O Anglo Resolve. A Prova da Segunda Fase da Fuvest

Transcrição

1 O Anglo Resolve A Prova da Segunda Fase da Fuvest É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição e confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefa árdua de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante em seu processo de aprendizagem. A segunda fase da Fuvest consegue, de forma prática, propor conjuntos distintos de provas adequadas às carreiras. Assim, por exemplo, o candidato a Engenharia da Escola Politécnica USP faz, na segunda fase, provas de Língua Portuguesa (0 pontos), Matemática (0 pontos), Física (0 pontos) e Química (0 pontos). Já aquele que pretende ingressar na Faculdade de Direito USP fará somente três provas: Língua Portuguesa (80 pontos), História (0 pontos) e Geografia (0 pontos). Por sua vez, o candidato a Medicina terá provas de Língua Portuguesa (0 pontos), Biologia (0 pontos), Física (0 pontos) e Química (0 pontos). Com esse critério, embora o conjunto de provas varie de uma carreira para outra, o total de pontos possível não excede a 60, que será somado à pontuação obtida pelos candidatos na primeira fase, para efeito de classificação final. Vale lembrar que a prova de Língua Portuguesa é obrigatória a todas as carreiras. Apresentamos, neste fascículo de O Anglo Resolve, a tabela sobre a relação carreira/provas e a resolução comentada das questões. No final, a análise dos nossos professores.

