C = é a função Custo associada, determine a função Lucro e as funções Lucro Marginal. E) Seja,7, z. uma função Produção. Determine as funções Produção Marginal. Nota: Dois produtos são chamados de produtos substitutos se o aumento da demanda de um resulta na diminuição da demanda do outro. Produtos substitutos são competitivos, como manteiga e margarina. Dois produtos são chamados de produtos complementares se o aumento da demanda de um resulta no aumento da demanda do outro. É o caso, de câmaras fotográficas e filmes fotográficos.. E) Se q = p p + a função que descreve a demanda de um produto em função do seu preço p e do do preço de outro produto. Esses produtos são substitutos ou complementares? Por que? E) A produção semanal de certa fabrica é dada pela função P(,) = + + unidades, onde é o número de operários especializados e o número de operários não-especializados no trabalho. No momento, a mão-de-obra disponível é constituída por operários especializados e 6 operários nãoespecializados. ) Determine as funções produção marginal. ) Use os métodos de análise marginal(uso de uma derivada parcial) para estimar a variação da produção se mais um operário especializado for contratado. ) Calcule a variação eata da produção, caso o operário especializado seja contratado. E6) Um fabricante estima que a produção mensal de certa fábrica é dada pela função de Cobb-Duglas P(K,L) = K, L,6, onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-hora: ) Determine as funções produtividade marginal, para um capital imobilizado de R$ 7., e um volume de mão-de-obra de 99 homens-horas. ) O fabricante deve aumentar o capital imobilizado ou o volume de mão-de-obra para aumentar mais rapidamente a produção?

15 .. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Considere a superfície abaio, gráfico de uma função z = f(,). Para = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável, z = f(,k). z t z = f(,) P = k z= f(,k) Portanto, a derivada parcial de f em relação a no ponto (, ) representa a declividade da superfície no ponto (, ) na direção paralela ao eio, isto é f (, ) = a t Analogamente, a derivada parcial de f em relação a no ponto (, ) representa a declividade da superfície no ponto (, ) na direção paralela ao eio, isto é f (, ) = a t Eemplo: Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: f(,) = + + com o plano = no ponto (,, ). Solução: A intersecção do plano com o gráfico da f é uma curva com a direção do eio, logo a t = f (, ). Como f (,) = + e f (,) = 6, a declividade da reta tangente é a = 6. E7) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: ) z = + com o plano =, no ponto (,,) ) z = + com o plano =, no ponto (,,8) ) z = 9 com o plano =, no ponto (,,)

16 E8) Dada a função f(,) =, determine : ) o domínio de f ) f (,) ) f (,) ) o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano = no ponto em que =. E9) Seja a função dada por f(,) = )Represente graficamente o domínio da f. ) f é homogênea? Em caso afirmativo determine o grau. )Encontre f. E) Seja a função dada por f(,) = ) Determine e represente graficamente o domínio da f. ) Verifique se f é homogênea, em caso afirmativo, determine o grau. ) Encontre f.. TAXAS DE VARIAÇÃO f f fornece a taa de variação de f(,) em relação à para = k (constante), isto é, mede a taa de variação de f(,) quando (,) se move na direção do eio. fornece a taa de variação de f(,) em relação à para = k (constante), isto é, mede a taa de variação de f(,) quando (,) se move na direção do eio. E) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano de modo que a temperatura T no ponto (,) é dada por T(,) =( + ). Determine a taa de variação de T em relação à distância no ponto P(,) na direção: ) do eio das abscissas ) do eio das ordenadas

17 . ELASTICIDADE Seja = f() uma função. + f + Da figura acima, observa-se que uma variação em corresponde uma variação em. A variação relativa em é e a variação relativa em é. A variação relativa média em por unidade de variação relativa em é Como = f(+ ) f(), podemos escrever a () como a zero é f ( ) f () d lim. = f (). ou.. d f( Δ) Δ f()... ()., cujo limite quando tende Este limite fornece a variação percentual aproimada da função correspondente a uma variação de % em. Se = f() representar a função demanda, onde representa o preço unitário de venda do produto, então o produto d. d é denominado elasticidade-preço da demanda e representado por e. e = d. d Eemplo: Seja q = p a equação da demanda para um certo produto, onde q é a quantidade demandada e P é o preço unitário do produto. Determine: a) a variação relativa da demanda quando o preço da unidade passa de u.m. para, u.m., b) use o resultado anterior para obter uma aproimação da elasticidade da demanda para o preço de u.m., c) calcule a elasticidade da demanda em relação ao preço de u.m.

18 Solução: a) A variação relativa da demanda é dada por q. q Para p =, q = e, para p =,; q =,96, logo, Portanto, a demanda terá um decréscimo de, %. q = -, e q, = = -,. q b) Um aumento de % no preço p, representa um decréscimo de,% na demanda. Portanto, um aumento de % no preço p, representará um decréscimo de c) A elasticidade da demanda é dada por e = dq. dp p q., =, % na demanda. dq Como dp p 8p -8p e = -8p. =. Para p = e q =, temos e = - q q Um acréscimo(ou decréscimo) de % no preço no preço unitário, representará um decréscimo(ou aumento) aproimado de % na demanda. Seja q = f(p,p ) a equação da demanda de um certo produto em função do seu preço p e do preço p de outro produto. e q p. p q e c q p. p q A elasticidade e representa, aproimadamente, a variação percentual da demanda decorrente da variação de % no preço. Observação: Quando a quantidade demandada de um produto é epressa em função do preço de outro produto, a elasticidade é chamada de elasticidade cruzada.

