Noções da teoria da plasticidade

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1 pítulo 4 Noções d teori d plsticidde 4.1 Introdução No âmbito d Resitênci dos Mteriis e d Teori d lsticidde, resolução do problem estruturl impõe sempre os conceitos de elsticidde e lineridde, n definição do comportmento reológico dos mteriis de que são constituíds s estruturs. Um mteril é dito de comportmento elástico se, qundo sob ção de um solicitção extern, s deformções se processm de form imedit e ind, o se retirr solicitção, este volt à su configurção inicil, ou sej s deformções são reversíveis. Um mteril é dito de comportmento liner, qundo existir proporcionlidde entre tensões e deformções, ou sej s sus relções constitutivs são expresss pel lei de Hooke qundo se trtr de estdos de tensão simples e pel lei de Hooke generlizd qundo se trtr de estdos de tensão trixiis. m resumo, no estudo dos problems estruturis no âmbito d Resistênci dos Mteriis e d Teori d lsticidde considerm-se s estruturs constituíds de mteriis com comportmento reológico definido por respost elástic e liner. O conceito de não lineridde físic está ssocido os mteriis pr os quis não existe proporcionlidde entre tensão e deformção e, portnto, não é vlid lei de Hooke ns dus forms nteriormente citds. O conceito de plsticidde está ssocido os mteriis pr os quis respost deix de ser elástic, ou sej, embor s deformções continuem processndo-se de form imedit, o se retirr solicitção estes não voltm às configurções iniciis, permnecendo deformdos (deformção residul). Tis deformções irreversíveis são s chmds deformções plástics. r exemplificr serão nlisdos lguns digrms que representm s relções entre tensões σ e deformções ε obtidos em ensios de trção e compressão simples pr distintos mteriis. Figur 4.1 mostr um mteril de comportmento elástico e liner tmbém definido como um mteril elsto-frágil. Neste cso s deformções entre e 0 se processm de form reversível e respeitndo proporcionlidde com s tensões, ou sej com σ = ε =tgα. Observr que este mteril é frágil, pois o se tingirem os pontos e 0 omterilse desgreg ficndo definids nestes pontos s tensões de ruptur à trção (σ rt ) e à compressão (σ rc ). 17

2 σ σ σ Rt σrt ε Rc O α ε Rt ε O ε ' σ Rc ' σ Rc ) b) Figur 4.1: Fig. ) Mteril elástico liner (elsto frágil). Fig. b) Mteril elástico nãoliner frágil. Figur 4.1b mostr um mteril de comportmento elástico e não-liner frágil, onde s deformções são reversíveis, porém não proporcionis às tensões. σ σ R σ e σ p O α p ε ε α ε e ε Figur 4.: igrm tensão deformção de mteriis dúcteis nlisndo o digrm tensão deformção d Figur 4. pode-se observr que: no trecho O o comportmento do mteril é elástico e liner no trecho o comportmento do mteril é elástico, porém não-liner. tensão ssocid o ponto que limit respost liner é dit tensão limite de proporcionlidde (σ p ). tensão ssocid o ponto é dit tensão limite de elsticidde (σ e ),poistingid est tensão, s deformções deixm de se processr de form irreversível. ssim, se no ensio de trção deste mteril, o se tingir o ponto, retirr-se integrlmente solicitção, descrg se frá pel linh, proximdmente prlel O, tl que d deformção totl ε somente prcel ε e é reversível. prcel ε p é irreversível e crcteriz deformção plástic (permnente). É interessnte observr que o se ultrpssr o limite de elsticidde σ e, descrg se fz de form liner, mntendo mesm relção entre tensão e deformção que se tem qundo do crregmento inicil e ind, se se retomr o processo de crregmento, este se frá elsticmente sobre ret. 17

