Prova I - Modelagem e Simulação - 28/04/2005

Transcrição

1 nome: 1)[.] Escreva um programa na lnguagem que preferr, para montar as matrzes A e B e o vetor W do Método Combnado de Mínmos Quadrados para o segunte modelo matemátco: ((x x )cosθ + (y y )sen θ) a ((x x )sen θ (y y )cosθ) + b = 1 ) [.] Faça um programa na lnguagem que preferr que calcule, dado uma matrz de para n estados da natureza e m alternatvas, os s Esperados segundo os crtéros de Maxmn, Máxma Verossmlhança e Bayes. 3) [.] O setor responsável pela gerênca do estoque de uma empresa precsa assnar um contrato de compra de produtos para repor o estoque com 1 mês de antecedênca da data de entrega dos produtos. Devdo ao comportamento aleatóro da demanda, não é possível determnar com precsão o estado do estoque após um mês de operação da empresa. Porém, a partr de dados hstórcos fo possível estmar que exste uma chance de 7% do estoque estar vazo após um mês de operação. Os peddos de compra só podem ser fetos em lotes com 1 undades ou undades. Caso o estoque após um mês estea vazo a empresa ganha $, se tver comprado um lote com 1 undades, ganha $3, se tver comprado um lote com undades e perde $1, se não tver comprado. Caso o estoque após um mês não estea vazo a empresa perde $, se tver comprado um lote com 1 undades, perde $5, se tver comprado um lote com undades e não ganha mas também não perde nada se não tver comprado. Um consultor pode ser contrato para opnar sobre o problema a um custo de $5,. Este consultor fornece um parecer, em função da demanda, sobre os estados do estoque após um mês de operação que são: alto, médo e baxo. Este consultor anda fornece o seu índce de acerto em suas prevsões. Quando o estoque está vazo após um mês de operação, a chance de o consultor prever o estado alto é 5% e o estado baxo é 8%. Quando o estoque não está vazo após um mês de operação, a chance de o consultor prever o estado alto é 65% e o estado médo é 5%. Determne a polítca de compra que a empresa deve tomar em função do parecer do consultor utlzando o crtéro de Bayes. 4)[.] Determne se é vável pagar o consultor para a questão 3. 5)[.] Mostre que o crtéro de Mínmos Quadrados fornece como estmatva do valor esperado de uma medda a méda artmétca das observações da medda. ( a B = b ) P A = = n ( = a B = b ) P A P( B = b A = a ).P ( A = a ) P( B = b A = ak ).P ( A = a k ) k= 1 P = ( A = a, B = b ) P( B = b ) Boa Prova Fernando Noguera 1

2 Solução 1)[.] códgo em Matlab 7. X=[xc yc a b teta];%parâmetros aproxmados %x e y são vetores com as observações whle flag==1 teracao=teracao+1 q1=[(x-x(1))*cos(x(5))-(y-x())*sn(x(5))]; q=[(x-x(1))*sn(x(5))+(y-x())*cos(x(5))]; q3=[-(x-x(1))*sn(x(5))-(y-x())*cos(x(5))]; A1=[-*cos(X(5))*q1/X(3)^ - *sn(x(5))*q/x(4)^]; A=[*sn(X(5))*q1/X(3)^ - *cos(x(5))*q/x(4)^]; A3=[-*q1.^/X(3)^3]; A4=[-*q.^/X(4)^3]; A5=[(*q1.*q3)/X(3)^ + (*q.*q1)/x(4)^]; A=[A1 A A3 A4 A5]; B=zeros(n,*n); for =1:n =*-1; B1=*cos(X(5))*q1()/X(3)^ + *sn(x(5))*q()/x(4)^; B=-*sn(X(5))*q1()/X(3)^ + *cos(x(5))*q()/x(4)^; B(,:+1)=[B1 B]; end W=[q1.^/X(3)^ + q.^/x(4)^ - 1]; )[.] Códgo em C++ Bulder 5. #nclude <vcl.h> #pragma hdrstop #nclude <stdo.h> #nclude <o.h> #nclude <excepton> #nclude <ostream> #nclude <math.h> #nclude "Unt1.h" #pragma package(smart_nt) #pragma resource "*.dfm" TForm1 *Form1; fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner) : TForm(Owner) { } vod fastcall TForm1::Button1Clck(TObect *Sender) { FILE *n; AnsStrng nametxt; double **Tabela,num,menor,maxmn,maxver,bayes,maxpayver,soma,maxpaybayes; nt,,m,n,colmaxver; f (OpenDalog1->Execute()){ nametxt=opendalog1->flename; n=fopen(nametxt.c_str(),"rb"); Form1->Update();} Fernando Noguera

