JOCELY NASCIMENTO LOPES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Msturas de Dstrbuções t de Student Assmétrcas JOCELY NASCIMENTO LOPES MANAUS 008

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA JOCELY NASCIMENTO LOPES MISTURAS DE DISTRIBUIÇÕES t DE STUDENT ASSIMÉTRICAS Dssertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemátca da Unversdade Federal do Amazonas, como requsto nal para obtenção do título de Mestre em Matemátca, área de concentração em Estatístca. Orentador: Prof. Dr. Celso Rômulo Barbosa Cabral MANAUS 008

3 Fcha Catalográfca Fcha catalográfca elaborada automatcamente de acordo com os dados fornecdos peloa autora. Lopes, Jocely Nascmento L864m Msturas de dstrbuções T de student assmétrcas / Jocely Nascmento Lopes f.: l. color; 31 cm. Orentador: Celso Rômulo Barbosa Cabral Coorentador: José Ramundo Gomes Perera Dssertação Mestrado em Matemátca Pura e Aplcada - Unversdade Federal do Amazonas. 1. Modelo Normal Assmétrco.. Modelo t de Student. 3. Modelo Gamma. 4. Densdade Conjunta Reparametrzada. I. Cabral, Celso Rômulo Barbosa II. Unversdade Federal do Amazonas III. Título

4 JOCELY NASCIMENTO LOPES MISTURAS DE DISTRIBUIÇÕES t DE STUDENT ASSIMÉTRICAS Dssertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemátca da Unversdade Federal do Amazonas, como requsto nal para obtenção do título de Mestre em Matemátca, área de concentração em Estatístca. Manaus, 30 de agosto de 008. BANCA EXAMINADORA... Prof. Dr. Celso Rômulo Barbosa Cabral, Presdente Unversdade Federal do Amazonas... Prof. Dr. José Ramundo Gomes Perera, Unversdade Federal do Amazonas... Profa. Dra. Cbele Queroz da Slva, Unversdade de Brasíla

5 AGRADECIMENTOS A Deus pela ajuda nestmável e pelas bençãos que foram gracosamente conceddas durante esses anos de estudo. A Jesus Crsto seu Flho em quem todos os tesouros da sabedora e do conhecmento estão ocultos. A mnha mãe e meu lho que junto a Deus são os grandes responsáves por essa vtóra. A Celso Rômulo Barbosa Cabral pela pacente orentação, Aos professores do mestrado pela experênca transmtda durante o curso. A SEMED pelo suporte nancero. Aos amgos de estudo pelo apoo e excelente convvênca. É mpossível expressar adequadamente toda a mnha grátdão às númeras pessoas de onde obtve estímulo e assstênca. A excelênca do poder pertence a Deus, e não a nós. Exclusvamente a Ele seja todo louvor e glóra.

6 RESUMO Msturas de Dstrbuções t de Student Assmétrcas Este trabalho trata do problema de estmar parâmetros de uma mstura nta de densdades t-assmétrcas. Como ferramenta para a estmação fo usado o algortmo EM. Fo avalada a consstênca desses estmadores e realzado um expermento de aplcação da teora desenvolvda para uma modelagem com dados reas utlzando um conjunto analsado anterormente na lteratura, relatvo ao PIB per capta. Os objetvos centras desse trabalho são apresentar uma descrção detalhada do método de estmação, va algortmo EM, dos parâmetros do modelo nto de mstura de densdades t-assmétrcas e avalar através de um estudo de smulação se o estmador obtdo é consstente.

7 ABSTRACT Fnte Mxtures of Skew Student-t Dstrbutons In ths work we consder the estmaton of parameters of a nte mxture of skew Student-t dstrbutons, va EM algorthm. The man goals of ths dssertaton s to show a detaled descrpton of the EM algorthm appled to ths model and to evaluate the consstency of the estmator. A data set concernng the Gross Domestc Product per capta Human Development Report, prevously studed n the related lterature, s analyzed.

8 Sumáro Introdução 1 1 Prelmnares 1.1 Algumas Denções O Modelo Normal Assmétrco Padrão O Modelo Normal Assmétrco Modelo Normal Truncada O Modelo Gamma O Modelo t de Student O Modelo t-assmétrco Representação Estocástca A Densdade Conjunta de Y, γ e A Função de Verossmlhança dos Dados Aumentados Estmação va Algortmo EM Passo E Passo CM Reparametrzação A Densdade Conjunta Reparametrzada A Função de Verossmlhança Reparametrzada Reformulação do Algortmo ECME As Esperanças Condconas do Passo E Mstura Fnta de Densdades t-assmétrcas 6.1 Mstura Fnta de t-assmétrcas Função log-verossmlhança para os dados completos Estmação va algortmo ECME O Algortmo ECME para Mstura Fnta de Densdades t-assmétrcas

9 3 Consstênca das Estmatvas e Uma Aplcação Estudo de Smulação Processo de Smulação Resultados Aplcação

10 Introdução Em grande parte a análse estatístca desenvolvda para o estudo de váras varáves contínuas está baseada no modelo normal. No entanto, em mutas stuações reas nos deparamos com dados dotados de assmetra. Para a modelagem destes tpos de dados Azzaln 1985 apresentou o modelo normal assmétrco. Nos casos em que esses conjuntos de dados apresentam valores dscrepantes esse tpo de modelagem pode ser necaz. Em stuações deste tpo, propõe-se como alternatva mas robusta que o modelo normal assmétrco, a versão assmétrca da dstrbução t de Student ntroduzda por Azzaln & Captano 003. Nos casos de dados heterogêneos, onde sabemos que as observações pertencem a k populações dstntas, mas não sabemos como descrmná-las, a modelagem se dá por mstura de dstrbuções. Uma ntrodução para esse contexto pode ser encontrada em McLachlan & Peel 000 e Frühwrth- Schnatter 006, com ponto de vsta frequentstas e Bayesano, respectvamente. Na lteratura, exstem estudos envolvendo msturas de dstrbuções normas, algumas referêncas podem ser encontradas nos lvros ctados anterormente. Uma extensão desse tpo de modelagem fo ntroduzda por Ln et al. 007b, que trata de msturas de densdades normas assmétrcas. Anda nesta dreção uma modelagem mas robusta que a por mstura de dstrbuções normal assmétrca é ntroduzda por Ln et al. 007a, onde foram consderadas msturas de dstrbuções t-assmétcas. Neste trabalho, Apresentaremos a mstura nta de densdades t-assmétrcas, a estmação de seus parâmetros va algortmo EM e um estudo empírco das propredades assntótcas desses estmadores. Incalmente, denremos o modelo t-assmétrco e o algortmo EM para a obtenção dos estmadores dos parâmetros do modelo. Em seguda aplcaremos essa teora para obter os estmadores da mstura nta de densdades t-assmétrcas. Avalaremos a consstênca das estmatvas geradas obtdo pelo algortmo e nalmente apresentaremos uma aplcação deste estudo em uma modelagem com dados reas. 1

11 Capítulo 1 Prelmnares Apresentaremos neste capítulo um estudo de estmação dos parâmetros do modelo t-assmétrco dendo em Azzaln & Captano 003. Incalmente, baseado no artgo de Ln et al. 007a, apresentaremos uma representação estocástca para o modelo e o algortmo EM como ferramenta computaconal para obtenção dos estmadores de seus parâmetros. Em seguda apresentaremos uma reparametrzação do modelo t-assmétrco proposta por Lachos et al. 009, com o objetvo de smplcar as terações do algortmo. 1.1 Algumas Denções Nesta seção consderamos alguns modelos probablístcos que serão utlzados no desenvolvmento deste trabalho O Modelo Normal Assmétrco Padrão Dzemos que Z tem dstrbução normal assmétrca padrão com parâmetro λ R, denotado por Z SNλ, se sua função densdade de probabldade é dada por gz; λ φzφλz, < z <. 1.1 onde φ. e Φ. são as funções de densdade de probabldade e de dstrbução da normal padrão, respectvamente O Modelo Normal Assmétrco Seja Z com dstrbução normal assmétrca padrão com parâmetro de assmetra λ. Dzemos que a varável aleatóra Y dada pela transformação Y ξ + σz