19 Eemplo: Seja q = p p a função que descreve a demanda de um certo produto em função do seu preço p e do Preço p de outro bem. Determine a elasticidade da demanda em relação ao preço p, para p = e p = e interprete o resultado obtido. Solução: Estamos interessados, nesse caso, na elasticidade cruzada, portanto: q p, q = + = e p q e c. q p e c.. p q Interpretação: Se o preço p aumentar %, a demanda do produto de quantidade q vai cair aproimadamente %(produtos complementares). E) Seja q =,6p, a equação que descreve a demanda da manteiga em função do seu preço p p e do preço p da margarina. Suponha que os preços desses produtos são p = e p =. ) Determine a elasticidade da demanda da manteiga em relação ao próprio preço. ) Determine a elasticidade da demanda da manteiga em relação ao preço da margarina. E) Se q = p p + a função que descreve a demanda de um produto em função do seu preço p e do preço p de outro produto, determine a elasticidade da demanda em relação ao preço p... DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Derivadas puras: f f f f ; f f Derivadas mistas ou cruzadas: f f f ; f f f Observação: As derivadas parciais de segunda ordem mistas, são iguais para funções continuas com derivadas parciais continuas.

20 Eemplo: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função dada por f(,) = + + Solução: f (,) = 6 + f (, ) 6 f (, ) 6 f (,) = + f (, ) f (, ) 6 6 E) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por: ) z = + ) z = ) z = ln() ) z = e ) z = 6) z = 7) z = e - 8) z = ln e E) Seja a função dada por z =. ) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da z. ) A função f é homogênea? Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade... HESSIANO Chama-se Hessiano da função z = f(,) a função H(,) = f f (, ) (, ) f f (, ) (, ) Eemplo: Calcule o Hessiano da função dada por f(,) = + no ponto (, -) 6

21 Solução: f f (,) = (, ) 8 f (, ) f f (,) = + 6 (, ) 8 f (, ) H(,) = 8 8 H(,-) = 9 = 76-96=-66 E6) Calcule o Hessiano da função dada por: )f (,) = + no ponto (, ) ) f(,) = + + no ponto (, ).6. REGRA DA CADEIA(RC) a) Se = f(u) e u=g(), isto é, u é função de, então d d d. du du d b) Se z = f(,), onde = g(t) e = h(t) então dz dt f d. dt f d. dt Considere o seguinte problema: Se z = +, onde = t e = t dz, encontre para t =. dt Como e dependem de t, podemos escrever z como função de uma única variável t. z = t + t dz e daí, = 6t + t. dt dz Logo, () = 6 dt dz E7) Use a Regra da Cadeia para calcular () do problema acima. dt dz E8) Determine, sendo: dt ) z = +, = t, = e t ) z = +, = t, = ln t 7

22 .7. FUNÇÃO IMPLÍCITA Uma função dada na forma = f() é chamada função eplícita porque está eplicitado, isto é, isolado. Por eemplo, as equações = e = definem eplícitamente duas funções. Nem sempre uma função é definida eplícitamente. Por eemplo, as equações =, + = e + =. O gráfico da equação = pode ser pensado como os gráficos de, pelo menos, duas funções = f(). Nesse caso, dizemos que estas funções são definidas implícitamente pela equação. O gráfico da equação + = pode ser pensado como os gráficos de, pelo menos, duas funções = f(). Funções definidas implícitamente pela equação. O gráfico da equação + = pode ser pensado como os gráficos de, pelo menos, três funções = f(). Funções definidas implícitamente pela equação. Em determinadas condições, uma equação F(,) = pode definir uma ou mais funções = f(). Nesse caso, 8

23 essas funções são denominadas funções implícitas definidas pela equação F(,) =. Do último eemplo, podemos observar que nem sempre é possível eplicitar na equação, isto é, escrever a função na forma eplícita. E9) Encontre uma função = f() definida implicitamente por cada uma das equações abaio. ) + = ) + = ) e =.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Vamos supor que numa aplicação, estamos interessados em analisar o comportamento de uma função d = f(), definida implicitamente por uma equação F(,) =, isto é, precisamos da derivada para estudar d a função implícita f. Vamos admitir também, que seja impossível eplicitar na equação. Para resolver um problema desse tipo observe o eemplo abaio. Eemplo: d Encontre de uma função = f() definida implicitamente pela equação + =. d Solução: d Podemos encontrar a derivada = de duas maneiras: d ª ) Derivação Implícita Derivando ambos os membros: D ( + ) = D Como D é a derivada de um produto e D () p = D [f()] p = p. p-., temos: + 6. =. + Isolando :. 6.. = ou (6 ) = d Logo: = = d 6 () Esta fórmula é válida para todas as funções deriváveis que a equação + = define implicitamente. Se queremos, por eemplo, a derivada no ponto, devemos encontrar primeiro o correspondente valor de na equação + =. = + = + = = d.-. Logo, () = d

