o anglo resolve a prova da 2ª- fase da FUVEST

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1 o anglo resolve É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Eaminadoras em sua tarefa de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auilia o estudante no processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do nglo. No final, um comentário sobre as disciplinas. a prova da ª- fase da FUVEST ª- fase da Fuvest consegue, de forma prática, propor para cada carreira um conjunto distinto de provas. ssim, por eemplo, o candidato a Engenharia da Escola Politécnica faz, na ª fase, provas de Língua Portuguesa (40 pontos), Matemática (40 pontos), Física (40 pontos) e Química (40 pontos). Já aquele que pretende ingressar na Faculdade de Direito faz somente três provas: Língua Portuguesa (80 pontos), História (40 pontos) e Geografia (40 pontos). Por sua vez, o candidato a Medicina tem provas de Língua Portuguesa (40 pontos), Biologia (40 pontos), Física (40 pontos) e Química (40 pontos). Vale lembrar que a prova de Língua Portuguesa é obrigatória para todas as carreiras. Para efeito de classificação final, somam-se os pontos obtidos pelo candidato na ª- e na ª- fase. tabela seguinte apresenta todas as carreiras, com o número de vagas, as provas da ª- fase, acompanhadas da respectiva pontuação. Código:

2 FUVEST TBEL DE CRREIRS E PROVS ÁRE DE BIOLÓGICS PROVS D ª FSE E CÓD. CRREIRS VGS RESPECTIVOS NÚMEROS DE PONTOS 400 Ciências Biológicas São Paulo 0 P(40), Q(40), B(40) 40 Ciências Biológicas Piracicaba 0 P(40), Q(40), B(40) 40 Ciências Biológicas Ribeirão Preto 40 P(40), Q(40), B(40) 404 Ciências da tividade Física USP LESTE-SP 60 P(40), F(40), B(40), H(40) 405 Cências dos limentos Piracicaba 40 P(40), B(40), Q(40) 406 Educação Física 50 P(40), F(40), B(40), (40) 407 Enfermagem São Paulo 80 P(40), B(40), Q(40) 408 Enfermagem Ribeirão Preto 80 P(40), B(40), Q(40) 409 Engenharia gronômica Piracicaba 00 P(40), M(40), Q(40), B(40) 40 Engenharia Florestal Piracicaba 40 P(40), M(40), Q(40), B(40) 4 Esporte 50 P(40), HE(40),B(40), Q(40) 4 Farmácia Bioquímica São Paulo 50 P(40), F(40), Q(40), B(40) 44 Farmácia Bioquímica Ribeirão Preto 80 P(40), Q(40), B(40), F(40) 45 Fisioterapia São Paulo e Ribeirão Preto 65 P(40), F(40), Q(40), B(40) 46 Fonoaudiologia São Paulo 5 P(80), F(40), B(40) 47 Fonoaudiologia Bauru 40 P(40), F(40), Q(40), B(40) 48 Fonoaudiologia Ribeirão Preto 0 P(80), F(40), B(40) 49 Gerontologia USP LESTE-SP 60 P(40), M(40), B(40), H(40) 40 Licenciatura em Enfermagem Ribeirão Preto 50 P(40), B(40), H(40) 4 Medicina (São Paulo), Ciências Médicas (Ribeirão Preto) e Santa Casa 75 P(40), F(40), Q(40), B(40) 4 Medicina Veterinária 80 P(40), F(40), Q(40), B(40) 44 Nutrição 80 P(40), F(40), Q(40), B(40) 45 Nutrição e Metabolismo Ribeirão Preto 0 P(40), F(40), B(40), Q(40) 46 Obstetrícia USP LESTE-SP 60 P(40), M(40), B(40), H(40) 47 Odontologia São Paulo P(40), F(40), Q(40), B(40) 48 Odontologia Bauru 50 P(40), F(40), Q(40), B(40) 49 Odontologia Ribeirão Preto 80 P(40), F(40), Q(40), B(40) 440 Psicologia São Paulo 70 P(40), M(40), B(40), H(40) 44 Psicologia Ribeirão Preto 40 P(80), B(40), H(40) 44 Terapia Ocupacional São Paulo e Ribeirão Preto 45 P(40), B(40), H(40) 444 Zootecnia Pirassununga 40 P(40), M(40), Q(40), B(40) ÁRE DE EXTS PROVS D ª FSE E CÓD. CRREIRS VGS RESPECTIVOS NÚMEROS DE PONTOS 600 Ciências Biomoleculares 40 P(40), M(40), F(40) 60 Ciências da Natureza USP LESTE-SP 0 P(40), M(40) 60 Computação São Carlos 00 P(40), M(40), F(40) 604 Engenharia eronáutica São Carlos 40 P(40), M(40), F(40) 605 Engenharia mbiental São Carlos 40 P(40), M(40), F(40), Q(40) 606 Engenharia Civil São Carlos 60 P(40), M(40), F(40) 607 Engenharia (POLI), Computação e Matemática plicada 870 P(40), M(40), F(40), Q(40) 608 Engenharia de limentos Pirassununga 00 P(40), M(40), F(40), Q(40) 609 Engenharias São Carlos 80 P(40), M(40), F(40) 60 Física Médica Ribeirão Preto 40 P(40), M(40), F(40) Física São Paulo e São Carlos (Bacharelado), Meteorologia e 6 Geofísica, Matemática (Bacharelado), Estatística São Paulo, 70 P(40), M(40), F(40) Física Computacional São Carlos 6 Geologia 50 P(40), M(40), F(40), Q(40) 64 Informática Biomédica Ribeirão Preto 40 P(40), M(40), F(40), B(40) 65 Informática São Carlos 40 P(40), M(40), F(40) 66 Ciências Eatas São Carlos (Licenciatura) 50 P(40), M(40) 67 Licenciatura em Geociências e Educação mbiental 40 P(40), F(40), Q(40), G(40) 68 Matemática e Física São Paulo (Licenciatura) 60 P(40), M(40), F(40) 69 Matemática plicada Ribeirão Preto 45 P(40), M(80), G(40) 60 Matemática São Carlos 55 P(40), M(40), F(40) 6 Oceanografia São Paulo 40 P(40), M(40), B(40), Q(40) 6 Química mbiental São Paulo 0 P(40), M(40), F(40), Q(40) 64 Química (Bacharelado) Ribeirão Preto 60 P(80), Q(40) 65 Química (Bacharelado e Licenciatura) São Paulo 60 P(40), M(40), F(40), Q(40) 66 Licenciatura em Química São Paulo 0 P(40), M(40), F(40), Q(40) 67 Química (Licenciatura) Ribeirão Preto 40 P(80), Q(40) 68 Química (Bacharelado) São Carlos 60 P(40), Q(40) 69 Sistemas de Informação USP LESTE-SP 80 P(40), M(40)

