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1 Univrsidad d Lisboa Faculdad d Ciências Dpartamnto d Física Estimulação Magnética Transcraniana: Estudo da Localização das Populaçõs Clulars Estimuladas num Modlo Htrogéno Ralista do Córtx Crbral Sofia Isabl d Castro Silva Doutoramnto m Engnharia Biomédica Biofísica 009

2 Univrsidad d Lisboa Faculdad d Ciências Dpartamnto d Física Estimulação Magnética Transcraniana: Estudo da Localização das Populaçõs Clulars Estimuladas num Modlo Htrogéno Ralista do Córtx Crbral Sofia Isabl d Castro Silva Ts orintada plo Prof. Doutor Pdro Cavaliro Miranda Instituto d Biofísica Engnharia Biomédica Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Doutoramnto m Engnharia Biomédica Biofísica 009

3 Índic ÍNDICE...I LISTA DE ABREVIATURAS... V RESUMO... VII ABSTRACT...IX AGRADECIMENTOS...XI CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO CAPÍTULO :... 3 SISTEMA NERVOSO E CÓRTEX CEREBRAL CONCEITOS BÁSICOS O SISTEMA NERVOSO: CONCEITOS BÁSICOS O CÓRTEX CEREBRAL Dfinição, composição organização clular Orintação dos nurónios m rlação à suprfíci do córtx Organização funcional das camadas corticais O CÓRTEX MOTOR Dfinição localização Gomtria Outras áras associadas ao controlo motor as conxõs stablcidas...9 CAPÍTULO 3: ELECTROFISIOLOGIA DO SISTEMA NERVOSO CENTRAL E MECANISMOS DE ACTIVAÇÃO ELECTROFISIOLOGIA DO SISTEMA NERVOSO CENTRAL Bas da xcitabilidad das células nuronais Gração propagação do potncial d acção Transmissão sináptica gração d um potncial pós-sináptico INTERACÇÃO ENTRE AS CÉLULAS NEURONAIS E O CAMPO ELÉCTRICO APLICADO: A EQUAÇÃO DO CABO Introdução A quação do cabo os mcanismos d activação m TMS...37 CAPÍTULO 4: PRINCÍPIOS FÍSICOS DA TMS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: AS EQUAÇÕES DE MAXWELL ELECTROMAGNETISMO EM TMS Fonts d campo lctromagnético m TMS Tipos d impulsos d stimulação m TMS A aproximação quasi-stática m TMS O CAMPO ELÉCTRICO EM MEIOS HETEROGÉNEOS E ANISOTRÓPICOS Introdução Efito das htrognidads no campo léctrico Efito das anisotropias no campo léctrico...55 CAPÍTULO 5: MODELAÇÃO NUMÉRICA O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MODELAÇÃO DA ESTIMULAÇÃO MAGNÉTICA DO CÓRTEX CEREBRAL...68 i

4 5..1. Introdução Gomtria do Modlo Físico Propridads Eléctricas do Volum Condutor do Mio Envolvnt Modlação da bobin da font d corrnt Discrtização do modlo: A malha d lmntos finitos Método d rsolução VALIDAÇÃO DOS CÁLCULOS EM ELEMENTOS FINITOS Introdução Validação da implmntação m Mathmatica do modlo d Tofts (1990) Trabalho d validação do softwar d Elmntos Finitos...89 CAPÍTULO 6: PÓS-PROCESSAMENTO DOS RESULTADOS DO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA O CÁLCULO DOS MECANISMOS DE ACTIVAÇÃO DA TMS INTRODUÇÃO DADOS NECESSÁRIOS PARA O CÁLCULO DOS MECANISMOS DE ACTIVAÇÃO Os mcanismos d activação Cálculo das projcçõs das funçõs d activação Cálculo das drivadas parciais d 1ª ordm das componnts do campo léctrico Dados a xportar do Comsol EXPORTAÇÃO E PRÉ-PROCESSAMENTO DOS DADOS AJUSTE NÃO LINEAR DE FUNÇÕES Introdução Squência gral d opraçõs Dtcção das intrfacs Ajust d funçõs CORRECÇÃO DO RUÍDO Introdução Critérios grais d corrcção do ruído Etapas da programação Rsultados Particularidads da corrcção d cada drivada CONCLUSÃO...19 CAPÍTULO 7: OS MECANISMOS DE ACTIVAÇÃO DA TMS INDUZIDOS NO MODELO DO CÓRTEX INTRODUÇÃO VALORES DE λ E LIMIAR DE ESTIMULAÇÃO Valors d λ Limiar d Estimulação RESULTADOS Modlo Htrogéno vrsus Modlo Homogéno Os mcanismos d stimulação no modlo htrogéno DISCUSSÃO Efitos da htrognidad dos tcidos no campo léctrico induzido Os mcanismos d stimulação no modlo htrogéno Prvisõs acrca das populaçõs nuronais stimuladas d acordo com o diâmtro das fibras Limitaçõs do modlo CAPÍTULO 8: DETERMINAÇÃO DOS MECANISMOS DE ACTIVAÇÃO E DAS POPULAÇÕES NEURONAIS ESTIMULADAS NUM MODELO DO CÓRTEX MOTOR USANDO IMPULSOS DE ESTIMULAÇÃO REALISTAS E MODELOS NEURONAIS INTRODUÇÃO TIPOS DE NEURÓNIOS MODELADOS Introdução ii

5 8... Localização gomtria Propridads morfológicas lctrofisiológicas O CAMPO ELÉCTRICO AO LONGO DE CADA NEURÓNIO DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CABO RESULTADOS O campo léctrico ao longo dos nurónios Mcanismos locais d activação Influência da forma da onda da dircção da corrnt na stimulação Efitos das htrognidads nos locais nos limiars d stimulação DISCUSSÃO Mcanismos locais d activação Intrprtação dos rsultados xprimntais da litratura Limitaçõs do modlo CONCLUSÃO CAPÍTULO 9: CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS BIBLIOGRAFIA ANEXOS ANEXO AO CAPÍTULO ANEXO AO CAPÍTULO A.6.1. Cálculo da projcção tangncial máxima d E r A.6.. Algoritmo d construção do mapa d vctors n r...19 A.6.3. Construção do mapa d vctors t r A.6.4. Algoritmos para criação da matriz d coordnadas para xportação d dados do Comsol A.6.5. Algoritmo para arrumar os dados do problma m arrays tridimnsionais A.6.6. Algoritmo para sparar os dados m rgiõs dlimitadas plas intrfacs do modlo gométrico...00 A.6.7. Algoritmos para ajust d funçõs às componnts homogéna htrogéna d E x cálculo da drivada parcial d E x ao longo d x...0 A.6.8. Algoritmos para corrcção do ruído nos dados nas drivadas...17 ANEXO AO CAPÍTULO A.7.1. Algoritmo para a dtrminação d S m...31 ANEXO AO CAPÍTULO Parâmtros gométricos dos prcursos nuronais...33 Parâmtros morfológicos dos modlos nuronais...34 iii

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7 Lista d Abrviaturas TMS Estimulação Magnética Transcraniana (do inglês Transcranial Magntic Stimulation ) SNC Sistma Nrvoso Cntral SNP Sistma Nrvoso Priférico SMA Ára Motora Suplmntar (do inglês Supplmntary Motor Ara ) BA Ára d Brodman (do inglês Brodman s Ara") M1 Córtx Motor Primário S1 Córtx Somatossnsitivo Primário GGP Grand Potncial Pós-sináptico ATP Adnosina Trifosfato IPSP Potncial Pós-sináptico Inibitório (do inglês Inibitory Post-synaptic Potntial ) EPSP Potncial Pós-sináptico Excitatório (do inglês Excitatory Post-synaptic Potntial ) FEM Método dos Elmntos Finitos (do inglês Finit Elmnt Mthod ) DOF Grau d Librdad (do inglês Dgr of Frdom ) CSF Líquido Cfalorraquidiano (do inglês Crbrospinal Fluid ) GM Substância Cinznta (do inglês Gry Mattr ) WM Substância Branca (do inglês Whit Mattr ) GMRES Gnralizd Minimal Rsidual Mthod ROI Rgião d intrss (do inglês Rgion of Intrst ) NaN Not a Numbr MMQ Método dos Mínimos Quadrados PA Postrior-Antrior AP Antrior-Postrior LM Latral-Mdial RMT Limiar Motor d Rpouso (do inglês Rsting Motor Thrshold ) AMT Limiar Motor Activo (do inglês Activ Motor Thrshold ) MSO Output Máximo do Estimulador (do inglês Maximum Stimulator Output ) v

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9 Rsumo Nsta ts d doutoramnto são aprsntadas simulaçõs numéricas da distribuição do campo léctrico induzido por Estimulação Magnética Transcraniana (TMS) no córtx crbral tcidos adjacnts. Est trabalho visa mlhorar os cálculos já xistnts na litratura propor stimativas da localização das populaçõs clulars stimuladas. A localização das células stimuladas foi stimada sob duas abordagns. Na primira, o campo léctrico induzido foi usado para calcular os mcanismos d stimulação associados a sgmntos nuronais rctos longos a trminaçõs dobras axonais. A amplitud dos mcanismos o limiar d stimulação clular foram stimados considrando ainda os diâmtros dos axónios a duração do stímulo. Os rsultados sugrm qu durant a stimulação do córtx motor com impulso monofásico PA m condiçõs d limiar motor, podrá ocorrr o rcrutamnto d células d diâmtro médio m toda a coroa da circunvolução (intrnurónios) no lábio da circunvolução (intrnurónios células piramidais), nquanto qu as células piramidais d Btz podrão sr rcrutadas ao longo d quas toda a profundidad do sulco. Os rsultados sugrm ainda a importância das htrognidads para o rcrutamnto d algumas células. Na sgunda abordagm ao problma, foi studada a rsposta d modlos nuronais ao campo léctrico calculado no primiro trabalho. À distribuição spacial do campo foram adicionadas variaçõs tmporais d impulsos monofásicos (PA AP) bifásicos (AP-PA PA-AP). Os rsultados aqui obtidos rforçam a importância das dobras das trminaçõs axonais na stimulação cortical. No qu concrn o rcrutamnto d células piramidais, as stimativas rspitants à stimulação por impulso PA stão m maior conformidad com os rsultados da litratura do qu as obtidas com a primira abordagm ao problma. Apsar das limitaçõs, st trabalho d modlação é uma mtodologia útil na comprnsão dos mcanismos d stimulação clular na dtrminação das rgiõs corticais stimuladas m TMS. Palavras-chav: campo léctrico, modlação numérica, Estimulação Magnética Transcraniana, stimulação nuronal, córtx motor. vii

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11 Abstract In this doctorat thsis I prsnt numrical simulations of th distribution of th lctric fild inducd during Transcranial Magntic Stimulation (TMS) of th crbral cortx and adjacnt tissus. This work aims to improv prvious calculations and propos stimats of th localization of th cllular populations stimulatd. Th localization of th stimulatd clls was stimatd using two approachs. In th first on, th inducd lctric fild was usd to calculat th stimulation mchanisms rlatd to straight and long nuronal sgmnts, axonal trminations and axonal bnds. Th magnitud of th mchanisms and th stimulation thrshold wr stimatd considring axonal diamtrs and th duration of th stimulus. Rsults suggst that during monophasic PA stimulation of th motor cortx, and undr motor thrshold conditions, rcruitmnt of mdium sizd clls may occur along th whol crown of th gyrus (intrnurons) and in th lip of th sulcus (intrnurons and pyramidal clls), whil rcruitmnt of Btz clls may occur approximatly along th whol dpth of th sulcus. Rsults suggst also that htrognitis ar important for th rcruitmnt of som clls. In th scond approach to th problm, th rspons of nuronal modls to th lctric fild calculatd in th first simulations was studid. Tim variations corrsponding to monophasic (AP and PA) and biphasic (AP-PA and PA-AP) stimulus whr addd to th spatial distribution of th lctric fild. Th rsults rinforc th importanc of bnds and axonal trminations in cortical stimulation undr TMS. Concrning th rcruitmnt of pyramidal clls, stimats rlatd to PA monophasic stimulation ar in bttr agrmnt with xprimntal rsults rportd in th litratur than th stimats obtaind undr th first approach to th problm. In spit of th limitations, this modlling work is a usful mthodology for undrstanding th mchanisms of cllular stimulation and for th assssmnt of th cortical rgions stimulatd during TMS. Kywords: lctric fild, numrical modlling, Transcranial Magntic Stimulation, nuronal stimulation, motor cortx. ix

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13 Agradcimntos Est trabalho d doutoramnto rprsntou a primira grand xpriência profissional qu m prmitiu confirmar, na primira pssoa, qu há tarfas projctos na nossa vida qu não podm sr concrtizados sm a ajuda daquls qu nos rodiam. Não posso dixar d nomar todos aquls qu, d uma forma ou d outra, m ajudaram ao longo dst caminho. Assim, os mus agradcimntos são os sguints: Ao Profssor Doutor Pdro Cavaliro Miranda, mu orintador d doutoramnto, pla forma calorosa com qu smpr m tratou plo rigor pla honstidad cintífica com qu orintou o mu trabalho. Ao Profssor Doutor Eduardo Ducla-Soars, plo rspito com qu trata todos os alunos qu s cruzam com l plo su ntusiasmo apoio, qu foram para mim cruciais logo no início do doutoramnto. To Doctor Ptr Bassr, for his activ participation as a co-author of this work. À Fundação para a Ciência a Tcnologia, por m trm concdido a bolsa d studos. À Hlga, pla amizad, pla paciência, plo companhirismo, por todas as partilhas... E por todos os incntivos qu m du ao longo dsts anos, um dls crucial até para a obtnção da bolsa! Ao Ricardo à Paula, mus colgas d grupo, pla sua amizad companhirismo, cuja simpls prsnça no gabint rprsntou, muitas vzs, a algria do mu dia d trabalho. À Batriz à Ana Sousa, por todo o apoio qu smpr m prstaram. Aos colgas do IBEB: Paula, Ricardo, Susana, Mónica, Nuno Matla, Nuno Olivira, Sandra, Trsa, Paula Alxandra, Paula Tavars, Rui, Hugo, Luís Frir Luís Janiro, os da minha gração outros qu foram chgando, aos Profssors Alxandr Andrad Pdro Almida, a todos ls, por trm fito do IBEB um xclnt local para trabalhar, uma sgunda casa. Aos amigos qu conhci na Igrja Cristã d Lisboa outros qu viram dpois, m particular, à Carla Martins, à Susana, ao Zé Migul, à Bt, ao Ronaldo, à Clair, ao Tuka, à Carla Rblo, ao Sérgio Manul, à Eunic, à Diana ao Ricardo, plas palavras d apoio, plo ntusiasmo, por trm sidos mus companhiros por trm participado na construção da minha fé d algum xi

14 conhcimnto bíblico qu fui adquirindo, sm os quais st trabalho não tria nunca chgado a bom porto. À Paula ao Milton, por trm lido a ts trm contribuído d forma significativa para o mlhoramnto da msma. Ao Milton, plo apoio, ntusiasmo paciência qu nos tm ddicado, a mim à minha ts Aos mus avós António Rosalina, mus padrinhos, plo apoio qu m dram qu m ajudou a pagar os mus studos. E, finalmnt, aos mus pais ao mu irmão. Ao mu irmão, pla sua amizad por acrditar m mim no valor do mu trabalho. E aos mus pais, por tudo o qu m proporcionaram, dsd smpr, plo amor plo lar fliz, por ainda hoj, 30 anos dpois, continuarm a xrcr um amor qu ultrapassou as minhas maiors xpctativas d filha. Est trabalho foi financiado pla FCT, com a bolsa d doutoramnto d rfrência SFRH/BD/13815/003. xii

15 Capítulo 1: Introdução A Estimulação Magnética Transcraniana, ou TMS (do inglês Transcranial Magntic Stimulation ) é uma técnica não invasiva d stimulação, ou activação, das células nuronais. A acção da TMS é consguida pla indução d um campo léctrico nos tcidos crbrais através da aplicação d um campo magnético variávl no tmpo. Est campo magnético, por sua vz, é obtido pla dscarga do condnsador d um circuito léctrico RLC através d um nrolamnto d fio condutor (o indutor), o qual s dsigna, m TMS, por bobin d stimulação. D ntr as várias aplicaçõs da TMS, dstaca-s, m primiro lugar, a sua utilidad como frramnta d diagnóstico m vários contxtos clínicos. Administrada num impulso único ( singl puls TMS ) ou m pars d impulsos ( paird puls ), a TMS tm utilidad comprovada no diagnóstico d donças como a milopatia, a sclros latral amiotrófica a sclros múltipla (Chn t al., 008). Esta técnica parc ainda sr útil no diagnóstico da pilpsia (como frramnta complmntar a outras já stablcidas na prática clínica), através da avriguação do nívl d xcitabilidad do córtx motor, ainda no studo da plasticidad crbral qu ocorr m procssos d rabilitação aprndizagm (Halltt, 000). Um xmplo d tais studos é o da dtrminação da xtnsão ( mapping ) do tcido cortical ddicado à contracção d um dtrminado músculo ou à xcução d um dado movimnto, ond a TMS é usada para avriguar s houv aumnto ou diminuição dssa xtnsão. Ao nívl d aplicaçõs como frramnta d tratamnto, a TMS parc tr um fito positivo mbora ainda não comprovado m donças crblars, dmência, dsordns do nrvo facial dsordns motoras, AVC, pilpsia, ainda no tratamnto d nxaqucas dor crónica (Chn t al., 008). No contxto da invstigação m nurociências, dstaca-s o important papl qu a TMS pod tr na rsolução do problma d stablcr uma rlação causal ntr a actividad nuronal numa dtrminada rgião do cérbro a xcução d uma dada tarfa (Walsh Pascual-Lon, 003). A TMS pod sr usada para criar, localmnt, lsõs virtuais, i.., intrrupçõs tmporárias rvrsívis da actividad nuronal numa dada ára crbral, qu prmitm studar o papl qu uma dada ára do cérbro tm na xcução d uma tarfa (Walsh Pascual-Lon, 003; Kobayashi Pascual-Lon, 003). As células nuronais, qu constitum o alvo da stimulação magnética, ralizam as suas funçõs d transmissão armaznamnto d informação através da propagação d potnciais d acção, qu consistm m difrnças d potncial léctrico ntr o mio intra-clular o mio xtraclular, qu s propagam ao longo do nurónio para srm transmitidas a outros nurónios, 13

16 através das sinapss. As caractrísticas lctrofisiológicas das células nuronais sugriram, há muito, qu stas células podm sr prturbadas por corrnts léctricas aplicadas intra- ou xtraclularmnt. D facto, mostra-s qu as células nuronais podm sr activadas por campos léctricos xtrnos (vr, por xmplo, Roth, 1994), i.., qu um dsvio na difrnça d potncial transmmbranar, m rlação ao su valor d rpouso, provocado pla aplicação intra- ou xtraclular d uma corrnt léctrica, ou pla sujição do mio xtra-clular a um gradint d campo léctrico, pod causar o disparo d um potncial d acção no nurónio alvo. Consoant o local d gração do potncial d acção, ao longo do nurónio, podrá ocorrr transmissão do msmo a um nurónio adjacnt. Est é o mcanismo d acção da TMS. A capacidad da TMS d stimular o córtx crbral humano ficou stablcida m 1985, no artigo m qu Barkr sus colaboradors propusram sta técnica (Barkr t al., 1985). No ntanto, como s vrá, a qustão d sabr com rigor a xtnsão a localização das populaçõs nuronais stimuladas m TMS continua m abrto. Tndo m conta a toria qu dscrv os mcanismos d intracção ntr o campo léctrico induzido as células nuronais (rvista m Roth, 1994), o problma d conhcr com rigor a localização a xtnsão das populaçõs nuronais stimuladas driva dirctamnt do problma d conhcr com rigor a distribuição spacial do campo léctrico induzido no córtx crbral, do su gradint. O campo léctrico total induzido num volum condutor é o rsultado d duas contribuiçõs: o campo induzido plo campo magnético grado pla corrnt léctrica na bobin, o campo dvido à acumulação d cargas léctricas, qu ocorr nas intrfacs ntr mios com difrnts condutividads léctricas. É d notar qu sta acumulação d cargas só ocorr s o campo não for stritamnt parallo a todas as suprfícis do volum condutor. S o volum condutor for homogéno isotrópico, s o campo léctrico for smpr parallo à suprfíci do volum condutor, ntão não há acumulação d cargas. Nss caso, o campo induzido dntro do volum condutor é o msmo qu sria induzido no vácuo. O campo léctrico induzido por TMS comçou por sr calculado num mio infinito homogéno. Grandori Ravazzani (1991) calcularam o campo induzido por bobins d gomtria simpls circulars, m forma d oito combinaçõs d bobins circulars num mio infinito, homogéno isotrópico. S considrarmos a cabça como uma sfra homogéna isotrópica, o campo léctrico induzido por uma bobin circular colocada sobr a cabça cntrada com o ixo d simtria da msma é igual ao campo induzido no vácuo. Est foi um dos primiros trabalhos qu prmitiu aprciar a distribuição spacial do campo induzido m TMS mantém a sua rlvância até aos dias d hoj, dado qu as bobins circulars m forma d oito continuam a sr as mais utilizadas. 14

17 Tofts (1990) também aprsntou cálculos do campo induzido por bobins circulars, dsta vz num mio homogéno isotrópico, mas smi-infinito. O uso d bobins circulars na simulação prmitiu a Tofts (1990) usufruir da fórmula d Smyth (1968) qu rsulta da simplificação introduzida pla gomtria da bobin na xprssão do potncial magnético vctorial. O autor usou dois posicionamntos da bobin m rlação à suprfíci do volum condutor: paralla prpndicular. Para a bobin prpndicular, foi ncssário calcular a contribuição do campo dvido à acumulação d carga na suprfíci do volum condutor. O autor mostrou as distribuiçõs spaciais do campo léctrico da dnsidad d corrnt, assim como alguns valors máximos. Est trabalho, ao modlar uma intrfac ntr dois mios (ar volum condutor) ao considrar um caso m qu ncssariamnt ocorr acumulação d carga, prmitiu quantificar os fitos dssa contribuição para o campo léctrico total. Uma consquência important dssa acumulação é qu a componnt do campo léctrico total prpndicular à suprfíci do mio smi-infimito é nula. Essll Stuchly (199) calcularam o campo léctrico as suas drivadas spaciais d primira ordm, induzidos por bobins d várias gomtrias num volum condutor smi-infinito, homogéno isotrópico. O campo grado por um lmnto d corrnt da bobin é calculado analiticamnt. Dpois, as contribuiçõs dos N lmntos d corrnt qu constitum uma discrtização da bobin, são somadas. Tal como m Tofts (1990), vrificou-s qu, para st modlo smi-infinito do volum condutor, o campo léctrico é smpr parallo à intrfac ar/tcido, qualqur qu sja a orintação da bobin m rlação a ssa intrfac. Essll Stuchly (199) notaram ainda qu o campo léctrico as suas drivadas, grados num dado ponto P do volum condutor, são indpndnts da distância da bobin à suprfíci do volum condutor (i.., a intrfac ar/tcido), dpndndo apnas da distância da font d corrnt (bobin) ao ponto ond s stá a considrar o valor do campo (ponto P ). Outro trabalho rlvant d computação do campo léctrico induzido por TMS é o d Roth t al. (1991), ond foi introduzido um modlo sférico com três camadas para rprsntar o scalp, o crânio o cérbro. Os autors calcularam o campo léctrico total para várias posiçõs da bobin m rlação ao modlo sférico da cabça, tndo ncssariamnt m conta, para algumas dstas disposiçõs, o campo dvido à acumulação d carga. Not-s qu, até à publicação do artigo rfrido (Roth t al., 1991), a componnt do campo léctrico dvido à acumulação d carga só ocasionalmnt tinha sido considrada m trabalhos d modlação. No trabalho aprsntado nss artigo o campo foi calculado numricamnt, dada a ncssidad d rsolvr a quação d Laplac para o potncial léctrico scalar. Os rsultados obtidos prmitiram concluir qu, para a maioria das gomtrias orintaçõs das bobins, a acumulação d carga dv sr tida m conta no cálculo do campo léctrico total. Em particular, a acumulação d carga na intrfac tcido/ar 15

18 faz com qu a componnt radial do campo induzido total sja nula. Em trmos das limitaçõs do modlo, os autors lvantaram a qustão d qu as simplificaçõs do su modlo sférico, no qu toca à gomtria do córtx à distorção introduzida por ssa gomtria na distribuição spacial do campo léctrico, podrão não sr válidas podrá sr ncssário usar o método dos lmntos finitos para rsolvr modlos mais complxos, qu dscrvam a forma xacta da suprfíci do córtx (Roth t al., 1991). A importância do modlo gométrico léctrico do volum condutor para a distribuição do campo léctrico induzido m TMS foi analisada com mais dtalh m alguns trabalhos postriors ao d Roth t al (1991), dos quais s dstacam três: Kobayashi t al. (1997), Liu Uno (000) Miranda t al. (003). Kobayashi t al. (1997) simularam, in vitro, as intrfacs ntr dois tcidos com condutividads léctricas distintas (músculo gordura), adjacnts a um nrvo do braço. Usando st modlo, os autors consguiram rproduzir as discrpâncias fac à toria da stimulação d nrvos, tal como obtidas noutros trabalhos. D facto, alguns studos (como, por xmplo, Ruohonn t al., 1996) mostravam qu, in vivo, comparativamnt com a stimulação longitudinal d nrvos priféricos, a stimulação transvrsal dos nrvos priféricos pod sr facilmnt alcançada. Esta obsrvação contraria a maioria dos studos xprimntais, como o d Rushton (197), qu validavam a aplicação da quação do cabo à stimulação d nurónios. Kobayashi t al. (1997) vrificaram qu, quando a bobin é colocada transvrsalmnt à dircção do nrvo priférico, a difrnça d condutividads léctricas ntr os dois mios, músculo gordura, origina um cátodo virtual na rgião da intrfac, qu não xistiria no caso d o nrvo s ncontrar imrso num mio homogéno, usando a msma orintação da bobin. Ess cátodo virtual prmitiu xplicar os rsultados até ntão vistos como inconsistnts. Os rsultados d Kobayashi t al. (1997) foram mais tard rproduzidos por Liu Uno (000), num trabalho d modlação computacional, confirmando assim a importância das htrognidads na stimulação d nrvos priféricos. Est trabalho d simulação lvado a cabo por Kobayashi t al. (1997), com vista ao studo dos fitos das htrognidads dos tcidos, mbora ralizado numa gomtria muito distinta da do córtx crbral, mostrou qu é impossívl prvr com xactidão o rsultado da stimulação magnética m tcidos biológicos com gomtrias complxas distribuiçõs htrogénas das condutividads léctricas, s ssas msmas gomtrias htrognidads léctricas não form tidas m conta. Miranda t al. (003), num trabalho d modlação numérica, studaram os fitos das htrognidads das anisotropias do cérbro no campo léctrico induzido por TMS. Em rlação às htrognidads, os autors mostraram toricamnt qu na intrfac ntr o córtx o líquido cfalorraquidiano, ou CSF (do inglês crbrospinal fluid ), o campo léctrico pod chgar a aumntar por um factor d 1.63 no córtx, fac ao su valor num mio homogéno. 16

19 Est tipo d aumnto ocorr junto à intrfac ntr os dois tcidos, do lado do tcido com mnor condutividad léctrica. No msmo studo, foram ainda obtidos rsultados d modlação numérica próximos dos obtidos na prvisão tórica. Simulando a intrfac ntr o CSF o córtx crbral, com rcurso a uma inclusão isotrópica d condutividad léctrica smlhant à do CSF (1.79 S/m; vr Baumman t al., 1997; Awada t al., 1998), imrsa numa sfra isotrópica d condutividad léctrica constant (0.4 S/m) próxima da do córtx crbral (vr, por xmplo, Robillard Poussart, 1977; Gabril t al., 1996b; Gonçalvs t al., 003), vrificaram qu o campo léctrico induzido por TMS, do lado d fora da inclusão junto a uma das facs da msma, d orintação aproximadamnt prpndicular à dircção da corrnt induzida, aumnta por um factor d 1.43 m rlação ao su valor numa sfra homogéna. Os autors argumntaram qu sta situação d aumnto do campo no mio nvolvnt à inclusão (córtx crbral) pod ocorrr, por xmplo, no córtx motor, dando possivlmnt origm a focos d activação nuronal impossívis d prvr usando um modlo homogéno da cabça. Os studos lvados a cabo por Kobayashi t al. (1997), Liu Uno (000) Miranda t al. (003), ntr outros, sustntam a ncssidad d rcorrr a modlos computacionais qu simulm d forma ralista a gomtria as condutividads léctricas dos tcidos da cabça, uma vz qu a distribuição spacial do campo léctrico induzido por TMS nsss tcidos é fortmnt dpndnt dssas propridads caractrísticas. Os modlos mprgus no cálculo da distribuição do campo léctrico m TMS têm vindo a voluir no sntido d incluir o máximo d informação possívl acrca dos tcidos biológicos, como s pod vrificar m trabalhos como o d Crri t al. (1995) o d Wagnr t al. (004), ond o campo léctrico induzido é calculado tndo m conta modlos gométricos ralistas uma distribuição htrogéna da condutividad léctrica na cabça. O trabalho d Wagnr t al. (004), apsar d incluir um modlo intiro da cabça humana, é bastant limitado no qu toca à gomtria do cérbro, já qu não foram modlados os sulcos corticais, considrados como sndo rsponsávis por uma distorção significativa do campo léctrico (Miranda t al., 003). O modlo d Crri t al. (1995) é um modlo complto da cabça humana, criado a partir d imagns d rssonância magnética, ond a gomtria do córtx crbral foi prsrvada. O modlo é bom, mbora a rsolução (d 3.4 mm d lado para cada lmnto cúbico d volum) possa ainda sr mlhorada. D qualqur forma, Crri t al. (1995) limitaram-s a aprsntar os cálculos do campo léctrico, sm tcr quaisqur considraçõs acrca da localização das populaçõs nuronais stimuladas por ss campo. Postriormnt, foram publicados outros trabalhos com modlos gométricos ralistas d lvada rsolução do cérbro (Holdfr t al., 006), ou xclusivamnt do córtx crbral (Manola t al., 005), ond a qustão da stimulação clular é analisada. No ntanto, sss 17

20 trabalhos são ddicados xclusivamnt ao caso da stimulação léctrica. A stimulação léctrica é uma técnica parnt da stimulação magnética, ond as corrnts léctricas são administradas aos tcidos crbrais por mio d léctrodos colocados sobr o scalp, ou por mio d léctrodos intra-cranianos, tndo como consquência uma distribuição spacial das corrnts induzidas bastant distinta, m amplituds dircção, daqula qu é produzida pla stimulação magnética. O facto da corrnt administrada m stimulação léctrica sr contínua (DC) ou m impulsos curtos, mas m forma d onda quadrada, nfatiza ainda mais as difrnças, já qu o impulso d stimulação magnética é variávl no tmpo a rsposta clular ao campo aplicado dpnd da forma tmporal da onda. Assim sndo, as conclusõs dos trabalhos d Manola t al. (005) ou d Holdfr t al. (006) não podm sr xtrapoladas para o caso da TMS. Os trabalhos mais rcnts nsta ára, aplicados à stimulação magnética, são os d D Lucia t al. (007) Chn Mogul (009). Em ambos os casos, o campo léctrico induzido por TMS é calculado num modlo complto d lvada rsolução da cabça humana. D ntr todos os trabalhos aqui rfridos, o d Chn Mogul (009) é aqul qu aprsnta o modlo crbral mais rigoroso, com o qual podm sr obtidas as distribuiçõs spaciais do campo léctrico d outros parâmtros rlvants para a stimulação nuronal (Roth, 1994), com os quais s pod stimar a localização das populaçõs nuronais stimuladas. No ntanto, ssa anális não foi fita plos rspctivos autors, qu s rstringiram à construção do modlo gométrico ao cálculo da distribuição spacial do campo léctrico para algumas situaçõs possívis da distribuição d condutividads léctricas no córtx crbral. No trabalho aprsntado por D Lucia t al. (007), as stimativas da localização das populaçõs clulars stimuladas são fitas com bas no prssuposto d qu é o campo léctrico qu govrna a stimulação, não o su gradint, a ára stimulada é calculada tndo como limiar 50% da intnsidad máxima do campo. A grand mais valia dst último artigo é a d aprsntar um studo comparativo ntr o campo léctrico induzido num modlo anisotrópico da distribuição d condutividads (obtida a partir do tnsor d difusão) o campo induzido num modlo quivalnt, mas isotrópico. Os rsultados dss studo podm sr usados para stimar o rro comtido ao dsprzar o fito das anisotropias. Como já foi rfrido, para dtrminar a xtnsão a localização das populaçõs nuronais stimuladas é ncssário, para além da dtrminação rigorosa da distribuição do campo léctrico induzido nos tcidos crbrais, qu s ntr m linha d conta com a intracção ntr o campo léctrico as células. Pod mostrar-s qu a intracção do campo léctrico com as células nuronais pod sr dscrita através da quação do cabo. Foram já fctuados alguns trabalhos d aplicação da quação do cabo à intracção ntr o campo léctrico induzido m TMS as 18