24 ª ) regra da Cadeia Se z = f(,), onde = g(t) e = h(t) então dz dt f d. dt f d. dt No caso, z = F(,) = e =h(), segue que: dz d F d. d F. d d dz Como, neste caso, d d, pois z = e, resulta: = d F. F. d d F = F. d d d = d F F Que é uma fórmula válida para todas as funções deriváveis que a equação F(,) = define implicitamente. Comparando com a situação anterior em que F(,) = +, Compare a () com a (). d = d F = F 6 = 6 F e () F 6 d E) Encontre as derivadas das funções = f() definidas implicitamente pelas equações: d ) ln + = ) 6 = ) = d E) Determine para a função ( ) + = +, dada em forma implícita. d E) Seja = f() uma função dada implicitamente pela equação e + = d +. Encontre (, ). d E) Seja = f() uma função dada implicitamente pela equação ln () = d. Encontre (, ). d

25 .9. TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO Se z = F(,) é uma função e z = k(constante), a equação F(,) = k representa todas as combinações de e que fornecem o mesmo valor k para a função F. Seja = f() uma função definida implícitamente pela equação F(,) =. TMS = d d F F A TMS representa, aproimadamente, a quantidade de que pode ser substituída por uma unidade de, para que se tenha o mesmo valor k para a função. Eemplo: Encontre a TMS no ponto (,), onde U = é a função que dá a utilidade de um consumidor de dois produtos de quantidades e. Interprete o resultado obtido. Solução U = e U U d = 6 + TMS = 6 9, logo TMS(,) = d U 6 7 = 7 Interpretação: A utilidade do consumidor no ponto (,), será aproimadamente a mesma se for substituída uma unidade de por uma unidade de. E) Seja U = a função utilidade de um consumidor que deseja adquirir dois produtos de quantidades e. ) Calcule o valor da utilidade no ponto (,). ) Encontre a TMS de por no ponto (,). ) Qual a quantidade de que pode ser substituída por uma unidade de, em (,), usando = f()? E) Seja z = a função Produção de uma empresa que utiliza dois insumos em quantidades e. Calcule a Taa Marginal de Substituição no ponto (,).

26 .. SITES RELACIONADOS ui%c%a7%c%ao&source=web&ots=ola7rlqt_h&sig=qrz-alcyvrgkbgcbma_zhlfh6hw&hl=pt- BR#PPA,M RESPOSTAS E) ) 8 + ; ) ; ) ; ) ; ) ( ) ; ( 6 ) 6 8 6) ; ( ) ( 8 ) 7)e ( + ) ; e ( ) 8) ln ; (ln + ) 9)Nota: ln e =, ; (ln e = ) E) L = , L = +, L = + 8 E),,7 z,, z,,7,7 E) Complementares E) ) P (,) = +, P (,) = + ) )69

27 E6) ),6 e 6,8 ) mão-de-obra E7) ) ) ) E8) ) {(,)} ) 996 ) 996 ) E9) ) {(, ) / } E) ) {(, ) / } ) f ) Sim, grau, ) Sim, grau ) ( ) E) ) ) E) ), ),7 E) e c p p p E) ) ; - ; ) ; ; ) ; ; ) e ; e ( ) ; e ( ) ) ; ; 7) ; e - ; -e - 8) ; ; 6) 6 ; ; 6 E) ) z =, z =, z = z = ) Sim, grau E6) ) 68 ) E8) ) e t te t + t ) tln t ln t + t E9) ) = + ) = ou = ) = ln E) ) ) 6 ) 9 7 E) ( ) E) E) E) ) 8 ), ),8 E) -

28 . DIFERENCIAIS Se f é uma função dada por = f(), chamamos de diferencial de f a função dada por d = f () Δ onde está no domínio de f e Δ é um acréscimo arbitrário de. Eemplo: Se = 8, então f() = 8 e f () = 6. Logo, da definição, d = ( 6) Δ. Em particular, se =, d = Δ. Queremos definir agora, a diferencial da variável independente, isto é a diferencial de =. Nesse caso, d =. Δ, como =, concluímos que d = Δ. Se f é uma função dada por = f(), a diferencial de é definida por d = Δ é um acréscimo arbitrário de. Δ onde está no domínio de f e Assim, a diferencial de d é uma função é obtida pela multiplicação da derivada f () pela diferencial de. d = f ()d Eemplo: Se = então d = 6d. Em particular, se = e d =,; d =,8. E)Use diferencial para encontrar um valor aproimado para a variação da área de um quadrado quando seu lado passa de cm para,8 cm. E) O raio de uma circunferência aumenta de m para, m. Utilize diferencial para estimar o aumento da área da circunferência. Compare essa estimativa com a variação A.

29 .. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTICA DA DIFERENCIAL f f( + Δ ) Q Δ T t d P α f( ) R d= Δ + Δ A medida do segmento orientado PR é d = Δ. A medida do segmento orientado RQ é Δ. med(rt) A declividade da reta t, tangente ao gráfico de f em P é a t = tg α = med(pr) med(rt) d Como a t = f ( ), f ( ) = med(rt) d ou med (RT) = f ( )d d = med (RT). Então, podemos dizer que d é o acréscimo Δ caso seguíssemos a reta tangente t ao invés do gráfico de f. Da figura acima, observa-se que a diferencial d num ponto depende de próimo d estará de Δ. Δ e, quanto menor for Δ mais Conclusão: A diferencial de uma função pode ser usada para calcular aproimadamente variações da função, para pequenos valores de Δ. Eemplo: Use diferenciais para aproimar o valor de 6. Solução: d = f () d e para Δ pequeno, Δ d f(+ Δ ) f() f ().d f(+ Δ ) f ().d + f() ()

