ORIENTAÇÕES SOBRE A PROVA DISCURSIVA

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1 IF SUDESTE MG REITORIA Av. Francisco Bernardino, 165 4º andar Centro Juiz de Fora MG Telefax: (3) ORIENTAÇÕES SOBRE A PROVA DISCURSIVA O sorteio do tema da prova discursiva ocorrerá em uma das salas de aplicação da prova, com a presença de dois candidatos das demais salas e um fiscal, sob a orientação da Coordenação, caso haja mais de uma sala da mesma área objeto do concurso; A prova discursiva conterá questões referentes a todos os temas do Edital; Após o sorteio do tema, o candidato deverá responder, EXCLUSIVAMENTE, às questões relacionadas ao TEMA SORTEADO; as demais questões não poderão ser respondidas ou rasuradas; As questões devem ser respondidas APENAS no caderno de prova, que será entregue separadamente e que estão identificados com o CPF, inscrição, nome do candidato, edital e área; ATENÇÃO: Caso o candidato não responda às questões referentes ao tema sorteado, a prova discursiva será zerada; As demais instruções estão no caderno de provas.

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3 Tema 01: Funções Reais de uma variável. Função quadrática, polinomiais, inversa, composta, modulares, exponencial, logarítmica. 1) Faça um texto dissertativo acerca das seguintes funções: y = a!, y = x!, y = log! x Considere a R; abordar as seguintes ideias: a definição de cada uma delas; as condições de existência; obtenção de suas funções inversas; crescimento e decrescimento; simetrias. Exponha cada um desses itens e outros que considerar relevante. Dê o máximo de detalhes nos textos explicativos e não deixe de colocar exemplos utilizando matemática aplicada. ) Imagine que o senhor(a) professor(a) está diante de uma turma de transporte ferroviário e tenha que aplicar a matemática ao conhecimento específico dos alunos. De acordo com os conceitos de função, planeje uma aula em que possa aplicar um dos tipos de função ao transporte ferroviário com pelo menos dois exercícios. 3) A questão abaixo refere-se às funções reais inversas. a) Considere f: A B. Demonstre que a relação f!! é uma função de B em A se, e somente se, f é bijetora. b) Demonstre que se as funções f e g são bijetoras tal que f: A B e g: B C então: (g f)!! = f!! g!! Argumentação 3 Originalidade 3 Abrangência 8

4 Tema 0: Trigonometria 1. Disserte sobre o tema: As leis dos senos e dos cossenos.. Resolva os itens abaixo: (k + 1) π a. Mostre que para x R, x, k! : sen ( x) tan ( x) = cos ( x) 1 3π b. Sabendo que tan( x ) =, com π < x <, determine sen( x ) e cos( x ) Resolva a equação: + + = 4 sen ( x) 4sen ( x) 3cos ( x) 0 Argumentação 3 Originalidade 3 Abrangência 8

5 IF SUDESTE DE MG Tema 03: Matemática Financeira. Sequências. Progressões aritméticas e geométricas 1. Disserte sobre o tema: Sequência uniforme de pagamentos.. Dona Maria pretende juntar uma quantia M de modo que aplicando esse valor num fundo de investimento que rende juros compostos à taxa de 15% a.a. lhe proporcione a possibilidade de fazer três retiradas anuais de R$ 3000,00 cada uma. Supondo que a primeira retirada seja feita um ano após a aplicação, determine o valor de M. 3. Num quadrado de lado medindo 4 cm, inscreve-se um círculo. Nesse círculo se inscreve um novo quadrado e repete-se essa operação indefinidamente. Forneça: a. a soma dos perímetros de todos os quadrados; b. a soma dos perímetros de todos os círculos; c. a soma das áreas de todos os quadrados; d. a soma das áreas de todos os círculos. Redação correção gramatical argumentação originalidade organização de ideias sequência lógica domínio do conteúdo abrangência

6 Tema 04: Geometria Plana e Espacial 1. Considere um triângulo retângulo FGH, isósceles com catetos de medida 1. Sobre o triângulo, traça-se um segmento paralelo à hipotenusa formando duas figuras de mesma área: um trapézio e um triângulo. Determine o perímetro desse trapézio.. Enuncie e demonstre o teorema de Tales. 3. No triângulo ABC, temos AB = BC = 6 cm. Calcule o volume gerado pela revolução de 360 da região do triângulo ABC em torno de uma reta contendo BC. argumentação 3 originalidade 3 abrangência 8

7 Tema 05: Geometria Analítica no plano e no espaço 1) Um dos tópicos amplamente adotado na geometria analítica no ensino médio são as seções cônicas que podem ser obtidas através da interseção de um plano com um cone circular reto. Disserte a respeito desse assunto explorando suas equações, conceitos e aplicações. ) Considere o sistema de equações: A: (x )! + y! = 4 B: x! + y! = 4 a) Represente, no plano cartesiano, a região que constitui a solução gráfica desse sistema. b) Considere a semirreta que parte da origem e faz ângulo de 30º com o eixo x e intercepta as regiões A e B. Determine as coordenadas do ponto de interseção dessa semirreta com (x )! + y! = 4. 3) Considere um triângulo qualquer cujos vértices são: A x!, y!, B x!, y! e C x!, y!. Usando os conceitos de geometria analítica demonstre que a área do triângulo é dada por:! 1 # det # # " x a y a 1 x b y b 1 x c y c 1 $ & & & % argumentação 3 originalidade 3 abrangência 8