3 ÁRE DE HUMNS PROVS D ª FSE E CÓD. CRREIRS VGS RESPECTIVOS NÚMEROS DE PONTOS 00 dministração São Paulo 0 P(40), M(40), H(40), G(40) 0 dministração Ribeirão Preto 05 P(40), M(40, H(40), G(40) 0 rquitetura São Paulo 50 P(40), F(0), H(0), HE(80) 04 rquitetura São Carlos 0 P(80), H(40), HE(40) 05 rtes Cênicas (Bacharelado) 5 P(40), H(40), HE(80) 06 rtes Cênicas (Licenciatura) 0 P(40), H(40), HE(80) 08 rte e Tecnologia USP LESTE-SP 60 P(40), H(40), F(40) 09 tuária 50 P(40, H(40, G(40, M(40) 0 Biblioteconomia 5 P(40), H(40) Ciências Contábeis São Paulo 50 P(40), M(40), H(40), G(40) Ciencias Contábeis Ribeirão Preto 45 P(40), M(40), H(40), G(40) 4 Ciências da Informação e da Documentação (Bacharelado) Ribeirão Preto 40 P(80), H(40), G(40) 5 Ciências Sociais 0 P(40), H(40), G(40) 6 Ciências Econômicas Piracicaba 0 P(40), M(40), H(40), G(40) 7 udiovisual 5 P(40), H(40), HE(80) 8 Design 40 P(40), H(0), F(0), HE(80) 9 Direito 460 P(80), H(40), G(40) 0 Economia São Paulo 80 P(40), M(40), H(40), G(40) Economia Empresarial e Controladoria Ribeirão Preto 70 P(40), M(40, H(40), F(40) Economia Ribeirão Preto 45 P(40), M(40), H(40), G(40) 4 Editoração 5 P(40), H(40) 5 Filosofia 70 P(80), H(40), G(40) 6 Geografia 70 P(40), H(40), G(40) 7 Gestão mbiental USP LESTE-SP 0 P(40), F(40), Q(40), B(40) 8 Gestão mbiental Piracicaba 40 P(40), B(40), H(40) 9 Gestão de Políticas Públicas USP LESTE-SP 0 P(40), M(40), H(40), G(40) 40 História 70 P(40), H(40), G(40) 4 Jornalismo 60 P(40), H(40), G(40) 4 Lazer e Turismo USP LESTE-SP 0 P(40), M(40), H(40), G(40) 44 Letras Básico 849 P(80), H(40), G(40) 45 Marketing USP LESTE-SP 0 P(40), M(40), H(40), G(40) 48 Oficial da PM de São Paulo Feminino 5 P(40) 49 Oficial da PM de São Paulo Masculino 80 P(40) 50 Pedagogia São Paulo 80 P(80), H(40) 5 Pedagogia Ribeirão Preto 50 P(80), H(40), G(40) 5 Publicidade e Propaganda 50 P(40), H(40) 54 Relações Internacionais 60 P(80), H(40), G(40) 55 Relações Públicas 50 P(40), H(40) 56 Turismo 0 P(40, H(40), G(40) rtes Plásticas 0 P(40), H(40), HE(80) Música São Paulo 5 P(40), HE(0) Música Ribeirão Preto 0 P(40), HE(0) LEGEND P Português M Matemática F Física Q Química B Biologia H História G Geografia ptidão HE Habilidade Específica