21 células nuronais, qu prmitiram stablcr os parâmtros do campo léctrico qu são rlvants para a stimulação nuronal m várias configuraçõs gométricas das células (vr Rall, 1977, para uma rvisão histórica dsta ára d invstigação, Roth, 1994, para uma rvisão complta d todos os mcanismos intrvnints na stimulação nuronal, magnética léctrica). O assunto dos mcanismos d intracção campo-células srá tratado com maior dtalh no Capítulo 3 dsta ts. No ntanto, importa aqui dstacar qu a rsposta passiva das mmbranas clulars a um campo léctrico aplicado ou sja, a rsposta sub-limiar, da variação local do potncial léctrico transmmbranar é dtrminada por uma constant d spaço, λ, associada ao diâmtro da fibra nuronal, por uma constant d tmpo, τ, associada às impdâncias (capacitivas rsistivas) da mmbrana nuronal, qu traduz a dpndência da rsposta nuronal com a duração do stímulo lctromagnético com a variação tmporal dss msmo stímulo, i.., a forma da onda (vr, por xmplo, Bassr Roth, 1991). Na prsnt ts d doutoramnto, o campo léctrico induzido por stimulação magnética foi calculado num modlo d lvada rsolução d um sulco cortical tcidos adjacnts. A construção do modlo físico do problma tv m linha d conta vários parâmtros: a xtnsão ficaz do campo léctrico m TMS do córtx motor; a profundidad a spssura médias do sulco cntral, ond s localiza o córtx motor primário; as condutividads médias do córtx crbral dos tcidos nvolvnts (substância branca líquido cfalorraquidiano); ainda os parâmtros rlativos à bobin d stimulação à corrnt léctrica na bobin. Est modlo forncu uma stimativa ralista dos vários mcanismos d stimulação, associados ao campo léctrico ao su gradint, na rgião d intrss para a stimulação do córtx motor primário. A quantificação dsss mcanismos foi fctuada através d duas abordagns. Na primira abordagm, qu é uma abordagm stática, os mcanismos d stimulação foram quantificados tndo m conta as constants d comprimnto, λ, das fibras alvo. Adicionalmnt, a rsposta d vntuais células a um impulso monofásico ralista foi stimada indirctamnt, pla prvisão da amplitud da rsposta passiva d um dtrminado modlo nuronal (Bassr Roth, 1991) a uma onda quadrada com duração igual à do impulso magnético ral. Na sgunda abordagm, foram considrados os prcursos gométricos d vntuais células alvo no modlo do sulco aqui proposto, a sss prcursos nuronais foi adicionado um modlo nuronal com propridads lctrofisiológicas basadas na litratura, d forma a podr rsolvr a quação do cabo para cada um dsts modlos nuronais obtr as suas rspostas individuais a impulsos lctromagnéticos com variação tmporal ralista. O objctivo principal dst trabalho d doutoramnto consistiu m mlhorar os cálculos já xistnts na litratura rlativos à distribuição do campo léctrico induzido no córtx crbral 19

22 por TMS propor stimativas quanto à localização das populaçõs clulars rcrutadas m stimulação magnética do córtx motor. Essas stimativas dvrão contribuir para a intrprtação dos rsultados xprimntais rportados na litratura. Dado qu a prtinência dst studo d modlação assnta, m part, na distorção qu é introduzida na distribuição do campo léctrico pla gomtria propridads léctricas dos tcidos, sss fitos são também analisados nos rsultados obtidos na prsnt invstigação, com vista a confirmar o qu já foi nfatizado m trabalhos antriors. Est é um trabalho d modlação análogo ao qu Manola t al. (005) aprsntaram para a stimulação léctrica do córtx motor, qu, como já foi rfrido, não é rdundant m rlação a ss, dadas as difrnças xistnts ntr os dois tipos d stimulação. Por outro lado, apsar do modlo gométrico usado nst trabalho s rstringir a um sulco crbral tcidos circundants, m oposição aos trabalhos qu mprgam modlos compltos da cabça humana (Crri t al., 1995; Wagnr t al., 004; D Lucia t al., 007; Chn t al., 009), a xtnsão d córtx considrada é suficint para analisar a rgião d intrss (ROI) da TMS na ára da mão do sulco cntral (Yousry t al., 1997; Trao Ugawa, 00) os rsultados com l obtidos são rlvants originais, pla lvada rsolução do modlo numérico na ROI plo sforço mprgu na obtnção d stimativas da localização das populaçõs nuronais stimuladas, com bas, não apnas na amplitud do campo léctrico, mas considrando uma larga parcla dos parâmtros d stimulação possívis. A utilidad comprovada da TMS na prática clínica ajuda a rforçar a prtinência dst trabalho d outros como st, já qu sts conduzm, m última anális, ao aprfiçoamnto da técnica, i.., ao conhcimnto xacto dos fitos da msma no córtx crbral. Por sua vz, o potncial uso da TMS bnficiará d igual forma da dtrminação rigorosa dos locais d activação ficazs, já qu sta limitação é um dos factors qu tm impdido a confirmação dssas hipotéticas aplicaçõs (Halltt, 000). Esta Ts ncontra-s organizada m nov Capítulos. Os Capítulos, 3 4 são ddicados aos fundamntos do problma qu s prtnd rsolvr com st trabalho. Assim, no Capítulo é fita uma aprsntação sucinta da strutura do Sistma Nrvoso, dando spcial dstaqu à organização anatómica funcional do Córtx Crbral. Com ss Capítulo prtnd-s não só contxtualizar o litor com os trmos da Nurofisiologia, como também fazr notar as particularidads da organização das células dntro do córtx, as quais foram incorporadas no cálculo dos mcanismos d activação da TMS (Capítulo 6). No Capítulo 3 é aprsntada a Elctrofisiologia do Sistma Nrvoso Cntral os Mcanismos d Activação, xplicando quais as propridads físicas das células nuronais qu prmitm a intracção dssas células com os campos léctricos. No Capítulo 4 são aprsntados dsnvolvidos os concitos d Elctromagntismo subjacnts à Estimulação Magnética, incluindo a Instrumntação utilizada 0

23 para a gração do impulso d corrnt usado como stímulo, o comportamnto dos campos léctricos m mios htrogénos anisotrópicos. Os Matriais os Métodos são aprsntados nos Capítulos 5 6. No Capítulo 5 é aprsntado o trabalho d Modlação Numérica, ond são abordados os princípios básicos do Método dos Elmntos Finitos, ond é dscrito m dtalh o modlo do córtx utilizado, o método d rsolução particular do softwar usado nst trabalho os cálculos d validação fctuados, ond a qualidad do modlo numérico é discutida. O Capítulo 6 diz rspito ao trabalho d Pós-Procssamnto dos rsultados do cálculo numérico. Aí são dscritas as várias tapas dss trabalho, rlativo à obtnção do gradint do campo léctrico. Os Capítulos 7 8 são ddicados à aprsntação dos Rsultados à Discussão dos msmos. Assim, no Capítulo 7 são aprsntados os rsultados rlativos à distribuição spacial do campo léctrico induzido do su gradint, analisados os fitos das htrognidads léctricas do modlo do córtx na distribuição spacial do campo léctrico. As stimativas aprsntadas nss capítulo, para a localização das populaçõs clulars stimuladas, são as obtidas com a primira abordagm ao problma. No Capítulo 8 são aprsntadas discutidas as stimativas para a localização para a xtnsão, m profundidad, das populaçõs nuronais stimuladas, com bas na sgunda abordagm ao problma. Finalmnt, no Capítulo 9 são aprsntadas as Conclusõs dst trabalho as Prspctivas Futuras para sta ára da invstigação Biomédica. 1

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25 Capítulo : Sistma Nrvoso Córtx Crbral Concitos Básicos.1. O Sistma Nrvoso: concitos básicos O sistma nrvoso é constituído plo sistma nrvoso cntral (SNC) plo sistma nrvoso priférico (SNP). O SNC é composto plo cérbro pla spinhal mdula, nquanto qu o SNP é composto por todos os gânglios nrvos priféricos. Est sgundo divid-s m dois sistmas principais: o SNP somático, qu tm como função forncr a informação snsorial ao SNC xcutar as ordns motoras dadas plo SNC, o SNP autonómico, rsponsávl plo controlo motor dos órgãos intrnos, do músculo liso (prsnt, por xmplo, no coração), das glândulas xócrinas. Figura.1: Vista sagital da localização d várias struturas do sistma nrvoso cntral humano. Adaptada d O sistma nrvoso cntral pod ainda sr dividido num conjunto mais amplo d struturas rgiõs crbrais (Figura.1). Ess conjunto comprnd: a spinhal mdula; a mdula, qu consist na xtnsão rostral da spinhal mdula; a protubrância; o crblo; o msncéfalo, qu consist na part mais pquna do tronco crbral; o dincéfalo; finalmnt, os hmisférios crbrais. Os hmisférios crbrais, por sua vz, stão divididos m duas grands struturas anatómicas: o córtx crbral, ou substância cinznta, a substância branca. No córtx crbral ncontra-s a maior part dos corpos clulars dos nurónios crbrais (Figura.), nquanto qu a substância branca é ssncialmnt composta plos fixs d axónios d células nuronais qu s projctam ntr as várias rgiõs corticais ou ntr rgiõs corticais rgiõs sub- 3

26 corticais (como o tálamo ou a spinhal mdula). No qu diz rspito à anatomia funcional, cada hmisfério ncontra-s dividido m quatro lobos, conhcidos por lobo frontal, lobo parital, lobo tmporal lobo occipital (Figura.3). Figura.: Ilustração d um nurónio, ond s dstacam o corpo clular, o núclo da célula, as dndrits, o axónio as trminaçõs axonais. Adaptada d Figura.3: Ilustração do cérbro humano, dstacando os lobos crbrais o córtx motor primário, o córtx somatossnsitivo primário o sulco cntral. O córtx motor primário, ou ára M1, fica localizado na pard antrior do sulco cntral, nquanto qu o córtx somatossnsitivo primário (S1) fica localizado no lobo parital, na pard postrior do sulco cntral. A ára BA 6 fica localizada imdiatamnt ants d M1. Adaptada d A localização d um nurónio no cérbro associa-s à localização do su corpo clular. Assim, dirmos qu os nurónios localizados m cada um dos lobos d um hmisfério crbral são intrvnints na xcução d um tipo d tarfa spcífico. Por xmplo, os nurónios do lobo frontal stão associados a tomadas d dcisão planamnto, nquanto qu ao lobo parital s associam as funçõs rlacionadas com a xcução d movimntos com a rcpção d stímulos snsoriais produção d rsposta aos msmos. 4

27 .. O córtx crbral..1. Dfinição, composição organização clular O córtx crbral é a camada mais suprficial do cérbro, ond s ncontram os núclos das células nuronais. Crca d 95% da ára cortical nos srs humanos é composta plo tipo d córtx conhcido por nocórtx. Os rstants 5% do córtx crbral, compostos plo arquicórtx plo palocórtx, ncontram-s xclusivamnt m struturas profundas do cérbro, como o hipocampo ou o bolbo olfactivo. Na stimulação magnética, apnas o nocórtx é atingido plo campo léctrico. Como tal, no contxto dst trabalho d invstigação o nocórtx srá ntndido como sndo o próprio córtx crbral. O córtx crbral é composto por 75% d nurónios piramidais. Esta prcntagm é constant ao longo d todo o nocórtx (Nolt, 00). Os corpos clulars dos nurónios corticais têm ntr 10 µm 100 µm d diâmtro. As células d maiors dimnsõs são dsignadas por células d Btz ncontram-s xclusivamnt no córtx motor. Figura.4: Organização clular do córtx vista através d três métodos d coloração. As numraçõs vrticais à squrda à dirita da figura são quivalnts rfrm-s às sis camadas corticais. Adaptada d Existm duas grands classs d nurónios no córtx crbral: os nurónios piramidais os intrnurónios. Quas todas as células piramidais têm axónios compridos qu sam do córtx para s ligarm a nurónios noutras zonas corticais ou m rgiõs sub-corticais do cérbro (Standring, 005). As rstants células nuronais, dsignadas por intrnurónios, são mais pqunas, sndo qu os sus corpos clulars não ultrapassam os 10 µm d diâmtro. Os axónios dos intrnurónios são pqunos prmancm, na sua maioria, dntro do córtx (Nolt, 00). Os intrnurnónios são m part rsponsávis pla conctividad intra-cortical. 5

28 Transvrsalmnt, o córtx crbral ncontra-s organizado m sis camadas d células, numradas d I a VI (Figura.4). Estas camadas possum composiçõs clulars qu s distingum umas das outras plo rcurso a divrsos métodos d coloração (Figura.4). Assim, a camada I, também conhcida por camada molcular, é rica m axónios aprsnta baixa dnsidad d corpos clulars. Contém também as dndrits apicais dos nurónios piramidais d camadas corticais infriors. A camada II, ou camada granular xtrna, contém lvada dnsidad d corpos clulars pqunos. A camada IV, dsignada por camada granular intrna, tm uma strutura smlhant à da camada II. No qu toca à camada III, dsignada por camada piramidal xtrna, o su contúdo tm uma prpondrância d corpos clulars piramidais d diâmtro médio, nquanto qu a camada V, conhcida por camada piramidal intrna, para além d uma lvada abundância d corpos clulars piramidais médios, possui também corpos clulars piramidais d grands dimnsõs. Finalmnt, a camada VI, ou camada multiform, é conhcida por tr muitas células caractrizadas plos sus corpos clulars m forma d fuso. Entr a camada III a camada VI ncontram-s duas rgiõs qu s distingum pla abundância d fibras milinizadas horizontais (Figura.4, coluna da dirita; vr, por xmplo, Brodal, 1998, pág. 584). Estas duas rgiõs são dsignadas por bandas d Baillargr suprior infrior (Figura.4). Existm cinco tipos d córtx crbral, qu s distingum quanto à morfologia das rspctivas camadas d células. Dsss cinco dstacam-s apnas dois: o córtx agranular o córtx granular. O córtx agranular distingu-s pla abundância gnralizada d células piramidais d grands dimnsõs. Est tipo d córtx ating a spssura máxima d 4,5 mm stá fundamntalmnt associado ao córtx motor. O córtx granular, por sua vz, é caractrizado plo facto d as suas células piramidais srm pqunas m todas as camadas. Em consquência disto, a spssura total dst tipo d córtx pod sr d apnas 1,5 mm. Est tipo d córtx stá fundamntalmnt associado às áras snsoriais. Os rstants tipos d córtx (frontal, parital polar) têm caractrísticas mais homogénas ntr si.... Orintação dos nurónios m rlação à suprfíci do córtx Para stimar os fitos da TMS no córtx motor, é ncssário conhcr a composição do córtx m trmos do tipo d células, das suas abundâncias rlativas dos padrõs d disposição dstas células m rlação à suprfíci do córtx. A organização colunar a organização laminar do córtx (por xmplo, Figura.4) sugrm-nos a priori qu os ixos dos nurónios, dfinidos por corpo clular, axónio dndrit apical, dvrão star orintados sgundo uma d duas dircçõs prfrnciais: a organização colunar sugr-nos uma orintação prpndicular m rlação à suprfíci cortical, nquanto qu a organização laminar nos sugr uma orintação paralla, ou tangncial, das fibras nuronais m rlação a ssa msma suprfíci. 6

29 Constata-s, fctivamnt, qu a maioria dos nurónios corticais s ncontra alinhado sgundo uma dssas duas dircçõs prfrnciais. As células piramidais dispõm-s, na sua quas totalidad, prpndicularmnt às pards do córtx. No qu toca aos intrnurónios, também conhcidos por células strladas, os sus axónios podm ncontrar-s dispostos ao longo d qualqur dircção, dntro do córtx. No ntanto, as células strladas spinhadas, qu constitum o grupo mais abundant d células strladas, na maioria dos casos têm os sus axónios dispostos prpndicularmnt à suprfíci do córtx. No qu toca às células strladas não spinhadas, os sus axónios dispõm-s, na sua grand maioria, ao longo d uma d duas dircçõs prfrnciais: a prpndicular ou a tangncial (Standring, 005). Há ainda uma outra class d fibras qu contribum, d forma prpondrant, para a conctividad intra-cortical, qu são os colatrais dos axónios piramidais (Brodal, 1998). A grand maioria dstas fibras ncontra-s orintada ao longo d linhas prpndiculars à suprfíci do córtx, nquanto qu as rstants s dispõm, prfrncialmnt, ao longo d linhas parallas à suprfíci do córtx (Mountcastl, 1997)...3. Organização funcional das camadas corticais Cada camada do córtx stablc conxõs distintas. Da msma forma qu os afrnts para o córtx têm um padrão laminar d trminação distinto, também os frnts do córtx têm um padrão laminar d origm próprio. Embora haja uma sobrposição considrávl, pod dizr-s qu: 1) a camada III é a maior font d fibras corticospinhais; ) a camada V é a origm das fibras qu ligam o córtx a núclos sub-corticais é também a origm das fibras qu s projctam do córtx para o tronco crbral para a spinhal mdula; 3) a camada VI é a origm das fibras corticotalâmicas. Vrifica-s também qu no córtx motor prdominam as células piramidais d grands dimnsõs, dsd a camada II até à camada V. No qu toca ao córtx somatossnsitivo primário, sab-s qu st tm poucos frnts axonais d grand comprimnto. Isto dv-s ao facto d qu as fibras nst córtx s projctam ssncialmnt para áras corticais adjacnts, como as áras somatossnsitivas d associação ou o córtx motor primário. Ainda rlativamnt às conxõs stablcidas plo córtx crbral, é d salintar qu os afrnts vindos d outras zonas do córtx trminam maioritariamnt nas camadas II III. Ests são dsignados por associativos, quando são provnints do hmisfério ipsilatral, ou comissurais, quando são provnints do hmisfério contralatral. As fibras associativas, ou d associação, podm tr divrsos tamanhos, dsd as muito pqunas, qu não chgam a sair do córtx, até às maiors, qu s projctam, através da substância branca, para um outro lobo do cérbro. Estas fibras dispõm-s m fixs bm dfinidos. Há ainda fibras d tamanho 7

30 intrmédio, m forma d U, qu mrgulham na substância branca contornam um sulco para alcançar a circunvolução mais próxima..3. O córtx motor.3.1. Dfinição localização O córtx motor é a rgião cortical afcta ao controlo d movimntos voluntários involuntários. Na classificação d Brodmann, o córtx motor comprnd duas áras crbrais: a BA 4, também conhcida por M1, qu comprnd xclusivamnt o córtx motor primário; a BA 6, qu comprnd o córtx pré-motor a ára motora suplmntar, ou SMA (do inglês supplmntary motor ara ). A BA 4 ncontra-s localizada na pard antrior do sulco cntral (Figura.3; Figura.5) ocupa toda a xtnsão latral-mdial antrior-postrior da msma. A BA 6, por sua vz, localiza-s antriormnt a M1, no lobo frontal (Figura.3; Figura.5) ocupa toda a circunvolução pré-cntral. Ambas as rgiõs xistm nos dois hmisférios crbrais, m localizaçõs intra-hmisféricas quivalnts. Figura.5: Ilustração d uma scção latral do córtx crbral qu atravssa a ára da mão do córtx motor. Os númros indicam as áras d Brodmann. É possívl aprciar a forma d gancho do sulco cntral na ára da mão da BA 4 (dntro do rctângulo a roxo). O fix d fibras na BA 4 (vr rctângulo a roxo) ilustra a part do tracto corticospinhal qu protrai d M1 m dircção à spinhal mdula. Adaptada d Talairach Tournoux (1988)..3.. Gomtria A rgião cortical ocupada plo córtx motor ou sja, o sulco cntral a circunvolução précntral fica localizada na part postrior do lobo frontal, adjacnt ao lobo parital (Figura 8

31 .3). A anatomia do sulco cntral é bastant sinuosa, spcialmnt na rgião da mão, qu é a mais intrssant para a TMS. Na rgião da mão, o sulco cntral tm uma forma caractrística, análoga a um gancho, quando vista m corts latrais (sagitais) do cérbro (Figura.5), a forma d um Ω (ou d um ε invrtido), quando vista m corts axiais do cérbro (Talairach Tournoux, 1988; Yousry t al., 1997). Como s vrá nos capítulos subsqunts, a gomtria cortical é um parâmtro rlvant para a stimulação magnética, já qu sta, aliada às difrnças d condutividad léctrica dos tcidos crbrais, causa distorçõs significativas no campo léctrico induzido por TMS nos tcidos (Capítulo 4), através do qual os nurónios corticais são stimulados (Capítulo 3) Outras áras associadas ao controlo motor as conxõs stablcidas Para além do córtx motor, há um conjunto d outras áras crbrais qu intrvêm na produção d movimnto, qur sja plo planamnto dos movimntos a xcutar (o programa motor ), qur sja plo controlo da squência d xcução dos movimntos planados. O conjunto d todas as áras crbrais nvolvidas na produção d movimntos dsigna-s por sistma motor. O sistma motor funciona d forma hirárquica. Em traços grais, no caso d movimntos qu surjam na squência d stímulos snsoriais (por xmplo, visão ou tacto), o input snsorial é nviado do córtx somatossnsitivo primário, ou S1 (áras BA 1, 3; Figura.5), para o córtx somatossnsitivo d associação (áras BA 5 7; Figura.5), ond st input snsorial é intgrado são produzidos os programas motors. Dpois, sss programas são nviados para a SMA, ond são armaznados. A SMA nvia os programas motors ao córtx pré-motor, st nvia-os para M1, dond são nviados para a spinhal mdula, através do tracto corticospinhal, causando a subsqunt contracção muscular. A coordnação tmporal da squência d movimntos é ralizada plo crblo (Figura.1), através do tálamo (strutura não rprsntada na figura). O sistma motor tm ainda um nívl d funcionamnto parallo, já qu o córtx pré-motor também nvia frnts para a spinhal mdula. Na vrdad, vrifica-s qu apnas 1/3 do tracto corticospinhal provém d M1; os rstants /3 provêm da BA 6 ainda d S1. O modo d funcionamnto do sistma motor traduz-s no sguint padrão d conxõs corticais m torno do sulco cntral: a BA 6 rcb inputs do lobo parital antrior (BA 5 7) nvia os sus frnts para M1 para a spinhal mdula; o córtx somatossnsitivo primário (BA 1, 3) nvia frnts para as áras BA 5 7, mas também para M1 (Essr t al., 005). Assim, o córtx motor primário rcb inputs do córtx pré-motor d S1. O su output é nviado ao tálamo, ao crblo, à spinhal mdula, compondo o tracto corticospinhal. 9

32 Embora no contxto dst trabalho d doutoramnto não sja, à partida, rlvant o conhcimnto dos dtalhs do funcionamnto do sistma motor da produção d movimntos voluntários já qu na TMS os músculos são rcrutados involuntariamnt, plo sujição do córtx motor a um campo léctrico xtrno as conxõs axonais /ou sinápticas stablcidas plas várias áras crbrais,, m particular, as conxõs d M1 com as áras corticais adjacnts, são os fios condutors por ond s propagam são transmitidos os potnciais d acção vocados pla TMS. Ests fios condutors as suas intrrupçõs sinápticas condicionam o padrão d rspostas, ao nívl do tipo d ondas vocadas I ou D (Capítulo 7) rspctivas latências, durant a stimulação magnética do córtx motor. 30

33 Capítulo 3: Elctrofisiologia do Sistma Nrvoso Cntral Mcanismos d Activação 3.1. Elctrofisiologia do Sistma Nrvoso Cntral Bas da xcitabilidad das células nuronais A informação transmitida ntr as células nuronais, o potncial d acção, consist num dsvio do potncial léctrico do mio intra-clular m rlação ao potncial léctrico do mio xtraclular. O potncial d acção (Figura 3.1) propaga-s ao longo do axónio transmit-s d uma célula para a outra através das sinapss, qu constitum os pontos d ligação ntr os nurónios (Figura 3.). Os potnciais rcbidos através das sinapss dsignam-s por potnciais póssinápticos. Cada nurónio pod rcbr, m cada instant, milhars dsss potnciais, através das sinapss qu s ncontram spalhadas pla suprfíci da mmbrana qu cobr a árvor dndrítica o corpo clular do nurónio rcptor. Figura 3.1: Variação tmporal do potncial mmbranar durant um potncial d acção. O potncial d acção é dsncadado quando o potncial mmbranar aumnta acima do valor d Limiar (~ -55 mv). O potncial d acção pod sr grado no con grador do axónio ou por um Estímulo xtrno, m qualqur ponto ao longo do axónio. Adaptada d Uma vz rcbidos, os potnciais pós-sinápticos convrgm para o corpo clular da célula póssináptica são somados tmporal spacialmnt. O sinal rsultant dssa soma, dsignado por Grand Potncial Pós-sináptico (GPP), é convrtido m potnciais d acção, grados no con grador do axónio. Ests potnciais d acção são disparados a uma frquência qu é dirctamnt proporcional à amplitud do GPP. Toda a informação rcolhida plo nurónio, concntrada no GPP, é assim transmitida aos nurónios com os quais st stablc sinapss. 31

34 O potncial léctrico da mmbrana clular, ou potncial transmmbranar, é dado pla difrnça d potncial léctrico ntr o mio intra-clular o mio xtra-clular. A mmbrana nuronal tm um potncial léctrico d quilíbrio, também conhcido por potncial d rpouso (Figura 3.1). Os potnciais d acção são disparados smpr qu o potncial léctrico da mmbrana aumnta, m rlação ao su valor d rpouso, acima d um dtrminado valor d limiar (Figura 3.1). Abaixo dss valor, a dspolarização sofrida pla mmbrana não é suficint para dsncadar um potncial d acção,, ao fim d algum tmpo, ssa dspolarização acaba por dcair para o potncial d rpouso (astrisco na Figura 3.1). Figura 3.: Sinaps. Adaptada d O potncial d rpouso da mmbrana nuronal stá rlacionado com a prmabilidad da mmbrana a dtrminados iõs xistnts nos mios intra- xtra-clular. Uma vz qu a bicamada lipídica qu constitui a mmbrana clular dos nurónios é fundamntalmnt imprmávl às spécis iónicas m causa, a prmabilidad da mmbrana é garantida pla xistência d canais d iõs prmass (protínas transmmbranars transportadoras d iõs). Ests possibilitam o fluxo d iõs ntr os mios intra- xtra-clular. A prmabilidad da mmbrana clular d um nurónio é distinta para cada spéci iónica. Por xmplo, a prmabilidad da mmbrana nuronal ao potássio é muito suprior à prmabilidad às outras spécis iónicas, dvido à xistência d canais d fuga d potássio, qu s ncontram prmanntmnt abrtos. A mmbrana plasmática nuronal stá munida d bombas d sódio-potássio, struturas proticas ddicadas a rpor continuamnt as concntraçõs intra-clulars d sódio (Na + ) d potássio (K + ). As bombas d sódio-potássio transportam os iõs Na + K + contra os rspctivos gradints lctroquímicos, ntr os mios intra- xtra-clular, rpondo assim os gradints d concntração d quilíbrio para sts dois tipos d iõs. É d notar qu st transport d iõs não ocorr spontanamnt, já qu implica consumo d nrgia, através do uso d moléculas 3

35 d adnosina trifosfato (ou ATP). Os iõs d potássio têm a possibilidad d sair para o mio xtra-clular através dos canais d fuga, a favor do rspctivo gradint d concntração. Os fluxos iónicos stabilizam-s quando a força léctrica, qu contraria st fluxo d potássio, iguala a força grada plo gradint d concntração. Nst ponto diz-s qu a mmbrana atingiu o su potncial d rpouso. No quilíbrio, a mmbrana clular do nurónio ncontra-s polarizada m rlação ao mio xtra-clular, porqu o potncial d rpouso do mio intraclular, m rlação ao do mio xtra-clular, é ngativo. O potncial d rpouso, V r, da mmbrana nuronal é dado pla quação d Goldman-Hodgkin- Katz (3.1), ond é considrado o fito das três spécis iónicas fundamntais para a lctrofisiologia do nurónio: [ K ] o + PNa [ Na] o + PCl [ Cl] i [ ] [ ] [ ] K i + PNa Na i + PCl Cl o RT PK V = = r Vi Vo ln. (3.1) F PK Na quação (3.1), V i, o potncial xtraclular, o V r é a difrnça ntr o potncial intra-clular, V, m rpouso (quilíbrio); [ ] i K, [ ] i ] i Na [ Cl são as concntraçõs intriors [ K ] o, [ Na ] o [ Cl ] o são as concntraçõs xtriors, dos iõs potássio, sódio cloro, rspctivamnt; P K, P Na P Cl são os coficints d prmabilidad aos iõs potássio, sódio cloro, rspctivamnt; R é a constant dos gass ( cal mol -1 K -1 ), T é a tmpratura (m klvin), F é a constant d Faraday ( C mol -1 ) ln é o logaritmo npriano (vr, por xmplo, Aidly, 1998). Vrifica-s qu as spécis iónicas Na + Cl - têm um pso pouco significativo na dtrminação do valor d V r, uma vz qu a prmabilidad da mmbrana ao ião potássio é muito suprior à prmabilidad da mmbrana aos outros iõs (Aidly, 1998). Assim, pondo P K m vidência, m (3.1), obtém-s: PNa PCl [ K ] o + [ Na] o + [ Cl] i RT PK PK Vr = Vi Vo = ln [ ] + [ ] + [ ]. (3.) F PNa PCl K i Na i Cl o PK PK Uma vz qu as fracçõs P P Na K P P Cl K m (3.) têm valors muito pqunos, torna-s ntão possívl aproximar Nrnst (3.3): V r plo potncial léctrico d quilíbrio dos iõs K +, dado pla quação d 33

36 [ K ] o [ K ] i RT Vr = ln. (3.3) F Assim, o potncial d quilíbrio da mmbrana clular d um nurónio é dtrminado, m grand mdida, plo potncial d quilíbrio do potássio. Not qu a quação d Nrnst é drivada com bas no prssuposto d qu os canais xistnts na mmbrana plasmática são todos prmávis a um só msmo ião (vr, por xmplo, Kandl, 000, pág. 19). Embora st prssuposto não corrsponda intiramnt à ralidad, para os canais d potássio a aproximação é bastant razoávl, acima d um dtrminado valor da concntração d potássio (Aidly, 1998, págs. 6-7). Embora qualqur altração na prmabilidad da mmbrana a qualqur um dos iõs rfridos (potássio, sódio cloro) provoqu uma altração, ainda qu pquna, no potncial léctrico transmmbranar, ou mmbranar, os únicos iõs com um papl significativo para a actividad léctrica nuronal são os iõs Na + K Gração propagação do potncial d acção O potncial d acção é a rsposta da mmbrana clular a um aumnto local do su potncial léctrico. A st aumnto dá-s o nom d dspolarização (astrisco na Figura 3.1). A dspolarização srv d stímulo a canais d sódio a canais d potássio, ambos dpndnts da voltagm (i.., do potncial mmbranar). No stado d rpouso da mmbrana, sts canais iónicos ncontram-s fchados. É a dspolarização local da mmbrana qu stimula a abrtura dsss canais, dsd qu a amplitud da dspolarização atinja o limiar d stimulação, imposto plas condutâncias spcíficas da mmbrana nuronal às várias spécis iónicas. O valor do potncial d rpouso varia d nurónio para nurónio; no ntanto, d um modo gral, o limiar d stimulação d qualqur nurónio é atingido quando o potncial da mmbrana aumnta crca d 0 mv acima do su valor d rpouso, sja st qual for (Bassr Roth, 1991). A abrtura dos canais d sódio dos canais d potássio vai prmitir aumntar o fluxo dsss iõs através da mmbrana. Os iõs vão dslocar-s a favor dos rspctivos gradints lctro-químicos: os iõs d sódio flum para o mio intra-clular, aumntando o potncial léctrico da mmbrana, nquanto qu os iõs d potássio flum para o mio xtra-clular, contrariando o fito do fluxo dos iõs d sódio, no sntido da rpolarização da mmbrana clular. A abrtura dsts dois tipos d canais não é simultâna. Os canais d sódio rspondm ao stímulo quas instantanamnt. Crca d 1 milissgundo (ms) dpois da sua abrtura, os canais d sódio ficam inactivos, cssando o fluxo dsts iõs através da mmbrana. À mdida qu o potncial da mmbrana vai aumntando, os canais d sódio vão abrindo squncialmnt, já qu cada canal tm um valor d limiar d activação spcífico. Quando o potncial da mmbrana ating uma amplitud d 34