3 Note-se tmbém que o se tingir tensão σ e s deformções crescem rpidmente sem que ocorrm vrições de tensão e, portnto, definindoumtrechoretoprticmenteprlelo o eixo dos ε que é dito ptmr de escomento e que é próprio dos mteriis dúcteis. r estes mteriis tensão limite de elsticidde σ e é tmbém denomind tensão de escomento. continuiddedoensiolevumumentodetensãonofinl do ptmr que se deve à contrção d seção trnsversl e que ocorre pouco ntes de se tingir ruptur. Os ços lmindos quente (50-) presentm digrms tensão deformção do tipo indicdo n Figur 4.. Já os ços encrudos por lminção frio (50-), presentm digrm tensão deformçãocomooindicdonfigur4.. σ σ R σ e σ p O α p ε =0, % 0 ε Figur 4.: igrm tensão deformção do ço 50. Notr que estes ços não presentm ptmr de escomento. O seu limite de elsticidde é convencionl e se crcteriz pel tensão σ e pr qul está ssocid um deformção plástic (permnente) ε =0, /. No estudo que qui se present cerc ds noções d Teori d lsticidde, serão considerdos mteriis cujo digrm tensão deformção está indicdo n Figur 4.4 e que são definidos como elsto plástico ideis. σ ε e σ p =σ e ε p p ε ε e ε = σ p σ e Figur 4.4: igrm tensão deformção de mteril elsto plástico idel. 4. Generliddes Neste item serão borddos lguns spectos reltivos o conceito de segurnç ds estruturs e su interdependênci com s condições de respost dos mteriis, ou sej 174

4 respost em regime elástico liner e respost em regime elsto plástico; dotr-se-á qui, como modelo reológico quele correspondente o mteril elsto plástico idel. O conceito de segurnç de um estrutur que, princípio é purmente qulittivo, está ligdo à cpcidde de que est present de suportr, durnte tod vid útil, s diverss ções pr s quis el foi projetd, mntendo s condições funcionis que se destin. Obvimente, pr que se poss quntificr est segurnç é necessário que: se conheç respost d estrutur pr s ções considerds, determinndo-se os esforços internos, s deformções e os deslocmentos, os quis estão ssocidos um ddo comportmento reológico. se estbeleçm determindos critérios de comprção com s resposts encontrds de tl form que se poss medir su segurnç. Tis critérios de comprção podem ser de dois tipos: ) critérios de resistênci onde são definids condições que permitem medir segurnç qunto à cpcidde que estrutur tem de resistir às ções pr s quis foi projetd. b) critérios de funcionlidde e durbilidde ds estruturs que permitem estbelecer s condições dequds pr su utilizção. form clássic de vlição d segurnç ds estruturs em relção à su cpcidde resistente é feit pelo método ds tensões dmissíveis onde medid d segurnç é obtid trvés do coeficiente de segurnç interno γ i e dotndo-se, em gerl, como critério de resistênci pr s estruturs reticulds, o ritério d Máxim Tensão Norml. est form, medid d segurnç, tendo em cont o Método ds Tensões dmissíveis e n hipótese de se considerr um mteril de comportmento elsto plástico idel (Figur 4.4), pode ser express pel desiguldde σ 6 σ 6 σ onde σ é tensão norml em qulquer ponto d estrutur, devid o crregmento externo, σ = σe é tensão dmissível, γ γ i i > 1 éocoeficiente de segurnç interno e σ e tensãode escomento n trção ou compressão. doçãodom.t..nvliçãodsestrutursimplicqueemnenhumpontod estrutur se poss ter tensões em módulo superiores à tensão dmissível; o coeficiente de segurnç γ i mede o qunto tensão dmissível se fst d tensão limite de escomento. Fic clro tmbém que, n vlição d segurnç em termos ds tensões dmissíveis, pr mteriis com comportmento elsto plástico idel, bst ter-se respost d estrutur (σ) em regime elástico liner. omo ilustrção tome-se o exemplo

5 xemplo 1 dotndo-se o M.T.., determinr pr s estruturs mostrds ns Figurs 4.5 e 4.5b, o coeficiente de segurnç interno γ i n hipótese de o mteril ter comportmento elsto plástico idel com tensão de escomento n trção e n compressão σ e = N/cm. 10cm 10cm m = 0000 N m 6cm 0cm = N seção trnsversl σ seção trnsversl σ e ε σ e ) b) Figur 4.5: xemplos. Solução: No cso d vig submetid à crg xil, su solução em termos de esforços solicitntes é dd por forç norml constnte o longo d brr e igul N = N. ortnto em todosospontosdbrrtensãonormlé σ = σ máx = N = = 8000 N/cm. + N = N Figur 4.6: Vig rg xil. Impondo-se condição de segurnç pelo M.T.. e dotndo-se como critério de resistênci o critério d Máxim Tensão Norml tem-se σ máx 6 σ onde isto é σ = σ e γ i = γ i γ i. 176