4 T T M E M Á I C Questão Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 8cm por 8cm, mostrado abaio, será repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e uma faia mostarda, de 5cm de largura, será bordada em toda a volta do tapete, como na figura. Legenda de cores marrom B mostarda C verde D laranja Padrão D C B 9 B 9 D C B 9 Padrão Padrão Padrão B 5 B... a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado, como descrito acima, que pode ser bordado na tela? Quantas vezes o padrão será repetido? b) Se com um novelo de lã pode-se bordar 400cm, qual é o número mínimo de novelos de lã mostarda necessário para confeccionar esse tapete? Resolução a) Cada uma das dimensões de m = 00cm pode ser escrita como: 00 = medida do medidas sobra de lado do usadas tela padrão na borda ssim, usaremos 0 0 = 00 padrões, e o maior tapete terá (,90,90)m. Resposta: 00 padrões e (,90,90)m. b) Na borda usaremos: = 700cm ( 6 9) Nos padrões usaremos: 00 = 5400cm área total a ser coberta de lã mostarda é, então, 900cm. 900 Como =, 75, o número mínimo de novelos de lã mostarda necessário é igual a. 400 Resposta: novelos FUVEST/006 ª- FSE 5

5 Questão Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de 0%, 40% e 0% respectivamente. O preço que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia. Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de 0% sobre o preço total. a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de? b) Qual o lucro aproimado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda? Resolução a) custo lucro venda calça 0,0, camisa 040, 4, saia 00,, Na tabela, temos os valores do custo unitário, do lucro unitário e da venda unitária de cada um dos artigos. Sem desconto, o cliente pagaria por calças, camisas e saias a quantia de, +,4 +,. Com um desconto de 0% sobre esse preço, o cliente pagou: v = 090,, + 4, +, v = 4,7 Resposta: 4,7 b) Nessa venda, o custo para o comerciante foi porcentagem do lucro obtido é dado por: 47, Resposta: 4% 04, + + =. Questão Uma função f satisfaz a identidade f(a) = af() para todos os números reais a e. lém disso, sabe-se que f(4) =. Considere ainda a função g() = f( ) + para todo o número real. a) Calcule g(). b) Determine f(), para todo real. c) Resolva a equação g() = 8. Resolução De f(a) = a f(), para todos os números reais a e, temos f(a 4) = a f(4). Como f(4) =, temos f(a 4) = a. Portanto f(4a) = a, para todo real a. FUVEST/006 ª- FSE 6