37 crca d mv (Figura 3.1), inicia-s a fas d rpolarização da mmbrana, dvido à abrtura dos canais d potássio dpndnts da voltagm dvido à inactivação dos canais d sódio. Os canais d potássio rspondm lntamnt ao stímulo d dspolarização. A prmabilidad ao K + ating o su valor máximo quas simultanamnt à inactivação dos canais d Na +. Na fas d rpolarização da mmbrana, os canais d sódio os canais d potássio fcham-s quando o potncial léctrico mmbranar ating o su valor d rpouso. No ntanto, como os canais d potássio têm uma rsposta lnta aos stímulos, um fluxo adicional d K + m dircção ao mio xtra-clular causa uma diminuição do potncial da mmbrana m rlação ao su valor d rpouso. O intrvalo d tmpo qu dcorr dsd sta hiprpolarização da mmbrana até à rpolarização da msma (i.., até s atingir novamnt o valor d rpouso do potncial transmmbranar) dsigna-s por príodo rfractário. Durant st príodo não é possívl dsncadar potnciais d acção. O príodo rfractário garant ainda qu a propagação dos potnciais d acção, quando grados por transmissão sináptica, sja unidirccional. É d rfrir qu na activação d nurónios através d stímulos xtrnos (como m TMS), a propagação dos potnciais d acção dsncadados no axónio é bi-dirccional (vr, por xmplo, Bassr Roth, 1991). A propagação spacial do potncial d acção dá-s porqu a dspolarização local da mmbrana s transmit a porçõs adjacnts da msma o mcanismo d gração do potncial d acção rpt-s, pla abrtura fcho dos canais d sódio dos canais d potássio, dpndnts da voltagm, xistnts ao longo do axónio. Dsta forma, o potncial d acção vai-s propagando, inaltrado, até chgar às trminaçõs do axónio. Dpois da passagm do potncial d acção, as bombas d sódio-potássio xplm os iõs Na + m xcsso no mio intra-clular dvolvm ao mio intra-clular os iõs K + qu foram xplidos durant a gração do potncial d acção. Os axónios ncontram-s gralmnt rvstidos d milina, uma camada ssncialmnt lipídica, constituída por células gliais, qu funciona como um isolant léctrico, aumntando a vlocidad d propagação dos potnciais d acção rduzindo o fnómno da prda d amplitud do potncial d acção ao longo do axónio. Um axónio assim rvstido diz-s milinizado. A camada d milina tm intrrupçõs spaçadas, dsignadas por nós d Ranvir, nos quais s ncontram os canais iónicos as bombas d sódio-potássio. A milina não é um isolant prfito, plo qu é ncssária a manutnção da amplitud do potncial d acção. Esta manutnção ocorr nos nós d Ranvir. 35

38 Transmissão sináptica gração d um potncial póssináptico O potncial pós-sináptico é o rsultado da transmissão d informação d um nurónio para outro, através da sinaps. A chgada d um potncial d acção ao trminal pré-sináptico do axónio stimula a librtação d nurotransmissors para a fnda sináptica (Figura 3.). S a sinaps for inibitória, os nurotransmissors librtados ligam-s a canais d aniõs principalmnt d cloro, Cl - ou a canais d potássio dpndnts do ligando, xistnts na mmbrana sub-sináptica do nurónio rcptor. A abrtura dos canais d aniõs dsncadia um fluxo d iõs d carga léctrica ngativa para o mio intra-clular, hiprpolarizando a mmbrana clular. A abrtura d canais d K + dsncadia um fluxo d K + do mio intra-clular para o mio xtra-clular, o qu também conduz à hiprpolarização da mmbrana. A sta hiprpolarização dá-s o nom d potncial pós-sináptico inibitório (ou IPSP, do inglês Inibitory Post-Synaptic Potntial ). S a sinaps for xcitatória, os nurotransmissors librtados na fnda sináptica ligam-s a canais d Na +, cuja abrtura gra uma pquna dspolarização local da mmbrana, dsignada por potncial pós-sináptico xcitatório (ou EPSP, do inglês Excitatory Post-Synaptic Potntial ). Os potnciais pós-sinápticos propagam-s passivamnt para o sgmnto inicial do axónio, ond são intgrados para formar o GPP. Os EPSP contribum para aumntar a amplitud do GPP, nquanto qu os IPSP rduzm a amplitud do GPP, rduzindo assim a probabilidad dst potncial d soma dar origm a um potncial d acção. 3.. Intracção ntr as células nuronais o campo léctrico aplicado: a Equação do Cabo Introdução Na Scção 3.1, foi abordado o fundamnto da xcitabilidad natural dos nurónios. Essa xcitabilidad stá associada à transmissão d sinais léctricos ntr os nurónios através das sinapss, é govrnada ssncialmnt por canais d iõs xistnts na mmbrana nuronal. Os canais xistnts na mmbrana pós-sináptica são canais dpndnts do ligando, nquanto qu os canais xistnts nos nós d Ranvir do axónio são canais dpndnts da voltagm, i.., da difrnça d potncial léctrico transmmbranar. Na actividad nuronal spontâna ou voluntária, os potnciais d acção são grados no con grador do nurónio. No ntanto, sab-s qu é possívl activar células nuronais, in vitro ou in vivo, dsncadando o disparo d potnciais d acção, pla sujição dssas células a campos léctricos xtrnos (para uma rvisão histórica do tma, vr, por xmplo, Walsh Pascual- 36

39 Lon, 003). Na stimulação léctrica, parc sr possívl dsncadar o disparo d potnciais d acção m qualqur componnt da célula: na árvor dndrítica, no corpo clular ou no axónio (Rushton, 197; Ranck, 1975). No ntanto, m stimulação magnética transcraniana, o axónio é a strutura do nurónio mais passívl d sr stimulada, m dtrimnto das dndrits do corpo clular (Nagarajan t al., 1993). Rushton (197) foi um dos primiros invstigadors do século XX a sistmatizar as caractrísticas spcíficas da intracção ntr um campo léctrico aplicado os nrvos ou axónios: com as suas xpriências, consguiu drivar uma xprssão matmática para a dspolarização sofrida por um nrvo rcto sujito a um campo léctrico constant, para difrnts comprimntos d nrvo xposto a ss campo, provou ainda qu um nrvo rcto é mais facilmnt stimulado por campos léctricos parallos ao ixo do nrvo do qu por campos léctricos prpndiculars a ss ixo. Parallamnt a isso, sab-s qu a orintação do campo léctrico mais favorávl para a ocorrência d stimulação é a d um campo dirccionado das dndrits para as trminaçõs axonais (Roth, 1994). Estas outras obsrvaçõs, rfrnts aos parâmtros nvolvidos na rsposta d um nrvo a um campo léctrico aplicado, lançaram as bass para o studo sistmático dos mcanismos d stimulação d nurónios por campos léctricos xtrnos. Dada a gomtria as propridads lctrofisiológicas do axónio, parc razoávl tntar dscrvr ssas propridads lctrofisiológicas rcorrndo a uma quação do cabo. A aplicação do modlo do cabo ao axónio pod sr ncontrada m (Rall, 1977). A grandza física qu stá m causa é o potncial léctrico transmmbranar, V, a sua variação ao longo do comprimnto do axónio ao longo do tmpo ( ( x t) ) V,. O dsvio d V m rlação ao su valor d rpouso i.., a dspolarização sofrida localmnt pla mmbrana do axónio é a chamada rsposta do axónio ao stímulo. O modlo do cabo aplicado ao axónio prvê tanto a rsposta passiva i.., abaixo do limiar d stimulação como a rsposta activa, dada plas quaçõs d Hodgkin Huxly (Rall, 1977). A rsposta d um axónio a um stímulo xtrno dpnd da duração dss stímulo. Por xmplo, para uma corrnt léctrica aplicada, d amplitud constant, a rsposta V do axónio é baixa s o stímulo for d curta duração aumnta, até stabilizar num valor máximo, s o stímulo for suficintmnt longo. Essa é a rsposta d stado stacionário. No qu s sgu, srá aprsntado um rsumo da toria do modlo do cabo aplicado à TMS, analisando as soluçõs do modlo para as difrnts configuraçõs dos nurónios corticais, m rgim d rsposta passiva d stado stacionário A quação do cabo os mcanismos d activação m TMS A quação do cabo para um nrvo rcto sujito a um stímulo xtrno é dada por 37

40 V x λ V V τ t = F. (3.4) Na quação (3.4) o trmo F dsigna-s por função d activação (Rattay, 1986) rprsnta o stímulo a qu o nrvo s ncontra sujito, V é a rsposta passiva do axónio ao stímulo F, consistindo no dsvio do potncial transmmbranar, V ( V ) r V m, m rlação ao su valor d rpouso, = V m V r. Para a stimulação d nrvos rctos infinitamnt longos, com léctrodos, φ o trmo F é dado por λ, sndo φ o potncial léctrico xtra-clular (Rattay, 1986). Para x a stimulação magnética d nrvos rctos infinitamnt longos, ficou dmonstrado qu o trmo F é dado por E λ x, sndo E x a componnt do campo léctrico induzido, E r, ao x longo da dircção x do ixo do nrvo, ou axónio (Roth Bassr, 1990). Est rsultado corrobora obsrvaçõs xprimntais antriors d qu a orintação do axónio m rlação ao campo léctrico é um dos parâmtros importants para a ocorrência d stimulação (Rushton, 197). No caso m qu o stímulo é d longa duração, vrifica-s qu o trmo F dtrmina a amplitud da dspolarização local da mmbrana no stado stacionário, ou sja, ( x ) E V ( x x ) 0 0 = λ x, (3.5) ond x 0 é o local ao longo do axónio ond o gradint do campo léctrico tm o pico ngativo d maior amplitud. S as fibras nuronais tivrm pqunas dimnsõs, como é o caso d muitas fibras no córtx crbral, a stimulação dixa d sr dada pla xprssão (3.5) (Nagarajan t al., 1993). D facto, à scala dstas fibras pqunas, o campo léctrico induzido plas bobins d stimulação varia lntamnt, plo qu o trmo (3.5), quando dvido xclusivamnt à variação da corrnt léctrica na bobin, tm uma amplitud muito baixa (Roth, 1994; Miranda t al., 007). No ntanto, Tranchina Nicholson (1986) mostraram qu a stimulação d nurónios pod ocorrr msmo na ausência d gradints d campo léctrico intnsos. D facto, vrifica-s qu a stimulação dos nurónios corticais pod ocorrr nas trminaçõs nas dobras dos axónios (Tranchina Nicholson, 1986; Amassian t al., 199; Nagarajan t al., 1993; Maccab t al., 1993), bm como m sgmntos do axónio ond ocorra uma diminuição ou um aumnto do diâmtro da fibra, como acontc nas ramificaçõs (Roth, 1994), ou msmo no sgmnto inicial do axónio, dvido à difrnça d condutividads nt o axónio o corpo clular (Tranchina Nicholson, 1986), analogamnt ao qu acontc nas variaçõs d diâmtro das fibras. A 38

41 quação do cabo também dá uma mdida da dspolarização local, V x ), sofrida pla mmbrana nsts casos m qu, dvido à altração na configuração spcífica do axónio, o campo léctrico ao longo do axónio também muda. Para cada uma dstas altraçõs na morfologia ou na orintação spacial da fibra nuronal, qu ocorrm num dado ponto x 0, a amplitud d stado stacionário da dspolarização qu ocorr nss local é dada plas sguints xprssõs: V ( x0 x x0 ) = λe ( ) (3.6) ( 0 nas trminaçõs, V ( x 0 E x ( x0 ) ) = λ (3.7) nas dobras acntuadas a 90º (Roth, 1994). Como a maioria das células piramidais faz uma dobra d crca d 90º à saída do córtx (Kammr t al., 007), considra-s aqui qu a xprssão V ( x 0 E x ( x0 ) ) = λ é uma boa stimativa para a amplitud da dspolarização qu ocorr nas dobras d todos os nurónios piramidais do córtx motor. Outra situação passívl d grar activação nuronal no cérbro é a do salto sofrido plo campo léctrico nas intrfacs ntr tcidos d condutividads léctricas distintas, como a intrfac ntr o córtx crbral a substância branca. Esta intrfac é atravssada pla maioria das células piramidais (Standring, 005, pág. 89). No caso dsts nurónios, a dspolarização sofrida no local da intrfac é dada pla xprssão (3.8), V ( x 0 Ex ( x0 ) ) = λ (3.8) (Miranda t al., 007), ond longo d x do campo léctrico induzido nos tcidos. E x é a variação, ou salto, através da intrfac, da componnt ao Finalmnt, para as bifurcaçõs ou outros sgmntos ond ocorra variação d diâmtro, a xprssão para a variação local do potncial transmmbranar é a sguint: ra rb V ( x) = E x rb ra + λb λa x xp λb (3.9) 39

42 para x > 0, ou sja, do lado da bifurcação tomado como positivo (Roth, 1994), ond r a r b são os raios da fibra ants dpois da bifurcação, rspctivamnt, λ a λ b são as constants d comprimnto da fibra, ants dpois da bifurcação, xp é a função xponncial d bas npriana. S o raio da fibra diminui d a para b, ocorr uma dspolarização no lado positivo da fibra (i.., o d mnor raio). A amplitud máxima da dspolarização V (3.9) ocorr no local xacto da bifurcação (nst caso, x = 0 ) dpnd da proporção ntr r a r b. A xprssão (3.9) pod sr aplicada nas trminaçõs axonais, qu são ramificaçõs do axónio ond ocorr diminuição do raio da fibra. Considrmos a sguint rlação ntr a constant d comprimnto, λ, o diâmtro xtrno, d 0, d um axónio (Bassr Roth, 1991; Rushton, 1951): λ = 117d 0. (3.10) É d rfrir qu a rlação (3.10) foi drivada para um tipo particular d célula (nurónio milinizado d colho; Bassr Roth, 1991) a sua gnralidad não stá garantida. Ainda assim, tommos (3.10) como a rlação xistnt ntr d 0 λ. S o axónio s ramificar m três trminaçõs, podrmos considrar qu o diâmtro d cada uma das trminaçõs, d b, corrspond a 1/3 o diâmtro da fibra-mã, d a. Ora, nst caso, tr-s-ia qu a amplitud da dspolarização sofrida plo axónio no local da bifurcação sria V x ) = 0.67λE ( ), sndo ( 0 x x0 λ = λ a a constant d comprimnto do axónio ants da bifurcação sndo x 0 a posição da d = 1 8 d ), a bifurcação; s o axónio tivr 8 trminaçõs (cada uma com diâmtro b ( ) a dspolarização qu ocorr m cada uma das trminaçõs srá V x ) = 0.87λE ( ), usando ( 0 x x0 o raciocínio do caso antrior. Uma abordagm altrnativa vntualmnt mais provávl é a d xistir uma rlação ntr a scção da fibra-mã, ntão qu A b ( 1 3) A a A a, a scção das ramificaçõs, A b. Supondo =, tm-s qu V x ) = 0.4λE ( ), nquanto qu s houvr 8 ( 0 x x0 ramificaçõs a rlação ntr as scçõs for A b ( 1 8) A a =, tm-s qu V x ) = 0.65λE ( ). ( 0 x x0 Usando a hipóts da proporcionalidad ntr as scçõs, os valors d dspolarização obtidos são infriors aos obtidos com a hipóts da proporcionalidad ntr os diâmtros. D um modo gral, os cálculos antriors sugrm qu as bifurcaçõs são locais ond ocorrm dspolarizaçõs d amplitud comparávl às das dspolarizaçõs gradas nas trminaçõs do axónio ou nas dobras, plo qu a sua contribuição para a stimulação d nurónios no córtx dv sr tida m conta. Est é um mcanismo sistmaticamnt nglignciado na litratura, 40

43 possivlmnt dvido à scassz d informação rlativa às trminaçõs outras ramificaçõs axonais, como os colatrais intra-corticais. Por st motivo também aqui st studo não srá aprofundado, ficando apnas a chamada d atnção para a vntualidad d uma contribuição adicional para os locais d stimulação dos nurónios corticais durant a TMS. 41

44

45 Capítulo 4: Princípios Físicos da TMS 4.1. Princípios Fundamntais: As Equaçõs d Maxwll O sguint conjunto d quatro quaçõs (4.1) (4.4) constitui as chamadas quaçõs d Maxwll m notação difrncial no caso gral da prsnça d um mio físico qu não o vácuo: r r r D H = J +, (4.1) t B r = 0, (4.) r r B E + = 0 r, t (4.3) D r = ρ. (4.4) Em (4.1) (4.4), H r é o campo magnético, D r é o vctor dslocamnto léctrico, B r é a dnsidad d fluxo magnético, E r é o campo léctrico, nquanto qu J r ρ são as fonts d campo dnsidad d corrnt léctrica dnsidad d carga léctrica, rspctivamnt. Na prsnça d um mio físico, o vctor dslocamnto léctrico é dado por r D r r ε E + P, (4.5) = 0 sndo P r a polarização sofrida plo mio físico quando sujito ao campo léctrico E r, ε 0 a prmitividad léctrica do vácuo. Em mios linars, homogénos isotrópicos, a polarização é proporcional a E r D r passa a sr dado por (Jackson, 1999) r r r r D = ε 0 E + ε 0χ E = ε 0 ( 1 + χ )E, (4.6) ou sja, r r r D = ε 0 ε E = εe, (4.7) r sndo χ a suscptibilidad léctrica do mio, ε ε rε 0 = a prmitividad léctrica do mio. Assum-s qu, m trmos da polarização léctrica, os tcidos biológicos s comportam como 43

46 matriais linars (Plonsy Hppnr, 1967). Esta suposição é válida para campos lctromagnéticos pouco intnsos (Jackson, 1999), como é o caso dos campos associados à TMS. Além disso, nst trabalho, todos os tcidos biológicos são modlados como sndo homogénos isotrópicos (vr Capítulo 5). O vctor campo magnético H r é dado por r 1 H = µ 0 r r B M, (4.8) sndo µ 0 a prmabilidad magnética do vácuo M r a magntização do mio. Na ausência d matriais frromagnéticos para campos pouco intnsos, M r é proporcional ao campo magnético aplicado B r tm-s (Jackson, 1999) r 1 r 1 r H = B = B. (4.9) µ µ µ r 0 Para o fito, a prsnça d matriais frromagnéticos nos tcidos biológicos é nglignciávl (Plonsy Hppnr, 1967), plo qu s pod assumir a simplificação antrior, m (4.9). As quatro quaçõs d Maxwll (4.1) (4.4) sumarizam todos os fnómnos lctromagnéticos no rgim clássico (não rlativista). A quação (4.), da inxistência d monopólos magnéticos, implica, matmaticamnt, qu B r pod sr scrito m trmos do rotacional d um potncial vctorial, A r : r r B = A. (4.10) O vctor A r dsigna-s por potncial magnético vctorial. Conjugando o rsultado antrior (4.10) com a quação d Faraday (4.3), da indução d um campo léctrico por uma dnsidad d fluxo magnético variávl no tmpo, vrificamos qu o campo léctrico E r também s pod scrvr m trmos do potncial vctorial A r d um potncial scalar lctrostático, φ : r r A E = φ. (4.11) t As quaçõs d Maxwll não homogénas, (4.1) (4.4), rlacionam os campos com as fonts d campo J r ρ. Por um lado, a quação d Gauss (4.4) mostra a rlação ntr o vctor dslocamnto léctrico a dnsidad d cargas léctricas livrs no mio. A quação d Ampèr- 44

47 Maxwll (4.1), por sua vz, agrupa todas as fonts d campo magnético, a sabr, as corrnts léctricas d condução ( J r ) as corrnts d dslocamnto ( D r t ). Uma vrsão mais dtalhada d (4.1) prmit vr qu há várias fonts d corrnt d condução a considrar: r r r r r r D H = σ ( E + v B) + J +. (4.1) t Na quação (4.1), v r é a vlocidad das cargas livrs do matrial, quando st s dsloca m rlação ao campo magnético, J r rprsnta uma font d corrnt xtrna. Em TMS, a vlocidad das cargas m rlação ao campo magnético é nula, plo qu o trmo associado a ssa grandza, m (4.1), dsaparc. O trmo σ E r diz rspito às corrnts léctricas induzidas no mio, qur por indução d Faraday (4.3), qur por acumulação d cargas no mio (4.4). O campo léctrico induzido por variação tmporal d B r dá origm, l próprio, a um outro campo magnético (li d Biot-Savart) qu s opõ a B r. O rsultado é uma atnuação d B r à mdida qu st atravssa o mio condutor. A distância δ prcorrida no mio condutor, ao fim da qual a amplitud d B r é igual a por (Roth t al., 1991b; Jackson, 1999, págs. 19-0) 1 do su valor inicial, dsigna-s por skin dpth é dada δ =. (4.13) µωσ Como pod sr obsrvado m (4.13), o grau d atnuação sofrido por B r num tcido biológico ou noutro matrial dpnd da condutividad léctrica σ do matrial da sua prmabilidad magnética, bm como da frquência angular ω do próprio campo. Substituindo as rlaçõs (4.10) (4.11) nas quaçõs (4.1) (4.4), obtmos a solução d um dado problma lctromagnético m trmos d A r φ. Acrscnt-s qu sts potnciais, tal como stão dfinidos m (4.10) (4.11) não stão univocamnt dtrminados. Assim, há qu impor um constrangimnto aos potnciais A r φ. Um dos constrangimntos mais usados é conhcido por calibração (ou gaug ) d Coulomb, qu consist m impor a condição A r = 0. (4.14) Plo torma d Hlmoltz, a imposição (4.14) é suficint para qu os potnciais fiqum univocamnt dfinidos (Comsol, 008). 45

48 4.. Elctromagntismo m TMS Fonts d campo lctromagnético m TMS Em TMS, um campo magnético B r, variávl no tmpo, é grado pla passagm da corrnt léctrica I através do indutor d um circuito RLC, qu constitui o chamado stimulador magnético (Bassr Roth, 1991; Figura 4.1). Nst contxto, o indutor do circuito dsigna-s por bobin d stimulação. Esta bobin pod tr várias gomtrias, mas as mais comuns são as bobins circulars (como a da Figura 4.1), as bobins m forma d oito. Figura 4.1: Esqumatização do circuito grador do impulso magnético com o qual s stimula o córtx crbral, m TMS. As linhas do campo magnético B r (a lilás) são prpndiculars à dircção da corrnt léctrica na bobin, nquanto qu as linhas d campo léctrico E r i (a azul, no cérbro) são parallas a ssa corrnt. No caso d uma bobin circular, como na figura, as linhas d campo léctrico são circulars concêntricas com a bobin. Adaptada d A variação tmporal da corrnt I qu passa na bobin, no caso d um circuito RLC sobratnuado, é dada por (Bassr Roth, 1991) ( t) di dt V0 = L ω t cosh 1 ( ω t) sinh( t) ω 1 ω ω, (4.15) ond V 0 é a difrnça d potncial no condnsador ω 1 ω são as frquências caractrísticas do circuito, dadas por (Bassr Roth, 1991) 46

49 ω R 1 = L, (4.16) R 1 ω =, (4.17) L LC ond R, L C rprsntam, rspctivamnt, a rsistência, a indutância a capacidad dos componnts do circuito do stimulador. À variação tmporal da corrnt léctrica na bobin dá-s o nom d impulso d stimulação. O campo magnético B r dá origm, por indução d Faraday, a um campo léctrico E r i. As corrnts induzidas nos tcidos crbrais (Figura 4.1) vão conduzir à acumulação d cargas léctricas nas intrfacs ntr tcidos d difrnts condutividads, dando origm a um campo lctrostático scundário, E r c (Roth t al., 1991b). O fnómno da gração dsts campos léctricos scundários m TMS srá abordado m mais dtalh na scção sguint (Scção 4.3). Rtomando ntão as quaçõs d Maxwll (4.1) (4.4) aplicando-as a st contxto, vrificas qu o campo magnético total H r m TMS é dado por r r r r D H = σ E + J +, (4.18) t sndo J r a dnsidad d corrnt na bobin E r o campo léctrico total, dado por r r E = E i r + E c r A = φ, (4.19) t sndo A r φ os potnciais do problma (magnético léctrico, rspctivamnt). Como já foi visto (Scção 4.1), os potnciais A r φ calculam-s usando as quaçõs d Maxwll não homogénas, (4.1) (4.4), ou, altrnativamnt, podm também sr calculados usando o par d quaçõs dado por (4.1) a sua divrgência (vr Capítulo 5). O prcurso dos campos lctromagnéticos m TMS fica cumprido pla intracção do campo léctrico E r com as células nuronais, através dos mcanismos já aprsntados no Capítulo antrior. Como srá discutido na Scção 4..3, m TMS é válida a aproximação quasi-stática, qu prmit dsprzar as contribuiçõs do campo léctrico das corrnts d dslocamnto para o campo magnético, implicando qu (4.18) s rduza à quação 47

50 H r = J r. (4.0) Assim, o campo magnético é dado xclusivamnt m função da corrnt J r na bobin. Est facto tm um grand impacto a nívl da modlação dst problma físico, já qu, para as gomtrias simpls das bobins comuns (circulars ou m forma d oito), o cálculo do campo magnético (ou do potncial magnético) s rduz a um cálculo analítico (Smyth, 1968) Tipos d impulsos d stimulação m TMS Um circuito RLC é um oscilador atnuado. O grau d atnuação da oscilação é controlado plo factor d atnuação (do inglês damping ratio ), ζ, R C ζ =. (4.1) L Rgulando o valor d ζ é possívl obtr um impulso dsignado por monofásico, qu consist m ¼ d ciclo da sinusóid sguido d ½ ciclo da sinusóid, sndo qu st ½ ciclo tm uma amplitud muito infrior à da primira fas do impulso (Figura 4. b, linha a chio; vr também Kammr t al., 001). Para um grau d atnuação mnor, podm obtr-s impulsos polifásicos (Figura 4. b, linha picotada; vr também Kammr t al., 001). A forma do impulso d stimulação é um tópico muito rlvant m TMS, já qu a rsposta cortical a difrnts impulsos monofásicos bifásicos é muito distinta (vr, por xmplo, Di Lazzaro t al., 001a; Di Lazzaro t al., 004). Figura 4.: Gráficos d dois impulsos d corrnt, monofásico (linha a chio) bifásico (linha picotada), usados m TMS (a) das rspctivas drivadas tmporais (b). À drivada tmporal da corrnt léctrica (b) é qu s dá o nom d impulso d stimulação magnética. Gntilmnt cdida por Ricardo Salvador. Outro parâmtro important da TMS é a duração do impulso d stimulação. Para impulsos monofásicos, a duração τ é o tmpo qu dcorr dsd o início do impulso até ao primiro zro d di( t), é dada por (Bassr Roth, 1991) dt 48

51 1 ω1 + ω τ = ln. (4.) ω ω1 ω A duração τ do impulso afcta o limiar d stimulação, limiar d stimulação dcrsc com o aumnto da razão τ τ m V Th, das mmbranas nuronais. O ating um valor stacionário d crca d 0 mv, para valors suficintmnt grands d τ τ m (Bassr Roth, 1991), sndo τ m a constant d tmpo da mmbrana nuronal (crca d 150 µs; Barkr t al., 1991). Est fnómno tm como consquência qu, para obtr o disparo d um potncial d acção com um impulso d curta duração, é ncssário qu o impulso tnha uma amplitud muito mais lvada do qu a qu sria ncssária usando um impulso suficintmnt longo A aproximação quasi-stática m TMS A aproximação quasi-stática consist m considrar qu os campos s comportam como campos m rgim stático s propagam instantanamnt. Nst caso, não há atrasos ntr as fonts d campo os campos. Est rgim pod sr assumido dsd qu a frquência d oscilação dos campos, ω, sja pquna, dsd qu os matriais atravssados (nst caso, os tcidos biológicos) sjam ssncialmnt rsistivos. Vrmos qu sta aproximação é válida m TMS vrmos também a consquência dsta aproximação nas quaçõs d Maxwll. Rcordmos a quação (4.18). No caso dos campos srm harmónicos, com frquência angular ω = π f, a quação (4.18) pod scrvr-s da sguint forma: r r r r r r r H = σ E + J + jωd = σe + J + jωεe, (4.3) ou sja, r r r r r H = σ. (4.4) ( + jωε ) E + J = σ E + J O factor multiplicativo σ tcido biológico. = σ + jωε jωε = σ 1 + m (4.4) é a condutividad complxa do σ A frquência d oscilação d um impulso d TMS tm um valor médio d crca d 5 khz um valor máximo d crca d 10 khz. Para f = 10 khz, Plonsy Hppnr (1967) rportam os sguints valors médios para as propridads léctricas magnéticas dos tcidos biológicos: a condutividad léctrica σ é da ordm d 1 S/m a razão ntr as corrnts d dslocamnto 49

52 as corrnts d condução, jωε, é da ordm d Usando outras rfrências da litratura, σ foi possívl stimar a prmitividad rlativa ε r como sndo d, aproximadamnt, 10 4 (vr Capítulo 5, Scção 5..3). Para st último valor d ε r, a razão jωε σ aprsnta um valor médio ainda mais baixo (da ordm d ). A prmabilidad magnética µ, dvido à ausência d matriais magnéticos nsss tcidos (Plonsy Hppnr, 1967), é da ordm da prmabilidad do vácuo, µ µ 0. Prant sts valors médios das propridads léctricas dos tcidos biológicos, é possívl fazr jωε a aproximação << 1 σ r jωε r r σ + ωε = σ 1 + σ. σ, qu conduz à aproximação ( j ) E E E Assim, a primira aproximação quasi-stática prmit rduzir (4.4) a r r r H = σ E + J, (4.5) o qu é quivalnt a dsprzar o trmo D r da quação d Ampèr-Maxwll (4.1). t A sgunda aproximação qu s pod fazr nst contxto diz rspito à atnuação sofrida plo campo magnético ao atravssar o tcido biológico. Tndo m conta os valors médios das propridads léctricas magnéticas aprsntados nos parágrafos antriors, o factor d atnuação ( skin dpth ) δ é d crca d 5 mtros (m). Dado qu as dimnsõs máximas d um tcido biológico no corpo humano são da ordm d 1 m, podmos ntão concluir qu a atnuação sofrida por B r m TMS é nglignciávl. Isto quival a dsprzar a contribuição d σ E r para o campo magnético, a quação (4.5) fica ntão rduzida a H r = J r. (4.6) Usando (4.10) (4.9), podmos rsolvr a quação (4.6) m ordm ao potncial magnético A r : 1 µ 0 r r 1 r r r ( A) = J [ ( A) A] = J µ 0. (4.7) Usando a calibração d Coulomb, A r = 0, m (4.7) obtém-s 1 r r r r A = J A = µ 0 J. (4.8) µ 0 50

53 A aproximação quasi-stática dscrita prmit transformar o problma lctromagnético (4.1) num problma stático para o campo magnético, (4.8). A quação (4.8) mostra qu o campo magnético m TMS pod sr dado xclusivamnt m função da corrnt léctrica ( J r ) na bobin. Para calcular o potncial lctrostático φ pod usar-s a divrgência da quação d Ampèr- Maxwll (4.1), r r r ( H ) = 0 ( + jωε ) E + J = 0 σ. (4.9) Para o cálculo d φ, a única aproximação qu s usa é a d dsprzar a contribuição das jωε corrnts d dslocamnto. Aplicando a rlação << 1 m (4.9), tm-s ntão o sguint: σ r ( σe) = r ( σe ). r J = 0 = 0 (4.30) Aplicando (4.19) na quação antrior,, tndo também m considração qu a condutividad léctrica na cabça humana não é constant, rsulta numa drivação d (4.30) análoga a outra publicada rcntmnt (HIVE Dlivrabl D1.1, 009, pág. 14; r r r ( σe) = σ ( E) + E( σ ) r A t = 0 t ( σ ) ( σ ) φ σ ( A) σ φ = 0. r (4.31) Aplicando a calibração d Coulomb m (4.31) agrupando os trmos, tm-s finalmnt qu r A σ φ + ( σ ) φ = ( σ ). (4.3) t Da rsolução da quação (4.3) obtém-s a distribuição do campo lctrostático (ou campo dvido à acumulação d carga), tcidos crbrais, o gradint da condutividad léctrica, φ. É d notar qu num modlo htrogéno isotrópico dos σ, só tm valors difrnts d zro nas intrfacs ntr tcidos adjacnts, é nssas intrfacs, prcisamnt, qu ocorr a acumulação d carga léctrica. No caso do modlo homogéno isotrópico, a quação (4.3) rduz-s à quação d Laplac. 51

