Texto Didático. Tendências e Raízes Unitárias*

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1 Texo Didáico Tendências e Raízes Uniárias* Rogério Silva de Maos Universidade Federal de Juiz de Fora Deparameno de Economia rogerio.maos@ufjf.edu.br Maio, 2018 Copyrigh Rogério Silva de Maos * Ese exo foi produzido para supore ao ensino de economeria de séries emporais. O auor vem lecionando esa maéria ao longo dos úlimos see anos, na disciplina Economeria III do curso de graduação em economia da Universidade Federal de Juiz de Fora. O exo foi feio com o objeivo de conribuir para um melhor enendimeno da maéria não só por alunos de graduação em economia, mas por odos aqueles ineressados no assuno. Devido ao seu caráer inroduório, o exo evia abordar a eoria assinóica que é ípica da eoria esaísica subjacene à moderna economeria de séries emporais. A grande moivação para escrever o documeno veio da escassez de bons exos inroduórios, ano em poruguês como em ouras línguas, que apresenem os conceios de forma clara e ao mesmo empo com boa dose de precisão. Quaisquer comenários são bem vindos. O auor agradece a Lucas Picardi por comenários a uma prévia versão dese exo, sem lhe aribuir qualquer responsabilidade por erros e omissões aqui presenes.

2 Copyrigh Rogério Silva de Maos ii

3 Sumário 1. Inrodução Tendência Deerminísica Tendência Esocásica Processo Esacionário Processo Inegrado Raíz Uniária Decomposição de Beveridge & Nelson Diferença Esacionária Média e Variância Passeio Aleaório Memória e Choques Os Quaro Processos Teses de Raiz Uniária Represenação Geral Tese de Dickey-Fuller Tese de Phillips Perron Tese DF GLS Tese Pono-Óimo de ERS Tese ADF com Sazonalidade Comenários Finais Apêndice 1: Decomposição de Beveridge e Nelson Apêndice 2: Relações enre Conceios Referências Copyrigh Rogério Silva de Maos iii

4 1. Inrodução Uma boa e adequada compreensão dos méodos da Economeria de Séries Temporais (EST) pode ser obida a parir das noções de endência. Em esaísica, o ermo endência há muio empo é viso como um padrão de crescimeno ou decrescimeno persisene no comporameno de uma série emporal 1 a longo prazo. Aualmene, no âmbio da moderna EST, o conceio de endência ambém em a ver com padrões especiais de não-esacionariedade do mecanismo real que gera uma série emporal. Há duas noções básicas de endência que esudaremos aqui: a endência deerminísica e a endência esocásica 2. Inicialmene, visando um bom enendimeno da primeira, usaremos a noção mais aniga de endência, ao passo que, para enender a segunda, precisaremos do conceio de não-esacionariedade em processos esocásicos. As noções de endência deerminísica e esocásica são muio imporanes na forma que os economerisas descrevem modernamene a não esacionariedade das séries econômicas. O conceio cenral usado para isso é o de processo inegrado e, em paricular, sua represenação aravés de modelos lineares do ipo ARIMA(p,d,q). Dessa úlima, vem o conceio de processos com raízes uniárias. O uso de processos inegrados em EST é moivado pelo fao de que suas realizações revelam comporamenos semelhanes aos de muias séries econômicas, inclusive no que respeia à presença ípica de endências. Veremos que, dependo da forma como se usa a represenação de processo inegrado, os dois ipos de endência, deerminísica e esocásica, se manifesam isoladamene ou em conjuno. Em paricular, a presença da endência esocásica confere a uma série econômica um padrão de reação permanene a choques exógenos que em grande relevância para a análise de políicas econômicas. Assim, ser capaz de disinguir nos dados emporais essas duas formas de endência adquire imporância praicamene equivalene à verificação de não esacionariedade. Essa verificação, por ouro lado, ambém é fundamenal como o primeiro eságio da consrução de modelos economéricos de ST. Ela é feia aravés dos chamados eses de raíz uniária. Assim, além de discuir o conceio de endência, ese documeno ambém apresena uma sínese de alguns eses de raíz uniária muio usados em EST. Anes de apresenar os eses, faz se uma breve discussão sobre a esruura de ese proposa inicialmene por Dickey e Fuller (1979 e 1981) e que depois veio a ser seguida pela maioria dos economerisas, embora não odos, que desenvolveram eses de raíz uniária. Feio isso, são enão apresenados os eses de Dickey Fuller aumenado, de Phillips Perron e os dois procedimenos de Ellio e all (1995; eses DF GLS e Pono Óimo). Todos esses eses são apresenados para análise de séries sem sazonalidade, mas, ao final, o procedimeno do ese ADF para séries com sazonalidade é abordado. O exo pressupõe que o leior possua noções de modelos clássicos de decomposição de séries emporais (em componenes de endência, ciclo e sazonalidade) 1 O ermo endência, na sua versão em inglês rend, aparece pela primeira vez no esudo de Hooker (1901), que propôs uma forma de modelar os movimenos seculares de uma série emporal aravés de médias móveis. 2 De ambas essas noções, derivam ainda ouras inerpreações do componene de endência de uma série emporal. Uma discussão insruiva a esse respeio é feia por Phillips (2010). Copyrigh Rogério Silva de Maos 1

5 e de modelos de regressão linear múlipla. Além disso, é imporane que possua ambém conhecimenos sobre a meodologia de Box e Jenkins para consrução de modelos ARIMA, uma vez que a moderna EST esá basane desenvolvida sobre conceios ípicos dessa meodologia. 2. Tendência Deerminísica Considere que Y represena uma variável econômica qualquer, como o PIB ou o nível de emprego. Agora, assuma que esa variável é gerada por um processo esocásico simples, como segue: Y TD u TD a b (1) onde a e b são consanes reais, é a variável empo e u é um processo esocásico esacionário com média nula. O componene de Y dado por TD = a+b é chamado usualmene de endência deerminísica. Essa forma de denominar esse componene decorre de dois aspecos. O primeiro é que, visualmene, no plano caresiano Y, a expressão TD = a+b represena uma linha rea que, quando b 0, possui uma inclinação que pode ser posiiva ou negaiva. Nese caso, a inclinação indica que uma pare de Y cresce ou decresce persisenemene no empo, daí represenar uma endência. Será uma endência de crescimeno ou posiiva se b > 0, e de decrescimeno ou negaiva se b < 0. Observe as figuras 1.a) e 1.b). a) Linear Posiiva b) Linear Negaiva Copyrigh Rogério Silva de Maos 2

6 c) Quadráica Explosiva d) Quadráica Amorecida Figura 1. Tipos de Tendência Deerminísica O segundo aspeco decorre de que a endência assim caracerizada, segundo uma relação maemáica exaa, expressa um padrão fixo e previsível. Ou seja, um padrão deerminísico, porque esa palavra se refere a algo que se pode deerminar ou prever com cereza. De fao, TD = a+b significa que uma pare de Y sofre um acréscimo fixo e previsível de b unidades a cada período de empo, iso é: TD ab) ( ab( 1)) b ( (2) Junando, enão, a noção de persisência com a de padrão fixo e previsível, a expressão TD = a+b represena um endência deerminísica embuida na evolução emporal de Y. Além desses aspeco, essa expressão caraceriza um padrão linear, iso é, a endência deerminísica é uma função afim de que, visualmene, corresponde a uma rea. Por esse moivo, diz-se que ela represena uma endência deerminísica linear. Vale ressalar, no enano, que é possível falar-se de ouros padrões de endência deerminísica. Suponha que, ao invés de (1), a seríe Y evoluísse no empo segundo: Y TD u TD abc 2 onde c é ambém uma consane real. Agora, a pare de Y correspondene à TD ambém é um padrão deerminísico de crescimeno no empo. A cada período, uma pare de Y cresce ou decresce em TD = (bc)+2c unidades, porano, segundo um padrão previsível ambém. Porém, esse crescimeno se dá de forma variável, iso é, que depende de. Agora, a endência deerminísica é uma função não linear de e sua visualização no plano Y não é mais de uma linha rea, mas de uma linha em curva. Noe ambém que essa curva represenará um padrão de crescimeno explosivo, se c > 0, ou amorecido, se c < 0. Observe as figuras 1.c) e 1.d). No caso aqui considerado, TD = a+b+c 2 represena uma endência deerminísica quadráica (porano, não-linear). É fácil imaginar ainda vários ouros padrões não lineares que podem ser represenados, como endência deerminísica cúbica, endência deerminísica exponencial, ec. Copyrigh Rogério Silva de Maos 3

7 O modelo (1) para Y é usualmene chamado na lieraura de EST de endência esacionária. Esse nome vem do fao de que Y possui uma pare represenada pela endência deerminísica linear TD = a+b e oura pare represenada pelo processo esocásico esacionário u. Assim, Y represena um ipo de processo que oscila aleaoriamene de forma esacionária em orno de uma endência deerminísica linear. É imporane disinguir aqui essas duas pares da endência esacionária. Usaremos as figuras 2.a) e 2.b) como ilusração. A figura 2.a) mosra um exemplo de série emporal que segue um processo esocásico puramene esacionário. Esa série foi simulada arificialmene segundo um processo AR(1), caracerizado como Y = 0,6Y 1 +, onde é um ruído branco normal. Noe que a série não apresena qualquer endência, iso é, qualquer padrão de crescimeno ou decrescimeno persisene no empo. Parece apenas que a série fica oscilando em orno de uma consane próxima de zero ao longo do empo. Observe agora a figura 2.b). Ela mosra um exemplo de série emporal que segue uma endência esacionária propriamene dia. Repare que, niidamene, a série parece oscilar aleaoriamene em orno de um padrão de crescimeno persisene que se assemelha a uma endência deerminísica linear, no caso crescene. De fao, esa série foi simulada arificialmene segundo o modelo (1), onde TD 20, 15 e u 0,6u 1. Ou seja, a série foi simulada como a soma de uma endência deerminísica linear mais um processo esocásico esacionário, porano exaamene como a endência esacionária do modelo (1) a) Processo Esacionário b) Tendência Esacionária Y 0,6Y 1 Y 20,15 u u 0,6u 1 Figura 2. Processos esacionário e endência esacionária. Dados simulados. Nauralmene, a noção de endência esacionária pode ser esendida ao modelo em que Y represena um processo esocásico que oscila de forma esacionária em orno de uma endência deerminísica quadráica. No enano, ao longo dese exo, quando falarmos de endência esacionária, esaremos pensando usualmene naquele ipo represenado pelo modelo (1), que embue uma endência deerminísica linear. Há ainda dois aspecos ineressanes a observar sobre a endência deerminísica linear do modelo (1). Nese exo, em geral esaremos assumindo que o insane = 0 corresponde a um momeno inicial em que o valor do processo esocásico é conhecido. Assim, a consane a corresponde ao valor inicial da endência deerminísica, de modo que podemos dizer TD 0 a. Isso é imporane porque podemos enender a endência deerminísica linear de um modo um pouco diferene. Observe que ela pode ser escria alernaivamene como: Copyrigh Rogério Silva de Maos 4

8 TD 0 vezes TD0 b b b TD b (3) Ou seja, a endência deerminísica linear é al que, a cada insane de empo a parir de = 1, um choque deerminísico de magniude b é aplicado sobre TD 0. O efeio de cada choque persise na dinâmica emporal de TD de modo que os efeios dos choques vão se acumulando. Em um dado insane, o ermo b corresponde à acumulação desses choques deerminísicos adicionados vezes ao valor inicial TD 0. Chamares aqui o ermo b de núcleo da endência deerminísica linear. Faremos assim porque na expressão TD ab é ele que faz a endência deerminísica linear ser o que é. Se não houvesse ele, iso é, se fosse b = 0, enão seria simplesmenetd a, mas nese caso não eríamos endência alguma. Por ouro lado, se o ermo consane é que fosse nulo, iso é a = 0, a endência deerminísica seria igual ao seu núcleo: TD b Nese caso, o valor inicial seria nulo, iso é, TD 0 a0, mas coninuaríamos endo uma endência deerminísica linear. Finalmene, vale observar que a represenação de processo ipo endência esacionária para Y em (1) fornece um princípio para remoção da endência de uma série emporal. Conhecido em inglês como derending, ese procedimeno já foi muio usado por esaísicos e economerisas ineressados em esudar ciclos embuidos no comporameno de séries econômicas. De acordo com o modelo em (1), remover a endência de Y é simplesmene compuar: u Y TD Y ab Na práica, esse procedimeno é implemenado esimando-se anes os parâmeros a e b, o que é feio normalmene usandose o méodo dos mínimos quadrados ordinários. Compua-se uˆ Y aˆ bˆ, iso é, uma esimaiva de Y com a endência removida e enão analisa-se para idenificação de padrões cíclicos e/ou sazonais. O esudo de ciclos é um ópico fascinane da análise de séries emporais, mas não iremos nos deer sobre ele nese exo. 3. Tendência Esocásica Há ouro conceio muio imporane em EST que é o de endência esocásica. Em geral, os economerisas enendem endência esocásica como um crescimeno persisene no empo que é aleaório, e não fixo como a consane b no caso da endência deerminísica linear em (1)-(2). Se designarmos a endência esocásica por TE, isso significa que: TE (4) Copyrigh Rogério Silva de Maos 5

9 onde ε é uma variável aleaória. Em paricular, os economerisas cosumam assumir que ε é um processo esocásico esacionário com média nula, variância consane e descorrelaado no empo 3. Repare que, se reescrevermos a expressão (4) de oura forma, subraindo TE 1 de ambos os lados da equação, obemos: TE 1 (5) TE Essa nova expressão (5) é que represena efeivamene a endência esocásica porque caraceriza a evolução no empo para a variável em nível TE. A figura 3.a) ilusra o comporameno dinâmico de uma endência esocásica aravés de uma série emporal simulada segundo (5) a) Tendência Esocásica b) Tendência Geral TE TE 1 TG TD TE TD 0, 25 Figura 3. Tendência esocásica e endência geral. Dados simulados. Em ambos os gráficos, Y 0 = 0 e é um ruído branco. Os economerias cosumam chamar o ermo de erro de choque exógeno ou choque aleaório. Assim como fizemos no caso da endência deerminísica linear, podemos rabalhar mais a expressão (5) e verificar que a endência esocásica ambém pode ser visa como uma acumulação de incremenos, ou melhor, de choques. Assumindo que o valor inicial TE 0 é conhecido (assim como fizemos com TD 0 ) e realizando subsiuições sucessivas da expressão (5) denro dela mesma: TE TE TE0 j j1 (6) Ou seja, a endência esocásica no período corresponde ao valor inicial TE 0 mais a acumulação de odos os erros ou choques passados aé. Aqui, chamaremos o ermo de núcleo da endência esocásica porque ele é que a caraceriza enquano al. j1 j 3 O ermo endência esocásica é basane usado na lieraura de EST, mas nunca é definido de um modo explício. Por isso, aconece de diferenes auores conceiuálo de diferenes maneiras. Por exemplo, Box e Jenkins (1970, p.92) definem endência esocásica de modo genérico como E( d Y )=, onde é uma consane não nula. Aualmene, parece haver cera unanimidade enre a maioria dos auores de que endência esocásica seria a definição que esamos usando aqui nas expressões (4) ou (5). Copyrigh Rogério Silva de Maos 6

10 Se o valor inicial for nulo, iso é, TE 0 0, enão a endência esocásica se orna idênica ao seu núcleo: TE j1 (7) j Agora, considere uma variável Y que segue um processo esocásico simples composo por uma endência esocásica mais um erro, iso é: Y TE u TE TE 1 (8) onde u é um erro aleaório com média nula e variância consane. Esse ipo de processo esocásico veremos muias vezes ao longo dese exo. Se quisermos remover a endência esocásica de Y, procedemos de modo análogo ao que fizemos no caso da endência deerminísica, iso é: u Y TE (9) Basa, porano, subrair a endência esocásica da variável Y. Ouro ipo de processo esocásico que veremos ambém várias vezes embue ambas as formas de endência: Y TD TE u TD ab TE TE 1 (10) Ese caso ambém é de grande ineresse porque muias séries econômicas aparenam er esse comporameno, iso é, parecem apresenar um padrão de persisência que resula de um acréscimo fixo, como em (2), somado a um acréscimo aleaório, como em (4). Ese ipo de padrão dá origem à chamada endência geral: TG TD TE (11) A figura 3.b) ilusra esse padrão de endência geral. Ele engloba ambas as formas de endência deerminísica e esocásica junas. O processo para Y em (10), porano, é composo por uma endência geral mais um erro esacionário. Noe aqui que, para remover a endência dese ipo de processo, não basa subrair TD de ambos os lados, porque permaneceria a endência esocásica TE. A remoção complea da endência envolveria expurgála da endência geral, iso é: u Y TG A endência esocásica al como definida acima segue um ipo paricular de processo esocásico não esacionário conhecido como processo inegrado de ordem um. Esse conceio de processo inegrado possui um papel cenral na moderna EST. No inuio de compreender bem seu significado, vamos a seguir inroduzir alguns conceios Copyrigh Rogério Silva de Maos 7