30 Como queremos calcular a raiz cúbica de 6, a função f é f() = e a derivada de f é f () = O valor mais próimo da 6 que conhecemos é 6, logo, devemos considerar = 6 e d = -.. Substituindo em () estes dados, temos: f(6+(-)) Mas f(6) = 6, logo =, 9 6 (-) + 6 f(6) +..6 Observação: Uma calculadora fornecerá o valor será aproimado,9. E) Seja P =,q q uma função produção e q a quantidade de insumo. Use diferencial para calcular o acréscimo aproimado da produção quando q passa de para,. E) Seja R = q q uma função receita e q a quantidade vendida. Use diferencial para calcular a variação aproimada da receita quando q passa de para... DERIVADA COMO UM QUOCIENTE d Da definição de diferencial d = f ()d, se d, podemos escrever = f () ou d derivada de, em relação a é igual à razão da diferencial de, ou f(), e a diferencial de. df () = f (). Logo,a d Observações: d a) é a notação de Leibniz para derivada. d d b) d pode ser interpretado como um operador da mesma forma que D e, portanto, também é correto d escrever (). d Eemplo: Se = d d + 6 então = (= + 6 ) = d d 6

31 E) O raio de uma esfera metálica cresceu de 8, cm para 8, cm com aquecimento. Use diferencial para calcular o acréscimo aproimado do volume. E6) Encontre um valor aproimado para a variação da área de um Triângulo eqüilátero quando seu lado passa de cm para, cm. E7) Um cubo de cm de aresta cobriu-se uniformemente com uma camada de gelo de, cm de espessura. Use diferencial para estimar o volume aproimado do gelo. E8) O raio de uma esfera de aço mede, cm e sabe-se que o erro cometido na sua medição não ecede, cm. O volume da esfera é calculado a partir da medida de seu raio. Estime o erro possível no cálculo do volume. E9) Use diferencial para aproimar: a) b) 8 c) d),.. DIFERENCIAL TOTAL Analogamente ao que foi visto para função de uma variável, se z = f(, ) é uma função de duas variáveis, definiremos os diferenciais d e d como variáveis independentes; ou seja podem ter qualquer valor. Então o diferencial dz, também chamado de diferencial total, é definido por dz = f (,) d + f (,) d. Assim dz é a variação de z, ao longo do plano tangente à superfície de equação z = f(,) em (,,z ), produzida pelas variações d e d em e respectivamente. Enquanto que z representa a variação de z ao longo da superfície, produzida pelas variações de e em e, isto é, z f (, ) f (, ). E) Seja z =... Determine dz. E) Determine a diferencial de f (, ) no ponto (, ). E) Utilize diferencial para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de cm de altura e cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baio têm, cm de espessura e o das laterais tem espessura de,cm. 7

32 E) Calcule z e dz para as seguintes funções, se: a) f(,) = - varia de (,) a (,;,) b) f(,) = varia de (,) a (,;,) E) Calcule um valor aproimado para a variação da área de um triângulo retângulo quando seus catetos passam de cm para, cm e cm para,8 cm. E) Considere uma caia, com tampa, com a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões a = cm, b = cm c = cm. Se as arestas sofrerem acréscimos de %, % e %, respectivamente, determine: a) o acréscimo aproimado do volume b) o acréscimo eato do volume E6) Use diferencial para calcular o aumento aproimado do volume de um cilindro circular reto, quando seu raio varia de cm para, cm e a altura varia de 6 cm para 6, cm. E7) Considere um retângulo de lados a = cm e b = cm. Determine a variação aproimada da diagonal se o lado a aumentar, cm e o lado b diminuir, cm. E8) Mediram-se o raio e altura de um cilindro circular reto, obtendo-se cm e 8 cm, respectivamente, com um erro de medida possível de, cm. Use diferencial para obter uma aproimação do erro máimo no volume calculado do cilindro. E9) Considere um recipiente, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio = cm e altura = cm. Se o custo custo do material usado em sua confecção é de R$,8 por cm e suas sofrerem um acréscimo de % no raio e % na altura, determine: a) o valor aproimado do acréscimo no custo do recipiente b) o valor eato do acréscimo no custo do recipiente E) Use diferencial para encontrar um valor aproimado para a epressão (,),. 8

33 .. RESPOSTAS E) da = -,8 cm E) da = m, A =, m e =, m E),6 E) - E) dv =,6 cm E6) da =, cm E7). dv = 6cm E8) dv =,9 cm E9) a),7 b),99 c),9 e), E) dz = d + 8 d E) df(,) = d d E) dv =,8 cm E) a) z = -,8, dz = -,8 b) z =,899, dz =,8 E) da = -, cm E) dv =, cm, V =,978 cm E6) dv =, cm E7) dd = -, cm E8) dv =, 8 cm E9) a) dc = R$,7 b) C = R$,7 E), 9