6 M V m = 0000 N m + Mmx Figur 4.7: Vig. Flexão. e onde se conclui que γ i =1, 5 éocoeficiente de segurnç interno d estrutur d Figur 4.5. No cso d vig sobre dois poios, su solução em termos de esforços solicitntes é indicd n Figur 4.7, onde M máx = = 4 4 M máx = N.cm e V = = N. σ ' = Mmx W' Mmx + Mmx σ"= W" Figur 4.8: ssim, s tensões normis máxims ocorrem n seção de M máx ensfibrs superior e inferior e são dds por: onde W 0 = W 00 = bh est form tem-se 6 = 6 (0) σ 0 máx = M máx W 0 σ 00 máx = + M máx W 00 6 =400cm e M máx = N.cm. σ 00 máx = σ 0 máx = 5000 N/cm. Impondo-se condição de segurnç pelo M.T.. e dotndo-se como critério de resistênci o ritério d Máxim Tensão Norml tem-se: n fibr inferior σ 00 máx = σ = γ γ i 6, 0 i n fibr superior σ 0 máx = σ = γ γ i 6, 0 i 177

7 ou sej o coeficiente de segurnç interno d estrutur d Figur 4.5b é γ i =, 0. NotrquedoçãodoritériodMáximTensãoNormlprsestruturssubmetids esforços de flexão compnhdos de forç cortnte, não exige vlição ds tensões de cislhmento decorrentes dest últim. Tome-se gor pr nálise o exemplo. xemplo r s mesms estruturs d Figur 4.5 determinr o vlor d crg = I prqulocorrenoponto missolicitdod estrutur tensão norml igul à tensão de escomento ( σ máx = σ e ), ou sej, determinr o vlor de I pr que estrutur entre em regime plástico. Solução: + N r estrutur ) tem-se Figur 4.9: N = N máx = = cte e, portnto, σ máx = = 100 N/cm constnte pr todo os pontos d estrutur. est form condição impost pr determinção de I fic σ máx = I = σ e = N/cm I = N r estrutur b) tem-se (Figur 4.10) n seção do meio do vão M máx = 400 N.cm 4 M máx = 100 N.cm. s tensões normis máxims em módulo ns fibrs extrems ocorrem n seção do meio do vão e são: n fibr inferior σ 00 máx = M máx W 00 n fibr superior σ 0 máx = M máx W 0 = =0, 5 N/cm = = 0, 5 N/cm. 178

8 m m Mmx Figur 4.10: est form condição impost pr determinção de I fic σ 00 máx = 0, 5 I = σ e = kgf/cm I = N σ 0 máx = 0, 5 I = σ e = kgf/cm I = N. ssim crg I = N define o finl de comportmento d estrutur em regime elástico e, portnto, o início do regime plástico. Nest cso s tensões normis n seção do meio do vão se distribuem conforme indicdo n Figur Mmx + σ ' = σ " = σ e = 1000 N/cm σ σ e σ σ e = 1000 N/cm e tensão n fibr inferior ε Figur 4.11: Tensões no meio do vão. osto isso, define-se como rimeiro Limite de um estrutur submetid um crg únic, como sendo o vlor d crg = I que cus o início de escomento d estrutur, ou sej, é o vlor d crg que provoc o precimento, no ponto mis solicitdo d estrutur, de um tensão norml igul à tensão de escomento σ e. ssim, no exemplo tem-se pr s estruturs ) e b), o rimeiro Limite de cd um dels ddo, respectivmente, por I = N e I = N. 1 Mmx M Figur 4.1: Imgine-se que estrutur estej submetid um conjunto de crgs fixs, conforme indicdo n Figur 4.1. efine-se como rimeiro Limite d estrutur submetid um 179