11 relevanes associados às noções de esacionariedade e não-esacionariedade de um processo esocásico. 4. Processo Esacionário Seja Y um processo esocásico com as seguines caracerísicas: E ( Y ) (12) 2 Var ( Y ) (13) Cov( Y, Y s)s (14) Onde, 2 e s (s = 1,2,...) são consanes reais. Isso significa que Y apresena média e variâncias consanes no empo e auocovariâncias que dependem apenas da disância s enre os períodos e s. Ou seja, nem a média, nem a variância, nem as auocovariâncias do processo Y dependem do empo. Assim caracerizado, Y é um processo esacionário fraco. A propriedade esacionariedade fraca é uma forma resria do conceio mais amplo de esacionariedade. Na práica, os economerisas de ST cosumam rabalhar com essa forma fraca porque ela é mais operacional e aende saisfaoriamene à caracerização de processos esocásicos para séries emporais. Por isso, é esse conceio de esacionariedade que usaremos daqui em diane. Isso quer dizer que sempre que nos referirmos a um processo esocásico como esacionário, será no senido fraco al como caracerizado pelas condições (12), (13) e (14). Dado esse esclarecimeno, um ipo de processo esacionário muio conhecido é o chamado processo ruído branco. Ele é muio usado em esaísica e economeria para represenar os erros em modelos de regressão. Supondo que seja um processo ruído branco, isso significa que ele aende às caracerísicas (12), (13) e (14) porque apresena: média nula: E( ) 0 2 variância consane: Var ( ) auocorrelação nula: Cov(, ) 0 s1,2, s Essas caracerísicas do processo ruído branco esabelecem um ipo de variável puramene aleaória evoluindo no empo, porém de forma esacionária segundo a caracerização dada pelas condições (12), (13) e (14). Repare que é um processo desse ipo que usamos para caracerizar o ermo de erro da endência esocásica apresenada na expressão (5). Ouro ipo de processo esacionário muio conhecido é o chamado modelo ARMA(p,q), proposo por Box e Jenkins (1970) para se consruir modelos esaísicos de séries emporais. A sigla refere-se a AuoRegressive Moving Average, porque a represenação maemáica é dada por: Y Y Y (15) 1 1 p p 1 1 q q AR MA onde, 1,..., p, 1,..., q são parâmeros. A pare indicada como AR é a pare auorregressiva, onde se caraceriza a relação de Y com seus valores passados aé um Copyrigh Rogério Silva de Maos 8

12 lag máximo p. De forma análoga, o ermo indicado por MA é a pare média móvel dos erros presene e passados, onde se caraceriza a relação de Y com os esses erros aé um lag máximo q. Assume-se que esses erros seguem um processo ruído branco. Esse ipo de modelo fez muio sucesso enre economisas e economerisas e é usado aé hoje para modelagem e previsão de várias séries econômicas. O modelo ARMA(p,q) em (15) não necessariamene respeia as caracerísicas (12), (13) e (14) para que Y seja esacionário. Por exemplo, se o parâmero auorregressivo 1 for maior do que um, com os demais parâmeros auorregressivos 2, 3,..., p assumindo valores no inervalo (1,1), Y apresenará um comporameno explosivo. Enão, sob que condições o modelo ARMA(p,q) é um processo esacionário para Y? Para esabelecer isso com precisão, Box e Jenkins usaram uma represenação mais compaca do modelo ARMA(p,q), como segue: onde: ( B) Y ( B) (16) m B é o operador de defasagens (i.e., B z zm ), p ( B) 11 B pb é o polinômio auorregresivo ou AR, q ( B) 11B qb é o polinômio média móvel ou MA. O que garane que o modelo ARMA(p,q) de fao represene um processo esacionário é que o polinômio AR possua suas raízes fora do círculo uniário. É a chamada condição de esacionariedade. O polinômio MA pode er suas raízes em qualquer região do plano complexo que isso não afea a esacionariedade de Y, segundo o modelo ARMA(p,q). É, porano, no polinômio AR que esá ncrusada a condição de esacionariedade. No enano, Box e Jenkins rabalham o empo odo com a hipóese de que ambém o polinômio MA possui raízes fora do círculo uniário e chamam essa propriedade de inveribilidade. Fazem assim para garanir uma conveniência maemáica, qual seja, a de que a razão enre ambos os polinômios AR e MA resule num ouro polinômio que, apesar de possuir infinios ermos, é convergene (iso é, a razão é um número real). Isso garane que possamos escrever o modelo ARMA(p,q) de duas formas alernaivas: ( B) Y a ( B) (17) ( B) Y a ( B) (18) onde a /(1). Resumindo, o imporane é que os modelos ARMA(p,q) usados por Box e Jenkins, e que formam a base para a moderna EST, são esacionários e inveríveis. Esse ipo de processo vai ser imporane em uma das definições de processo inegrado que apresenaremos a seguir. Copyrigh Rogério Silva de Maos 9

13 5. Processo Inegrado Quando um processo esocásico viola pelo menos uma das condições (12), (13) ou (14), ele apresena a propriedade de ser não-esacionário. Porano, a expressão não-esacionariedade refere-se à violação da propriedade de uma série ou processo esocásico ser esacionário. Se apenas a média de um processo esocásico variar com o empo, iso é, se aconecer E( Y ) com as demais condições (13) e (14) manidas, isso é suficiene para fazê-lo não-esacionário. Um exemplo seria quando a média de Y é uma endência deerminísica linear, iso é: = a+b. De oura forma, se apenas a variância esiver variando com o empo, por exemplo segundo Var(Y ) = c 2 (com c consane e posiiva), enão Y seria ambém não esacionário. Nese caso, Y apresenaria um padrão heerocedásico. Em suma, basa que apenas uma das condições (12), (13) e (14) seja violada para ermos Y seguindo um processo não esacionário. Na verdade, exisem muios padrões de nãoesacionariedade. Por exemplo, alguns processos esocásicos podem gerar séries explosivas que crescem indefinidamene para + ou decrescem para. Ouros geram séries que oscilam enre um valor posiivo e ouro negaivo, com ampliude crescene. Podem ambém embuir padrões diferenes de endência que se misuram com um ciclo de modo adiivo ou muliplicaivo. Nese exo, quando falarmos de processo nãoesacionário, vamos nos limiar a um ipo paricular conhecido como processo inegrado. Dada a cenralidade que esse ipo de processo esocásico em na moderna eoria de EST, é conveniene precisarmos seu conceio. A seguir, apresenamos duas definições que aparecem na lieraura de EST, iniciando com uma que é mais geral ou ampla: Processo Inegrado (definição ampla): Um processo esocásico nãoesacionário para uma variável Y é chamado processo inegrado de ordem d, ou I(d), se é preciso diferenciálo ao menos d vezes para se ornar um processo esacionário. Segue desa definição ampla que se Y seguir um processo não esacionário inegrado de ordem 2, ou I(2), Y seguirá ambém um processo não esacionário e somene 2 Y é que seguirá um processo esacionário. Ou seja, precisamos diferenciar Y, em ao menos duas vezes para obermos um processo esacionário. Por sua vez, Y seguirá um processo inegrado de ordem um, ou I(1), porque basa diferenciar uma vez, para obermos um processo esacionário. Segue ainda da definição que um processo esacionário não precisa ser diferenciado, logo é um processo não inegrado. Usa se a erminologia processo inegrado de ordem zero ou I(0) para represenar um processo esacionário. O caso mais usual de processo inegrado é o de ordem um, ou I(1). Ele nos permie caracerizar o mecanismo gerador de muias séries econômicas. Embora já exisa uma significaiva lieraura economérica sobre processos I(2), falaremos nese exo somene de processos I(1). Um aspeco imporane de um processo I(1) é que ele pode ser escrio como: Z i i Y (19) Copyrigh Rogério Silva de Maos 10

14 onde Y é um processo I(1) e Z é um processo I(0). Ou seja, um processo I(1) é a soma ou acumulação dinâmica de valores para um processo I(0). Isso nos permie enender por que o ermo inegrado é usado. Ele é empresado da área de cálculo em maemáica, onde uma inegral represena uma soma de valores de uma função e a operação inversa, a derivada, uma diferença. De fao, veja que Y, al como definido em (19), aende à definição de processo inegrado de ordem (1), ou I(1), porque sua primeira diferença: Y Y Y Zi 1 1 Zi Z (20) i i segue um processo I(0). Observe que os faos em (19) e (20) coninuam valendo se considerarmos um período inicial arbirário = 0 em que Z 0 a e a é uma consane conhecida. Nese caso, basa rocar o símbolo por a nas expressões (19) e (20). O conceio de processo inegrado de ordem d, ou I(d), vem da represenação de processos esocásicos como modelos lineares da classe ARIMA(p,d,q). De fao, o parâmero d de um modelo ARIMA(p,d,q) represena o número de vezes que se em de diferenciar o processo esocásico aé ele se ornar esacionário. Por esse moivo, um adequado enendimeno dos conceios e écnicas da moderna EST fica faciliado se pensarmos processos inegrados I(d) e modelos ARIMA(p,d,q) como sinônimos 4. Iso nos leva aqui a apresenar oura definição de processo inegrado, apresenada por Engle e Granger (1987), que é mais resria do que a anerior: Processo inegrado (definição resria de Engle e Granger (1987)): Um processo esocásico nãoesacionário sem ermos deerminísicos para uma variável Y é chamado processo inegrado de ordem d, ou I(d), se é preciso diferenciálo ao menos d vezes para se ornar um processo esacionário do ipo ARMA(p,q) inverível. Noe que esa definição é mais resria porque exige que o processo esacionário I(0) que resula após diferenciarmos Y por d vezes seja um modelo ARMA(p,q) esacionário e ambém inverível, al como explicamos aneriormene. Mais ainda, ambém exige que o modelo ARIMA(p,d,q) para Y não possua ermos deerminísicos. Por exemplo, considere os rês processos esocásicos ARIMA(0,1,1) a seguir: Y Y Y 0, ,5 1 1 Esses rês processos são esacionários para Y e não esacionários para Y. Apesar de os rês serem esacionários para Y, somene o erceiro se enquadra na definição resria de processo inegrado. Noe que o primeiro não aende à condição de inveribilidade porque o polinômio média móvel é igual a ( 1 2B) e, porano, possui uma raiz B = 1/2 que fica denro do círculo uniário. O segundo aende essa condição, mas apresena uma consane igual a 1, logo possui um ermo deerminísico. Só o erceiro se enquadra na definição resria, porque não em consane (iso é, ela é igual a zero) e é inverível. 4 O leior deve ser avisado, porém, que há processos esocásicos não esacionários mais gerais, represenados de forma não paramérica, que podem ser caracerizados como inegrados. A ese respeio, pode ser viso o rabalho de Sock (1994), mas avisamos desde já que raase de exo avançado. Copyrigh Rogério Silva de Maos 11

15 Muios livrosexo e pare da lieraura em geral sobre EST usa a definição ampla. No resane dese documeno, iremos seguir a definição resria. Preferimos fazer assim porque ela nos leva a apresenar a eoria de EST com menos inconsisências. Ela nos permie idenificar um processo inegrado I(d) com um modelo ARIMA(p,d,q) al como na expressão (16), mas assumindo que a consane é nula ( = 0) e que o polinômio média móvel é inverível. Mais ainda, a definição resria implica uma associação ínima enre processo inegrado e a presença de raízes uniárias na pare AR do modelo ARIMA(p,d,q). Ese é o assuno da próxima seção. 6. Raíz Uniária Vamos considerar agora o caso paricular de um processo inegrado escrio como um modelo ARIMA(p,1,q) da seguine forma: ( B) Y ( B) (21) onde (B) é o polinômio auorregressivo de grau p e (B) o polinômio médias móveis de grau q, ambos definidos no operador de defasagens B, e é um processo esacionário de ipo ruído branco. Repare que esamos omiindo a consane do lado direio de (21), ou seja, esamos assumindo que ela é nula. Vamos assumir que ambos os polinômios (B) e (B) são ais que apresenam raízes fora do círculo uniário, logo o processo em (21) respeia as condições de esacionariedade (para Y ) e de inveribilidade. Assim, o processo para a variável em nível Y é não esacionário do ipo I(1), no senido de que precisa ser diferenciado uma vez para se ornar esacionário. Além disso, ele admie uma represenação ARMA(p,q) inverível e assim aende a definição resria de processo inegrado que esamos usando. O ermo em primeira diferença Y do lado esquerdo de (21) é, porano, esacionário ou I(0). Uma oura forma de expressar udo isso é dizer que o processo para Y possui uma raiz uniária. Ese ermo vem do fao que o polinômio auorregressivo (B) muliplica = (1-B), consiuindo assim o polinômio expandido (B) = (B)(1-B), de grau p + 1. Claramene, esse polinômio possui uma raiz uniária dada por B = 1. Por essa razão, em EST o processo para Y em (21) é chamado de processo de raiz uniária. Noe que se refere a um processo com apenas uma raiz uniária no polinômio auorregressivo expandido, ou na pare AR, e sem nenhuma raiz uniária no polinômio MA, ou na pare MA 5. Observe que, obviamene, ele represena um processo sem raiz uniária para a variável em primeiras diferenças Y. Perceba agora que, uma vez que o polinômio auorregressivo (B) aende às condições de esacionariedade, podemos inverê-lo e re-escrever (21) como: ( B) Y. (22) ( B) 5 Esaremos chamando aqui de processo de raiz uniária (no singular) ao processo com uma única raiz uniária na pare AR, al como descrio em (21). Nese caso, ele equivale a um processo I(1) segundo nossa definição definição de processo inegrado. Quando houver mais de uma raiz uniária na pare AR, esaremos chamando de processo de raízes uniárias, iso é, no plural. Observe ambém que a expressão raiz uniária ao longo dese documeno sempre dirá respeio à pare AR, a menos que especificado de oura forma. Copyrigh Rogério Silva de Maos 12

16 O ermo no lado direio de (22) represena um processo esocásico esacionário, ou I(0), e do ipo ARMA(p,q) inverível devido às hipóeses que esamos adoando. Visando faciliar a exposição, vamos denominar esse ermo como u e re-escrever (22) de uma forma ainda mais simples: Y u (23) Observe que a expressão (23) na verdade represena um processo com uma raiz uniária para Y, porque foi desenvolvido a parir do modelo ARIMA(p,1,q) da equação (10). Veja ambém que ela represena um processo esacionário ou I(0) para Y (porque u é I(0)) e um processo não esacionário ou I(1) para Y. Somando Y -1 a ambos os lados de (23), obemos: Y Y 1 u (24) A expressão (24), e não a expressão (23), é a forma mais usual de se represenar um processo inegrado de ordem um ou I(1). Daqui para a frene, esaremos às vezes chamando o processo I(1) em (24), que não apresena consane ou nenhum ermo deerminísico, de processo de raiz uniária. A figura 4.a) ilusra ese ipo de processo, apresenando uma série simulada segundo a expressão (24) com os erros seguindo um processo MA(1), iso é, u 0,5 1. Assumindo que o processo para Y começa em = 0 com um valor conhecido Y 0 e realizando subsiuições sucessivas da expressão (24) denro dela mesma: chegamos a: Y = (Y 2 + u 1 ) + u. = (Y 3 + u 2 ) + u 1 +u = Y = Y 0 + u 1 + u u 1 +u = Y 0 + i=1 u i (25) Assim, um processo I(1) ou de raiz uniária ambém pode ser viso como a acumulação de erros ou choques que seguem um processo esacionário ou I(0). Ele esá represenado pelo ermo i 1 ui no lado direio de (28). De fao, como assumimos que Y 0 é uma consane dada, ese ermo é um processo I(1). Mas, a expressão (25) ambém nos chama a aenção para ouro aspeco. Os choques passados u -1, u -2,... repercuem sobre o valor aual de Y de forma persisene, iso é, sem decair de imporância ao longo do empo. Ou seja, em processos I(1) ou de raiz uniária, os choques passados possuem efeios persisenes sobre Y, caracerizando ais processos como de ipo memória longa e conrasando com processos esacionários, que são do ipo memória cura. Falaremos sobre esses conceios de memória de processos em mais dealhe na seção 13. É imporane enfaizar aqui que um processo inegrado, segundo a definição resria que esamos usando, esá inimamene ligado à presença de raízes uniárias. Por exemplo, o processo para Y da equação (24) é I(1) devido à presença de uma raiz uniária na pare AR do modelo ARIMA(p,1,q) da equação (21). Assim, sempre que falarmos de processo inegrado, esaremos falando de um processo não esacionário do ipo ARIMA(p,d,q), iso é, que possui d raízes uniárias na pare AR. Observe ambém Copyrigh Rogério Silva de Maos 13

17 que seria possível um modelo ARIMA(p,d,q) possuir raízes uniárias na pare MA, mas nese caso ele seria nãoinverível. Daqui em diane, a menos que indicado de oura forma, quando falarmos em raízes uniárias esaremos nos referindo à pare AR porque a pare MA esaremos assumindo sempre que não possui raízes uniárias. 7. Decomposição de Beveridge & Nelson A figura 4.a) mosra um exemplo simulado de um processo de raiz uniária do ipo ARIMA(0,1,1) sem consane como descrio nas expressões (21)-(25). Noe que a série se compora de modo diferene de uma série esacionária. Ela não apresena um padrão de reornar para uma média consane. Ao conrário, mosra um padrão de evolução sem desino, enrelaçando fases disinas de crescimeno ou decrescimeno persisenes. Além disso, noe que a expressão (24) é muio parecida com a expressão (5) para a endência esocásica. A diferença enre ambas e que merece ser desacada é que: u é um processo ARMA(p,q) esacionário e inverível, ε é um processo ruído branco. Ou seja, a diferença esá na maneira como se caracerizam os erros. Em ambas as expressões, o erro é um processo I(0). Só que, no processo de raiz uniária ou I(1), o erro é um processo ARMA(p,q) e, na endência esocásica, o erro é um processo ruído branco. Em ouras palavras, a endência esocásica é um caso paricular de um processo de raiz uniária ou I(1) em que o erro é um ruído branco. No enano, embora o processo de raiz uniária represenado na expressão (24), com erro I(0) do ipo ARMA(p,q), não seja idênico à uma endência esocásica, Beveridge e Nelson (1981) mosraram que na verdade ele embue uma endência esocásica. Esses auores mosraram que odo modelo ARIMA(p,1,q) pode ser decomposo em um componene de endência esocásica mais um ermo I(0). Ese fao é conhecido na lieraura de EST como decomposição de Beveridge-Nelson (BN). Nós falamos disso em mais dealhe no Apêndice 1, mas vale a pena aqui pelo menos expressar formalmene essa idéia dizendo que o processo de raiz uniária na expressão (24) pode ser ransformado em: Y TE w (26) onde TE represena uma endência esocásica e w é um processo ARMA(p,q), porano esacionário. Assim, a mensagem implícia da decomposição BN é que: odo processo com uma raiz uniária pode ser decomposo em uma endência esocásica mais um processo esacionário. Esse aspeco vai ser muio imporane nas próximas seções dese documeno e será fundamenal para um correo enendimeno de como se aplicam os eses de raíz uniária. Copyrigh Rogério Silva de Maos 14

