Provas - Gincana Olímpica 1 Nível A

Transcrição

1 Provas - Gincana Olímpica Nível A - Um serralheiro tem 0 pedaços (de corrente) de 3 elos de ferro cada um. Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos no mínimo ele levará para fazer a corrente? 2 - Um fazendeiro tinha 24 vacas e ração para alimentá-las por 60 dias. Entretanto, 0 dias depois, ele comprou mais 6 vacas e 0 dias depois dessa compra ele vendeu 20 vacas. Por mais quantos dias após esta última compra ele pode alimentar o gado com a ração restante? 3 - Há três cartas viradas sobre uma mesa. Sabe-se que em cada uma delas está escrito um número inteiro positivo. São dadas a Carlos, Samuel e Tomás as seguintes informações: i) todos os números escritos nas cartas são diferentes; ii) a soma dos números é 3; iii) os números estão em ordem crescente, da esquerda para a direita. Primeiro, Carlos olha o número na carta da esquerda e diz: Não tenho informações sucientes para determinar os outros dois números. Em seguida, Tomás olha o número na carta da direita e diz: Não tenho informações sucientes para determinar os outros dois números. Por m, Samuel olha o número na carta do meio e diz: Não tenho informações sucientes para determinar os outros dois números. Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros, qual é o número da carta do meio? 4 - A notação x signica o maior inteiro que não supera x. Por exem- 3, 5 = 3 e 5 = 5. O número de inteiros positivos x para os quais plo, x 2 + x 3 = 0 é? 5 - Se xy = 2 e x 2 + y 2 = 5, então x2 + y2 + 2 é igual a quanto? y 2 x Seja f uma função real de variável real que satisfaz a condição f(x) + 2f( 2002 ) = 3x para x > 0. x O valor de f(2) é igual a? 7 - Qual é o dígito das unidades de , onde aparecem 2002 setes?

2 8 - Na circunferência abaixo, temos que: AB = 4, BC = 2, AC é diâmetro e os ângulos A ˆBD e C ˆBD são iguais. Qual é o valor de BD? 9 - Determine o maior natural n para o qual existe uma reordenação (a, b, c, d) de (3, 6, 9, 2) (isto é, a, b, c, d = 3, 6, 9, 2) tal que o número n 3a 6 b 9 c 2 d seja inteiro. 0 - José tem três pares de óculos, um magenta, um amarelo e um ciano. Todo dia de manhã ele escolhe um ao acaso, tendo apenas o cuidado de nunca usar o mesmo que usou no dia anterior. Se dia primeiro de agosto ele usou o magenta, qual a probabilidade de que dia 3 de agosto ele volte a usar o magenta? - Encontre as soluções inteiras de x 3 y 3 = Seja f uma função denida nos naturais e que toma valores no conjunto dos reais. Sabendo que f() = 999 e f() + f(2) f(n) = n 2 f(n) para todo n inteiro positivo. Determine o valor de f(998). b+ a 3 - Determinar todos os pares de números naturais a e b tais que a+ b sejam são números naturais. e 4 - Um professor de Inglês dá aula particular para uma classe de 9 alunos, dos quais pelo menos um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo menos dois alunos de mesma nacionalidade; se escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma nacionalidade. Quantos brasileiros existem na classe? 5 - Determine todas as soluções da equação n.2 n + = m 2, com n e m inteiros não-negativos. 2

3 6 - O número é composto? 3

4 2 Nível B - Para efetuar um sorteio entre os n alunos de uma escola (n > ) se adota o seguinte procedimento. Os alunos são colocados em roda e inicia-se uma contagem da forma um, DOIS, um, DOIS,... Cada vez que se diz DOIS o aluno correspondente é eliminado e sai da roda. A contagem prossegue até que sobre um único aluno, que é o escolhido. a) Para que valores de n o aluno escolhido é aquele por quem começou o sorteio? b) Se há 92 alunos na roda inicial, qual é a posição na roda do aluno escolhido? b+ a 2 - Determinar todos os pares de números naturais a e b tais que a+ b sejam são números naturais. e 3 - Você tem que determinar o polinômio p(x) de coecientes inteiros positivos fazendo perguntas da forma Qual é o valor numérico de p(k)?, sendo k um inteiro positivo à sua escolha. Qual é o menor número de perguntas suciente para garantir que se descubra o polinômio? 4 - Considere a matriz complexa: 0 i A = i 0 Calcule A Determine a equação da reta que tangencia a curva de equação y = 3x 4 4x 3 em dois pontos distintos. 6 - A função f : (, + ) R é contínua e derivável. Sabendo que f(0) = 0, f (0) = a e que f(x + ) = e f (x) para todo x >. Calcule f (3). 7 - Determine todos os valores inteiros positivos de m para os quais o polinômio (x + ) m + x m + é divisível por (x 2 + x + ) Calcule x 2 ++x x 2 ++x+ dx. 9 - Determine todas as soluções reais da equação x. 4

5 0 - Seja X (em R 3 ) o poliedro convexo cujos vértices são todos os pontos (x, y, z) Z 3 com x 2 + y 2 + z 2 = 2. Calcule o volume de X. - Sejam A e B matrizes reais n n inversíveis. Mostre que se vale a condição (AB) k = A k B k para três valores inteiros consecutivos de k então AB = BA. 2 - Sabemos que k>0 = + + π =. Dena f(n) = k = Prove que existe um número real a > 0 tal 4 9 n 2 0<k n k 2 que existe o limite: lim n (f(n) π2 6 + a n )n2. Calcule a e esse limite. 5