Novas Formulações para o Problema da Árvore Geradora Mínima Capacitada em Níveis

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1 Novas Formulações para o Problema da Árvore Geradora Míima Capacitada em Níveis Alexadre Xavier Martis, Marcoe Jamilso Freitas Souza Departameto de Computação, Uiversidade Federal de Ouro Preto, CEP 35.4-, Ouro Preto, MG xmartis@uai.com.br, marcoe@iceb.uop.br Maurício Cardoso de Souza Departameto de Egeharia de Produção - Uiversidade Federal de Mias Gerais Av. Presidete Atôio Carlos, 6627, CEP 36-, Belo Horizote, MG, mauricio@dep.umg.br Resumo Este trabalho trata do problema de determiar a melhor maeira de coectar termiais, de dieretes locais, a um computador cetral através de lihas de trasmissão. Geralmete este problema é tratado cosiderado-se que todas as lihas de trasmissão têm uma ixa Q. Isto equivale a impedir que o luxo máximo de iormação em qualquer liha de trasmissão adjacete ao computador cetral seja maior que esta quatidade ixa. Este problema a literatura da Otimização Combiatória é cohecido como Problema da Árvore Geradora Míima Capacitada (PAGMC). No etato, este trabalho cosidera que para o projeto estão dispoíveis múltiplos tipos de lihas de trasmissão com s variadas, ou seja, as lihas de trasmissão têm s variado de Z até Z, ode a Z < Z 2 <... < Z. Na literatura este problema é cohecido como Multi evel Miimum Spaig Tree Problem ou Problema da Árvore Geradora Míima Capacitada em Níveis (PAGMCN). Neste trabalho são apresetadas duas ovas ormulações exatas para o problema e os resultados obtidos são comparados com os resultados de um modelo de programação matemática da literatura. Palavras-chave: Árvore Geradora Míima Capacitada, s de Programação Iteira, Graos.. Itrodução O presete trabalho se reere ao problema de layout de termiais, que é um subproblema o projeto de redes de acesso local. Ele cosiste em ecotrar a melhor maeira de coectar termiais, de dieretes locais, a um computador cetral. Esses termiais eviam e recebem iormações do computador cetral através de lihas de trasmissão. Para utilizar eicietemete a das lihas de trasmissão, estas podem ser compartilhadas por vários termiais o evio e recebimeto de iormações. A topologia ótima para este problema correspode a uma árvore geradora de um grao G = (N, A) com N - ós em N correspodedo aos termiais e o ó restate, cohecido como ó raiz, correspodedo ao computador cetral. As arestas em A correspodem às lihas de trasmissão. Geralmete este problema é tratado cosiderado-se que todas as lihas de trasmissão têm uma ixa Q. Isto correspode a restrigir o luxo máximo de iormação em qualquer liha de trasmissão adjacete ao computador cetral (raiz do grao G) a uma quatidade ixa. Este problema a literatura da Otimização Combiatória é cohecido como Problema da Árvore Geradora Míima Capacitada (PAGMC). No etato, é razoável admitir que para o projeto da rede estão dispoíveis múltiplos tipos de lihas de trasmissão com s variadas, ou seja, as lihas de trasmissão têm s variado de Z até Z,, com Z < Z 2 <... < Z. Na literatura este problema é cohecido como Problema da Árvore Geradora Míima Capacitada em Níveis (PAGMCN). Este trabalho cosidera a situação ode cada termial requer a mesma quatidade de iormação, que é o caso da demada homogêea ou demada uitária. Seja T uma árvore geradora de G e cosidere um ó como raiz. Uma sub-árvore é a compoete coexa que cotém o ó i ao se elimiar o arco (i, p(i)) de T, sedo p(i) o predecessor do ó i o úico camiho até a raiz. Assim como o PAGMC, o PAGMCN cada sub-árvore de T, obtida ao se elimiar a raiz e todas as arestas que lhe são adjacetes, pode ter um úmero máximo de ós termiais, sedo o primeiro limitado por Q e o segudo por