18 a) ARIMA(0,1,1): Y Y 1 0, 5 b) ARIMA(0,1,1) com consane: 1 Y,5 0, Y c) ARIMA(0,1,1): Y 0,5 d) ARIMA(0,1,1) com consane: 1 Y 0,5 0,5 1 Figura 4. Processos com raíz uniária (i.e., que embuem endência esocásica) e primeiras diferenças. Dados simulados. Em ambos os gráficos Y 0 = 0 e é um ruído branco Diferença Esacionária Volando ao processo inegrado ou de raiz uniária descrio nas expressões (21)- (25), noe que ele represena uma forma de não esacionariedade puramene esocásica. Isso é imporane porque significa que não há uma endência deerminísica envolvida, apenas um mecanismo puramene esocásico que imprime ao processo Y um padrão não-esacionário. Vejamos agora o que aconece se admiirmos que o processo ARIMA(p,1,q) em (21) possui uma consane 0 do lado direio: ( B) Y ( B) Podemos seguir os mesmos passos de anes e desenvolver uma nova versão da expressão (24): Y a (27) u Onde a /(1) é uma consane não nula e, como anes, u é um processo ARMA(p,q). Subraindo Y -1 de ambos os lados de (27): Y ay1 u (28) Copyrigh Rogério Silva de Maos 15

19 Seguindo os mesmos passos que anes e realizando subsiuições sucessivas da expressão (28) denro dela mesma: Y a( ay 2 u 1) u aa( ay 3 u 2) u 1 u chegamos a: u i i1 Y Y0 a (29) A expressão (28) mosra que a simples presença de uma consane não nula num processo ARIMA(p,1,q) inroduz mudanças imporanes. Primeiro, aparece uma endência deerminísica linear, devido à presença do ermo a, juno com um processo de raiz uniária (sem consane), represenado pelo ermo i 1 ui. Segundo, de acordo com a decomposição BN, ese úlimo ermo pode ser decomposo em uma endência esocásica mais um processo esacionário, como vimos na expressão (26). Desse segundo aspeco, decorre que o processo em (29) consise de: endência deerminísica linear + endência esocásica + ermo I(0). A imporância dese fao, e por isso o desacamos acima, é que um processo de raiz uniária puro como em (24) embue apenas endência esocásica, mas a mera adição de uma consane não nula em sua represenação, como em (28), faz com que ele apresene dois ipos de endência: uma deerminísica e oura esocásica. A figura 4.b) mosra um exemplo de série desse ipo, iso é, que embue endências deerminísica e esocásica junas. Esa série foi simulada arificialmene como um processo ARIMA(0,1,1) com consane, segundo a equação Y 0,5 Y 1 0, 5 1. Noe que, pela definição resria de processo inegrado, apenas o processo de raiz uniária em (24) pode ser chamado de I(1). Porém, ano ese processo quano aquele apresenado em (28) se ornam esacionários se forem diferenciados, como nas expressões (23) e (27), respecivamene. Reieramos que o processo na expressão (24) é o que chamamos aqui de processo de raiz uniária. Agora, observe que o processo na expressão (28), ao ser reescrio de oura forma na expressão (29), é a soma de uma endência deerminísica linear mais um processo de raiz uniária (sem consane como em (24)) ou I(1). Ao longo dese exo, vamos rabalhar com a noção de que ele é um processo não esacionário que embue um processo de raíz uniária ou I(1), mas não se idenifica exaamene com o úlimo. Por esse moivo, esaremos usando um nome diferene de raiz uniária ou I(1) para designar o processo da expressão (28). Vamos chamá-lo aqui de diferença esacionária, uma denominação inroduzida por Nelson e Plosser (1982) e que vem sendo usada recorrenemene na lieraura de EST. Ele recebe ese nome porque, assim como um processo I(1), se orna esacionário ao ser diferenciado uma vez (iso é, a diferenciação elimina conjunamene as endências deerminísica e esocásica). As figuras 4.c) e 4.d) ilusram essa caracerísica, pois mosram as primeiras diferenças das séries nas figuras 4.a) e 4.b), respecivamene. Noe que para as duas séries geradas por Copyrigh Rogério Silva de Maos 16

20 modelos ARIMA(0,1,1) sem e com consane, suas primeiras diferenças são séries esacionárias (mas só a segunda é um processo de ipo diferença esacionária). É ineressane aqui comparar o processo de diferença esacionária segundo (28) com aquele que chamamos aneriormene de endência esacionária e que foi represenado na expressão (1). Noe que ambos êm em comum o fao de que embuem uma endência deerminísica. De fao, a endência esacionária, como vimos, é uma endência deerminísica mais um processo esocásico esacionário e esá ilusrada na figura 2.b). O processo de diferença esacionária, por sua vez, é uma endência deerminísica mais um processo I(1) - ou melhor, se considerarmos a decomposição BN, uma endência deerminísica mais uma endência esocásica mais um processo esacionário - e esá ilusrado na figura 4.b). Noe que a endência deerminísica, que é comum a ambos os processos, desempenha papéis diferenes em cada um. Na endência esacionária, ela funciona como uma espécie de araor da série emporal. Ou seja, é como se ela araísse a série para andar juno com ela. Já no caso da diferença esacionária, é como se a endência deerminísica empurrasse persisenemene o processo I(1) para cima. Como vimos anes, ese úlimo não é araído para qualquer lugar jusamene porque é não-esacionário. Quando emos, de forma geral, um processo ARIMA(p,d,q): d ( B) Y ( B) (30) enão, de forma análoga, o polinômio expandido (B) d = (B)(1-B) d é al que possui d raízes uniárias. Nese caso, podemos seguir os mesmos passos de anes e escrever: d Y a u (31) onde, novamene, a /(1) e u ( ( B)/ ( B)). Isso significa que podemos er padrões mais complexos de endência esocásica e de endência deerminísica. Por exemplo, no caso d = 2 e deixamos como exercício para o leior verificar que o processo para Y embue uma endência deerminísica quadráica mais um processo I(2). Esse caso forma uma área aiva de pesquisa aualmene na moderna EST. Dado o caráer inroduório dese exo, iremos nos resringir aos casos em que d = 1 e isso já cobre um amplo especro de aplicações em séries econômicas. 9. Média e Variância Considere o processo de raiz uniária represenado segundo a expressão (24). É fácil ver que E ( u ) 0. Agora, considere o mesmo processo represenado segundo (25). Lembrando que se assume que o valor inicial Y 0 é conhecido, segue que: E( Y ) Y (32) 0 1 j1 2 Var( Y ) 2 ( j) (33) u u, j 2 Onde u Var( u ) e u, j Cov( u, u j). Ou seja, um processo de raiz uniária possui média consane mas uma variância que é função do empo, o que faz dele um processo não esacionário porque viola a condição (6). Copyrigh Rogério Silva de Maos 17

21 Considere, agora, o processo diferença esacionária da expressão (17) reescrio conforme (18). Nese caso: E ( Y) Y 0 a (34) 1 j1 2 Var( Y ) 2 ( j) (35) u u, j Ou seja, assim como a variância, a média ambém é uma função do empo, no caso linear. Porano, a diferença esacionária com consane ambém é não esacionária porque ambém viola as condições (12) e (13). 10. Passeio Aleaório Um caso paricular de processo de raiz uniária é dado quando ( B)/ ( B) 1. Observe que, nese caso, a expressão (13) pode ser re escria da seguine forma: Y 1 (36) Y onde agora o ermo de erro é dado apenas por, que, lembramos, assumimos que é um ruído branco normal. A equação (36), assim, é um caso paricular de um processo nãoesacionário com uma raiz uniária e que é muio conhecido na lieraura de EST como passeio aleaório. Por ser um processo esocásico com uma raiz uniária, o passeio aleaório puro em (33) é idênico a uma endência esocásica. Além disso, ele é I(1), de modo que a primeira diferença de Y será um processo esacionário, iso é, sem raízes uniárias ou I(0): Y (37) De forma análoga, é possível re escrevermos a expressão (28) como: Y a 1 (38) Y Quando a 0, o processo em (27) é chamado de passeio aleaório com deslocameno (ou drif, em inglês). Ese processo ambém possui uma raiz uniária e, consequenemene, embue uma endência esocásica. No enano, a consane a sendo não nula inroduz adicionalmene na represenação em (38) uma endência deerminísica, de modo que ela pode ser reescria como: Y Y0 a (28) i i1 Dado que Y 0 é conhecido, enão o ermo Y 0 +a no lado direio de (39) é uma endência deerminísica. Por sua vez, o ermo i 1 i corresponde a um processo I(1), proveniene da acumulação de valores passados de um processo I(0) dado por. Se diferenciarmos Y na expressão (36), veremos que ele ambém se orna esacionário: Copyrigh Rogério Silva de Maos 18

22 Y a (40) Fica claro, porano, que o passeio aleaório puro é um caso paricular de um processo de raiz uniária ou I(1) e o passeio aleaório com deslocameno um caso paricular de um processo diferença esacionária. O leior já deve er percebido que há uma vasa gama de conceios que foram inroduzidos aé aqui. Alguns são sinônimos um do ouro, como processo I(1) e processo de raiz uniária 6. Ouros são pequenas paricularidades de um conceio mais geral. Esa rica erminologia da EST ende a confundir o iniciane e com frequência arapalha o enendimeno da maéria. No inuio de ajudar a memorizar as especificidades dos vários conceios, apresenamos um diagrama no apêndice 2. Nese diagrama, procuramos esabelecer usando seas as relações enre os conceios. 11. Memória e Choques A imporância do conceio de memória em processos esocásicos inegrados pode ficar mais clara aravés das figuras 5.a) e 5.b). Na figura 5.a), emos uma série simulada segundo um processo esacionário ARMA(1,1). Na represenação do processo, incluímos uma variável independene CQ que represena um choque dado na série no período = 75. Esa variável é binária, valendo 15 em = 75 e 0 nos demais períodos de empo. Observe que inicialmene a série oscila em orno de sua média, igual a 0. No momeno do choque, ela dá um salo discrepane para cima e poucos períodos depois vola a oscilar em orno de sua média 0. Essa caracerísica apresenada pela série da figura 5.a) resula do fao que o processo esocásico que a gera é esacionário. Esse ipo de processo possui memória cura, iso é, se um choque é dado a ele, pouco depois ele esquece esse choque. Dizse, nese caso, que o choque é ransiene, porque em efeio emporário e dura pouco. Na figura 5.b), emos ambém um série simulada, porém agora segundo um processo não esacionário do ipo ARIMA(0,1,1). Aqui ambém, incluímos na represenação dese processo uma variável CQ represenando um choque em = 75 e definida da mesma maneira que anes. Observe que, agora, a reação ao choque apresenada pela série é diferene. Ela ambém dá um salo no momeno do choque, mas agora ela não vola logo depois a oscilar no mesmo paamar que anes do choque. Essa caracerísica da série da figura 5.b) resula do fao que o processo é não esacionário, no caso um processo inegrado ou I(1). Esse ipo de processo possui memória longa, iso é, se um choque é dado a ele, seu efeio persise indefinidamene, ou seja, ele não esquece o efeio do choque. Dizse, nese caso, que o choque é persisene, porque repercue indefinidamene. 6 São sinônimos quando o processo de raiz uniário diz respeio à raiz uniária presene apenas na pare AR. Copyrigh Rogério Silva de Maos 19

23 Y a) ARMA(1,1):,7Y CQ 0, Memória Cura b) ARIMA(0,1,1) Y Y CQ, Memória Longa Figura 5. Tipos de memória em processos esocásicos. Dados simulados. A variável CQ, represena um choque, valendo 15 em = 70 e 0 nos demais períodos. Essas caracerísicas de memória cura ou memória longa para processos esocásicos eve basane relevância para o desenvolvimeno da eoria macroeconomica nos anos 1980 e Em um arigo de grande repercussão, Nelson e Plosser (1982) verificaram que 13 séries macroeconômicas americanas apresenavam memória longa, inclusive a série de PNB. Isso levouos a concluir que choques de políica econômica podiam não ser neuros, como defendido por vários macroeconomisas. Esa consaação provocou ano macroeconomisas como economerisas a enar explicar os resulados de Nelson e Plosser e dois ipos de resposa imporanes aconeceram. Primeiro, denro da eoria macroeconômica, isso moivou o desenvolvimeno da eoria dos ciclos reais de negócio (Kidland e Presco, 1982). Segundo, denro da EST, isso moivou o desenvolvimeno de uma vasa lieraura sobre eses de raiz uniária. Não iremos discorrer sobre os efeios na eria macroeconômica, por fugir aos objeivos dese exo focado em conceios de EST. No enano, abordaremos mais à frene em dealhe, ainda que num nível inroduório, alguns imporanes eses de raiz uniária. 12. Os Quaro Processos Em resumo, endência esocásica é uma caracerísica ípica de um processo I(1) ou com uma raíz uniária, al como represenado pelos modelos ARIMA(p,1,q). Ela pode vir ou não acompanhada de uma endência deerminísica linear, dependendo da consane na represenação ARIMA(p,1,q) ser nula, como na expressão (24), ou não nula, como na expressão (28). No primeiro caso, emos um processo I(1) ou de raiz uniária. No segundo, emos uma diferença esacionária. Podemos, enão, sineizar udo o que foi dio acima sobre processos esocásicos para represenar séries emporais em quaro casos: ( 1 Processo esacionário: Y a Y 1 u Processo I(1): Y Y 1 u Tendência esacionária: Y abu Diferença esacionária: Y ay 1 u ) Copyrigh Rogério Silva de Maos 20

24 Do pono de visa das possibilidades de endências, os quaro casos acima devem ser inerpreados da seguine forma: O processo esacionário não possui qualquer ipo de endência. O processo I(1) possui apenas endência esocásica. O processo endência esacionária possui apenas endência deerminísica linear. O processo diferença esacionária possui endência deerminísica linear e endência esocásica. Para uma melhor referência, essas siuações esão esquemaizadas no quadro Teses de Raiz Uniária A discussão sobre os ipos de endências que fizemos na seção anerior fornece um imporane alicerce para enendermos vários aspecos da EST. Um desses aspecos diz respeio aos procedimenos para verificar se uma série emporal é ou não esacionária. Esses procedimenos são conhecidos como eses de raiz uniária. Eles recebem essa denominação porque são volados para verificar se o processo gerador da série apresena ou não uma raiz uniária na pare AR. Ou seja, se é ou não um processo inegrado. Veremos esses eses logo a seguir, mas é válido desde já aponar que, apesar disso, eles ambém podem ser visos sob ouros ângulos ineressanes. Primeiro, eles ambém são procedimenos para se deecar a presença ou não de endências esocásicas no processo gerador das séries. Segundo, como no processo de diferença esacionária a endência esocásica vem acompanhada de uma endência deerminísica, os eses normalmene usam uma represenação geral de processo esocásico que permie abarcar as quaro possibilidades apresenadas na seção anerior. Ao esar resrições pariculares imposas à esa represenação geral, mais do que verificar a presença ou não de uma raiz uniária (ou de uma endência esocásica) no processo gerador de uma série emporal, os eses de raiz uniária permiem ambém disinguir qual denro os quaro ipos de processos esocásicos considerados na seção anerior esá gerando a série 7. Inicialmene, vamos desenvolver essa represenação geral para só depois apresenar os eses de raiz uniária propriamene dios Represenação Geral Considere o seguine processo esocásico: Y TD Z TD 0 1 (41) 7 Um erro que desavisados cosumam comeer é pensar que um ese de raíz uniária sempre verifica se a série é ou não esacionária. Como veremos, isso vai depender da opção escolhida para usar o ese. A opção mais geral considera ano na hipóese nula como na alernaiva séries nãoesacionárias porque ambas admiem a presença de uma endência deerminísica. A forma mais precisa de se encarar um ese de raiz uniária é como um procedimeno para se verificar se há ou não um processo I(1) embuido no mecanismo gerador da série. Copyrigh Rogério Silva de Maos 21