9 conjunto de crregmento fixo, o multiplicdor γ I destecrregmentoproqulnseção mis solicitd se tinj um tensão σ máx = σ e. ode-se gor imginr estbelecer-se um medid de segurnç em relção o rimeiro Limite d estrutur, definindo-se ssim um coeficiente de segurnç externo ddo por: γ e = I > 1 ou, o que é o mesmo, vlindo-se o multiplicdor γ I. Tl coeficiente de segurnç estbelece, portnto, como medid de segurnç, distânci entre crg de rimeiro Limite d estrutur e crg de utilizção. nlisndo-se o exemplo e determinndo-se o coeficiente de segurnç externo pr s estruturs ) e b) tem-se estrutur ) γ e = I = =1, estrutur b) γ e = I = =, É importnte observr que medid de segurnç vlid em termos do M.T.. prtir d determinção do coeficiente de segurnç interno γ i (exemplo 1) e quel feit em relçãoocoeficiente de segurnç externo γ e obtidoemrelçãoorimeirolimiteds estruturs, (exemplo ), conduz vlores de γ i = γ e. Istosedeveobvimenteoftodeque s resposts ds estruturs em mbos os exemplos mntiverm proporcionlidde entre tensão e deformção (respost liner) e, portnto, enqunto for válido o comportmento elástico liner, os coeficientes de segurnç interno e externo são iguis. É de extrem importânci vlir-se gor o que ocorre com s estruturs ) e b) do exemplo nterior, qundo, tingido o vlor d crg de rimeiro Limite I,secontinue umentr o crregmento, portnto introduzindo-se créscimos de crg em relção I. r estrutur ) pode-se observr que o se tingir crg I = N de rimeiro Limite, todos os pontos d estrutur tingem o escomento e, portnto, estrutur perde cpcidde de bsorver qulquer créscimo de crg lém de I, tingindo ssim ruín. Neste cso crg I prqulestruturentremregimeplásticoéigulàcrgque lev estrutur à ruín por plstificção de tods s seções. r estrutur b), o tingir-se crg I, estrutur continu ter cpcidde portnte, ou sej, continu ter cpcidde de bsorver créscimos de crg lém de I ; porém respost d estrutur já não se process mis em regime elástico liner em todos os seus pontos. ssim, s fibrs extrems d seção do meio do vão, tingirm os ptmres de escomento à trção e à compressão e, portnto, pr qulquer créscimo de crg cim de I, nests fibrs tensão é mntid em ±σ e e nels se processm somente créscimos de deformções. nlisndo-se o que ocorre n seção do meio do vão em termos de distribuição de tensões normis pr vlores de > I, not-se que os outros pontos dest seção continum se deformr em regime plástico liner té tingirem o ptmr de escomento e prtir dí se deformm plsticmente (Figur 4.1). continur-se crregr vig, ocorrerá n seção do meio do vão plstificção de tod seção, ou sej, tod seção tinge tensão de escomento e, portnto, est seção perde cpcidde de bsorver créscimos de esforços (Figur 4.14) crindo-se í um rótul plástic. m outrs plvrs, o tingir-se plstificção de um seção trnsversl de um estrutur, por efeito de flexão, é como se se esgotsse cpcidde dest seção de bsorver 180

10 ' ' + σ " = σ ' = σ e σ e σ e σ σe tensões/deformções em ' (plástico) ε tensões em '' (elástico) tensões/deformções em ' (plástico) Figur 4.1: Seção do meio do vão > I. ' ' + σ " = σ ' = σ 0 σ 0 σ e σ σe tensões/deformções em ' tensões/deformções em ' ε Figur 4.14: lstificção d seção trnsversl em 0 créscimos de momento fletor lém dquele que equilibr distribuição de tensões d seção plstificd. ste momento é chmdo de momento de plstificção d seção trnsversl. denominção de rótul plástic dd às seções trnsversis plstificds por flexão está ligd à su perd de cpcidde de bsorção de momento fletor, cim do momento de plstificção, pr quisquer créscimos de crg superiores àquel que provoc referid plstificção. est form, pr estrutur b) do exemplo, existe um crg > I prqul seção do meio do vão plstific-se, crindo-se, portnto, neste ponto um rótul plástic, onde o momento de plstificção é ; ssim, pr crg os esforços de flexão n vig estão indicdos n Figur Obvimente vig simples isostátic, com ocorrênci d rótul n seção do meio do vão, se trnsform em um mecnismo, ou sej, se trnsform em um sistem hipostático, crcterizndo su ruín. m m rótul plástic M Figur 4.15: osto isso, define-se como Segundo Limite de um estrutur, submetid um crg únic, como sendo o vlor d crg = que lev estrutur inicil, torn-se prcil ou totlmente hipostátic, devido à plstificção de lgums seções. 181