3 //le o "header" do arquvo ->prmera lnha do arquvo deve ser o numero de lnhas e colunas da matrz fscanf(n,"%d",&m); fscanf(n,"%d",&n); Label1->Capton=m; //numero de lnhas Label->Capton=n; //numero de colunas //alocção dnâmca try{ Tabela=new double*[m]; for(nt =;<m;++) Tabela[]=new double[n]; } catch(std::bad_alloc){} //monta a matrz for(=;<m;++){ for(=;<n;++){ fscanf(n,"%lf",&num); Tabela[][]=num;}} //acha Maxmn //m-1 porque ultma lnha são as probablddes dos estados da natureza maxmn=tabela[][];//pega o prmero elemento da tabela para ncar for(=;<m-1;++){ menor=tabela[][];//pega o prmero elemento da lnha da tabela para ncar for(=;<n;++){ f(tabela[][]<menor){ menor=tabela[][];} f(menor>=maxmn){ maxmn=menor;}}} //acha Maxma Verossmlhança maxver=tabela[m-1][];//pega o prmero elemento da ultma lnha da tabela para ncar for(=;<n;++){ f(tabela[m-1][]>=maxver){ maxver=tabela[m-1][]; colmaxver=;}} maxpayver=tabela[][colmaxver];//pega o prmero elemento da coluna maxver da tabela para ncar for(=;<m-1;++){ f(tabela[][colmaxver]>maxpayver){ maxpayver=tabela[][colmaxver];}} //acha Bayes for(=;<m;++){ soma=; for(=;<n;++){ soma=tabela[][]*tabela[m-1][]+soma;} f(==){maxpaybayes=soma;} f(soma>=maxpaybayes){maxpaybayes=soma;}} Label3->Capton=maxmn; Label4->Capton=maxpayver; Label5->Capton=maxpaybayes; fclose(n); } Fernando Noguera 3

4 3)[.] Smbologa C = Cheo (não vazo) V = Vazo A = Alto M = Médo B = Baxo Alternatva C V E() Comprar -1-7 Comprar 1-8 Máxmo Comprar Probabldade à Pror.3.7 Fernando Noguera 4

5 Se consultor opnar A Alternatva C V E() - 5 Comprar Máxmo Comprar Comprar Probabldade à Posteror Se consultor opnar M Alternatva C V E() - 5 Comprar Comprar Máxmo Comprar Probabldade à Posteror Se consultor opnar B Alternatva C V E() - 5 Comprar Comprar Comprar Máxmo Probabldade à Posteror Solução Se consultor opnar A, comprar. Se consultor opnar M, comprar 1. Se consultor opnar B, comprar. 4)[.] EVE =.3*(-6.53) +.18*(-1.64) +.59*(.9) = =.54 > é vável pagar o consultor. ou EVE =.3*(5-6.53) +.18*(5-1.64) +.59*(5+.9) = = 7.54 > 5 é vável pagar o consultor. 5)[.] Desgnando por x o valor adotado como estmatva da grandeza sobre a qual foram executadas n observações l repetdas em condções supostamente smlares, os resíduos v são: x l = v = 1,,..., n Admtndo que as observações seam não-correlaconadas, a matrz P será dagonal e admtndo anda que tas observações ofereçam o mesmo grau de confança, a matrz P degenera-se para a matrz dentdade I. Aplcando o Método dos Mínmos Quadrados (MMQ): t t ( x l ) f = V PV = V V = = mn Fernando Noguera 5

6 Igualando a dervada de f em relação a x a zero, fca: ( x l ) df = = dx Que pode ser escrto como: ( x l ) + ( x l ) ( x l ) 1 n l = x = n Fernando Noguera 6