25 onde 0 e 1 são consanes reais. Z é um processo auorregressivo do ipo: Z Z u (42) 1 onde u é um processo esacionário I(0) com média nula. Noe aqui que o processo esocásico para Y em (41) represena a soma de uma endência deerminísica linear mais um processo AR(1) para Z. Ese pode ser esacionário se < 1 ou não esacionário no senido de possuir uma raiz uniária se = 1. No úlimo caso, Z embue uma endência esocásica mais um ermo esacionário, segundo a decomposição BN de que falamos em (26). Vamos descarar ouras possibilidades, em que 1 ou >1. Assim, em princípio, a equação (41) pode represenar um processo endência esacionária (Z esacionário) ou um processo diferença esacionária (Z segue um processo I(1)), mas ainda há ouras possibilidades como veremos a seguir. Para isso, vamos re-escrever a expressão (41) como segue: Z Y (43) 0 1 Subsiuindo (43) em (42) e fazendo algumas manipulações algébricas, chegamos a: Y ( 1) (1 Y u (44) Fazendo 8 : ) 1 a 0 ( 1) 1 (45) b (1 ) (46) 1 Podemos re escrever (44) como: Y ab Y u (47) 1 A equação 9 (47) é uma represenação geral para os quaro processos que analisamos anes. Impondo resrições nos valores dos parâmeros 0, 1 e, noe que é possível usarmos esa equação para caracerizar os quaro ipos de processos esocásicos que vimos anes. Por exemplo, observe que: 8 A expressão (44) aparece inicialmene no livro de Fuller(1976), mas não aparece expliciamene nos arigos de Dickey e Fuller (1979, 1981). No enano, em um arigo de divulgação, Dickey e al (1986) deixam claro que é nesa expressão que se baseia o ese DF. 9 Muios livros exo de EST não apresenam a relação enre as expressões (44) e (47), iso é, que a primeira resringe a segunda. Normalmene, apresenam só a expressão (47). A consequência disso é que a formulação (44) admie apenas a presença de uma endência deerminísica linear, porque não pode aconecer b 0 com = 1. Se isso fosse possível, haveria uma endência deerminísica quadráica juno com a endência esocásica. Assim, a expressão (44) admie apenas os quaro ipos de processos esocásicos considerados aé aqui. Além disso, a expressão (47), se apresenada de forma independene sem as resrições dadas pela expressão (44), cria dificuldades para uma inerpreação adequada da esruura do ese DF (ver, por exemplo, as críicas de Schmid e Phillips, 1992). Isso udo é muio imporane para um adequado enendimeno das opções disponíveis nos eses de raízes uniária baseados no procedimeno de Dickey e Fuller. Cuidaremos de aponar odos esses aspecos ao falarmos dos eses de raiz uniária mais adiane. Copyrigh Rogério Silva de Maos 22

26 a = 0 se = 1; a = 0 se 0 = 1 = 0; b = 0 se 1 = 0; b = 0 se = 1. Assim, a equação (47) pode caracerizar as seguines possibilidades: 0, Y ay u Processo esacionário: 1 Processo I(1): 1 0, 1Y Y 1 u Tendência esacionária: 1Y aby 1 u Diferença esacionária: 1Y ay 1 u 1 1 Essas possibilidades esão odas reunidas e sineizadas no quadro 1. O leior deve ficar aeno a esse quadro e reornar de vez em quando a ele sempre que iver dúvidas daqui para frene. O bom enendimeno dos quaro processos esocásicos lisados acima, de suas represenações pariculares e em ermos da represenação geral, assim como de suas relações pariculares com os dois ipos de endência, deerminísica e esocásica, é muio imporane para uma boa análise de EST. 10 Quadro 1. Processos esocásicos e ipos de endências Processo Esocásico Tipo de Tendência Embuida Represenação Paricular Resrições da Represenação Geral* Processo Esacionário Sem endências Y a Y u 0, Processo I(1) Tendência Esocásica Y Y 1 u 0, 1 1 Tendência Esacionária Diferença Esacionária Tendência Deerminísica Tendência Esocásica e Tendência Deerminísica Y ab Y u 1 1 Y ay1 u 1 * A represenação geral é dada pela equação (47) do exo, com as prédefinições dos parâmeros a e b dadas pelas expressões (45) e (46). 10 O leior deve ser alerado aqui que, nesa represenação da endência esacionária segundo a expressão (47), o componene de endência deerminísica a+b é diferene de e o ermo resane Y 1 +u não é esacionário (porque, embuindo uma endência deerminisica, Y 1 é não esacionário). Mas a represenação complea para Y represena de fao uma endência esacionária se lembrarmos que (47) foi desenvolvida a parir de (41) e, porano, a e b esão resringidos segundo as expressões (45) e (46). Copyrigh Rogério Silva de Maos 23

27 13.2 Tese de Dickey-Fuller O ese de Dickey-Fuller (DF) é o mais anigo e famoso méodo formal para verificar se uma série emporal é ou não esacionária. Ele foi inroduzido em uma versão básica pelos rabalhos de Fuller (1976), Dickey(1976) e Dickey e Fuller (1979). Poseriormene, foi objeo de uma generalização no rabalho de Dickey e Fuller (1981). A versão generalizada é conhecida como ese de Dickey-Fuller Aumenado, abreviadamene ADF, e consiui a modalidade dese ese que passou a ser usada desde enão. Nesa subseção, vamos primeiro falar em dealhe do ese DF, em que se assume que na equação de ese o ermo de erro segue um processo ruído branco. Ao final, falaremos de sua versão generalizada, em que o ermo de erro segue um processo I(0) auocorrelacionado. O desenvolvimeno do ese DF foi moivado pela necessidade de verificar se uma série precisa ser diferenciada para se ornar esacionária. Essa verificação é a primeira eapa da meodologia proposa por Box Jenkins (1970) para consrução de modelos ARIMA para séries emporais. Esses auores recomendaram que, se o gráfico da série emporal indicar que ela é não esacionária, enão devemos diferenciála aé apresenar um padrão esacionário. Apesar da sofisicação da meodologia de Box Jenkins, esse procedimeno é limiado porque baseiase simplesmene numa análise gráfica. A preocupação de DF foi propor um méodo esaísico formal para esar a hipóese de não esacionariedade da série e, assim, erse uma indicação mais precisa sobre se é preciso diferenciála ou não. Veremos aqui que o ese de Dickey Fuller serve para isso, mas ele ambém possui imporanes versailidades que permiem diferenes aplicações dependendo de como inerpreamos suas hipóeses nula e alernaiva. Por exemplo, como dissemos no início da seção anerior, ele ambém serve como um ese para a presença de uma endência esocásica, que pode ou não esar adicionada de uma endência deerminísica. Em úlima insância, ele serve para disinguir qual denro os quaro ipos de processos esocásicos considerados no quadro 1 deve esar gerando uma série emporal. Essa forma de ver o ese ende a orná-lo mais inuiivo e facilia sua compreensão. No enano, anes de apresenarmos o ese propriamene dio, é imporane chamar a aenção para alguns aspecos que endem a confundir aqueles que esudam pela primeira vez o ese DF: primeiro, DF propuseram na verdade mais de um méodo para esar a não esacionariedade de uma série. Por exemplo, desenvolveram eses baseados na razão e em ouras esaísicas, como F e de DurbinWason. O procedimeno mais usado aualmene é baseado na razão e será apenas ese que veremos aqui; segundo, a equação de ese inicialmene deixava dúvidas conceiuais na inerpreação dos parâmeros e essas dúvidas só foram esclarecidas num rabalho poserior, de Dickey e al (1986). Nós já falamos disso, quando apresenamos o desenvolvimeno da equação geral para os quaro processos considerados anes; erceiro, as hipóeses do ese devem ser inerpreadas como se fosse um ese unilaeral, mas nosso ineresse envolve apenas uma pare da hipóese alernaiva. Ese úlimo aspeco veremos com cuidado logo adiane. Copyrigh Rogério Silva de Maos 24

28 Por essas razões, o leior desavisado poderá ficar confuso ao enar enender e aplicar o ese DF. Buscaremos aqui conribuir para minimizar poenciais confusões. Nesse senido, o primeiro aspeco a desacar sobre o ese DF é que ele procura verificar se uma série é esacionária ou não esando se ela possui uma raiz uniária. A maneira como fazemos isso é assumir que o modelo que gera a série é o mesmo da equação (47). Para simplificar o enendimeno desse pono, consideremos uma versão mais simples dessa equação, em que 0, o que implica a b 0: Y Y u (48) Observe que, para ese modelo, o processo esocásico será: esacionário se 1 ou não esacionário se 1. Enreano, o procedimeno do ese DF usa como enunciado: H 0 : 1 H : 1 1 O leior pode perceber que ese enunciado caraceriza um ese unilaeral. Uma forma imediaa de esar a hipóese nula seria regredir a equação (36a), por exemplo usando MQO, e compuar a razão ˆ. Enão, comparandose o valor desa razão com um valor críico (), associado a um nível de significância α, decidiríamos não rejeiar H 0 se ( ) ou rejeiar H 0 se ( ). Veremos que é mais ou menos isso que esá ˆ ˆ envolvido, mas não poderemos usar um valor críico associado a uma disribuição de Suden. Agora, vejamos com cuidado o enunciado do ese DF apresenado acima. A hipóese nula diz que a série é não esacionária, no senido de que possui uma raiz uniária. De fao, vimos anes que, se 1, enão Y segue um processo de raiz uniária. Porém, noe que, eoricamene, há ouras possibilidades para a série ser não esacionária: por exemplo, se 1. O enunciado do ese descara esa possibilidade porque, nese caso, Y seguiria um processo explosivo que cresce ou decresce indefinidamene. Mas, a hipóese nula como definida acima considera uma possibilidade específica de que a série possui uma raiz uniária (e apenas uma). Por sua vez, a hipóese alernaiva diz que a série é esacionária, se 1, ou não esacionária, se 1. Porano, é preciso cuidado aqui porque a alernaiva admie duas possibilidades conflianes: a série pode ser esacionária ou não sob essa hipóese. Mas, noe que as possibilidades da série ser não esacionária sob H 1 são: a) se 1, a série vai apresenar um ciclo muio curo, com oscilações da série enre o posiivo e negaivo e com ampliude erráica; b) se 1, a série vai exibir o mesmo ciclo curo mas com ampliude explosiva. Vemos, porano, que o enunciado acima ano na hipóese nula quano na alernaiva admie várias formas de não esacionariedade. Porém, é exaamene esse o enunciado do ese DF. Apesar disso, o ese DF nos permie chegar à conclusão de que uma série é não esacionária, no senido de possuir uma ou mais raízes uniárias, ou Copyrigh Rogério Silva de Maos 25

29 esacionária. Na práica, fica mais fácil enendermos o procedimeno do ese DF se imaginarmos um enunciado que é um pouco diferene: H : 1 H : 1 0 * 1 * A diferença esá na hipóese alernaiva. Pusemos a esrela nela, iso é, em H 1, para desacar que esa é a hipóese alernaiva de ineresse. O enunciado reescrio desa forma, nos coloca exaamene na siuação que nos ineressa mais. Tesaremos a hipóese nula de que a série possui uma raiz uniária, conra a alernaiva de ineresse de que a série não possui raiz uniária, mas é esacionária. Assim, o leior deve aenar para o fao de que, no maerial que apresenamos a seguir, pensaremos sempre desa forma. O ese DF esá disponível em rês opções, e cada versão se baseia na esimação por MQO de uma variane de (47) para cômpuo das esaísicas de ese. Nas rês opções, o procedimeno é o mesmo e, como dissemos, pode ser melhor pensado como H 0 e H * 1. Se H 0 for verdadeira, enão o processo esocásico gerador da série possui uma raiz uniária e embue uma endência esocásica. No enano, se H 0 for falsa, enão o processo é esacionário sem qualquer endência (opções 1 e 2) ou é uma endência esacionária (versão 3). O ese DF, no enano, não usa direamene a equação (47). Subraindo Y -1 de ambos os lados dessa equação, obemos: Y ab Y u (49) 1 onde = - 1 e a e b coninuam definidos como em (45) e (46). Na versão original e mais simples do ese, Dickey e Fuller (1979) assumem que o ermo de erro u é um processo ruído branco normalmene disribuído. Na versão aumenada (ADF), Dickey e Fuller (1981) assumem que ele segue um processo AR(p). A equação (49), com as mesmas resrições dadas pela equação (44), é que é usada no ese DF para cômpuo das esaísicas de ese. Embora seja apenas uma represenação alernaiva do processo gerador de Y na equação (44), a equação (46) ambém é chamada na lieraura de equação de ese. É imporane observar que, conforme a equação (49), as hipóeses nula e de ineresse do ese passam a ser escrias como: H 0 : = 0 (há uma raiz uniária) H 1 * : 2 < < 0 (não há raiz uniária) O ese é aplicado esimando-se por MQO a equação (49) e compuando-se a razão para o parâmero : ˆ ˆ (50) s ˆ Onde ˆ é o esimador de MQO de e s o erro padrão de ˆ. A razão em (50) é ˆ denominada de esaísica- porque segue uma disribuição de probabilidade diferene da usual de Suden sob a hipóese nula de que 0. A disribuição da esaísica- é conhecida como disribuição de Dickey e Fuller e seus valores críicos para diferenes Copyrigh Rogério Silva de Maos 26

30 níveis de significância foram abuladas em Fuller (1976, 1995), Dickey e Fuller (1981) e em ouros rabalhos, como McKinnon (1996). É ineressane observar que as quaro possibilidades de processos esocásicos consideradas na seção anerior passam a ser, segundo a equação (49): 0, 2 Y ay u Processo esacionário: 1 Processo I(1): 1 0, 0Y u Tendência esacionária: 2 0Y aby 1 u Diferença esacionária: 0Y bu 1 0 Essas diversas possibilidades podem ser raadas no âmbio das rês opções em que o ese de Dickey Fuller esá disponível. Apresenaremos a seguir essas rês opções e aenamos para que é muio imporane saber quando se usa cada uma delas. Elas diferem na maneira como se resringe para a presença ou não do inercepo a e do ermo de endência b na equação de ese. Usar a versão inadequada pode enviesar a conclusão obida com o ese ou enão perder-se desnecessariamene poder do mesmo Opção 1: Sem inercepo e sem ermo de endência Esa é a opção mais simples do ese DF. Ela assume 0 1 0, o que, de acordo com as expressões (45) e (46), faz com que a = b = 0 na equação (49). Isso equivale a dizer que esa opção não considera a consane e nem o ermo de endência na equação de ese. Assim, a hipóese H 0 : = 0 significa que a série segue um processo não esacionário com uma raiz uniária mas sem consane Y u. Ou seja, um processo I(1). A hipóese H 1, por sua vez, assume que o processo é Y Y 1 u com -2 < < 0. Noe que isso equivale a um processo esacionário sem consane Y Y u (i.e., com < 1). Ou seja, um processo I(0). Do pono de visa das 1 endências, H 0 : = 0 significa que o processo que gera a série embue uma endência esocásica, enquano H 1 significa que o processo não em qualquer endência. Em suma, emos: H 0 : 0 Y u * H : Uma raíz uniária ou I(1); endência esocásica; Y Y u Sem raiz uniária ou I(0); processo esacionário sem endência alguma A equação de ese é esimada por MQO sem o inercepo a e sem o ermo de endência b, iso é: Y ˆ Y uˆ (51) 1 e enão compua-se a esaísica de ese, que nesa opção é chamada simplesmene de esaísica- (au): Copyrigh Rogério Silva de Maos 27

31 ˆ (52) s ˆ Uma abulação de valores críicos para diferenes níveis de significância para a esaísica- esá disponível em MacKinnon(1996). Se o valor de for menor do que o valor críico abulado ao nível de significância escolhido, rejeia-se a hipóese nula de presença de uma raíz uniária (ou de não esacionariedade) Oção 2: Só com inercepo Esa segunda opção é muio parecida com a primeira. Ela assume apenas 1 0, o que, de acordo com as expressões (45) e (46), faz com que a 0(1 ) e apenas b 0 na equação (49). Logo, esa opção considera a possibilidade de uma consane não nula (mas ainda sem o ermo de endência deerminísica) na equação de ese. Segue enão que a hipóese H 0 : = 0 (ou 1) coninua significando que o processo Y u gerador da série é, logo com uma raiz uniária e sem consane. Ou seja, consinua sendo um processo I(1). O que muda é que a hipóese H 1 agora é Y a Y u com 2 0, o que equivale a um processo esacionário com consane 1 Y a Y u (com 1 H (ou 1) implica a (1 ) 0, mas : : ). Noe que não há qualquer incoerência aqui. A hipóese 0 H 1 não. A inerpreação de H 1 coninua a mesma: a série segue um processo I(0). Em ouras palavras, a comparação enre H 0 e H 1 nesa segunda versão é essencialmene a mesma que a da opção 1, sendo no enano mais geral porque admie na hipóese alernaiva que o processo esacionário possua consane não nula. Do pono de visa das endências, ambém coninua a mesma inerpreação da opção 1. H 0 assume que o processo que gera a série é do ipo I(1) com endência esocásica apenas e H 1 que o processo não em qualquer endência. Em suma, emos: H 0 : 0 Y u 0 Uma raiz uniária ou I(1); endência esocásica; * H : Y a Y u Sem raiz uniária ou I(0); processo esacionário sem endência alguma Novamene, a equação de ese é esimada por MQO, mas agora com o inercepo a e ainda sem o ermo de endência b, iso é: Y aˆ ˆ Y uˆ (53) 1 Compua-se enão a esaísica de ese, que nesa segunda opção passa a ser chamada de esaísica- (au-mi): Copyrigh Rogério Silva de Maos 28