6 a) De f(4a) = a, temos f4, ou seja, f() =. = Temos: g() = f( ) + g() = f() + g() = + g() = Resposta: b) Sendo f(4a) = a, para todo real a, podemos afirmar que, para todo real, f 4. Logo, f ( )=. 4 = 4 Resposta: c) Do item anterior, temos f ( )= e, portanto, f ( ) =, para todo real. De g() = 8, temos: f( ) + = 8 = 7 = 4 = 5 Logo, o conjunto solução da equação g() = 8 é {5}. Resposta: {5} Questão 4 reta s passa pela origem O e pelo ponto do primeiro quadrante. reta r é perpendicular à reta s, no ponto, e intercepta o eio no ponto B e o eio y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OB. Resolução Do enunciado, temos a figura: y r C 0º α 90º; S... área do triângulo OB. α s S O α S B FUVEST/006 ª- FSE 7

7 Sendo K uma razão de semelhança entre os triângulos OB e OCB, temos que: K = B () I OB e S K = K = K = () II S De (I) e (II), temos que No triângulo retângulo OB, temos: B senα = ( IV). OB De (III) e (IV), temos que senα = ( V). Da relação fundamental da trigonometria, temos que: 6 cos α = cos α = ( VI) De (V) e (VI), temos: B OB = ( III). senα tgα = tgα = cosα 6 tgα = Logo, o coeficiente angular da reta s é igual a. Resposta:. Questão 5 Na figura abaio, O é o centro da circunferência de raio, a reta B é secante a ela, o ângulo β mede 60º e sen α = 4. B O β α a) Determine senoâb em função de B. b) Calcule B. FUVEST/006 ª- FSE 8

8 Resolução a) Do enunciado, temos a figura: 60º 60º 60º α O B θ Fazendo OÂB = θ e aplicando o teorema dos senos no triângulo OB, temos: B OB = senθ = senα senθ 4( B) Resposta: senθ = 4( B) b) Da figura, temos também que α + θ = 60º (teorema do ângulo eterno). ssim: θ = 60 α senθ = sen(60 α) senθ = sen60º cosα senαcos60º Como α é agudo (figura), pela Relação Fundamental, cosα = 4. ssim: = = B = 4( B) 4 4 ( B) + 6 Resposta: B = + 6 Questão 6 Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 5cm de altura e cuja base B tem raio 8cm (Figura ). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eio central coincide com o eio do cone. broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura. Se a área da base deste novo sólido é da área de B, determine seu volume. ntes Figura Depois Figura FUVEST/006 ª- FSE 9

9 Resolução Do enunciado, temos a figura, cotada em cm: h B C 5 D E ntes Figura r 8 Depois Figura Do enunciado, temos: r medida do raio da base do cilindro; h medida da altura do cone menor π 8 π r = π 8 r = r = = BC Como os triângulos BC e DE são semelhantes, temos: B D 8 BC h = = DE 5 8 h = 5 Sejam, em cm : V o volume pedido; V o volume do cone maior; V o volume do cone menor; V o volume do cilindro. Temos: V = V V V V = π 8 5 π r h π r ( 5 h) 64 V = π π π ( 5 5 ) V = 640 π 9 Resposta: πcm FUVEST/006 ª- FSE 0

10 Questão 7 No paralelogramo BCD abaio, tem-se que D = e DÂB = 0. lém disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DÂB. D P C B a) Calcule P. b) Determine B sabendo que a área do quadrilátero BCP é. Resolução Do enunciado, temos a figura: 5º 5º D 50º 5º P B 0º C E B = DC PC = B a) plicando o teorema dos co-senos no triângulo DP, temos: (P) = (D) + (DP) (D) (DP) cos50 (P) = + P = + Resposta: + b) No triângulo retângulo BEC, temos: CE CE sen0 = CE BC = = Como a área do trapézio BCP é igual a, temos: (B + PC) CE = ( B + B ) = B = Resposta: FUVEST/006 ª- FSE