34 . ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO Considere o gráfico abaio, de uma função polinomial f. f a) A função f é crescente em (, ] [,] [, ). b) A função f é decrescente em [,] [,]. Observações: a) Os intervalos onde f é crescente ou decrescente são partes do domínio da f. b) Os pontos onde f muda o crescimento apresentam retas tangentes ao gráfico de f horizontais. c) Retas horizontais tem declividade zero, portanto f () = f () = f () = f () =. d) A função f não possui máimo, pois não eiste o ponto mais alto do gráfico. e) A função f não possui mínimo, pois não eiste o ponto baio do gráfico. f) A função f possui máimos, por eemplo, nos intervalos (-,) e (,). Este tipo de máimo é denominado máimo local ou relativo. g) A função f possui mínimos, por eemplo, nos intervalos (,) e (,). Este tipo de mínimo é denominado mínimo local ou relativo. h) Os máimos relativos de f são e, que acontecem, respectivamente, nos pontos e. i) Os mínimos relativos de f são - e -, que acontecem, respectivamente, nos pontos e. j) Os máimos e mínimos relativos de f são denominados etremos relativos de f.

35 .. PONTO CRÍTICO Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto crítico de f se f (c) =, ou f (c) não eiste. Geometricamente: t t t t c c c c t t t c c c c E) Encontre os pontos críticos de f, sendo: )f()= + ) f()= + ) f()= ) f()=.. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE Uma função f é dita crescente num intervalo I, se a medida que cresce, o valor de f() também cresce. Uma função f é dita decrescente num intervalo I, se a medida que cresce, o valor de f() decresce... DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Seja f uma função continua em [a,b] e derivável em (a,b). a) Se f ()> para todo (a,b) então f é crescente em [a,b] b) Se f ()< para todo (a,b) então f é decrescente em [a,b] Eemplo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por f() = 6 +.

36 Solução: o ) Determinação dos pontos críticos: f () = =.( ) = = ou = C={,} o ) Determinação do sinal da derivada nos intervalos (,), (,) e (,+ ): Para qualquer (,), f () >, logo f é crescente em (,). Para qualquer (,), f () <, logo f é decrescente em (,). Para qualquer (, + ), f () >, logo f é crescente em (, + ). Importante: Para determinar o sinal da derivada num intervalo, basta escolher um ponto qualquer do intervalo e calcular a derivada nesse ponto. E)Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por: ) f()= ) f()= 8 ) f()= ) f()=.. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO... TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) Seja f uma função continua e derivável em (a,b), eceto possivelmente em c (a,b) a) Se f passa de positiva para negativa em c então f(c) é máimo relativo de f b) Se f passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f c) Se f não muda de sinal em c então f(c) não é etremo relativo de f Geometricamente: t t t t c c c c c é ponto de máimo relativo e f(c ) é máimo relativo de f c é ponto de mínimo relativo e f(c ) é mínimo relativo de f c e c não são pontos etremantes

37 Eemplo: Determine os máimos e os mínimos relativos da função dada por f() = 8. Solução: o ) Determinação dos pontos críticos: f () = 6 6 =.( ) = = ou = C={-,,} o ) Determinação do sinal da derivada nos intervalos (,-), (-,), (,) e (,+ ): Para qualquer (,-), f () <, logo f é decrescente em (,-). Para qualquer (-,), f () >, logo f é crescente em (-,). Para qualquer (,), f () <, logo f é decrescente em (,). Para qualquer (, + ), f () >, logo f é crescente em (, + ). TDP f(-) = -6 é mínimo relativo de f, f() = é máimo relativo de f e f() = -6 é mínimo relativo de f. E) Encontre os máimos e mínimos relativos das funções dadas por: ) f()= 8 + ) f()= + ) f() = ) f() =... TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) Seja f uma função derivável em (a,b) e c (a,b), tal que f (c)=. a) Se f (c) > então f(c) é mínimo relativo de f. b) Se f (c) < então f(c) é máimo relativo de f. c) Se f (c) =, nada podemos concluir. Eemplo: Determine os máimos e os mínimos relativos da função dada por f() = 8. Solução: o ) Determinação dos pontos críticos: f () = 6 6 =.( ) = = ou = C={-,,}

38 o ) Determinação da derivada segunda: f () = 6 TDS f (-) = > então f(-) = -6 é mínimo relativo de f f () = -6 < então f() = é máimo relativo de f f () = > então f() = -6 é mínimo relativo de f E) Encontre os máimos e mínimos relativos das funções dadas por: ) f()= + ) f()= + ) f()= ) f()=.. CONCAVIDADE E INFLEXÃO... TESTE DA CONCAVIDADE Se f () eiste em um intervalo (a,b) então o gráfico de f é a) côncavo para baio (CPB) se f () <, (a, b). b) côncavo para cima (CPC) se f () >, (a, b).... PONTO DE INFLEXÃO Um ponto c pertencente ao domínio da f é um ponto de infleão de f se o gráfico de f muda a concavidade em c. Neste caso, (c,f(c)) é um ponto de infleão do gráfico de f. Eemplo: Determine os intervalos de CPC, os intervalos de CPB e os pontos de infleão da função dada por f() = 6 +. Solução: o ) Determinação dos pontos críticos da f : f () = f () = 6 6 = = C ={} o ) Determinação do sinal da derivada segunda nos intervalos (,) e (,+ ): Para qualquer (,), f () <, logo o gráfico de f é CPB em (,). Para qualquer (, + ), f () >, logo o gráfico de f é CPC em (, + ).