32 ˆ (54) s ˆ Aqui ambém, uma abulação de valores críicos para diferenes níveis de significância para a esaísica- u esá disponível em McKinnon(1996). Se o valor de u for menor do que o valor críico abulado ao nível de significância escolhido, rejeia-se a hipóese nula de presença de uma raíz uniária (ou de não esacionariedade). Na práica, esa segunda opção é preferível à primeira, devido à consane ser não nula na hipóese alernaiva de ineresse. É a que deve ser usada, a menos que se rabalhe com poucas observações ou se enha fore convicção de que a consane na hipóese alernaiva é nula (siuação muio rara na práica) Opção 3: com inercepo e ermo de endência Esa erceira opção é diferene das duas aneriores porque admie a presença de uma endência deerminísica linear no processo para Y. Ela assume que 0 0 e 1 0, de modo que, de acordo com as expressões (45) e (46), a 0 ( 1) 1 e b 1(1 ). Isso equivale a dizer que a equação de ese possui uma consane e um ermo de endência. Enão, a hipóese H : 0 (ou = 1) implica a 1 0 mas b 0, de 0 Y au forma que o processo gerador da série é, ou seja, processo de diferença esacionária. Lembre que al processo é a soma de uma endência deerminísica mais * um processo I(1). Por sua vez, a alernaiva de ineresse H 1 : 2 0 (ou < 1) implica a 0 e b 0, de modo que o processo gerador da série é Y ab Y 1 u com 2 0, o que equivale a um processo sem raiz uniária do ipo endência esacionária Y ab Y 1 u (com 1). Vimos anes que ese processo é a soma de uma endência deerminísica mais um processo I(0). É imporane observar aqui um aspeco que frequenemene é negligenciado pelos usuários do ese DF. Noe que, nesa opção, ano H 0 quando H 1 assumem que a série segue um processo nãoesacionário, porque ambas consideram a presença de uma endência deerminísica. Porano, aqui o ese DF não verifica se a série é esacionária ou não. Ele verifica se o processo que gera a série embue um processo I(1), como diz H 0, ou não, como diz H 1. Além disso, do pono de visa das endências, H 0 significa que o processo que gera a série é composo de uma endência deerminísica linear mais uma * endência esocásica, como vimos na expressão (29), e H 1 que o processo é composo de uma endência deerminísica linear mais um processo esacionário. Em suma, emos: H : 0 Y au 0 Coném um processo de raíz uniária ou I(1); endência deerminísica linear mais endência esocásica; diferença esacionária. * H : 2 0 Y ab Y 1 u 1 Sem processo de raiz uniária; endência deerminísica linear mais erro esacionário ou I(0); Tendência esacionária. Copyrigh Rogério Silva de Maos 29

33 A equação de ese é esimada segundo a hipóese alernaiva H 1 : Y aˆ b ˆ ˆ Y uˆ (55) 1 Compua-se enão a esaísica de ese, que nesa erceira opção passa a ser chamada de esaísica- (au-au): ˆ (56) s ˆ Aqui ambém, uma abulação de valores críicos para diferenes níveis de significância para a esaísica- esá disponível em MacKinnon (1996). A decisão de rejeiar ou não rejeiar H 0 é omada de forma análoga, pela comparação de com o valor críico abulado ao nível de significância escolhido. Esa opção é a que deve ser usada sempre que o gráfico da série indicar que ela possui uma endência deerminísica. Se houver dúvida quano a isso ao se examinar o gráfico da série, ambém devese usar esa erceira opção. Mesmo que não exisa uma endência deerminísica no processo gerador da série, iso não raz problemas porque esa erceira opção engloba as duas aneriores. O risco de se incorrer em erro surge quando se usa a primeira ou a segunda opções, mas deveriase usar a erceira. Iso aconece quando há uma endência deerminísica no processo gerador da série, mas isso é ignorado pelo usuário. Como dissemos acima, ese é um erro comeido frequenemene. Nese caso, o uso da opção incorrea pode levar a se concluir que uma série é gerada por um processo de raíz uniária ou I(1) quando na verdade ela segue um processo de endência esacionária. Ese erro raz duas imporanes consequências: primeiro, ao induzir à conclusão errônea de que a série possui memória longa, mas na verdade em memória cura. Segundo, ao induzir à conclusão ambém errônea de que a série pode ser coinegrada com ouras séries, quando isso não é possível porque um processo de endência esacionária não embue um processo inegrado Tese Aumenado de Dickey-Fuller A versão aumenada do ese DF, que chamamos anes de ese ADF, difere apenas por considerar a exisência de alguma esruura de auocorrelação para os erros da equação de ese. Se essa esruura não for considerada, há perda de eficiência do esimador de MQO para e, o que é mais sério, as esaísicas, e ficam enviesadas. Na práica, isso é considerado usando uma versão aumenada da equação de ese em que se permie ermos defasados de Y como variáveis adicionais no lado direio da expressão (49): p Y ab Y 1 jy j (57) j1 onde j (j = 1,...,p) são parâmeros e é um processo ruído branco. O objeivo desse procedimeno é eliminar uma possível exisência de auocorrelação serial no ermo de erro u. Assim, ao invés de esimar as equações (51), (53) e (55) de cada uma das rês opções do ese DF, esima-se as seguines equações: Copyrigh Rogério Silva de Maos 30

34 Opção 1: Opção 2: Opção 3: Y Y Y p ˆ 1 jy j uˆ j1 p ˆY ˆ 1 jy j j1 ˆ Y (58) aˆ uˆ (59) p ˆ 1 jy j j1 aˆ b ˆ ˆ Y uˆ (60) Nas rês opções, aplica-se o mesmo procedimeno de esar H 0 : = 0. E em cada uma delas, H 0 coninua endo as mesmas inerpreações. Um problema novo que aparece, porém, com esa versão aumenada é a necessidade de se deerminar com anecedência o lag máximo p dos ermos defasados de Y. Iso é feio esimando-se várias vezes a equação de ese com números diferenes de ermos defasados, iso é, para o valor de p. Escolhese o valor de p que minimiza alguma esaísica de criério de informação, como a de Schwarz, por exemplo. Uma vez escolhido o lag máximo, implemena-se o ese ADF propriamene dio Passos de implemenação do ese ADF 1. Escolha da opção (1, 2, ou 3) do ese: examine o gráfico da série para verificar a presença ou ausência aparene de uma endência deerminísica. Se parecer não haver uma endência deerminísica, escolha a opção 1 (sem inercepo nem ermo de endência deerminísica) ou a opção 2 (só inercepo), que assumem na hipóese H 0 que o processo de raiz uniária possui uma endência esocásica apenas. No caso de haver fore evidencia visual de uma endência deerminísica na evolução da série, escolha a opção 3 (inercepo mais ermo de endência). Havendo dúvida, escolha a opção 3, porque é a mais geral e engloba as demais. 2. Lag máximo da equação de ese: uma vez escolhida a opção do ese, pode-se deerminar qual a especificação da equação de ese que será esimada. Isso envolve anes deerminar o lag máximo p dos ermos defasados da variável dependene Y que serão usados na esimação da equação de ese. Para ano, proceda da seguine forma: Esime a equação de ese sem nenhum ermo defasado de Y e regisre o criério de informação (Schwarz, por exemplo). Repia a esimação da equação de ese com um ermo defasado Y 1 e novamene regisre o criério de informação. Compare os dois criérios de informação: se o da úlima equação esimada for maior do que o da anerior, pare e use a equação anerior para implemenar o ese; se for menor, coninue. Esime enão a equação de ese agora com dois ermos defasados, Y 1 e Y 2, e proceda à mesma comparação dos criérios de informação da equação aual e da anerior. Pare ou enão coninue sucessivamene aé o momeno em que o criério de Schwarz da equação aual aumenar em relação ao da equação anerior. Isso significa que o valor de p da penúlima equação é o lag máximo. 3. Esaísica de ese: Tendo deerminado o lag máximo p, esime em definiivo a equação de ese e compue a esaísica au correspondene. 4. Decisão Final: Compare a esaísica au calculada com o valor críico abulado segundo o nível de significância escolhido. O valor críico pode ser enconrado, por exemplo, na abela apresenada por Mckinnon (1996). Se a esaísica au for maior ou igual ao valor críico, não rejeie H 0, iso é, considere que a série é não esacionária e possui uma raiz uniária. Se a esaísica au for menor, rejeie H 0 e Copyrigh Rogério Silva de Maos 31

35 conclua que a série não possui raiz uniária. Refine sua inerpreação em ermos da presença/ausência de endências deerminísica e esocásica em função da opção do ese que você escolheu. 5. Reaplicando o ese: Se H 0 não for rejeiada no passo 4, significa que o processo gerador da série possui uma raiz uniária. Em princípio, isso significa que seu processo gerador é, ou embue, um processo I(1). É possível, no enano, que o processo gerador da série possua mais raízes uniárias e assim seja, ou possua, um processo inegrado de ordem maior. Para verificar isso, diferencie a série uma vez e repia odos os procedimenos aneriores do ese ADF para a série diferenciada. Se H 0 for rejeiada, é porque a série diferenciada não em raiz uniária e, porano, a série original é I(1). De ouro modo, se H 0 não for rejeiada é porque a série diferenciada possui uma raiz uniária. Nese caso, diferencie novamene a série e aplique de novo o ese ADF. Proceda dessa maneira ieraivamene aé chegar a um grau de diferenciação da série em que H 0 é finalmene rejeiada. Isso significa que, para esse grau de diferenciação, o processo que gera a série não possui raiz uniária (i.e, é esacionário ou do ipo endência esacionária) 11. A seguir, apresenamos um conjuno de exemplos de aplicação do ese de Dickey Fueller na sua versão aumenada. Os exemplos usam as séries simuladas pelo auor dese exo e que esão disribuídas pelas figuras 2, 3 e 4. Para faciliar a apresenação e comparação desses exemplos, os resulados do ese ADF para cada série analisada esão apresenados de forma agrupada na abela 1. Por ora, há uma vanagem de vermos esses exemplos com séries simuladas porque nesses casos conhecemos a priori os processos esocásicos que geraram as séries. Isso nos permie enender mais claramene como o ese ADF funciona. O leior deve lembrar, porém, que na aplicação do ese a séries reais só eremos os dados observados das séries e, porano, seus respecivos processos esocásicos geradores serão sempre desconhecidos. Mais adiane, veremos um exemplo do ese ADF com uma série real. Exemplo 1: Séries simuladas sem raiz uniária Nese primeiro exemplo, aplicamos os passos do ese ADF delineados acima para as duas séries da figura 2. Iniciaremos analisando a série da figura 2.a). O gráfico desa série sugere que a mesma segue um processo esacionário, porque ela parece oscilar em orno de uma média fixa. Diane disso, a opção do ese ADF a ser usada deveria ser a 1 (sem consane) ou a 2 (com consane). Nós sabemos que, por ser uma série simulada, ela foi gerada por um processo esacionário sem consane (indicado logo abaixo da figura 2.a)), o que poderia nos levar aqui a escolher a opção 1. Porém, na práica, não sabemos qual o processo esocásico que gerou uma série, normalmene emos apenas os dados da mesma e o gráfico desses dados, como a figura 2.a). Por isso, é mais adequado escolhermos a opção 2, pois esa assume na hipóese alernaiva H 1 a presença de uma consane no processo esacionário gerador da série, inclusive uma consane nula. O resulado do ese ADF esá apresenado na primeira linha, logo abaixo dos íulos, da abela 1. Repare que na primeira coluna a abela indica a série esada (i.e., da figura correspondene) e, no caso da série da figura 2.a), fez se o ese apenas para a 11 Há um ouro procedimeno na lieraura para se deerminar a ordem de inegração, ou o número de raízes uniárias, de uma série emporal, proposo por Dickey e Panula (1987). Esse procedimeno é mais rigoroso para isso do que o ese ADF, mas opamos por não abordálo aqui devido ao caráer inroduório dese exo. Copyrigh Rogério Silva de Maos 32

36 variável em nível Y. Na segunda coluna, a abela repora a opção do ese escolhida (no caso, como dissemos, usamos a opção 2 que admie uma consane na equação de ese), e na erceira coluna o lag máximo, que corresponde ao número de lags da variável dependene incluídos na equação de ese como variáveis explicaivas. Lembre que a deerminação desse número de lags em de ser feia anes de se aplicar o ese propriamene dio, esimando se diferenes opções da equação de ese (com diferenes lags) e escolhendo aquela que minimiza o criério de Schwarz 12. Na quara coluna, é apresenada a esaísica au associada e, nas rês colunas seguines, os valores críicos para os níveis de significância de 1%, 5% e 10%, respecivamene. A abela ainda apresena, na úlima coluna, o valor de prova associado ao valor da esaísica au calculado segundo um procedimeno aproximado proposo por MacKinnon (1996). Tabela 1. Tese ADF de raiz uniária para séries simuladas Série Var. Tese Aumenado de DickeyFuller Opção Lag-Máx Tau 1% 5% 10% V. Prova Fig. 2a Y ce Fig. 2b Y ce Fig. 2b Y ce+end Fig. 3a Y ce Fig. 3b Y ce+end Fig. 4a Y ce Fig. 4c Y ce Fig. 4b Y ce+end Fig. 4d Y ce Fone: Cálculos feios a parir de dados simulados pelo auor usando o sofware Eviews 7.0. Noas: Var. = variável; ce = com consane; end = com ermo de endência; Lag Máx = defasagem máxima da variável dependene na equação de ese. Tau = esaísica, u ou, dependendo da versão uilizada. O cálculo dos valores de prova foram feios por procedimeno descrio em McKinnon(1996). Para a série da figura 2.a), repare que o valor da esaísica au foi de 7,65. Ele se siua à esquerda de qualquer um dos valores críicos apresenados, mesmo o de 1% que corresponde ao valor mais negaivo dos rês. Segundo a regra de decisão do ese ADF, devemos rejeiar a hipóese nula H 0, que assume a presença de uma raiz uniária. Logo, concluímos que a série não apresena raiz uniária. Dizendo de oura forma, concluímos que a série não apresena endência esocásica. Pela caracerísica visual do gráfico da série, na práica, acabamos concluindo que ela não apresena endência alguma, ou seja, que ela é um processo esacionário. Se usássemos a regra de decisão pelo valor de prova, chegaríamos à mesma conclusão, porque ese enconra se abaixo de 0,01, valor associado a um nível de significância de 1%. 12 O sofware Eviews 7.0 realiza a busca do lag máximo auomaicamene, podendo o usuário deerminar qual esaísica de criério de informação deve ser usada, enre Akaike, Schwarz, HannanQuinn e suas respecivas versões modificiadas. Copyrigh Rogério Silva de Maos 33

37 Passemos, agora, à série da figura 2.b). Observando o gráfico desa série, vemos que, niidamene, ela apresena um crescimeno persisene sugerindo a presença de uma endência deerminísica linear. Nese caso, devemos usar enão a opção 3 do ese ADF, que considera uma consane mais uma endência deerminísica linear na equação de ese. Lembre que, nesa opção, a hipóese nula de raiz uniária é sinônimo de considerar que a série embue uma endência esocásica juno com uma endência deerminísica linear, ou seja, um processo diferença esacionária com deslocameno. E a hipóese alernaiva de ausência de raiz uniária é sinônimo de considerar que há só uma endência deerminísica acrescida de um processo esacionário, ou seja, um processo endência esacionária. No enano, observe na abela 1 que fazemos o ese ADF duas vezes para esa série da figura 2.b). Na primeira vez, usamos a opção incorrea, que é permiir só uma consane na equação de ese, ou seja, a opção 2. Fizemos assim proposialmene para o leior perceber o ipo de erro que se pode incorrer quando se usa uma opção inadequada do ese ADF. Na aplicação usando a opção 2 (só com consane), repare que a esaísica au associada apresena o valor 0,14. Considerando os valores críicos reporados, a hipóese nula de presença de raiz uniária não é rejeiada nem mesmo a 5% de significância. O valor de prova de 0,94, bem elevado, indica, da mesma forma, não rejeição da hipóese nula. Ou seja, o ese admie que há uma endência esocásica no comporameno da série. No enano, o gráfico da série sugere foremene um processo endência esacionária (sabemos, inclusive, que a série foi gerada assim), que é um processo esocásico com endência deerminísica apenas. A inconsisência do resulado do ese ADF aqui, usando se a opção inadequada, se deve a que o ese possivelmene esá confundindo a endência deerminísica presene na série com uma endência esocásica. Isso aconece porque a opção 2 do ese ADF não consegue idenificar a presença de uma endência deerminísica, seja na hipóese nula ou na alernaiva. Agora, quando aplicamos novamene o ese ADF à mesma série da figura 2.b) mas usando a opção 3 (consane mais ermo de endência), a esaísica au é de 7,94. Ese valor é menor (esá mais à esquerda na linha dos números reais) do que o valor críico de 1%. Logo, nese caso, devemos rejeiar a hipóese nula de presença de raiz uniária. Concluímos, enão, que o processo esocásico que gerou a série é do ipo endência esacionária, o que significa que ele não apresena endência esocásica, só endência deerminísica (mais um processo esacionário). Assim, usando a opção 3, o resulado fica mais consisene com o gráfico da série (e ainda com o fao de que sabemos que a série foi simulada segundo um processo endência esacionária). Exemplo 2: Séries simuladas com raiz uniária A série da figura 3.a) represena uma endência esocásica, que é um caso paricular de um processo de raiz uniária ou I(1). A série da figura 3.b) represena uma endência geral, dada pela soma de uma endência deerminísica mais uma endência esocásica, e é um caso paricular de um processo de diferença esacionária. O gráfico da figura 3.a) sugere que a série não é esacionária e que não parece er uma endência deerminísica linear. Aplicamos enão o ese ADF com a opção 2. A esaísica au obida é 1,46, nos levando a não rejeiar a hipóese nula de raiz uniária nem mesmo a 10% de significância. Por sua vez, o gráfico 3.b) sugere que a série possui uma endência deerminísica. Enão, aplicamos o ese ADF com a opção 3. A esaísica au obida foi de 1,95, nos levando a decidir pela nãorejeição da hipóese nula de raiz uniária mesmo a 10% de significância. Copyrigh Rogério Silva de Maos 34