Z (a liha de trasmissão de maior ). Em seguida é eita uma breve revisão da literatura sobre o PAGMC, uma descrição do PAGMCN e do modelo de programação matemática existete a literatura. Serão apresetados também dois ovos modelos propostos para a resolução do PAGMCN e uma comparação etre os três modelos, bem como as coclusões iais. 2. Problema da Árvore Geradora Míima Capacitada Seja G = (N, A) um grao ão direcioado e coexo com um cojuto de ós N = {,,..., } e um cojuto de arcos A. Cada ó i Є N tem um peso b i com b =. O peso do ó pode ser iterpretado como uma demada requerida. Cada arco (i,j) Є A tem um custo c associado a sua utilização a árvore geradora. O problema da árvore geradora míima capacitada cosiste em determiar uma árvore geradora de custo míimo sobre G, cetralizada sobre o ó (raiz), com a restrição adicioal que a soma dos pesos dos ós de qualquer sub-

2 árvore coectada à raiz ão pode ser maior que uma costate Q, ode Q é um valor iteiro. Quado todos os pesos dos ós são iguais temos a versão homogêea do problema que pode ser tratado como um problema de demada uitária. Para 2 < Q < /2, o problema é NP-diícil. []. Em [] oi desevolvido um dos pricipais algoritmos para costrução de uma solução para o PAGMC, o Esau-Williams (EW). Em [3, 4] é apresetada uma ormulação de luxo para a versão uitária do PAGMC. [5] apresetou uma ormulação com 2 restrições. Em [6] é apresetada uma ormulação com ídice de ível ode são obtidos exceletes limites ieriores com a relaxação liear deste modelo, o problema é que, com o ovo ídice criado, o modelo gerava muitas variáveis. Este problema oi solucioado com o modelo com ídice de ível hierarquizado que é capaz de agregar o modelo reduzido assim esse úmero de variáveis geradas [7]. 3. Formulação de Fluxo para o PAGMC O modelo apresetado esta seção oi itroduzido em [3, 4]. Seja x = se o arco (i,j) é icluído a solução e x = caso cotrário. Além disso, seja y o luxo sobre o arco (i,j) para i =,..., e j =,...,. Para um grao direto com o ó sedo a raiz etão temos: Miimize (3.) Sujeito a: c x x y y x y bi x = ; j =,...,; (3.2) = ; j =,..., ; (3.3) (Q - ) ; i =,..., ; j =,..., ; (3.4) y x Є (,); ; i =,..., ; j =,..., (3.5) As igualdades (3.2) garatem que exatamete um arco chega a cada ó, excluido o ó cetral. As igualdades (3.3) estabelecem a propriedade da coservação de luxo para cada ó j Є N\{}, impodo que a diereça etre a totalidade do luxo que chega e sai de j seja igual ao valor da demada desse ó, isto é, igual a. As restrições (3.2) e (3.3) cojugadas garatem a ão existêcia de ciclos a solução. As iequações (3.4) relacioam ambos os cojutos de variáveis, limitado ieriormete e superiormete a quatidade de luxo em cada arco da solução. Nestas restrições, o valor de b i permite que o luxo máximo um arco icidete a raiz seja igual a Q, equato os arcos ão icidetes ao ó cetral esse valor máximo é igual a Q-. Note que o valor do luxo que atravessa o arco (i,j), é igual ao úmero de ós que icam descoexos da raiz se esse arco or retirado da solução. Em (3.5) são estabelecidas as restrições de itegralidade sobre o cojuto de variáveis. De acordo com as restrições deiidas, qualquer solução viável para o PAGMC cotém todos os arcos orietados o setido oposto ao da raiz e o valor do luxo que se deie ao logo dos arcos de qualquer camiho uma dessas soluções, decresce quado se percorre esse camiho o setido da orietação dos arcos. Em [4] mostrado que essa ormulação é válida para o PAGMC. Para tetar ecotrar soluções ótimas seus trabalhos também icluem decomposição de Beders, decomposição de Datzig-Wole e Relaxação agrageaa combiada com técicas de otimização de subgradiete [3] [4]. 