54 4.3. O campo léctrico m mios htrogénos anisotrópicos Introdução Foi já rfrido qu, m TMS, a acumulação d cargas léctricas nas intrfacs ntr tcidos d condutividads léctricas distintas dá origm a um campo lctrostático (Roth t al., 1991b), qu corrspond ao trmo φ no campo léctrico total E r (vr (4.19)). É d sprar qu a gomtria complxa do córtx crbral distorça fortmnt o campo léctrico, ao longo das intrfacs ntr o córtx os dois tcidos adjacnts (CSF substância branca). Est problma foi considrado rcntmnt por Miranda t al. (003), ond foi fita uma anális qualitativa quantitativa do fito das htrognidads dos tcidos no campo léctrico, m TMS, com bas na toria. Essa toria srá sucintamnt rcordada nsta Scção 4.3. O objctivo dsta Scção é o d ralçar a importância dos fitos das htrognidads qu, aliados à scassz d modlos suficintmnt dtalhados (discutida no Capítulo 1), validam a prtinência dst trabalho d doutoramnto. No final dsta Scção srá ainda abordado o tma dos fitos das anisotropias da sua importância rlativa, mbora stas não tnham sido incluídas no modlo qu aqui s aprsnta Efito das htrognidads no campo léctrico Considrmos uma intrfac rcta ntr dois tcidos biológicos homogénos isotrópicos, sujitos ao campo léctrico induzido m TMS (Figura 4.3). D acordo com a aproximação quasi-stática, sts tcidos podm sr assumidos como sndo puramnt rsistivos, plo qu a dnsidad d corrnt léctrica nos tcidos, dvida ao campo léctrico pla simpls aplicação da li d Ohm (Miranda t al., 003) E r i (4.19), pod sr dada r J i r r A = σ Ei = σ. (4.33) t Suponhamos ntão dois tcidos com condutividads σ 1 σ, com σ 1 > σ. A dnsidad d corrnt no mio 1 é r r J i = σ E, (4.34) 1 1 i1 r r nquanto qu no mio s tm J i = σ Ei, sndo E r i1 E r i os valors do campo léctrico induzido no mio 1 no mio, rspctivamnt. Junto à intrfac, tm-s qu r r E i = E. (4.35) i1 5

55 Figura 4.3: Esquma d intrfac rcta ntr dois tcidos com condutividads σ 1 (branco) σ (cinznto). E r i1 E r i, campo léctrico induzido junto à intrfac, nos mios 1, rspctivamnt; r r φ, campo dvido à carga; E i n, projcção d E r i ao longo da normal ( n r ) à intrfac. As caixas a tracjado dlimitam dois casos possívis: a) caso d campo léctrico prpndicular à intrfac; b) caso d inclinação gnérica (θ ) do campo m rlação à intrfac. A Figura 4.3 squmatiza a situação d uma intrfac rcta ntr os mios 1, m dois casos possívis: o caso m qu o campo induzido é prpndicular à intrfac (Figura 4.3 a) o caso gnérico m qu o campo faz um ângulo θ 0 o com a normal n r à intrfac (Figura 4.3 b). Ainda na msma figura, os vctors d campo léctrico nos mio 1, E r i1 E r i, têm ponto d aplicação na intrfac, mbora, por motivos d simplificação d intrprtação, m analogia à squmatização usada por Miranda t al. (003), sts vctors tnham sido aplicados fora intrfac. Suponhamos qu o campo léctrico induzido é prpndicular à intrfac. A li da continuidad da corrnt impõ qu a componnt normal d J r sja contínua através da intrfac, ou sja, r r r r J1 n = J n, (4.36) ond J r 1 é a dnsidad d corrnt total no mio 1, junto à intrfac (analogamnt, para J r ). Uma vz qu sta continuidad (4.36) não é vrificada plas dnsidads d corrnt originais, J r i1 (4.34) i J r (já qu σ 1 > σ ), a continuidad é garantida pla acumulação d cargas léctricas na intrfac. A acumulação d carga rsulta no aparcimnto d um campo léctrico stático, φ, qu, por simtria, tm sntidos opostos dos dois lados da intrfac (Figura 4.3). Assim, a dnsidad d corrnt total passa a sr dada por r J r r A 1 1 = σ 1E1 = σ 1 σ 1 φ1 t, (4.37) 53

56 54 no mio 1, φ σ σ σ = = t A E J r r r, (4.38) no mio. Já sabmos qu t A t A = 1 r r qu 1 φ φ =. Além disso, como n J n J i i r r r r > 1, o sinal d 1 φ m (4.37) vai sr tal qu oponha 1 φ a 1 i J r, rduzindo a difrnça ntr n J i r r 1 n J i r r. Assim, a dnsidad d corrnt total junto à intrfac, no mio 1, é dada por φ σ σ + = t A J r r, (4.39) nquanto qu no mio ssa dnsidad d corrnt total junto à intrfac é dada por φ σ σ = t A J r r. (4.40) Aplicando stas considraçõs à quação da continuidad (4.36), ncontramos a sguint xprssão para o campo lctrostático: t A + = r 1 1 σ σ σ σ φ, (4.41) ond o produto intrno com n r foi omitido já qu s stá a considrar um campo induzido parallo a n r. Aplicando a xprssão (4.41) na xprssão do campo léctrico total (4.19), vrificamos qu o campo junto à intrfac, do lado do mio 1, é ( ) t A t A t A E + = + + = r r r r σ σ σ σ σ σ σ, (4.4) ond ( ) 1 1 < + σ σ σ, nquanto qu o campo junto à intrfac no mio é dado por ( ) t A t A t A E + = + = r r r r σ σ σ σ σ σ σ, (4.43) ond ( ) > + σ σ σ. Vrifica-s assim qu o campo léctrico sofr uma distorção dvido às difrnças d condutividad: a amplitud do campo é rduzida do lado da intrfac com maior

57 condutividad léctrica, é aumntada, do msmo valor, no lado d mnor condutividad. Na intrfac ntr o córtx o líquido cfalorraquidiano, o campo léctrico no córtx pod chgar a aumntar por um factor d 1.63 (Miranda t al., 003). Est é um aumnto muito significativo qu pod afctar a dosagm dos campos administrados m xpriências d TMS (Miranda t al., 003) a própria intrprtação dos rsultados dssas xpriências. S o campo não for σ 1 σ stritamnt prpndicular à intrfac, o factor multiplicativo σ 1 + σ é afctado por cos ( θ ), plo qu a amplitud do campo dvido à acumulação d carga léctrica na intrfac é mnor (Figura 4.3 b). Em consquência disso, as variaçõs d amplitud do campo na intrfac são mnors (Miranda t al., 003) Efito das anisotropias no campo léctrico Na li d Ohm gral, a condutividad léctrica σ dv sr scrita como sndo um tnsor σ. Assim, (4.33) passa a scrvr-s r r r A J = σ E = σ φ, (4.44) t ond σ é dado por σ xx σ xy σ xz σ = σ yx σ yy σ yz. (4.45) σ zx σ zy σ zz S os tcidos biológicos form isotrópicos, σ kk = σ σ kj = 0, s k j. S os tcidos biológicos form anisotrópicos, os coficints diagonais d σ podm sr difrnts ntr si os coficints não diagonais podm sr difrnts d zro. Como consquência, a dnsidad d corrnt J r num tcido anisotrópico não é paralla ao campo léctrico, como sria s o tcido foss isotrópico. Outra consquência da anisotropia manifsta-s nas intrfacs ntr dois tcidos anisotrópicos. A continuidad da componnt d J r normal à intrfac (4.36) vai altrar não só a amplitud do campo léctrico na intrfac, como também a sua dircção (vr, por xmplo, Miranda t al., 003). Nst trabalho d doutoramnto, os tcidos crbrais foram modlados como sndo isotrópicos, mbora as suas condutividads possam tr uma fort componnt anisotrópica, como acontc na substância branca. Apsar disso, um studo rcnt sugr qu o fito global das 55

58 anisotropias dos tcidos crbrais no campo léctrico induzido m TMS é o d uma altração máxima da sua amplitud d crca d 10%, fac a um modlo isotrópico quivalnt (D Lucia t al, 007). Por sua vz, a xtnsão a localização da rgião stimulada calculadas com bas no prssuposto d qu a stimulação nuronal ocorr dsd qu o valor local do campo léctrico sja igual ou suprior a 50% do valor máximo obtido não parcm sofrr altraçõs significativas ntr um modlo anisotrópico um modlo isotrópico (D Lucia t al, 007). Esss rsultados sugrm qu, para a TMS, as anisotropias são mnos rlvants do qu as htrognidads, mbora só um studo mais ddicado prmita confirmar tal hipóts. 56

59 Capítulo 5: Modlação Numérica 5.1. O Método dos Elmntos Finitos O método dos lmntos finitos, ou FEM (do inglês Finit Elmnt Mthod ) é um método numérico adquado para a rsolução d problmas físicos para os quais não xist solução analítica. Através do FEM obtém-s uma solução aproximada ~ φ para o problma dscrito pla quação difrncial gnérica (5.1) ( φ ( x, y, z) ) = f ( x, y z), para ( x y, z) Ω L,,, (5.1) no qual s impõm também condiçõs nas frontiras ao problma d domínio limitado Ω. Na quação (5.1) L é um oprador difrncial linar, φ, ~ φ f são funçõs d ( x, y, z), 3 Ω IR é o domínio do problma a rsolvr. Para obtr a solução aproximada ~ φ considra-s, d início, uma função d tst dfinida como combinação linar d funçõs d xpansão, dfinidas m Ω : v j, N ~ φ. (5.) ( x, y, z) = c v ( x, y, z) j= 1 j j Os polinómios são opçõs comuns para a scolha das funçõs v j. Assim, a rsolução do problma (5.1) passaria por ncontrar os coficints c j da xpansão antrior (5.). No ntanto, m domínios tridimnsionais, é difícil dfinir uma função d tst φ ~ única para todo o domínio: a função φ pod tr uma variação spacial muito complxa, o qu torna muito difícil ou msmo impossívl ncontrar uma função aproximada qu dscrva adquadamnt ssa variação. S s dividir (ou discrtizar) o domínio Ω num conjunto d M pqunos subdomínios, os lmntos finitos, ntão dntro d cada subdomínio a função d aproximação φ ~ pod sr mais simpls. Assim, s os lmntos finitos form suficintmnt pqunos, pod msmo sr possívl aproximar a solução φ por polinómios d primiro grau (Jin, 1993). Em domínios tridimnsionais, os lmntos finitos mais comuns são os ttraédricos ou hxagonais. O método dos lmntos finitos consist prcisamnt m aproximar a solução xacta do problma (5.1) por uma solução aproximada φ ~ qu é calculada nos vértics dos 57

60 lmntos finitos, ou nos vértics ainda noutros pontos das arstas, no caso dos lmntos finitos d ordm suprior à primira. No ntanto, os lmntos finitos vctoriais, qu são usados para o cálculo d grandzas vctoriais, têm um modo d funcionamnto difrnt. Para sts, o cálculo das grandzas é fctuado considrando todo o comprimnto da arsta, não somnt alguns pontos da msma. As tapas ssnciais do FEM são as sguints: 1. Discrtização do domínio: construção d uma malha d lmntos finitos;. Slcção das funçõs d aproximação ou intrpolação: dntro d cada subdomínio, ou lmnto finito, a função φ vai sr aproximada por funçõs polinomiais; 3. Formulação do sistma d quaçõs: scolha do tipo d formulação (variacional ou rsidual) imposição das condiçõs d frontira ao sistma d quaçõs a rsolvr; 4. Rsolução do problma. As tapas básicas do FEM, m particular as tapas d slcção das funçõs d intrpolação d formulação do sistma d quaçõs vão sr aqui sucintamnt dscritas usando o msmo xmplo m 1D m 3D. No qu s sgu, φ passará a dsignar xclusivamnt a solução numérica (até aqui dsignada por ~ φ ). Discrtização do domínio: A discrtização d Ω consist ntão m dividir o domínio m subdomínios rgulars, dsignados por lmntos finitos. A discrtização d Ω, ou malha, é um conjunto d M lmntos finitos, cada um com n nodos. A Figura 5.1 ilustra a discrtização d um domínio Ω. Nst caso, o domínio bidimnsional foi discrtizado numa malha d lmntos triangulars. Figura 5.1: Ilustração do procsso d discrtização d um domínio bidimnsional. A malha criada (figura do lado dirito) não é homogéna, porqu o softwar atribui automaticamnt lmntos mais pqunos às rgiõs curvas às rgiõs stritas do domínio. 58

61 Em 1D, os lmntos finitos são sub-intrvalos do sgmnto d rcta qu dfin o domínio. S as funçõs d intrpolação scolhidas form d 1ª ordm (ou linars), cada lmnto finito tm apnas nodos, qu são as xtrmidads do lmnto; s as funçõs d intrpolação form d ª ordm, o lmnto passa a tr 3 nodos (as xtrmidads o ponto médio do lmnto). O númro d nodos dos lmntos da malha aumnta com a ordm das funçõs d intrpolação scolhidas para rsolvr o problma. S as funçõs d intrpolação scolhidas form d 1ª ordm, os lmntos finitos são também d primira ordm, ou linars. Em D m 3D, os lmntos finitos linars têm um númro d nodos corrspondnt ao númro d vértics, plo qu os lmntos triangulars da Figura 5.1 (D) têm 3 nodos cada, nquanto qu os lmntos ttraédricos linars usados m malhas tridimnsionais têm 4 nodos cada. No ntanto, como cada nodo é partilhado por vários lmntos finitos, o númro total d nodos N d uma malha é infrior à soma dos nodos dos M lmntos dssa malha. A malha d lmntos finitos não tm d sr homogéna. Na vrdad, o tamanho dos lmntos finitos dv sr adquado à rgião do domínio a qu os msmos s dstinam: m rgiõs ond a qualidad da solução sja mais crítica (numa rgião dfinida como rgião d intrss), os lmntos finitos dvrão sr mais pqunos; m rgiõs mnos fulcrais para a anális do problma qu s stá a tratar, os lmntos finitos podm sr maiors. A qualidad da malha, no qu diz rspito ao tamanho dos lmntos finitos, dv sr optimizada, qur para garantir a qualidad da solução nas rgiõs d intrss, qur para rduzir o tmpo d cálculo (o qu s consgu, m part, plo aumnto do tamanho dos lmntos finitos). O problma d frontira m 1D: Considrmos o sguint problma d frontira unidimnsional (Jin, 1993): d dx dφ α + βφ = f, x ] 0, l[, (5.3) dx com condiçõs d frontira φ p, (5.4) = x =0 dφ α + γφ = q dx, (5.5) x= l sndo a quação (5.4) uma condição d 1º tipo ou d Dirichlt a quação (5.5) uma condição do 3º tipo. A função φ( x) φ = é a incógnita do problma α, β f são funçõs conhcidas. 59

62 Slcção das funçõs d intrpolação: Em cada lmnto da malha, a função φ pod sr aproximada por um polinómio d 1º grau: ( x) = a + b x φ. (5.6) A quação (5.6) rprsnta a função d intrpolação associada ao lmnto ( = 1,,..., M ). As constants a nodos, com coordnadas sguints valors, φ 1 φ : b são spcíficas do lmnto. Em 1D, cada lmnto finito linar tm x 1 x. A função d intrpolação nos nodos do lmnto tm os 1 = a + b x1 φ, (5.7) = a + b x φ. (5.8) S rsolvrmos as quaçõs (5.7) (5.8) m ordm a a b substituirmos as xprssõs ncontradas m (5.6), obtmos uma xprssão d φ com dpndência xplícita nas constants φ 1 φ : φ 1 φ φ φ1 φ ( x) = a + b x = x x + x l l l 1, (5.9) ou sja, φ = N ( x x) ( x x1 ) ( x) = φ + 1 ( x) φ + N ( x) φ = N ( x) φ, 1 l 1 l j= 1 φ = j j (5.10) sndo = o comprimnto do lmnto finito. As funçõs l x x1 N 1 N dsignam-s por funçõs d intrpolação. Nst caso são polinómios d 1º grau na variávl x. Estas funçõs N j têm valors difrnts d zro apnas dntro do lmnto. Como é fácil d intrprtar, o somatório m (5.10) contém um trmo por cada nodo do lmnto finito. Em 3 IR, ond considrarmos lmntos ttraédricos, os somatórios corrspondnts têm 4 trmos, rfrnts aos 4 nodos d cada lmnto ttraédrico. As constants φ j são os valors da função a dtrminar (a solução do problma (5.3)) nos nodos d cada lmnto da malha. Estas 60

63 61 constants são dsignadas por graus d librdad do problma. O conjunto dos valors dos graus d librdad nos nodos da malha é a solução aproximada do problma, dvolvida plo softwar d lmntos finitos. Formulação do sistma d quaçõs: No FEM, há dois grands tipos d formulação do sistma d quaçõs: a formulação variacional (ou método d Ritz) a formulação rsidual (ou método d Galrkin). Aprsnta-s d sguida uma brv dscrição d cada uma dstas formulaçõs. No ntanto, srá dado mais ênfas à formulação rsidual, dado qu ssa é a formulação mprgu no softwar d lmntos finitos usado nst trabalho d doutoramnto, o Comsol Multiphysics (www.comsol.com). 1. Formulação variacional A formulação variacional consist na minimização do funcional F do problma (5.3), dado por ( ) ( ) = = M F F 1 φ φ, (5.11) ond ( ) F φ é o funcional associado a cada lmnto finito ( M,..., 1, = ), dado por (Jin, 1993) ( ) ( ) = = = + = = + = x x j j j x x j j j j j j x x x x fdx N dx N dx dn fdx dx dx d F φ φ β φ α φ φ β φ α φ (5.1) A minimização dst funcional obtém-s igualando a zro a drivada do funcional m rlação aos graus d librdad (Jin, 1993), ou sja, = 0 j F φ. (5.13) Para cada lmnto há duas drivadas parciais d F, porqu há dois graus d librdad. Intgrando por parts o primiro trmo do sgundo mmbro d (5.1) drivando m ordm a j φ, obtém-s

64 6 1,, = + = = i fdx N dx N N dx dn dx dn F x x i x x i j i j j j i β α φ φ. (5.14) Em notação matricial, a drivada do funcional para o lmnto é dada por = = b b K K K K F F φ φ φ φ, (5.15) ou sja, [ ] { } { } { } M b K F 1,...,, 0 = = = φ φ, (5.16) ond a ntrada ij K da matriz [ ] K é dada por + = x x j i j i ij dx N N dx dn dx dn K 1 β α a ntrada i b da matriz { } b é dada por = x x i i fdx N b 1. A quação (5.16) é a formulação variacional para o lmnto finito. A rsolução do sistma d M lmntos finitos implica ainda a runião ou assmblagm das M quaçõs matriciais (5.16), tndo m conta a disposição dos lmntos no domínio a partilha d nodos ntr si (para uma xplicação mais dtalhada das tapas básicas do procsso d assmblagm, vr, por xmplo, Frrira, 009, Cap. 1). Dado qu o funcional do sistma, (5.11), é igual à soma dos funcionais nos M lmntos finitos, a assmblagm passa pla soma das matrizs F φ xpandidas às dimnsõs apropriadas d modo a incluírm todos os N graus d librdad do domínio do problma: a matriz [ ] K dv sr xpandida da dimnsão para a dimnsão N N, as matrizs { } φ { } b dvm sr xpandidas da dimnsão 1 para a dimnsão 1 N. A minimização do funcional do problma pod ntão sr scrita m trmos do sguint sistma d quaçõs matriciais: [ ] { } { } { } = = = = = M M b K F F φ φ φ, (5.17) ond as barras horizontais nas matrizs idntificam as matrizs xpandidas. A rsolução do sistma d quaçõs matriciais (5.17) (com a dvida imposição das condiçõs d frontira (5.4)

65 (5.5), cujos dtalhs s omitm aqui) fornc os valors φ j ( problma (5.3) nos nodos da malha scolhida (Jin, 1993).. Formulação rsidual j = 1,..., N ) da incógnita φ do Como já foi visto, a função φ é uma aproximação da solução xacta do problma (5.3) com condiçõs d frontira (5.4) (5.5). Rtomando a forma gral sndo φ ~ a solução aproximada d φ, tm-s qu L (φ ) = f do problma (5.3), ~ L(φ ) f, porqu só a solução xacta rsultaria na igualdad. A difrnça ntr o primiro o sgundo mmbros da quação (5.3) dsigna-s por rsíduo, r : d dφ r = α + βφ f. (5.18) dx dx Exist um rsíduo associado a cada grau d librdad φ j do problma. A rsolução do problma d lmntos finitos (5.3) através da formulação rsidual consist m minimizar a soma dos rsíduos pondrados. O rsíduo associado a cada grau d librdad é dado por: R i = x d dφ α 1,. (5.19) dx dx w irdx = wi + βφ f dx, i = 1 x x 1 x Na quação (5.19), a função w i é a função d pondração, qu, no método d Galrkin, s scolh como sndo igual à função d intrpolação associada ao grau d librdad, ou sja, w i = N i (Jin, 1993). Portanto, m (5.19) tmos o sguint: R i = x 1 x x 1 x x d φ N i α dx + N i βφ dx N i fdx. (5.0) dx 1 x Intgrando o primiro trmo do sgundo mmbro d (5.0) por parts (d forma a rduzir o grau da drivada d φ ) substituindo φ por (5.10), obtém-s o sguint: R i = j= 1 x x dn dn i j φ j α + βn i N j dx N i fdx gi, (5.1) x dx dx x

66 sndo g i dφ = m α o trmo qu rsulta da intgração por parts. A quação (5.1) é o dx x= x i rsíduo para o grau d librdad φ i. Para cada lmnto, há um númro d rsíduos igual ao númro d graus d librdad. Portanto, a quação matricial dos rsíduos do lmnto é dada por R R 1 K = K 11 1 K K 1 φ 1 b φ b 1 g g 1, (5.) ou sja, { R } [ ] K { } { b } { g } = φ. (5.3) Como já foi rfrido, a rsolução do problma (5.3) (5.5) plo método rsidual fctua-s igualando a zro a soma dos rsíduos pondrados dos M lmntos, ou sja, pla rsolução do sistma d quaçõs matriciais { } = [ K] { } { b} { g} = { 0} R φ, (5.4) ou sja, M M { } { R } = ([ K ] { } { b } { g }) = { 0} R = φ, (5.5) = 1 = 1 ond a barra horizontal nas matrizs [ ] matrizs [ ] K, { φ }, { b } { } K, { φ }, { b } { } g dnota a xpansão das rspctivas g para as dimnsõs apropriadas (tal como foi fctuado para a formulação variacional). O softwar d lmntos finitos rsolv o sistma d quaçõs (5.5), dpois da ncssária imposição das condiçõs frontira (5.4) (5.5). O rsultado final é o cálculo dos coficints da matriz { φ }, ou sja, os valors da função φ nos nodos da malha. O problma d frontira m 3D: Em 3D, o problma d frontira da quação (5.3) rprsnta-s pla sguint quação difrncial: α x x φ α y x y φ y φ α z + βφ = z z 3 ( x, y, z) Ω f, IR, (5.6) 64

67 com condiçõs apropriadas na frontira sr vistos m Jin, 1993, Capítulo 5). Slcção das funçõs d intrpolação m 3D: Ω do domínio Ω do problma (os dtalhs podm Para problmas tridimnsionais, os lmntos finitos mais comuns, os usados nst trabalho d modlação, são os lmntos ttraédricos linars (ou d 1ª ordm). Os lmntos ttraédricos linrs têm 4 nodos, plo qu cada lmnto finito dá origm a 4 graus d librdad a 4 funçõs d intrpolação ( x, y, z). Sguindo um procsso quivalnt ao já dscrito N j para problmas unidimnsionais, m cada lmnto finito aproxima-s a função φ por um polinómio d 1º grau m 3 IR : ( x, y, z) = a + b x + c y + d z φ. (5.7) Como o lmnto tm 4 nodos, spcificamos o valor d φ m cada um dsss nodos. A função d tst φ tm os sguints valors nos nodos do lmnto : 1 = a + b x1 + c y1 + d z1 φ, (5.8) = a + b x + c y + d z φ, (5.9) 3 = a + b x3 + c y3 + d z3 φ, (5.30) 4 = a + b x4 + c y4 + d z4 φ. (5.31) Rsolvndo as quaçõs (5.8) (5.31) m ordm às constants a, b, c d, substituindo m (5.7) as xprssõs ncontradas, obtmos a xprssão d φ com dpndência xplícita nos graus d librdad φ j : 4 φ ( x) = N j ( x, y, z) φ j, (5.3) j= 1 ond N j são as funçõs d intrpolação. Formulação rsidual do sistma d quaçõs m 3D: 65

68 66 O rsíduo qu surg na quação (5.6) como rsultado da discrtização do problma é o sguint: f z z y y x x r z y x + = βφ φ α φ α φ α. (5.33) Os rsíduos pondrados para cada nodo i ( 4 3,, =1, i ) do lmnto são dados por, + = = = V z y x i V i i dv f z z y y x x N rdv N R βφ φ α φ α φ α (5.34) ond as funçõs são intgradas no volum V do lmnto ttraédrico. Por substituição d (5.3) m (5.34), intgrando por parts os três primiros trmos do º mmbro d (5.34), obtém-s o sguint:, 4 1 ds n D N fdv N dv N N x N x N x N x N x N x N R S i V i V j i j i x j i x j i x j j i = = r r β α α α φ (5.35) ou sja, i i ij j j i g b K R = = 4 1 φ, (5.36) ond = V i i fdv N b, ds n D N g S i i = r r, + + = z z y y x x z y x D ˆ ˆ ˆ φ α φ α φ α r, S é a suprfíci d frontira d V n r é a normal xtrior à suprfíci S. Portanto, a matriz d rsíduos pondrados para o lmnto é a sguint: { } [ ] { } { } { } M g b K R R R R R 1,..., 1, = = = φ. (5.37)

69 Para a rsolução do problma (5.6) rsta apnas fctuar a assmblagm das matrizs (5.37) dos rsíduos d todos lmntos da malha, impor as condiçõs d frontira igualar a soma dos rsíduos a zro. O sistma d quaçõs matriciais final srá { } = [ K]{ } { b} { g} = { 0} R φ, (5.38) ou sja, [ K ]{ } = { b} + { g} φ, (5.39) M ond [ K ] = [ K ], sndo [ ] = 1 K a matriz [ ] K xpandida da dimnsão 4 4 para a dimnsão N N, sndo N o númro d nodos da malha, m numração global. Rsolução do sistma d quaçõs: No Comsol Multiphysics, dpois d impostas as condiçõs d frontira adquadas, o sistma d quaçõs (5.39) é rsolvido por liminação d Gauss, transformando a matriz [ K ] numa matriz triangular suprior. A rsolução do sistma d quaçõs (5.39) rsulta no cálculo dos coficints da matriz { φ }, ou sja, os valors d φ nos nodos da malha. Tipos d lmntos finitos: No trabalho d modlação numérica lvado a cabo nsta ts, foram usados lmntos lagranganos lmntos vctoriais. Os lmntos lagranganos são os mais comuns. São adquados para a rsolução d problmas com incógnita φ scalar. O funcionamnto dsts lmntos nquadra-s no qu já foi aqui dscrito acrca do método dos lmntos finitos, dstacando-s m particular o facto d qu numa malha com lmntos finitos lagranganos os graus d librdad { φ } do problma são associados aos vértics dos lmntos. Os lmntos finitos vctoriais distingum-s dos lmntos lagranganos plo facto dos graus d librdad do problma srm associados às arstas dos lmntos, não somnt a alguns pontos dssas arstas. Esta particularidad é qu os torna adquados à rsolução d problmas com variávl φ vctorial, como é o caso, por xmplo, da quação d Biot-Savart para a dtrminação do potncial magnético vctorial, A r. No softwar Comsol Multiphysics, ou simplsmnt Comsol, r r A um problma gnérico d cálculo do campo léctrico E = V é rsolvido numa malha t d lmntos lagranganos para o cálculo do potncial léctrico scalar, V, numa malha d lmntos vctoriais para o cálculo do potncial magnético vctorial, A r. 67

70 5.. Modlação da Estimulação Magnética do Córtx Crbral Introdução Nsta scção do capítulo 5 é aprsntada uma dscrição xaustiva do modlo gométrico físico do córtx tcidos circundants criado para st trabalho, bm como do modlo gométrico físico da bobin d stimulação da rspctiva corrnt léctrica Gomtria do Modlo Físico O modlo do cérbro (Figura 5.; Silva t al., 008) consist num cilindro com três camadas rprsntando o líquido cfalorraquidiano (ou CSF, do inglês crbrospinal fluid ), a substância cinznta (ou GM, do inglês gray mattr ) a substância branca (ou WM, do inglês whit mattr ). A camada cortical tm 3 mm d spssura, valor pondrado ntr os máximos (Nolt, 00; Paxinos Mai, 004) mínimos dscritos na litratura (Myr t al., 1996; Amunts t al., 1997; Fischl Dal, 000; Butman Flotr, 007), o su nvlop ncontra-s à profundidad mínima d cm da suprfíci do modlo. Nst contxto, a suprfíci do modlo pod sr ntndida como sndo o scalp humano. O valor d cm scolhido para a profundidad do córtx stá m conformidad com o valor médio d 19.3 ±.3 mm ncontrado na litratura para a profundidad do córtx motor (Stoks t al., 005), mbora sta profundidad sja bastant variávl d pssoa para pssoa (vr, por xmplo, Stoks t al., 007, ond são aprsntados valors médios para a profundidad d M1 na ordm dos 15 mm). A camada cortical é dotada d um sulco rcto qu, por razõs d simplificação na modlação, s stnd ao longo do diâmtro do cilindro. Est sulco prtnd modlar o Sulco Cntral, ond s ncontra o córtx motor primário (M1 ou BA 4) rgiõs associadas, como o córtx pré-motor, a ára motora suplmntar o córtx somatossnsitivo, ou S1 (Talairach Tournoux, 1998). O dstaqu dado ao córtx motor prnd-s com o facto d sr sta a rgião cortical historicamnt mais rprsntativa para a stimulação magnética transcraniana, dado qu é aqula para a qual a intrprtação dos mcanismos subjacnts à rsposta vocada (o potncial motor vocado, ou MEP, do inglês motor vokd potntial ) parc sr mais simpls (vr, por xmplo, Walsh Pascual-Lon, 003). O sulco aqui modlado tm 1 mm d profundidad, um valor pondrado com bas na aprciação d várias scçõs do sulco cntral na rgião da mão (Yousry t al., 1997; Talairach Tournoux, 1998). A rgião d intrss (ROI) dst modlo é a rgião do sulco imdiatamnt por baixo do cntro da bobin, ond o campo léctrico induzido é mais intnso (Figura 5.3). Esta rgião ncontra-s dlimitada por um parallpípdo (Figura 5.) com as sguints dimnsõs: 68

71 x y z = cm 3. Esta ROI foi dfinida tndo m conta as dimnsõs da rgião do sulco cntral ddicada à mão (Yousry t al., 1997). Partindo ainda dos prssupostos d qu 1) a rgião cortical stimulada dvrá ncontrar-s cntrada com o máximo do campo léctrico induzido (vr, por xmplo, Roth t al., 1991b) ) d qu a xtnsão da rgião cortical stimulada por bobins m forma d oito convncionais é pquna (Komssi Kahkonn, 006) dvrá incluir apnas nurónios afctos ao controlo d um dtrminado músculo (Di Lazzaro t al., 004), spra-s qu a ára cortical analisada com st parallpípdo inclua toda a ára activada dirctamnt plo impulso d stimulação magnética. Assim, os parâmtros do campo léctrico rlvants para a stimulação magnética srão avaliados xclusivamnt no volum limitado por st parallpípdo. Sab-s qu a actividad nuronal inicialmnt dsncadada nsta rgião é transmitida postriormnt a outras rgiõs corticais (Komssi t al., 00; Komssi Kahkonn, 006), mas o studo dssa actividad cortical postrior não prtnc ao âmbito dst trabalho. Figura 5.: Gomtria do modlo do sulco cortical da bobin d stimulação. O modlo visto d cima (insrção 1) prmit vr a posição da bobin m rlação à ROI. A insrção é uma ampliação do plano assinalado com uma sta na figura principal, ond s podm vr as 5 suprfícis (S1-S5) incluídas para prmitir mlhor visualização dos rsultados. Adaptada d Silva t al. (008). Na rgião do sulco contida na ROI foram incluídas 3 suprfícis adicionais, tangnts às pards do sulco (Figura 5., insrção ). Estas suprfícis foram dispostas d forma a qu as cinco suprfícis s distancim d 1 mm ntr las. Estas suprfícis prmitm aprciar a 69

