f γ : [a,b] R f = f C 2 C 1

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1 pítulo 5 INTEGRAIS 5. Integris sobre Trjetóris Sejm f : R 3 R e γ : [,b] R 3 umprmetrizção dcurv declsse, tis que f γ : [,b] R é um função contínu. Definição 5.. Aintegrl de f o longo de γ édenotd edefinid por: f = b f(γ(t)) γ (t) dt Adefiniçãoévlidse γ é porprtesou f γ écontínuporprtes. Defto,subdividmoso intervlooriginlnumnúmerofinitodesubintervlosfechdostlque f(γ) γ éumfunção contínu em cd subintervlo. onsideremos = t < t <... < t n = b prtição tl que γ i é restriçãode γ o subintervlo I i = [t i,t i+ ]. Denotndopor i = γ i (I i ), temos: f = f + f f. n Est integrl é generlizção nturl do comprimento de rco pr curvs. Se f(x,y,z) = pr todo (x,y,z), integrldelinh é ocomprimentoderco dcurv. = b γ (t) dt. Se é um curv pln prmetrizd por γ e f(x,y), integrl de f o longo de γ represent áred"cerc"debse eltur f γ,emcd (x(t),y(t)) γ. 29

2 3 APÍTULO 5. INTEGRAIS z f(γ) y x γ Figur 5.: "erc"de bse. Exemplo 5.. [] lcule f se γ(t) = (t 2,t 3,) tlque t [,] e f(x,y,z) = + xy z. γ f(γ(t)) = f(t 2,t 3,) =, γ (t) = (2t,3t 2,) e γ (t) = t 4 + 9t 2, logo: f = t 4 + 9t 2 dt = γ Figur 5.2: Exemplo[]. [2] lcule f se γ(t) = (t,3t,2t) tlque t [,3] e f(x,y,z) = y z. γ f(γ(t)) = f(t,3t,2t) = 6t 2, γ (t) = (,3,2) e γ (t) = 4,logo: f = t 2 dt = γ γ [3] lcule f se γ(t) = (,2,t 2 )tlque t [,] e f(x,y,z) = e z. f(γ(t)) = f(,2,t 2 ) = e t, γ (t) = (,,2t) e γ (t) = 2t;logo: f = 2 t e t dt = 2. γ

3 5.2. INTEGRAIS DE LINHA DE AMPOS DE VETORES 3 [4] lcule f, onde γ é hélice prmetrizd por γ(t) = (cos(t),sen(t),t) tl que t γ [,4π], ( > ) e f(x,y,z) = e x2 +y 2 +z 2. f(γ(t)) = f(cos(t),sen(t),t) = e t, γ (t) = ( sen(t),cos(t),) e γ (t) = 2; logo: γ f = 4π 2 e t dt = 2(e 4π ). Se considermos hélice como um rme e f como densidde de mss; então, mss totl dorme é 2(e 4π ). Definimos ovlor médiodfunção f o longodcurv prmetrizd γ pelonúmero: M = L(γ) γ f. No exemplo 4), temos: L(γ) = 4π 2 d tempertur no rme é: dt = 4 2 π. Se f representtempertur, médi M = e4π 4π. 5.2 Integris de Linh de mpos de Vetores Em Físic, o trblho relizdo por um forç constnte F pr deslocr um prtícul o longo de um segmentode ret entre os pontos A e B é definido como o produtod forç pelo deslocmento n direção d forç. Denotndo por W(F) o trblho relizdo, temos: W(F) = F AB Suponhmos que trjetóri de um prtícul sej o trço d curv γ : [,b] R 3, de clsse (não necessrimente um segmento de ret) e F um cmpo de vetores contínuo. onsideremosseguinteprtição deordem n de [,b]: = t < t <... < t n < t n = b e construmospoligonldevértices γ i = γ(t i ), i =,, 2,...n.