4. Problema da Árvore Geradora Míima Capacitada em Níveis O problema da árvore geradora míima capacitada em íveis (PAGMCN) é uma geeralização do PAGMC, que acreditamos ser de uso mais prático o projeto de uma rede de comuicação local. Apesar disso o PAGMCN ão tem recebido muita ateção dos pesquisadores, sedo a primeira pesquisa apresetada sobre o assuto eita por [2]. A diereça etre o PAGMC e o PAGMCN é que o segudo é permitida a istalação de acilidades com s distitas. No PAGMCN são dados um grao G = (N, A), com um cojuto N = {,,2,..., }, ode o ó represeta o termial cetral de ode o luxo deve sair e os outros são os cosumidores, e um cojuto de arcos A, b i sedo a demada de tráego (ou peso) do o i a ser trasportada do ó, acilidades do tipo,2,..., com s Z < Z 2 <...< Z e uma ução de custo c l deotado o custo de uma acilidade do tipo l istalada etre os ós i e j. O objetivo etão, assim como o PAGMC, é o de ecotrar uma rede de custo míimo para trasportar o tráego requerido, ode o luxo sobre cada acilidade ão pode ser maior que sua. Em geral, a demada de cada ó pode ser dierete, cotudo, este trabalho os modelos apresetados a seguir são baseados o problema da demada uitária. Além disso, a ução de custo para as lihas de trasmissão para todos os testes apreseta ecoomia de escala, o que se veriica em redes de comuicação [2]. Também impomos este trabalho que somete um úico tipo de liha de trasmissão pode ser istalado para coectar qualquer par de ós. Em [2] é utilizado um algoritmo geético para resolver o PAGMCN. Para testar o método oram gerados três cojutos de testes com 5 ós termiais um com a raiz o cetro, outro com a raiz a esquia e um ode a raiz era aleatoriamete localizada cada cojuto com 5 istâcias. Também geraram um cojuto com ós termiais com a raiz localizada o cetro, ode este cojuto também era composto por 5 istâcias. Em todos os testes realizados os autores trabalharam com três tipos de acilidades de s, 3 e com os

3 respectivos custos, 2 e 6. Para comparar os resultados do algoritmo geético os autores desevolveram um modelo matemático para o PAGMCN e usaram o limite ierior ao valor da solução ótima dado pela relaxação liear. Nos resultados apresetados o maior gap médio observado oi de 9,95% em relação à solução do problema relaxado para as istâcias com 5 ós e a raiz o cetro. Também em [2] é apresetado um modelo de programação matemática para o PAGMCN que utiliza três tipos de variáveis. Seja x igual a se uma acilidade é istalada sobre o arco (i,j) e caso cotrário. Seja y l igual a se a acilidade do tipo l é istalada sobre o arco (i,j), e caso cotrário. Nos modelos baseados em luxo para o PAGMC o luxo vai do ó cetral em direção aos ós termiais. No modelo apresetado em [2] o luxo deixa os ós termiais em direção ao ó cetral. Cada ó termial possui um produto que deve ser trasportado ao ó cetral. A origem do produto é o ó K. A variável idica o luxo do produto que passa pelo arco (i, j). Sedo assim o problema oi ormulado da seguite maeira: l l c y l= Miimize (4.) Sujeito a: i j i j = ; i =,... ; (4.2a) = ; =,..., K; (4.2b) = ; i =,...,; =,..., K e i ; K = l= l y x Z y l (4.2c) ; i =,... ; j =,...,; (4.3) l= l = x ; i =,... ; j =,..., ; (4.4) x ; i =,...,; j =,...,; =,...,K; (4.5) j x x = ; (4.6) = ; i =,..., ; (4.7) x + ; i =,... ; j =,..., ; (4.8) x Є {,}; i =,... ; j =,..., ; (4.9) y l Є {,}; i =,... ; j =,..., ; l =,...,; (4.). i =,... ; j =,...,; =,...,K. (4.) O cojuto de restrições (4.2a), (4.2b), (4.2c), (4.5), (4.6), (4.7) e (4.8) garatem que a topologia da rede será uma árvore e que os arcos vão em direção ao ó cetral. O cojuto de restrições (4.4) garatem que somete um tipo de acilidade será istalada sobre um arco, e somete se este arco or utilizado a solução. As restrições (4.3) garatem que o luxo que passa por uma acilidade é meor que a sua. Esta ormulação gera ( ) variáveis, ode é o úmero de acilidades dispoíveis, e ( ) restrições. 