12 tem dstrbução normal assmétrca com parâmetros de locação ξ R, escala σ > 0 e de assmetra λ R, a qual denotamos Y SNξ, σ, λ. A função de densdade de probabldade é dada por ψy; ξ, σ, λ σ φ y ξ σ Modelo Normal Truncada Φ λ y ξ σ. 1. Suponha que X tenha dstrbução normal com méda e varânca dadas por µ e σ, respectvamente. Seja Y X X A, com A a 1 < x < a } sto sgnca um truncamento de X no conjunto A. Então Y tem dstrbução normal truncada em A, que denotamos Y NT µ, σ ; a 1, a. Neste caso a função densdade de probabldade de Y é dada por fy µ, σ Φα Φα 1 } 1 1 πσ exp onde α a µ σ, 1, O Modelo Gamma 1 y µ σ }, a 1 < y < a, 1.3 Dzemos que a varável aleatóra X tem dstrbução gamma, com parâmetros α e β, que denotamos por X Γα, β, se sua função de densdade de probabldade é dada por fx α, β onde Γ é a função gamma O Modelo t de Student βα Γα xα 1 e βx, x > 0, α, β > 0, 1.4 Suponha que Z tenha dstrbução normal padrão, sto é Z N0, 1, que V tenha dstrbução qu-quadrado com v graus de lberdade, e que Z e V sejam ndependentes. Então dzemos que a varável aleatóra T Z V v tem dstrbução t de Student com v graus de lberdade. Neste caso, a função de densdade de probabldade é dada por f v t Γ v+1 [ ] v+1 vπγ v 1 + t. 1.5 v 3

13 1. O Modelo t-assmétrco Para a modelagem de dados dotados de assmetra tem-se utlzado, muto freqüentemente, a dstrbução normal assmétrca SN de Azzaln Este tpo de modelagem pode não ser adequada para dados com essas característcas e que apresentam valores dscrepantes. Neste caso Azzaln & Captano 003 apresenta um modelo assmétrco da dstrbução t de Student. Uma das característcas do modelo t-assmétrco é o fato de ter caudas mas pesadas que as da SN, o que permte fazer nferênca sobre os dados dscrepantes antes não alcançados pelo modelo normal assmétrco. Vamos apresentar o modelo t-assmétrco ntroduzdo por Azzaln & Captano 003. Denção 1..1 Sejam Z e varáves aleatóras ndependentes tas que Z SNλ e Γv/, v/, ou seja, têm dstrbuções normal-assmétrca com parâmetro λ e gamma com parâmetro v/ respectvamente. Dzemos que a varável aleatóra Y ξ + σ Z 1.6 tem dstrbução t-assmétrca com parâmetros de locação ξ R, de escala σ 0,, de assmetra λ R e com v > 0 graus de lberdade, a qual denotamos Y ST ξ, σ, λ, v. A função de densdade neste caso é dada por fy v + 1 σ t vηt v+1 λη, η v onde t v denota a função densdade de probabldade de uma dstrbução t de Student padrão com v graus de lberdade, T v+1 a função de dstrbução de uma t de Student padrão com v + 1 graus de lberdade e η y ξ. σ Observe que a dstrbução SN é um caso partcular da t-assmétrca. Para sso em 1.6 basta fazer v, de tal manera que 1 com probabldade 1. Para demonstrar 1.7 usaremos a segunte proposção demonstrada em Azzaln & Captano 003. Proposção 1..1 Se Γα, β, a R, então [ E Φa ] α T α a. 1.8 β 4

14 Assm, em 1.6 suponha conhecdo o valor de, então Y SNξ, σ, λ. 1.9 Vamos denotar uma densdade genercamente pela letra f, sendo que o argumento especcará à qual varável aleatóra a mesma está assocada. Precsamos obter a densdade conjunta fy, fy f, 1.10 uma vez que fy fy, d. Então de 1.9 e 1.10, temos fy, σ π 1/ exp 1 y ξ σ v v v 1 exp v } } 1 Γ v π 1/ exp 1 } y ξ σ σ 1 v v Γ v v+1 1 exp v } 1 v v σ π 1/ v+1 1 Fazendo η y ξ σ, temos fy, π 1/ 1 σ Γ v Γ v [ y exp 1 } ξ + v] σ Anda em 1.11 vamos nserr o termo 1 η +v v+1 [ ] } y ξ Φ λ 1/ σ [ y ξ Φ λ 1/ σ [ ] y ξ Φ λ 1/. σ ] } v v v+1 1 exp 1 η + v } Φ λη } Γ v+1 a m de obter uma densdade da dstrbução gamma com parâmetros v+1, 1 η + v em função de, então fy fy, d 5

15 1 v v σ π 1/ Γ Γ v+1 v 1 η + v v+1 A ntegral é gual a Φ λη 1 η + v v+1 Γ v+1 v+1 1 exp [ E Φ λη ]. Então por 1.8 a densdade 1.1 é gual a fy Γ v+1 v v [ ] v+1 1 σ Γ v π v + η 1 η + v } d. 1.1 T v+1 v + 1 η, + v No termo entre chaves vamos ntroduzr 1 v+1, com o objetvo de obter a densdade t de Student com parâmetro v em função de η fy Γ v+1 v v 1 v+1 [ ] v+1 v 1 σ Γ v π 1 v+1 v + v + 1 η T v+1 η + v v Γ v+1 v v+1 v 1 v v+1 1 [ ] v+1 1 η σ Γ v 1 + π v v + 1 T v+1 η. + v desenvolvendo as potêncas, obtemos fy v + 1 σ t vηt v+1 λη η, + v como desejado Representação Estocástca Vamos apresentar os teoremas que garantem uma representação estocástca do modelo t-assmétrco dado na denção 1..1, com o objetvo de aplcar a teora do algortmo EM para a obtenção das estmatvas de seus parâmetros. Teorema 1..1 Se Y ST ξ, σ, λ, v então exstem varáves aleatóras γ e tas que Y γ, N ξ + δ λ γ, 1 δ λ σ, γ T N 0, σ ; 0,, Γv/, v/,

16 onde ξ, λ R e σ, v > 0. Para a demonstração deste teorema precsaremos enuncar um teorema demonstrado em Henze Teorema 1.. Teorema de Henze Se Z SNλ então uma representação estocástca para z é dada por Z δ λ U δλ U, 1.14 onde U 1, U são varáves aleatóras ndependentes e têm dstrbução normal padrão e δ λ λ. 1+λ Demonstração do Teorema 1..1: Pela denção do modelo t-assmétrco 1..1 temos a densdade de, sto sgnca que a demostração do teorema se reduz em mostrar a dstrbução da γ e da Y γ,. Para usar as hpóteses do teorema de Henze, substtua 1.14 em 1.6 logo Y ξ + σ δ λ U δ λ U σ 1 δλ ξ + δ λ U 1 + σ U Seja γ σ U 1, 1.16 onde U 1 T N0, 1 pos do teorema de Henze vem que U 1 N0, 1. Então dado que seja conhecdo, temos γ T N 0, σ, 0,, o que mostra a segunda parte do teorema. Para mostrar a prmera parte, substtua 1.16 em δ Y ξ + δ λ γ + σ U Como U N0, 1 supondo conhecdos γ e, temos nalzando a demonstração do teorema. Y γ, Nξ + δ λ γ, σ 1 δ, 7

17 1.. A Densdade Conjunta de Y, γ e Pelo teorema 1..1 a varável aleatóra Y possu uma representação estocástca baseada nas densdades condconas Y γ,, γ e. Portanto, a função de densdade conjunta de Y, γ e, segundo essa representação, é dada por Assm, fγ,, y 1 π 1 δ λ fγ,, y fy γ, fγ f exp σ 1 1 δ λ v v/ Γ v v 1 exp v } σ y ξ + δ λ γ } π σ exp π 1 δλ v 1 v v/ σ Γ v exp v exp 1 δλ σ y yξ + δ λ γ + ξ + δ λ γ } exp γ } σ 1 π 1 δ λ σ v v/ exp Γ v v exp γ 1 δ λ σ δ λy ξ 1 π v v/ 1 δλ σ Γ v v exp } exp Fazendo η y ξ σ, temos fγ,, y γ 1 δ λ σ δ λy ξ π exp } v} exp exp exp v} exp δ λ γ 1 δλ 1 v/v/ 1 δλ Γv/ v/ exp σ γ 1 δ λ σ y ξ } 1 δλ σ γ } σ σ y ξ 1 δλ σ }. γ 1 δ λ σ + γ 1 δ λ σ δ λy ξ } 1 δλ η exp v γ σ A Função de Verossmlhança dos Dados Aumentados Denremos aqu a função de verossmlhança aumentada assocada às observações provenentes da dstrbução t-assmétrcas dada pela representação No que segue y y 1,..., y n, γ γ 1,..., γ n, 1,..., n consttuem amostras aleatóras das varáves dendas no Teorema 1..1 e θ ξ, σ, λ, v é o vetor com todos os parâmetros. Denotaremos esta função por L c θ; y, γ,, e vamos denomná-la verossmlhança baseada nos dados aumentados, e a função de verossmlhança baseada somente nos dados observados por Lθ; y. 8 }

