1. Introdução: 1.3 Valor Absoluto: Seja a R : a d a,0 distância do ponto a até a origem. a b d a,b distância entre a e b. ,se a b,se b a. a b b a.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS - UFPEL INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA CÁLCULO A SEMESTRE 09/0 Profa.: Rejane Pergher. Introdução:. Números Reais R Conjuntos numéricos: - Números Naturais: N,,,... - Números Inteiros: Z...,,, 0,,,... - Números Racionais: Q \ m n, com m, n Z - Números Irracionais: Q. Não podem ser escritos em termos de uma fração. E.:,e,,.... Intervalos: - Intervalo aberto limitado: a, b \a b. Representação gráfica: - Intervalo fechado limitado: a, b \a b.representação gráfica: - Intervalo semi-aberto ou semi-fechado limitado: a,b \a b a,b \a b - Intervalo aberto ilimitado: a, \ a, b \ b - Intervalo fechado ilimitado: a, \ a, b \ b. Valor Absoluto: Seja a R : a a,se a 0 a,se a 0 a d a,0 distância do ponto a até a origem. a b d a,b distância entre a e b. a b a b b a,se a b,se b a Propriedades: ) a a a ) a a ou a E.:, ou seja, d, 0. d, 0, mas d, 0 também! Logo,.. Desigualdades: i) a b b aépositivo ii) a b a b é positivo iii) a b a b ou a b iv) a b a b ou a b

2 E.: Determine todos os intervalos que satisfaçam as desigualdades abaio. Faça a representação gráfica: i) 7 9 Resp.: /, 6/ ii) 7 Resp.: /7, 6/7 iii) 7 Resp.: /, / iv) 7 Resp.:, 9, Desigualdades do Grau: Es.: ) 0 Resp.:,, ) 0 Resp.:, ) 0 Resp.:, 0, ) 6 0 Resp.:, LISTA DE EXERCÍCIOS : Resolva as desigualdades e eprima a solução em termos de intervalos: ou ou 0. ou Respostas:. (,. [9,9). (-,). (-,,. (-, /, 6. (-.0,-.99) 7. (-9/,-/) 8. [/,9/] 9. (-,/, 0. (-, 7/7 /7,. [-,). (, / 7/6,. [7,. (-, 6,. (-,0] 6. [-,0] 7. (,) 8.,, 9.,, 0.,,.(-,0]. 7/,., / 7/,.,.[-,]. FUNÇÕES:. O que é uma função? Podemos definir função da seguinte maneira: Uma grandeza é uma função de outra grandeza, se a cada valor de estiver associado um único valor de. Dizemos que é a variável dependente e é a variável independente. Escrevemos f, onde f é o nome da função. O domínio da função é o conjunto dos possíveis valores da variável independente e a imagem é o conjunto

3 correspondente de valores da variável dependente. Uma função pode ser representada por tabelas, gráficos e fórmulas. Eemplo: No verão de 990, a temperatura, no estado do Arizona, ficou alta durante todo o tempo (tão alta, de fato, que algumas empresas aéreas decidiram que talvez não fosse seguro aterrissar seus aviões lá). As altas diárias de temperatura na cidade de Phoeni, de 9 a 9 de junho são dadas na tabela abaio: Data Temperatura o C Tabela. Temperatura em Phoeni, Arizona, junho de 990 Trata-se de uma função: cada data tem uma única temperatura mais alta, associada a ela.. Gráfico de uma função: O gráfico da função f em um plano é o conjunto de pontos,, onde pertence ao domínio de f e é o valor correspondente f de f. f() Tipos de Funções: a) Funções polinomiais: ) Função Linear: f m b onde é a variável independente e m e b são constantes (números reais). A constante m é a inclinação da reta determinada por f. b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eio vertical. zero ou raiz da função é a abscissa do ponto em que a reta corta o eio horizontal. Observe que: Se m 0, a função linear f b é uma função constante. Desenhe seu gráfico! Se b 0, então temos f m. Trata-se de um conjunto de retas com inclinação m, todas passando na origem 0, 0. Por eemplo:,,,,,. Coeficiente Angular de uma reta: O coeficiente angular ou inclinação de uma reta não vertical pode ser determinado, se conhecermos dois de seus pontos, a

4 partir da epressão: m Equação de uma reta de coeficiente angular conhecido: m Eemplo : A equação da reta que passa pelo ponto, e tem coeficiente angular é? Resposta:. Eemplo : Determine a equação da reta que passa pelos pontos, e,. Resposta: 6. Eemplo : Dada a função f, esboce o gráfico da função, mostrando os interceptos vertical e horizontal. Resposta: Eemplo : A média de pontos obtidos num teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendo constantemente nos últimos anos. Em 000, a média foi de 8 pontos, enquanto que em 00, a média foi de pontos. a) Defina a função do valor da média em relação ao tempo. Resposta: 6 8 b) Se a tendência atual se mantiver, qual foi a média de pontos obtida em 00? Resposta: pontos c) Em que ano, a média é de pontos, nestas condições? Resposta: Em 008. ) Função Quadrática: Uma função quadrática é da forma Eemplo : Esboce o gráfico de f. Resposta: a b c Observação: Esta curva é chamada parábola. Uma parábola pode ter a concavidade voltada para cima (a 0) ou concavidade voltada para baio (a 0). Elementos da Parábola: Raízes: Calcula-se por Báskhara (são os valores onde a parábola intercepta o eio ). b b ac a Vértice: é onde se encontra o valor máimo (se a 0) ou o valor mínimo (se a 0) da função. v b a e

5 v a b ac a Eemplo : Esboce o gráfico de f, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem. Eemplo : Esboce o gráfico de f 6, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem. Resposta: Eemplo : Eemplo : Eemplo : A temperatura de uma certa região em função do tempo é C 0,,8 graus centígrados. a) Qual era a temperatura às horas? Resposta:,8 C. b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 9 e horas? Resposta: Diminuiu 7,0 C. ) Função Cúbica: Eemplo : Esboce o gráfico de f. Resposta: f a b c d Eemplo : Suponha que o custo total, em reais, para fabricar q unidades de um certo produto seja dado pela função: C q 7 q q q 0. a) Calcule o custo de fabricação de 0 unidades. Resposta: R$.06,0. b) Calcule o custo de fabricação da 0 a. unidade. Resposta: R$ 6,6. LISTA DE EXERCÍCIOS : ) Um tomate é jogado verticalmente para o alto, no instante t 0, com velocidade de metros por segundo. Sua altura, acima do solo, no instante t (em segundos), é dada pela equação t t. Faça uma análise da função quadrática definida por esta equação, isto é: esboce um gráfico da posição versus tempo; determine os zeros desta função e interprete o que representam; determine as coordenadas do ponto mais alto da curva e interprete o que este ponto representa; responda: durante quanto tempo ocorreu o movimento do tomate? ) Considerando a função polinomial definida por: f 7 8,construa seu gráfico e determine os pontos de intersecção com os eios horizontal e vertical.