11 ssim no exemplo, pr estrutur correspondente à brr solicitd xilmente, crg que define o seu Segundo Limite, coincide com crg de rimeiro Limite e, portnto, tem-se = N r estrutur b) do mesmo exemplo, que corresponde à vig simplesmente poid, o vlor d crg que define o Segundo Limite d estrutur, como se verá dinte, pode ser clculdo 1, obtendo-se: = N efine-se como Segundo Limite de um estrutur submetid um conjunto de crregmento fixo, o multiplicdor γ deste crregmento, pr o qul estrutur inicil torn-se prcil ou totlmente hipostátic, devido à plstificção de lgums seções. É importnte slientr que os conceitos mis modernos de segurnç ds estruturs estão ssocidos o Método dos stdos Limites. ssim um ds medids de segurnç ds estruturs pode ser feit prtir do stdo Limite Último de olpso d estrutur o qul corresponde o esgotmento d cpcidde portnte d estrutur por trnsformção dest em estrutur prcil ou totlmente hipostátic devido à plstificção de lgums seções. Isto signific que segurnç o stdo Limite Último de olpso é impost em relção um fstmento o seu Segundo Limite, ou sej, determinndo-se um coeficiente de segurnç externo γ e tl que: γ e = > 1, 0 ou, o que é mesmo, vlindo-se o multiplicdor γ. ssim medid d segurnç em relção o Segundo Limite ou, o que é o mesmo, em relção o stdo Limite Último de olpso d strutur, vlid pr s estruturs ) e b) do exemplo fic: estrutur ) γ e = = =1, estrutur b) γ e = = 6000 =, r seção retngulr o momento de plstificção é = F z.c = σ e b h h = σ bh e 4 = (0) = N.cm 4 = = = N b σ e h h/ h/ c F z + σ e F z Figur 4.16: 18

12 Not-se que pr estrutur ) medid d segurnç em relção o rimeiro Limite e o Segundo Limite não mudou, pois pr est estrutur I = ; porém pr estrutur b) medid de segurnç em relção o Segundo Limite (ou sej, em relção o seu colpso) é γ e =, 0, enqunto em relção o M.T.. é γ i =, 0. Isto indic que imposição d segurnç em relção o seu Segundo Limite pode levr estruturs mis econômics; resslte-se ind que s diferençs entre s medids de segurnç em relção o Segundo Limite e o rimeiro Limite tendem ser miores qunto mior for o gru de hiperestticidde ds estruturs. Fic clro qui que considerção d segurnç ds estruturs em relção o seu stdo Limite de olpso, exige que se determine o Segundo Limite dest. Tl vlição só pode ser feit, obvimente, sindo-se do regime elástico liner e dotndo-se um comportmento elsto plástico n nálise d estrutur. qui reside importânci dos estudos ds brrs em regime elsto plástico idel que se presentrá seguir. Serão borddos em seguid os métodos de cálculo pr determinção ds crgs de Segundo Limite ou dos multiplicdores dests crgs, tendo em cont mteriis de comportmento elsto plástico idel em estruturs de brrs submetids esforços xiis e de flexão. m resumo, pode-se dizer que medid d segurnç feit com bse no M.T.. pel determinção do coeficiente de segurnç interno γ i ou, o que é o mesmo pr estruturs em regime elástico liner, pel determinção do coeficiente de segurnç externo γ e definido em relção o rimeiro Limite tem como crític principl distânci grnde que pode introduzir entre situção de utilizção e quel que corresponderi à ruín d estrutur. st distânci pode ser tnto mior qunto mior for o gru de hiperestticidde d estrutur, podendo conduzir estruturs mis segurs porém nti-econômics. medid d segurnç feit prtir d determinção do coeficiente de segurnç externo γ e vlido em relção o Segundo Limite d estrutur é, portnto, mis stisftóri podendo ssim, mesmo com restrições miores, conduzir estruturs mis segurs e mis econômics, exigindo porém determinção ds resposts estruturis for do regime elástico liner. í importânci, como já se citou, d considerção d plsticidde no comportmento ds estruturs. 4. ritérios de resistênci Nos exemplos té qui presentdos considerrm-se estruturs de brr com comportmento elsto plástico idel e dotou-se como critério de resistênci o d Máxim Tensão Norml tmbém chmdo de ritério de Rnkine. e form gerl pode-se dizer que os critérios de resistênci definem condições tis que pr ddo mteril e ddo estdo de tensão este se encontr em regime elástico liner ou regime plástico. est form definem-se s chmds funções de plstificção φ tis que, plicds um ddo estdo de tensão em um ponto d estrutur, presentm seguinte crcterístic: φ ({σ}) < 0 o estdo de tensão é elástico φ ({σ}) = 0 o estdo de tensão é plástico φ ({σ}) > 0 o estdo de tensão é impossível. Segundo o prof. écio de Zgottis em seu Introdução à Segurnç no rojeto struturl : utilizção do Método ds Tensões dmissíveis, hoje, é indmissível. 18

