Considere o tabuleiro da figura. a) Considere uma peça com 4 casas:

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1 MATEMÁTICA Considere o tabuleiro da figura. a) Considere uma peça com casas: De quantas maneiras diferentes pode-se colocá-la no tabuleiro, sem girá-la e mantendo-se sempre a mesma face voltada para cima, de forma a cobrir casas por completo? b) Considere, agora, a peça com casas: Imaginando todas as posições possíveis para a mesma, e mantendo-se sempre a mesma face voltada para cima, de quantas maneiras diferentes pode-se colocá-la no tabuleiro de modo que cubra casas por completo? a) Considerando duas linhas consecutivas do tabuleiro, a peça considerada pode ser colocada em posições diferentes, como se vê na seqüência de figuras: Como existem formas de se escolher duas linhas consecutivas (ª linha e ª linha; ª linha e ª linha; ª linha e ª linha), no total existem x = maneiras diferentes de colocar a peça no tabuleiro. b) Para cada quadrado x, existem posições possíveis para a peça, como mostra a seqüência de figuras seguinte: Como, pelo exposto no item a, existem ma-

2 neiras diferentes de posicionar o quadrado x, existem x = 8 formas de posicionar a peça considerada. Respostas: a) maneiras b) 8 maneiras Um grande arranjo de flores deve ser formado com 800 rosas, 70 hortências e 00 cravos, sendo composto de ramos, todos os ramos com o mesmo número de rosas, o mesmo número de hortências e o mesmo número de cravos. Nestas condições, a) qual o maior número de ramos que pode ser formado? b) quantas flores de cada qualidade tem cada ramo? a) A quantidade n de ramos é divisor natural de 800, 70 e 00 e o maior possível. Desta forma n = mdc(800, 70, 00) = b) Cada ramo deverá conter = rosas, = hortências e = cravos 0 0 Respostas: a) 0 ramos b) rosas, hortências e cravos Seja a seguinte expressão algébrica: x y x + y, na qual x e y são números reais x y x + y com x y e x y. a) Encontre o valor de x para que a expressão resulte em para y =. b) Simplifique a expressão algébrica dada. Supondo x y e x y, temos: x x ) y + y = x y x + y (x y)(x = + xy + y ) (x + y)(x xy + y ) = x y x + y = (x + xy + y ) (x xy + y ) = xy ) xy = e y =. x. = x = Respostas: a) x = b) xy

3 Considere as circunferências z e z de equações z : (y ) + (x + ) = e z : x + y x + y = 0 a) Verifique se o ponto P = (, ) pertence ao interior da circunferência z. b) Determine os pontos de interseção das circunferências z e z. a) A equação x + y x + y = 0 (x ) + (y + ) = é de uma circunferência de centro O (; ) e raio R = Como d PO = ( ) + ( ( )) = 0 > = R, o ponto P não pertence ao interior da circunferência z. b) Os pontos de intersecção das circunferências z e z são as soluções do sistema. (y ) + (x + ) = x + y x + y = 0 x + y + x y = 0 x + y x + y = 0 x + y + x y = 0 x y = 0 x + y + x y = 0 x y = Assim, x + x x + x. = 0 x x = 0 x = 0 ou x =. Como, para x = 0 tem-se y = 0 e, para x = tem-se y =, os pontos de intersecção das circunferências são I (0,0) e I,. Respostas: a) P é externo ao círculo z b) (0;0) e ;

4 Seja f uma função de º grau que passa pelos pontos (, ) e (, 0). Determine: a) a taxa de variação entre x = e x = ; b) a equação da função f. a) Admitindo que a taxa de variação entre x = e x = seja o coeficiente angular m da reta determinada pelos pontos ( ; ) e (; 0), temos: b) A equação da função f que passa pelo ponto (; 0) e tem coeficiente angular y 0 = (x ) y = x Respostas: a) y y 0 ( ) m = = = x x ( ) é b) f(x) = x

5 Considere a seguinte equação: cos x ( ) cos x = 0 a) Encontre os valores de x que satisfaçam essa equação. 7π b) Verifique se o valor satisfaz a equação. a) cos x ( ) cos x = 0 cos x cos x + cos x = 0 cos x ( cos x ) +. ( cos x ) = 0 ( cos x ) ( cos x + ) = 0 cos x = 0 ou cos x + = 0 cos x = ou cos x = π π x = ± + n. π ou x = ± + n. π 7π 7π b) cos =, portanto, não satisfaz a equação dada, já que as únicas soluções são cos x = ou cos x =.

6 7 Dadas as matrizes: log x log x A = y, B = e C = y a) Efetue o produto AB. b) Determine os valores de x e y para que AB = C. log x log x a) A = y e B = y A. B = log x + log x = y + y = b) AB = C, AB = log ( x 8 ) e C = 8 y 0 log ( x 8 ) = 8 y 0 log x 8 = 8 ( x 8 ) = 8 y = 0 y = log ( x 8 ) y x 8 = x = y = y = x = 8 y = Respostas: a) AB = log ( x 8 ) y b) x = 8 e y = 8 0

7 8 Em relação à desigualdade: x x + 7 <, a) encontre os valores de x, no conjunto dos reais, que satisfaçam essa desigualdade; b) encontre a solução da desigualdade para valores de x no conjunto dos inteiros. x x + 7 < x x + 7 < x x + < 0 < x <, pois o gráfico da função f(x) = x x + é do tipo: No intervalo ]; [ não existe nenhum número inteiro. Respostas: a) ]; [ b) Ø

8 9 Um colégio possui duas salas, A e B, de determinada série. Na sala A, estudam 0 alunos e na B, 0 alunos. Dois amigos, Pedro e João, estudam na sala A. Um aluno é sorteado da sala A e transferido para a B. Posteriormente, um aluno é sorteado e transferido da sala B para a sala A. a) No primeiro sorteio, qual a probabilidade de qualquer um dos dois amigos ser transferido da sala A para a B? b) Qual a probabilidade, no final das transferências, de os amigos ficarem na mesma sala? a) A sala A possui Pedro, João e mais 8 alunos. A probabilidade de, no primeiro sorteio, ser transferido qualquer um dos dois amigos é = 0 0 b) Transferido um aluno da sala A para B e posteriormente um aluno de B para A, os dois amigos terminarão na mesma sala se, nenhum dos dois for transferido no primeiro sorteio ou se o mesmo amigo for transferido nos dois sorteios. A probabilidade de que isto ocorra é = + = = Respostas: a) b) 0

9 0 Em relação ao seguinte sistema de equações: x y = 8 x + my = 0 a) resolva o sistema para m = ; b) encontre o conjunto de valores de m, em relação aos reais, para que o sistema seja possível e determinado. a) Para m = temos: x y = 8 x y = 8 x + y = 0 x + y = x y = 8 x = x = x y = 8 x = 7 y = 8 x y = 8 b) O sistema, nas incógnitas x e y, é x + my = 0 possível e determinado se, e somente se: 0 m + 0 m m 7 Respostas: a) ; 8 b) m

10 Comentário As dez questões foram bem enunciadas e a prova foi bem equilibrada quanto à dificuldade e aos assuntos exigidos. Lamentamos, apenas, a falta de questões de Geometria.