FRAÇÕES CONTÍNUAS E OS NÚMEROS IRRACIONAIS NO ENSINO BÁSICO.

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1 FRAÇÕES COTÍUAS E OS ÚMEROS IRRACIOAIS O ESIO BÁSICO. Wgner Mrelo Pommer wmpommer@usp.r/ doutorndo/ FEUSP Resumo Os números irrionis presentm pous pesquiss n esolridde ási e, qundo são orddos, são gerlmente presentdos om foo pendulr privilegindo somente spetos opertórios, finitos e etos, o que limit ordgem e o entendimento deste intrindo tem no ensino d Mtemáti. Este teto propõe um refleão envolvendo spetos urriulres, epistemológios e didátios pr disussão d temáti ds Frções Contínus dentro d prolemáti do ensino seundário. Apontmos um possiilidde pelo uso ds Frções Contínus não omo mis um omponente urriulr, ms omo um tem que permite signifir os números irrionis, ssim omo rtiulr vários onheimentos mtemátios presentes no tul urríulo de Mtemáti, situndo-os num rede de signifidos, onforme Mhdo (995). Em nível epistemológio, questão de proimção dos irrionis pr os números rionis é importnte e permite delimitr e signifir mos os mpos numérios, ssim omo evideni vários eios rterizdores dos úmeros Reis, o que permite eplorr de modo propíio os pres disreto/ontínuo, finito/infinito e eto/proimdo. Aresentse estes ftores possiilidde de eplorr diverss estrtégis de resolução de prolems, um vlioso reurso didátio pontdo por Eheverrí e Pozo (998). A rede de signifidos, onforme define Mhdo (995), inerente às Frções Contínus, pode ser ontetudo situções de ensino presentes em vários rmos d iêni, o que permite revlorizção de tópios d Teori dos úmeros, nturlmente onjugdo um trtmento lgério, rtiulndo e relçndo s oneões interns e eterns os próprios onheimentos mtemátios, onfigurndo-se num lterntiv pr tulizr o urríulo, num viés temátio. Plvrs-hve: Frções Contínus. úmeros Irrionis. Ensino Básio. Rede de Signifidos. Introdução Os números irrionis, omo mpo de ser Mtemátio, form sistemtizdos há pouo mis de 00 nos. Porém, no mpo do ensino tl ssunto ind se enontr longe de um ompreensão qunto s possíveis ordgens. Plis (005) menion que o ensino dos números irrionis ind se enontr num mistério profundo. A mplição do sistem dos números rionis pr o sistem dos números reis é trtd no 8º e 9º nos do ensino fundmentl ou n ª série do ensino médio. A introdução e trtmento dos números irrionis requerem (...) um trlho investigtivo que rnge um refleão sore omo ensinr e omo ensinr ensinr números reis, um ds idéis fundmentis d mtemáti (PALIS, 005, p. 5).

2 Pesquisdores omo Fishein; Jehin; Cohen (995), Rezende (003), Zzkis&Siroti (004), Siroti&Zzkis (007) e Cost (009) reltm pou ênfse dd o ensino dos irrionis e tmém s pous pesquiss que fom epliitmente oneitução de números irrionis, em fe ds difiulddes dos lunos dinte deste ssunto. Em reente pesquis envolvendo nálise de livros didátios, Sntos (007) e Silv (009) indirm que qundo o ssunto é orddo, presentção dos números irrionis rei em situções prgmátis, envolvendo proimção de resultdos epressos trvés do uso d luldor eletrôni. Em minho oposto, outros mnuis preferem presentção teóri, or epondo um número irrionl omo sendo um dízim não-periódi, or definindo omo números irrionis os que não podem ser epressos por meio de um rzão entre números inteiros. Tis ordgens simplifim prolemáti de ensino de tl tem, pois est esolh didáti de presentção dos números irrionis: ( ) pressupõem omplet ompreensão dos números rionis pelos lunos. Entretnto, se isto não é lnçdo ind (omo frequentemente oorre), os lunos estrão enfrentndo muits difiulddes pr ordr este novo tipo de número (VOSKOGLOU&KOSYVAS, 0, p. 9). A est seqüêni de ordgem gerlmente segue-se presentção dos úmeros Reis omo união de dois onjuntos disjuntos: os números rionis e os números irrionis ( R Q Irrioni s). Rezende (003) pont que est presentção irulr envolvendo os números irrionis e os números reis, usul no ensino, represent limitção pr o entendimento e signifição, não eslreendo importâni do mpo numério dos irrionis, e onsequentemente dos úmeros Reis, no ensino d Mtemáti. De qulquer modo, presentção usul dos mnuis didátios pressupõe: (...) eistêni de outros números lém do universo trlhdo te o momento pelos lunos ( ser, o de números rionis) - o que já é, no mínimo, inoerente, qundo o que se quer e mplir o onjunto dos números; fi pressupost tmém pidde de um mnejo om tis números que os permitm ser deidir se eles podem ou não ser esritos n form de frção (RIPOLL, 00, p. ). Este teto ojetiv destr lguns spetos urriulres, epistemológios e didátios que possiilitm delimitr lgums ontriuições que o tem ds Frções Contínus possiilit dentro d prolemáti do ensino dos números irrionis no ilo ásio.