13 4..1 ritério d Máxim Tensão Norml xemplificndo,oritériodmáximtensãonormlouritériodernkineestbelece que um mteril entr em regime plástico qundo tensão norml se igul à tensão de escomento à trção σ et ou à compressão σ ec. est mneir função de plstificção ssocid este critério de resistênci pode ser escrit: φ 1 = σ 1 σ et φ = σ ec σ onde σ 1 é tensão principl de trção e σ é tensão principl de compressão. representção do ritério de Rnkine no plno (σ, τ) do írculo de Mohr fic crcterizd por dus linhs prlels o eixo dos τ epssndoporσ et e σ ec tis que (Figur 4.17): círculo : regime elástico círculo : regime plástico com encrumento por trção círculo : regime plástico com encrumento por compressão círculo : estdo de tensão impossível. τ σ σ ec σ et Figur 4.17: ritério de Rnkine. xistem vários critérios de resistênci que procurm identificr, pr distintos mteriis e levndo em cont os estdos múltiplos de tensão que se instlm ns estruturs, se tis mteriis estão em regime elástico ou plástico. seguir se descrevem lguns critérios de resistênci mis usuis. 4.. ritério d Mior Tensão de islhmento (ritério de Tresc) ste critério impõe condição de que mior tensão de cislhmento não deve ultrpssr metde d tensão limite de trção do mteril obtid em ensio de trção simples. ssim, função de plstificção ssocid o ritério de Tresc se escreve ou, ind, φ = τ máx σ t φ = σ 1 σ σ t 184

14 τ plástico elástico elástico plástico τ mx = σ t σ σt τ mx = Figur 4.18: ritério de Tresc. pois, τ máx = σ 1 σ e σ 1 e σ são s tensões principis extrems. representção deste critério no plno (σ, τ) do círculo de Mohr fic (Figur 4.18). ste critério é em gerl utilizdo pr mteriis dúcteis com resitêncis iguis à trção e à compressão. 4.. ritério de Mohr oulomb ste critério estbelece que tensão de cislhmento não deve ultrpssr o vlor c σtgϕ onde σ é tensão norml tunte, c écoesãodomteril,ϕ é o ângulo de trito interno do mteril. ssim, função de plstificção ssocid este critério fic φ = τ R onde R = c σtgϕ. representção deste critério no plno (σ, τ) do círculo de Mohr fic (Figur 4.19). τ p c σ tgϕ =0 e p ϕ ϕ σ c + σ tgϕ =0 c / tgϕ Figur 4.19: ritério de Mohr oulomb. ste critério é muito empregdo pr mteriis pulverulentos e é tmbém conhecido como ritério do trito Interno. 185

15 4.4 studo ds tensões ns estruturs reticulds com comportmento elsto plástico idel. Neste item se bordrá o estudo ds tensões ns estruturs reticulds constituíds de mteriis de comportmento elsto plástico idel cujo digrm tensão deformção encontr-se indicdo n Figur 4.0. σ σ e ε σ e Figur 4.0: Mteril elsto-plástico idel. Inicilmente serão estudds s estruturs submetids solicitções xiis e em seguid s estruturs submetids à flexão. Nos dois csos serão vlidos, pr lguns exemplos, os vlores ds crgs de rimeiro e Segundo Limites dests estruturs, prtir d plicção de crregmentos crescentes que compnhm respost elsto plástic. ind nestes exemplos serão vlids s resposts d estrutur durnte o descrregmento totl dest, prtir d crg de Segundo Limite, ou sej, prtir d su situção no instnte d ruín, clculndo-se í os vlores ds deformções plástics (permnentes) que se instlm nest estruturs sob crg zero Solicitção xil xemplo 1 onsidere-se um vig engstd, constituíd de mteril homogêneo de comportmento elsto plástico idel, submetid um esforço externo xil, conforme mostr Figur N σ e σ O ε Figur 4.1: Vig engstd de mteril homogêneo. Solicitção xil. Solução: Trt-se evidentemente de um estrutur isostátic cuj solução é dd por N = constnte o longo d brr. est form tem-se: σ = N = 186