5. Novas Formulações Propostas Neste trabalho são propostos dois modelos matemáticos para represetar o PAGMCN e, ao cotrário do modelo apresetado em [2], os dois modelos o luxo lui do ó em direção aos outros ós da rede. Os modelos desevolvidos também são baseados em um grao direto. O primeiro modelo que será apresetado é baseado o luxo que deve atravessar os arcos em direção ao ó cetral e será deotado por MBF. Seja x igual a se a acilidade do tipo é usado para ligar o ó i ao ó j e igual a caso cotrário, Z é a da acilidade do tipo e y é o luxo que passa pelo arco (i,j). Podemos etão ormular o problema da seguite orma: c x = Miimize (5.) Sujeito a: = ; j =,..., ; (5.2) Z x = x = y y x y ; i =,..., ; j =,..., ; (5.3) = ; j =,..., ; (5.4) Є (,); i =,..., ; j =,..., ; =,..., ; (5.5) y ; i =,..., ; j =,...,. (5.6) Os cojutos de restrições (4.2), (4.3) e (4.4) garatem a coservação do luxo e que a topologia da rede será uma árvore, ode o luxo vai do ó cetral em direção aos ós termiais. O cojuto de restrições (4.3) aida garate que o luxo sobre um arco de ão irá ultrapassar essa. Este modelo baseado em luxo para o PAGMCN, deotado por MBF, gera ( ) variáveis, ode é o úmero de acilidades dispoíveis e ( 2 +2) restrições. Note que este modelo é uma geeralização do modelo apresetado em [3, 4]. O modelo apresetado a seguir, deotado por MBC, utiliza as mesmas variáveis do modelo aterior, com exceção da variável de luxo y. Dito isso, a ormulação pode ser eita da seguite orma:

4 c x = Miimize (5.7) Sujeito a: = ; j =,..., ; (5.8) Z = x x x = Z = x ; j =,..., ; (5.9) Є (,) i =,..., ; j =,..., ; =,...,. (5.) As restrições (5.8) e (5.9) garatem que a topologia da rede será uma árvore, que o luxo irá do ó cetral em direção aos ós termiais e que a das acilidades será preservada. O problema deste modelo é que se or usado uma acilidade com qualquer ele cosidera que por essa acilidade estará passado um luxo igual à deste. Este problema pode ser solucioado com a criação de acilidades artiiciais. Supohamos que só temos dispoíveis 3 tipos de acilidades com as seguites s, 3 e 5, com custos c, c 2 e c 3, respectivamete. Etão criamos duas acilidades artiiciais, uma com a 2 e custo c 2 e outra com 4 e custo c 3. Isso deve ser eito pois as acilidades devem ter s variado de em até a acilidade de maior. Além disso, o custo da acilidade artiicial deve ser igual à de meor custo de uma acilidade real com a superior a sua, pois se a solução estiver uma acilidade com 4, isso quer dizer a verdade que estaremos usado uma acilidade com 5 mas que passa somete 4 uidades de luxo. Este modelo apreseta 2 Z variáveis, ode Z é a maior etre todas as acilidades, e 2 restrições. 6. Resultados Computacioais Os modelos desevolvidos e o apresetado em [2] oram implemetados o modelador e otimizador INGO versão 7.. Para testá-los oram geradas istâcias a partir das istâcias cohecidas a literatura (ver por exemplo [7]) como tc4- e te4- ( =,..., ). Estas istâcias são compostas de 4 ós (além da raiz) gerados aleatoriamete um grid x. Os custos das arestas são a parte iteira das distâcias Euclidiaas. A classe TC é caracterizada por ter a raiz o cetro do grid, e a classe TE por ter a raiz o cato. Essas istâcias são utilizadas para testar algoritmos para resolução do PAGMC e para usá-los para testar os modelos para o PAGMCN basta acrescetar ovos tipos de acilidades com custos dieretes. Neste experimeto ós atribuímos à de cada tipo de acilidade um ator que multiplica os custos Euclidiaos das arestas as istâcias origiais. Os testes oram realizados