6 ) Esboce os gráficos das funções e determine seus zeros: (a) f (b) g (c) h 0 (d) l ) Uma caia retangular de base quadrada, tem volume. Epresse a área A, de sua superfície total, como função da aresta, de sua base. Lembre: o volume de uma caia retangular pode ser obtido pelo produto da área de sua base pela altura a área da superfície total de uma caia retangular é obtida pela soma das áreas de todas as suas faces. ) Epresse a área de um quadrado como função de seu perímetro. 6) Considere o gráfico abaio para responder as perguntas a seguir (a) Quantos zeros tem a função? Dê suas localizações aproimadas. (b) Dê valores aproimados para f e f. (c) A função é crescente ou decrescente na vizinhança de? E na vizinhança de? (d) O gráfico é côncavo para cima ou para baio na vizinhança de? E na vizinhança de? (e) Dê os intervalos (aproimados) onde a função é crescente. 7) Se f, encontre: (a) f t (b) f t (c) f (d) f t (e) f t 8) Esboce o gráfico de uma função definida para 0 com as seguintes propriedades. (Eistem várias respostas possíveis.) (a) f 0. (b) f é crescente para 0. (c) f é decrescente para. (d) f é crescente para. (e) f quando. 9) Relacione as seguintes fórmulas com os gráficos apresentados a seguir: ( ) ( ) ( ) 8 9 ( ) ( ) ( ) 6 6

7 () () () () () (6) 0) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 0,00 por dia e centavos o quilômetro rodado. Os carros do seu concorrente estão a R$ 0,00 por dia e 0 centavos o quilômetro rodado. (a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da distância percorrida. (b) No mesmo sistema de eios, esboce os gráficos de ambas as funções. (c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato? b) Função Módulo: Eemplo : Esboce o gráfico de f. Eemplo : Esboce o gráfico de f. Eemplo : Esboce o gráfico de f. Respostas: f a b Eemplo : Eemplo : Eemplo : c) Função Racional: 7

8 Eemplo : Esboce o gráfico de f. Eemplo : Esboce o gráfico de f. Eemplo : Esboce o gráfico de f. Respostas: f p q Eemplo : Eemplo : Eemplo : Eemplo : Supõe-se que a população de uma certa comunidade, daqui a anos, será de P 0 milhares. a) Daqui a 0 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: 9,8 mil habitantes. b) De quanto a população crescerá durante o 0 o ano? Resposta: 0 habitantes. c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: Crescerá até 0 mil habitantes. d) Função Raiz Quadrada: Eemplo : Esboce o gráfico da função f. Eemplo : Esboce o gráfico da função f. Respostas: f a b ) 0 0 ) e) Funções Trigonométricas: Os primeiros estudos sobre Trigonometria tiveram origem nas relações entre lados e ângulos num triângulo e datam de muito tempo.(trigonon : triângulo e metria : medição). Nosso objetivo principal, agora, é o estudo de funções trigonométricas. Podemos definí-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou com repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: o nível da água em uma maré, a pressão sangüinea em um coração, uma corrente alternada, a posição das moléculas de ar transmitindo uma nota musical, todos flutuam com regularidade e podem ser representados por funções trigonométricas. Medida de arcos de circunferência 8

9 Usamos, basicamente, duas unidades de medidas para arcos de circunferência: Grau Um grau corresponde a 60 da circunferência onde está o arco a ser medido. Radiano Um radiano corresponde à medida do arco de comprimento igual ao raio da circunferência onde está o arco a ser medido. É importante lembrar que o arco de uma volta mede 60 ou rad,. Responda: Quantos graus correspondem, aproimadamente, a um arco de rad? Definição : Considere um ângulo t, medido em radianos, num círculo de equação. Seu lado terminal intercepta o círculo num ponto P,. O seno de t é definido como sendo a ordenada do ponto P e o co-seno de t é definido como sendo a abscissa do ponto P. Isto é: sent e cos t. Sobre o círculo abaio, de raio, marque um ponto P e identifique o seno e o co seno do ângulo que ele representa, em cada um dos seguintes casos: a) P o quadrante b) P o quadrante c) P o quadrante d) P o quadrante Observe que à medida que o ponto P movimenta-se sobre o círculo, os valores de sent e cos t oscilam entre e. Como conseqüência imediata da definição, temos que; sen t cos t. Veja, no mesmo sistema de eios cartesianos, os gráficos das funções f e g, definidas, respectivamente, por f t sent e g t cos t. Identifique cada uma delas

10 A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máimo e mínimo. O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo. A amplitude de cos t e sent é e o período é. Definição: Consideremos um número qualquer t, com cos t 0. A função tangente é definida por tant cos sint. t Observe o gráfico da função f, definida por f t tant LISTA DE EXERCÍCIOS ) Relacione cada gráfico com a função que ele representa: ( ) f sen ( ) g sen ( ) h sen ( ) l sen ( ) m sen ( 6 ) n sen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

11 Qual a amplitude e o período de cada uma das funções? ) Idem para: ( ) F cos ( ) G cos ( ) H cos ( ) L cos ( ) M cos ( 6 ) N cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Qual a diferença entre sen, sen e sen sen? Apresente eemplos, justificando. ( ) ) Localize, no círculo trigonométrico, o ângulo de e determine o seno, o co-seno e a tangente do mesmo. ) Complete, determinando uma fórmula para descrever oscilações do tipo: f g f) Função eponencial: Definição: é uma função real, com base a positiva e diferente de, definida por