39 Importante: Para determinar o sinal da derivada segunda num intervalo, basta escolher um ponto qualquer do intervalo e calcular a derivada segunda nesse ponto. E) Encontre os intervalos de CPC e CPB das funções dadas por: ) f()= ) f() = ) f()= + 6 ) f()= + 9 E6) Faça um estudo completo do comportamento das funções abaio. )f()= ) f()= + ) f() = ) f() = + 6 ) f() = 6 + E7) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 6 m, de modo que o custo para cercar as laterais seja R$, por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$, por metro linear. Determine as dimensões do terreno de modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Neste caso, qual o custo mínimo? E8) Por várias semanas, o serviço de transito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada. Verificou-se que, num dia normal de semana, à tarde, entre e 6 horas a velocidade do tráfego é de, aproimadamente v(t) = t t + 6t + km/h, onde t é o número de horas transcorridas após o meio-dia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente? E9) De uma folha laminada quadrada de dm de lado, foram cortados quadrados iguais nos quatro cantos e com o restante da folha foi construída uma caia sem tampa. Determine as dimensões do quadrado retirado para que o volume da caia seja máimo. E) Seja P = + a função que dá a quantidade produzida de certo produto agrícola em função da quantidade de fertilizante. ) Determine a quantidade de fertilizante necessária para que se tenha a produção máima. ) Determine os intervalos de CPC e CPB do gráfico da função Produção. ) Faça um esboço do gráfico de P, observando os resultados obtidos nos ítens anteriores

40 E) Seja R(q) = q + q, a função Receita. ) Para que valores de q a função Receita tem sentido? ) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função Receita. ) Determine, se houver, os intervalos de CPC e CPB. ) Qual é a receita máima e a receita mínima? )Faça o gráfico da função, assinalando os resultados obtidos no itens anteriores. 6) Determine a Receita Marginal para q = e interprete o resultado obtido. E) Se L()= + 6 é a função lucro na venda de unidades de um certo produto, determine o lucro máimo. E) Seja C() = 6 + a função custo total para produzir unidades de um certo produto. Determine: ) o Custo Marginal ) o Custo Médio ) o Custo Médio Marginal ) o Custo Médio Mínimo.6. TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA TAXA DE VARIAÇÃO Podemos ouvir de um economista que, embora a taa de inflação esteja crescendo, a taa segundo a qual ela cresce está decrescendo. Isto significa que os preços ainda continuam a subir, mas não tão rapidamente quanto antes. Observe os gráficos abaio: f f a c b a c b No primeiro gráfico observa-se que: a) em (a,c), f é crescente ( > ) e > (f é crescente), portanto f cresce a taas crescentes. b) em (c,b), f é crescente ( > ) e < (f é decrescente), portanto f cresce a taas decrescentes. No segundo gráfico observa-se que: a) em (a,c), f é decrescente ( < ) e < (f é decrescente), portanto f decresce a taas decrescentes. b) em (c,b), f é decrescente ( < ) e > (f é crescente), portanto f decresce a taas crescentes. 6

41 E) Aumentando seu gasto com propaganda(em milhares de reais), uma empresa constata que pode aumentar as vendas (em milhares de reais) de um produto de acordo com o modelo (. ),. Ache o ponto de diminuição de resultados para este produto(ponto de retorno decrescente). E) Um índice de preços ao consumidor(ipc) é descrito pela função I =,t + t +, t 9 onde t = corresponde ao ano de 99. Encontre o ponto de infleão da função I e discuta o seu significado..7. WINPLOT O winplot é um programa para plotagem de gráficos de funções de uma e duas variáveis, etremamente simples de ser utilizado pois dispensa o conhecimento de qualquer linguagem de programação e é distribuído gratuitamente, podendo ser baiada da internet pelo site baiaki.ig.com.br/download/winplot.htm ou da página do professor com manual. 7

42 .8. SITES RELACIONADOS das_derivadas 8&rlz=TSUNA_enBR9BR&q=aplica%c%a7%c%bes+de+derivadas+na+adminis tra%c%a7%c%ao RESPOSTAS E) ) ; ) ; ; ) ) ; ; E) ) Cresc. ) Cresc.:[-,] [, ), Decresc.: (, ] [,] ) Cresc. ) Cresc.: [, ), Decresc.: (,] E) ) Má. Relativo: f() = Mín. relativo : f( ) = f() = ) Má. Relativo: f( ) = Mín. relativo : f() = ) Má. Relativo: f() = 6 Mín. relativo : f(-) = -6 e f() = ) Má. Relativo: f( ) = 6 Mín. relativo : f() = 6 E) ) Má. Relativo: f( ) = Mín. relativo : f() = ) Má. Relativo: f() = Mín. relativo : f() = ) Má. Relativo: f() = 6 Mín. relativo : f( ) = f() = ) Má. Relativo: f( ) = Mín. relativo : f() = 8