2 FUVEST TABELA DE CARREIRAS E PROVAS ÁREA DE HUMANIDADES PROVAS DA ª FASE E CARREIRAS RESPECTIVOS NÚMEROS DE PONTOS Administração São Paulo LP(0), M(0), H(0), G(0) Administração Ribeirão Preto LP(0), M(0), H(0), G(0) Arquitetura São Carlos LP(80), H(0), HE(0) Arquitetura São Paulo LP(0), F(0), H(0), HE(80) Artes Cênicas (Bacharelado) LP(0), HE(0) Artes Cênicas (Licenciatura) LP(0), H(0), HE(80) Artes Plásticas LP(0), H(0), HE(80) Audiovisual LP(0), H(0), HE(80) Biblioteconomia LP(0), H(0) Ciências Contábeis São Paulo LP(0), M(0), H(0), G(0) Ciências Contábeis Ribeirão Preto LP(0), M(0), H(0), G(0) Ciências Sociais LP(0), H(0), G(0) Direito LP(80), H(0), G(0) Economia São Paulo LP(0), M(0), H(0), G(0) Economia Ribeirão Preto LP(0), M(0), H(0), G(0) Economia Agroindustrial Piracicaba LP(0), M(0), H(0), G(0) Editoração LP(0), H(0) Filosofia LP(80), H(0), G(0) Geografia LP(0), H(0), G(0) Gestão Ambiental Piracicaba LP(0), B(0), H(0) História LP(0), H(0), G(0) Jornalismo LP(0), H(0), G(0) Letras Básico LP(80), H(0), G(0) Música São Paulo e Ribeirão Preto LP(0), HE(0) Oficial Polícia Militar do Estado de São Paulo LP(0) Pedagogia São Paulo LP(80), H(0) Pedagogia Ribeirão Preto LP(80), H(0), G(0) Publicidade e Propaganda LP(0), H(0) Relações Internacionais (Bacharelado) LP(80), H(0), G(0) Relações Públicas LP(0), H(0) Turismo LP(0), H(0), G(0) ÁREA DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS PROVAS DA ª FASE E CARREIRAS RESPECTIVOS NÚMEROS DE PONTOS Ciências Biológicas São Paulo LP(0), Q(0), B(0) Ciências Biológicas Ribeirão Preto LP(0), Q(0), B(0) Ciências Biológicas Agrobiologia Piracicaba LP(0), Q(0), B(0) Ciências dos Alimentos Piracicaba LP(0), Q(0), B(0) Educação Física Bacharelado LP(0), A Enfermagem São Paulo LP(0), B(0), Q(0) Enfermagem Ribeirão Preto LP(0), B(0), Q(0) Engenharia Agronômica ESALQ LP(0), M(0), Q(0), B(0) Engenharia Florestal Piracicaba LP(0), M(0), Q(0), B(0) Esporte Bacharelado LP(0), A, HE(80) Farmácia e Bioquímica São Paulo LP(0), F(0), Q(0), B(0) Farmácia e Bioquímica Ribeirão Preto LP(0), Q(0), B(0) Fisioterapia São Paulo e Ribeirão Preto LP(0), F(0), Q(0), B(0) Fonoaudiologia São Paulo LP(80), F(0), B(0) Fonoaudiologia Bauru LP(0), F(0), Q(0), B(0) Medicina (São Paulo) e Ciências Médicas (Ribeirão Preto) LP(0), F(0), Q(0), B(0) Medicina Veterinária LP(0), F(0), Q(0), B(0) Nutrição LP(0), F(0), Q(0), B(0) Odontologia São Paulo LP(0), F(0), Q(0), B(0) Odontologia Ribeirão Preto LP(0), F(0), Q(0), B(0) Odontologia Bauru LP(0), F(0), Q(0), B(0) Psicologia São Paulo LP(0), M(0), B(0), H(0) Psicologia Ribeirão Preto LP(80), B(0), H(0) Terapia Ocupacional São Paulo e Ribeirão Preto LP(0), B(0), H(0) Zootecnia Pirassununga LP(0), M(0), Q(0), B(0) LEGENDA LP Língua Portuguesa M Matemática F Física Q Química B Biologia H História G Geografia A Aptidão HE Habillidade Específica ÁREA DE EXATAS E TECNOLOGIA CARREIRAS Ciências da Terra (Geologia e Geofísica) Ciências Exatas São Carlos (licenciatura) Computação São Carlos Engenharia Aeronáutica São Carlos Engenharias São Carlos (Elétrica, Mecânica, Produção Mecânica) Engenharia, Computação e Matemática Bacharelados Aplicada e Computacional São Paulo Engenharia Civil São Carlos Engenharia de Alimentos Pirassununga Física São Paulo e São Carlos (Bacharelado), Meteorologia e Matemática (Bacharelados), Estatística e Matemática São Paulo Física Médica Ribeirão Preto Informática São Carlos Matemática e Física São Paulo (Licenciatura) Matemática (Bacharelado e Licenciatura), Matemática Aplicada e Computação Científica São Carlos Oceanografia São Paulo Química São Paulo Química São Carlos Química Ribeirão Preto PROVAS DA ª FASE E RESPECTIVOS NÚMEROS DE PONTOS LP(0), M(0) LP(0), M(0), Q(0), Q(0) LP(0), M(0), B(0), Q(0), Q(0) LP(0), Q(0) LP(80), Q(0)

3 Matemática QUESTÃO 0 Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 00 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 5% ao ano. Luís, uma que rendia 0% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 0% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 9 mil reais; Luís e Sílvio, 06 mil reais. a) Quantos reais cada um tinha inicialmente? b) Qual o rendimento da aplicação de risco? Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham, após este ano, por x, y e z, nessa ordem, temos: x + y = 59 x + z = 9 y + z = 06 + x + y + z = 58 x + y + z = 9 x + y + z = 9 e y + z = 06 x = x + y + z = 9 e x + z = 9 y = 6 x + y + z = 9 e x + y = 59 z = 70 a) Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham, inicialmente, por c, l e s, nessa ordem, temos: c,5 = x c,5 = c = 0 l, = y l, = 6 l = 0 De c + l + s = 00, c = 0 e l = 0, temos s = 50. Resposta: Carlos, Luís e Sílvio tinham inicialmente, nessa ordem, 0 mil, 0 mil e 50 mil reais. b) Sendo r% o rendimento da aplicação de risco, temos: 5, + 5( + r%) = 70 Dessa igualdade, podemos concluir que r = 60. Resposta: 60% QUESTÃO 0 Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados m e 5m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas? Sendo l a medida, em cm, do lado das lajotas, podemos concluir, do enunciado, que l é um divisor comum de 00 e 500. l cm lcm 00cm 500cm Como o máximo divisor comum de 00 e 500 é 00, podemos afirmar que l deve ser um divisor de 00. O número 00 (= 5 ) possui 9 divisores positivos:,,, 5, 0, 0, 5, 50 e 00. Esses são os possíveis valores de l. Resposta:,,, 5, 0, 0, 5, 50 e 00. FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES 5