3 Pressupostos Curriulres. A Propost Curriulr, São Pulo (008) present um list de onteúdos pr Mtemáti do ilo ásio sem lterções preiáveis pr o urríulo. Porém, lguns tems mtemátios, hitulmente trtdos no Ensino Superior, poderim tulizr o urríulo de Mtemáti se inseridos n prolemáti deste nível de esolridde num ordgem essível e ompreensível, tl omo fzem disiplins omo Biologi e Físi. O ensino de iênis e Mtemáti deve se emsr n quisição e uso intuitivo de idéis fundmentis, elorndo-s e (re)elorndo-s, num metáfor de urríulo em espirl. Conordmos que s esols estão desperdiçndo: (...) nos preiosos, o dir o ensino de muitos ssuntos importntes om se n renç de que são difíeis demis. (...) Os fundmentos de qulquer ssunto podem, de lgum form, ser ensindos quem quer que sej, em qulquer idde. Emor ess proposição poss preer de iníio surpreendente, su intenção é sulinhr um ponto essenil (...): o de que s idéis ásis que se enontrm no âmgo de tods s iênis e d mtemáti, e os tems ásios que dão form à vid e à litertur, são tão simples qunto poderosos. Ter esss idéis ásis o seu dispor, e usá-ls efiientemente, eige onstnte profundmento d ompreensão que dels se tem, o que se pode onseguir prendendo utilizá-ls em forms progressivmente mis omples (BRUER, 987, p. -). Sntló (996) pont neessidde de esol estr lert pr mudnçs de onteúdos e metodologis em fe de novs reliddes do mundo tul. Alguns tems omo s Equções Diofntins Lineres, o Cálulo Diferenil e Integrl, os Frtis, Progrmção Liner, dentre outros, poderim enriqueer o próprio urríulo do ensino ásio, desde que essdos num ordgem dequd. Ms omo efetivr tl ontriuição sem onerr o urríulo? Um pressuposto ásio pr tulizção urriulr deve levr em onsiderção que o onteúdo mtemátio ser trtdo n esol ási é pens um veíulo pr o desenvolvimento ds idéis fundmentis, ser onvenientemente rtiulds, de ordo om Mhdo (990). Assim, utilizção de tems mis tuis não envolveri o estudo sistemátio e lgoritmizdo, ms sim ordgem de situções de ensino que promovm um rtiulção dos oneitos já esteleidos no próprio urríulo. Est posição se pói n onepção d metáfor do onheimento omo rede, onforme Mhdo (995). Pr o utor, onheer é omo enredr, teer signifições e prtilhr signifidos, onstruídos por meio de relções entre ojetos, entre s noções e os oneitos. O signifido de lgo é onstruído flndo-se sore o tem, esteleendo múltipls oneões pertinentes, às vezes insuspeitds, entre tems.