12 f a Eemplo : Esboce o gráfico de f. Eemplo : Esboce o gráfico de f. Respostas: ) ) Eemplo : Um determinado veículo automotivo tem seu valor depreciado de tal forma que após t anos de utilização porde ser descrito pela função V t. 000e 0,08t 600. a) Qual era o preço do veículo novo? Resposta:.600 b) Quanto o veículo valerá após 0 anos? Resposta: 7.9,9 Eemplo : A função eponencial natural f e é um caso particular da função eponencial de base a qualquer. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de, inclusive. Esboce o gráfico. Resposta: Eemplo : Se o custo anual de manutenção de um computador está relacionado com o seu uso mensal médio (em centenas de horas) pela equação e 0,0, qual é o custo anual de manutenção, em reais para o uso mensal médio de 00 horas? Resposta: R$ 0.980,6 g) Função Logarítmica: Definição: A função logarítmica de base a, positiva e diferente de, é uma função real, definida por f log a Eemplo : Esboce o gráfico da função f log. Eemplo : Esboce o gráfico da função f log. Eemplo : A função logarítmica natural f ln é um caso particular da função logarítmica de base a qualquer, porque ln log e. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de, inclusive. Esboce o gráfico. Respostas:

13 0 - ) 0 - ) Propriedades: ) ln A.B lna lnb ) ln A B lna lnb ) lna r r lna ) Mudança de base: log a b logb loga lna lnb Eemplo : Uma máquina tem depreciação eponencial dada pela fórmula V V 0 e at. Sabendo que, em 99, seu valor era de R$.00,00 e em 00 era de R$ 9.800, calcule seu valor em 997. Resposta: R$.9,00 h) Função par: Eemplos: f f ) Função módulo: f ) Função quadrática: f i) Função Ímpar: Eemplos: f f

14 ) Função identidade: f ) Função cúbica: f j) Função periódica: f f T f T... Eemplo: As funções trigonométricas: função seno e função cosseno são periódicas. k) Função definida por partes: Há funções que são definidas por mais de uma epressão. Eemplo: Esboce o gráfico da função: f se 0 se 0 se Eemplo: A função valor absoluto se 0 se 0 é uma função definida por duas sentenças. LISTA DE EXERCÍCIOS 0 se 0. A função degrau de Heaviside, H, é definida por H. Construa seu gráfico. se 0. Considerando a função H, definida acima, determine a função H e construa seu gráfico.

15 0 se se. Represente graficamente a função g, definida por g se se se a) g b) g c) g, d) g e) g e determine:. Encontre uma função que se ajuste ao gráfico apresentado a seguir: Construa o gráfico da função h, definida por h e responda às seguintes questões: a) Quais os zeros de h? b) Quais os valores de que tornam h um número positivo? c) Quais os valores de que tornam h um número negativo? m) Função Composta: Resposta: Dadas duas funções f e g, a função composta de f e g,denotada por f gédefinida por f g f g Eemplo : Dadas as funções f e g, encontre a composição de funções f g. Resposta: f g f Eemplo : A análise das condições da água de uma pequena praia indica que o nível médio diário de substâncias poluentes presentes no local será de Q p 0, 6p 8, unidades de volume, quando a população for p milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população seja de p t 6 0,t mil habitantes. a) Epresse o nível de substâncias poluentes em função do tempo. Resposta: Q t 0,06t b) Qual será o nível de substâncias poluentes daqui a anos? Resposta:,7 unidades de volume c) Em quanto tempo, aproimadamente, o número de substâncias poluentes será de unidades de volume? Resposta: 7 anos. n) Função Inversa:

16 Eemplo : Encontre a função inversa de f. Solução: Escrevendo, então reslvemos a equação para, /. Finalmente, trocamos por temos: /. Observe que o grafico da função inversa é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta Eemplo : As funções eponencial e e logaritmica ln são inversas Eemplo : Encontre a função inversa de f. Solução: escrevendo, então reslvemos a equação para, por, obtemos.. Finalmente, trocamos LISTA DE EXERCÍCIOS ) Construa o gráfico das funções: a) f / b)f c)f d)f 8 7 e)f f)f ln Respostas: 6

17 a) b) c) d) e) f) ) Um ciclista, com velocidade constante, percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico: 6 Em quanto tempo percorrerá Km? Resposta: 6 min. ) Escreva a função do o grau representada pelo gráfico: - 0 Resposta:f - ) O custo para a produção de unidades de certo produto é dado por C Calcule o valor do custo mínimo. Resposta: C 00. ) Dada a função f, construa o gráfico e dê o conjunto imagem de f. Resposta: Im f \. 6) Determine o domínio, a imagem, o gráfico e o período das funções: a) sin Resp.:D, Im,, período. b) sin Resp.:D, Im,, período. c) sin Resp.:D, Im,,período /. d) cos Resp.:D, Im,,período. e) cos / Resp.:D, Im,,período. 7

18 f) cos Resp.:D, Im,,período. 7) Encontre uma fórmula para a função inversa. a) f 0, b) f e, c) f ln, d). Resp.: a) f 0. b) f ln c) f e, d) f.. LIMITES O conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados. Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido mas que jamais pode ser ultrapassado. Eemplos: a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque eiste um Limite de elasticidade da borracha. b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o Limite de carga que este suporta. c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem estabelecer um Limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita. É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se aproimar tanto quanto desejar. Iniciaremos por estudá-los de uma forma intuitiva. Limites descrevem o que acontece com uma função f à medida que sua variável se aproima de um número particular a. Para ilustrar este conceito, vejamos alguns eemplos: Eemplo : Suponha que você quer saber o que acontece com a função f à medida que se aproima de. Embora f não esteja definida em, você pode obter uma boa idéia da situação avaliando f em valores de cada vez mais próimos de, tanto à esquerda quanto à direita. Isto pode ser feito através de uma tabela de valores f donde podemos concluir que, para valores próimos de, à sua esquerda, f se aproima do número e escrevemos: lim f, lendo: o limite de f quando tende a pela esquerda é De forma análoga, investigamos o limite à direita. Vejamos: f donde podemos concluir que, para valores próimos de, à sua direita, f se aproima também do número e escrevemos: lim f, lendo: o limite de f quando tende a pela direita é ". 8

19 Concluimos que: Graficamente, temos: lim f Observe que o gráfico da função f é uma reta mas com um buraco no ponto (,). No caso da função f, a qual concluimos que lim f tabelando valores à esquerda e à direita de, este também pode ser determinado de forma algébrica, ou seja, lim f lim lim lim Propriedades: ) O limite é único. ) Se lim a f L e lim a g M eistem e c é um número real qualquer, então: a) lim a f g lim a f lim a g L M b) lim a c. f clim a f cl c) lim a f g lim a f lim a g LM f lim d) lim a f a g lim a g M L, para M 0 e) lim a f n lim a f n L n f) lim a c c LIMITES LATERAIS: - Limite pela direita: Notação: - Limite pela esquerda: Notação: lim f a lim a f Teorema : Se os limites à direita e à esquerda são diferentes a lim f A e a lim f B, então o limite lim a f não eiste. 9