4 QUESTÃO 0 Um tabuleiro tem linhas e colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior esquerda (casa (, )) para a casa superior direita (casa (, )), sendo que esta peça deve mover-se, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente à direita. Se apenas uma destas casas existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possíveis para completar o trajeto são (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) e (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ). a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto? b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas opções de movimento, lança-se uma moeda não viciada; se der cara, a peça move-se para a casa à direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) terá uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que têm maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade. a) Podemos representar o caminho (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,) (, ) pela seqüência (d, c, c, d, c, d), onde d significa mover a peça para uma casa imediatamente à direita, e c, para uma casa imediatamente acima. Os caminhos distintos são as permutações dos elementos dessa seqüência. Assim: Resposta: 0 (, ) 6! P 6 = = 0!! b) Os caminhos de maior probabilidade são aqueles em que há o menor número de deslocamentos até os de opção única, isto é, (d, d, d, c, c, c) e (c, c, c, d, d, d). A probabilidade de cada um deles é: = 8 Resposta: Os caminhos são: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) e (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ). E a probabilidade de cada um é. 8 QUESTÃO 0 Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (, ) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC. Sejam E o ponto de intersecção de AB com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x. a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima. 6 FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES

5 Admitindo 0 u 8, temos a figura: y C (, ) F (x F, v) D (u, v) A (0, 0) E (u, 0) B (8, 0) x ) Coeficiente angular da reta BC 0 : m BC = =. 8 Equação da reta BC 8 x :y 0 = ( x 8 ) y =. Como D(u, v) pertence à reta BC 8 u,temos que v =. ) Coeficiente angular da reta AC 0 :m AC = =. 0 Equação da reta AC :y 0 = (x 0) y = x. Como F(x F,v) pertence à reta AC,temos que: x F = v. v Assim, FD = u x F FD = u v FD = u +. a) A área S do quadrilátero AEDF é: ( FD + AE ) DE S = v u + + u v S = v S = uv + 6 De e,vem: S = ( 7 u + 8 u + 6). 5 Resposta: ( 7 u + 8 u + 6)} 5 b) Para que a área do quadrilátero AEDF seja máxima, devemos ter: 8 u = 5 6 u = Resposta: 7 Nota: foi admitido 0 u 8 para que exista o quadrilátero AEDF. QUESTÃO 05 As raízes do polinômio p(x) = x x + m,onde m é um número real,estão em progressão aritmética. Determine a) o valor de m; b) as raízes desse polinômio. FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES 7

6 a) Sendo (x,x,x ) a progressão aritmética definida pelas raízes do polinômio, temos que x + x + x = (Girard). Sendo r a razão dessa progressão, temos: x r + x + x + r = x = x = Como o número é uma raiz, temos p() = 0. + m = 0 m = Resposta: b) Temos, ainda, que x x x = m (Girard) (x r) x (x + r) = ( r) ( + r) = r = r = r = ± Logo, as raízes são os números, e +. Resposta:, e +. QUESTÃO 06 O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC e AB medem e, respectivamente, é dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB. Seja MN o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que N ˆDB é reto, determine C N M a) o comprimento dos segmentos CN e CM ; b) a área do triângulo CMN. A D B Sendo CN = x e CM = y, do enunciado temos a figura: No triângulo retângulo BAC, temos: ) ( BC) = + ( ) BC = C α y M y β x N x α A D B β ) tgβ = β = 0º. Logo, α = 60º. a) No triângulo retângulo BDN, vem: x senβ = DN = BN x No triângulo retângulo DAM, vem: y senβ = AM = DM y x = y = Resposta: CN = e CM = 8 FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES

7 b) A área S pedida é: S = (CN)(CM) sen60º S = Resposta: 9 S = 9 QUESTÃO 07 Determine as soluções da equação (cos x + senx)(cos x sen x) = 0 que estão no intervalo [0, π]. ( sen x + senx) ( sen x sen x) = 0 senx = (não convém) sen x senx = 0 ou senx = Ou: sen x = 0 sen x = senx = ± π 7π 6 5π π π 7π 6 Resposta: π π 7π 5π 7π π,,,, e 6 6 QUESTÃO 08 Na figura abaixo, as circunferências C e C, de centros O e O, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r é tangente a C e C ; a reta s passa por O e O e β é o ângulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C é, o de C é e que senβ = C, calcule: 5 s P C O α O a) a área do quadrilátero O QO P; b) senα, onde α = QÔ P. r Q β Do enunciado, temos a figura: C s O P α/ D β O C r Q β C B A FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES 9

8 No triângulo retângulo O O D, temos: DO senβ = = OO = 5 OO 5 OO Sendo O O = 5, PO = e PO =, segue-se que: (O O ) = (PO ) + (PO ) Logo, PO O é um triângulo retângulo em P. Assim: a) A área do quadrilátero O QO P é:, ou seja,. Resposta: b) No triângulo retângulo O O P, temos que: α sen α = e cos =. 5 5 Então: Resposta: α α sen α = sen cos sen α = 5 sen α = QUESTÃO 09 Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado cm e altura 0 cm, com de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 0 com o solo (ver seção lateral abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação ao solo. 0 h 0º Do enunciado, temos a figura: 0 M 0º B A h 0º C 60º D H 0 FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES

9 No prisma de base quadrada de lado e altura H, cujo volume é igual a do volume do bloco retangular com altura igual a 0 0, podemos concluir que H =, ou seja, H =. 0 No triângulo retângulo MAB, temos que: AB tg0 = AB = AB = Logo, BC = AB + H BC = Do triângulo retângulo CDB, vem: h sen60 = h = BC h = Resposta: cm QUESTÃO 0 São dados, abaixo, os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A é vértice de um paralelogramo ABCD; o lado AB está na reta s; M é o ponto médio do lado BC e o ângulo CÂB tem medida 0. Usando régua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construção. M A s Enunciado gráfico (Rascunho) D C t r N M A 0 B s Descrição e justificativa. Pelo ponto M, traçar a reta r paralela à reta s.. Obter o ponto N no encontro da reta r com a reta t, obtida construindo-se um ângulo de 0 com vértice no ponto A e lado As. Propriedade: Se as retas r e s são paralelas e M é ponto médio de BC, então N é ponto médio de AC.. Obter o ponto C no encontro da reta t com a circunferência de centro N e raio AN.. Obter o ponto B no encontro da reta CM com a reta s. 5. Obter o ponto D no encontro da circunferência de centro C e raio AB com a circunferência de centro A e raio BC. FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES

10 Propriedade: Os lados opostos de um paralelogramo têm medidas iguais. t D C r N M A 0 B s FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES

11 Comentário Prova muito bem elaborada e abrangente. As questões são criativas, porém algumas estão muito trabalhosas. A questão de construção geométrica é um exemplo de como se pode avaliar a capacidade de resolver uma situação nova com o conhecimento adquirido. FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES

12 Incidência ASSUNTO Aritmética Construção Geométrica Equação Algébrica Geometria Analítica Geometria do Espaço Geometria Plana Porcentagem Probabilidade Trigonometria Nº DE QUESTÕES FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES 5