18 Denção 1.. Seja y uma amostra aleatóra da varável aleatóra Y Stξ, σ, λ, v. Então a função de verossmllhança aumentada é dada por L c θ; y, γ, n fγ j, j, y j θ. 1.0 j1 Para cada j 1,...n a varável aleatóra dada pela representação 1.13 tem a segunte densdade fγ j, j, y j θ 1 v/v/ π 1 δλ Γv/ v/ j σ exp exp onde η j y j ξ σ. Substtundo 1.1 em 1.0 temos L c θ; y, γ, j 1 δλ σ η j exp j v γj j 1 δλ + γ j j σ 1 δλ δ λy j ξ, 1.1 σ n 1 π v/ v/ 1 δ λσ Γv j / v j/ j j1 exp exp j 1 δλ σ η j exp j v γj j 1 δλ + γ j } j σ 1 δλ δ λy ξ. 1. σ Analogamente obtemos a log-verossmlhança baseada nos dados aumentados, dada por n l c θ; y, γ, log f j γ j, j, y j θ. j1 Aplcando a propredade do logartmo do produto, temos l c θ; y, γ, v ηj j j 1 δ j1 j1 λ + j1 γj j 1 δλ σ onde η j y j ξ σ. j1 + nv v v log n log Γ + v δλ η j γ j j 1 δλ σ n log σ n log 1 δλ log j, 1.3 j1 9

19 1.3 Estmação va Algortmo EM Nesta seção mostraremos como aplcar a teora do algortmo EM ntroduzdo por Dempster et al para estmar os parâmetros da densdade t-assmétrca. É mportante ressaltar que não temos nteresse na mplementação computaconal desse desenvolvmento. O nosso objetvo aqu é apenas mostrar os detalhes da teora do algortmo EM a qual remos aplcar na obtenção dos estmadores de uma mstura nta de densdades t-assmétrcas que denremos no próxmo capítulo. Em resumo, a teora do algortmo EM sugere estmação por máxma verossmlhança que se dá através de dos passos: prmeramente, o passo E onde são calculadas esperanças condconas envolvendo a função de log-verossmlhança aumentada. Desse processo resulta uma função Q dos parâmetros. No passo M são atualzados os estmadores obtdos pela maxmzação desta função. Repetdas teradas deste método fornecem uma sequênca monótona de estmatvas dos parâmetros da densdade t-assmétrca, processo este que é nterrompdo logo que se cumpra uma condção de parada pré-estabelecda. O algortmo é desenvolvdo a segur. O algortmo EM é dendo de tal manera que, sob condções geras, encontrase uma seqüênca θ k } que converge para um ponto estaconáro de Lθ. Dado um valor θ k gerado pelo algortmo, obteremos uma atualzação θ k+1 por: Passo E: Calcular as Esperanças Condconas; Passo M: Escolher θ k+1 argmax θ Ω Qθ θ k. Observações: A notação argmax θ Ω Qθ θ k sgnca o conjunto dos valores de θ Ω que maxmzam Qθ θ k sobre Ω, onde Ω é o espaço paramétrco. A aproxmação ncal é dada a partr de um chute θ 0. Para este trabalho, com o objetvo de estudarmos a consstênca das estmatvas geradas pelo algortmo, escolhemos como valores ncas os verdaderos valores dos parâmetros, e a partr destes será gerada uma sequênca de aproxmações θ k θ k : k 0, 1,...} de modo que: Lθ k Lθ k+1 Condção de Parada As terações do algortmo EM são repetdas contnuamente até que o valor da norma Lθ k+1 /Lθ k 1 seja pequeno. É comum estabelecer um lmte, um p > 0 muto pequeno, de modo que as terações são repetdas até que a norma acma seja menor que este valor. Para este trabalho vamos tomar p 10 6, ou seja, o algortmo será encerrado assm que tvermos Lθ k+1 /Lθ k para algum k ntero postvo. 10

20 Apresentaremos a segur como explorar a extensão ECM Meng & Rubn 1993 do algortmo EM, no qual ele subdvde o passo M em uma sucessão de passos CM dependentes entre s Passo E O Passo E esperança do algortmo consste em determnar a Q-função [ Qθ ˆθ k E l c θ y, γ, y, ˆθ k], onde ˆθ k ˆξ k, ˆσ k, ˆλ k, ˆv k representa uma dada aproxmação k-ésma teração de θ.ou seja, para obter a quantdade acma devemos calcular a esperança condconal da função log-verossmlhança 1.3, dado que se tenha uma aproxmação ncal de θ. Então a Q-função ca denda por [ Qθ ˆθ k v [ E j y j ; ˆθ k] η j E j y j ; ˆθ ] k 1 δ j1 j1 λ + δ λη j E [γ j j y j ; ˆθ ] k 1 δ j1 λ σ [ E γj j y j ; ˆθ ] k 1 δλ n log σ n σ log 1 δλ nv v v + log n log Γ + v j1 j1 Tomando os termos Então, Qθ ˆθ k v j1 [ E log j y j ; ˆθ k]. Ŝ k 1j Ŝ k 1j E[ j y j ; ˆθ k ], Ŝ k j E[γ j j y j ; ˆθ k ], Ŝ k 3j E[γ j j y j ; ˆθ k ], Ŝ k 4j E[log j y j ; ˆθ k ] 1.4 j1 η j Ŝ k 1j 1 δλ + j1 n log σ n log1 δ λ + nv log v δλ η j Ŝ k j 1 δλ σ n log Γ j1 v + v Ŝ k 3j 1 δ λ σ j1 Ŝ k 4j. 1.5 Logo o passo E ca resumdo a Dado θ ˆθ k, um valor ncal para os parâmetros da densdade, calcular Ŝ k 1j, Ŝk j, Ŝk 3j das equações dadas em 1.4 para j 1,..., n. 11 e Ŝk 4j

21 1.3. Passo CM Vamos maxmzar a Q-função denda no passo anteror a partr do valor ncal atrbuído ao vetor de parâmentros θ, denndo os seguntes passos: Passo CM 1: Obtenha a atualzação da estmatva ˆξ k maxmzando 1.5 sobre ξ, então ˆξ k+1 n j1 Ŝk 1j y k j ˆδ n λ j1 Ŝj n j1 Ŝ1j. 1.6 Passo CM : Fxando ξ ˆξ k+1, obtenha uma atualzação da estmatva ˆσ k maxmzando 1.5 sobre σ, então Ŝk n ˆσ k+1 j1 1j y j ˆξ k+1 ˆδ k λ Ŝk j y j ˆξ k+1 + Ŝk 3j. 1.7 k n1 ˆδ λ Passo CM 3: Fxando ξ ˆξ k+1 e σ ˆσ k+1, obtenha uma atualzação da estmatva ˆλ k soluconado a equação nδ λ 1 δλ δ Ŝ k 1j y j ˆξ k+1 Ŝ k 3j λ ˆσ k+1 + ˆσ k+1 j1 +1 δ λ j1 j1 Ŝ k j y j ˆξ k+1 ˆσ k Passo CM 4: Fxando ξ ˆξ k+1, σ ˆσ k+1 e λ ˆλ k+1, obtenha uma atualzação da estmatva ˆv k soluconado a equação v v log + 1 DG + 1 Ŝk 4j n Ŝk 1j 0, 1.9 onde DGx Γ x/γx. Note que nos passos CM 3 e CM 4 requerem que seja determnadas as raízes das equações 1.8 e 1.9 para a obtenção dos parâmetros λ e v, respectvamente. De acordo com Lu e Rubn 1994 em algumas stuações un-dmensonas a execução destes passos pode ser bastante lenta. Vsando uma melhora no processo das terações usaremos o algortmo ECME proposto por Lu & Rubn 1994 que reduz os passos CM 3 e CM 4 em um únco passo que consste em maxmzar a função log-verossmlhança restrta dos dados observados pela dstrbução t-assmétrca, o chamado passo CML. ˆλ k+1, ˆv k+1 argmax λ,v j1 log t vη k+1 j1 j T v+1 λη k+1 j v v. η k+1 j