em um computador com processador Petium IV,,8 MHz, com 256 MB de memória RAM, sob o sistema operacioal Widows XP.Cada bateria de testes apreseta um cojuto com dez istâcias. Istâcia Gamvros et. Al (MG) Baseado em Fluxo (MBF) Baseado a Tc2-36 8, Tc , Tc tc tc , tc tc tc tc tc Istâcia Tabela 6. Resultados dos testes tc2 de Gamvros et al. (MG) Baseado em Fluxo (MBF) Baseado a Te2-36 3,2 36 5,6 6 Te , Te , ,43 3 Te , ,34 3 Te ,2 36,73 9 Te , Te2-7 36, Te , Te2-9 36, Te2-36 2, Tabela 6.2 Resultados dos testes te2 As tabelas 6. e 6.2 mostram os resultados obtidos pelos modelo proposto em [2] e os modelos propostos este trabalho (MBF e MBC). São apresetados os tempos em que os modelos resolveram cada istâcia, em segudos. Para todos os cojutos de testes oi estabelecido o tempo máximo para que o modelo ecotrasse a melhor solução, que oi limitado em 36 segudos. Cada tabela também iorma o valor do gap, que é calculado da seguite orma: (MS-I)/MS, ode MS idica o valor da melhor solução até o mometo e I idica o valor do limite ierior até o mometo. A primeira bateria de testes oi eita utilizado-se os 2 primeiros ós das istâcias tc4 mais o ó cetral e utilizado-se três tipos de acilidade com s, 3 e 5 e atores multiplicativos de, 2 e 3 respectivamete. Este cojuto de testes oi chamado de tc2. Para

5 este cojuto de testes os modelos propostos este trabalho ecotraram a solução ótima para todas as istâcias ates do tempo máximo estabelecido e o modelo MBC uma covergêcia muito mais rápida, como pode ser observado a Tabela 6.. Já o modelo de [2] ão cosegue ecotrar a solução ótima em três istâcias. A seguda bateria de testes oi realizada com os 2 primeiros ós das istâcias te4 mais o ó cetral e utilizado-se das mesmas acilidades dos testes tc2 apresetados ateriormete. Este cojuto de testes oi chamado de te2. Para o cojuto de testes te2 o modelo MG ão cosegue ecotrar a solução ótima o tempo máximo determiado em ehuma istâcia como podemos observar a Tabela 6.2. Já o modelo MBF ão ecotra o ótimo em quatro istâcias, equato o modelo MBC ecotra a solução ótima para todas as istâcias e levado um tempo máximo de 6 segudos. Para o terceiro cojuto de testes oram utilizados os 3 primeiros ós das istâcias tc4, mais o ó, com três tipos de acilidades com as seguites s:, 3 e, sedo os atores multiplicativos associados à cada acilidade, 2 e 6 respectivamete. Este cojuto de testes oi chamado tc3 e os seus resultados podem ser observados a Tabela 6.3. Como podemos observar a Tabela 6.3, o úico modelo a ecotrar a solução ótima para todas as istâcias o tempo determiado oi o modelo MBC, e o tempo máximo para resolvê-lo a otimalidade ão superou 76 segudos. Além disso, o modelo MG só oi capaz de ecotrar solução viável o tempo estabelecido em uma úica istâcia (Tc3-), dessa orma ão oi possível calcular o gap deste modelo para as demais istâcias do problema. Já o modelo MBF, apesar de ão ecotrar a solução ótima para ehuma das istâcias o tempo estabelecido, é capaz de ecotrar soluções viáveis para todas e apreseta um gap máximo de 2,4%. A quarta bateria de testes utiliza os 3 primeiros ós, além do ó, das istâcias te4 e também utiliza três tipos de acilidades com as mesmas s e os mesmos atores utilizados para o cojuto de testes tc3 apresetados ateriormete. Este cojuto de testes oi chamado te3 e seus resultados são apresetados a Tabela 6.4. A Tabela 6.4 mostra que, mais uma vez, o modelo MG ão cosegue ecotrar solução viável o tempo máximo determiado para a maioria das istâcias. Para este cojuto de testes o modelo MBF também ão cosegue ecotrar ehuma solução ótima o tempo determiado, mas apreseta solução viável para todas as istâcias. Já o modelo MBC só ão cosegue ecotrar a solução ótima