20 Notamos que no eemplo obtivemos para a função f, os limites laterais iguais, isto é, lim f lim f e por este motivo afirmamos que lim f. Nem sempre isso ocorre. Vejamos um segundo eemplo. se Eemplo : Dada a função f, cujo gráfico está representado a seguir: 6 se 8 6 Temos: logo, conclui-se que Eemplo : lim f e lim f 6 lim f, pois os limites laterais são distintos. - Dada a função f, vamos verificar o comportamento da função quando tomamos valores próimos de 0. Embora f não esteja definida em 0, pode-se obter uma idéia da situação avaliando f em valores de cada vez mais próimos de 0, tanto à esquerda quanto à direita, como foi feito no eemplo, através de uma tabela, f donde podemos concluir que, para valores próimos de 0, à sua esquerda, f decresce indefinidamente (sem limitação) e escrevemos: De forma análoga, investigamos o limite à direita. lim f, 0 0

21 f donde podemos concluir que, para valores próimos de 0, a sua direita, f cresce indefinidamente (sem limitação) e escrevemos: lim f 0 Concluimos então que lim f, usando o argumento de que os limites laterais são distintos. 0 O gráfico da função f está abaio representado OBS.: Devemos enfatizar que os símbolos e, como usados aqui, descrevem uma maneira particular na qual o limite não eiste; eles não são limites numéricos e, conseqüentemente, não podem ser manipulados usando regras de álgebra. Por eemplo, não é correto escrever 0. OBS.: Se lim a f, onde a não é ponto crítico ( a, por eemplo) ou ponto de descontinuidade, então o limite eiste e é 0 f a. Caso contrário, devemos calcular os limites laterais. Eemplo: Determine, se eistir, o limite de: a) lim : b) lim 9 : c) Calcule lim 0 f onde f, se 0, se 0 Teorema : (Limite no infinito) Se n N, então lim n 0 Teorema : (Limite Infinito) Se n N, então lim 0 n e lim 0 n, se n é par, se n é ímpar OBS.: Se n é par, lim 0 n lim 0 n, então lim 0 n eiste.

22 Se n é ímpar, lim 0 n lim 0 n, então lim 0 n não eiste. 0 Eemplo.: - - Epressões Indeterminadas: 0 0,,,00, 0, LISTA DE EXERCÍCIOS 6: ) Eplique com suas palavras o significado da equação É possível diante da equação anterior que f? Eplique. ) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se eistir. Se não eistir, eplique por quê. ) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se eistir. Se não eistir, eplique por quê.

23 ) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se eistir. Se não eistir, eplique por quê. ) Dado que Encontre se eistir, o limite. Se não eistir, eplique por quê. 6) Calcule os limites: ) lim 8 Resp.:

24 ) lim ) lim 9 ) lim ) lim 6) lim 9 Resp.: 0 Resp.: 6 Resp.: / Resp.: 9 Resp.: 6 7) lim 7) Calcule os limites: )lim 7 )lim t t t 6 )lim 8r r r )lim )lim 0 6)lim 0 Resp.: )lim t t t t t ) lim ) lim, lim,lim )lim 0 7 6)lim t 0 t 9 t 7) lim 7)lim 0 8)lim 0 8)lim 9)lim 0)lim 0 ) lim Respostas do eercício 7: ) 9)0 7) 0 ) 0) 8) ) ) 9 9) ) ) 0) ) 6) 7)- ) 8) 6) )0 ) 9)lim ),, ),, 0)lim h h 0 h )lim )lim 0, lim 0,lim 0 Continuidade: Um grupo importante de funções de uma variável real é o das funções contínuas, isto é, funções que têm limite, em cada ponto de seu domínio, igual ao valor da função no ponto. O gráfico uma função contínua não tem quebras, saltos ou furos, ou seja, pode ser traçado sem levantar a ponta do lápis do papel.

25 Definição: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a, se as seguintes condições forem satisfeitas: i) f é definida no ponto a ii) lim a f eiste iii) lim a f f a Se f não satisfizer alguma destas condições, dizemos que a função f é descontínua em a ou que f tem uma descontinuidade no ponto a. Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo, se f for contínua em todos os pontos desse intervalo. E.: f é contínua em? E.: f, se 0, se 0 é contínua em 0? - - E.: Em qual dos seguintes intervalos f é contínua? a) [, b) (-, c) (, d) [, ] Teorema: Todos os polinômios são contínuos para todo valor de. Uma função racional é contínua em qualquer ponto onde ela é definida, isto é, em todos os pontos, eceto naqueles para os quais um ou mais de seus denominadores se anulam. E.: A função f éfunção contínua para todo Assíntota Vertical: A linha reta vertical a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida:

26 i) a lim f ii) a lim f iii) a lim f iv) a lim f Assíntota Horizontal: A linha reta horizontal b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: lim f b ou lim f b. Traçado de Gráficos de funções racionais: o Passo: Se a função racional é dada como uma soma de quociente de polinômios, reunimos os termos num único quociente de polinômios, tomando o mínimo múltiplo comum. o Passo: Determinar lim f e lim f. Se esses limites são um número finito L, então L é uma assíntota horizontal. o Passo: Determinar os valores de para os quais o numerador da função é zero. São os pontos onde o gráfico intercepta o eio dos. o Passo: Determinar os valores de para os quais o denominador da função é zero, que é onde a função tende a ou, determinando uma assíntota vertical. o Passo: Os valores de encontrados no o e o passos são os pontos onde a função pode mudar de sinal. Esses pontos determinam os intervalos. Determinamos, então, se a função é positiva ou negativa em cada um desses intervalos, calculando seu valor num ponto de cada intervalo. E.: Ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e trace este gráfico: Respostas: ) f ) ) f ) ) 6) 9 ) - - ) ) ) ) ) LISTA DE EXERCÍCIOS 7: 6

27 ) Dados os gráficos de f() e g() abaio, estabeleça os números nos quais as funções são descontínuas e eplique por quê. f() g() ) Faça o gráfico e determine, se eistirem, os valores de nos quais a função f é descontínua:,se a)f 0,se 0,se b)f c)f 0,se,se 0,se d)f,se,se e)f,se,se f)f 6,se 6,se 6,se g)f,se 0,se h)f,se 0,se 0 i)f,se 0,se Gráficos do eercício : 7