22 1.4 Reparametrzação A obtenção do passo CML, dendo na seção anteror, tem um certo custo computaconal, pos a cada nteração serão xados as estmatvas atuas de ξ e σ restando a maxmzação da função de log-verossmlhança da t-assmétrca, usando a densdade 1.7, em função do λ e v smultaneamente. Vsando melhorar esse processo vamos apresentar nessa seção uma reparametrzação proposta por Lachos et al. 009 e a partr dessa nova reparametrzação redenremos os passos do algortmo ECME. A reparametrzação do modelo no teorema 1..1 será denda pela segunte transformação σ, λ α, β onde β δ λ σ e α 1 δλ σ. Logo, temos Y γ, N ξ + βγ, α ; γ T N 0, 1 ; 0, ; Γv/, v/ A Densdade Conjunta Reparametrzada A partr da reparametrzação, vamos desenvolver a nova densdade conjuta. Usando os mesmos argumentos da densdade orgnal, temos fγ,, y 1 π α exp 1 α v v/ Γ v v 1 exp v } πα exp y ξ + βγ α v v/ y ξ + βγ } 1 1 πα Γ v v exp exp γ } exp v } 1 v v/ πα Γ v v exp y ξ α exp γ } exp v } exp π 1 exp γ 1 γ } v v/ α y yξ + βγ + ξ + βγ 13 } Γ v v exp v } } } + βγ α y ξ β γ α

23 1 v v/ πα Γ v v exp v } exp } y ξ α } } βγ y ξ exp exp γ 1 + β α α α. Fazendo ρ y ξ α, obtemos v v/ 1 fγ,, y πα Γ v v exp v ρβγ exp α γ 1 + β α } exp } ρ } A Função de Verossmlhança Reparametrzada Pela nova representação a função de verossmlhaça aumentada de θ também será reparametrzada, usaremos Θ ξ, α, β, v para ndcar essa reparametrzação. Logo a função de verossmlhança aumentada é dada por L c Θ y, γ, n fγ j, j, y j ; Θ, 1.3 j1 onde para cada j 1,...n o modelo t-assmétrco tem a segunte representação Com densdade Y j γ j, j N ξ + βγ j, α, j γ j j T N 0, 1 ; 0,, j j Γv/, v/. v v/ 1 v fγ j, j, y j πα Γ v j βγ j j ρ j exp α exp v j} exp j γ j j ρ j } 1 } + β, 1.33 onde ρ j y j ξ α, substtundo 1.33 em 1.3 temos n 1 v L c Θ y, γ, v/ v πα Γ v j exp v j} exp } j ρ j j1 exp βγ j j ρ j α γ j j 14 α 1 } + β. α

24 Assm, a nova função log-verossmlhança aumentada é dada por lcθ y, γ, v [ j βγj j ρ j γ j j j ρ j + 1 ] + β α α n log π onde ρ j y j ξ α. j1 j1 n log α + nv log v j1 n log Γ v + v j1 log j, Reformulação do Algortmo ECME Neste seção vamos redenr os passos do algortmo EM usando a reparametrzação dada na seção anteror. Passo E: A Q-função segundo a reparametrzação ca assm denda QΘ ˆΘ k v j1 j1 [ 1 [ E j y j ; ˆΘ k] 1 + β α j1 j1 ρ [ j E j y j ; ˆΘ k] + [ E γ j y j ; ˆΘ k]] n log π n log α + nv logv log Γv + v Onde ˆΘ k ˆξ k, ˆα k, ˆβ k, ˆv k representa uma dada aproxmação de Θ. Tomemos os termos Substtundo em 1.34, temos QΘ ˆΘ k v j1 ŝ k 1j ŝ k 1j E[ j y j ; ˆΘ k ], ŝ k j E[γ j j y j ; ˆΘ k ], ŝ k 3j E[γ j j y j ; ˆΘ k ], j1 j1 ρj β [ α E γ j j y j ; ˆΘ k] [ E log j y j ; ˆΘ k] ŝ k 4j E[log j y j ; ˆΘ k ] n j1 ρ j ŝk 1j + j1 n log π n log α + nv log v Logo o Passo E ca dendo como segue: ρj β α ŝk j n log Γ j1 [ 1 v + v 1 + β j1 α ŝ k 4j. ] ŝ k 3j 15

25 Dado Θ ˆΘ k, um valor ncal para os parâmetros da densdade, calcular ŝ k 1j, ŝk j e ŝk 3j das equações dadas em 1.35 para j 1,..., n. Passo CM 1: Obtenha uma atualzação da estmatva ˆξ k maxmzando 1.34 sobre ξ, então ˆξ k+1 n j1 ŝk 1j y j n j1 ŝk j n j1 ŝk 1j Passo CM : Fxando ξ ˆξ k+1, obtenha uma atualzação da estmatva ˆα k maxmzando 1.34 sobre α, então n ˆα k+1 j1 y j ˆξ k+1 ŝ k 1j y j ˆξ k+1 β k ŝ k j + βk ŝ k 3j n Passo CM 3: Fxando ξ ˆξ k+1 e α ˆα k+1, obtenha uma atualzação da estmatva ˆβ k+1 maxmzando 1.34 sobre β, então n j1 y j ˆξ k+1 ŝ k ˆβ k+1 n j1 ŝk 3j j Passo CM 4: Fxando ξ ξ k+1 e α ˆα k+1 e β ˆβ k+1, obtenha uma atualzação da estmatva ˆv k+1 soluconado a equação v v log + 1 DG + 1 n j1 ŝ k 4j ŝk 1j Com a nova representação, apenas o passo CM 4 não tem solução fechada. Então vamos substtur o passo CM 4 pelo passo CML usando a extensão ECME do algortmo EM. Esta substtução justca sua ausênca do o termo ŝ k 4j no passo E. Passo CML: Fxados ξ ˆξ k+1, α ˆα k+1 e ˆβ k+1, calcular ˆv k+1 argmax v log t vη k+1 rj T v+1 β v + 1 α ηk+1 rj + v j1 η k+1 rj A nclusão dos termos β α e η r são justcados pela transformação

26 1.4.4 As Esperanças Condconas do Passo E Vamos apresentar o desenvolvmento das esperanças condconas dadas no Passo E do algormo ECME. Para sso usaremos a representação estocástca ncal teorema Em seguda faremos a reparametrzação dos resultados obtdos. Para melhor entendmento deste desenvolvmento vamos gnorar os índces, calcular as densdade condconas f y, fγ, y em seguda usá-la para determnar as esperanças desejadas. Para tanto vamos obter ncalmente a densdade conjunta fγ, y. A densdade conjunta f, y é obtda ntegrando 1.19 em relação a γ f, y v v 1 π σ v 1 Γ v exp η + vφλη Logo a função de densdade condconal dado Y é dada pela razão de 1.41 e 1.19, então f y f, y fy π σ 1 σ v 1 v v Γ v v+1 [ Γ v+η Γ v vπ v exp η + v Φλη ] v+1 λη T v+1 v+1 η +v v v 1 π σ v 1 Γ v σ Γ v [ ] v+1 vπ v + η Γ v+1 v exp η + v Φλη v + 1 T v+1 λη η + v 1/ 1 v v v v 1/ v v+1 [v + η ] v+1 v + 1 Γ } 1 v + 1 } 1 T v+1 λη η + v v 1 exp η + v Φλη [ v + η ] v+1 Γ v + 1 v + 1 } 1 v 1 Tv+1 λη η exp + v η + v Φλη b v 1 exp η + v Φλη. f Y b v 1 exp η + vφλη, 1.4 onde [ v + η ] v+1 b Γ v + 1 v + 1 } 1. T v+1 λη 1.43 η + v 17