16 onde é áre d seção trnsversl d brr e σ é tensão norml constnte em todos os pontos d brr. Tendo em cont definição de rimeiro Limite tem-se σ = I = σ e ou sej I = σ e onde σ e é tensão limite de elsticidde. orém, como tensão norml é constnte em todos os pontos d brr, crg I fz com que estrutur tinj ruín (Segundo Limite) por plstificção de tods s sus seções. est form tem-se = I = σ e onde écrgdesegundolimite. ssim, pr estrutur isostátic deste exemplo s crgs de rimeiro e Segundo Limites são coincidentes; portnto medir segurnç em relção o rimeiro ou o Segundo limite é indiferente. N iminênci de tingir-se crg I = todos os pontos estão com tensão igul à tensão σ e e, portnto, coincidentes com o ponto do digrm tensão deformção. Se descrregrmos gor integrlmente estrutur, el volt pel ret O, não resultndo, ssim, deformções permnentes. xemplo onsidere-se um vig engstd constituíd de dois mteriis distintos de comportmento elsto plástico idel submetid um esforço externo xil, conforme mostrdo n Figur 4.. esej-se estudr ciclos de crg e descrg em situções envolvendo deformções plástics. mteril 1 mteril σ e1 σ σ e σ O ε O ε σ e1 σ e seção trnsversl mteril 1 mteril Figur 4.: Vig engstd com dois mteriis distintos. Solicitção xil. Sejm 1, 1 e,, respectivmente, áre e o módulo de elsticidde dos mteriis 1 e ; σ e1 e σ e são s tensões limite de elsticidde dos mteriis 1 e, iguis à trção e à compressão. Solução: solução do problem em termos d determinção ds tensões normis σ 1 e σ nos mteriis 1 e, reci em um problem hiperestático cuj solução em regime elástico liner éobtidpor: equilíbrio : = σ σ (4.1) comptibilidde : ε 1 = ε. (4.) 187

17 equção de comptibilidde (4.) em regime elástico liner fic: e (4.1) e (4.) decorre: σ 1 = σ = solução est que é válid enqunto dotndo-se pr este exemplo: tem-se como solução elástic σ 1 1 = σ. (4.) = = σ 1 6 σ e1 σ 6 σ e. 1 = = =10cm 1 = = σ e1 = σ e = σ e = 0000 N/cm (4.4) (4.5) σ 1 = (4.6) σ =. (4.7) 1 σ = σ 1 = Figur 4.: Solução elástic. istribuição de tensões. O rimeiro Limite d estrutur corresponde à crg I que provoc o precimento, no ponto mis solicitdo d brr, de um tensão norml igul à tensão de escomento σ e. r o mteril 1 est condição fic: ou r o mteril est condição fic: σ 1 = = σ e1 = 0000 N/cm I = N. (4.8) σ = = σ e = N/cm 188

18 ou I = N. (4.9) est form, observndo-se os vlores de (4.8) e (4.9), pode-se concluir que I = N, corresponde o escomento do mteril e,portnto,prestcrgtem-se mteril 1 σ 1 = = σ 1 = 0000 N/cm <σ e1 = 0000 N/cm mteril σ = = = N/cm = σ e. ssim, o mteril 1 ind está em regime elástico liner, enqunto o mteril entrou em regime elsto plástico (Figur 4.4). σ σ 1 σ e1 σ 1= = I σ e= σ =10000 I O ε 1= 0000 =ε I 1 ε O 0000 ε = 1 =ε I ε σ = σ e =10000 mteril 1 mteril σ 1 = 0000 I = Figur 4.4: rg de rimeiro Limite, tensões e deformções. s deformções ε 1 e ε ficm: ε 1 = σ 1 = ε = σ = σ e = = Obvimente ε 1 = ε em função d condição de comptibilidde de deformção impost os dois mteriis. ortnto, deformção dos dois mteriis qundo se tinge o rimeiro Limite é: ε I = ε 1 = ε = Se gor, prtir dest situção, se quiser umentr o crregmento com vlores de créscimo de crg prtirde I, deve-se notr que omteril1 ind tem cpcidde de bsorver créscimos de crregmento, pois ind se encontr em regime elástico liner (σ 1 <σ e1 ) omteril tingiu o ptmr de escomento (σ = σ e ) e, portnto, perde cpcidde de bsorver créscimos de crg; logo, pr estes créscimos de crg ele se deform sem créscimos de tensão compnhndo deformção do mteril 1, mntendo comptibilidde. 189