28 a) b) c) d) - - e) - - f) g) h) i) ) Faça o gráfico e determine, se eistirem, os valores de, nos quais a função é descontínua: a) f, se, se, se b) f,se,se c) f, se, se, se d) g, se, se, se e) g, se 0, se f) f,se,se g) g Gráficos do eercício : h) i) 8

29 0 0 a) b) - - c) d) e) f) g) h) - i) -. Derivadas Taa de variação média Sejam e quantidades variáveis e suponha que depende de, tal que f, onde f é uma função conveniente. Para calcularmos a taa de variação de por unidade de variação de naturalmente começaremos por considerar uma variação em, digamos. Esta variação em provoca uma variação em, digamos. Desta forma, podemos definir taa de variação média como: T vm Eemplo : A tabela abaio dá a população P dos EUA (em milhões de habitantes) no século XIX, a intervalos t de 0 anos , 7, 9, 6, 9 7,,, 8,6 0, 6,9 76,0 a) Qual a taa de variação média da população dos EUA no período que vai de 800 a 80? b) Qual a taa de variação média da população dos EUA no período que vai de 80 a 80? Velocidade média Por eemplo, se numa viagem você dirigir 0km em h, então, dividindo 0km por h, conclui-se que você dirigiu, em média, 0km em h, isto é 0km/h. Isto não lhe indica, por eemplo, que após h de viagem você tenha percorrido eatamente 0km. Você pode ter parado num sinal de trânsito ou pode ter viajado a km/h! Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos descrever a distância percorrida por um objeto como uma função do tempo. Isto é, para cada valor do tempo t podemos associar um número d que representa a distância percorrida pelo objeto. 9

30 Por eemplo, d t t é uma função que descreve o movimento de um objeto que se move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Assim, se t for medido em segundos (seg) e d em metros (m), então, após seg, o objeto está a m (d. ) ao longo da linha de movimento; seg mais tarde, isto é, quandot seg, o objeto está a m ao longo da linha de movimento (d. ). A velocidade média, V m, de um objeto em movimento é a razão (ou taa) entre a distância percorrida pelo objeto e o tempo gasto para percorrer esta distância. No eemplo dado, no intervalo de tempo que vai dos seg aos seg temos: V m d t m/s ou V m d t t d t d d m/s. t Eercício : Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d t, faça uma análise deste movimento, no intervalo de tempo que vai de seg a 7seg, determinando: a) t ; b) d; c) a velocidade média V m do objeto quando este se desloca do ponto em que está aos seg do início do movimento, ao ponto em que está aos 7seg. Velocidade Instantânea Consideremos, agora, o problema de determinar a velocidade de um objeto em movimento, num determinado instante t, o que significa determinar sua velocidade instantânea. O que podemos fazer, é imaginar intervalos de tempo t cada vez menores, para que as velocidades médias correspondentes possam dar-nos informações cada vez mais precisas do que se passa no instante t. Somos, assim, levados ao conceito de velocidade instantânea V t (ou taa de variação instantânea do deslocamento), no instante t, como sendo o limite de V m, quando t tende a zero, isto é V t lim t 0 d t t d t t Eemplo : Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d t, determine a velocidade instantânea para t seg. Eercício : Uma bola é lançada de uma ponte, para o alto, e sua altura, (em metros), acima do solo, t segundos depois, é dada por t t. a) A ponte fica a que altura acima do solo? b) Qual é a velocidade média da bola durante o primeiro segundo? c) Obtenha um valor aproimado para a velocidade em t seg. d) Esboce um gráfico da função e determine a altura máima atingida pela bola. Qual deve ser a velocidade no instante em que a bola atinge o topo? e) Use o gráfico para determinar o instante t em que a bola atinge sua altura máima. Coeficiente Angular da Reta Tangente a uma Curva Para calcular o coeficiente angular da reta tangente a f em 0, tomamos a reta secante passando por P 0, f 0 e um segundo ponto Q, f qualquer. Aproimando de 0, a reta secante se aproima da reta tangente. 0

31 Temos o coeficiente angular da reta secante: m s f f f 0 0, para 0. Então, ao 0, teremos o coeficiente angular da reta tangente: f f m 0 lim 0 0 desde que o limite eista e seja finito. Mudança de variável: 0 0. Assim, f f 0 0 f 0 f 0 E, ao 0, 0 : df 0 f f lim 0 f d 0 0 lim 0 f 0 0 Observação: o coeficiente angular da reta tangente a f em 0 representa a taa de variação instantânea de f em 0, também chamado de derivada de f em 0. df 0 f f lim lim 0 f 0. chamada fórmula de Leibniz d 0 0 Notações para a Derivada:, f, D f, D, df d ou d d. Eemplos: Usando a fórmula de Leibniz, calcule a derivada das funções: ) f em : ) f em e em? ) f, em. OBS.: Funções deriváveis são contínuas, mas nem toda função contínua é derivável. E. : Usando a primeira fórmula estudada, calcule a derivada da função abaio em : 7, se f,se E. : Idem para f em 0 :

32 A Derivada Como Uma Função: Se considerarmos a derivada de f em e fizermos variar, obtemos a função derivada df d angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto,f. df f f lim d 0 obtida substituindo 0 por., onde df d é o coeficiente E. 6: Calcule a derivada de f para 0 : E. 7: Calcule a derivada de f : Regras de Derivação: - Derivada de n : Def.: Para qualquer constante racional n, a derivada da função n é d n d E. 8: d d - Derivadas de Combinações Lineares de Funções: nn Sejam A e B constantes: d d Af Bg A d d f B d d g E. 9: Calcule a derivada de d d 6. Para que valores de eiste a derivada? LISTA DE EXERCÍCIOS 8: ) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t segundos. Ache a velocidade instantânea v t cm/s em t segundos e então ache v t para o valor de t dado: a) s t ;t Resp.: 6t;8 b) s t ;t Resp.: t ; c) s t t ;t Resp.: 6t t;8 d) s t t ;t 0 Resp.: 8 t ; ) Um objeto cai do repouso de acordo com a equação s 6t, onde s cm é a distância do objeto ao ponto de partida