38 As séries das figuras 4.a) e 4.b) foram ambas geradas como processos que embuem raízes uniárias: a primeira como um processo de raiz uniária ou I(1) e a segunda como um processo de diferença esacionária. O gráfico da figura 4.a) sugere foremene que a série não é esacionária, mas não indica, pelo menos de um modo níido, a presença de uma endência deerminísica linear. Assim, aplicamos o ese ADF para essa série usando a opção 2, só com consane, na equação de ese. O resulado, apresenado na quara linha da abela 1 mosra uma esaísica au no valor de 1,21. Ese valor esá à direia do valor críico de 10% de significância, levando, porano, à não rejeição da hipóese nula de raiz uniária. Indica, assim, a presença de uma endência esocásica sem endência deerminísica. Mais uma vez, o ese ADF com a opção adequada nos leva a concluir correamene, em consonância com o modo como a série foi gerada. O ese ADF foi desenhado para deecar a presença de uma raiz uniária, mas a série pode possuir ouras raízes uniárias. Ou seja, o ese ADF aplicado à uma série não permie deecar a ordem de inegração da mesma. Para verificar isso, é preciso diferenciar a série e repeir o ese ADF. Na linha seguine da abela 1, apresenamos o resulado do ese para a série da figura 4.c), a qual consise da primeira diferença da série da figura 4.a). O gráfico da figura 4.c) indica foremene que a série é esacionária, porano sem endência alguma, e assim o ese foi aplicado usando se a opção 2. O valor da esaísica au nese caso é de 8,8, siuando se à esquerda do valor críico de 1%. Logo, rejeiamos a hipóese nula de raiz uniária. Com o gráfico e o ese indicando ausência de endências, não é necessário diferenciar se mais uma vez a série. Podemos parar aqui e concluir que a série original da figura 4.a) é um processo I(1). A série da figura 4.b) foi gerada como uma diferença esacionária, logo como uma endência esocásica mais uma endência deerminísica linear. Por isso, o gráfico da série sugere niidamene a presença de uma endência deerminísica. Nese caso, usamos a opção 3 para aplicar o ese ADF. O resulado é uma esaísica au de 2,33, logo à direia do nível de significância de 10%, nos levando à não rejeição da hipóese nula de raiz uniária. Consoane, porano, com um processo com endência esocásica mais endência deerminísica linear. Novamene, o ese ADF não indica o grau de inegração da série, apenas que a mesma possui uma raiz uniária. Para verificar se há mais raízes uniárias, deve se diferenciar a série e repeir o ese. O gráfico da figura 4.d) mosra a série da figura 4.b) diferenciada. Níidamene, o gráfico sugere uma série esacionária, porano aplicamos o ese ADF com a opção 2. O resulado é uma esaísica au de 8,54, siuada à esquerda do nível de significância de 1%, que nos indica a rejeição da hipóese nula de raiz uniária. Com a rejeição da hipóese nula sob a opção 2 do ese ADF, somos levados a concluir que a série é um processo esacionário sem endência alguma e que não é necessário diferenciar se mais uma vez a série. Concluímos, enão, que a série da figura 4.b) segue um processo I(1). Exemplo 3: Exporações brasileiras (índice de quanum) Agora, apresenamos a aplicação do ese ADF para uma série real. A figura 6.a) apresena a série anual do índice de quanum das exporações brasileiras no período que vai de 1950 a 2007, compondo um oal de 58 observações. É níido o comporameno foremene ascendene da série a pono de esa aparenar um comporameno explosivo. Copyrigh Rogério Silva de Maos 35

39 Ao invés de rabalharmos direamene com esa série 13, opamos por rabalhar com sua versão em log neperiano, a qual é muio usada em esudos economéricos volados para esimação de elasicidades das exporações. A série em log esá apresenada na figura 6.b). Ela manifesa um comporameno ascendene que aparena ser produzido por uma endência deerminísica linear. Diane disso, o uso do ese ADF servirá para deecar se a série possui adicionalmene uma endência esocásica (diferença esacionária) ou somene a endência deerminísica linear mais um erro esacionário (endência esacionária) a) Dados bruos Log neperiano Figura 6 Índice de quanum (base 2005=100) das exporações brasileiras Fone: Série elaborada pelo IPEA com dados da Funcex ( ) e do IBGE ( ). O ese ADF foi aplicado sob a opção 3 de inercepo mais ermo de endência, que é a adequada nesse caso. A busca pelo lag máximo dos ermos defasados da variável dependene, a serem usados como variáveis explicaivas na esimação da equação de ese, indicou que nenhum lag seria preciso. O resulado obido foi uma esaísica au au de 3,727, que se localiza enre o valor críico de 4,124, correspondene a 1% de nível de significância, e o valor críico de 3,489, correspondene a 5%. Assim, rejeiamos a hipóese nula a 5% e concluímos que a série segue um processo do ipo endência esacionária. Nese caso, não se faz necessário esar para a primeira diferença da série Tese de Phillips Perron Phillips(1987) e Phillips e Perron (1988) propuseram ouro ese de raiz uniária que generaliza o ese ADF para uma ampla classe de modelos em que os erros u na equação (49) são auocorrelacionados e heerogeneamene disribuídos. Ele é conhecido 13 Ese comporameno explosivo da série original poderia decorrer da presença de mais de uma raiz uniária: por exemplo, série poderia seguir um processo I(2). No enano, o que ocorre de fao é um aumeno muio inenso da variância da série. O uso da série em log, nese caso, permie aproximar melhor o comporameno de um processo diferença esacionária ou I(1), que no enano acabou sendo rejeiado no ese ADF em favor de uma endência esacionária. Copyrigh Rogério Silva de Maos 36

40 como ese de Phillips Perron ou, abreviadamene, ese PP. Essencialmene, o procedimeno do ese PP é o mesmo que o do ese ADF e envolve a esimação da equação (49) para cômpuo das esaísicas de ese, inroduzindo apenas uma modificação nas úlimas. Nese senido, ele permie as mesmas rês opções em que esa se H 0 : 0 (uma raiz uniária) conra a alernaiva H 1 : 2 0 (sem raiz uniária). Na primeira opção, considera se um modelo para Y sem consane (i.e., consane nula), logo Y Y 1 u ; na segunda, considera se a possibilidade de uma consane não nula, logo Y a Y u e na erceira admie se ambém um ermo Y ab Y u 1 de endência 1. Nos rês casos, ano a hipóese nula quano a alernaiva são inerpreadas da mesma maneira que anes no que concerne à presença ou ausência de endências deerminísica e esocásica, conforme descrio em dealhe na seção 4.2. Para permiir siuações mais abrangenes para o ermo de erro e ambém desenvolver uma eoria assinóica de ese conveniene, o ese PP difere do ese ADF em dois aspecos principais. O primeiro é que as fórmulas das esaísicas de ese em cada siuação são diferenes das fórmulas da esaísica au do ese ADF. As expressões para as esaísicas do ese PP são: Opção 1: s T( ˆ 2 2 Tl s ) s ˆ Z( ) (61) ˆ 2 ˆ s Tl Tl Opção 2: Opção 3: s T( ˆ 2 2 Tl s ) sˆ Z( u) u (62) ˆ 2 ˆ s Tl Tl s T( ˆ 2 2 Tl s ) s ˆ Z( ) (63) ˆ 2 ˆ s Tl Tl De forma análoga ao ese ADF, essas esaísicas são obidas a parir da esimação por MQO das equações de ese correspondenes a cada opção, mas sem os ermos defasados na variável dependene. Iso é, a parir da esimação de expressões como (51), (52) e (54), respecivamene. Assim, no lado direio das expressões (61), (62) e (63), as esaísicas, e foram obidas como em (52), (54) e (56). O ermo s ˆ é o erro padrão do esimador de MQO ˆ para. O ermo s 2 é a variância residual da regressão de ese e corresponde a um esimador consisene da variância do erro u sob a hipóese de que ese segue um processo ruído branco. 2 O ermo ˆTl é um esimador consisene da variância do erro u sob a hipóese de que ese é esacionário fraco mas admiindo condições mais genéricas de auocorrelação e heerogeneidade do processo esocásico que gera esses erros. Ese ermo é o único componene que não é calculado direamene das equações de ese esimadas e o aspeco mais complexo das expressões (40), (50) e (51) envolve jusamene o seu cômpuo. Phillips e Perron se baseiam no fao de que a variância assinóica nese caso é dada por: 2 2 Tl f u (0) Copyrigh Rogério Silva de Maos 37

41 Onde f u(0) é o valor do especro de poência do erro u na frequência zero 14. Dado ese fao, os auores sugerem o uso de procedimenos disponíveis na lieraura de análise de séries emporais para esimação consisene do espero de poência e recomendam, para os rês casos, que se use a seguine expressão: Onde T l T ˆ Tl uˆ 2wsl uˆ uˆ s (64) T 1 s1 s1 û são os resíduos da regressão correspondene a cada opção. O ermo w sl, s = 1,...,l, referese a um conjuno de pesos que consiui a janela de defasagem (lag window) usada para suavizar as esimaivas do especro. Phillips e Perron aponam que há vários ipos de janelas (méodos para deerminar os pesos) que podem ser usadas, como as janelas riangular (ou de Barle), de Parzen e de Newey Wes. Nos sofwares compuacionais, usualmene são dadas opções ao usuário de escolher a janela de defasagem para esimação do especro. Noe que cada esaísica Z ambém é uma função da esaísica au correspondene. O procedimeno que Phillips e Perron seguiram para ober as esaísicas Z das expressões (61), (62) e (63) consise de uma correção não paramérica das correspondenes esaísicas au e isso nos leva ao segundo aspeco diferene. Como já foi dio, uma vanagem do ese PP é que as esaísicas de ese foram desenvolvidas assumindo se uma esruura mais geral para os processos com raiz uniária represenados no âmbio das equações de ese. Assim, o ese PP admie que Y possa seguir uma classe mais ampla de processos esocásicos não esacionários incluindo modelos ARIMA apresenando erros auocorrelacionados e disribuídos de forma heerogênea. É por esse moivo (de que as esaísicas Z já incorporam essas possibilidades inclusive a auocorrelação dos erros) que a equação de ese pode ser esimada sem os ermos defasados em Y, o que era necessário anes no caso do ese ADF. Há, no enano, um aspeco comum a ambos os eses ADF e PP que é muio vanajoso em ermos práicos. Embora as esaísicas Z de Phillips e Perron sejam diferenes das correspondenes esaísicas au de Dickey e Fuller, elas apresenam a mesma disribuição limie sob a hipóese nula de raiz uniária. Assim, o ese PP pode ser aplicado de forma muio similar e aé mesmo mais simples do que o ese ADF. Podem ser seguidos os mesmos passos da seção 4.2.5, mas sem a necessidade de se deerminar um lag máximo para a equação de ese. Para cada opção do ese, esima-se a equação de ese sem defasagens da variável dependene e simplesmene calcula se a esaísica Z correspondene, segundo as expressões (61), (62) e (63). No momeno de se decidir pela rejeição ou não da hipóese nula de raiz uniária, usa se os mesmos valores críicos da disribuição de Dickey e Fuller. A abela 2 apresena os resulados da aplicação do ese PP para as mesmas séries simuladas dos exemplos 1 e 2. Esa abela esá organizada de modo muio parecido com a abela 1 para faciliar a comparação dos resulados. A única diferença enre ambas é que a abela 2 não inclui a coluna de lag máximo (pelas razões 14 Não cabe nese exo inroduório enramos em maiores dealhes sobre esimação de especros de poência. Recomendamos ao leior ineressado o livro de Chafeld (1995), onde há uma boa exposição inroduória sobre o assuno. Copyrigh Rogério Silva de Maos 38

42 explicadas no parágrafo acima) e há uma coluna com o íulo Es Z, conendo os números obidos para as esaísicas Z do ese PP, no lugar da coluna com o íulo Tau, conendo as esaísicas au do ese ADF, que havia na abela 1. A abela 2 ambém apresena uma úlima coluna conendo os valores de prova associados às esaísicas Z e que ambém foram calculados com base no mesmo méodo descrio em MacKinnon(1996). Os resulados do ese PP aplicado às séries simuladas são muio similares aos do ese ADF e levam às mesmas decisões no que concerne à rejeiar/não rejeiar H 0. Observe os resulados para as séries das figuras 2.a) e 2.b), que foram simuladas segundo um processo sem raiz uniária. O ese PP rejeia a nula de raiz uniária nos dois casos, mas desde, obviamene, que a opção correa enha sido escolhida. Assim, quando se usa a opção 2 com consane na equação de ese, o ese PP rejeia a 1% de significância a presença de raiz uniária na série da figura 2.a). O mesmo aconece quando se usa a opção 3, com consane mais endência deerminísica linear, para a série da figura 2.b). Noe que, no caso desa úlima série, o ese PP não rejeia a nula nem mesmo a 10% de significância se usamos a opção 2 (incorrea). No caso das séries das figuras 3.a), 3.b), 4.a) e 4.b), que foram simuladas segundo processos com raiz uniária, o ese PP não rejeia a hipóese nula de raiz uniária em odos os casos, nem mesmo a 10% de significância. As esaísicas Z ficam acima do valor críico respecivo nesses casos, mas, novamene, salienamos que isso aconece porque foram usadas as opções correas do ese. No caso das figuras 3.a) e 4.a), que não possuem endência deerminísica, usou se a opção 2 do ese PP. No caso das séries das figuras 3.b) e 4.b), que embuem uma endência deerminísica, foi usada a opção 3. Por úlimo, observe que o ese PP rejeia a nula para as séries diferenciadas dessas quaro figuras, iso é, que esão ploadas nas figuras 4.c) e 4.d), respecivamene. Usando a opção 2 para odas essas séries, a hipóese nula de raiz uniária é rejeiada aé mesmo a 1% de significância. Consequenemene, para odas essas séries das figuras 3 e 4, valem as inerpreações feias anes sobre a presença ou não de ermos de endência deerminísica linear e/ou esocásica. O ese PP ambém corrobora as conclusões do ese ADF no caso da série real da figura 6.b) e que corresponde ao log neperiano do índice de quanum das exporações brasileiras. O valor da esaísica z, calculada segundo a opção 3 do ese, é de 3,91 e siua se enre o valor críico de 1% e o de 5% de significância, replicando assim o mesmo resulado do ese ADF. Porano, ambém pelo ese PP, podemos decidir pela rejeição da hipóese nula de raiz uniária a 5% de significância, concluindo que a série represenaiva do quanum das exporações brasileiras (em log) foi gerada por um processo do ipo endência esacionária. Copyrigh Rogério Silva de Maos 39

43 Tabela 2. Tese de raiz uniária de Phillips Perron para séries simuladas Série Var. Tese de Phillips Perron Opção Es Z 1% 5% 10% V. Prova Fig. 2a Y ce 7,72-3,46-2,88-2,57 0,00 Fig. 2b Y ce 0,34-3,46-2,88-2,57 0,92 Fig, 2b Y ce+end 7,94-4,01-3,43-3,14 0,00 Fig. 3a Y ce 1,56-3,46-2,88-2,57 0,50 Fig. 3b Y ce+end 2,06-4,00-3,43-3,14 0,57 Fig. 4a Y ce 1,19-3,46-2,88-2,57 0,68 Fig. 4c Y ce 8,71-3,46-2,88-2,57 0,00 Fig. 4b Y ce+end 2,00-4,01-3,43-3,14 0,60 Fig. 4d Y ce 8,66-3,46-2,88-2,57 0,00 Fone: Cálculos feios a parir de dados simulados pelo auor usando o sofware Eviews 7.0. Noas: ce = com consane, end = com ermo de endência. Es Z = esaísica Z( ) ou Z( ), dependendo da opção uilizada (no cálculo dessas esaísicas foi usado o méodo de Barle para esimação do especro de poência com janela de defasagem de Newey Wes). O cálculo dos valores de prova foram feios por procedimeno descrio em McKinnon(1996) Tese DF GLS Um imporane criério pelo qual esaísicos e economerisas avaliam a qualidade de um procedimeno de ese esaísico de hipóese é o conceio de poder. O poder de um ese refere se à probabilidade de rejeiar H 0 para um dado valor do parâmero de ineresse. Por exemplo, quando esamos H : 1, o poder do ese 0 refere se a probabilidade de rejeiar H 0 dado que o verdadeiro valor de é um número qualquer * R. Se esse número * for diferene de 1, o poder do ese nese caso é a probabilidade de rejeiar H 0 : 1 dado que H 0 é falsa. Nem sempre é possível esabelecer com precisão o poder de um ese esaísico, mas quando é possível emos uma base imporane de comparação desse ese com ouros feios para esar a mesma H 0. O ese que apresenar maior poder, sob as mesmas condições, é considerado o melhor, pois nos leva com mais segurança à decidir correamene pela rejeição de H 0 quando ela for falsa. Um problema dos eses ADF e PP é o baixo poder que os mesmos apresenam e em paricular quando o processo gerador da série é esacionário (porano quando H 0 é falsa) mas esá próximo de apresenar uma raiz uniária. Isso aconece quando o parâmero é menor do que 1 mas esá próximo de 1, ou, de forma equivalene, quando o parâmero é menor do que 0 mas esá próximo de 0. Nessa siuação, o processo gerador da série é dio quase inegrado (near inegraed) e os eses ADF e PP apresenam baixa probabilidade de rejeiar H 0. No rabalho de Ellio e all (1996), os pesquisadores Ellio, Roemberg e Sock (doravane chamados de ERS) inroduzem dois eses de raiz uniária que apresenam vanagens significaivas em ermos de poder se comparados aos eses ADF e PP. Copyrigh Rogério Silva de Maos 40