11 Questão 8 Determine os números compleos z que satisfazem, simultaneamente, z z i = e + i = Im. Lembretes: i = ; se w = a + bi, com a e b reais, então w = a + b e Im( w) = b. Resolução Seja z = a + bi, com a e b reais. De z =, temos a + b = e, portanto, a + b = 4 (). Temos, ainda, que: z i z i i + i = + i i z i z zi i i + i = i z i a bi ( a bi) i i + i = z i a bi ai bi i + i = + + z i a b b a i + i = z Logo, e, como Im i Im b a, temos b a =. z + i + i Portanto b = a + (). De () e (), temos: a + (a + ) = 4 a + 4a + 4 = 4 a(a + ) = 0 a = 0 ou a = De a = 0 e b = a +, temos b = e, portanto, z = 0 + i. De a = e b = a +, temos b = 0 e, portanto, z = + 0i. Resposta: i e Questão 9 Considere o sistema linear nas variáveis, y e z: + (cos a)y + (sen a)z = 0 + (cos b)y + (sen b)z = 0 (cos c)y + (sen c)z = 0 a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear. b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais? c) Calcule as soluções do sistema quando sen a = e cos c = /5. FUVEST/006 ª- FSE

12 Resolução a) ( ) ( ) cos a sen a cos b sen b cos c sen c 0 cos a sen a = 0 cos b sen b = cos c sen c = sen bcos a + sen acos b = (senacosb + senbcosa)(senacosb senbcosa) = sen(a + b) sen(a b) Resposta: sen(a + b) sen(a b) b) O determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. ssim: sen(a + b) sen(a b) = 0 a = ±b + hπ, h Z. Resposta: a = ±b + hπ, h Z e c c) Se sen a = e cos c =, então cos a = 0 e sen 4 c =. Substituindo, temos: z = 0 + (cos b) y + ( sen b) z = 0 4 y + z = De (I): = z De (III): y = 4z Em (II): z (4cos b)z + (sen b)z = 0 5cos b z = 0 Se cos b 0, então z = 0, y = 0 e = 0. Se cos b = 0, então, fazendo z = α, α, temos y = 4α e = α. ssim, o conjunto solução é {( α, 4α, α), α} Resposta: {( α, 4α, α), α}. (I) (II) (III) Nota: No item a, epressões como sen a sen b ou ainda cos b cos a são equivalentes à da resposta escolhida. Questão 0 a) Determine os pontos e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de y = e + y 6 = 0 se interceptam. b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz ÔB = ĈB e que pertence à reta =. Resolução a) y = (I) + y 6 = 0 (II) FUVEST/006 ª- FSE

13 Substituindo (I) em (II), temos: + 6 = 0 = 4 e y = 7 + = 0 ou = e y = ssim, sem perda de generalidade, temos que = (4, ) e B = (, ). Resposta: (4, ) e B(, ) b) Seja λ a circunferência de centro D(, y), que passa pelos pontos, B e O. Como ÔB = ĈB, podemos concluir que C pertence a λ. inda, do enunciado, C = (, c), com c 0. ssim, temos a figura: B (, ) λ (4, ) D (, y) D = DB = DO = DC O (0, 0) C (, c) Temos que: (DO) = (D) ( 0) + (y 0) = ( 4) + (y ) y = + 5 (III) (DO) = (DB) ( 0) + (y 0) = ( ) + (y ) y = + (IV) De (III) e (IV), temos que + 5 = +, ou seja, =. Substituindo em (IV), chegamos a y =. ssim, D = (, ). inda temos: (DC) = (DO) ( ) + (c ) = ( 0) + ( 0) (c ) = 5 ou c = 5 c = + 5 (não convém) Resposta: (, 5) FUVEST/006 ª- FSE 4

14 CO MENT ÁRI O prova apresentou questões com enunciados claros e precisos, porém foi um pouco trabalhosa e não foi abrangente. Notamos a ausência de assuntos tais como: nálise Combinatória, Logaritmo, Polinômios, Probabilidade e Progressões. Com certeza, os candidatos bem preparados tiveram um bom desempenho. FUVEST/006 ª- FSE 5