27 Para determnar a função de densdade condconal γ dado basta obter a razão de 1.19 e 1.4, então fγ, y logo fγ,, y f, y 1 v v/ π 1 δλ σ Γ v v exp 1 π 1 δ v π λ σ σ exp Φλη 1 1 π σ 1 δλ 1 π σ v 1 v v 1 } 1 δλ η exp v v Γ v γ 1 δ λ σ + exp η + v } Φλη } γ δ 1 δλ λ y ξ σ 1 δ λ η v γ 1 δ λ σ + γ 1 δ λ σ δ λy ξ + η + v } γ y ξδλ } exp 1 δλ Φλη 1, σ γ, Y T N δ λ y ξ, 1 δ λ σ ; 0, Agora vamos determnar as esperanças condconas necessáras no Passo E. Vamos mostrar que a esperança condconal de dado Y y é dada por v+3 v + 1 Tv+3 M v+1 E[ y] η, v T v+1 M onde De fato, por denção v + 1 M λη η + v E[ Y ] Substtundo 1.4 em 1.47, temos E[ Y ] Introduzremos os termos uma gamma com parâmetros 0 f yd b v+1 exp η + vφλη d. 0 Γ v+3 η +v v+3 v+3, η +v com objetvo de obter a densdade de em função de. Então E [ Y ] b Γ v+3 η +v v+3 0 η v+3 +v Γ v+3 v+3 1 exp η + v Φλη d,

28 a ntegral acma é [ E Φλη ]. Aplcando 1.8 e substtundo 1.43 em 1.48 temos E[ Y ] η +v Γ v+1 T v+1 v+1 λη v+1 η +v Γ v+3 η +v v+3 T v+3 λη v+1 Γ + 1 η v+1 + v v+3 T v+3 v+3 η +v Γ v+1 λη T v+1 v+1 η +v λη v + 1 η 1 + v T v+3 v+3 η +v λη T v+1 v+1 η +v λη v+3 v + 1 Tv+3 η +v η + v T v+1 λη v+1 η +v v+3 η +v Para a obtenção de 1.45 precsamos substtur M dado em 1.46 que é medata no denomnador, em T v+1, mas no numerador, em T v+3, temos v + 3 v + 1 v + 3 v + 1 v + 3 v + 3 λη η + v λη η + v v + 1 λη η + v v + 1 M v + 1. Fazendo as substtuções obtemos o resultado desejado. Para desenvolver as próxmas esperanças condconas do passo E precsaremos do segunte lema. Lema Seja X NT µ, σ I a 1 < x < a } uma dstrbução normal truncada. Então 1. EX µ σ φα φα 1 Φα Φα 1. EX µ + σ σ α φα φα 1 Φα Φα 1 µσ φα φα 1 Φα Φα 1 Onde α a µ σ com 1,. 19

29 Demonstração: Incalmente vamos obter a função geradora de momentos Mt E [ e tx ] a a 1 Φ a µ σ Φ a µ σ e tx fxdx Φ a1 µ σ 1 a1 µ Φ σ Vamos calcular separadamente a ntegra acma a a 1 e tx fxdx σ π a a 1 e tx e 1 x µ σ dx onde γ σ t + µ. Voltando em 1.50, temos 1 σ π a e 1 σ [x σ t+µ] σ t+µ +µ dx a 1 a e 1 x γ σ dx a 1 e 1 σ [µ σ t+µ ] 1 σ π a e µt+σ t 1 a 1 σ φx γ σ e µt+σ t / [ Φ a γ σ dx Φ a 1 γ σ Mt e µt+σ t / Φ a µ σ σt Φ a 1 µ σ σt Φ a µ σ Φ a 1 µ σ Para mostrar a prmera parte do lemma vamos dervar 1.51 parcalmente em função de t, logo [ ] M t µ + σ te µt+σ t / Φ a µ σ σt Φ a 1 µ σ σt Φ a µ σ Φ a 1 µ σ + [ +e µt+σ t / σ φ ] a µ σ σt φ a 1 µ σ σt Φ a µ σ Φ a 1 µ σ. 1.5 Fazendo t 0, obtemos E[X] µ σ φα φα 1 Φα Φα 1. Para obtermos a segunda parte da demonstração, vamos dervar 1.5 em relação a t ]. M t µe µt+ σ t + σ te µt+ σ t [ Φα σt Φα 1 σt Φα Φα 1 ] 0

30 [ e µt+ σ t σ φα ] σt φα 1 σt Φα Φα 1 µµ + σ te µt+ σ t + σ [ e µt+ σ t + +tµ + σ te µt+ σ t + µe µt+ σ t + σ te µt+ σ t µ + σ te µt+ σ t ] [ ] Φα σt Φα 1 σt + Φα Φα 1 [ φα σt φα 1 σt σ +σ φ α σt φ α 1 σt. Φα Φα 1 Φα Φα 1 [ σ φα ] σt φα 1 σt + Φα Φα 1 ] Fazendo t 0, temos E[X ] µ + σ Φα Φα 1 Φα Φα 1 µσ φα φα 1 Φα Φα 1 µσ φα φα 1 Φα Φα 1 σ + µ + σ φ α φ α 1 Φα Φα 1 µσ φα φα 1 Φα Φα 1 µ + σ σ α φα α 1 φα 1 Φα Φα 1 µσ φα φα 1 Φα Φα 1, onde φ α a µ 1 e 1 a µ σ σ π α φα. Voltando as esperanças condconas do passo E Vamos mostrar que a esperança condconal de γ dado Y y é dada por E[γ y] δ λ y ξe[ Y ] + 1 δ λ πfy η v v1 δλ com efeto, das propredades de esperança condconal podemos reescrever E[γ y] E[E[γ y, ] y]

31 por 1.44 podemos usar a prmera parte do lema 1.4.1, temos E[γ y, ] δ λ y ξ + Da proposção 1..1 δ λ φ Φ δ λy ξ 1 δ λ σ δ λy ξ 1 δ λ σ λ 1 λ λ δ λ 1 λ λ 1 δλ σ δ λ 1 δ λ Substtundo 1.56 em 1.57, então E[γ y, ] δ λ y ξ + φ λη Φ λη 1 δλ σ Substtundo agora 1.57 em 1.54 E[γ y] E δ λ y ξ + φ λη Φ λη 1 δλ σ Y [ δ λ y ξ E[ Y ] + 1 δ λ σe φ λη ] Φ λη Y [ φλη ] Como E[ Y ] é conhecdo, vamos calcular E Φλη Y separadamente E [ φ λη Φ λη Y ] 0 φ λη Φ λη f yd, 1.59 onde f y f, y fy Substtundo apenas 1.41 em π σ v 1 v v Γ v f y exp η + vφλη. fy

32 Substtundo em 1.59, temos E [ φ λη Como Φ λη Y ] 0 1/ φ λη Φ λη v v σγ v fy 0 1 π σ v 1 v v Γ v exp η + vφλη d fy v +1 1 exp η + v } π φ λη d. φ λη 1 exp 1 π λ η, 1.6 substtundo 1.6 em 1.61, temos [ φ λη ] v v E Φ λη Y πσγ v fy Por outro lado v v πσγ v 0 fy 1 + λ 1 + δ λ 1 δ λ Substtua 1.64 em 1.63, então [ φ λη ] E Φ λη Y v v πσγ v πσfy [ fy 0 v v η 1 δλ [ 1 η 1 δλ v +1 1 exp [ η + v + λ η ]} d v +1 1 exp [ η 1 + λ + v ]} d. 1 1 δλ Γ v v +1 1 exp [ ]} η 1 δλ + v d ] v/ + v ] v/ + v v 1 exp Na ntegral acma[ temos o] produto de pela densdade da gamma com parâmetros v, 1 η + v em função de, ou seja, temos E[] que substtundo em 1.65, temos 1 δλ [ φ λη ] E Φ λη Y πσfy [ 1 3 v v η 1 δ λ + v v ] v/ 1 η 1 δλ } η 1 δλ + v d v

33 v v [ πσfy η + v 1 δλ v v +1 πσfy η 1 δλ 1 πσfy v + v +1 η v1 δ λ + 1 η ] v/ v 1 δ λ + v v substtundo 1.66 em 1.58 obtemos o resultado desejado. Vamos mostrar que a esperança condconal de γ dado Y y é dada por E[γ y] δλ y ξ E[ Y ] + 1 δλ σ + δ λy ξ 1 δλ πfy De fato, como no tem temos η v1 δ λ + 1 E[γ y] E[E[γ y, ] y], 1.68 e anda por 1.44 γ, y NT δ λ y ξ, 1 δ λ σ ; 0,. Logo pela segunda parte do lema E[γ y, ] δλy ξ + 1 δ λ σ + φ λη Φ λη δ λy ξσ 1 δλ. v +1 Substtundo em 1.68 E[γ y] E δλy ξ + 1 δ λ σ + φ λη Φ λη δ 1 δλ λy ξσ y [ δλy ξ E[ y] + 1 δλσ + δ λ y ξσ 1 δ λ E φ λη ] Φ λη y Substtundo 1.66 em 1.69 obtemos o resultado desejado. Para nalzar a processo de reparametrzação vamos fazer uma substtução dos parâmetros das esperanças obtdas acma usando a transformação