72 variação spacial dos parâmtros d activação (o campo léctrico o su gradint) no intrior do sulco ao longo da xtnsão do msmo (i.., ao longo do ixo dos yy ). As cinco suprfícis, dsignadas S1-S5, têm a sguint corrspondência anatómica: S1 é a intrfac CSF/córtx; S4 é a intrfac córtx/substância branca; S5 é uma suprfíci colocada 1 mm abaixo d S4, na substância branca. Quanto a S a S3, las corrspondm, aproximadamnt, à part infrior (vntral) da camada III do córtx à part suprior da camada VI, rspctivamnt. Entr stas duas suprfícis ncontra-s a camada V as bandas d Baillargr suprior infrior. Para uma localização das várias camadas do córtx motor ao longo da spssura cortical vr, por xmplo, Paxinos Mai, 004 (pág. 999, Tabla 7.). Figura 5.3: Cort axial do modlo, à profundidad z = m, aprsntando a norma do campo léctrico, E r. O cort prmit vr qu os valors máximos d E r s ncontram cntrados com a ROI (o rctângulo no cntro da figura). A bobin d stimulação (Silva t al., 008) é uma bobin m forma d oito convncional, construída com bas na bobin Magstim 70 mm (P/N 9790), tal como é dscrita por Thilschr Kammr (00) Thilschr Kammr (004). Cada braço da bobin tm 8 spiras circulars sm spssura. Os raios intrior xtrior da bobin são, rspctivamnt,.6 cm 4.4 cm (Figura 5., insrção 1). O plano da bobin é parallo à suprfíci do volum condutor (plano xoy ) ncontra-s a 1 cm dsta msma suprfíci. O ixo d simtria da bobin (ixo dos xx ) é prpndicular ao ixo longitudinal do sulco (ixo dos yy ; Figura 5., insrção 1). 70

73 Figura 5.4: Visão gral do modlo gométrico, incluindo o volum condutor (cilindro mnor), a bobin d stimulação as frontiras do modlo (cilindro maior). A rgião d ar circundant ao volum condutor (Figura 5.4) é um cilindro d raio r = 0. m altura h = 0.3 m, cntrado vrticalmnt com o plano da bobin ( z = 0.01 m) cntrado longitudinalmnt com o ixo d simtria da bobin. O raio r dst cilindro xtrior é tal qu a norma A φ do potncial magnético vctorial, à distância r do ixo da bobin é, no máximo, igual a 1.35% do valor máximo d A (mdido no cntro da bobin, A (0,0,0.01) ). Est valor φ φ máximo d rro m rlação a A (0,0,0.01) ocorr ao longo do ixo dos xx. No plano da bobin φ ao longo das outras dircçõs o rro é infrior a 1% (vr Tabla A.5.1, Anxo). A altura total h do cilindro xtrior é tal qu à distância h z = do cntro da bobin a norma do potncial Aφ ( z = h ) magnético vctorial é infrior a 0.075% do su valor máximo, ou sja, = 0.075% A ( z = 0.01) (Tabla A.5.1). Ests valors foram considrados suficintmnt bons, no qu diz rspito aos fitos d distorção do campo magnético pla imposição das frontiras finitas Propridads Eléctricas do Volum Condutor do Mio Envolvnt Os vários tcidos crbrais foram modlados como sndo isotrópicos. Esta scolha tm impacto no tnsor d condutividad léctrica, σ. Dado qu s considra qu a condutividad d cada φ 71

74 tcido é igual m todas as dircçõs, passamos a podr modlar a condutividad como sndo uma grandza scalar, σ : σ σ = σ σ xx yx zx σ σ σ xy yy zy σ xz σ 11 σ yz 0 diag σ zz 0 σ , (5.40) σ 33 σ kk = σ, para k = 1,, 3. (5.41) A condutividad léctrica dpnd ainda da frquência da corrnt léctrica qu atravssa o tcido (Gabril t al., 1996a-c; Fostr, 000). No ntanto, para a gama d frquências da TMS, f < 10 khz, a condutividad dos tcidos biológicos varia pouco (Fostr, 000). Tndo m conta a litratura analisada, os valors d condutividad léctrica adoptados nst trabalho foram os sguints: σ CSF = 1,79 S/m para o líquido cfalorraquidiano, σ GM = 0,33 S/m para o córtx crbral, σ WM = 0,15 S/m para a substância branca (Tabla A.5., m Anxo). Ests valors aqui propostos são valors médios, rsultants da comparação ntr valors rcolhidos in vivo valors rcolhidos in vitro, tndo m conta o facto da condutividad d um tcido biológico mdida in vitro podr tr um valor crca d 50% infrior ao su valor in vivo (Fostr, 000). À camada d ar circundant ao volum condutor foi atribuída a condutividad σ Ar = 0,00 S/m. Nst trabalho d modlação, não foram considrados o crânio o scalp. A condutividad do crânio é crca d 1/40 da condutividad da substância cinznta (Gonçalvs t al., 003), plo qu s considra qu o crânio não influncia a distribuição do campo léctrico no córtx: dvido à sua baixa condutividad, o crânio funciona como uma pré-camada d ar (Roth t al., 1991b). Assim, o fito d acrscntar ao modlo computacional as camadas quivalnts ao crânio ao scalp sria nglignciávl (Roth t al., 1991a, b). Em contrapartida, as camadas qu fazm frontira com o córtx crbral ou sja, o CSF a substância branca são muito importants, já qu o fito da distorção do campo léctrico nas intrfacs ntr sss tcidos o córtx pod sr muito significativo (Miranda t al., 003). Para a prmitividad léctrica rlativa, ε, foi scolhido o valor ε = 10 4 para os três tcidos r biológicos modlados, sndo st um valor adquado para a gama d frquências do impulso d stimulação magnética, 5-10 khz (Surowic t al., 1986; Gabril t al., 1996a-c; Fostr, 000; Wagnr t al., 004). Para st valor d prmitividad léctrica para os valors d r 7

75 condutividad léctrica scolhidos vrifica-s qu o trmo σ ωε rε 0 varia ntr 10 50, podndo σ por isso considrar-s >> 1. Esta dsigualdad, discutida no Capítulo 4, implica qu os ωε ε r 0 tcidos biológicos m causa podm sr considrados como sndo puramnt rsistivos Modlação da bobin da font d corrnt No Comsol não é ncssário modlar o stimulador magnético, uma vz qu a corrnt pod sr atribuida dirctamnt às spiras da bobin. Nst trabalho, a corrnt foi modlada como sndo sinusoidal, com uma taxa d variação máxima, di dt = 67 A/µs, valor qu corrspond ao limiar d stimulação médio do córtx motor para um impulso d corrnt monofásico com dircção postrior-antrior (PA) da corrnt induzida no córtx (Kammr t al., 001). Estas dfiniçõs introduzm-s no Comsol da sguint forma: 1) Escolh-s o Modo d Aplicação Quasi-Statics 3D, Tim Harmonic Analysis; max ) A dfinição do Modo d Aplicação dtrmina os parâmtros a dfinir. Uma vz qu a corrnt na bobin é dada por I = i, (5.4) jωt jπft 0 = i0 basta dfinir i 0 f. A amplitud da corrnt, i 0, tm d sr introduzida m cada sgmnto d spira da bobin, bm como a sua dircção, i.., i0 + ou i 0, consoant o sntido d circulação da corrnt m cada spira consoant a orintação d cada sgmnto d spira. Para a frquência da corrnt, scolhu-s o valor f = 5 khz. Sndo T o príodo da sinusóid T 1 =, fctua-s o sguint cálculo para obtr a amplitud da corrnt, i 0 : f di dt jωt = j i ; (5.43) ω 0 67 A/µs di jωt 1 di = = jωi0 = ωi0 i0 = ; (5.44) dt ω dt max max i = 133 A. (5.45) 0 73

76 O uso d uma corrnt sinusoidal não dv sr ntndido como a modlação d um impulso d stimulação bifásico. A corrnt sinusoidal dv sr ntndida como uma simplificação nos cálculos. A anális fctuada nsta fas do trabalho é ssncialmnt spacial, mbora a duração do stímulo tnha sido considrada, mas apnas d forma aproximada. Postriormnt (Capítulo 8) srá abordada a minha colaboração num trabalho ond a dinâmica dos impulsos d corrnt a das mmbranas clulars são tidas m conta. No prsnt trabalho d modlação, a corrnt léctrica sinusoidal foi dotada d algumas caractrísticas d um impulso monofásico PA, nomadamnt a dircção da corrnt induzida (PA) a taxa d variação máxima, Dado qu o campo léctrico induzido é proporcional a di dt ω 0 jωt = j i, vrifica-s qu di di dt. dtrmina a amplitud instantâna máxima do campo léctrico induzido. Assim, o valor máximo do campo léctrico induzido no modlo FEM aqui aprsntado é aproximadamnt igual ao valor máximo do campo induzido numa cabça ral, durant a TMS do córtx motor m condiçõs d limiar motor. A duração média do impulso d stimulação também foi usada para mlhorar a stimativa do limiar d stimulação das mmbranas nuronais, assim analisar os rsultados (a distribuição spacial d E r d E r ) m trmos das populaçõs nuronais stimuladas. Est tópico srá dsnvolvido no Capítulo Discrtização do modlo: A malha d lmntos finitos Tipo ordm dos lmntos finitos: dt max max Os lmntos da malha são vctoriais d 1ª ordm para o potncial magnético vctorial, A r, lagranganos ttraédricos d 1ª ordm para o potncial léctrico scalar, V. A aproximação d 1º grau é muito usada, uma vz qu aproximaçõs d ordm suprior (quadrática ou cúbica, por xmplo) xigm formulaçõs muito complicadas para o sistma d quaçõs (Jin, 1993). No ntanto, quando s compara a solução analítica d problmas simpls com as soluçõs numéricas obtidas m malhas d 1ª, ª 3ª ordm, todas com o msmo númro d nodos, conclui-s qu as aproximaçõs d ordm suprior à 1ª dão rsultados significativamnt mlhors do qu a aproximação d 1ª ordm (vr, por xmplo, Jin, 1993, Cap. 3, scção 3.6.3). Nst trabalho tntou-s contornar sta limitação dos lmntos d 1ª ordm através da gração d uma malha com lmntos suficintmnt pqunos na rgião d intrss. 74

77 Tamanho dos lmntos finitos: No parallpípdo qu contorna a rgião d intrss, o tamanho médio, h, das arstas dos lmntos finitos é d 1.9 mm. Junto às pards do sulco no intrior do msmo, o tamanho médio dos lmntos finitos é d 1.1 mm, sndo qu o tamanho mínimo nssa rgião é d 0.7 mm. (Figura 5.5). Na Scção 5.3 srá analisada a qualidad da solução numérica obtida, no Comsol Multiphysics, com uma malha com tamanho médio dos lmntos comparávl ao da malha da ROI no modlo do sulco (Figura 5.4), para dois problmas físicos d solução conhcida (Tofts, 1990). Figura 5.5: Vista frontal da malha na ROI. A malha é mais fina dntro m torno do sulco do qu nas rgiõs circundants. Qualidad da malha: Para lmntos ttraédricos, a qualidad q do lmnto da malha é uma função do comprimnto h ( i = 1,.., 6 ) das arstas do ttradro: i q 7 3V =, (5.46) ( h ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 3 / 1 + h + h3 + h4 + h5 + h6 ond V é o volum do ttradro. Para um ttradro rgular, q = 1. No ntanto, dsd qu q > 0.1, considra-s qu a qualidad da malha não afcta a qualidad da solução numérica do problma (Comsol, 008). Na rgião d intrss, a qualidad mínima dos lmntos é ROI q min = 0.53, portanto considra-s qu, ao nívl da malha, a qualidad dos rsultados aprsntados nsta Ts (Capítulo 7) stá garantida. 75

78 Estatísticas da malha: A malha global do modlo (Figura 5.4) tm 4050 lmntos finitos graus d librdad (DOFs, do inglês dgrs of frdom ). A qualidad mínima dos lmntos da malha global é q min = Método d rsolução Formulação do problma físico no Comsol: O problma consist no cálculo do campo léctrico, E r, induzido por indução lctromagnética no volum condutor qu rprsnta o córtx crbral tcidos nvolvnts (Figura 5., Figura 5.4), plo impulso d corrnt léctrica na bobin d stimulação. O Comsol calcula, m primira instância, os potnciais V A r, pla rsolução d duas quaçõs: a quação d Ampèr-Maxwll, r H r r r r r = J = σ, (5.47) r ( E + v B) + jωd + J a quação da sua divrgência, r r r r r r ( H ) = ( ( E + v B) + jωd + J ) = 0 σ. (5.48) Nas quaçõs (5.47) (5.48), v r é a vlocidad do volum condutor m rlação à dnsidad d fluxo magnético, B r ; D r é o vctor dslocamnto léctrico, H r é o campo magnético; E r é o campo léctrico; σ é a condutividad léctrica do mio ω é a frquência angular das fonts d campo. O vctor J r rprsnta a dnsidad d corrnt xtrna (ou aplicada), qu no caso dst problma é dada xclusivamnt pla corrnt léctrica na bobin. Como já foi rfrido na scção antrior, o problma físico (ou problma d frontira) foi rsolvido assumindo uma variação sinusoidal (ou harmónica) da corrnt léctrica na bobin, o qu implica uma variação harmónica d ambos os campos, magnético léctrico. No Comsol, xist um Modo d Aplicação vocacionado para problmas lctromagnéticos harmónicos no tmpo. Nst pacot d rsolução numérica, um problma quasi-stático como o da TMS é r rsolvido sm anular xplicitamnt o trmo jω D da quação d Ampèr-Maxwll (qu sria nulo num problma stático), mbora, dada a baixa frquência f da font d corrnt, o trmo r jω D não vá contribuir para o campo magnético. Por outras palavras, não ocorrrá atnuação do campo magnético dvido à prsnça do tcido (Capítulo 4). 76

79 r r As quaçõs (5.47) (5.48) ncontram-s na sua forma gral. Em TMS, o trmo σ v B (5.47) é nulo, já qu o volum condutor stá parado m rlação à font d campo magnético (ou sja, a bobin). A rlação ntr a dnsidad d fluxo magnético, B r, o campo magnético, H r, é dada r r r por B = µ 0 ( H + M ), sndo M r a magntização do mio, qu para o fito s considra nula ( M r = 0 r ). Como foi visto no Capítulo antrior, a magntização nos tcidos biológicos é dsprzávl (Plonsy Hppnr, 1967). Por sua vz, o vctor dslocamnto, D r, é dado por r r D = εe, sndo ε = ε rε 0 a prmitividad léctrica do mio ε 0 a prmitividad léctrica do vácuo. Rcord-s ainda (Capítulo 4) qu os campos léctrico magnético são dados m trmos r r r r dos potnciais léctrico magnético por B = A E = jω A V. Substituindo stas rlaçõs nas quaçõs (5.47) (5.48) obtmos as sguints quaçõs, com dpndência xplícita nos potnciais V A r : r r r 1 ( A) + ( σ + jωε ) V + ( jωσ ω ) A = J µ, (5.49) 0 0 ε 0 r r ( + jωε ) V + ( jωσ ω ε ) A J ) 0 σ. (5.50) 0 0 = Para calcular os potnciais V A r, o softwar d lmntos finitos Comsol rsolv as duas V, A r quaçõs antriors, (5.49) (5.50). Como o problma d ncontrar um par d potnciais ( ) qu satisfaçam as quaçõs (5.49) (5.50) não tm solução única, impõ-s adicionalmnt qu a divrgência d A r sja nula: A r = 0. (5.51) A quação (5.51) é conhcida por calibração (ou gaug) d Coulomb. D acordo com o Torma d Hlmoltz, a imposição do valor d A r é suficint, nst caso, para qu o problma acima dscrito tnha solução única (Comsol Multiphysics Usr Guid). Condiçõs d frontira: As condiçõs d frontira do problma são as dfinidas por dfito plo Comsol para um modlo lctromagnético quasi-stático, tridimnsional m modo d anális harmónica, são as sguints: r 1. Condiçõs d frontira na suprfíci do cilindro d ar ( frontiras xtrnas ): n A r = 0 r (isolamnto magnético) V = 0 ( trra ); 77

80 . Condiçõs d frontira nas suprfícis do volum condutor qu modla os tcidos da r r r r r r r r n H H = n ( J J ) = 0, ou sja, condiçõs cabça ( frontiras intrnas ): ( ) 0 1 d continuidad, magnética léctrica, rspctivamnt, ntr os mios 1 sparados por qualqur uma das suprfícis m causa, sndo H r o campo magnético J r a dnsidad d corrnt léctrica. Grandzas físicas calculadas: No fim do cálculo d lmntos finitos, o Comsol armazna, não só a solução ( V A r ) também todas as grandzas rlacionadas, como E r, B r J r (sndo qu Método Algoritmo d rsolução: 1 r r J = σe ).,, mas Como já foi rfrido, o Comsol mprga a formulação rsidual (método d Galrkin) para a rsolução FEM das quaçõs do problma físico. O problma físico (ou d frontira) a rsolvr é um problma stático linar. O algoritmo d rsolução, ou Solvr, mprgu para rsolvr st problma é um algoritmo itrativo qu mprga o método GMRES (do inglês Gnralizd Minimal Rsidual ). No Comsol, ao próprio algoritmo d rsolução dá-s o nom d GMRES. No qu diz rspito à simtria do problma (i.., a simtria da matriz d rigidz, [ K ], do problma), o GMRES é adquado para todo o tipo d problmas (simétricos ou não simétricos) é também adquado para problmas com lvado númro d graus d librdad. Os algoritmos d rsolução itrativos rqurm o uso d um pré-condicionador. O précondicionador usado é o Incomplt LU. O Incomplt LU é um pré-condicionador gnérico qu rsolv qualqur sistma d quaçõs linars, simétrico ou não simétrico. É uma scolha adquada quando s dsconhc a simtria do problma. A tapa d pré-condicionamnto: Suponhamos um sistma d quaçõs linars dado por K φ = b. (5.5) O pré-condicionador é uma matriz M qu s aproxima da matriz K d forma grossira. Na quação (5.5), a ltra φ é usada para dsignar a função incógnita do problma. O sistma linar pré-condicionado é dado por M Kφ = M b. (5.53)

81 Uma vz qu 1 M K, tm-s qu M K I N, sndo I N a matriz idntidad d ordm N. Dsta forma, o pré-condicionador aclra o cálculo da matriz φ, já qu M 1 Kφ φ = φ, I N logo M 1 Kφ φ. O algoritmo d rsolução GMRES: O algoritmo d rsolução tm a função d rsolvr o sistma pré-condicionado (5.53). Para rsolvr o problma (5.53) usa-s uma função d tst ~ φ qu aproxima a função φ. O rsíduo qu surg no sistma d quaçõs (5.53) dvido a sta aproximação é rs = M 1 ~ 1 1 Kφ M b = M ~ ( Kφ b). (5.54) Como foi já rfrido, no método d Galrkin a rsolução do sistma d quaçõs procssa-s pla procura da função φ ~ qu minimiza a soma dos rsíduos, rs. O critério d convrgência do algoritmo itrativo GMRES é o sguint: ( b Kφ ) < tol M b 1 ~ 1 ρ M, (5.55) 1 sndo M ( b K ) = rs φ ~ o módulo do rsíduo, ρ um factor na stimativa do rro, tol a tolrância rlativa. Ests factors têm valors indicados por dfito plo fabricant ( ρ = 400 ; tol = 10 6 ). Dado qu o fabricant indica qu os parâmtros dos algoritmos d rsolução já s ncontram optimizados para a maioria dos problmas, os valors dos parâmtros rfridos ( ρ, tol ) não foram altrados. Considra-s assim qu o algoritmo trá convrgido para a solução corrcta φ ~ quando o critério (5.55) tivr sido atingido. O algoritmo part d valors iniciais para a variávl φ ~. Ao fim d um ciclo d 50 itraçõs, s o critério d convrgência (5.55) ainda não tivr sido atingido, o algoritmo rcomça o cálculo para novos valors iniciais da variávl. Est procsso é rptido até qu s atinja um númro máximo d itraçõs, cujo valor por dfito é S ao fim d itraçõs o critério d convrgência (5.55) não for atingido, o cálculo trmina é dvolvida uma mnsagm d rro. Nstas condiçõs, a solução φ ~ ncontrada é considrada como stando incorrcta. Os valors iniciais das variávis do problma d TMS a rsolvr, (5.49) (5.50), são todos iguais a zro: V ( t = 0) = Ak ( t = 0) = 0, ond k = x, y, z. (5.56) 79

82 O pré-condicionador Incomplt LU: O Incomplt LU fctua uma factorização LU incomplta da matriz K do sistma (5.5), transformando-a na matriz M = LU. Simultanamnt, no procsso d factorização, o précondicionador vai procdndo à rjição dos coficints K ij cujo valor sja infrior a um dado valor d limiar, ditado plo parâmtro Tolrância d Rjição, ou Drop Tolranc ( drop tol ). O parâmtro drop tol varia ntr A scolha do valor d drop tol afcta o tmpo d cálculo a convrgência do algoritmo GMRES: Uma drop tol muito pquna ( drop tol 0 ) rsulta numa matriz M mais rigorosa (uma vz qu houv rjição d poucos coficints K ij da matriz K ), mas o consumo d mmória do procssador é maior. Por sua vz, um valor mais lvado d drop tol rsulta numa matriz M mais sparsa isso podrá implicar a não convrgência do algoritmo d rsolução. Dpois d alguns tsts, foi dcidido utilizar drop tol = 0. 00, um valor qu favorc a qualidad da matriz pré-condicionada m dtrimnto do tmpo d cálculo Validação dos cálculos m Elmntos Finitos Introdução Nst trabalho criou-s um modlo smi-analítico basado nos cálculos d Tofts (1990). Est modlo foi implmntado no Mathmatica (www.wolfram.com) no Comsol. Os rsultados do Comsol m trmos das componnts cartsianas do campo léctrico induzido são comparados com os rsultados obtidos no Mathmatica. Por sua vz, a qualidad das intgraçõs numéricas fctuadas no Mathmatica foi também tstada, por comparação dsss rsultados com os d Tofts (1990). Com st trabalho prtnd-s validar os rsultados obtidos para o cálculo do campo léctrico induzido por TMS no modlo do córtx crbral aprsntado (Figura 5.4), comparando malhas com qualidads tamanho dos lmntos d valors smlhants, nas sulco rgiõs d intrss. S no modlo do sulco a qualidad da malha for boa (i.., q min > 0.1) o tamanho dos lmntos for comparávl ao tamanho dos lmntos no modlo d validação, ou mnor, admitir-s-á qu a solução obtida no modlo do sulco é mlhor ou d qualidad comparávl à do modlo d validação. 80

83 5.3.. Validação da implmntação m Mathmatica do modlo d Tofts (1990) Objctivo Nst trabalho implmntou-s o modlo smi-analítico discutido por Tofts (1990) no softwar Mathmatica. O objctivo dst trabalho é tstar a prformanc do softwar m particular do algoritmo NIntgrat, comparando os rsultados obtidos com sta implmntação, m trmos da dnsidad d corrnt induzida num mio condutor por uma bobin d stimulação magnética, com os rsultados aprsntados por Tofts (1990) Toria Bobin circular paralla à suprfíci d um mio condutor smi-infinito: O potncial magnético vctorial A r grado num ponto P ( x, y, z) numa bobin circular com n spiras é dado pla li d Biot-Savart, r r µ n Idl µ n A = = 4π r 4π C C = pla corrnt léctrica I r dli, (5.57) r ond r é a distância do ponto P ao sgmnto dl r da bobin (Figura 5.6). Na quação (5.57) assum-s qu as n spiras têm todas o msmo diâmtro o intgral calcula-s no prcurso circular C dfinido por uma spira. O potncial magnético A r é parallo à dircção da corrnt léctrica. Para uma bobin circular, o potncial magnético tm um prfil circular concêntrico com a bobin. Considrando qu a bobin s ncontra num plano parallo a xoy, analisando a Figura 5.6, vrifica-s qu A r aprsnta apnas componnts sgundo x y é dado por r A = A ˆ x x + A ˆ y y = A cos φ ( φ) ˆ x A sin( φ) ˆ y φ, (5.58) ond a norma d A r, A φ, no ponto P, é dada por (Smyth, 1968) µ ni a m A φ = 1 K [ m ] E [ m ]. (5.59) π m ρ Nst contxto, φ é o ângulo azimutal do sgmnto arbitrário dl r com o ixo dos xx. 81

84 Figura 5.6: Esqumatização d bobin circular paralla à intrfac ntr os mios 1, para o cálculo do campo léctrico, E r i, induzido no ponto arbitrário P pla corrnt léctrica i qu circula na bobin. Na quação (5.59), a é o raio da bobin, ρ é a distância do ponto P ao ixo d simtria da bobin ρ = ( x x ) + ( y ) (, y z ) 0 y0 (Figura 5.6); K [ m] [ m] x são as coordnadas do cntro da bobin 0 0, 0 E são intgrais lípticos d 1ª d ª ordm, rspctivamnt, para os quais o parâmtro m é dado por m = 4aρ [( a + ρ) + ( z z ) ] 0 (Tofts, 1990). O campo léctrico induzido, E r i, dvido à corrnt na bobin é dado por r E i r A =. Uma vz t qu o campo é parallo à intrfac os mios 1 s considram homogénos isotrópicos, pla quação da continuidad da corrnt não há acumulação d carga na intrfac. Assim, a dnsidad d corrnt num mio condutor isotrópico d condutividad σ, nst caso, é dada r r simplsmnt por J i = σe. No problma rprsntado na Figura 5.6, há dois mios com i condutividads σ 1 σ. No caso particular do problma m studo, considra-s σ 1 = 0 S/m (ar ou vácuo) σ = 0. S/m. Bobin prpndicular à intrfac ntr o ar (mio 1) mio condutor (mio ): S o plano da bobin for prpndicular à intrfac ntr o mio condutor o ar (Figura 5.7), há acumulação d carga na intrfac, plo qu o campo léctrico total num ponto arbitrário ( x, y z) P =, passa a sr dado por 8

85 r E t r = E i r + E c r A = V, (5.60) t ond V é o potncial léctrico scalar E r c é o trmo do campo léctrico dvido à dnsidad d carga léctrica acumulada na suprfíci. Considrmos ntão qu a bobin circular s ncontra no plano = 0 y, com o su cntro m ( y, z ) ( 0,0,0.06) x mtros (m). Usando o Torma d 0, 0 0 = Gauss a quação da continuidad da corrnt léctrica através da intrfac (Capítulo 4), pod mostrar-s qu o trmo E r c no ponto P é dado por (Tofts, 1990) r E c = r ΣdSr = A n 3 4πε = 0 0r z z= 0 t r dsr π r 3, (5.61) ond Σ é a dnsidad suprficial d carga léctrica, A n é a componnt d A r prpndicular ao plano d acumulação d carga, mdida num ponto arbitrário ( x 1, y 1,0 ) Q = localizado no plano (i.., An = Az ( z = 0) ), r é a distância do ponto P ao ponto Q, r ( x x ) + ( y y ) + =, 1 ˆ 1 ˆ + r é o vctor posição d P m rlação a Q, r = ( x x ) x + ( y y ) y zz Figura 5.7, vrifica-s qu r 1 1 z ˆ. Atndndo à A n = A z x x 1, 1 cos, (5.6) ρ 1 0 ( x y,0) = Aφ ( θ ) = Aφ sndo = ρ ( x z ) = ( x x ) + ( ) ρ a distância do ponto Q ao cntro da bobin. 1, z 0 Considrando uma corrnt léctrica sinusoidal na bobin (vr Scção 5..4), a drivada tmporal d A n é ntão dada por An x1 x = ωan = ω 0 Aφ. (5.63) t ρ Adaptando a quação (5.59) ao caso da bobin prpndicular, tm-s qu µ i = ( ) = 0 a m Aφ Aφ x1, y1,0 1 K [ m ] E [ m ], (5.64) π m ρ ond m = m( x, y, z ) = 4aρ [( a + ρ) + ( y y ) ] 1 0 ρ ( ) ρ = x 1, z 1. 83

86 Figura 5.7: Esqumatização d bobin circular prpndicular à intrfac ntr os mios 1, para o cálculo do campo léctrico, E r i, induzido no ponto arbitrário P pla corrnt léctrica i qu circula na bobin. Finalmnt, as componnts cartsianas d E r c são dadas por: E cx = z= 0 A n t ( x x ) 1 π r dx dy 1 3 1, (5.65) E cy = z= 0 A n t ( y y ) 1 π r dx dy 1 3 1, (5.66) E cz = z= 0 A n t zdx dy π r. (5.67) As intgraçõs m (5.65) (5.67) são fctuadas ao longo d toda a suprfíci do volum condutor (plano z = 0 ). A dnsidad d corrnt léctrica total, por sua vz, é dada por r r ( + ) r J = σ E i E c. (5.68) Nst trabalho d validação a bobin tm apnas uma spira circular d raio a = 0.05 m a amplitud da corrnt léctrica, I, é I i = 3183 A, considrando um stimulador típico com = 0 di um output máximo dado por = 100 A/µs (Tofts, 1990; Roth t al., 1991b). Para o cálculo da dt dnsidad d corrnt induzida, foram considrados os msmos valors d condutividad léctrica do problma da bobin paralla, ou sja, σ 1 = 0 S/m (ar ou vácuo) σ = 0. S/m (Figura 5.7). 84

87 Modlação m Mathmatica No qu toca à implmntação das fórmulas atrás dscritas no Mathmatica, só o cálculo das componnts d E r c é qu mrc uma atnção spcial, por sr um cálculo numérico, nquanto qu os cálculos d todas as outras variávis são analíticos. Intgração numérica com o algoritmo NIntgrat: Para o cálculo das componnts cartsianas do campo dvido à carga, (5.65) (5.67), foi utilizado o algoritmo d intgração NIntgrat, do Mathmatica: [ g( x y),{ x, x, x }, { y, y, y } options] G = NIntgrat,. (5.69), min max min max Na quação (5.69) G é o rsultado numérico do intgral duplo g( x, y) x x max min y y max dx dy options são os valors d alguns dos parâmtros do algoritmo d intgração NIntgrat qu podm sr spcificados plo utilizador. No caso d não sr dclarado nnhum parâmtro m (5.69), para além dos intrvalos d intgração, o algoritmo assum os valors por dfito. Na Tabla 5.1 são aprsntados alguns dos parâmtros da função NIntgrat cujos valors podm sr scolhidos plo utilizador, juntamnt com os sus valors por dfito. min Tabla 5.1 Parâmtro Valor por dfito Obsrvaçõs AccuracyGoal Infinito Rigor prtndido para F Exclusions Nnhum Parts da rgião d intgração a xcluir MaxPoints Automático Nº total máximo d pontos da amostragm MaxRcursion Automático Nº máximo d subdivisõs rcursivas MinRcursion 0 (zro) Nº mínimo d subdivisõs rcursivas PrcisionGoal Automático Nº d dígito (prcisão) prtndido para F WorkingPrcision MachinPrcision (= 16) Prcisão usada nos cálculos Foi studada a dpndência da qualidad do rsultado G (5.69) com alguns dos parâmtros da Tabla 5.1, nomadamnt MinRcursion, MaxRcursion WorkingPrcision. Os valors tstados para cada um dsts parâmtros são os qu constam na Tabla

88 Tabla 5. Parâmtro Valors inspccionados MinRcursion 0 (Automático), 3, 6 MaxRcursion 0, 6 (Automático), 1 WorkingPrcision 16 (Automático), 18 Não s vrificou qualqur altração na qualidad do rsultado da intgração, plo qu s concluiu qu podm sr utilizados os valors por dfito. No qu toca aos outros parâmtros (Tabla 5.1), podria tr sido rlvant avriguar a dpndência da qualidad do rsultado com o númro máximo d pontos da amostragm (MaxPoints). No ntanto, uma vz qu o manual d utilizador do softwar Mathmatica não indica qual é o valor usado por dfito para st parâmtro, optou-s por não o utilizar xplicitamnt. Assim, a qualidad da solução foi tstada tndo m conta apnas os parâmtros acima rfridos (Tabla 5.) os intrvalos d intgração. Escolha dos intrvalos d intgração: No Mathmatica, os intrvalos d intgração das componnts cartsianas do campo léctrico E r c (5.61) têm d sr truncados, uma vz qu o intgral (5.61) só pod sr calculado por aproximação numérica. O campo dvido à carga, E r c, é uma função d A φ, cujo valor dpnd da distância à bobin. Dsta forma, a truncagm na intgração m (5.61) dv sr fita suficintmnt long da bobin (qur ao longo do ixo dos xx, qur ao longo do ixo dos yy ), ond acitávl. A φ tnha um valor suficintmnt pquno tal qu o rro comtido na aproximação sja Considrmos ntão a bobin da Figura 5.7. Sja r x a distância mdida ao longo d uma rcta colocada no plano da bobin ( y = 0 ), paralla ao ixo dos xx, qu passa plo cntro da bobin ( = z 0.06 m). Na Tabla A.5.3 (Anxo ao Capítulo 5) são aprsntados valors d ( ) sts são comparados com o valor d A φ m A φ r x = a. O valor máximo tórico d A φ ocorr m r x = a (sndo a raio da bobin) é igual a A ( r = a) =. Não sndo possívl obtr stimativas d rro usando A ( r x = a) 4 ( r = a) = φ x φ como trmo d comparação, utilizou-s o valor A φ x Wb/m, um valor já bastant baixo. Na Tabla A.5.3, a variávl r x é r x aprsntada m trmos d a. A variação d A φ dscrita na Tabla A.5.3 tm a sguint rprsntação gráfica (Figura 5.8): 86