33 em t segundos e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 6 cm de altura, ache a) a velocidade instantânea da pedra s. depois de iniciada a queda; Resp.: cm/s b) a velocidade instantânea da pedra s. depois da queda; Resp.: 6 cm/s c) quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? Resp.: s d) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo. Resp.: 8 cm/s. ) Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua posição inicial após t segundos, então s 00t 00t. Com qual velocidade a bola atingirá a tabela da posição inicial que está a 9 cm? Resp.: 60 cm/s. ) Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s t 0t, onde o sentido positivo é o de descida do plano inclinado. a) Qual será a velocidade instantânea da bola em t s.? Resp.: 0t. b) Quanto tempo levará para que a velocidade aumente para 8 cm/s? Resp.:, s. ) Uma frente fria aproima-se de uma região. A temperatura é T graus t horas após a meia-noite e T 0, 00 0t t, 0 t. a) Ache a taa de variação média de T em relação a t entre h e 6h: R.: T -,9 graus/h b) Ache a taa de variação de T em relação a t às h: R.: - graus/h. 6) Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com velocidade inicial de 6 m/s. Se o sentido positivo da distância do ponto de partida é para cima, a equação do movimento é s 6t 6t com t em segundos e s em metros. a) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de s. R.: m/s b) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto? R.: s c) Qual a altura máima atingida pela bola? R.: 6 m d) Decorridos quantos segundos a bola atinge o solo? R.: s e) Ache a velocidade instantânea da bola quando ela chega ao chão. R.: -6 m/s. - Regra do produto: Se as funções f e g têm derivadas em, então seu produto também tem derivada e vale: E. : Calcule a derivada de d d d d f. g f d d g g d d f 6 - Regra do quociente: Se as funções f e g têm derivadas em e se g não é zero, então o quociente f g vale: df d f g f dg d d d g g também tem uma derivada em e E. : Calcule a derivada de d d : - Derivada de Funções Especiais:

34 d d sen cos d d d cos sen d d tan d sec d cot d csc d d e e d d a a lna senh e e senh cosh d cosh senh d d tanh d sech d csc csccot d d ln d d log d a lna cosh e e LISTA DE EXERCÍCIOS 9: ) Usando a definição de derivada (fórmula de Leibniz), calcule as seguintes funções: a)f, em Resp.: f b)g, em Resp.: g 9 c)h, em Resp.: h 6 d)f Resp.: f e)f Resp.: f f)g Resp.: g ) Calcule a derivada, usando a regra adequada: ) 6 7 Resp.: 7 ) 7 Resp.: ) Resp.: 9 ) Resp.: ) Resp.: 6) Resp.: 7) Resp.: 8) Resp.: 9) 0) Resp.: Resp.: - Regra da Cadeia (para funções compostas): Na última unidade vimos como diferenciar polinômios e funções racionais. Mas, freqüentemente, precisamos diferenciar potências dessas funções. Por eemplo, se f, da derivada do produto de funções, dá

35 d d D f.f f.f f.f e, agrupando os termos, obtemos: d f f. d É surpresa que a derivada de f não seja simplesmente f, como poderíamos esperar por analogia com a fórmula (..) D n n n, com n? Há um fator adicional, f, cuja origem pode ser eplicada escrevendo-se g f, na forma g u com u f. Então dg d d d f, dg u f e du du f, d de modo que a forma da derivada na equação toma a forma d g u d d du g u. d u d A equação acima - a regra da cadeia - é válida para duas funções diferenciáveis quaisquer g u e u f. Neste caso, u é chamada derivada da função interna. Eemplo : Se 7, não seria prático achar o desenvolvimento binomial da 7 a potência de : o resultado seria um polinômio com 8 termos e alguns coeficientes teriam até algarismos! Mas, se escrevermos u 7 com u. Então, Assim, a regra da cadeia fornece dg du 7u6 e du d. d d 7 d d d du. du d 7u Eemplo : Calcule a derivada de: a), b) 0, c) 7 9 Eemplo : Para uma interpretação física da regra da cadeia, imagine uma refinaria de petróleo que produza u litros de gasolina de barris de óleo cru. Então, em um segundo processo, a refinaria produz gramas de um produto petroquímico a partir dos u litros de gasolina. A figura ilustra os dois processos.

36 barris de óleo cru Processo u litros de gasolina Processo gramas de petroquímico figura é, assim, uma função de u e u é uma função de, de modo que a saída final,, é uma função também da entrada. Considere as unidades em que as derivadas destas funções são medidas: d du : g (gramas de petroquímico por litro de gasolina) l du : l (litros de gasolina por barril de óleo) d barril d d : g (gramas de petroquímico por barril de óleo) barril Levando essas unidades a cada termo correspondente da equação (..) obtemos: g barril g l. l barril. O prático cancelamento das unidades no segundo membro desta última igualdade, parece confirmar a validade da regra da cadeia. Por eemplo, se obtemos gramas de petroquímico por litro de gasolina e 7 litros de gasolina por barril de óleo, como poderíamos deiar de obter 7 gramas de petroquímico por barril de óleo? Obs.: A regra da cadeia pode ser escrita na forma: d d g u g u.u Esta notação tem a vantagem de especificar os valores das variáveis nos quais se calculam as derivadas. Neste caso, u é chamada derivada da função interna. A Regra da Cadeia para as funções trigonométricas Se u f então: d senu cos u. D d u d cos u senu. D d u d tgu d sec u. D u d cotgu cos d ec u.d u d secu secu.tgu.d d u d cos ecu cos ecu.cotgu.d d u Eercícios: Calcule a derivada de: ) cos R.: cos sen ) sen R.: sen cos 6

37 ) e R.: e ) ln R.: ) e R.: e 8e - Derivada Segunda ou de Ordem : A derivada segunda de uma função f é a derivada de sua derivada (primeira) f. Notação: f" d f d df d d d E. : Calcule a derivada segunda de f. - Derivadas de ordem superior: Seja f uma função derivável: f é a derivada primeira de f f é a derivada segunda de f f é a derivada terceira de f f n é a derivada enésima de f. E. : Ache todas as derivadas da função f 7. E. : Calcule d d sen cos : - Aceleração instantânea: É a taa de variação instantânea da velocidade. Se v (velocidade) é dada em cm/s, a (aceleração) será dada em cm/s. v ds e a dt dv ou a dt d s dt E. : Se s t t, v t t e a t t LISTA DE EXERCÍCIOS 0: ) Calcule a derivada segunda das seguintes funções: a) 6 Resp.: 0 b) Resp.: c) Resp.: 8 d) ep Resp.: e e) Resp.: 6 ) Ache f se f. Resp.: f 8 ) Ache f se f cos sin. Resp.: f sin cos ) Uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada. Ache a velocidade e a aceleração em função do tempo t. 7