8 Tema 06: Números Complexos 1. Disserte sobre o tema: Números complexos.. Considere z!, z 1 e n ". a. Verifique a identidade 1+ z + z + z 3 +!+ z n 1 zn+1 = 1 z. b. Use a parte (a) desta questão para provar que '! 1$ * 1+ cosθ + cosθ + cos3θ +!+ cosnθ = 1 sen) # n + &θ, + (" % +! sen θ $ # & " % para 0< θ < π. [Esse resultado é conhecido como Identidade de Lagrange e é útil na teoria das séries de Fourier.] 3. Prove que para todo número z! z Re z + Im z z argumentação 3 originalidade 3 abrangência 8

9 Tema 07: Probabilidade e Estatística 1) Disserte sobre o tema: Probabilidade ) Muitos acontecimentos ou fenômenos podem ser previstos através de pesquisas, mas não teremos certeza do seu resultado. Isso acontece em situações do dia-a-dia como: situações climáticas, chuvas, taxas de inflação, etc. Baseado nos conceitos de probabilidade, considere dois eventos A e B, sendo P(A) > 0 e prove que: a) P( A A) =1 b) P( A B A) =1 c) Se A e B são mutuamente exclusivos P( A A B) = P( A) ( ) + P( B) P A 3) Com quatro algarismos distintos entre 0,1,,3,5,6,8 formamos a senha de um cartão eletrônico. a) Qual a probabilidade dessa senha ser um número ímpar? b) Considerando que os algarismos dessa senha sejam 3, 5, 8 e 6, escreva qual a probabilidade de que esses algarismos da senha estejam em ordem crescente? c) Sabendo que uma pessoa não lembra mais essa senha e que ela saiba que os algarismos da senha são novamente os números 3, 5, 8 e 6, qual a probabilidade de que ela descubra a senha na terceira tentativa e, assim, não bloqueie o cartão quando tiver usando o caixa eletrônico? argumentação 3 originalidade 3 abrangência 8

10 Tema 08: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares a b 1. Dada a matriz A = c d. a) Mostre que se ad bc 0, então A é invertível e A!! =!!"!!" d b c a. b) Mostre que A é invertível se, e somente se, A! é invertível.. a) Duas matrizes A e B são semelhantes se, e somente se, existe uma matriz P tal que B = P!! AP. Mostre que se A e B são semelhantes, então det A = det B. b) Seja A uma matriz de ordem n. Mostre que para K R. det(ka) = K! det A 1 c) Determine todas as matrizes que comutam com a matriz X = Considere o seguinte sistema de equações, com incógnitas x, y e z no qual k é um número real. Determine todos os valores de k para os quais o sistema admite uma única solução. 3x + ky + z = 0 kx + y z = 0 6x + ky + z = 0 argumentação 3 originalidade 3 abrangência 8

11 Tema 09: Análise Combinatória 1. Defina e exemplifique os itens abaixo: a) Arranjo Simples b) Combinação Simples c) Permutação Simples. Considerando os números de 3 algarismos distintos, formados com os dígitos 1,,4,5,7,8 e 9. a) Quantos são os múltiplos de 5? b) Quantos são pares? c) Escolhendo três números distintos dos itens anteriores, quantos são os números cuja soma é ímpar? 3. No jogo da Mega-Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre os números 01 a 60. O apostador pode marcar de 6 a 15 números, entre os 60 disponíveis no volante. Será premiado se sorteados 4, 5, ou 6 das dezenas marcadas. Determine a probabilidade de um apostador acertar 4 números apostando um jogo com 10 dezenas. Argumentação 3 Originalidade 3 Abrangência 8

12 IF SUDESTE DE MG Tema 10: Limites e Derivadas 1. Disserte sobre o tema: Regras de derivação de funções reais de uma variável real.. Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima, causando um aumento na pressão dos pulmões. Isso é acompanhado por uma contração da traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde o ar expelido escoe. Para uma dada quantidade de ar escapar em um tempo fixo, é preciso que ele se mova mais rápido através do tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a velocidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto estranho. O uso de raios X mostra que o raio do tubo circular da traqueia se contrai para cerca de /3 de seu raio normal durante a tosse. De acordo com o modelo matemático para a tosse, a velocidade v está relacionada ao raio r da traqueia pela equação: 1 vr () = kr ( 0 rr ), r0 r r0 em que k é uma constante e r 0 é o raio normal da traqueia. A restrição sobre r deve-se ao fato de que as paredes da traqueia endurecem sob pressão, evitando uma contração maior que 1 r 0 (de outra forma, a pessoa ficaria sufocada).! 1 a. Determine o valor de r no intervalo r,r $ # 0 0& no qual v tenha um máximo absoluto. Como " % isso se compara com a evidência experimental?! 1 b. Qual o valor máximo absoluto de v no intervalo r,r $ # 0 0&? " % c. Esboce o gráfico de v no intervalo! 0,r # " 0 $. 3. Seja f : I!, I! um conjunto aberto. a. Defina a derivada de f em a I. b. Dada a função f( x) = sen( x), demonstre que f '( x) = cos( x). Argumentação 3 Originalidade 3 Abrangência 8

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