89 A φ (r x )/A φ (a) 100 A φ (rx)/a φ (a) (%) r x (a) Figura 5.8: Normalização d A φ ( r x ) m trmos d A ( r x = a) φ. φ A é a norma do potncial magnético, r x é a distância mdida ao cntro da bobin, ao longo do ixo dos xx, a é o raio da bobin. A φ (r y )/A φ (a) 100,00 A φ (ry)/a φ (a) (%) 80,00 60,00 40,00 0,00 0, r y (a) Figura 5.9: Normalização d A φ ( r y ) m trmos d A ( r y = a) φ. φ A é a norma do potncial magnético, r y é a distância mdida ao cntro da bobin, ao longo do ixo dos yy, a é o raio da bobin. Considrmos agora a variação d A φ ao longo d y. Sja r y a distância mdida ao longo d uma rcta prpndicular ao plano da bobin, paralla ao ixo dos yy qu passa plo ponto d coordnadas ( x, y, z) = ( 0,0,0.01) m. Na Tabla A.5.4 (Anxo ao Capítulo 5) são aprsntados 5 alguns valors d A φ ( r y ) sts são comparados com A ( r = a) = Tabla A.5.4, r y é aprsntada m trmos d a. A variação d ncontra-s rprsntada na Figura 5.9. φ y Wb/m. Na A φ dscrita na Tabla A

90 Os intrvalos d intgração scolhidos foram x, y [ 0.3,0.3] m, ou sja, x, y [ 6a, 6a] com a = 0.05 m. Para r x 3a ( r ).06A ( a) A y =, A ( r x ).1A ( a), φ 0 φ (Tabla A.5.3), nquanto qu para r y 3a φ 0 φ (Tabla A.5.4). Os valors d ( r x ) A φ d ( ) r y =, A φ são fracçõs suficintmnt pqunas (10% 6%) dos valors com os quais foram comparadas, também ls muito pqunos. Not, uma vz mais, qu o valor máximo d A φ é infinito, m qualqur um dos casos. Ests rsultados prmitm concluir qu o rro comtido na scolha d [ a, a] x, y 6 6 para os intrvalos d intgração é suficintmnt pquno, liminando a ncssidad d um intrvalo d intgração maior. Além disso, a comparação dos rsultados da intgração (5.61) com os rsultados d Tofts (1990) (Scção ) prmit confirmar a validad dsta scolha Rsultados Discussão Na Tabla 5.3 é aprsntado um sumário dos rsultados m trmos dos valors máximos d dnsidad d corrnt obtidos no mio condutor, nos dois casos aprsntados (bobin paralla bobin prpndicular). Os valors obtidos na implmntação do problma m Mathmatica são comparados com os valors dscritos por Tofts (1990). Na Tabla 5.3 é ainda aprsntado o rro rlativo, ε Abs, do Mathmatica m rlação ao cálculo d Tofts (1990), dado por r Math r Tofts J J max max ε Abs = r 100. (5.70) Tofts J max O rro ε Abs (5.70) é um rro m valor absoluto rfr-s apnas à difrnça rlativa ntr os valors máximos d dnsidad d corrnt obtidos m cada caso (Tofts (1990) Mathmatica). Tabla 5.3 J r max Bobin paralla ε Abs Bobin paralla J r max Bobin prpndicular ε Abs Bobin prpndicular Mathmatica 6.86 A/m 4.04 A/m Tofts (1990) 6.8 A/m 0.88% 4.1 A/m 1.46% 88

91 Discussão dos rsultados: Da anális da Tabla 5.3 pod concluir-s qu a difrnça rlativa ntr os rsultados obtidos por Tofts (1990) os obtidos na implmntação numérica m Mathmatica é muito pquna. No caso do problma da bobin paralla à intrfac do volum condutor (problma analítico), a difrnça é infrior a 1%, nquanto qu no caso da bobin prpndicular, a difrnça rlativa é d 1.5%, valor qu ainda s pod considrar muito baixo. Pod concluir-s qu o softwar Mathmatica dá rsultados muito próximos aos do xmplo scolhido para validação (Tofts, 1990) pod assim sr utilizado para validar os rsultados do Comsol. Vrificou-s também qu o intrvalo d intgração scolhido para as variávis m (5.61) é suficint Trabalho d validação do softwar d Elmntos Finitos Modlo físico: O modlo físico implmntado para sta part do trabalho d validação é o modlo da bobin prpndicular a uma intrfac plana infinita qu spara dois mios d condutividads σ 1 σ (Figura 5.7; Tofts, 1990), já aprsntado na Scção 5.3., mas ond agora ambos os mios têm condutividads não nulas. A scolha dos valors d condutividad σ 1 σ tm como bas as condutividads médias da substância branca da substância cinznta (Scção 5..), pla rlvância qu tm, para st trabalho d doutoramnto, uma intrfac ntr sts dois mios. Assim, os valors scolhidos são σ 1 = S/m (substância cinznta) σ = S/m (substância branca). A xprssão do campo dvido à carga acumulada na suprfíci (5.61) tm agora d sr gnralizada para o caso m qu ambos os mios têm condutividads difrnts d zro. Da li da consrvação da carga léctrica através d uma suprfíci tm-s qu a componnt da dnsidad d corrnt J r r r r normal à suprfíci, i.., = J n, sndo n o vrsor normal à suprfíci, tm d sr igual dos dois lados da suprfíci, ou sja, J n J n J n 1 =. (5.71) Aplicando a li d Ohm (5.68) m (5.71), tm-s ntão o sguint ( E E ) J = σ + (5.7) 1n 1 in1 cn1 ( E E ) J = σ +, (5.73) n in cn 89

92 ond o subscrito n indica qu s trata das componnts do campo léctrico normais à intrfac, do lado do mio 1 (subscrito 1 ) do lado do mio (subscrito ). As componnts normais r r A E in1 E in são iguais a E iz, componnt cartsiana d E i = ao longo d z. Além disso, t E = E, plas próprias caractrísticas do campo léctrico dvido à carga acumulada numa cn1 cn suprfíci plana infinita. Tndo m conta sts aspctos substituindo (5.7) (5.73) m (5.71), tm-s ntão o sguint: σ 1 ( E + E ) = σ ( E E ) E iz cn1 cn1 σ = σ iz σ 1 E + σ 1 iz, cn1 (5.74) qu rprsnta a componnt normal à intrfac do campo dvido à carga no mio condutor 1. No mio condutor, tm-s σ 1 σ E cn = E iz. (5.75) σ + σ 1 Aplicando a li d Gauss, tomando o ponto d vista d um ponto P localizado no mio condutor (ou sja, z 0 ), tm-s qu a dnsidad suprficial d carga Σ qu s acumula na intrfac ntr os dois mios é (Tofts, 1990) σ 1 σ Σ = ε 0E cn = ε 0 E iz, (5.76) σ + σ 1 ond E iz ( x, y, z = ) ( x x ) 1 0 = Eiz = Aφ (5.77) ρ é a componnt sgundo z do campo induzido pla bobin num ponto arbitrário Q = ( x 1, y 1,0 ) da intrfac ntr os dois mios. Na quação (5.77), A A ( x 1, y 1,0 ) ρ = ρ ( x z ) = ( x x ) + ( ) r = ( x x y y, z) 1, z 0 r 1, 1 φ = φ (5.64),. Assim, substituindo (5.76) (5.77) m (5.61) tm-s qu o campo dvido à carga, grado num ponto P ( x, y, z) =, z 0, no caso m qu há dois mios d condutividads não nulas σ 1 σ, é dado finalmnt por r E c = r ΣdSr ω σ σ = 1 3 4πε = + 0 0r π σ z 1 σ z= 0 ( x x ) r 1 0 φ dx 3 1dy1. (5.78) A ρ r 90

93 As componnts cartsianas d E r c obtêm-s por sparação das componnts do vctor r no conjunto d quaçõs (5.78), tal como s fz para obtr (5.65) (5.67) a partir d (5.61). O campo léctrico total, E r, num ponto P ( x, y, z) t = é finalmnt dado por r E t r r = E + E. (5.79) i c Modlação m Mathmatica A implmntação m Mathmatica do problma atrás dscrito é análoga às implmntaçõs dscritas na Scção Para o cálculo numérico das três quaçõs intgrais (5.78) foram usados os msmos intrvalos d intgração (, y [ 0.3,0.3] x m) Modlação m Comsol O modlo da Figura 5.7 foi rcriado no Comsol. Os parâmtros dss modlo são os qu s dscrvm d sguida. Gomtria: A bobin ncontra-s imrsa no mio condutor 1, prpndicular à intrfac a 1 cm d distância dsta. Os dois mios condutors são parallpípdos com as sguints dimnsõs: x = 0.5 m ( r x = 5a ), y = 0.4 m ( r y 4a = ), z( mio ) = 0.19 m z( mio ) = m (portanto, r z = 5a ). Tndo m conta as Tablas A.5. A.5.3 (Anxo ao Capítulo 5), vrifica-s qu os rros comtidos na scolha dstas dimnsõs (i.., na truncagm dos intrvalos d intgração m (5.78)), m trmos do valor d A φ, são os qu s aprsntam na Tabla 5.4. F r i, ( r ) i Tabla 5.4 Dircção Variávl x y z i = x, y, z 5 a 4 a 5 a A = A φ φ ( ri ) ( a) % 18.3% 14.6% A scolha dstas dimnsõs infriors às modladas na implmntação do msmo problma m Mathmatica tv como objctivo a rdução do númro d graus d librdad do problma FEM. As difrnças ( ) r i F aumntaram d 6-10% (para r = r = a ) para crca d 15-18%, x y 6 91

94 considrando conjuntamnt a variação ao longo d x a variação ao longo d y. Embora stas novas prcntagns sjam já significativas, são prcntagns calculadas sobr valors d A φ muito pqunos (da ordm d máximo d 4 10 a 5 10 Wb/m) qu têm d sr comparados com o valor A φ, qu é infinito. Assim, considra-s qu, d um modo gral, a difrnça ntr os intrvalos d intgração no modlo implmntado no Mathmatica os intrvalos d intgração do modlo implmntado no Comsol não produz difrnças significativas no cálculo do campo léctrico E r c. Malha d lmntos finitos: Foi scolhida uma malha fina. Para a intrfac ntr os dois mios condutors foram scolhidos os sguints parâmtros: tamanho máximo dos lmntos = 0.004, taxa d crscimnto dos lmntos = 1.4. Os lmntos m torno da bobin também têm d sr spcialmnt rfinados. Para tal scolhram-s os sguints valors dos parâmtros mais rlvants: tamanho máximo dos lmntos = 0.00, taxa d crscimnto dos lmntos =.5. A malha final tm lmntos ttraédricos d 1ª ordm graus d librdad, a qualidad mínima dos global lmntos é q min = Rsultados Os valors das componnts cartsianas do campo léctrico total, E r t (5.79), obtidas nos cálculos m Comsol foram comparados com os valors quivalnts obtidos na implmntação do msmo modlo m Mathmatica, m 3 planos particulars (Tabla 5.5). Tabla 5.5 Plano Coordnadas 1 = = 3 = z m; x [ 0.05,0.05] m; [ 0.05,0.05] y m; z m; x [ 0.05,0.05] m; [ 0.05,0.05] y m; z -0.0 m; x [ 0.05,0.05] m; [ 0.05,0.05] y m; Na Tabla 5.6 ncontram-s os valors médios d três mdidas d rro, dos valors obtidos com o Comsol fac aos valors obtidos com o Mathmatica, para cada uma das componnts d E r t m cada plano considrado. Na Tabla 5.6, E k dsigna a componnt cartsiana d E r t ao 9

95 longo da dircção k ( k = x, y, z ), C E k M E k dsignam os valors da variávl E k no Comsol no Mathmatica, rspctivamnt. As mdidas d rro considradas são as sguints: 1) Valor médio do rro m valor absoluto, ε Abs, sndo ε Abs dado por C k M k M k E E ε Abs =. (5.80) E O rro m valor absoluto (5.80) dá-nos uma idia da amplitud dos dsvios da solução numérica (Comsol) fac à solução calculada m Mathmatica; ) Valor médio do rro, ε, sndo ε dado por C k M k M k E E ε =. (5.81) E O valor médio do rro ε (5.81), ε, dá-nos uma idia da alatoridad dos rros: s ε for positivo, a solução numérica stá sobrstimada fac à solução do Mathmatica s ε for ngativo, a solução numérica stá substimada fac à solução do Mathmatica. S ε 0 tms a indicação d qu o rro tm uma distribuição alatória ao longo do plano inspccionado; 3) Erro médio m rlação ao máximo, ε max, sndo ε max dado por C k M k max M k E E ε max =. (5.8) E O rro m rlação ao máximo (5.8) é o rro do Comsol m rlação a M E k max, o valor máximo da variávl corrspondnt obtido nss plano, com o Mathmatica. Esta é uma mdida d rro normalizado, m qu s substimam os dsvios C k M k E E qu stjam associados a pontos ond a amplitud da variávl E k sja muito pquna. A anális da Tabla 5.6 prmit tcr algumas considraçõs. Vrifica-s, ants d mais, qu os rros associados a E y são muito lvados. Ests rros são justificados plo facto d E y sr uma variávl cujos valors tóricos, nas rgiõs inspccionadas, são muito pqunos. Por xmplo, r no plano z = , tm-s qu E 5.8%, ond a norma do campo léctrico ating o E y 93

96 valor máximo d E r max 36 V/m. O softwar d lmntos finitos tnd a sobrstimar as variávis nos locais ond os sus valors tóricos sjam nulos ou muito próximos d zro. Est é o caso da variávl E y. Os rros ε Abs ε associados a E y (Tabla 5.6) são muito lvados. No ntanto, quando s inspcciona o rro m rlação ao máximo, ε Abs (6ª coluna, Tabla 5.6), vrifica-s qu o su valor médio para valor máximo d E y é muito próximo d zro. O facto d o E y, m cada plano considrado, sr pquno m rlação à norma do campo léctrico (vr C y E, ª coluna da Tabla 5.6) mostra qu, apsar d os rros ε Abs ε max associados a E y srm muito lvados, os dsvios C y M y E E têm amplituds muito pqunas pouco importants quando comparadas com a amplitud da norma do campo léctrico. Tabla 5.6 Plano 1 Plano Plano 3 E k C E k max (V/m) ε Abs ± s ε (%), sndo ε Abs = C k E E E M k M k ε ± s ε (%), sndo ε = C k E E E M k M k ε max ± s ε (%), sndo ε max C k M k E E = E E x ± ± ± 1.54 E ± ± ± 37 y E z ± ± ±.9 E x ± ± ±.5 E.4 87 ± ± ± 49 y E z ± ± ± 6.3 E x ± ± ± 3.7 E ± ± ± 76 y E z 8 0 ± ± ± 8.8 max M k Os rros mais lucidativos nst studo são os qu dizm rspito a E x a E z. Nos planos 1, sts rros têm valors médios rlativamnt baixos (Tabla 5.6). Ests são os planos mais rlvants da comparação, uma vz qu, pla sua proximidad à intrfac ntr os dois mios, são os planos ond os lmntos finitos têm dimnsõs mais próximas das dos lmntos finitos na rgião do sulco no modlo aprsntado nsta ts (Figura 5.). Nsts planos, o rro médio m valor absoluto ating valors máximos d 1.8% (valor d ε Abs para E z, Tabla 5.6, coluna 3); no ntanto, o rro médio (coluna 4) o rro médio m rlação ao máximo (coluna 5) têm valors muito infriors. 94

97 Tabla 5.7 Plano d comparação Tamanho médio, h (mm) Qualidad média, q ε Abs ± s ε (%), sndo ε Abs = C E E E M M ± ± ± 3.8 Na Tabla 5.7 aprsntam-s os valors médios do rro m valor absoluto o rspctivo dsvio padrão, ε Abs ± s, corrspondnt à norma d E r t, E, m cada plano d comparação, bm ε como a qualidad tamanho médios, q h, rspctivamnt, dos lmntos finitos nsss planos. Uma vz mais, os índics C M idntificam os valors da norma do campo léctrico calculados no Comsol no Mathmatica, rspctivamnt. A stimativa d rro forncida pla mdida ε Abs dá-nos a margm suprior do rro. Assim, podmos ntão concluir qu os valors d rros médios globais do modlo d validação m Comsol, na rgião d intrss, variam ntr 4 6%. Comparação da qualidad do tamanho dos lmntos da malha no modlo do sulco com os da malha no modlo d validação: A stimativa aqui aprsntada para a qualidad da solução no modlo do sulco (Figura 5.), basia-s na qualidad tamanho médio dos lmntos finitos na rgião [ 0.005,0.005] y [ 0.05,0.05] m z [ 0.041, 0.0] x m, m, qu é a part da ROI qu inclui xclusivamnt o sulco. Portanto, a rgião inspccionada tm d xtnsão as sguints dimnsõs: (, y, z) = ( 1.0,5.0,.1) x cm. Nsta rgião, tmos ntão qu h 1.1 mm com pquna disprsão m torno dst valor médio (Figura 5.10), q = 0.75, sndo qu o valor sulco sulco mínimo da qualidad dos lmntos nsta rgião é q min = sulco 95

98 Figura 5.10: Histograma da disprsão d tamanhos h (m) dos lmntos finitos no sulco. No qu toca ao fito da qualidad dos lmntos na qualidad da solução, há qu garantir apnas qu a qualidad d cada lmnto sja suprior a 0.1, como já foi rfrido antriormnt (Scção 5..5). No qu diz rspito ao tamanho dos lmntos (parâmtro crítico na qualidad da solução), comparando o valor rfrnt ao modlo do sulco com o valor rfrnt ao modlo d validação (Tabla 5.7) vrifica-s qu os lmntos da malha do modlo do sulco na part da ROI agora dstacada, são bastant mais pqunos: uma mlhoria d 5-8 mm para crca d 1 mm, s utilizarmos para a comparação apnas os planos 3 (Tabla 5.6 Tabla 5.7). Estas comparaçõs sugrm qu o rro na solução do modlo do sulco, na rgião analisada, é infrior ao rro do modlo d validação, nas rgiõs considradas (Tabla 5.5). Pod assim sr aprsntada uma stimativa sgura para ss rro médio na rgião do sulco, qu srá, no máximo, d 10%. 96

99 Capítulo 6: Pós-Procssamnto dos Rsultados do Modlo d Elmntos Finitos para o Cálculo dos Mcanismos d Activação da TMS 6.1. Introdução O prsnt capítulo dscrv todo o trabalho lvado a cabo para o cálculo da magnitud dos vários mcanismos d activação possívis m TMS, no modlo do sulco (Figura 5.), a partir da solução numérica do problma. A ncssidad d lvar a cabo st trabalho d pósprocssamnto dos dados FEM dvu-s ao facto d qu, na altura da ralização dst trabalho, o softwar Comsol não dispunha d lmntos finitos d ª ordm, impossibilitando a obtnção das drivadas parciais do campo léctrico, ncssárias para o cálculo dos mcanismos d activação (3.5) (3.9). O trabalho aqui aprsntado consistiu no cálculo das drivadas parciais E ij E i = das x j componnts cartsianas E i ( i = x, y, z ) do campo léctrico, a partir da solução numérica obtida m Comsol, rcorrndo a ajusts d funçõs drivação analítica das msmas. A drivação analítica dos ajusts é o método mais apropriado para obtr boas stimativas d uma vz qu os dados numéricos não têm uma variação suav da amplitud, plo qu uma drivação discrta dos msmos rsultaria m drivadas d amplitud muito lvada. Para o procsso d ajusts d funçõs aos dados, foram dsnvolvidos vários algoritmos m MATLAB, cujo funcionamnto é dscrito ao longo das várias scçõs dst capítulo, cujo código s ncontra transcrito no Anxo ao Capítulo 6 (Anxos A.6. a A.6.7). E ij Nas várias scçõs dst capítulo são aprsntados os sguints tmas: 1) Dados ncssários para a obtnção dos mcanismos d activação da TMS; ) Frramntas ncssárias para a xportação dos dados do Comsol para o MATLAB pré-procssamnto dsss dados como prparação dos msmos para o procsso d cálculo das drivadas; 3) Método dsnvolvido para o ajust d funçõs aos dados para a subsqunt obtnção das drivadas parciais;, finalmnt, 4) Problma do ruído numérico nos dados método d corrcção dsnvolvido. 97

100 6.. Dados ncssários para o cálculo dos mcanismos d activação Os mcanismos d activação Como foi visto no Capítulo 3, há vários mcanismos d activação, rprsntados nas quaçõs (3.5) (3.9). Nas condiçõs spcificadas no Capítulo 3 (Scção 3.), sss mcanismos d activação são soluçõs particulars da quação (3.4), associadas às difrnts configuraçõs gométricas do nurónio m rlação ao campo léctrico E r, qu podm dar origm a uma drivada spacial, E x x, da componnt E x do campo léctrico, m rlação ao ixo ( x ) do nurónio. Em todos os mcanismos d activação, stá prsnt uma d duas funçõs: ou a componnt do campo léctrico m rlação ao ixo do nurónio, ou a drivada parcial dssa msma componnt m rlação a ss ixo. Figura 6.1: Dtalh d uma circunvolução cortical, com rprsntação das dircçõs prfrnciais dos nurónios. A componnt do campo léctrico tangncial ao ixo d um nurónio coincid com E s o nurónio é prpndicular ao córtx, coincid com E t s o nurónio é tangncial ao córtx. Adaptada d Silva t al. (008). Como foi visto no Capítulo (Scção..), há duas orintaçõs prfrnciais dos ixos dos nurónios corticais m rlação à suprfíci do córtx: a dircção tangncial, ou paralla, a dircção prpndicular, ou normal. Pod assim dizr-s qu, d um modo gral, ond qur qu um nurónio s ncontr, dntro da ROI (vr Scção 5.), l stará alinhado sgundo a normal ao córtx ou sgundo uma dircção tangncial (Figura 6.1). Esta organização clular torna possívl projctar as funçõs d activação da TMS ao longo dssas duas dircçõs, m rlação à suprfíci do córtx (Silva t al., 008). Assim, m vz d calcular as projcçõs das funçõs d activação m rlação à dircção do ixo d cada nurónio, stas são projctadas, m cada ponto n 98

101 ( x, y, z) da ROI, m rlação às dircçõs normal, n r r r n( x, y, z), tangncial, r ( x, y, z ) associadas à gomtria do córtx Cálculo das projcçõs das funçõs d activação Projcçõs normais das funçõs d activação: r, A normal à suprfíci do córtx, m cada ponto dssa suprfíci, é dada por um vctor unitário n r qu só tm componnts no plano xoz : r r r n = n + n. (6.1) x x z z A componnt do campo léctrico normal à suprfíci do córtx, r r E = E n = E n + E n x x z n z E n, é ntão dada por:. (6.) As gnralizaçõs dos mcanismos d activação (3.5) (3.9) para células alinhadas sgundo a normal à suprfíci do córtx obtêm-s pla substituição d quaçõs. A projcção d E r ao longo do vctor unitário n r é dada por E x por r r r T r projr E = n ( E)n, (6.3) ond n T n r é a transposta d n r (m rprsntação matricial). A projcção d n r r r, n ( T r E)n, é a gnralização da drivada dirccional E n nssas msmas E r na dircção d E x qu surg na quação (3.5), x plo qu a amplitud da dspolarização V sofrida num ponto do nurónio dvido a sta drivada dirccional do campo léctrico passa a sr dada por r r T r ( n ( E) n) V = λ. (6.4) A quação (6.4) é a gnralização d (3.5) para nurónios prpndiculars à suprfíci do córtx. As gnralizaçõs das quaçõs (3.5) (3.9) são ntão dadas por: V = λe n, (6.5) para a dspolarização qu ocorr nas trminaçõs das fibras nuronais; E n V = λ, (6.6) 99

102 para a dspolarização qu ocorr m dobras acntuadas dos axónios; E V = λ n, (6.7) para a dspolarização qu ocorr nas intrfacs ntr dois mios d condutividads distintas;, finalmnt, V = E n rb ra λa ra r xp, (6.8) rb λa λ b para a dspolarização qu pod ocorrr num ponto d variação do diâmtro da fibra nuronal ou sja, uma ramificação ond r é a posição dss ponto ao longo do ixo n r do nurónio, ra r b são os raios da fibra ants dpois da bifurcação, rspctivamnt, constants d comprimnto da fibra, ants dpois da bifurcação. λ a λ b são as Construção do mapa d vctors n r : O mapa d vctors n r normais à suprfíci do sulco foi rcriado artificialmnt foi stndido a todo o volum do sulco até 3 mm para fora do sulco, na dircção da substância branca, até 1 mm para cima do sulco, na dircção do CSF. Isto prmit inspccionar os valors das projcçõs normais das funçõs d activação dntro fora do sulco, não só na suprfíci dst. O modlo do sulco cortical usado nst trabalho é ralista m trmos das dimnsõs (profundidad spssura), mas tm uma gomtria stilizada, rgular simétrica m rlação ao plano x = 0. Na Figura 6., ond pod sr aprciada a gomtria do sulco no plano xoz, são dstacados os três pontos, P 1, P P 3, a partir dos quais s dfinm os raios d curvatura do sulco. O squma d construção da normal n r na matriz d coordnadas do MATLAB é o sguint: Sjam P 1 = ( x z ), P = ( x z ) 3 ( x z ) 1, 1 gomtria do sulco (Figura 6.). A normal ( ) ], 0.019[, z z 1 m é dada por (6.9) r n 1 1 ( x, z) = ( n, n ) =, x z x x α z z α P = 3, 3 os cntros dos raios d curvatura da r n x, z x x 1,0 num ponto ( z) x, tal qu ] [, (6.9) sndo 100

103 1 x) + ( z1 ) α = ( x z (6.10) a constant d normalização. Figura 6.: Gomtria -D do modlo do sulco cortical. Dstaqu para os pontos P 1, P P 3 qu dfinm os raios d curvatura da gomtria. A normal m qualqur ponto ( x, z) tal qu x ] 0, x [ ] z, 0.019[ análoga, porqu ( ) z obtém-s d forma x, z é o cntro do raio d curvatura dssa rgião da gomtria do sulco. No r x x α z 3 3 fundo do sulco, a dfinição é n( x, z) =, rgiao 4 z α, para a msma dfinição d α (6.10) (vr dfinição da rgião 4 do sulco na Figura a.6.1, Anxo A.6.). Nas rgiõs rctas do córtx, a normal só tm uma componnt, n x ou n z, consoant o caso. Os dtalhs do algoritmo para a criação dst mapa ncontram-s m Anxo (algoritmo: matriz_n; Anxo A.6.). As componnts n x n foram assim rcriadas como matrizs d pontos z dfinidas na ROI, mbora só tnham valors difrnts d zro nas rgiõs spcificadas. As duas matrizs podm sr visualizadas m simultâno como campo vctorial, como s mostra nas Figuras O cálculo das projcçõs normais d E r d matriciais E * i. nk E ij * nk matricial rprsntada por ( ) ij b ij E r rduz-s assim ao cálculo dos produtos., rspctivamnt, com k = x, z i, j = x, y, z. A opração A.* B, usada nst caso, consist na multiplicação das ntradas a, corrspondnts, m matrizs A m n B m n do msmo tipo; ou sja, s C m n = Am n * Bm n., ntão cij = aij bij. 101

104 Figura 6.3: Dtalh do mapa da normal às suprfícis do córtx construído com o script matriz_n. O gráfico quivr ( x, z, n x, n z ) é uma rprsntação -D das componnts vctoriais n x n z. Figura 6.4: Mapa da normal ao córtx no fundo do sulco. Projcçõs tangnciais das funçõs d activação: Enquanto qu a dircção normal a uma suprfíci é dfinida, m cada ponto, por um vctor unitário n r, a tangnt à suprfíci, m cada ponto, é dada por um plano. Uma vz qu não xist uma dircção tangnt única, as projcçõs tangnciais qu aqui s aprsntam rsultam das scolhas qu s fizram. 10

105 Sja γ o plano tangnt à suprfíci do córtx m cada ponto P ( x, y, z) r r, t, sndo r = ( 0,1,0 ) r, sndo t = (,0, ) (Figura 6.5). O conjunto d vctors ( ) y y = da suprfíci cortical t x t z unitário tangnt à suprfíci do córtx m cada ponto, constitui uma bas no plano γ. um vctor Para o campo léctrico foi dcidido considrar como componnt tangncial, projcção d E r r sgundo a bas d vctors (, t ) y r. Assim, E t, a norma da r r r r Et = E y y + Ett t = E y r r E = E + t y y r r ( E t ) ( E t + E t ) t. x x y + z z r t r (6.11) A gnralização do mcanismo d activação (3.6) para células tangnts à suprfíci do córtx é ntão dada por V = λe t, (6.1) sndo r E t E = t a norma do vctor t E r. Figura 6.5: Projcção do vctor campo léctrico E r no plano γ, tangnt à suprfíci do córtx no ponto P. Na insrção stão rprsntados: os vctors t r vctor projcçõs d E r t, qu é a projcção d E r no plano γ, ainda os vctors E r t sgundo r y sgundo t r, rspctivamnt. r y, qu constitum uma bas para o plano γ, o E r y E r tt, qu constitum as Para o gradint E r do campo léctrico foi dcidido considrar a componnt tangncial d E r ao longo da qual st é máximo. Essa dircção tangncial é dada m cada ponto por um 103

106 r r r,. A dircção dst vctor, para cada ponto P da ROI, foi vctor r = ( rx ry, rz ) = α t + β y dtrminada com rcurso ao método dos Multiplicadors d Lagrang (Anxo A.6.1). A gnralização da quação (3.5) para células dispostas tangncialmnt à suprfíci do córtx é, assim, dada por r r T r ( ( E) ) V = λ, (6.13) análoga a (6.4), mas ond r, nst contxto, dfin a dircção tangnt à suprfíci do córtx, m cada ponto, ao longo da qual E r é máximo. Os mcanismos (3.7) (3.8) não têm parallo na dircção tangnt à suprfíci do córtx, o mcanismo (3.9) não srá analisado nst studo. Construção do mapa d vctors t r : O mapa d vctors t r foi construído d forma análoga ao mapa d vctors n r. Os dtalhs da programação ncontram-s m Anxo (algoritmo: matriz_t; Anxo A.6.3) Cálculo das drivadas parciais d 1ª ordm das componnts do campo léctrico As drivadas parciais d 1ª ordm, E ij E i = ( i j x, y, z x j, = ), das componnts cartsianas do campo léctrico foram calculadas por ajusts d funçõs drivação analítica das funçõs ajustadas. O cálculo dstas drivadas tv m conta as caractrísticas dos dados, qu uma anális prévia prmitiu rvlar. Por um lado, as componnts homogénas do campo léctrico induzido, E h i Ai = ( i = x, y, z ), qu no contxto dst trabalho dsignarmos por campo t léctrico homogéno, ou simplsmnt campo homogéno, têm uma variação spacial contínua aproximadamnt quadrática, como a Figura 6.6 xmplifica. Assim, spra-s qu stas componnts do campo léctrico homogéno possam sr bm ajustadas por polinómios d baixo grau. Por outro lado, as componnts E c i φ = ( xi = x, y, z ) do campo léctrico dvido à x carga acumulada, qu aqui dsignarmos por campo léctrico htrogéno, ou simplsmnt campo htrogéno, são dscontínuas há vidências d qu o su dcaimnto a partir das intrfacs é bm ajustado por uma xponncial (Miranda t al., 007). Em conjunto, stas vidências sugrm sr provitoso ajustar sparadamnt cada uma das componnts do campo léctrico (homogéna htrogéna) somar o rsultado no final. i 104