38 a) s 6 t t 6t Resp.: v t t 6;a t b) s 6t t Resp.: v 000 6t t ;a t c) s 9t t Resp.: v 8t t ;a 8 t d) s 9 t t Resp.: v t t ;a t t 8t 6 Aplicações da derivada: Teste da derivada primeira: Se a derivada f eite e é positiva para todo em um intervalo aberto, então a função é crescente neste intervalo. Se f é negativa no intervalo aberto, então a função é decrescente. E. : Se f então f Observe que f é positiva para 0 e f é negativa para 0. Traçado de gráficos, Pontos Críticos: O ponto 0 é um ponto crítico de uma função f, se f é definida em um intervalo aberto contendo 0 e f 0 é zero ou não eiste. Eercício: Ache os pontos críticos das funções e trace seus gráficos. ) f ) f ) s t t t 0t Respostas: ) F w w w ) f z z 6 6) f 8

39 .: /8; ; , /; ; ; , 0, ; Máimos e Mínimos absolutos (globais): Uma função f tem um máimo relativo (ou local) em 0, se f f 0 para todo em um intervalo aberto contendo 0. A função tem um mínimo relativo (ou local) em 0, se f f 0 para todo em um intervalo aberto contendo 0. Roteiro para encontrar o máimo e o mínimo de uma função contínua f em um intervalo fechado a,b : ) Encontre os pontos críticos de f. ) Calcule f em cada ponto crítico em a, b. ) Calcule f nos etremos do intervalo a, b. ) O menor desses valores é o mínimo e o maior é o máimo. E. : Encontre o máimo e o mínimo de a) f em,. b) f em, R.: Mín.: (,) Má.: (-,8) c) f em 0, R.: Mín.: (0,/) Má.: (,) E. : Eplique porque a função f Teste da derivada segunda: tem um mínimo em 0, mas não em,0. Concavidade: Se a derivada segunda f é positiva num intervalo aberto, então o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima neste intervalo. Se f é negativa no intervalo, o gráfico de f tem a concavidade voltada para baio. Ponto de Infleão: Um ponto 0,f 0 do gráfico de f é um ponto de infleão, se f 0 0 ou o gráfico tem uma reta tangente vertical em 0. E. : Trace o gráfico da seguinte função, encontrando os pontos críticos, os pontos de infleão, os intervalos onde a função é crescente, decrescente, onde a função têm concavidade voltada para cima e onde têm concavidade voltada para baio. Trace o f. 9

40 Gáfico: LISTA DE EXERCÍCIOS : ) Calcule os valores máimos e mínimos das funções: a) f em 0, R.: Mín.: (0,0) e (,0) Má.: (/,9/) b) f em, R.: Mín.: (-,) e (,-) Má.: (0,0) e (,0) c) f s em 0, R.: Mín.: (,-) Má.: (0,-/) s ) Eplique porque a função f tem um máimo em, mas não em 0,. ) Trace o gráfico das seguintes funções, encontrando os pontos críticos, os pontos de infleão, os intervalos onde a função é crescente, decrescente, onde a função têm concavidade voltada para cima e onde têm concavidade voltada para baio: a) f 7 b) f 6 c) f Gráficos: d) f e) f 8 f) g) h) i) 0

41 a) b) c) d) e) f) g) - h) -0 i) - ) A potência P de uma bateria de automóvel é dada por P VI I r, para uma voltagem V, corrente I e resistência interna r da bateria. Que corrente corresponde à potência máima? Resp.: I V r ) A tosse faz com que a traquéia se contraia, afetando assim a velocidade com que o ar passa por ela. Suponha que a velocidade do ar ao tossir seja descrita pela fórmula v k R r r ; onde k é uma constante, R é o raio normal da traquéia e r é o raio da mesma durante a tosse. Que raio produz a maior velocidade? Resp.: r R 6) A concentração C de uma certa substância química no fluo sangüíneo em t horas após ser injetado no músculo é dada por C t. Em que instante a concentração será máima? Resp.:,8 horas. 7 t 7) Após a administração de uma substância química, sua concentração no fluo sangüíneo do paciente durante um intervalo de duas horas é da forma C 0, 98t 0, 0t 0,000t, onde C é medido em miligramas e t é o tempo em minutos. Encontre os intervalos abertos em que C cresce ou decresce. Resp.: Crescente quando 0 t 8,88 minutos. Decrescente quando 8,88 t 0 minutos. 7. INTEGRAL INDEFINIDA Até aqui, nosso problema básico era: encontrar a derivada de uma função dada. A partir de agora, estudaremos o problema inverso: encontrar uma função cuja derivada é dada.

42 E. : Qual é a função cuja derivada é a função F? f, pois d d A função F é chamada uma antiderivada de F. Definição: Uma antiderivada da função f é uma função F tal que F f em todo ponto onde f é definida. Observação: Sabemos que F é uma antiderivada de F, assim como: G e H. Na verdade, qualquer função do tipo J C é antiderivada de F. Teorema: Se F f em todo ponto do intervalo aberto I, então toda antiderivada G, de f em I, tem a forma G F C onde C é uma constante. Assim, uma única função tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da função F é chamada integral indefinida (ou antidiferencial) de f com relação a e denotada por f d. f d F C A operação de antidiferenciação, assim como a diferenciação, é linear: cf d c f d (onde c é uma constante) f g d f d g d e A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Este fato nos permite obter fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação. FÓRMULAS:

43 n d n n C (se n ) sind cos C tanudu ln secu C d C sec d tan C cotudu ln sinu C e d e C csc d cot C secudu ln secu tanu C d ln C sectand sec C cscudu ln cscu cotu C cos d sin C csccotd csc C RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: sin cos tan sec cot csc sec cos csc sin tan sin cos cot cos sin LISTA DE EXERCÍCIOS : Calcule a integral de: d u/ du d 6t t dt d 6 d 7 t t dt d 9 d 0 / d d d 6 sin cos d d sint cos t dt cos sin d 7 cos sin d 8 csccot sec d 9 csc t secttant dt 0 cot tan d tg cos cos Respostas: d