4 32 APÍTULO 5. INTEGRAIS γ n z γ i+ γ i x γ Figur 5.3: y Se négrnde(n + ),poligonlproxim-sedcurv = γ(i), t i = t i+ t i épequeno eodeslocmentodprtículde γ i té γ i+ é proximdo pelovetor: v i = γ i+ γ i. γ n z γ i t i γ i v γ i+ γ y x Figur 5.4: Pr n grnde, d definição de vetor tngente: v i = γ i t i. Poroutroldo, F(γ(t)) équseconstnteno intervlo [t i,t i+ ] e: F(γ i ) v i = F(γi ) γ i t i. AsomdeRiemnn: W n (F) = n F(γ i ) γ i t i i=

5 5.2. INTEGRAIS DE LINHA DE AMPOS DE VETORES 33 é um bo proximção do trblho totl relizdo pel forç F pr deslocr prtícul; então, énturldefinirotrblhorelizdopor F prdeslocrprtículolongode de γ() = A té γ(b) = B por: W(F) = lim t i n F(γ i ) γ i t i, queéintegrlderiemnn dfunção contínu (F γ)(t) nointervlo [,b]; então: W(F) = b i= F(γ(t)) γ (t)dt, se o limite existe. É possível provr que se o limite existe, independe d escolh d prtição e d prmetrizção. Sejm F : A R n R n um cmpo de vetores contínuo e γ : [,b] R n um prmetrizção d curv de clsse tl que γ ( [,b] ) A e F γ : [,b] R n sej um função contínu. Definição 5.2. Aintegrl delinh de F o longo de édenotd edefinid por: b F(γ(t)) γ (t)dt onde F(γ(t)) γ (t) éoproduto esclr em R n dos vetores F(γ(t)) e γ (t). A definição é vlid se F γ é contínu por prtes. A integrl de linh de F o longo de poder ser clculd como um integrl de trjetóri pr um f proprid. De fto, sej t(t) o vetortngenteunitário γ(t), quesuporemosnão nulo prtodo t;então: f(γ(t)) = F(γ(t)) t(t) = F(γ(t)) γ (t) γ(t), que é componente de F tngente à curv, ou equivlentmente, componente de F é projeção de F sobreovetortngenteunitário àcurv; logo: b ( γ (t) ) F(γ(t)) γ (t) dt. γ(t) Notções É comum usr s seguintes notções: No Espço Sejm F, F 2 e F 3 s componentesdocmpo F ecurv γ(t) = (x(t),y(t),z(t)); então: logo: F(γ(t)) γ (t) = F (γ(t)) dx dt + F 2(γ(t)) dy dt + F 3 (γ(t)) dz dt ; F dx + F 2 dy + F 3 dz = b F (t)dx + F 2 (t)dy + F 3 (t)dz

6 34 APÍTULO 5. INTEGRAIS No Plno De form nálog obtemos: F dx + F 2 dy Se γ : [,b] R n é um prmetrizção de um curv fechd, então é comum denotr integrldelinh deum cmpo F o longode γ como: Em Eletromgnetismo, F échmd decirculção docmpo F o longodcurv. Exemplo 5.2. [] lcule (, ) e (,). F F se F(x,y) = (x 2,xy) e é curv definid por x = y 2 ligndo os pontos - Figur 5.5: Exemplo[]. Aprmetrizçãodprábol é γ(t) = (t 2,t), t ;seuvetortngenteé γ (t) = (2t,), F(γ(t)) = (t 4,t 3 )ef(γ(t)) γ (t) = 2t 5 + t 3 ;então: (2t 5 + t 3 )dt =. [2] lcule F se F(x,y) = ( y x ) x 2 + y 2, e é um rco de círculo de rio 3, do ponto x 2 + y 2 (3,) té ( 3 3 2, 3 ). 2 Resolvmos os sistems: { 3cos(t) = 3 3sen(t) = e 3cos(t) = sen(t) = 3 2.