107 Figura 6.6: Variação da componnt homogéna d pod sr ajustada por um polinómio d º grau Dados a xportar do Comsol E x, h E x, ao longo do ixo dos xx. Esta variação Os dados ncssários para o cálculo dos mcanismos d activação (6.4) (6.8), (6.1) (6.13), xportados do Comsol para o MATLAB foram os sguints: as coordnadas ( x y, z),, as r r A componnts cartsianas do campo léctrico homogéno, E h =, as componnts t r r A cartsianas do campo léctrico total, E = φ, as condutividads léctricas, σ. As t condutividads foram utilizadas para idntificar a posição das intrfacs do modlo m cada linha m cada coluna, fctuar ajusts indpndnts ntr cada duas intrfacs conscutivas. Os dados foram rtirados xclusivamnt da ROI, rgião d dstaqu rfrida no Capítulo 5. Os intrvalos d variação das coordnadas da matriz d xportação dos dados comprndm toda a xtnsão da ROI o spaçamnto ntr dois pontos conscutivos é constant ao longo das 3 dircçõs, é dado por x i = 0.5 mm ( x i = x, y, z ). Intrvalos d variação das coordnadas: Vrificou-s, m tsts prliminars, qu o Comsol xporta com alguns rros os dados nas intrfacs qu ocorrm ao longo da dircção x. Dado qu o campo léctrico é dscontínuo nssas intrfacs, o softwar d lmntos finitos produz três valors para cada componnt cartsiana intrfac, E i do campo léctrico m cada ponto d uma intrfac: E i _ up num dos lados da E i _ down no lado oposto, ainda E i, o valor médio. No procsso d xportação dos dados, o valor atribuído a E i nos pontos d uma intrfac não stá bm dfinido surg uma 105

108 mistura dos três valors possívis. Assim, a matriz d coordnadas para xportação foi construída d modo a vitar o maior númro possívl d sgmntos dssas intrfacs. As intrfacs vitadas são as pards vrticais do sulco, ou sja, os pontos x = ± m x = ±0.001m, para z [ 0.04, 0.039] m (vr, por xmplo, Figura 6.). Assim sndo, os intrvalos d variação scolhidos para as coordnadas foram os sguints: x [ ,0.0167] m, z [ , ] m [ 0.05,0.05] y m. Como x = 0.5 mm ( x i = x, y, z ), tm-s assim um total d pontos. Esta scolha d coordnadas xplica o pquno dsvio da posição da ROI m rlação ao ixo d simtria da bobin, tal como s pod vr na insrção 1 da Figura 5. (Capítulo 5). É d rfrir qu os valors máximos ou mínimos do campo léctrico consoant a condutividad léctrica do subdomínio m qustão ocorrm nas intrfacs. No ntanto, uma inspcção a algumas linhas d dados prmitiu vrificar qu a prcntagm d amplitud do campo léctrico qu s prd m cada subdomínio, ao vitar as intrfacs, é pquna (1%, no máximo). i 6.3. Exportação Pré-procssamnto dos dados A matriz dos pontos ( x y, z), da ROI da qual s prtnd xportar os valors d campo léctrico d condutividads léctricas foi criada no MATLAB usando os sguints algoritmos: 1) matriz_input, qu gra os vctors d coordnadas coordx, coordy coordz, qu srvm d input ao algoritmo scrvfl_1; ) o algoritmo scrvfl_1, qu, usando os valors das variávis coordx, coordy coordz, constrói uma matriz d coordnadas tridimnsional com o formato rqurido pla frramnta d xportação do Comsol. Os algoritmos matriz_input scrvfl_1 foram gntilmnt cdidos por Ricardo Salvador ncontram-s transcritos m Anxo (Anxo A.6.4). Manusamnto dos dados xportados: Os dados xportados do Comsol foram arrumados m arrays 3D para srm mais facilmnt manusados no MATLAB. O script é arruma_dados (vr Anxo A.6.5). O array tridimnsional do MATLAB é uma matriz A = ( a ijk ) com três índics: i, índic d linha; j, índic d coluna; k, ao qual podmos dsignar por índic d folha (vr Figura 6.7). Nsts arrays, foi scolhido arrumar os dados d forma qu a organização spacial dos msmos no modlo físico do córtx crbral (Figura 5.) sja prsrvada, stablcndo a sguint analogia ntr as coordnadas cartsianas as dimnsõs do array: 106

109 Variação ao longo d uma linha ( j, j + 1, j +, ) variação ao longo do ixo dos xx ; Variação ao longo d uma coluna ( i, i + 1, i +, ) variação ao longo do ixo dos zz ; Variação ao longo das folhas ( k, k + 1, k +, ) variação ao longo do ixo dos yy. A Figura 6.7 ilustra a construção do array para os valors da coordnada x. Vmos qu os coficints x ijk da matriz X só dpndm do índic d coluna, j ( ijk x j x = ), ou sja, só variam ao longo d uma linha. Os rstants arrays são construídos d forma análoga, com as dvidas adaptaçõs. Figura 6.7: Rprsntação squmática da organização dos dados no MATLAB. A organização spacial dos dados no Comsol é rcriada nos arrays do MATLAB, fazndo corrspondr o ixo dos xx às linhas do array X, o ixo dos zz às colunas, o ixo dos yy à 3ª dimnsão do array. Como srá visto na Scção 6.4, o ajust d funçõs para o cálculo das drivadas parciais E x i j vai sr fctuado, indpndntmnt, ao longo d cada linha, para calcular as drivadas m ordm a x, ao longo d cada coluna, para calcular as drivadas m ordm a z. Para o cálculo das drivadas m ordm a y, a organização dos arrays muda, para facilitar os ajusts d funçõs ao longo d y. Os arrays passam a tr o sguint parallo gométrico: Variação ao longo d uma linha ( j, j + 1, j +, ) variação ao longo do ixo dos xx ; Variação ao longo d uma coluna ( i, i + 1, i +, ) variação ao longo do ixo dos yy ; Variação ao longo das folhas ( k, k + 1, k +, ) variação ao longo do ixo dos zz. 107

110 Os arrays d dados nst trabalho têm a organização A = N N N, qu considrarmos z x y como sndo a organização por dfito. Para transformar o array A num array Ap = N N N, adquado para os ajusts m y, usa-s o comando prmut. A instrução y x z Ap = prmut(a,[3 1]) prmit fctuar no array A a transformação dsjada. Dpois d fctuar sta prmutação dos vários arrays d dados, os ajusts são ralizados ao longo das colunas, para postriormnt obtr as drivadas ao longo da dircção Oy. Possívis rros no procsso d xportação dos dados: Nas matrizs xportadas do Comsol acontc, por vzs, alguns lmntos da matriz srm substituídos por NaN (do inglês Not a Numbr ). Est é um rro qu s julga star associado ao procsso d xportação. Como o rro ocorr sporadicamnt, o procsso d corrcção adoptado é smi-automático. Criou-s um algoritmo com um critério d corrcção gral: if E x ( i j, k ) E x nd, == NaN 1 = x x x x ; (6.14) 4 ( i, j, k) ( E ( i + 1, j, k) + E ( i 1, j, k) + E ( i, j + 1, k) + E ( i, j 1, k) ) Esta corrcção prssupõ qu não há nnhum NaN ntr os primiros vizinhos do ponto ( i, j k). Os pontos ( i j, k) E x,, da matriz E x qu não vrifiqum sta condição, podm sr corrigidos manualmnt, atribuindo-lhs o valor médio dos primiros vizinhos na msma linha ou dos primiros vizinhos na msma coluna Ajust não linar d funçõs Introdução Como já foi rfrido, as componnts homogénas do campo léctrico são contínuas aprsntam, d um modo gral, uma variação spacial simpls, qu pod sr bm ajustada por polinómios d baixo grau. Assim, ao longo d cada linha d cada coluna, a variação spacial d h E i é dfinida por um único polinómio. Por sua vz, as componnts c E i do campo dvido à carga léctrica acumulada nas intrfacs aprsntam uma variação spacial qu, m primira B( x x ) aproximação, pod sr tomada como sndo uma xponncial do tipo ( ) f x = A 0 + C qu dcai com a distância à intrfac x 0. D um modo gral, vrifica-s ntão qu as componnts 108

111 c E i são dscontínuas m cada intrfac, plo qu é ncssário ajustar uma curva difrnt ntr cada duas intrfacs conscutivas. Tndo m conta sts aspctos, optou-s também por ajustar as componnts homogénas htrogénas do campo léctrico sparadamnt. Nsta Scção 6.4 são aprsntadas as tapas grais d programação conducnts ao cálculo analítico das drivadas parciais E ij do campo léctrico, na primira fas dss procsso. Numa sgunda fas, stas drivadas são postriormnt sujitas a mlhoramntos, qur por corrcção d ruído numérico (ruído nos dados provnints do Comsol) d picos spúrios nas drivadas sndo qu ambos os tipos d ocorrências são, nst contxto, ntndidos como ruído qur por substituição das funçõs d ajust por outras mais adquadas, nas linhas nas colunas ond a qualidad dos primiros ajusts sja baixa. Nsta scção é dscrito o método d dtcção das intrfacs o método d ajust scolhido, dstacando alguns dtalhs dos algoritmos dsnvolvidos as particularidads d cada função E ( x ) E qu afctam a scolha das funçõs d ajust. O método d corrcção do ruído o mlhoramnto dos ajusts srão abordados nas scçõs sguints (Scçõs ) Squência gral d opraçõs i i j O trabalho d cálculo analítico d cada uma das 9 drivadas parciais E ij comprnd uma squência d tapas. Foram dsnvolvidos vários algoritmos, sndo alguns comuns ao cálculo d difrnts drivadas, nquanto qu outros são spcíficos para cada drivada. Para ilustrar o procsso do cálculo d cada uma dstas drivadas, aprsnta-s d sguida a squência d tapas particularizada ao cálculo d stablcndo m simultâno o parallo com o cálculo d E xx E x =, com indicação do nom do algoritmo usado, x E xz Ex =. z Todos os algoritmos aqui rfridos ncontram-s nos Anxos A.6.6 A.6.7 (Anxo ao Capítulo 6). Assim, a squência gral d opraçõs conducnts ao cálculo d E xx é a sguint: 1 Sparar as componnts homogéna htrogéna d E x, componnt cartsiana do campo léctrico total ao longo d x : h c h c ajustar: ( x, ) ( x, ) ( ( z, ) ( ) E x E x x h x c x E = E + E. Passamos assim a tr dois conjuntos d dados a E x z, ). Todas as variávis grandzas físicas usadas E x nst trabalho são idntificadas no MATLAB por ltras maiúsculas. Assim, os conjuntos d h c dados ( x, ) ( ) E x x, podm também sr rfridos por ( X, EXH ) ( X, EXC) ( ( EXH ) E x Z, 109

112 ( Z, EXC) ), rspctivamnt. Para todos os outros conjuntos d dados são adoptadas notaçõs idênticas. Dtctar as intrfacs qu ocorrm m cada linha (coluna) das matrizs d dados rlativas ao c c campo htrogéno, ( x, ) ( ( ) E x z, ). O algoritmo é splitlin_x. E x 3 Ajustar a componnt homogéna, h E x, por um polinómio d baixo grau calcular a drivada analítica dss polinómio. O algoritmo é calcula_dxx. 4 Efctuar um ajust xponncial indpndnt m cada sgmnto d dados ( X ( i, j : j + m, k ), EXC( i, j : j + m, k )) ( ( Z ( i : i n, j, k), EXC( i : i + n, j, k) ) + ), com m + 1 ( n + 1) lmntos, dfinido ntr cada duas intrfacs ou ntr um dos xtrmos da linha (coluna), a intrfac mais próxima; d sguida, calcular as drivadas analíticas das funçõs ajustadas aos dados. O algoritmo usado é o calcula_dxx, qu, para fctuar sts cálculos, chama as funçõs fitcurv1, fitcurv fitcurvdmo_5. 5 Vrificar s há ruído numérico assinalávl nos dados /ou picos d amplitud anómalos nas drivadas; d sguida, corrigir as ocorrências d ruído. O algoritmo é corrig_dxx. 6 Rptir as tapas 3 5, mas apnas nas linhas (colunas) d dados ond tnha sido dtctado ruído. O algoritmo é calcula_dxx_small, qu chama as funçõs fitcurv1_small, fitcurv_small fitcurvdmo_5. 7 Avriguar a qualidad dos ajusts mlhorar os qu não têm qualidad suficint. O algoritmo é myrunstst_x. 8 Somar as duas parts, homogéna htrogéna, d cada drivada parcial. A notação mprgu para as variávis é aprsntada com mais dtalh nos comntários insridos no código d cada algoritmo (Anxos A.6.1 a A.6.7). Como foi rfrido, a lista d tapas atrás dscrita é comum ao cálculo das 9 drivadas parciais das componnts do campo léctrico. Faz-s notar apnas qu, no caso d qualqur ajust (tapa ) uma vz qu, toricamnt, E = 0. h z h E z, não s fctua Dtcção das intrfacs Uma vz qu o campo htrogéno é dscontínuo apnas nas intrfacs do modlo do sulco, uma vz qu stas dscontinuidads têm d sr prsrvadas no procsso d ajust d funçõs, os 110

113 dados foram submtidos a um algoritmo qu os dispõ d forma a vidnciar ssas msmas intrfacs, para qu possam sr facilmnt idntificadas plos algoritmos d ajust d funçõs. As intrfacs, ao longo d cada linha ou ao longo d cada coluna, são idntificadas com rcurso à matriz d condutividads léctricas. No modlo do sulco ao longo d uma linha (dircção x ) há no máximo 4 intrfacs. Ou sja, cada linha das matrizs d dados trá, no máximo, 5 subconjuntos d dados, cada um ajustado por uma função difrnt. Em contrapartida, m todas as colunas das matrizs d dados há intrfacs, plo qu cada coluna srá dividida m 3 subconjuntos d dados, cada um ajustado por uma função difrnt. Para fctuar a idntificação das intrfacs ao longo d x prparar os dados para srm ajustados ao longo das linhas, foi criado o algoritmo splitlin_x, ao qual foi dada a strutura d função. A idntificação das intrfacs ao longo d z (colunas) é fctuada por outra função, qu s omit por sr análoga a splitlin_x. splitlin_x A função splitlin_x cria as struturas xdata, ydata x int, qu são arrays d pontos, rlativos às coordnadas aos dados na ROI. Sja ( ) A = um array d dados sja Adata o array qu rsulta da opração splitlin_x[a]. Nsta opração, cada folha A ( :, k) :, do array A é dividida m 5 novas folhas: (:, :, k) Adata( :,:,5 * ( k 1) + 1:5 * ( k 1) + 5) A. (6.15) Em cada linha i d uma folha Adata (:, :, p) só há valors válidos d A ( :, k) a ijk :, ntr duas intrfacs conscutivas do modlo gométrico ou ntr uma intrfac um dos limits da matriz ( i = 1 ou = 61 i ). As rstants posiçõs ( i, j, p) d Adata ( :, p) :, são prnchidas com NaN. A Figura 6.8 ilustra st procdimnto, aplicado ao array d coordnadas X, para o qual o array d output é xdata (vr Anxo A.6.6). O conjunto d valors d condutividad léctrica prsnts na matriz SIGMA tm cardinal igual a 3, qu são os valors σ CSF = 1,79, σ GM = 0,33 σ WM = 0,15 (vr Scção 5..3). O algoritmo prcorr cada linha das matrizs d dados até ncontrar uma difrnça ntr os valors d condutividad. O ciclo básico nst procsso é da sguint forma: whil (abs(sigma(i,j)-sigma(i,j-1))<0.01)&&(j<61) j=j+1; (6.16) nd xdata(i,1:j-1,(h-1)*5+1)=x(i,1:j-1,h); ydata(i,1:j-1,(h-1)*5+1)=exc(i,1:j-1,h); 111

114 Figura 6.8: Esqumatização do funcionamnto do algoritmo splitlin_x. Cada folha da matriz original X, X(:,:,k), é dividida m 5 novas folhas, xdata(:,:,5*(k-1)+1:5*(k-1)+5). A matriz xdata(:,:,p), com p = 5*(k-1)+1:5*(k-1)+5, só tm valors d X até à primira intrfac d cada linha (a cinznto ou a colorido na figura da dirita); as rstants posiçõs das linhas d xdata(:,:,p) são prnchidas com NaN (a branco na figura da dirita). O ciclo é intrrompido quando abs(sigma(i,j)-sigma(i,j-1))>=0.01, ou sja, quando a intrfac é dtctada. Quando a intrfac é dtctada, todos os valors d xdata d ydata dsd a intrfac antrior até à prsnt intrfac são igualados aos corrspondnts valors da matriz X da matriz EXC, rspctivamnt. Consoant o valor d j (númro d coluna) no momnto da intrrupção do ciclo antrior, o algoritmo dcid s continua a avançar ao longo d uma linha ou s pára avança para a linha sguint. Not qu o algoritmo stá scrito m função do conhcimnto prévio d qu cada linha tm 0, ou 4 intrfacs. O output da função splitlin_x é sguidamnt dado d input à função calcula_dxx, para o ajust d funçõs cálculo da drivada E xx Ajust d funçõs O Método dos Mínimos Quadrados para o ajust d funçõs Os ajusts aos dados foram ralizados utilizando o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Sja { y i } o vctor das obsrvaçõs (dados) sja { i } d coordnadas { x i }. A difrnça ntr y i ŷ o vctor da função ajustada nos pontos ŷ i dsigna-s por rsíduo, i. Rsumidamnt, o método dos mínimos quadrados consist na minimização da soma, S, do quadrado dos rsíduos, ou sja, a minimização d 11

115 S = n i= 1 n ( yi yi ) = ˆ, (6.17) i i= 1 ond n é o númro d pontos no vctor d dados { y i }. Para os ajusts às componnts homogénas do campo léctrico, utilizou-s a função polyfit do MATLAB, uma função d ajust d polinómios plo MMQ. O uso da função polyfit rqur apnas qu o utilizador spcifiqu o grau do polinómio a ajustar. Para os ajusts às componnts htrogénas do campo léctrico, os algoritmos dsnvolvidos mprgam a função fminsarch, uma função d minimização do MATLAB. O código d implmntação da função fminsarch foi adaptado d um script d xmplo qu pod sr ncontrado no manual do utilizador. A função fminsarch mprga o método Nldr-Mad ( Nldr-Mad Simplx Mthod ; Lagarias t al., 1998) prmit ajustar qualqur tipo d curva aos dados. O uso d fminsarch para o ajust d uma dada curva ŷ aos dados, y, tm a sguint sintax: x = fminsarch(fun,x 0,options), (6.18) ond x é a solução, ou sja, os valors dos parâmtros da curva ŷ qu minimizam a função fun. A função fun é dada prcisamnt pla soma dos quadrados das difrnças (6.17), ou sja, fun = S = ( ) n i= 1 y i yˆ i. (6.19) Ainda na xprssão (6.18), x 0 é o vctor das stimativas iniciais para os valors dos parâmtros d fun, nquanto qu options rprsnta a dclaração dos parâmtros d fminsarch. S options não for dclarado xplicitamnt, são utilizados os valors por dfito do MATLAB. A função d minimização fminsarch part da stimativa inicial x 0 dos parâmtros vai tstando outros valors, itrativamnt, até qu o rro comtido na aproximação d y por ŷ sja infrior ao limit imposto plos parâmtros TolFun TolX, tolrância d trminação no valor da função (fun) tolrância d trminação no valor dos parâmtros (x), rspctivamnt. No contxto dst trabalho, foram utilizados os valors por dfito para quas todos os parâmtros d fminsarch, xcpto para os parâmtros MaxFunEvals, o númro máximo d avaliaçõs da função fun, MaxItr, o númro máximo d itraçõs fctuadas. Por 113

116 dfito, MaxItr = MaxFunEvals = 00*N var, sndo N var o númro d parâmtros da curva ajustada. Como s vrá, o númro d parâmtros N var das curvas usadas nst trabalho varia ntr 3 5. D um modo gral, o valor dos parâmtros MaxItr MaxFunEvals tv d sr aumntado para mlhorar a convrgência do algoritmo. Os valors usados m cada caso foram os qu s aprsntam na Tabla 6.1. Tabla 6.1 Pacot d parâmtros Parâmtro MaxFunEvals MaxItr options options_usrdf O procsso itrativo é mantido até qu s atinja o MaxItr ou até qu s atinja um valor satisfatório para fun (valor st imposto por TolFun, cujo valor por dfito é 10-4 ) Qualidad dos ajusts Foi ncssário dtrminar a qualidad dos ajusts, uma vz qu s vrificou qu m alguns casos os ajusts xponnciais não são adquados. Ests ajusts ocorriam, por xmplo, nas rgiõs curvilínas do modlo, como as circunvoluçõs. Para confirmar a ncssidad d scolhr funçõs d ajust mais adquadas para as rgiõs ond os ajusts xponnciais são notoriamnt grossiros, fz-s um pquno studo xploratório, calculando novamnt o modlo do sulco no Comsol (Figura 5.), mas com uma malha mais fina ao longo d sgmntos d rcta colocados nas proximidads das circunvoluçõs. Est studo xploratório foi ralizado numa vrsão antrior do modlo, ond s mprgava uma bobin circular. No ntanto, as conclusõs podm sr xtrapoladas para o caso da bobin m forma d oito, uma vz qu o campo induzido pla bobin circular por baixo das spiras, numa rgião com as dimnsõs da ROI dst trabalho, não é significativamnt distinto do campo induzido pla bobin m forma d oito por baixo do ponto d junção dos dois braços da bobin. A variação complxa do campo léctrico dntro do sulco é uma consquência da acumulação d cargas léctricas nas várias intrfacs atravssadas plo msmo, ssa é uma caractrística comum aos dois modlos. Assim, o studo xporatório prmitiu concluir qu é fctivamnt prtinnt usar funçõs qu ajustm mlhor os dados, uma vz qu uma malha mais fina confirmou uma variação spacial do campo léctrico difrnt da xponncial, inicialmnt assumida. A Figura 6.9 ilustra uma dssas situaçõs m qu o ajust xponncial aos dados no córtx (Figura 6.9 A) s mostrou dsadquado para dscrvr a variação do campo léctrico nss 114

117 subdomínio. O studo xploratório acima dscrito prmitiu ncontrar funçõs adquadas para dscrvr a variação dos dados nstas situaçõs xcpcionais (Figura 6.9 B). Figura 6.9: Exmplo da variação spacial d uma componnt do campo léctrico qu rqur um ajust mais apropriado do qu a xponncial. A: o ajust xponncial aos dados no córtx ( GM ) não é E z z ; EZfit = adquado. B: o ajust xponncial m GM é substituído por uma lorntziana. EZ = ( ) ajust a E z ( z) ; EZfit, m = ajust mlhorado. 115

118 O tst scolhido para afrir a qualidad dos ajusts é conhcido m inglês por runs tst srá aqui rfrido como tst das squências. O tst das squências tsta a alatoridad dos rsíduos através da contagm do númro d vzs qu os rsíduos d um dado ajust mudam d sinal (Motulsky Ransnas, 1987). Considra-s qu o ajust é tanto mlhor quanto mais vzs os rsíduos atravssarm o ixo. O algoritmo dsnvolvido para calcular st parâmtro da alatoridad dos rsíduos d cada ajust (myrunstst_x) foi basado num algoritmo d outro autor, dvidamnt rfrnciado no código transcrito no Anxo A.6.7. O output dst algoritmo é uma matriz do parâmtro statístico associado à distribuição binomial do vctor d squências (run). Ess parâmtro statístico, aqui dsignado por z_scor, traduz a alatoridad dos rsíduos d cada ajust. O z_scor compara-s com o quantil da gaussiana padronizada. Para um nívl d significância d 0.05, o valor absoluto d z_scor compara-s com o valor 1.96: s abs(z_scor)>1.96, pod concluir-s qu os rsíduos não são alatórios qu o ajust m qustão tm má qualidad. Esta comparação do z_scor com o quantil da gaussiana constitui o critério d slcção dos ajusts a mlhorar. Esta tapa é ralizada plo algoritmo fitcurvdmo_5. Nst algoritmo, os ajusts para os quais abs(z_scor)>1.96 são calculados novamnt, mas dsta vz com uma poli-função (6.5) ou com uma função lorntziana (6.7). Como srá rfrido nas scçõs sguints (Scçõs ), stas são funçõs qu ajustam bm os dados nas rgiõs ond a curva xponncial é inadquada Dtalhs da programação Aprsntam-s d sguida alguns aspctos do funcionamnto d cada algoritmo usado para o ajust d funçõs. Uma vz mais, as dscriçõs aqui aprsntadas stão particularizadas para o cálculo d uma das drivadas parciais apnas, mas a mtodologia mprgu para o cálculo das rstants drivadas parciais é análoga. calcula_dxx Est algoritmo stá dividido m duas parts. Na 1ª part são ralizadas as sguints opraçõs: 1. Ajust d um polinómio a EXH, usando para tal a função polyfit; O output d polyfit é o conjunto d parâmtros do polinómio ajustado.. Cálculo da drivada analítica d EXH, usando para tal a função polydr, frramnta para drivação (analítica) d um polinómio ajustado por polyfit; 116

119 3. A função polyval avalia o output d polyfit d polydr nos pontos d coordnadas do conjunto d dados. A ª part do algoritmo calcula_dxx diz rspito ao ajust d funçõs a EXC, a componnt htrogéna d EX. O algoritmo chama squncialmnt a sguint séri d algoritmos: 1. fitcurv1: ajusta uma xponncial aos dados até à primira intrfac d cada linha. Caso não xista nnhuma intrfac nssa linha, ntão o algoritmo ajusta um polinómio d baixo grau. O output dst algoritmo é passado como input ao algoritmo sguint;. fitcurv: ajusta curvas aos rstants sgmntos d cada linha dos dados. Para os sgmntos qu ocorrm ntr duas intrfacs, ajusta a soma d duas xponnciais, para os sgmntos qu ocorrm ntr uma intrfac o fim da linha, ajusta uma única xponncial. O output dst algoritmo é passado como input ao algoritmo sguint; 3. myrunstst_x: tsta a qualidad dos ajusts fctuados nos pontos 1, usando um tst runs, para tstar a alatoridad dos rsíduos. Calcula um parâmtro statístico informativo dssa alatoridad para cada curva ajustada. O output dst algoritmo é passado como input ao algoritmo sguint; 4. fitcurvdmo_5: avalia o parâmtro d alatoridad dos rsíduos d cada ajust. Os ajusts d má qualidad (rsíduos não alatórios) são calculados novamnt, mas dsta vz usando funçõs d ajust mais adquadas. Finalmnt, são somadas as duas parts do campo léctrico ajustado (EXfit = EXfit1 + EXfit) as duas parts da drivada (DxEX = DxEX1 + DxEX). Vjamos agora algumas particularidads do funcionamnto d cada um dos algoritmos auxiliars a calcula_dxx. fitcurv1 O funcionamnto dst algoritmo consist m duas tapas grais: 1. Dtrminar o índic do 1º NaN qu ocorr m cada linha, com rcurso às funçõs find isnan (is Not a Numbr ) do MATLAB. Por xmplo, para ncontrar o 1º NaN da linha i na folha h ( h = 1:101) d xdata (array corrspondnt à coordnada x ), a sintax usada foi a sguint: 117

120 indic = find(isnan(xdata(i,:,(h-1)*5+1)),1, first ); (6.0). Efctuar o ajust d uma função usando como dados todos os pontos dsd o início da linha até à coluna d índic j =indic-1. S houvr uma intrfac nssa linha (if indic), ajusta-s uma xponncial. S não houvr intrfacs nssa linha (ls), ajusta-s um polinómio, usando a função polyfit. fitcurv Est algoritmo consist na sguint squência d tarfas: Avançar ao longo d cada linha nquanto houvr NaN s. Assim qu trminar a primira squência d NaN s, assinalar o valor d j. Dpois avançar ao longo da linha até ncontrar novamnt NaN s. Assinalar novamnt o valor d j, j = k. S k < 61, ajustar a soma d duas xponnciais ntr j k ; s k = 61 (é o fim da linha i ) ajustar uma xponncial apnas, uma vz qu não xist intrfac à dirita a limitar o dcaimnto xponncial grado na última intrfac. myrunstst_x Est algoritmo tm as sguints tapas grais: 1. Convrtr o vctor d rsíduos num vctor binário (dsignado por logic ), tndo m conta o sinal d cada rsíduo (atribuir o valor 1 aos rsíduos positivos 0 aos rsíduos ngativos): logic(1:n) = (rsiduos>0); (6.1). Drivar o vctor binário logic para obtr apnas as mudanças d sinal dos rsíduos, ou sja, as mudanças d squência. A drivada é zro quando não há mudança d sinal d logic(i) para logic(i+1), é igual a 1 ou -1 quando há mudança d sinal: run = diff(logic); (6.) 3. Calcular o valor absoluto do vctor run acrscntar um lmnto a ss vctor, corrspondnt à squência inicial d rsíduos, qu dixou d sr contabilizada ao calcular a drivada: run = abs(run); (6.3) run = [1 run]; (6.4) 118

121 O vctor run vctor das squências tm uma distribuição binomial. Nas rstants tapas do algoritmo, são calculadas as caractrísticas dssa distribuição (valor médio z_scor). fitcurvdmo_5 O algoritmo stá dividido m duas parts: na 1ª part inspcciona-s a qualidad d todos os ajusts qu ocorrm até à 1ª intrfac d cada linha. Só são corrigidos ajusts m linhas ond haja intrfacs do modlo gométrico do sulco, porqu é ond s ncontra a informação mais rlvant. Nas rstants linhas os ajusts polinomiais são suficints. Na ª part do algoritmo, são tratados os ajusts qu ocorrm ntr pars d intrfacs ou ntr a última intrfac o fim da rspctiva linha. Em traços grais, as tapas m cada uma das parts do algoritmo são as sguints: 1. Em cada folha, ncontrar os índics i das linhas ond a qualidad do ajust sja baixa, através do critério abs(z_scor)>1.96 ;. Nas linhas ond o ajust sja para corrigir, idntificar novamnt a xtnsão n dos dados a utilizar; 3. Calcular stimativas iniciais para os parâmtros { a b, c, d}, da curva a ajustar, qu srá a polifunção d quação gnérica a y + x ( x) = + bx + c xp( x) d ; (6.5) Estas stimativas são obtidas usando 4 pontos ( ) i y i x,, i = 1,..., n, dos dados, scolhidos alatoriamnt (usando a função rand) mas todos difrnts ntr si, d forma a podr rsolvr o sistma d quaçõs (6.6), 1 a + x x 1 1 a + x x 1 a + x x3 1 a + x x b + xp b + xp b + xp b + xp ( x ) 1 ( x ) ( x ) 3 ( x ) 4 c + d = y 1 c + d = y c + d = y c + d = y 3 4 ; (6.6) 4. Calcular o novo ajust usando a função fminsarch do MATLAB. 119

122 Escolha das funçõs d ajust grau dos polinómios Nas sub-scçõs antriors, foi dscrita a mtodologia d cálculo das drivadas parciais das componnts do campo léctrico, tomando como xmplo o cálculo d rfrido, a mtodologia é análoga para o cálculo d cada uma das 9 drivadas parciais E xx. Como já foi E ij, com as dvidas difrnças, qu surgm ntr os ajusts ao longo das linhas os ajusts ao longo das colunas. Por xmplo, os algoritmos para os ajusts ao longo d z ficam bastant simplificados plo facto d qu ao longo d qualqur coluna d uma matriz d dados xistirm smpr duas intrfacs (CSF/córtx córtx/substância branca). Excluindo stas difrnças óbvias, há ainda difrnças ao nívl do grau dos polinómios scolhidos para cada componnt cartsiana do campo léctrico. A Tabla 6. aprsnta todas as funçõs utilizadas para os ajusts o grau dos polinómios usados, m cada caso. Tabla 6. Dados Função ajustada Dados Função ajustada E h x ( x) pol a, n = ( x) E c x E h x ( y) pol, n = ( y) E h x ( z) pol, n = 4 ( z) E h y ( x) pol, n = ( x) E h y ( y) pol, n = 3 ( y) E h y ( z) pol, n = 3 ( z) E h z ( x) -- ( x) pol, n = 4; xp b ; xp1+xp c ; poli-função E c x pol, n = E c x xp; xp1+xp; poli-função E y pol, n = 4 E y pol, n = 4 E y pol, n = 4 E c z E h z ( y) -- ( y) E h z ( z) -- ( z) pol, n = 4; xp; xp1+xp; poli-função E c z pol, n = 4 E c z xp; xp1+xp; lor d Lgnda: a. pol = polinómio; b. xp: xponncial; c. xp1+xp: soma d duas xponnciais; d. lor = lorntziana. A mtodologia para a scolha do grau dos polinómios, nos casos m qu os ajusts polinomiais s aplicam, consistiu na inspcção visual da variação d cada componnt E ( i = x, y, z ), ao longo d várias linhas colunas, na adquação d vários polinómios, ajustados a sss dados usando a frramnta d ajust Basic Fitting do MATLAB. Esta inspcção dos dados, num varrimnto sparso, mas homogéno, da ROI, tv como alvo obtr uma gnralização da variação spacial d cada componnt grau polinomial, nos casos m qu sts s aplicam. E i dntro da ROI, para s podr usar apnas um único i 10