44 ) C u / C / C 9 t0/ C C 6 6 C 7 t t t C 8 8 C 9 / / C 0 / C C / 8 / 8 / C / / C cos t sint C sin cos C 6 sec C 7 csc C 8 csc tan C 9 cott sect C 0 cot tan C sec sin C Integração por Substituição: Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções compostas. Essas técnicas envolvem uma substituição. O uso da substituição na integração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia na diferenciação. Iniciaremos recordando a Regra da Cadeia da diferenciação. Seja a função f g com f u e u g funções diferenciáveis. Para calcular devemos utilizar a Regra da Cadeia e obteremos: d d f g f g.g f u.u Eemplo: Derive a função composta : Seja u. Então u Utilizando a Regra da Cadeia, obtemos: u.u u... Teorema: Sejam f e g duas funções tais que f geg são contínuas em um intervalo I. Se F é uma antiderivada de f em I, então: f g g d F g C E. : Calcule e cos sind. Resp.: e cos C E. : Calcule cos d. Resp.: sin C E. : Calcule d. Resp.: ln C E. : Calcule d. Resp.: ln C E. : Calcule e d. Resp.: e C E. 6: Calcule tdt t R.: t 6 t C LISTA DE EXERCÍCIOS : Calcule a integral de:

45 ) d ) csc d ) d ) r dr ) r sec r dr 6) sectancos sec d ) d ) sind cos 7) d ) 6 d 6) t dt 8) t d ) d 7) sin cos d 9) d 6) sds s 8) sin cos d 7) d 9) cos sin d 8) d. 0) sec t t dt 0) cos t sint dt ) cot csc d ) sin cos 9) d ) d ) d 0) / d ) s s ds ) d ln ) sin d ) t / t dt ) ln d ) tcos t dt ) t / t t t dt 6) t t dt Respostas: ) ) r ) ) C ) cot C ) / / C ) tanr C 6) sin sec C C ) cos C 8 7 C 6) d 7) - ln C t / C 8) ln C ) C 7) cos / C 9) ln C 6) 7) 8) s C 8) sin C 0) ln sint C C 9) sin C ) ln cos C 0 C 0) 9) 8 tan t C ) ln sin ln cos C C ) 6 C ) ln C 0) 7 9/ / C ) 7 s 7 8 s 8 s ) ln ln C ) cos C ) 6 t 7/ t / C ) ) 6 sint C ) t t ln C / C 6) t ln t C Integração por partes:

46 Teorema: Se u e v são funções de com derivadas contínuas, então udv uv vdu E.: Calcule e d. Resp.: e e C E. : Calcule lnd. Resp.: ln 9 C E. : Calcule arcsind onde arcsin. Resp.: arcsin C Observação: Uma integral pode necessitar de aplicações repetidas da fórmula de integração por partes. E. : Calcule sind. Resp.: cos sin cos C E. : Calcule e cos d. Resp.: e cos e sin C LISTA DE EXERCÍCIOS : Calcule a integral de: ) e d R.: e C ) e d R.: e C ) e d R.: C e ) e d R.: e 6 6 C ) lnd R.: 6 ln C 6) tln t dt R.: t ln t t t C 7) ln d R.: ln ln C 8) ln d R.: ln C Somatório: Trabalhamos no capítulo anterior com o conceito de integral indefinida ou antidiferencial. A partir deste momento trabalharemos com um novo problema: Como encontrar a área de uma região no plano. Essas duas noções estão relacionadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo. O cálculo da área de uma região envolve a notação de somatório, que é uma forma abreviada de escrever somas de muitos termos. Esta notação utiliza a letra grega maiúscula sigma. Definição: 6

47 A soma de n temos a, a,...,a n é denotada por n a i a a... a n i onde i é o índice do somatório, a i é o i-ésimo termo da soma e n e são, respectivamente, os limites superior e inferior do somatório. Eemplos: ) i i ) j j n ) i f i f f... f n Observações: ) Os limites superior e inferior do somatório tem que ser constantes. ) O limite inferior não precisa ser. Pode ser qualquer valor inteiro menor ou igual ao limite superior. ) Qualquer variável ( i, j ou k) pode ser usada como índice do somatório. Área de uma região plana: Definição: Seja uma função contínua, não-negativa f. Estudaremos a região A limitada inferiormente pelo eio, à esquerda pela reta a, à direita pela reta b e superiormente pela curva f. Podemos tentar a aproimação da área A tomando retângulos inscritos ou circunscritos. A somatória das áreas de cada retângulo pode ser usada como uma aproimação para a área desejada. A altura de cada retângulo é o valor da função f para algum ponto t ao longo da base do retângulo. Escolhemos para a base de cada retângulo. A área será aproimadamente igual à somatória: S n f t f t... f t n n S n f t i i quando usamos n retângulos com base e t i como um ponto ao longo da base do i-ésimo retângulo. Observação: Quanto menor escolhermos a largura, melhor será a aproimação da área sob a curva. Quando 0, o número de termos n da somatória de aproimação S n aumenta. De fato, quando 0, n e a somatória S n se aproima da área eata A sob a curva. Este processo pode ser simbolizado por: lim n S n A. A Integral Definida: A área definida acima é chamada a integral de f no intervalo a,b, a qual é indicada com o símbolo Por definição: a b f d 7

48 a b f d lim n n i f t i. Quando este limite eiste, dizemos que a função f é integrável no intervalo a,b. Nota: Toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo. A integral no intervalo a, b é lida como integral de a até b e esses números a e b são chamados os limites de integração (inferior e superior, respectivamente), a função f é chamada integrando. O símbolo de integral é devido a Leibniz, uma antiga grafia da letra S de soma, usado para lembrar que estamos trabalhando com o limite de uma seqüência de somas (soma de Riemann). Observação: Dada uma função f : Observe que quando f 0 o retângulo está acima do eio e quando f 0 o retângulo está abaio do eio. A soma de Riemann é a soma das áreas, considerando os sinais dos retângulos, isto é, se o retângulo está para cima do eio a soma das áreas é positiva e se o retângulo está para baio do eio, a soma das áreas é negativa. Isto sugere b que a f d será a soma das áreas dos retângulos acima do eio, mais a soma das áreas dos retângulos abaio do a eio (A acima A abaio ). Por eemplo, f. f d, pois a soma das áreas dos retângulos que estão abaio do eio é - e a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eio é. Portanto, A acima A abaio Note que f d não representa a área da região limitada pela curva, pelo eio e pelas retas e. Para que a integral represente a área, a função f deverá verificar as seguintes condições: ) f é contínua no intervalo fechado a, b ; ) f é não-negativa no intervalo fechado a, b. Aí sim, a área da região limitada pelo gráfico da função f, o eio dos e as retas verticais a e b é dada por Área a b f d Atenção: ) Quando f 0, a Área a b f d. ) É importante notar que, a integral definida é um número e a integral indefinida é uma família de funções. Eercícios: Calcule as seguintes integrais definidas, encarando-as como áreas e construa os gráficos das funções envolvidas: 8