4 Um importnte oneão pr se possiilitr o onheimento omo rede é (...) esteleer relções entre os signifidos dos ojetos mtemátios no interior d Mtemáti e eternmente el (MACHADO, 995, p. 7). Atulmente, tl posiionmento se deslo quse om que elusividde pr o uso d ontetulizção, o que tem omo onseqüêni erto esqueimento que não permite eplorção ds importntes oneões entre os próprios tems d Mtemáti. A seguir, direionmos olhr pr s Frções Contínus, posição que se justifi o pereermos lguns nós teidos historimente, ujo núleo de desenvolvimento epistemológio tem importntes implições didátis pr o ensino dos números irrionis. Um olhr epistemológio e didátio sore o tem ds Frções Contínus. Assunto iniilmente desenvolvido pelos gregos, s frções ontínus foi enriqueid o longo do desenvolvimento histório d mtemáti e retomdo nos séulos XVII e XVIII. Um frção ontínu simples se ssemelh um rquitetur de frções unitáris suessivs, eiindo ert similridde om o uso de frções unitáris pelos egípios. O qudro epress form de um frção ontínu simples, onde 0 represent um número inteiro e os demis termos ( i, i>0) são nturis, não nulos. Qudro : Epressão de um frção ontínu simples 0 [ 0;,, 3, 4,...] As Frções Contínus representm, por um ldo, um speto ssoido o disreto, pelo fto de representr um frção (relção de números inteiros) e, ind, o segundo termo remont s grndezs de nturez ontínu. Um frção ontínu simples pode ter finitos ou infinitos termos, se onstituindo em: (...) um eemplo interessnte de proedimento que é finito, qundo operdo sore números rionis, e infinito, qundo o número ddo é irrionl. A origem ds frções ontínus está n Gréi, onde s frções, pr efeito de omprções, erm tods esrits om numerdor (CUHA, 007, p. 3). As proimções de um frção ontínu simples são denominds onvergentes. o qudro representmos o º, º e 3º onvergentes ( 0,, respetivmente). 0 0 ; Qudro : Convergentes de um frção ontínu simples. 0 [ 0 ; ]; 0 [ 0 ;, ].

5 O trlho om proimção de números irrionis por rionis é um possível minho pr signifir os números reis no ilo ásio. Boyer (99) pont que os povos ntigos utilizvm sistemtimente proimções numéris. A ordgem históri tem importâni fundmentl pr estruturr o trlho didátio d Mtemáti ser ensind, onforme pont Brolezzi (996). Isso pode ser oservdo om relção o surgimento dos úmeros Irrionis e su relção om proimção pr números rionis. Com relção à ivilizção greg e seu pego os números nturis, Mhdo (990) pont que eles não onsidervm omo números s frções (rionis) e nem os irrionis, porém tinhm onheimento d eistêni destes, ontornndo este onflito pelo uso d Geometri pr epressr estes números, o que gerou rise dos inomensuráveis. A rise dos inomensuráveis, que historimente é reltd omo o surgimento dos números irrionis tmém define melhores ontornos pr os números rionis. Apesr de os egípios e os povos d mesopotâmi utilizr frções e números deimis, nosso estudo mostr que somente pós identifição ds grndezs inomensuráveis é que surgem de um form mis definitiv os próprios números rionis (BROLEZZI, 996, p. 46) A relção entre os números irrionis e rionis oorre por meio d operção de proimção. A representção deiml dos números irrionis é neessrimente infinit e não periódi. A úni vi de esso um número: (...) irrionl é utilizção de proimções suessivs trvés de números rionis. (...) Aind hoje, [isto] pree desonertr todos os que enfrentm os irrionis. (...) egndo o esttuto de números s rzões entre grndezs que onduzim os irrionis, foi possível os gregos viver prtimente o lrgo de tis ojetos indesejáveis. Há muito se se, no entnto, que miori solut, quse totlidde dos números reis eistentes é onstituíd por números irrionis (MACHADO, 990, p ). Do ponto de vist didátio, o reurso situções ontetuds permite ilustrr utilizção ds Frções Contínus e eplorr um série de proedimentos lterntivos. Alido este ftor, eplorção de diverss estrtégis de resolução, onforme reomendm Eheverrí e Pozo (998), em se onsiderndo o ensino seundrist, permite introduzir situções de ensino ontetuds ns Frções Contínus, ujo mote permite resgtr proprieddes fundmentis dos números reis e rtiulr diversos tems do urríulo. Gonçlves; Possni (00) situm evidênis olondo em disussão Crise dos Inomensuráveis. Pr os utores os ntigos gregos lidvm nturlmente om questão d relção entre digonl e o ldo do qudrdo, trvés d Álger Geométri, não eistindo um rise de onheimento pr tl povo.