123 Para casos mais dlicados, m qu nm os ajusts polinomiais nm os ajusts por xponnciais são adquados, a scolha foi fita rcorrndo a um softwar d ajust d curvas, disponívl onlin (ZunZun.com, disponívl m Est softwar tsta um pacot d curvas aos dados, plo MMQ, dvolvndo os parâmtros das curvas ajustadas a soma dos quadrados dos rsíduos, prmitindo assim ao utilizador scolhr qual o tipo d curva mais adquado aos sus dados. D todos os sgmntos d dados ajustados nst softwar, foi possívl slccionar duas curvas rlvants para os nossos dados fácis d implmntar m algoritmos d MATLAB. Essas curvas são a poli-função já rfrida (6.5) a lorntziana com offst, a y + x b 1 + c ( x) = d ond { a b, c, d}, (6.7), são os parâmtros da curva Corrcção do ruído Introdução Nsta scção srá aprsntado o trabalho dsnvolvido para a corrcção do ruído numérico xistnt nos dados. O ruído aqui tratado é aqul qu ocorr nas intrfacs ntr os vários tcidos ou subdomínios do modlo FEM do córtx crbral, qu s vrificou afctar significativamnt os rsultados, ao nívl da amplitud do gradint do campo léctrico: dado qu as funçõs ajustadas aos dados, ntr as várias intrfacs, são primordialmnt funçõs B( x x ) xponnciais do tipo ( ) parâmtros { A B, C} f x = A 0 + C, qu dcrscm a partir da intrfac x 0, os, da curva ajustada são muito influnciados pla amplitud do campo léctrico no ponto x 0, por causa do fito d alavanca. Prtnd-s por isso qu o valor das várias componnts do campo léctrico, d um lado do outro d cada intrfac, stjam corrctos, para qu s possa obtr uma stimativa das funçõs d activação da TMS tão corrcta quanto possívl. Além disso, vrificou-s qu a ocorrência dst tipo d ruído não é sporádica. Por sts dois motivos considrou-s important mprndr algum sforço na corrcção dst tipo d ruído, o qu também justifica a prtinência da dscrição dss trabalho nsta ts d doutoramnto. O procsso d corrcção do ruído nvolv apnas as componnts do campo léctrico qu são dscontínuas nas intrfacs, ou sja, E x E z, juntamnt com as rspctivas drivadas parciais 11

124 ao longo das dircçõs afctas às intrfacs, qu são as dircçõs x z. Como foi visto na scção antrior (Scção 6.4), a componnt dircção ( x, y z ), bm como as funçõs E x ( y) ( y) E y é ajustada por polinómios, ao longo d qualqur E z, plo qu as drivadas parciais E i y não são muito afctadas pla xistência dos picos d ruído nas intrfacs. Dsconhc-s o motivo da ocorrência dst ruído. Podmos apnas spcular s stará associado a alguma dbilidad na frramnta d xportação do softwar Comsol Multiphysics qu s manifsta na xportação d variávis dscontínuas. No ntanto, ssa é uma qustão qu ultrapassa o âmbito dst trabalho. Os tópicos grais abordados nsta scção são a scolha dos critérios d corrcção do ruído, a mtodologia os algoritmos, finalmnt as spcificidads d cada uma das drivadas parciais no qu toca aos critérios d corrcção Critérios grais d corrcção do ruído Os critérios d corrcção foram dfinidos postriormnt ao 1º cálculo das drivadas parciais E x i j, d forma mpírica, por inspcção visual dos rsultados. Os valors máximos sprados para as drivadas parciais das componnts do campo léctrico são da ordm d V/m (rsultados obtidos por Ludovic Corria, comunicação pssoal). Foram ncontrados, m todas as drivadas calculadas, vários picos com uma ou duas ordns d grandza supriors à ordm d grandza máxima sprada. Ests picos nas drivadas surgiram associados a pontos nos dados (campo léctrico) ond a amplitud é muito suprior à dos pontos vizinhos. Concrtizando, a drivada E c x z aprsntava picos isolados com amplitud ntr 6 10 V/m, sndo qu sts picos stavam associados a pontos E c x ( i j, k ), tais qu 5 10 V/m c c ( i, j, k ) E ( i ± 1, j, k ) 10 Ex x (6.8) c c c c ( E ( i j, k ) E ( i + 1, j, k ))* E ( i, j, k) E ( i 1, j, k) ( ) 0 x, x x x >. (6.9) 1

125 Figura 6.10: Ruído dtctado na drivada. A: xmplo d ajust a uma linha d E x, ond s dá dstaqu ao sgmnto d pontos (linha vrmlha) qu dá origm ao pico spúrio na drivada (gráfico B, linha vrmlha). Indicação dos subdomínios: WM, substância branca; GM, substância cinznta; CSF, líquido cfalorraquidiano. As funçõs rprsntadas são: EX, matriz d E ; EXfit, E ajustado; Dx(Ex), drivada parcial x. E x x x 13

126 Figura 6.11: Rsultado da corrcção do ruído prsnt nos dados aprsntados na Figura A: Corrcção do ruído m E cálculo d um novo ajust no sgmnto d dados (a vrmlho) ond s ncontrou um ponto com ruído. B: drivada x líquido cfalorraquidiano; GM, substância cinznta. EX, matriz d corrigida (sm ruído); EXfit, E x x. x dos ajusts m A. WM, substância branca; CSF, E x E x ajustado; EXfit, c : E x ; EX, c, matriz d E x E, c, ajustado; Dx(Ex), drivada parcial x 14

127 Em (6.9) o astrisco siboliza a multiplicação scalar. A inspcção visual da distribuição spacial d c E x ao longo d z (o qu corrspond, nas matrizs, a variar o índic d linha, mantndo o índic d coluna fixo), também apoiou a idia d qu um salto d 10 V/m ntr pontos adjacnts na matriz (6.8) é xcssivo não traduz a variação normal d c E x nst caso particular. Assim, nst caso, um dos critérios para a corrcção dos valors d uma drivada parcial consistiu na dtcção d um salto maior ou igual a 10 V/m na matriz d campo léctrico corrspondnt. Por sua vz, a corrcção consistiu m atribuir aos pontos E c x ( i j, k ), qu vrificassm as condiçõs (6.8) (6.9) a amplitud do vizinho mais próximo qu prtnça ao msmo subdomínio, ou sja, qu prtnça ao msmo subconjunto d pontos limitados por duas intrfacs conscutivas. Vrificou-s, no ntanto, qu os critérios d corrcção (6.8) (6.9) não prmitm corrigir todos os picos spúrios nas drivadas. Assim, incluiu-s um sgundo par d critérios d corrcção d ruído, qu consist m idntificar os picos na própria matriz da drivada. Por xmplo, na drivada E x x E x, x foram dtctados pontos ( i, j k) tais qu E x x E x 4 ( i, j, k) ( i, j ± 1, k) > 10 x (6.30) E x x E E x E x x x ( i, j, k) ( i, j + 1, k) * ( i, j, k) ( i, j 1, k) > 0 x x. (6.31) Em (6.31) o astrisco simboliza a multiplicação scalar. As condiçõs (6.30) (6.31) dfinm os picos d drivada idntificados nst trabalho d corrcção d ruído. A Figura 6.10 ilustra um xmplo dsta situação. O ruído nss caso é idntificado plo pico na drivada, não na matriz do campo léctrico. Uma vz qu nm todos os picos d drivada, dfinidos por (6.30) (6.31), têm origm m picos d ruído no campo léctrico tal como dfinidos por (6.8) (6.9), dcidiu-s aplicar ambos os pars d condiçõs, como critérios d corrcção d ruído, a cada matriz d campo léctrico, E i, a cada matriz d drivada, E ij. 15

128 Etapas da programação A corrcção do ruído consistiu m três tapas grais: 1) a dtcção da posição ( i j, k ) d ruído, qur na matriz da drivada corrspondnt, i E x i j, dos picos, qur na matriz da componnt do campo léctrico E ; ) a corrcção dos valors d campo léctrico E i ( i j, k ), nos pontos ond o ruído foi dtctado, por valors considrados razoávis ; 3) a rptição do cálculo dos ajusts d funçõs nas linhas (ou colunas, no caso d ajusts ao longo d z ) da matriz dtctado ruído, consqunt cálculo das novas drivadas E x i j nssas linhas (colunas). E i ond foi Para st procsso d corrcção foram criados vários algoritmos, qu s aprsntam d sguida, ralçando um ou outro aspcto d cada um. corrig_dxx Com st algoritmo corrig-s o ruído. O algoritmo stá dividido m 4 tapas: 1. Criar uma matriz d zros (matriz pico_drivada), com as msmas dimnsõs das matrizs d dados ( N N N = ). D sguida, ncontrar ruído na matriz z x y c E x. Por cada lmnto E c x ( i, j, k) com ruído, acrscntar um 1 ao corrspondnt lmnto pico_drivada(i,j,k).. Encontrar picos d ruído na matriz E x x E. Por cada lmnto x ( i, j, k) x acrscntar um 1 ao corrspondnt lmnto pico_drivada(i,j,k). com ruído, 3. Criar a matriz dos índics-coluna das intrfacs m cada linha (matriz xint). 4. Corrigir os pontos d E c x ( i, j, k) ond há ruído, atribuindo a cada um dsss pontos a amplitud do vizinho mais próximo qu prtnça ao msmo subdomínio qu não sja também um ponto d ruído. Para tal usa-s a matriz das intrfacs, xint, a posição dos vários pontos d ruído m rlação às intrfacs xistnts nssa linha. splitlin_x A matriz c E x corrigida é submtida a st algoritmo, para uma nova divisão d cada folha k ( k =1,..., 101) d acordo com as intrfacs xistnts m cada linha (Scção 6.4.3). 16

129 calcula_dxx_small Esta função substitui os ajusts nas linhas ond foi dtctado ruído, por novos ajusts, usando a matriz d campo léctrico c E x corrigida. Para tal chama as funçõs fitcurv1_small, fitcurv_small, myrunstst_x fitcurvdmo_5. Estas duas últimas funçõs são as já usadas na primira fas do cálculo d ajusts drivadas (Scção ). As outras duas funçõs são adaptaçõs das corrspondnts funçõs fitcurv1 fitcurv. fitcurv1_small Idntifica as linhas d c E x ond foi dtctado ruído fctua ajusts apnas nssas linhas, consrvando os rstants ajusts (calculados antriormnt por calcula_dxx as suas funçõs auxiliars). Est algoritmo corrig apnas os ajusts dos sgmntos d dados corrspondnts ao primiro subdomínio, i.., ntr o início da linha a 1ª intrfac. fitcurv_small Idntifica as linhas d c E x ond foi dtctado ruído fctua ajusts apnas nssas linhas, consrvando os rstants ajusts (calculados antriormnt por calcula_dxx as suas funçõs auxiliars). Est algoritmo é rsponsávl por altrar qualqur ajust ntr o º o 5º subdomínios d cada linha. O algoritmo não é muito sofisticado, no sntido m qu altra todos os ajusts das linhas ond foi dtctado algum pico d ruído Rsultados A Figura 6.11 ilustra os rsultados dst procsso d corrcção d ruído. Na squência do problma mostrado na Figura 6.10, na Figura 6.11 mostra-s o rsultado da corrcção fctuada nssa msma linha (linha 61/81 no plano y = 0, corrspondnt a z = m). O ajust ao sgmnto d dados ond o ruído foi corrigido, bm como a drivada dss ajust, aparcm a vrmlho (Figura 6.11). Comparando as duas figuras, vmos qu só foi altrada a amplitud d um único ponto, o último ponto do sgmnto GM. No ntanto, sta pquna altração tv um impacto important na amplitud da drivada parcial E x x. A corrcção fctuada, mbora s basi num critério mpírico (a xistência d um pico spúrio na drivada), pod sr justificada com bas na toria. D facto, spra-s qu a amplitud d E x dntro do córtx ( GM ) diminua à mdida qu nos aproximamos da intrfac GM-WM, por causa da razão ntr as condutividads léctricas dos dois mios. Como s pod obsrvar na Figura 6.10 A, ssa é a tndência gral dos dados dntro 17

130 do subdomínio GM. A amplitud do último ponto dss subdomínio afasta-s claramnt dssa tndência gral. Vrificamos ainda qu a amplitud d E x x também sofru altraçõs nos outros subdomínios da linha rprsntada na Figura 6.10 na Figura 6.11, não apnas no subdomínio ond foi dtctado ruído. Como já foi rfrido, os algoritmos d corrcção dos ajusts, ou sja, calcula_dxx_small, fitcurv1_small fitcurv_small, calculam novamnt todos os ajusts d uma linha ond xista ruído, msmo qu ss ruído só stja prsnt num dos subdomínios dssa linha. Como a função fminsarch é mprgu usando stimativas iniciais alatórias para os parâmtros da curva a ajustar, é d sprar qu haja difrnças nos valors finais dos parâmtros das curvas ajustadas, d cada vz qu s corrm os algoritmos d corrcção. Esta é uma limitação dos algoritmos dsnvolvidos, mas qu s considra d pouca importância para os rsultados finais dst trabalho Particularidads da corrcção d cada drivada D um modo gral, a mtodologia d corrcção d ruído é transvrsal a qualqur uma das quatro drivadas parciais, E x x, E x z, E z x E z z, mudando ssncialmnt os valors dos critérios d corrcção fazndo as dvidas altraçõs para os casos m qu os ajusts s procssam ao longo das colunas das matrizs (para o cálculo das drivadas m ordm a z ). Drivada Tabla 6.3 Critério 1: L 1 (V/m) Critério : L (V/m ) E x x E x z E z x E z z Os valors dos critérios d corrcção para cada um dos quatro casos são aprsntados na Tabla 6.3, tndo m considração qu a dfinição dos Critérios 1 (Tabla 6.3) é a sguint: Critério 1: E ( i, j, k) E ( i, j ± 1, k) L1 ou E ( i, j, k) E ( i ± 1, j, k) L1 i i i i, para os ajusts ao longo d linhas ou ao longo d colunas, rspctivamnt, sndo L 1 o limiar, m V/m, acima do qual a amplitud do ponto E i ( i j, k), é corrigida; 18

131 E E i i Critério : ( i, j, k) ( i, j ± 1, k ) > L x j x j E E i i ou ( i, j, k) ( i ± 1, j, k ) > L x j x j, para os ajusts ao longo d linhas ou ao longo d colunas, rspctivamnt, sndo L o limiar, m E V/m i, acima do qual a amplitud do ponto ( i, j, k ) x j é corrigida Conclusão No prsnt capítulo, foi aprsntada toda a mtodologia d cálculo das projcçõs tangncial normal do campo léctrico m rlação ao córtx, das drivadas parciais do campo léctrico, d forma a obtr a quantificação dos mcanismos d stimulação (6.4) (6.7), (6.1) (6.13). Nas xprssõs (6.4) (6.7), (6.1) (6.13), o campo léctrico o su gradint são dvidamnt pondrados por λ ou por λ, consoant o caso, passando a rprsntar amplituds d dspolarizaçõs locais (m mv) das mmbranas nuronais. Est é o ponto d partida para traçar stimativas sobr os locais d activação as populaçõs nuronais afctadas pla TMS no modlo do sulco cortical utilizado nst studo (Figura 5.). 19

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133 Capítulo 7: Os Mcanismos d Activação da TMS Induzidos no Modlo do Córtx 7.1. Introdução Os mcanismos d activação da TMS, (6.4) (6.7) (6.1) (6.13), foram calculados no modlo do córtx (Figura 5.). Numa primira fas, o modlo, qu é htrogéno, foi comparado com um modlo homogéno quivalnt, com o objctivo d avriguar os fitos das htrognidads do prsnt modlo nas distribuiçõs spaciais dos mcanismos d activação. Numa sgunda fas, as distribuiçõs spaciais dos mcanismos d activação no modlo htrogéno foram quantificadas para valors da constant λ concordants com a informação disponívl na litratura. Dsta forma, foi obtida uma primira stimativa da importância rlativa d cada mcanismo d activação no rcrutamnto d populaçõs nuronais, dos locais d acção d cada mcanismo. Na TMS do córtx motor, há dois tipos fundamntais d rsposta cortical: as ondas I ( indirctas ), qu s pnsa srm o rsultado da activação transsináptica d nurónios do tracto corticospinhal, as ondas D ( dirctas ), qu, dvido à sua curta latência, dvrão sr o rsultado da stimulação dircta d axónios do tracto corticospinhal (Trao Ugawa, 00). Um stímulo monofásico aplicado sobr a rgião da mão do córtx motor primário (ou M1), com dircção postrior-antrior (PA) das corrnts induzidas no cérbro, parc rcrutar, com maior facilidad, as ondas I do qu as ondas D. O rcrutamnto d ondas D só passa a ocorrr com maior frquência para intnsidads do stímulo acima do limiar motor (Day t al., 1989; Di Lazzaro t al., 004). No ntanto, s o stímulo monofásico induzir corrnts léctricas com dircção latral-mdial (LM), as ondas D passam a ocorrr com maior frquência (Di Lazzaro t al., 004). Esta difrnça d rsposta para difrnts dircçõs do stímulo podrá star rlacionada com a complxa gomtria do sulco cntral na rgião da mão (Yousry t al., 1997). O campo léctrico induzido pla TMS no cérbro é ssncialmnt tangnt ao scalp, ao qual o nvlop do córtx crbral também é aproximadamnt tangnt. Uma vz qu o campo léctrico stimula prfrncialmnt fibras nrvosas qu lh sjam parallas (Capítulo 3), é d sprar qu as corrnts induzidas m TMS rcrutm prfrncialmnt células qu s alinhm tangncialmnt ao scalp, nomadamnt intrnurónios outras fibras intracorticais horizontais, localizados nas circunvoluçõs, ou nurónios prpndiculars (piramidais ou não piramidais), localizados m profundidad nas pards dos sulcos. 131

134 O tipo d populaçõs nuronais rcrutadas m TMS, particularmnt m stimulação monofásica PA, dpnd da profundidad ficaz atingida plo campo induzido. Day t al. (1989) intrprtaram a prvalência d ondas I m TMS do córtx motor como sndo uma consquência do curto alcanc do campo léctrico. Day t al. (1989) dfndram ainda qu as ondas I s dviam, ssncialmnt, ao rcrutamnto d intrnurónios horizontais localizados na circunvolução pré-cntral, pondo assim d part a possibilidad d qu ssas ondas s pudssm dvr também à stimulação d células piramidais. Existm, no ntanto, argumntos contra a hipóts d Day t al. (1989). Fox t al. (004), num studo simultâno d TMS PET, obtivram rspostas fisiológicas m profundidad, ao nívl das pards do sulco cntral, qu parcm dvr-s à activação d nurónios piramidais. Por outro lado, a hipóts d Day t al. (1989) d qu a TMS PA rcruta ssncialmnt intrnurónios horizontais, não xplica a dpndência da rsposta cortical com a orintação da bobin, tal como foi rlatada por Mills t al. (199), uma vz qu a distribuição d orintaçõs dos intrnurónios horizontais é isotrópica (Fox t al., 004). Como tal, a rsposta cortical à TMS não s pod dvr xclusivamnt ao rcrutamnto d intrnurónios horizontais na circunvolução. Ao aplicar os rsultados do prsnt trabalho ao caso da stimulação monofásica PA do córtx motor, propondo prvisõs acrca das populaçõs nuronais stimuladas da profundidad máxima d stimulação, spras podr trazr alguma clarificação a st dbat. Para obtr stimativas d rcrutamnto d células nst trabalho, para além d dispor das distribuiçõs spaciais do campo léctrico do su gradint, é ncssário dispor ainda d valors apropriados para a constant d comprimnto λ, qu consta nas xprssõs dos mcanismos d activação, (6.4) (6.7) (6.1) (6.13), bm como d uma stimativa para o limiar d stimulação, V Th, com o qual cada mcanismo d stimulação dv sr comparado para sabr s há rcrutamnto nuronal ou não. Na litratura, a informação disponívl acrca dos valors da constant d comprimnto λ das mmbranas nuronais é muito scassa (Manola t al., 007). No ntanto, para os nurónios piramidais ssa informação stá disponívl (Lassk, 194). Considrando a gama d valors d λ nas células do tracto corticospinhal (Lassk, 194) tndo m conta qu as células piramidais são os nurónios mais abundants no córtx crbral (Capítulo ), como primira aproximação srá usado o valor λ = 1 mm como valor médio para todos os nurónios do córtx. Para avriguar a possibilidad d activação dos nurónios d maior diâmtro, qu dvrão sr mais facilmnt stimulados do qu os d mnor diâmtro (Bassr Roth, 1991), usar-s-á também o valor λ = mm, tndo como alvo sss nurónios (células d Btz). Quanto à stimativa para o limiar d stimulação, sta foi obtida com bas na informação prsnt m (Bassr Roth, 1991). Os dtalhs do método mprgu ncontram-s dscritos no Anxo ao Capítulo 7 (A.7.1). 13

135 O trabalho dscrito nst capítulo du origm às sguints comunicaçõs publicaçõs: Silva S, Bassr PJ, Miranda PC. Th activating functions for nuronal stimulation inducd by TMS on a stylizd modl of th crbral cortx, aprsntação sob a forma d póstr na confrência BioMag 006, Vancouvr, Canadá. Silva S, Bassr PJ, Miranda PC. Th Activation Function of TMS on a Finit Elmnt Modl of a Cortical Sulcus, aprsntação oral na 9th IEEE EMBS Annual Intrnational Confrnc, 007, Lyon, França. Silva S, Bassr PJ, Miranda PC. Th activation function of TMS on a finit lmnt modl of a cortical sulcus. Confrnc Proccdings of th IEEE Eng Md Biol Soc. 007;1: Silva S, Bassr PJ, Miranda PC. Elucidating th mchanisms and foci of nuronal xcitation by Transcranial Magntic Stimulation using a finit lmnt modl of a cortical sulcus. Clinical Nurophysiology 008;119: Valors d λ Limiar d Estimulação Valors d λ Cada mcanismo d activação actua m populaçõs nuronais spcíficas, cujas mmbranas clulars, por sua vz, têm difrnts valors da constant d comprimnto λ. Por xmplo, o mcanismo do salto do campo léctrico (6.7) actua xclusivamnt m células piramidais, pois stas são as únicas cujos axónios atravssam a pard do sulco. Por sua vz, o mcanismo (6.5), associado às trminaçõs nuronais, actua somnt m células cujas trminaçõs s ncontrm dntro do córtx crbral, já qu não há trminaçõs nuronais na substância branca as trminaçõs qu ocorram abaixo do córtx (por xmplo, no tálamo) não srão atingidas, porqu a amplitud do campo léctrico tm uma profundidad d alcanc d apnas alguns cntímtros (vr, por xmplo, Trao Ugawa, 00). O mcanismo (6.5), λen, pondrado plo factor multiplicativo ½ (6.6), é também rsponsávl pla stimulação d nurónios ao nívl das dobras do axónio, dobras stas qu ocorrm ssncialmnt m nurónios piramidais. Além disso, os mcanismos (6.5) (6.6) actuam somnt m células cujos ixos stjam alinhados sgundo a dircção normal à suprfíci do córtx (Capítulo ), plo qu as fibras com orintação paralla à suprfíci do córtx não srão alvo dsss mcanismos. 133

136 Assim, sistmatizando, tm-s ntão qu as células alvo d λen do mcanismo d r r n T r λ E n, (6.4), são 1) células do tacto corticospinhal fibras d associação stimulação ( ( ) ) cortico-corticais (ambos os grupos constituídos por células piramidais), uma vz qu stas s propagam prpndicularmnt à suprfíci do córtx fctuam uma ou mais dobras no su prcurso, ) os intrnurónios os colatrais d axónios piramidais, qu s alinham prpndicularmnt à suprfíci do córtx; as células alvo do salto do campo léctrico, como já foi rfrido, são todas as células piramidais, frnts ou afrnts. No qu toca a λet ao mcanismo (6.13), as células alvo são os axónios dos intrnurónios parallos ao córtx (i.., à sua suprfíci), bm como os colatrais d axónios piramidais qu também s propagum parallamnt à suprfíci do córtx. As fibras do tracto corticospinhal podm prtncr a um d três grupos, quando classificadas d acordo com o su diâmtro xtrno, d 0, qu, no caso dos axónios milinizados, corrspond ao diâmtro do axónio incluindo a camada d milina. Sguindo a classificação atribuída por Lassk (194) tm-s qu as fibras pqunas têm um diâmtro d 1-4 µm, as fibras médias têm diâmtros d 5-10 µm, as fibras grands são todas aqulas para as quais d 0 s ncontra ntr 11 0 µm (Lassk, 194). Usando a rlação d scala ntr as grandzas λ d 0, dduzida por Bassr Roth (1991), λ =117d 0, (7.1) podmos finalmnt stimar os intrvalos d valors d λ para cada grupo d fibras. Assim, para as fibras pqunas, λ tm valors na gama mm, para as fibras médias, λ tm valors na gama mm, para as fibras grands, λ tm valors na gama mm. Prsum-s qu as fibras horizontais (qu são xclusivamnt intrnurónios ou colatrais d axónios piramidais) as fibras d associação cortico-corticais tnham diâmtros globalmnt infriors aos das células corticospinhais (Manola t al., 007), mbora os valors dos diâmtros dssas duas populaçõs nuronais sjam, m grand mdida, dsconhcidos. Aqui considrarmos qu os grands diâmtros (11-0 µm) stão rsrvados para as células corticospinhais, qu, portanto, as células das rstants populaçõs têm diâmtros, ou pqunos, ou, quanto muito, médios. É d rfrir ainda qu o diâmtro mais pquno mdido no tracto corticospinhal é d 1 µm, nquanto qu, considrando todo o sistma nrvoso cntral, foram já ncontradas fibras (axónios) milinizadas com diâmtros tão pqunos quanto 0. µm (Waxman Bnntt, 197; Ritchi, 198). Assim, as prvisõs acrca da stimulação d fibras 134

137 qu não as do tracto corticospinhal dvrão incluir st limit infrior para o diâmtro das msmas Limiar d Estimulação Como já foi rfrido (Capítulo 4), a rsposta da mmbrana clular a um stímulo (campo léctrico) dpnd da duração dss stímulo. Para provocar na mmbrana uma dspolarização local d amplitud igual a 0 mv, qu corrspond ao limiar d dspolarização intrínsco típico das mmbranas nuronais (Bassr Roth, 1991), a amplitud d um stímulo d curta duração tm d sr maior do qu a amplitud d um stímulo longo. Assumindo uma duração d stímulo d crca d 150 µs, qu é um valor típico m TMS (Barkr t al., 1991), usando o modlo passivo da quação do cabo para axónios milinizados proposto por Bassr Roth (1991), stimou-s qu a intnsidad limiar do stímulo d 150 µs tm d sr tal qu a dspolarização d stado stacionário das mmbranas clulars sja d crca d 5 mv. Est valor foi calculado com bas na quação (6) d Bassr Roth (1991), para a variação tmporal do potncial transmmbranar V ( t) no local ond o gradint ngativo do campo léctrico ao longo do ixo x dos axónios, E x x, ating o su valor máximo, V ( t) t S m α β α = T αt β + β α 1 Tα 1 Tβ 1 Tα 1 Tβ βt, (7.) ond S m E x = λ corrspond ao númro d stimulação lctromagnética (Bassr V x T max Roth, 1991), qu nos dá a razão ntr a amplitud máxima do stímulo d TMS ou sja, E λ x o limiar d stimulação intrínsco d um nurónio ( V T 0 mv). Os rstants x max parâmtros qu constam da quação (7.) stão todos associados à duração τ c do impulso d stimulação (vr Capítulo 4) à razão ntr τ c a constant d tmpo τ da mmbrana clular (Bassr Roth, 1991): T =, α = τ c ( ) β τ ( + ) τ τ c ω 1 ω do circuito RLC do stimulador magnético (Capítulo 4). = c ω 1 ω, sndo ω 1 ω parâmtros Na quação (7.), V ( t) é uma função normalizada. Ocorr o disparo d um potncial d acção dsd qu ( t) = 1 V. Usando os valors dos parâmtros qu constam m Bassr Roth (1991), τ tm-s qu τ = 38.8 µs τ = 157 µs, o qu rsulta numa fracção c cujo valor aproximado é τ c 135

138 3.86. O problma d sabr qual é o valor mínimo da intnsidad do stímulo ncssário para atingir o disparo d um potncial d acção, tndo m conta qu o stímulo tm a duração d 157 µs, é o problma d ncontrar o valor mínimo d da Fig. 8 d Bassr Roth (1991), stima-s qu o valor d S para o qual V ( t) = 1 m. Analisando o gráfico S m procurado s ncontr ntr 10. Dsnvolvu-s um pquno algoritmo (Anxo A.7.1) para ncontrar o valor aproximado d S m, tndo sido ncontrado o valor d.614. Dado qu S m é a razão ntr a amplitud do stímulo o limiar d stimulação intrínsco, conclui-s qu E x λ = VT Sm 5 mv. (7.3) x max Assumindo o msmo modlo mmbranar para todos os nurónios corticais, dirmos ntão qu a amplitud d cada mcanismo d stimulação tm d sr comparada com o limiar d 5 mv. S um dado mcanismo d stimulação atingir valors iguais ou supriors a 5 mv, assumirmos qu as células-alvo dss mcanismo foram activadas, tndo ocorrido o disparo d potnciais d acção Rsultados Modlo Htrogéno vrsus Modlo Homogéno Os rsultados, analisados m trmos das projcçõs prpndicular tangncial d cada mcanismo d activação, ncontram-s rsumidos nas Figuras Para simplificar a rfrência aos mcanismos d stimulação, foi adoptada uma nomnclatura nas Figuras qu m alguns casos srá usada, ao longo do txto, m altrnativa às xprssõs matmáticas corrspondnts. Assim, o mcanismo λen (6.5) srá dsignado por componnt r r n T r λ E n (6.4), dado qu nvolv a projcção do prpndicular d E, o mcanismo ( ( ) ) gradint do campo léctrico sgundo a dircção da normal n r à suprfíci do córtx, srá dsignado por gradint prpndicular, o mcanismo E λ n (6.7) srá dsignado por salto do campo léctrico. No qu toca aos mcanismos análogos a (6.4) (6.5), mas associados às projcçõs tangnciais do campo léctrico do su gradint, tmos qu o mcanismo λet, sndo E t a norma do vctor r r u T r λ E u tangncial d E o mcanismo ( ( ) ) E r t (6.11), srá dsignado por componnt, sndo u r um vctor tangnt à suprfíci do córtx num dado ponto da msma, srá dsignado por gradint tangncial. Quanto aos 136

139 mcanismos (6.6) (6.8), uma vz qu só srão rfridos circunstancialmnt, não lhs foi atribuída nnhuma dsignação spcial. Figura 7.1: Comparação das projcçõs prpndiculars dos mcanismos d activação, ntr os modlos htrogéno (gráficos à squrda) homogéno (gráficos à dirita). Para simplificar a comparação, m cada par horizontal d gráficos é usada a msma scala. Para todos os gráficos (a f), λ = 1 mm. A bobin d stimulação ncontra-s cntrada com o volum visualizado (corrspondnt à ROI na Figura 5.). O campo léctrico tm a dircção P-A (i.., d + x para x ). Adaptada d Silva t al. (008). 137

140 Figura 7.: Comparação das projcçõs tangnciais dos mcanismos d activação, ntr os modlos htrogéno (gráficos à squrda) homogéno (gráficos à dirita). Para simplificar a comparação, m cada par horizontal d gráficos é usada a msma scala. Para todos os gráficos (a f), λ = 1 mm. A bobin d stimulação ncontra-s cntrada com o volum visualizado (corrspondnt à ROI na Figura 5.). O campo léctrico tm a dircção P-A (i.., d + x para x ). Adaptada d Silva t al. (008). Analisando a Figura 7., vrifica-s qu os valors máximos d λen dntro do córtx (suprfíci S) sofrm um dcréscimo d crca d 30-40% do modlo homogéno (Figura 7.1, b) para o modlo htrogéno (Figura 7.1, a). Esta rdução dv-s ao campo dvido à carga 138

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