7 5.2. INTEGRAIS DE LINHA DE AMPOS DE VETORES 35 Logo, t = et= π 6. Então,prmetrizção dcurvé: γ(t) = (3cos(t),3sen(t)), t π 6 : y Figur 5.6: Exemplo[2]. x O vetor tngenteγ é γ (t) = 3( sen(t),cos(t)), F(γ(t)) = ( sen(t),cos(t)); logotemos que 3 F(γ(t)) γ (t) = ; então: [3] lcule π 6 dt = π 6. cos(z) dx + e x dy + e y dz,se éddpor: γ(t) = (,t,e t ), t Temos dx dt =, dy dt = e dz dt = et, logo: cos(z) dx + e x dy + e y dz = Figur5.7: γ doexemplo[3]. 2 ( + e + e 2 t )dt = 2e + e4 2 2.

8 36 APÍTULO 5. INTEGRAIS [4] lcule sen(z)dx + cos(z) dy 3 xy dz,onde écurv prmetrizd por: γ(t) = (cos 3 (t),sen 3 (t),t), t 7π 2. Figur5.8: γ doexemplo[4]. Temos dx dt = 3cos2 (t)sen(t), dy dt = 3sen2 (t)cos(t) e dz dt [5] lcule sen(z)dx + cos(z)dy 3 xy dz = 7π 2 =, logo: ( cos(t)sen(t) ) dt = 2. x 2 dx + xy dx + dz,se é ddpor γ(t) = (t,t 2,), t Figur5.9: γ doexemplo[5]. F(x,y,z) = (x 2,xy,), F(γ(t)) = F(t,t 2,) = (t 2,t 3,) e γ (t) = (,2t,); então:

9 5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 37 x 2 dx + xy dx + dz = (t 2 + 2t 4 )dt = Integris de Linh e Reprmetrizções Sej um curv com prmetrizção γ : [,b] R n de clsse e β : [c,d] R n um reprmetrizção declsse dcurv. Então,existe h : [c,d] [,b] declsse,bijetiv tl que: β = γ h Onde, hpodesercrescente, h(c) = e h(d) = bou hpodeserdecrescente, h(d) = e h(c) = b. b b c d c d Figur 5.: h crescente e decrescente, respectivmente. Definição 5.3. Se h é crescente, então dizemos que β preserv orientção, isto é, um prtícul que percorre um trjetóri com prmetrizção γ, move-se n mesm direção que prtícul que percorre trjetóri com prmetrizção β. Se h é decrescente, então dizemos que β inverte orientção, isto é, um prtícul que percorre um trjetóri com prmetrizção γ, move-se n direção contrári à d prtícul que percorre trjetóri com prmetrizção β. Sejm γ : [,b] R n um prmetrizção diferenciável d curv ligndo o ponto γ() o ponto γ(b)eh : [,b] [,b]tlque h(t) = +b t;definmoscurv pelprmetrizção γ : [,b] R n tlque: γ (t) = γ( + b t) é curv que lig γ(b) γ(). γ e γ têmomesmo trço, ms são percorrids em sentidos opostos. No plno:

10 38 APÍTULO 5. INTEGRAIS No espço: Figur5.: Gráficos de + e, respectivmente. Figur5.2: Gráficos de + e, respectivmente. Exemplo 5.3. []Sej osegmentoderetligndoorigemeoponto (,);então podeserprmetrizdo por: γ : [,] R 2 tlque γ(t) = (t,t). Fzendo h(t) = t,então γ (t) = γ(h(t)) = ( t, t), γ () = (,) e γ () = (,) Figur5.3: Gráficos de + e, respectivmente.

11 5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 39 [2] Sej o círculo unitário; então pode ser prmetrizdo por: γ(t) = (cos(t),sen(t)), t [,2π]; fzendo h(t) = 2π t,então: γ (t) = γ(h(t)) = (cos(2π t),sen(2π t)) = (cos(t), sen(t)). Noteque γ (t) = ( sen(t),cos(t)) e γ (t) = ( sen(t), cos(t)). Figur5.4: Gráficos de + e,respectivmente. A escolh de um sentido pr o vetor tngente um curv é chmd orientção d curv; logo, tod curv diferenciável tem dus possíveis orientções. De fto, Sej um curv diferenciável prmetrizd por γ = γ(t), t [, b]. Podemos definir o cmpo (contínuo) tngente unitário, por: T(p) = γ (t) γ (t), onde γ(t) = p, t (,b)etlque lim T(p)e lim T(p)existem. Nocsodeumcurvfechd, t + t b estes limites devem ser iguis. T tmbém é um orientção de ; por continuidde, temos que um curv possui dus orientções possíveis. As mudnçs de orientção são refletids n integrl de linh. Teorem 5.. Sejm F um cmpo de vetores, um curv de clsse com prmetrizção γ tl que F γ écontínueσ umreprmetrizção de.. Se σ preserv orientção e σ(i) = L,então: F L 2. Se σ inverte orientção, então: F L