34 Dados β δ λ σ e α 1 δλ σ obtemos σ α, β e λα, β resolvendo o segunte sstema de equações: β δ λ σ σ α + β α 1 δ λ σ δ λ que substtundo em δ λ β α +β λ 1+λ, obtemos λ β α. Logo e σ α, β α + β 1.70 λα, β β α Substtundo 1.70 e 1.71 em 1.45, temos v+3 v + 1 Tv+3 M r v+1 s 1 E[ Y ] ηr v T v+1 M r Substtundo 1.70 e 1.71 em 1.53, temos s E[γ y] βη r E[ Y ] + Substtundo 1.70 e 1.71 em 1.67, temos s 3 E[γ y] β ηre[ Y ] + α βη r α + π α + β f Y y onde η r α 1 v +1 α + β πf Y y v ρ v 1 +1 v ρ , y ξ α + β, 1.75 M r β α η v + 1 r ηr + v, 1.76 ρ y ξ α 5

35 Capítulo Mstura Fnta de Densdades t-assmétrcas.1 Mstura Fnta de t-assmétrcas Uma mstura de densdades t-assmétrcas é uma dstrbução denda pela densdade g ψy Θ w f y θ, y R,.1 1 w 0, g w 1, onde f θ é a densdade t-assmétrca com vetor de parâmetros θ ξ, α, β, v, os w s são os pesos da mstura e Θ w 1,..., w g, θ 1,..., θ g denota o vetor com todos os parâmetros. No contexto de modelagem por mstura de densdades é ntroduzdo para cada Y j, j 1,..., n da amostra um conjunto de varáves ndcadoras Z j Z 1j,..., Z gj T, composto de varáves bnáras tas que 1 se Yj f Z kj k, 0 caso contráro. e g Z j 1. 1 Dadas as probabldades da mstura w 1,..., w g os vetores de varáves ndcadoras Z 1,..., Z n são ndependentes com densdade multnomal, dada por 1 fz j ω z 1j 1 ωz j...1 ω 1... ω g 1 z gj.. Usaremos Z j M1; ω 1,..., ω g para denotar a dstrbução das Z j com j 1,..., n. A partr dessa nclusão faremos a modelagem dos dados dtos completos x j y j, z j. 6

36 . Função log-verossmlhança para os dados completos Consdere que dspomos de uma amostra aleatóra y 1, y,..., y n } da dstrbução.1. A densdade conjunta de x j y j, z j é dada por fx j Θ fy j z j ; Θfz j ; Θ g f y j ; θ zj fz j ; Θ..3 1 Em.3, pela dstrbução assumda por z j, temos fz j Θ fz j ; w g 1 w z j..4 Substtundo.4 em.3 obtemos fx j Θ g 1 w z j f y j ; θ z j..5 Consderando agora a ndependênca dos dados ncompletos e.5, temos que a função de verossmlhança é dada por L c Θ n fx j ; Θ j1 n g j1 1 w z j f y j ; θ z j..6 De.5 vemos que a função de log-verossmlhança para dados completos é dada por l c Θ j1 1 g Z j log w + j1 1 g Z j log f y j ; θ..7 Vmos no capítulo anteror uma representação estocástca do modelo t-assmétrco. Com a nclusão das varáves ndcadoras Z j s temos uma representação estocástca 7

37 da mstura de densdades t-assmétrcas dada por Y j γ j, j, z j 1 N ξ + β γ j, α, j γ j j, z j 1 T N 0, 1 ; 0,, j j, z j 1 Γv /, v /, Z j M1; w 1,..., w g. Note que usamos a representação reparametrzada. A densdade conjunta baseada nas observações y j é dada por 1 v f y j ; θ πα Γ v j ρ j β γ j j exp α v / para cada 1,..., n e j 1,..., g. v exp v γ j j j} exp } 1 + β α j ρ j Logo a log-verossmlhança para os dados completos em.7 ca assm denda } l c Θ j1 1 j1 1 g Z j log w g Z j v [ j ρj β γ j j γ j j j ρ j + α n log α + nv logv n log Γv + v log j }. ] 1 + β α n log π onde ρ j y j ξ β..3 Estmação va algortmo ECME Nesta seção trataremos da elaboração de um algortmo EM para msturas. Como no capítulo anteror denremos os passos da extensão ECME. Incalmente vamos determnar a Q-função e calcular as esperanças condconas. Temos que QΘ Θ k E z [l c Θ Y n, Θ k ] 8

38 g j1 1 [ E Z j Y n, Θ k] log w + g j1 1 [ E Z j log f y j ; θ Y n, θ k],.8,..., θk, representa uma dada aprox- onde Θ k w k mação de Θ. 1, wk..., wk g, θ k Aplcando as esperanças, temos 1, θk g QΘ ˆΘ k g j g 1 j1 g E [Z j y j ; ˆΘ k] log w 1 j1 g 1 j1 g 1 g v E [ Z j j y j ; ˆΘ k] β ρ j 1 j1 α E [Z j γ j j y j ; ˆΘ k] g 1 j β α E [Z j γj j y j ; ˆΘ k] ρ [ j E Z j j y j ; ˆΘ k] Z j n log α + n log π nv logv + n log Γv v E [ Z j log j y j ; ˆΘ k]. Tomemos os termos ẑ k condconas j, ŝk 1j, ŝk j, ŝk 3j e ŝk 4j que correspondem as esperanças E[Z j y j ; ˆΘ k ], E[Z j j y j ; ˆΘ k ], E[Z j γ j j y j ; ˆΘ k ], E[Z j γ j j y j ; ˆΘ k ], E[Z j log j y j ; ˆΘ k ],.9 respectvamente, tal que.8 pode ser escrta por QΘ ˆΘ k g j1 1 + g 1 j1 g ẑ k j log w 1 j1 v ŝk 1j β α g 1 j1 ŝ k 3j ρ j ŝk 1j + g 1 j1 β ρ j α ŝ k j 9

39 + g 1 g 1 j1 Z j n log α + n log π v logv + n log Γv v ŝk 4j..10 Das esperanças condconas dadas em.9 vamos calcular apenas as que usaremos no Passo E. ẑ k j E r [Z j Y j ; ˆΘ k ] E r [z j Y n, Θ k ] Pr[z j 1 Y n, Θ k ] Pr[z j 1 y j, Θ k ],.11 onde a tercera gualdade decorre da denção de z j e, a últma, devdo a ndependênca dos z j s. Consderando a dstrbução dada em.4, temos que Pr[z j 1 Θ k ] Pr[z j 1 z l 0 l j θ k ] w k..1 Usando.3, vemos que e, portanto, temos que fy j z j ; Θ k g 1 Empregando o teorema de Bayes, vemos que ẑ k f y j ; θ k zj,.13 fy j z j 1; Θ k f y j ; θ k..14 j Pr[z j 1 y j, Θ k ] Pr[z j 1 Θ k ]fy j z j 1; Θ k py j ; Θ k..15 Usando.1,.14 e.1 em.15, obtemos de modo que ẑ k j w k s t1 wk t f y j ; θ k f t y j ; θ k t.16 ẑ k j wk fy j ξ k, α k, β k, v k ψy j Θ k..17 Da expressão acma, vemos que ẑ k j representa uma estmatva de probabldade de y j pertencer a uma população cuja a dstrbução é dada por f.; θ k, com base em uma dada estmatva Θ k do vetor de parâmetros Θ. 30