44 Ambas as abordagens seguem a mesma esruura do ese ADF, onde se assume a hipóese nula de raiz uniária no âmbio da equação de ese (45) e de acordo com as mesmas rês opções. A primeira abordagem de ERS é baseada no uso das esaísicas de Dickey Fuller, porém calculadas de um modo diferene que envolve um procedimeno inermediário de esimação por mínimos quadrados generalizados (em inglês generalized leas squares GLS). Por esse moivo, o procedimeno desa primeira abordagem é chamado de ese DF GLS. A segunda abordagem é baseada na eoria de eses óimos em inferência esaísica e sobre ela falaremos mais adiane na seção 4.5. Processo para Y ERS assumem que o processo gerador da série é dado por: Y d u (65) u u v (66) 1 onde Y é a variável de ineresse, d é um ermo deerminísico, u é um ermo aleaório que segue um processo AR(1) e v é um processo I(0) com média nula. ERS assumem na primeira abordagem que v é normalmene disribuído e segue uma esrura AR(p). O ermo deerminísico admie rês possibilidades: Opção 1: d 0 (67) Opção 2: d 0 (68) Opção 3: (69) d 0 1 Onde 0 e 1 são consanes e é a variável empo. O objeivo de ERS é esar a hipóese nula H 0 : 1, correspondene à presença de uma raiz uniária em Y, conra a alernaiva H 0 : 1, correspondene a Y esacionário. Noe que embora apareça somene na equação (54) para u, o modelo para Y represenado pelas equações (65) (69) é o mesmo que foi usado nos eses ADF e PP e que corresponde à equação (57). Para ver isso, perceba que o processo para Y descrio nas expressões (65) e (66) é o mesmo usado para caracerizar Y e Z nas equações (41) e (42), que deram origem à represenação geral da equação (44). Se procedermos de forma análoga agora, iso é, se fizermos algumas manipulações algébricas, como resolver a equação (65) para u e depois subsiuir na equação (66), oberemos, para cada opção, as seguines represenações do processo para Y : Opção 1: Opção 2: Opção 3: Y Y 1 v (70) Y 0 ( 1) Y 1 v (71) Y ( 1) (1 Y v (72) ) Ou seja, obemos em cada opção um caso paricular da equação (44) correspondene à represenação geral de processos com raiz uniária para Y. Fica claro nas expressões (70) (72) que o processo para Y apresenará uma raiz uniária se 1 e nenhuma raiz 1 Copyrigh Rogério Silva de Maos 41

45 uniária se 1. Indo um pouco mais além, se subrairmos Y 1 de cada uma das expressões, obemos: Opção 1: Opção 2: Opção 3: Y Y 1 v (73) Y a Y 1 v (74) Y ab Y v (75) 1 Onde 1, a 0(1 ), a 0 ( 1) 1 e b 1(1 ). Porano, o objeivo de ERS é equivalene a esar a hipóese nula H 0: : 0 conra a alernaiva H 0: : 2 0 nas rês opções. Isso deixa claro que o ese DF GLS usa a mesma esruura do ese ADF, na medida em que admie que o processo esocásico para Y descrio em (65) (66) equivale à expressão (57) de forma que a equação de ese: na opção 1, não possua consane nem ermo de endência; na opção 2, possua só consane; na opção 3, possua consane mais um ermo de endência deerminísica linear. Assim, cada opção do ese DF GLS ambém permie inerprear as hipóeses nula e alernaiva da mesma forma no que concerne à presença/ausência de endências deerminísicas e esocásicas. Veja o quadro 1. Porém, de forma diferene, o ese DF GLS considera no lugar da variável Y uma ransformação da mesma que é livre das influências dos ermos deerminísicos represenados pela consane e o ermo de endência. Ao fazerem isso, na práica ERS não aleram o procedimeno do ese ADF para a opção 1 (sem consane e sem endência deerminísica linear), mas só para as opções 2 e 3. Assim, é imporane observar que é apenas sobre as duas úlimas opções que incide o procedimeno alernaivo proposo por ERS segundo o ese DF GLS. Em ulima insância, esse procedimeno alernaivo vai implicar num modo diferene de consrução da esaísica de ese nessas duas úlimas opções. Esaísica do ese DF GLS No inuio de consruir a variável Y ransformada e ober as esaísicas de eses em cada opção, ERS seguem um conjuno de passos descrios a seguir. O primeiro passo envolve compuar por MQG, ao invés de MQO, uma das seguines regressões para a primeira equação do processo considerado para Y : Opção 2: Y * * Opção 3: Y ˆ * 0 vˆ * * ˆ 0 ˆ 1 (76) vˆ (77) Onde: Y * Y1 Y Y 1 ; 1 * 1 ( 1) 1 1 * e ˆ (1 ) ˆ0 0 O procedimeno adoado aqui é do ipo MQG porque regride se a diferença generalizada de Y, represenada pela variável Y *, conra uma consane (opção 2) ou Copyrigh Rogério Silva de Maos 42

46 conra uma consane mais a diferença generalizada da variável (opção 3), represenada por *. O objeivo de realizar uma das regressões acima consise em ober esimaivas eficienes de 0 e 1. Na presença de erros auorregressivos de ordem 1, conforme a equação (66), o esimador de MQO deixa de ser eficiene e nese caso pe vanajoso usar o esimador de MQG 15. No caso de se usar a opção 1 do ese, em que d 0, obviamene não é necessário esimar qualquer parâmero e porano não se aplica regredir a primeira equação por MQG. Há um dealhe imporane, porém, na esimação por MQG feia em (76) e (77) que é o fao de que algum valor precisa ser assumido para, uma vez que é um parâmero desconhecido. ERS assumem um valor que é deerminado segundo a expressão: c 1 (78) T onde c é uma consane pré-fixada. O valor desa consane é negaivo e é escolhido de forma que seja um valor menor mas não muio disane de 1 (daí ERS chamarem o ermo de alernaiva local ao pono, no caso, ao pono 1) e vai ficando cada vez mais próximo de 1 quano maior for o amanho T da série. ERS mosram que usar os valores c 7 para a opção 2 e c 13, 5 para a opção 3 promove máxima vanagem em ermos de poder do ese. Em suma, os valores de são deerminados de acordo com: Opção 2: Opção 3: 7 1 T (79) 13,5 1 T (80) * 1 O segundo passo envolve usar os parâmeros ˆ0 ˆ 0(1 ) e ˆ1 esimados por MQG para expurgar de Y os efeios do ermo deerminísico d. Isso é feio compuando se: d Opção 2: Y Y ˆ 0 (81) d Opção 3: Y Y ˆ (82) 0 ˆ1 O úlimo passo consise de subsiuir d Y no lugar de Y na equação de ese, iso é: Y d p d d 1 jy (83) j1 Y Para enão esimá la por MQO e compuar a razão: Opção 2: ˆ s (84) ˆ 15 O leior pode enconrar boas explicações sobre o méodo de MQG (GLS), por exemplo, em Johnson e Dinardo (1997). Copyrigh Rogério Silva de Maos 43

47 Opção 3: ˆ s (85) ˆ Onde ˆ represena o esimador de MQO para e s ˆ o erro padrão de ˆ. Noe que não se coloca na equação (83) nem o ermo consane e nem o ermo de endência (i.e., al como esses aparecem no modelo (57)). Faz se assim porque os efeios desses ermos (dada a opção do ese escolhida) já foram removidos pelo procedimeno de cômpuo de d Y, como descrio acima. Noe ambém que, em decorrência disso, e possuírão valores diferenes de ou porque foram consruídas por procedimenos diferenes. ERS aponam que, na opção 2 só com consane, a esaísica possui a mesma disribuição limie que, iso é, a disribuição de Dickey-Fuller. No enano, na opção 3 com consane e endência deerminísica linear, a disribuição limie é diferene. Os auores usam procedimenos de Mone Carlo e abulam os valores críicos nese caso (ver a abela 1 do apêndice, reproduzida do arigo de Ellio e al, 1996). A abela 3 apresena os resulados da aplicação do ese DF GLS nas mesmas séries simuladas das figuras 2, 3 e 4. Esa abela esá organizada da mesma forma que a abela 1 para o ese ADF, o que permie uma comparação fácil enre os resulados de ambos os eses e ambém com os do ese PP. Nesse senido, fica fácil perceber que as conclusões obidas em ermos de rejeiar/não rejeiar a hipóese de raiz uniária no caso do ese DF GLS são as mesmas que as dos eses ADF e PP. Isso era esperado, dado que os procedimenos usam uma mesma esruura de ese com a mesma finalidade (esar a presença de uma raiz uniária) e as séries foram simuladas de forma bem comporada. No enano, vale ecer algumas observações quano aos números na abela 3. O procedimeno do ese DF GLS, assim como o ese ADF, ambém envolve deerminar anes um lag máximo para a esaísica de ese. Os valores de lag máximo da abela 3 em geral são os mesmos obidos no ese ADF. Em geral, os valores da esaísica au são mais próximos de zero se comparados aos correspondenes do ese ADF na abela 1. Isso ambém vale para os valores críicos de 1%, 5% e 10%. Esse aspeco se jusifica por razões écnicas que fogem ao escopo dese exo e que decorrem da preocupação de ERS em consruir uma opção alernaiva do ese ADF que apresenasse maior poder. Não são apresenados na abela 3 os valores de prova, porque o sofware uilizado para produzir a abela 3 não os compua. Mesmo assim, manivemos a coluna de valor de prova nessa abela para salienar essa diferença em relação aos procedimenos aneriores. Copyrigh Rogério Silva de Maos 44

48 Tabela 3. Tese de raiz uniária DF GLS para séries simuladas Série Var. Tese DF GLS Opção Lag-Máx Tau 1% 5% 10% V. Prova Fig. 2a Y ce Fig. 2b Y ce Fig. 2b Y ce+end Fig. 3a Y ce Fig. 3b Y ce+end Fig. 4a Y ce Fig. 4c Y ce Fig. 4b Y ce+end Fig. 4d Y ce Fone: Cálculos feios a parir de dados simulados pelo auor usando o sofware Eviews 7.0. Noas: Var. = variável; ce = com consane; end = com ermo de endência; Lag Máx = defasagem máxima da variável dependene na equação de ese. Tau = esaísica, u ou, dependendo da opção uilizada Tese Pono-Óimo de ERS No mesmo paper em que apresenam o ese DF GLS, ERS propõem ouro procedimeno para esar a presença de uma raiz uniária. Conhecido como ese pono óimo de ERS, esse ouro procedimeno segue usando a esruura de rês opções do ese ADF, como fizeram os ouros eses que vimos aé aqui, mas em a vanagem de apresenar poder ainda maior do que o DF-GLS, inclusive sob circunsâncias em que a serie esada é esacionária mas em raiz próxima de um. Chamaremos ese segundo procedimeno de ese ERS PO e vejamos como ele funciona. Inicialmene, ERS coninuam assumindo que o processo gerador de Y é dado por (53) (54) e segundo as rês opções para o ermo deerminísico d apresenadas em (55) (57). Assim, o ese ERS PO vai coninuar usando mesma a esruura do ese ADF, de forma que, em cada opção, as hipóeses nula e alernaiva ambém são inerpreadas da mesma forma no que concerne à presença/ausência de endências deerminísicas e esocásicas. Isso orna a aplicação do ese ERS PO bem fácil, embora como dissemos no caso do ese DF GLS, aqui ambém há aspecos mais complexos, em paricular na consrução da esaísica de ese, cujo desenvolvimeno de uma inuição adequada foge ao nível preendido para ese exo. Por isso, nos limiaremos a seguir a apresenar os passos essenciais envolvidos na conrução da esaísica do ese ERS PO. Ao final da seção, um passo-a-passo de implemenação do ese será apresenado. Copyrigh Rogério Silva de Maos 45

49 Esaísica do Tese ERS PO A principal diferença do procedimeno de ERS PO em relação aos aneriores reside na forma de compuar a esaísica de ese. O primeiro passo é o mesmo que no caso do ese DF-GLS, iso é, envolve compuar por MQG uma das seguines regressões para a primeira equação do processo considerado para Y, como em (64) e (65). No enano, o objeivo agora é diferene e consise em ober duas sequências de resíduos vˆ, uma sob a hipóese e oura sob 1. No caso de se usar a opção 1 do ese, em que d 0, obviamene não é necessário esimar qualquer parâmero e porano não se aplica regredir a primeira equação por MQG. No enano, nese caso pode-se compuar os resíduos como vˆ Y Y 1 e v ˆ Y Y 1. O valor de é deerminado previamene ao cômpuo das regressões, segundo as expressões (67) e (68): Num segundo passo, ERS compuam a seguine esaísica: Opção 1: Opção 2: Opção 3: P T P, T P, T S( ) S(1)] (86) 2 ˆ S( ) S(1)] (87) 2 ˆ S( ) S(1)] (88) 2 ˆ Onde S () e (1) S represenam a soma dos quadrados dos resíduos vˆ de acordo com a opção escolhida do ese e segundo cada hipóese e 1, respecivamene. A fim de faciliar a comparação com as esaísicas dos ouros eses apresenados aneriormene, pusemos os subscrios e nas opções 2 e 3 de P T. 2 O ermo ˆ que aparece no denominador das rês esaísicas demanda ouro conjuno de procedimenos para ser calculado. Esse ermo represena algum esimador consisene da variância de longo prazo de v, a qual ambém chamamos aneriormene de valor do especro de poência na frequência zero 16, quando esudamos o ese PP. 2 ERS sugerem dois modos de se calcular ˆ : o primeiro é adequado quando se em conhecimeno de uma esruura AR(p) para v : 2 ˆ 2 ˆ AR p (89) 1 aˆ i1 i Onde é a variância residual e 2 ˆ parâmeros da regressão: â i ( i 0,1,, p ) as esimaivas de MQO dos y a y a y a y a y p p (90) 16 Por esse moivo, esses esimadores são ambém chamados de esimadores especrais. Copyrigh Rogério Silva de Maos 46

50 Onde é um ermo de erro sem correlação serial. 2 O segundo modo de calcular ˆ é adequado para hipóeses mais gerais para a esruura de v (como modelos ARMA(p,q) ou mesmo GARCH) e consise de uma soma ponderada de auocovariâncias (que ERS chamam simplesmene de soma de covariâncias - SC): lt 1 ˆ 2 SC K( m/ lt ) ˆ( m) T mlt (91) T m 1 ˆ( m) eˆ eˆ m m l T T T,,0,, l (92) 1 onde K(,) é a janela de defasagem de Parzen (que represena os pesos da soma) e ˆ ( m) é a auocovariância amosral de lag m dos resíduos ê. O ermo l T deermina a largura de banda da soma, iso é, o número de defasagens incluídas no cômpuo de K(,). Observe, porém, que o cálculo da covariância amosral ˆ ( m) usa resíduos diferenes dos resíduos vˆ, por isso são definidos com a lera e. Os resíduos ê são obidos a parir da esimação por MQO de uma das seguines regressões: Opção 1: Y ˆ Y 1 eˆ (93) Opção 2: Y ˆ 0 ˆ Y 1 eˆ (94) Opção 3: Y ˆ ˆ Y eˆ (95) ˆ0 1 1 Noe que essas regressões diferem ligeiramene das que foram usadas para gerar os resíduos vˆ porque agora coloca-se o ermo defasado Y 1 como mais uma explicaiva nas equações e essas são esimadas por MQO ao invés de MQG. Porano, não se faz uso aqui das hipóeses e 1, ao invés disso deixa-se o méodo esimar livremene um valor de aravés do cômpuo de ˆ. Isso resume os procedimenos para cômpuo da esaísica de ese, segundo uma das opções: P T, P, T ou P, T. Nos rês casos, a esaísica assume sempre valores posiivos e ERS mosram que, sob a condição de fixo e 1 (ou seja, u esacionário), elas convergem em probabilidade para 0 quando T ende a infinio. Quano maior o valor, mais evidência a favor da hipóese nula de raiz uniária. Quano menor, mais evidência a favor da hipóese alernaiva de ausência de raiz uniária. A decisão de se rejeiar ou não a hipóese nula de raiz uniária é feia pela comparação com o valor críico pt p, T ( ), no caso das opções 1 e 2, ou pt p, T ( ), no caso da opção 3, onde é o nível de significância escolhido. Se PT pt, rejeia-se H 0 ; do conrário, não rejeia-se. Copyrigh Rogério Silva de Maos 47

51 Passo a passo do ese ERS Em ermos práicos, o ese de ERS aplica-se de forma bem semelhane aos eses de raiz uniária apresenados aneriormene, sendo imporane no enano aenar para seus dealhes específicos. Os passos para implemenação do ese são descrios a seguir: 1. Análisar o gráfico da série e escolher a opção do ese (o que envolve ambém deerminar o valor de c 7 ou c 13, 5); 2. Compuar a esaísica de ese: a. Execuar a regressão correspondene por MQG, segundo (76) ou (77), para ober sequências de resíduos vˆ sob hipóeses e 1; b. Calcular S () e S (1) ; 2 ˆ : c. Escolher o méodo para compuar 2 i. Se escolher ˆAR, enão deerminar um valor de p, esimar por 2 MQO a equação (90) para compuar ˆ e â i ( i 0,1,, p ) e na 2 sequência compuar ˆAR, segundo (89); 2 ii. Se escolher ˆSC, regredir por MQO uma das equações (93), (94) ou (95); depois escolher o lag máximo l T e usar juno com ê 2 para compuar ˆSC, segundo (91) e (92); d. Compuar a esaísica: P T, P, T ou P, T ; 3. Aplicar regra de decisão: Se PT pt, rejeia-se H 0 ; do conrário, não rejeia-se. A abela 4 apresena os resulados da aplicação do ese ERS PO às séries simuladas. Esa abela esá organizada como a abela 2 do ese PP, iso é, sem a coluna de lag máximo e sem a coluna de valor de prova. Todos os resulados para a esaísica PT foram calculados assumindo se a fórmula (95) de cálculo do denominador pela méodo das somas de covariâncias com a janela de Parzen e com a seleção da largura de banda pelo méodo de Newey Wes (1987). Nese caso, o ese ERS PO, assim como o ese PP, não prescinde do cômpuo de um lag máximo para a equação de ese, que no caso consise de uma das expressões (73) (75). O sofware uilizado não compua os valores de prova para ese ese. Para odas as séries, o ese ERS PO leva às mesmas conclusões no que concerne à rejeição ou aceiação de H 0 que os eses aneriores. Esse resulado era nauralmene esperado, dado que as séries foram simuladas de maneira bem comporada segundo padrões desejados. Repare que os valores das esaísicas de ese reporadas são odos posiivos, devido às caracerísicas específicas da esaísica de ese desenvolvida por ERS para o ese pono óimo. Valores muio próximos de zero lervaram à rejeição da hipóese de uma raiz uniária e valores alos à não rejeição. foram usadas apenas as opções 2 (consane) e 3 (consane+endência) do ese, dependendo da caracerísica da séries de parecer não embuir ou embuir uma endência deerminísica, respecivamene. Os valores críicos reporados de 1%, 5% e 10% são próprios para as esaísicas porque a esaísica de ese P, T segue uma disribuição diferene da de Dickey Fuller. Copyrigh Rogério Silva de Maos 48