43 E) ) CPB: (,), CPC: (, ) ) CPB: (, ), CPC: (, ) (, ) ) CPB: (,), CPC: (,) (, ) ) CPB: (, ), CPC: (, ) E6) ) Cresc.: [, ), Decresc.: (,], Má. Relativo: NE, Mín. relativo : f() =, CPB: (,), CPC: (, ) (, ), PI : e ) Cresc.: (, ] [, ), Decresc.:[-,], Má. Relativo: f( ) = 7, Mín. relativo : f() =, CPB: (, ), CPC: (, ), PI : ) Cresc.: (,] [, ), Decresc.:[,], Má. Relativo: f() = CPB: (,), CPC: (, ), PI :, Mín. relativo : f() =, ) Cresc.: (,], Decresc.: [, ), Má. Relativo:NE, Mín. relativo : f() =, CPC: (, ), PI : NE ) Cresc.: (, ), Má. Relativo: NE, Mín. relativo : NE, CPB: (,), CPC: (, ), PI : E7) m, 6 m e R$, E8). horas e horas E9) dm E) ) = ) CPB: [, ] E) ) [,] ) C: [,], D: [,] ) CPC: [,], CPB: [,] ) R má =, R mín = 6) 7 E) ) L má = E) ) C mg = + ) C me = 6 + ) Ç ' me = 6 ) 9 E) E) 9

44 . MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(,) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto ( o, o ) do domínio de f é ponto de máimo relativo ou local de f, se eistir uma bola aberta de centro em ( o, o ) e raio r tal que, para todo ponto P(,) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(,) f( o, o ). O número f( o, o ) recebe o nome de máimo relativo ou local de f. Eemplos: Figuras e Seja z = f(,) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto ( o, o ) do domínio de f é ponto de mínimo relativo ou local de f, se eistir uma bola aberta de centro em ( o, o ) e raio r tal que, para todo ponto P(,) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(,) f( o, o ). O número f( o, o ) recebe o nome de mínimo relativo ou local de f. Eemplos: Figuras e Figura Figura Figura Figura Seja z = f(,) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto ( o, o ) do domínio de f é ponto de máimo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(,) do domínio, tivermos f(,) f( o, o ). O número f( o, o ) recebe o nome de máimo absoluto ou global de f. Eemplo: Figura

45 Seja z = f(,) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto ( o, o ) do domínio de f é ponto de mínimo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(,) do domínio, tivermos f(,) f( o, o ). O número f( o, o ) recebe o nome de mínimo absoluto ou global de f. Eemplo: Figura.. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(,) uma função definida num conjunto aberto D. Um ponto ( o, o ) D é um ponto crítico de f se as derivadas parciais f ( o, o ) e f ( o, o ) são nulas(etremos suaves) ou não eistem(etremos bruscos). Geometricamente, são pontos do gráfico da função onde o plano tangente é horizontal ou não eiste. Eemplo: Encontre os pontos críticos da função dada por f(,) =. Solução: f = ( ) / f = ( ) / f f se = e =, f e f não eistem, logo o ponto (,) é o ponto crítico de f. O gráfico da f é a superfície abaio. z E) Encontre os pontos críticos das funções: ) f(,) = + ) f(,) = + )f(,) = +

46 .. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES TESTE DO HESSIANO Seja z = f(,) uma função continua, com derivadas parciais até segunda ordem continuas e ( o, o ) um ponto crítico de f, tal que f ( o, o ) = f ( o, o ) =. a)se H( o, o ) > e f ( o, o ) > então ( o, o ) é ponto de mínimo relativo de f. b) Se H( o, o ) > e f ( o, o ) < então ( o, o ) é ponto de máimo relativo de f. c) Se H( o, o ) < então ( o, o ) não e ponto etremante, é ponto de sela. d) Se H( o, o ) =, nada se pode afirmar. Eemplo: Determine e caracterize os pontos etremantes da função f(,) = +. Solução a) Determinação dos pontos críticos da função: 6 f = 6 + f = + () () isolando na equação (), vem: = 6. Substituindo na equação (), por 6, vem:.6 + = + = = =. Como = 6 e = =. Logo, o ponto crítico de f é (,). b) Determinação do Hessiano de L: f = 6 + f = 6 e f = f = + f = e f = H(,) = 6 c) Caracterização do ponto crítico: H(,) = 6 = = >, logo (,) é ponto etremante(de máimo ou de mínimo). Como f (,) = 6 <, o ponto (,) é ponto de máimo.

47 E) Determine e caracterize os pontos etremantes das funções: )f(,) = ) f(,) = + + ) f(,) = + + ) f(,) = ) f(,) = ) f(,) = + 8 7) f(,) = ) f(,) = E) A função lucro de uma loja foi determinada como sendo L(,) = + + +, onde e são as quantidades de dois produtos negociados. Quais os valores de e que maimizam o lucro? E) Sejam p = 7 e p = as funções Demanda para dois produtos de quantidades e. Determine a receita máima. E) Seja z = + + uma função Produção, onde e são quantidades de dois insumos utilizados na fabricação da quantidade z de um produto. O preço unitário de cada insumo é, e o produto acabado é vendido por 6. Calcule o lucro máimo... MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS Seja z = f(,) a função da qual se quer determinar o máimo ou mínimo sujeito à condição R(,) =. z má de f sem restrição z má de f com restrição restrição R