o tempo determiado em uma istâcia (Te3-9), mesmo assim apreseta um gap de apeas,68%. Istâcia Gamvros al (MG) et Baseado em Fluxo (MBF) Baseado a Tc , ,62 22 Tc ,88 8 Tc ,84 5 Tc ,4 68 Tc , 35 Tc ,8 2 Tc ,5 76 Tc ,9 44 Tc ,4 52 Tc ,32 37 Istâcia Tabela 6.3 Resultados dos testes tc3 Gamvros Al (MG) et. Baseado em Fluxo (MBF) Baseado a Te ,28 78 Te ,8 63 Te ,4 264 Te , Te ,7 36 9,5 97 Te ,56 36,34 79 Te ,9 233 Te ,77 4 Te ,44 36,68 Te , Tabela 6.4 Resultados dos testes te3 Para a quita e a sexta bateria de testes oram utilizadas as istâcias tc4 e te4 respectivamete, também utilizado acilidades com s, 3 e e atores multiplicativos de, 2 e 6, respectivamete. Os resultados dos testes da quita bateria são apresetados a Tabela 6.5. Esta tabela, assim como a Tabela 6.6, só apresetam os resultados dos dois ovos modelos desevolvidos, pois ão oi possível aplicar o modelo proposto em [2] a ehuma das istâcias, devido a problemas de alta de memória. Além disso, para algumas istâcias ão oi possível ecotrar o valor da solução ótima. Na Tabela 6.5 podemos observar que, mais uma vez, o modelo MBC coverge mais rapidamete para a solução ótima do que o modelo MBF, sedo que o modelo MBC só ão ecotra a solução ótima o tempo determiado para uma istâcia (Tc4-4), apresetado um gap de 3,6%, equato o modelo MBF o gap de meor valor

6 é de 7,28% para a istâcia (Tc4-2). Istâcia Baseado em Fluxo (MBF) Baseado a Tc4-36 6, Tc ,28 98 Tc ,85 23 Tc ,8 36 3,6 Tc4-5 36, Tc4-6 36, Tc ,67 9 Tc , Tc ,79 28 Tc4-36 5,36 85 Tabela 6.5 Resultados dos testes tc4 Como pode ser observado a Tabela 6.5, o modelo MBC cosegue ecotrar os gaps mais baixos e aida oi capaz de ecotrar a solução ótima para uma das istâcias (Te4-3) ates do tempo estabelecido. Já o modelo MBF, apesar de ser capaz de ecotrar soluções viáveis para todas as istâcias, apreseta um gap superior ao modelo MBC em todas as istâcias. Istâcia Baseado em Fluxo (MBF) Baseado a Te , ,5 Te ,3 36 8,95 Te , Te4-4 36, ,67 Te , ,57 Te , ,28 Te ,9 36 5,44 Te ,5 36 6,68 Te , ,7 Te4-36 3,5 36 9,5 Para trabalhos uturos sugere-se a costrução de modelos heurísticos para a resolução do PAGMCN, já que com o crescimeto do úmero de variáveis, mesmo o modelo mais eiciete já começa a ter diiculdades para ecotrar a solução ótima. Reerêcias []. R. Esau, K. C. Williams, O teleprocessig system desig. Part II A method or aproximatig the optimal etwors. IBM Syst., J. 5:42-47, 966. [2] I. Gamvros, B.. Golde, S. Raghava, A evolutioary approach or the multi-level capacitated miimum spaig tree. Telecommuicatios Networ Desig ad Maagemet, Aadaligam e Raghava (editores), Kluwer Academic Press, 23. (Dispoível em: ghava.html. Acesso em /6/24.) [3] B. Gavish, Topological desig o cetralized computer etwors: Formulatios ad algorithms. Networs, 2: , 982. [4] B. Gavish, Formulatios ad algorithms or the capacitated miimal directed tree problem. Joural o the ACM, 3:8-32, 983. [5]. Gouveia, A 2 ormulatio or the capacitated miimal spaig tree problem. Operatios Research, 4:3-4, 995. [6]. Gouveia, P. Martis, The capacitated miimal spaig tree problem: A experimet with a hopidexed model. Aals o Operatios Research, 86:27-294, 999. [7]. Gouveia, P. Martis, A hierarchy o hop-idexed models or the capacitated miimum spaig tree problem. Networs, 35:-6, 2. Tabela 6.6 Resultados dos testes tc4 7. Coclusões e Sugestões Este trabalho apreseta dois ovos modelos para o Problema da Árvore Geradora Míima Capacitada em Níveis (PAGMCN). Os modelos propostos, deomiados MBF e MBC, são comparados com o modelo de Gamvros et al. (22) e, claramete, apresetam um desempeho bem superior a este último, sedo o modelo MBC aquele que apreseta os melhores resultados em todos os testes realizados.