12 4 APÍTULO 5. INTEGRAIS Em prticulr: F Prov: Porhipotese,existe h tlque γ = σ h; então γ (t) = σ (h(t)) h (t). Logo: b b F(γ(t)) γ (t)dt = (F(σ(h(t))) σ (h(t)))h (t)dt; fzendo mudnçdevriáveis s = h(t), temos: h(b) (F(σ(s)) σ (s))ds. Dependendo de h preservr ou inverter orientção, provmos o teorem. Logo,integrldelinh dependedocmpo e dprmetrizção dcurv. Proposição 5.. h(). Lineridde: Sejm, b R, F, G cmpos devetores e umcurvdeclsse ;então: F + bg = F + b G 2. Aditividde: Se dmite umdecomposição em ncurvs i, i =...n, então: n F i= i As provs dests proprieddes seguem d definição de integrl de linh. Proposição5.2. Sej F umcmpogrdiente compotencil f,declsse e umcurvdeclsse quelig ospontos P e Q;então: f(q) f(p) A integrl dos cmpos grdientes não depende d curv que lig os pontos P e Q, somente depende dos pontos. Em prticulr: Prov: Sej γ um prmetrizção de clsse de tl que γ() = P, γ(b) = Q e H(t) = f(γ(t)); pel regr d cdei, H (t) = f(γ(t)) γ (t). Utilizndo o teorem fundmentl do cálculo: b b f(γ(t)) γ (t)dt = H (t)dt = H(b) H() = f(q) f(p).

13 5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 4 Exemplo 5.4. [] lcule F, onde F éocmpo dequdrdoinversoe éprmetrizd por: γ(t) = ( t 4 4,sen3( π t ), ), t [,2]. Sbemos que F é um cmpo grdiente com potencil f(x,y,z) = ldo P = γ() = ( 4,,) e Q = γ(2) = (4,,); logo: f(4,,) f ( 4,,) = 5k 4. k por outro x 2 + y 2 + z2; [2] Sejm F(x,y) = (x 2,xy) e curv formd pelo rco de prábol y = x 2, x e pelosegmentoderetquelig (,) e (,). lcule F. Figur 5.5: Exemplo[2]. A curv dmite um decomposição em 2 curvs e 2, com prmetrizções dds por γ (t) = (t,t 2 ) e γ 2 (t) = ( t, t), t, então: F + F 2 2 onde γ2 (t) = (t,t), t. [3] Sej F o cmpo rdil de qudrdo inverso, pr k =. lcule: obtidpelinterseçãodssuperfícies x 2 + y 2 = ez = 4. ( t 2 + 2t 4 )dt = 5, F, onde é curv A superfície x 2 + y 2 = é um cilindro circulr reto; logo interseção do cilindro com o plno z = 4éum círculo derio, quepodeserprmetrizdo por γ(t) = (cos(t),sen(t),4), t [,2π].

14 42 APÍTULO 5. INTEGRAIS Figur 5.6: Exemplo[3]. γ (t) = ( sen(t),cos(t),) e F(γ(t)) γ (t) = ; então. [4] Sej F(x,y) = (xy,x 2 ). lcule F, onde éseguintecurv: - Figur 5.7: Exemplo[4]. Prmetrizmos curv por 5 segmentos de ret: Então: γ + (t) = (,2t ), γ+ 2 (t) = (t,) γ+ 3 (t) = ( t, t), γ+ 4 (t) = (t, t) e (t) = ( t, ), t [,]. γ + 5 donde obtemos: dt + + t dt 2 F F ( t) 2 dt 2 F F t 2 dt + F, ( t)dt = 3. [5] Determine o trblho relizdo pel forç F(x,y) = ( x + 2, ) pr deslocr um prtícul o longo d trjetóri dd y + 3 por:

15 5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 43 - Figur 5.8: Exemplo[5]. Devemos clculr: + F F +. é o segmento de ret ligndo (,) e + 3 (, ) e é prmetrizdo por x(t) = t e y(t) = t, t [,]; logo, dx = dt e dy = dt. Então: + [ t + 2 ] dt =. 3 t 2 é o segmentoderet ligndo (, ) e (,) e é prmetrizdo por x(t) = e y(t) = 2t, t [,]; logo, dx = edy = 2dt. Então: + 2 dt t + = ln(2). 3 é o segmento de ret ligndo (,) e (,); consideremos 3 que lig (,) e (,) e é prmetrizdo por x(t) = t e y(t) = t, t [,]; logo, dx = dt e dy = dt. Assim: 3 3 [ t ] dt = ln(2). t + 3 Então: ln(2) ln(2) =. [6] Sej F(x,y,z) = (x 2 + y, y z,xz 2 ). lcule F, onde e formd pelos segmentos de rets, 2 e 3 que ligm os pontos (,,) (,,); (,,) (,,) e (,,) (,,), respectivmente.

16 44 APÍTULO 5. INTEGRAIS Figur 5.9: Exemplo[6]. Prmetrizmos curv = 2 3 por γ, β, η : [,] R 2, onde γ(t) = (t,,), β(t) = (,t,) e η(t) = (,,t). Poroutroldo γ (t) = (,,), β (t) = (,,) e η (t) = (,,); F(γ(t)) = (t 2,,), F(β(t)) = ( + t,,) e F(η(t)) = (2, t,t 2 ); então: 2 t 2 dt = 2 3. [7] lcule x 2 + y 2 2y = ez = y. F, onde F(x,y,z) = (x,y,z) e é curv obtid pelinterseçãods superfícies 2 z 2 x 2 y 2 Figur 5.2: Exemplo[7]. Asuperfíciedefinidpor x 2 + y 2 2y = éum cilindro circulr retoderio igul; defto, x 2 + y 2 2y = x 2 + (y ) 2 ez y = éumplnopssndopelorigem. Ainterseçãoé solução do sistem: { x 2 + y 2 2y = y = z, donde obtemos curv fechd x 2 + (z ) 2 =. O cmpo F é conservtivo, com potencil f(x,y,z) = 2 (x2 + y 2 + z 2 );logo:.

17 5.4. APLIAÇÃO Aplicção Sej F umcmpodevetorescontínuoquerepresentforçquemoveumprtículolongo de um curv de clsse 2, prmetrizd por γ = γ(t), t [,b] e tl que γ() = A e γ(b) = B. PelsegundleideNewton,forç F gindo olongode é ddpor: F(γ(t)) = m γ (t), onde mémssdprtícul; logootrblho relizdo pelprtícul é: W = b m γ (t) γ (t)dt = m 2 plicndo o teorem fundmentl do cálculo: b d dt( γ (t) γ (t) ) dt = m 2 b d dt γ (t) 2 dt, W = m 2 ( γ (b) 2 γ () 2). A energicinétic deumprtícul Qdemss m éddpor: onde v = v(t) évelocidde dprtícul; logo, K(Q) = m 2 v (t) 2, (3) W = K(B) K(A). Se F éumcmpogrdiente,istoé, f,prlgum f declsse,energipotencilde um prtícul Q é P(Q) = f(q);logo, P;então: (4) W = P = ( P(B) P(A) ). De (3) e (4), temos: P(A) + K(A) = P(B) + K(B). Logo,seumprtículsemovedeumponto Aoponto B,comumcmpodeforçconservtivo, som d energi potencil e d cinétic permnece constnte. Isto é conhecido como lei d conservção d energí mecânic. O resultdo nterior pode ser estendido pr sistems compostos por um número N de prtículs como gses, fluidos, etc.