52 Tabela 4: Tese pono óimo de Ellio, Roemberg e Sock Série Variável Tese pono óimo de ERS Opção PT 1% 5% 10% Fig. 2a Y ce 0,50 1,91 3,17 4,33 Fig. 2b Y ce 513,13 1,91 3,17 4,33 Fig. 2b Y ce+end 1,30 4,05 5,66 6,90 Fig. 3a Y ce 12,25 1,91 3,17 4,33 Fig. 3b Y ce+end 23,14 4,05 5,66 6,90 Fig. 4a Y ce 48,53 1,91 3,17 4,33 Fig. 4c Y ce 0,51 1,91 3,17 4,33 Fig. 4b Y ce+end 11,67 4,05 5,66 6,90 Fig. 4d Y ce 0,43 1,91 3,17 4,33 Fone: Cálculos feios a parir de dados simulados pelo auor usando o sofware Eviews 7.0. Noas: ce = com consane, end = com ermo de endência. P T = esaísica de ese uilizada, podendo P T ou P T, dependendo da opção uilizada. O méodo de esimação da variância de longo prazo foi a fórmula do especro de poência na frequência zero suavizado com a Janela de Parzen. A largura de banda da janela seguiu o méodo de Newey Wes. A aplicação do ese ERS PO à série ambém nos leva à mesma conclusão que os eses aneriores, iso é, que a mesma apresena uma raiz uniária acompanhada de uma endência deerminísica. O valor obido para a esaísica P T foi 37,62, siuando se à direia dos valores críicos 4,22 (1% de sig.), 5,71 (5% de sig.) e 6,77 (10% de sig.) Tese ADF com Sazonalidade Nesa sub-seção, volamos a falar do ese ADF. Com muia frequência, os dados para nossas séries econômicas de ineresse esão disponíveis em forma inra-anual, quer dizer, mensal, bimesral, rimesral, quadrimesral ou semesral. Nesses casos, é naural que as séries econômicas apresenem sazonalidade. É preciso enão que esse aspeco seja incorporado num procedimeno de ese de raiz uniária para que ele possa deecar adequadamene a presença ou ausência da raiz uniária e o ipo de processo esocásico que esá gerando a série. No caso do ese ADF, é possível usá-lo de forma bem fácil quando as séries econômicas de ineresse apresenarem sazonalidade. O procedimeno do ese coninua basicamene o mesmo, sendo preciso apenas inroduzir variáveis dummies sazonais na equação de ese aumenada (57) para modelar o componene de sazonalidade. Dickey e Miller (1986) mosraram que esse procedimeno não afea a disribuição limie das esaísicas-au e, consequenemene, elas podem ser usadas da mesma maneira que anes, assim como as abelas de valores críicos para as mesmas. Considere a equação geral de ese aumenada da expressão (57) re-escria como segue: Y ab S1 c D s s 1 s1 j1 p Y Y u (96) j j Copyrigh Rogério Silva de Maos 49

53 Onde D s represena a dummy sazonal do período s (mês, bimesre, ec.), valendo, porano, 1 nesse período e 0 nos demais. O ermo S (em maiúsculas) represena o comprimeno do ciclo sazonal (12 meses, 6 bimesres, ec.). Todos os demais ermos que enram na expressão (58) coninuam definidos como anes. Observe que, embora possamos definir um oal de S variáveis dummy, sempre colocamos uma a menos na equação de regressão a ser esimada para eviar o problema de colinearidade perfeia com a consane da equação. Alguns auores, como Enders (...) e Johansen (...), recomendam que se use variáveis dummy sazonais cenradas no lugar das variáveis dummy usuais. Isso é úil para que, além das esaísicas de ese preservarem suas disribuições limie, as esimaivas dos demais coeficienes da equação (96) - iso é, a, b e j (j = 1,...,p) - ambém não sejam afeadas pela presença das dummies sazonais. Para isso, devemos redefnir as variáveis dummy da dequação (96) como: 1 1/ S DC s 1 / S s s s = 1,...,S (97) Agora, DC s represena a variável dummy sazonal cenrada do período sazonal s. Assim, uma vez incorporadas as variáveis dummy sazonais (cenradas), podemos seguir os mesmos procedimenos descrios anes para implemenar o ese ADF. Coninuamos endo rês opções para o ese, onde em cada opção coninuamos esando H 0 : 0 (uma raiz uniária) conra a alernaiva H 1 : 2 0 (sem raiz uniária) e esimando por MQO a equação de ese de acordo com: Opção 1: Y Opção 2: Opção 3: S1 s1 Y aˆ cˆ DC s S1 s1 Y aˆ b ˆ s s cˆ DC S1 s1 1 p ˆ Y ˆ Y uˆ (98) s s 1 j1 j p j1 j j j ˆ Y ˆ Y uˆ (99) cˆ DC s 1 p j1 j ˆ Y ˆ Y uˆ (100) Nas rês opções, coninuamos compuando a esaísica de ese como: ˆ ˆ s ˆ Onde ˆ e s são compuados de acordo com a equação de ese respeciva. A fim de ˆ proporcionar uma melhor inuição do procedimeno, vejamos um exemplo. Exemplo 4. Comércio de Bens de Consumo na Região Meropoliana de São Paulo j Copyrigh Rogério Silva de Maos 50

54 a) Nível b) Primeiras Diferenças Figura 7. Série Mensal de Comércio de Bens de Consumo na Região Meropoliana de São Paulo, Janeiro de 1990 a Dezembro de Índice de Faurameno Real (Base média de 1998=100).Fone: Federação de Comércio de São Paulo. A figura 7.a) mosra o gráfico de uma série de dados mensais correspondene ao faurameno real do comércio de bens de consumo na Região Meropoliana de São Paulo. É níido pelo gráfico a presença de um padrão sazonal com picos bem salienes nos meses de dezembro de cada ano e vales nos meses de janeiro ou fevereiro. É níido ambém um padrão de crescimeno persisene da média da série no longo prazo. Para ajudar a visualizar o comporameno no empo das variações sazonais, a figura 7.b) mosra o gráfico da série em primeiras diferenças. É possível perceber nesse segundo gráfico, que as oscilações sazonais se maném relaivamene esáveis, apresenando apenas um suave aumeno de ampliude sazonal nos anos mais para o fim, em paricular 2000 e Diane disso, opamos por rabalhar com a série brua, sem ransformação logaríimica por exemplo. Devido ao padrão crescene exibido pela média da série no longo prazo, opamos pela opção 3 do ese ADF e compuamos por MQO a equação (100) considerando 11 variáveis dummy (uma para cada mês do ano, começando com janeiro, mas sem a correspondene para o mês de dezembro). Como os dados são mensais, segue que S = 12 e isso nos leva a definir as variáveis dummy sazonais cenradas como: 1 (1/12) DC s 1 / 12 s s Os resulados esão apresenados na abela 5, onde denominamos a variável Y pela sigla CBC. Copyrigh Rogério Silva de Maos 51

55 Tabela 5. Equação de Tese com Variáveis Dummy Sazonais Variável Dependene: Comércio de Bens de Consumo ( CBC) RMSP Variável Explica. Coef. Erro-padrão Razão- Prob. C 5,63 2,44 2,31 0,02 0,04 0,02 2,18 0,03 DC 1-68,04 3,52-19,35 0,00 DC 2-50,99 4,17-12,24 0,00 DC 3-37,63 4,34-8,67 0,00 DC 4-36,98 1,99-18,60 0,00 DC 5-31,94 1,90-16,80 0,00 DC 6-42,44 1,93-21,95 0,00 DC 7-36,61 1,93-18,98 0,00 DC 8-34,36 2,01-17,05 0,00 DC 9-38,20 1,90-20,15 0,00 DC 10-34,60 1,88-18,45 0,00 DC 11-37,16 1,92-19,33 0,00 CBC(-1) -0,10 0,04-2,31 0,02 (CBC(-1)) -0,32 0,08-3,90 0,00 (CBC(-2)) -0,12 0,08-1,57 0,12 R 2 0,93 R 2 -ajusado 0,93 SIC 6,43 Esaís. ADF -2,31 Valor críico 1 % -4,02 Valor críico 5 % -3,44 Valor críico 10% -3,14 Anes de compuarmos a equação apresenada na abela 5, ivemos que deerminar o lag máximo dos ermos defasados da variável dependene, que no caso foi o lag 2. Esse procedimeno envolveu esimar a equação algumas vezes, começando sem qualquer lag e aumenando progressivamene o número de lags na equação aé minimizar o criério de informação de Schwarz (SIC na abela 5). Agora, observe que a variável CBC(-1), correspondene a Y -1, esá desacada em negrio. A razão calculada para essa variável é de -2,31. Na pare inferior da abela 5, esse valor é copiado no iem referene à esaísica ADF. Logo abaixo, vêm os valores críicos associados ao amanho de amosra usado, de T = 165 observações. O valor de = -2,31 porano, siua-se à direia do valor críico de 10%, correspondene a -3,14. Decidimos, enão, pela não rejeição da hipóese nula e admiimos que a série apresena uma raiz uniária. Como a opção do ese foi a opção 3, concluímos ainda que a série apresena uma endência esocásica mais uma endência deerminísica, quando conrolamos para as influências do componen sazonal. Nese caso, é ineressane verificar se a série apresena mais alguma raiz uniária, o que permiirá deerminar a ordem de inegração da mesma. A abela 6 apresena resulados para a aplicação do ese ADF considerando sazonalidade para a primeira diferença da série de faurameno mensal de bens de consumo na RMSP. Opamos pela opção 2 aqui porque o gráfico da série apresenado na figura 6.b) sugere a ausência de uma endência deerminísica linear na série em primeiras diferenças. Repare ambém Copyrigh Rogério Silva de Maos 52

56 que emos de adapar a equação de ese em (96) para refleir o fao de que agora esamos examinando a série em primeiras diferenças, escrevendo: Opção 2: 2 Y aˆ S1 s1 cˆ s1 DC s ˆ Y 1 p j1 ˆ 2 Y 2 Ou seja, na equação (99) consideramos Y como variável dependene no lado esquerdo e Y 1 como variável explicaiva no lado direio. Novamene, apresenamos em negrio a razão-, no valor de -11,99, para a variável explicaiva D(CBC(-1)), correspondene à Y 1 na expressão (99). Na pare inferior da abela, ese valor é copiado para o lado direio da esaísica ADF (au-mi). Ese valor siua-se à esquerda do valor críico de 1%, o que nos leva à decidir pela rejeição da hipóese nula de raiz uniária. Assim, quando conrolamos para a presença de sazonalidade e consoane com o gráfico da figura 6.b), concluímos que a série em primeiras diferença não apresena endência alguma e consiui um processo esacionário; e mais, concluímos ambém que a série em nível é I(1). j j uˆ Tabela 6. Equação de ese para a primeira Diferença do Comércio de Bens de Consumo ( 2 CBC) da RMSP com variáveis dummy sazonais Variável Explica. Coef. Erro-padrão Razão- Prob. C 0,41 0,39 1,06 0,29 DC 1-69,83 3,47-20,14 0,00 DC 2-51,69 4,20-12,30 0,00 DC 3-38,10 4,38-8,69 0,00 DC 4-36,46 2,00-18,27 0,00 DC 5-31,44 1,91-16,48 0,00 DC 6-42,33 1,95-21,67 0,00 DC 7-36,31 1,95-18,66 0,00 DC 8-34,15 2,03-16,78 0,00 DC 9-37,99 1,91-19,84 0,00 DC 10-34,45 1,90-18,18 0,00 DC 11-37,18 1,94-19,13 0,00 (CBC(-1)) -1,53 0,13-11,99 0,00 2 (CBC(-1)) 0,15 0,08 1,96 0,05 R 2 0,98 R 2 -ajusado 0,97 SIC 6,40 Esaís. ADF -11,99 Valor críico 1 % -3,47 Valor críico 5 % -2,88 Valor críico 10% -2,58 Copyrigh Rogério Silva de Maos 53

57 14. Comenários Finais Ese exo foi produzido com o propósio didáico de inroduzir de forma mais clara e precisa alguns ópicos que são cenrais no enendimeno da moderna EST. Esses ópicos dizem respeio às noções de processo inegrado e de raíz uniária, assim como aos procedimenos de ese de raiz uniária baseados na esruura de Dickey e Fuller. Trabalhamos numa das abordagens disponíveis para esse ese, iso é, baseada no uso da razão (aqui chamada de esaísica ). Apresenamos uma formulação em que alguns de seus dealhes são ignorados em ouros exos didáicos, inclusive alguns livros exo. Esses aspecos ignorados podem implicar em inerpreações e aplicações incorreas do procedimeno de Dickey Fuller, como a confusão enre endência deerminísica e processo de raiz uniária e as consequências nefasas de se ignorar a presença de sazonalidade. Aualmene, há uma variedade de ouros eses de raíz uniária disponíveis. Esses ouros procedimenos de ese são adequados seja como alernaivas aos quaro procedimenos de ese que apresenamos aqui, seja como procedimenos para siuações específicas apresenadas pelas séries. No úlimo caso, por exemplo, são muio usados aualmene os eses de raiz uniária na presença de quebra esruural da série. O bom preparo como economerisa especialisa em economeria de séries de empo depende de se invesir em aprender esses ouros procedimenos de ese de raíz uniária. Esperamos que ese exo enha servido como um sarup. Copyrigh Rogério Silva de Maos 54

58 Apêndice 1: Decomposição de Beveridge e Nelson Os economerisas que esudaram fenômenos como os ciclos econômicos sempre buscaram exrair do comporameno dinâmico de uma série emporal o componene de endência, para que, assim, pudessem esudar o componene de ciclo. Para séries que seguem o processo endência esacionária, esa decomposição é rivial e envolve subrair da série o componene de endência deerminísica linear. No enano, para séries que apresenam raiz uniária, como a série que segue o processo diferença esacionária, esse procedimeno não é suficiene. Eliminase a endência deerminísica linear do comporameno da série mas permanece o componene de endência esocásica. A idéia da decomposição de Beveridge e Nelson (BN) é modelar uma série não esacionária como a soma de uma endência esocásica, ambém chamado componene secular, e um componene esacionário, ambém chamado de componene cíclico. Ese apêndice explica, de forma sucina, como se procede para decompor um processo de raiz uniária em uma pare que é endência esocásica e oura que é um componene cíclico esacionário, ou I(0). Para ano, parimos da represenação de um processo de raiz uniária como: Z Z 1 u (A.1) Onde Z represena uma variável de ineresse e u é um ermo de erro esacionário, ou I(0), com média nula. Em paricular, vamos assumir que u segue um processo ARMA(p,q) esacionário e inverível, que pode ser represenado como: u ( B) (A.2) Onde é um erro aleaório que segue um processo ruído branco e (B) é a razão enre os polinômio média móvel e auorregressivo: ( B) ( B) (A.3) ( B) O polinômio (B) apresena grau infinio mas corresponde a uma série infinia convergene, devido ao fao que os polinômios finios de grau p, represenado por (B), e de grau q, represenado por (B), ambos apresenam odas as raízes fora do círculo uniário por hipóese. Em ouras palavras, o polinômio (B) permie represenar u como uma média móvel infinia dos erros em (A.2). Agora, vamos definir: * ( B) (1) ( B) (A.4) 1B onde (1) represena a soma dos coeficienes da média móvel infinia dos erros em (A.2). Esa soma é convergene, iso é, corresponde a um número real finio, em consequência das hipóeses adoadas aé aqui. Dados odos esses elemenos, podemos Copyrigh Rogério Silva de Maos 55

59 enão aplicar a decomposição BN. Primeiro, lembremos que nosso objeivo é reescrever o processo para Z em (A.1) como: Z TE w (A.5) onde TE represena uma endência esocásica, ou um passeio aleaório, e w represena um componene cíclico esacionário, ou I(0). Esses componenes, segundo a decomposição BN, são obidos como: TE ( 1) (A.6) i1 * w ( B) (A.7) Noe que é um passeio aleaório com média nula muliplicando uma consane i 1 i finia dada por (1), daí TE ser um passeio aleaório ambém. O ermo dado por w corresponde a uma média móvel infinia dos erros onde o polinômio média móvel, nese caso dado por * (B), é convergene fazendo com que w seja esacionário ou I(0). Porano, a decomposição BN permie represenar duas siuações de ineresse. O caso em que o processo esocásico para a variável de ineresse Y é de ipo raiz uniária: Y Y 1 u TE w (A.8) Nese caso, Y não possui endência deerminísica, só endência esocásica. E o caso em que o processo para Y é de ipo diferença esacionária: Y ay Y TD Z u TD TE w 1 (A.9) Z Z 1 u Copyrigh Rogério Silva de Maos 56

60 Apêndice 2: Relações enre Conceios Figura A2.1 Fone: Elaboração do auor usando conceios e definições apresenados no exo. As relações foram esabelecidas com base na definição resria de Engle e Granger (1987) para processo inegrado. Os ermos ARMA(p,q) e ARIMA(p,d,q) se referem à represenação com consane e condição de inveribilidade. O conceio de processo com d raízes uniárias (na pare AR) não aparece na figura, mas equivale ao de processo inegrado ou I(d). Copyrigh Rogério Silva de Maos 57