40 [ ŝ k 1j E Z j j y j, ˆΘ k] [ [ E j E Z j y j, ˆΘ k] y j, ˆΘ k]..18 Mas E [Z j y j, ˆΘ ] k ca conhecdo quando é dado valor a y j, então.18 ca ŝ k 1j [Z E j y j, ˆΘ k] [ E j y j, ˆΘ k]..19 Substtundo.17 e aplcando 1.7 na componente temos ŝ k 1j ẑ k k ˆv + 1 j ˆη k rj + ˆv k T ˆv k +3 k ˆv ˆM k rj +3 ˆv k +1 k k ˆM Tˆv +1 rj ;.0 [ ŝ k j E Z j γ j j y j, ˆΘ k] [ [ E γ j j E Z j y j, ˆΘ k] y j, ˆΘ k]..1 Como E [Z j y j, ˆΘ ] k é conhecdo, temos.1 ca ŝ k 1j [Z E j y j, ˆΘ k] [ E γ j j y j, ˆΘ k]. substtundo.17 e aplcando 1.73 na componente temos [ j E Z j y j, ˆΘ k] E [γ j j y j, ˆΘ k] [ E Z j y j, ˆΘ k] [ E j y j, ˆΘ k] β k ŝ k + E [Z j y j, ˆΘ k] α k α k η k rj + β k πψy j ˆΘ k β k η k rj [Z E j y j, ˆΘ k] E [ j y j, ˆΘ k] + E [Z j y j, ˆΘ k] α k β k η k rj ŝk 1j + ẑk j α k + β k πψy j ˆΘ k α k 1 v k α k + β k πψy j ˆΘ k 1 v k ρ k j + 1 ρ k j v k v k +1 v k +1 ρ k j + 1 v k

41 De modo análogo, agora usando a equação 1.74 na componente mostra [ v ŝ k 3j E Z j γj j y j, ˆΘ k] [ [ E γj j E Z j y j, ˆΘ k] y j, ˆΘ k].4 logo ŝ k 3j β k + ẑ k j η k rj ŝk 1j α k + β k η k rj αk α k β k πψy j ˆΘ k 1 v k ρ k j + 1 v k O Algortmo ECME para Mstura Fnta de Densdades t-assmétrcas Nesta subseção vamos apresentar os passos do algortmo ECME para estmar os parâmetros da mstura nta de densdades t-assmétrcas. Para este estudo escolhemos tomar como guas, embora desconhecdos, os parâmetros de graus de lberdade. Todos os procedmentos algébrcos para obtenção desses resultados foram vstos nas seções anterores. O algortmo ECME para Mstura Fnta de Densdades t-assmétrcas, é dendo por: Passo E: Dado Θ ˆΘ k, um valor ncal. Calcular para 1,..., g e j 1,..., n. Passo CM 1:Calcular ˆω k+1 n 1 n j1 ẑk j ẑ k j, ŝk 1j, ŝk j e ŝk 3j.5 ˆξ k+1 ˆξ k Passo CM : Obter o estmador n j1 ŝ k 1j y j β kŝj n j1 ŝ1j.6 Passo CM 3: Fxado ξ ˆα k+1 n j1 y j k+1 ˆξ, calcular k+1 ˆξ ŝ k 1j y j n ˆξ k+1 β k ŝ k j + βk ŝ k 3j.7 3

42 k+1 Passo CM 4: Fxados ξ ˆξ ˆβ k+1 e α ˆα k+1, calcular n j1 y j ˆξ k+1 n j1 ŝk 3j ŝ k j.8 Passo CML: Fxados ˆω k+1, ξ g ˆv k+1 argmax v log j1 k+1 ˆξ, α ˆα k+1 e ŵ k+1 f y j ˆξ k+1 k+1 ˆβ, calcular, ˆα k+1 k+1, ˆβ v},..9 33

43 Capítulo 3 Consstênca das Estmatvas e Uma Aplcação Neste capítulo vamos apresentar um estudo de smulação para avalar a consstênca das estmatvas dos parâmetros da mstura nta de densdades t-assmétrcas dado em.1 obtdo pelo algortmo ECME. Apresentaremos também uma aplcação da teora desenvolvda em uma modelagem com dados reas. 3.1 Estudo de Smulação Com o objetvo de avalar a consstênca dos estmadores dos parâmetros da mstura nta de densdades t-assmétrcas, obtdos no capítulo anteror, apresentaremos um estudo de smulação no qual foram consderadas msturas de duas e três densdades t-assmétrcas. Para avalar a convergênca dessas estmatvas para os seu verdaderos valores, em grandes amostras, calculamos, neste estudo de smulação, o víco Bas e o erro quadrátco médo MSE das estmatvas de cada coordenada do vetor de estmatvas e para cada componente das msturas separadamente. A escolha dos parâmetros para essas msturas seguram dos casos de agrupamento, cujas caracterstcas são dendas de acordo com a dstânca: D g w ξ ξ + α ᾱ + β β + v v 1 onde ξ g 1 w ξ, ᾱ g 1 w α, β g 1 w β e v g 1 w v. Intutvamente, consderamos 34

44 1. D Pequeno Chamamos D Pequeno o agupamento de msturas de duas e três densdades t-assmétrcas com modas próxmas, nas quas apenas pelo hstograma dessas msturas não é possível avalar faclmente a quantdade de componentes exstentes em cada mstura;. D Grande Chamamos D grande, o agupamento de msturas de duas e três densdades t-assmétrcas com modas afastadas. Neste, é possível vsualzar, através dos hstogramas dessas msturas, a quantdade de componentes exstentes em cada mstura. Hstogramas Msturas de Duas Densdades t-assmétrcas Fgura 3.1: D Pequeno Fgura 3.: D Grande 35

45 As guras 3.1 e 3. mostram hstogramas para amostras com 100, 500, 1000 e 5000 observações geradas a partr de msturas de duas densdades t-assmétrcas, nos casos de modas próxmas D Pequeno e modas afastadas D Grande, respectvamente. Em ambos os casos foram xados valores para os parâmetros que são apresentados na tabela 3.1. O mesmo crtéro de escolha dos parâmetros fo atrbuído à mstura de três densdades t-assmétrcas. Observe que na gura 3.1, para amostra com 5000 observações, o hstograma não ndca que se trata de mstura de densdades t-assmétrcas. Já na gura 3., para o mesmo número de observações, a mstura de duas densdades t-assmétrcas está bem evdencada. Hstogramas Msturas de Três Densdades t-assmétrcas Fgura 3.3: D Pequeno Fgura 3.4: D Grande 36

46 As guras 3.3 e 3.4 mostram hstogramas de amostras com 100, 500, 1000 e 5000 observações geradas de msturas de três densdades t- assmétrcas, nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. Na gura 3.3 os hstogramas ndcam, para todos o tamanhos de amostra, que se trata de mstura de densdades t-assmétrcas, mas não é possível dentcar que temos msturas de três densdades t-assmétrcas. Para a amostra com 5000 observações, por exemplo, aparentemente o hstograma trata de mstura de duas densdades t-assmétrcas. Na gura 3.4 é possível dentcar para todo tamanho de amostra que trata-se de mstura de três densdades t-assmétrcas, observe que a partr de 500 observações esta quantdade já está bem evdencada. Para este desenvolvmento escolhemos tomar como guas, embora desconhecdos, os valores dos graus de lberdade de todas as componentes da mstura. Ou seja, a expressão da dstânca D reduz-se a D g w ξ ξ + α ᾱ + β β. 1 A tabela a baxo mostra a combnação dos parâmetros para os modelos de msturas de duas e três densdades t-assmétrcas dstrbudas nos casos de D pequeno P e D grande G. Nc D w 1 ξ 1 α1 β 1 v 1 w ξ α β v w 3 ξ 3 α1 3 β 3 v 3 P G P 1/ / / G 1/ / / Tabela 3.1: Combnação dos Parâmetros O termo Nc ndca número de componentes em cada mstura e os termos w, ξ, α, β e v ndcam os parâmetros de peso, locação, escala, assmetra e graus de lberdade da componente, respectvamente, com 1,, 3. As guras 3.1, 3., 3.3 e 3.4 foram geradas com os parâmetros descrtos na tabela acma. 37