48 ... MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO Consiste em substituir (ou ) obtido a partir da restrição R(,) =, na função f. Obtém-se dessa forma uma função de uma só variável, e o problema se reduz à determinação de máimos e mínimos da função de uma variável. Eemplo: Sejam z = e C = as funções Produção e Custo associadas para um determinado produto, Onde e são quantidades de dois insumos e z é a quantidade do produto acabado. Determine o custo mínimo para a produção de unidades. Solução: o ) Identificação da função e restrição: Queremos o custo mínimo para a produção de unidades, logo a função que deve ser otimizada é a custo C = Queremos que a produção seja de unidades, logo a restrição é z = ou R(,) = =. o ) Aplicação do Método da Substituição: Podemos isolar ou na restrição, seja =. Substituindo na função Custo, por, obtemos uma função de variável : F() = e, portanto, recaímos num problema de máimos e mínimos de funções de uma variável, que pode ser resolvido pelo Teste da derivada primeira(tdp) ou pelo teste da derivada segunda(tds). a) Determinação dos pontos críticos de F: F () = = = = = ou = (não tem sentido, neste caso). b) TDS: F () = F () =. Como F () = >, o ponto é ponto de mínimo da F e, como =, o ponto (,) é ponto de mínimo da função custo C sujeita à restrição R. Conclusão: o custo mínimo para a produção de unidades é C(,)= 6.

49 ... MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Consiste em construir a função de Lagrange L(,, ) = f(,) - R(,) e resolver o sistema L L R(, ) Os possíveis pontos etremantes de f sujeita à restrição R(,) = são os pontos (, ) tais que (,, ) são soluções do referido sistema. Eemplo: Sejam z = e C = as funções Produção e Custo associadas para um determinado produto, onde e são quantidades de dois insumos e z é a quantidade do produto acabado. Determine o custo mínimo para a produção de unidades. Solução: Este é o mesmo eercício do eemplo anterior, isto é: Mín C s. à R(,) = =. Vamos resolvê-lo pelo Método dos multiplicadores de Lagrange. o ) Construção da função de Lagrange: L(,, λ ) = λ ( ) = λ + λ o ) Cálculo das derivadas parciais de L: L = λ L = λ o ) Resolução do sistema formado por L =, L = e R(,) = : λ λ isolando λ nas duas primeiras equações, vem: λ = =. Substituindo por na restrição, temos:. = = = = ou = (não tem sentido, neste caso). Como = e = =. Então o ponto (,) é ponto de mínimo da função custo C sujeita à restrição R, isto é, o custo mínimo para a produção de unidades é C(,)= 6.

50 E6) Seja L(,) = + + a função lucro de uma indústria que produz e comercializa dois produtos em quantidades e. Calcular o lucro máimo, sabendo que a produção da indústria é limitada em unidades. E7) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 6 m, de modo que o custo para cercar as laterais seja R$, por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$, por metro linear. Determine as dimensões do terreno de tal modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Nesse caso, qual o custo mínimo para cercá-lo? E8) Ache o ponto de máimo ou de mínimo das funções a seguir: )f(,) = +, sujeito a + = )f(,) = +, sujeito a = )f(,) = 9, sujeito a + = ) f(,) =, sujeito a + = 6 E9) Suponha que a função Produção para uma empresa é z = e que a função Custo associada é C = + +. Suponha, ainda, que o fabricante limita seu custo em 6 e decida em que ponto se tem a produção máima com o custo fiado em 6. / / / / E)Sabendo que U(,)= é a função índice de utilidade de um consumidor e que sua restrição orçamentária é + =6, determine as quantidades e que maimizam U. E)Seja z = a função Produção de uma empresa que utiliza dois insumos em quantidades e. Se os Preços unitários dos insumos são p = e p =, o custo fio de produção é e o produto acabado é vendido por 6, determine o lucro máimo que se pode atingir com um custo de SITES RELACIONADOS

51 .. RESPOSTAS E) ) (,) ) (, ), (,), (, ) e (,) ) Não tem E) ) (, ) é ponto de sela, (, ) e (, ) são pontos de mínimo ) (,) é ponto de mínimo 9 ) (,) é ponto de sela; (, ) é ponto de mínimo ) (,) é ponto de sela; (, ) é ponto de mínimo ) (,) é ponto de sela ; (6,8) é ponto de mínimo 6) (,) é ponto de sela ; (,) é ponto de mínimo 7) (,-) é ponto de sela; (,) é ponto de máimo 8) (,) é ponto de sela; (, ) é ponto de mínimo E) (,) E) 7 E) L má = L(/,/) = 9 E6) E7) m, 6 m e R$, E8) ) (,) ) (,) e (-,-) ) (,) ) (,) E9) (9,9) E) (9,6) E) 9 7

52 6. INTEGRAL INDEFINIDA Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da multiplicação e a etração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora interessados na operação inversa da derivação. DERIVAÇÃO F F = f PRIMITIVAÇÃO 6.. PRIMITIVA Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F () = f(), I. Eemplos: As funções dadas por F () =, F () = +, F () = são primitivas da função dada por f() =. A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F() + k chamada de primitiva geral ou integral indefinida da f que é notada por f()d ou seja f()d = F() + k. 6.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas. Eemplo: d k 8

53 E) Determine: ) d ) d ) d ) ( )d 6.. REGRAS DE INTEGRAÇÃO. [f() g()]d f()d g()d Eemplos: a) (e )d e d d e k b) ( )d d d k. cf()d c f()d, sendo c uma constante Eemplos: a).e d e d e k b) d d k. d k. e d e k d. ln k E) Encontre: ) d ) ( e ) d ) e d ) (ln e ) d 7) ( e ln 6) d 8) (e e ) d ) ( ) d 6) ( ) d 9) ( ) d 9

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