6 As Frções Contínus e s os proimções. A seguir, será relizd um reve eposição de estrtégis que podem ser eplords pr proimr um número irrionl por um número rionl. Um primeiro onteto que rteriz este tipo de situção remont o séulo XVI. O físio holndês Christin Huygens utilizou s frções ontínus pr onstrução de instrumentos ientífios, e, em prtiulr, elorou um modelo reduzido do sistem solr. Pr onstrução do modelo meânio neessitv ds relções de trnsmissão entre s engrengens, o que permitiri reproduzir s órits plnetáris num esl dequd. Vmos reeditr o prolem de determinr o modelo d órit do plnet Sturno em relção o Sol. épo de Huygens, reditv-se que o tempo neessário pr o plnet Sturno oritr o Sol er de 9,46 nos. Pr modelr este sistem fz-se uso de dus engrengens, um om um dentes e outr om y dentes, de modo que 9,43. y Huygens elorou lgums proimções rionis pr rzão 9,43, tendo otido: 9 59,, 06. Este último vlor permitiu um esolh de engrengens om 7 e 06 dentes, 7 reliond om spetos prátios, pois é difíil usinr engrengens om um número muito pequeno ou muito grnde de dentes. Pr verifir omo Huygens oteve estes vlores, utilizremos o proedimento ritmétio. O º onvergente é ddo por 9. O º onvergente é ddo por , ou ind, 9 0, , 5. Já o 3º, onvergente: ,43.,3558 0, Se fossemos determinr o 4º onvergente terímos omo resultdo frção, um 93 proimção melhor que nteriores, ms que result em números de dentes imprtiáveis. A situção nterior ilustr de modo simples os motivos pelos quis s Frções Contínus representm melhor proimção de números irrionis em situções prátis, ssim omo represent um lterntiv pr iniir um eposição didáti deste ssunto. Este vlor é um proimção rionl de um número rel, que tulmente foi esteleido omo 9,43 nos.

7 o ensino ásio, definição dos números irrionis omo os números reis que não podem ser epressos por um frção de números inteiros pode levr simplifições e não entendimento pelo luno do signifido inerente os irrionis. Semos que úni vi de esso um número irrionl é utilizção de proimções suessivs trvés de números rionis. Mtemáti, este speto serve pr rterizr os números irrionis. Pr ilustrr tl speto, propomos outr situção-prolem: Um frinte de relógios preis produzir dois tipos de rods dentds n rzão :, sendo imprtiável que ests rods tenhm mis que 0 dentes. Enontre lgums possiiliddes pr os números de rods que irão proimr rzão desejd. A Relção de trnsmissão, d oro (engrengem mior) pr o pinhão (engrengem menor), pode ser representd por, onde represent o número de dentes d oro e y y represent o número de dentes do pinhão, sendo, y inteiros positivos. Pr representr riz n form de frções ontínus, o primeiro proedimento que fremos uso é o que denomino ritmétio. Este onsiste em esrever, seqüenilmente, os onvergentes, té se oter um frção que respond questão, ou sej, que respeite ondição de ontorno dd pelo limite de 0 dentes, pr engrengem mior (oro). 0,4436 (º onvergente) 3,4436 0,4436 (º onvergent,4436 e 7 0,4436 (3º onvergente),4436 0,4436 5, (4º onvergente ).,4433 0, O 4º onvergente revel que o nº de dentes d oro seri 7 e o do pinhão, om proimção dd por: 7/,466667, o que proporion um proimção orret té ordem ds entens, que pr um pr de engrengens usuis é stisftóri. Determinndo-se o 5º e o 6º onvergente, tem-se: )

8 70 99, ,44046, , ,445, Oserv-se, nos seis primeiros onvergentes, que eiste um repetição do lgrismo. Será que tl onjetur é verddeir? Pr verifiá-l, de modo mis gerl, podemos esrever um segundo proedimento, de nturez lgéri. De,,4436 donde. Aind, de, que result. Dí, :,. então Como >. Assim:. De:. Assim, por sustituições suessivs: ]. [; [;;;;;...]... 3 Est ordgem eemplifi o fto que um número irrionl tem representção infinit n form de frção ontínu, ms não eiste orrespondêni invers. Por outro ldo, um número rionl tem um representção finit n form de frções ontínus. Est possiilidde de presentção dos números irrionis permite eslreer um distinção ási om relção os números rionis. Um tereiro proedimento pr epressr um frção ontínu é ddo por Bomelli (sé. XVI) e onsiste n epressão:

9 .... A demonstrção de tl epressão é forneid io. se tem ) ( ) ).( ( :, Ms:. ) ).( ( Aplindo-se o resultdo im: o so d representção de omo frção ontínu, tem-se: ]. [; [;,,,...] Considerções Finis As onsiderções teids neste teto revelm possiiliddes de ordgem ds Frções Contínus Simples no Ensino Básio, onsiderndo- omo um oportunidde de tulizção do urríulo de Mtemáti, sem neessrimente reorrer lgoritmos. O trlho om o tem ds proimções revel um rtiulção entre os onjuntos dos úmeros Rionis e o onjunto dos úmeros Irrionis, onjuntos distintos do ponto de vist d teori dos Conjuntos. A própri nturez do tem permite eslreer e mplir o próprio oneito de frção, ssim omo promover um mior entendimento envolvendo nturez dos números irrionis, num ordgem que revel elegnte interção entre nturez disret e finit, em ontrprtid d nturez ontínu e infinit dos números reis. Alim-se ests onsiderções oportunidde propiid pel introdução de um tem que rtiul diversos oneitos mtemátios usuis no ensino ásio, revlorizndo-os pel possiilidde d mplição d relção onstituíd internmente mtemáti, permitindo onstrução de um rede de signifidos, onforme Mhdo (995).

10 Em relção às ontriuições de ordem didáti, o se relizrem proimções ds rízes não-ets, que representm números irrionis, o reurso à introdução ds frções ontínus omo tem medidor possiilit utilizção de diverss estrtégis de ordgem n resolução de prolems envolvendo frções ontínus, prtir d ordgem ritméti, tivndo o uso d estrtégi lgéri, fvoreendo o desenvolvimento ds ompetênis pessois dos lunos. As Frções Contínus representm um ds possiiliddes de ordr signifitivmente os números irrionis no ilo ásio: um número é irrionl se representção em form de frção ontínu for infinit. Cso representção sej finit, o número é rionl. Est form de ordgem elimin irulridde n presentção dos números reis, delimitndo os spetos finitos e infinitos, etos e proimdos, disretos e ontínuo, de form simples e envolvendo onteúdos essíveis os lunos do ilo ásio. Referênis Biliográfis: BOYER, C. B. Históri d Mtemáti. 9. ed. São Pulo: Editor Edgrd Blüher, 99. BROLEZZI, A. C. A Tensão entre o Disreto e Contínuo n Históri d Mtemáti e no Ensino d Mtemáti Tese (Doutordo em Edução), Universidde de São Pulo, São Pulo. BRUER. S. J. O Proesso d Edução. 8. ed. São Pulo: Compnhi Editor ionl, 987. CUHA, M. O. Sore idéi de lgoritmo. São Pulo: SEMA/USP, 007. Disponível em: < >. ECHEVERRÍA, M. P. P.; POZO, J. I. Aprender Resolver Prolems e Resolver Prolems pr Aprender. In: POZO, J. I. (org). A Solução de prolems: Aprender resolver, resolver pr prender. Porto Alegre: ArtMed, 998. Cp.. p FISCHBEI, E.; JEHIAM, R.; COHE, D. The Conept of Irrtionl umers in High- Shool Students nd Prospetive Tehers. Edutionl Studies in Mthemtis. v. 9, n., jul. 995, p Disponível em: < Aesso em dez. 0. GOÇALES, C H. B.; POSSAI, C. Revisitndo Desoert dos Inomensuráveis n Gréi Antig. Mtemáti Universitári, n. 47, 00. Dsiponível em: < Aesso em dez 0. MACHADO,. J. Epistemologi e Didáti: As Conepções de onheimento e inteligêni e práti doente. São Pulo: Editor Cortez, p.. Mtemáti e Língu Mtern: Análise de um impregnção mútu. São Pulo: Editor Cortez, 990, 69 p. PALIS, G. L. R. Edução Mtemáti: entrelçndo pesquis e ensino, ompreensão e mudnç. Revist Edução On-Line, n., 005. Disponível em: < lmd.ele.pu-rio.r/rev_edu_online.php?strseoshow&fs>. Aesso em jn. 0.

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