47 3.1.1 Processo de Smulação Para ncar o processo de smulação vamos fazer varar o tamanho n da amostra de 50 a Faremos então n 50, 100, 00, 500, 1000, 000, 5000 e para cada mstura. O processo de smulação segue os passos dendos abaxo: Para cada n são xados os valores ncas, os chutes do algortmo ECME, guas aos verdaderos valores dos parâmetros dados na tabela Passo 1 Gerar n valores observados ndependentes, provenentes de uma mstura de densdades t-assmétrcas;. Passo Obter va algortmo ECME uma estmatva ˆΘ ; 3. Passo 3 Repetr os passos 1-, r 1000 vezes, obtendo uma seqüênca de estmatvas } e calcular: ˆΘ m 3.1 O víco Bas do estmador para cada componente da mstura, Bas ˆΘ 1 r r m1 ˆΘ m Θ ; 3. O Erro Quadrátco Médo MSE ˆΘ para cada componente da mstura, MSE ˆΘ 1 r r m1 ˆΘm Θ. Onde Θ w, ξ, α, β, v, r ndca o número de nterações da smulação, ˆΘ m ˆξ m ˆα m ŵ m,, m 1,..., r e 1,..., g., ˆβ m, ˆv m é o estmador da m-ésma nteração com 3.1. Resultados Podemos avalar a consstênca das estmatvas obtdas va algortmo ECME, analsando os seguntes grácos gerados a partr do estudo de smulação dendo anterormente. Usamos as cores preto, vermelho e azul para representar o Bas e MSE da prmera, segunda e tercera componente em cada mstura, respectvamente. 38

48 Fgura 3.5: Bas do ŵ com 1,. Fgura 3.6: MSE do ŵ com 1,. Bas e MSE do estmador do parâmetro PESO do modelo de mstura de duas densdades t-assmétrcas nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto e vermelho ndcam a prmera e segunda componente de cada mstura. Os vícos das estmatvas dos parâmetros pesos das componentes dessas msturas dmnuem mas rapdamente no prmero caso com n No segundo caso, observe que para n 6000 observações esses vícos começam a ser nsgncantes, g Os MSEs dessas estmatvas convergem smultaneamente no prmero caso, sendo possível vsualzar apenas uma lnha. Já no segundo, a convergênca para zero do MSE da estmatva ŵ ocorre mas lentamente, g

49 Bas e MSE do estmador do parâmetro LOCAÇÃO do modelo de mstura de duas densdades t-assmétrcas nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto e vermelho ndcam a prmera e segunda componente de cada mstura. Fgura 3.7: Bas do ˆξ com 1,. Fgura 3.8: MSE do ˆξ com 1,. Os vícos das estmatvas dos parâmetros de locação das componentes dessas msturas passam a ser nsgncantes para amostra com aproxmadamente 000 observações em ambos os casos de agrupamento, g Este número é consderado pequeno, se comparado ao ponto de convergênca dos vícos das do peso. Por outro lado, o MSE do ˆξ 1 converge para zero mas rapdamente que o do ˆξ em ambos os casos, g

50 Bas e MSE do estmador do parâmetro ESCALA do modelo de mstura de duas densdades t-assmétrcas nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto e vermelho ndcam a prmera e segunda componente de cada mstura. Fgura 3.9: Bas do ˆα com 1,. Fgura 3.10: MSE do ˆα com 1,. No caso D Pequeno, tanto os vícos quantos os MSEs das estmatvas dos parâmetros de escala das componentes dessas msturas têm comportamentos parecdos quanto a convergênca, o mesmo não ocorre no segundo caso. Observe que para D Grande o víco da estmatva ˆα 1 converge mas rapdamente que o da estmatva ˆα. O mesmo ocorre com o MSE dessas estmatvas, enquanto ˆα 1 converge para zero com n 000 a estmatva ˆα precsa de mas que o dobro de observações para atngr a convergênca, gs

51 Bas e MSE do estmador do parâmetro ASSIMETRIA do modelo de mstura de duas densdades t-assmétrcas nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto e vermelho ndcam a prmera e segunda componente de cada mstura. Fgura 3.11: Bas ˆβ com 1,. Fgura 3.1: MSE do ˆβ com 1,. Os vícos das estmatvas dos parâmetros de assmetra das componentes dessas msturas atngem nsgncânca em aproxmadamente 1000 observações em ambos os casos de agrupamento, g Os MSEs dessas estmatvas convergem para zero smultaneamente sendo possível vsualzar apenas uma lnha, g

52 Bas e MSE do estmador do parâmetro GRAUS DE LIBERDADE do modelo de mstura de duas densdades t-assmétrcas nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto e vermelho ndcam a prmera e segunda componente de cada mstura. Fgura 3.13: Bas ˆv com 1,. Fgura 3.14: MSE do ˆv com 1,. Como os parâmetros de graus de lberdade foram tomados guas em todas as componentes dessas msturas, as lnhas que representam os vícos e os MSEs de suas estmatvas são guas. Observe que, tanto os vícos quantos os MSEs dessas estmatvas têm comportamentos semelhantes em ambos os casos de agrupamento, gs Para os próxmos resultados, o processo de smulação fo encerrado em n

53 Bas e MSE do estmador do parâmetro PESO do modelo de mstura de três densdades t-assmétrcas nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto, vermelho e azul ndcam a prmera, segunda e tercera componente de cada mstura. Fgura 3.15: Bas do ŵ com 1,, 3. Fgura 3.16: MSE do ŵ com 1,, 3. Os vícos das estmatvas dos parâmetros pesos das componentes dessas msturas assumem valores bem próxmos de zero no prmero caso, g Anda neste caso, observe que a lnha vermelha que ndca o víco da estmatva ˆξ não aparece. Já no segundo caso é possível observar a convergênca dos vícos das três estmatvas avaladas. Por outro lado, observando a gura g. 3.16, note que os MSEs dessas estmatvas convergem para zero mas rapdamente no segundo caso de agrupamento. 44

54 Bas e MSE do estmador do parâmetro LOCAÇÃO do modelo de mstura de três densdades t-assmétrcas nos casos "D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto, vermelho e azul ndcam a prmera, segunda e tercera componente de cada mstura. Fgura 3.17: Bas do ˆξ com 1,, 3. Fgura 3.18: MSE do ˆξ com 1,, 3. Os vícos das estmatvas dos parâmetros de locação das componentes dessas msturas, no caso D Grande cam nsgncantes para um número aproxmado de 4000 observações. Já no caso D Pequeno até o número máxmo de observações smuladas, não fo possível atngr a nsgncânca esperada, g Acredta-se pelo MSE desta mstura, g.3.18, para um número maor de observações na smulação teríamos a tal convergênca. 45

55 Bas e MSE do estmador do parâmetro ESCALA do modelo de mstura de três densdades t-assmétrcas nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto, vermelho e azul ndcam a prmera, segunda e tercera componente de cada mstura. Fgura 3.19: Bas do ˆα com 1,, 3. Fgura 3.0: MSE do ˆα com 1,, 3. Observe que em ambos os casos de agrupamento o víco da estmatva ˆα não aparece, g Apenas no segundo caso os vícos das ˆα 1 e ˆα 3 convergem para zero. Anda neste caso, agora analsando a g.3.0, podemos perceber que o MSE da ˆα precsa de um número maor de observações na smulação para atngr a convergênca para zero. No prmero caso, os MSEs das estmatvas dos parâmetros de escala não atngram a convergênca esperada. 46

56 Bas e MSE do estmador do parâmetro ASSIMETRIA do modelo de mstura de três densdades t-assmétrcas nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto, vermelho e azul ndcam a prmera, segunda e tercera componente de cada mstura. Fgura 3.1: Bas do ˆβ com 1,, 3. Fgura 3.: MSE do ˆβ com 1,, 3. Os vícos das estmatvas dos parâmetros de assmetra das componentes dessas msturas, no segundo caso se tornam nsgncante com aproxmadamente 1000 observações. Já no prmero caso o víco da ˆβ 1 não atnge a nsgncânca esperada, g Em relação aos MSEs, essas estmatvas têm comportamentos parecdos, em ambos os casos de agrupamento g

57 Bas e MSE do estmador do parâmetro GRAUS DE LIBERDADE do modelo de mstura de três densdades t-assmétrcas, nos casos D Pequeno e D Grande, respectvamente. As cores preto, vermelho e azul ndcam a prmera, segunda e tercera componente de cada mstura. Fgura 3.3: Bas do ˆv com 1,, 3. Fgura 3.4: MSE do ˆv com 1,, 3. Assm com na mstura de duas densdades t-assmétrcas, os vícos e os MSEs das estmatvas dos parâmetros graus de lberdade dessas msturas são representados por uma únca lnha. Observe que tanto os vícos quantos os MSEs dessas estmatvas têm comportamentos semelhantes em ambos os casos de agrupamento gs