18 46 APÍTULO 5. INTEGRAIS 5.5 Exercícios. lcule f,onde: () f(x,y) = 2xy 2 e éprmetrizd por γ(t) = (cos(t),sen(t)), t π 2. (b) f(x,y) = x 2 + y 2 e éocírculo x 2 + y 2 = 4de A = (2,) B = (,2). (c) f(x,y) = x 2 + y 2 e éretqueligospontos A = (2,) B = (,2). (d) f(x,y) = x2 y 2 x 2 + y 2 e éocírculo x2 + y 2 = 4de A = (2,) B = (, 3). (e) f(x,y,z) = e z e éprmetrizd por γ(t) = (,2,t 2 ), nointervlo [,]. (f) f(x,y,z) = x + y e é curv obtid pel interseção de z = x 2 + y 2, z 2 e x = y, y. (g) f(x,y) = x + y e éretquelig ospontos A = ( 2,) B = (2,2). (h) f(x,y) = x + y e éretquelig ospontos A = (2,2) B = (2,). 2. lcule F, onde: () F(x,y) = (y + 3x,2y x) e é elipse 4x 2 + y 2 = 4, percorrid no sentido ntihorário. (b) F(x,y) = (xy, y) e é formdo pelret que ligndo A = ( 3, 3) B = (,) e pelorco dprábol y = x 2 de B = (2,4). (c) F(x,y) = (y, x) e é stróide. (d) F(x,y) = (x 2 +y 2,x 2 y 2 )e éocírculocentrdonorigem,percorridnosentido nti-horário. (e) F(x,y,z) = (x,y,xz y)e éosegmentoderetligndo (,,) e (,2,4). (f) F(x,y,z) = (x 2 y 2,z 2 x 2,y 2 z 2 ) e é curv obtid pel interseção desfer x 2 + y 2 + z 2 = 4eoplno y =, percorridnosentidonti-horário. 3. lcule y dx + x 2 dy, onde é curv prmetrizdpor: () γ(t) = (cos(t),sen(t)), t [,2π] (b) O qudrdo de vértices (±, ±)

19 5.5. EXERÍIOS 47 (c) Oqudrdodevértices (,), (,), (,) e (,) 4. lcule o trblho relizdo pelo cmpo de forç ddo: () F(x,y) = (x 2 y 2,2xy) o mover um prtícul o longo d fronteir d região limitd por [,] [,], ( > ). (b) F(x,y,z) = (y,x,z 2 )prdeslocr umprtículo longodhélice: doponto (2,,) o ponto (2,,4π). γ(t) = (2cos(t),2sen(t),2t) (c) F(x,y,z) = (y,z,x) pr deslocr um prtícul o longo de γ(t) = (t,t 2,t 3 ) do ponto (,,) o ponto (2,4,8). (d) F(x,y) = 4P(x,y) P(x,y) 3, onde P é o vetor posição, pr deslocr um prtícul o longodocírculo x 2 + y 2 =, x >, doponto (,) oponto (,). 5. Verifique que F é independente do cminho, chndo seu potencil, em cso firmtivo: () F(x,y) = (3x 2 y,x 3 + 4y 3 ) (b) F(x,y) = (2xsen(y) + 4e x,cos(y)) (c) F(x,y) = ( 2y 3 sen(x),6y 2 cos(x) + 5) (d) F(x,y,z) = (y + z,x + z,x + y) (e) F(x,y,z) = (y sec 2 (x) z e x,tg(x), e x ) (f) F(x,y,z) = (2xz + y 2,2xy + 3y 2,e z + x 2 )) 6. Determine s constntes pr que s integris sejm independentes do cminho: () (b) (y 2 xy)dx + k (x 2 4xy)dy. (z 2 y 2 sen(x))dx + by cos(x)dy + xz dz.

20 48 APÍTULO 5. INTEGRAIS 7. Sej F(x,y) = (x 2 y,y 2 ) e curv formd pel reunião dos segmentosde ret, 2, 3 e 4, comonfigur: Figur 5.2: () Prmetrize curv. (b) lcule F.