19 ssim, o modelo estruturl pr determinção de créscimos de tensão, pr os créscimos de crg cim de I, corresponde à brr só constituíd do mteril 1, respondendo elsticmente, e com o mteril compnhndo deformção do mteril 1. est form os créscimos de tensão σ 1 e σ pr um créscimo de crg cim de I ficm: σ 1 = σ = 0 1 = e, portnto, s tensões finis pr o crregmento = I + são: σ 1 = σ = N/cm. N/cm É fácil observr que deve existir um vlor do créscimo de crg cim de I pr o qul o mteril 1 tinge o escomento. o tingir-se este ponto mbos os mteriis estrão escodos e, portnto, brr tingirá ruín (Segundo Limite) por plstificção de tods s sus seções. imposição dest condição permite escrever σ 1 = = σ e1 = 0000 N/cm = N. ssim, crg de Segundo Limite fic = I + ou sej, = = N. O créscimo de deformção elástic que o mteril 1 sofre devido o créscimo de crg é: ε 1 = σ 1 1 = 1 ε 1 = = Obvimente, devido à comptibilidde, o créscimo de deformção no mteril é ε = ε 1 = e, portnto, deformção finl d brr fic ε = ε I + ε 1 = ou ε = Figur 4.5 mostr s tensões e deformções nos mteriis 1 e qundo se tinge crg do Segundo Limite. Imgine-se gor que, tingid crg de Segundo Limite, se proced um descrregmento totl d brr, ou sej, que se plique um vrição de crg tl que: = + =0. 190

20 σ σe1 = σ 1 = 0000 I σ e= σ =10000 σ I 1 O ε I Δε 1 mteril 1 ε = ε O ε ε I ε 0000 = Δε 1 1 =Δε mteril e1= σ σ 1= 0000 σ = σ e =10000 = Figur 4.5: rg de Segundo Limite. Tensões e deformções. est form tem-se, lembrndo que = N: = N. o plicr-se est vrição de crg, not-se (Figur 4.6) que o mteril 1 responderá elsticmente durnte descrg voltndo pel ret O do digrm tensão deformção; o mteril, que já se encontr plstificdo, durnte descrg responderá tmbém elsticmente, voltndo prtir do ponto,porumretprlelo I. σ σ 1 σ 1 = σ e1 = O ' I ε = ε σ= σ e= O ' I ε = ε σ = - σ 1 = mteril 1 mteril =0 Figur 4.6: escrg totl prtir de Segundo Limite. Tensões e deformções. ortnto, como durnte descrg, mbos os mteriis respondem elsticmente à plicção de = N, s vrições de tensão σ 1 e σ, respectivmente, nos mteriis 1 e obedecem solução elástic (equções (4.6) e (4.7)). ssim tem-se: σ 1 = e σ = e, numericmente, σ 1 = σ = = N/cm 10 = N/cm. 191

21 est form s tensões finis nos mteriis 1 e, pós descrg totl, ficm: Notr que: mteril 1 σ 1 = σ e1 + σ 1 σ 1 = mteril σ = σ e + σ σ = = N/cm = N/cm. o mteril 1, pós descrg, continu trciondo; omteril, pós descrg, pssou estr comprimido, porém com um tensão σ em módulo menor que tensão de escomento à compressão, o que confirmhipótese feit de descrg com respost elástic; resultnte ds tensões n seção trnsversl é nul, obedecendo obvimente equção de equilíbrio ( =0); s tensões instlds nos mteriis 1 e são tensões residuis. vrição de deformção elástic que ocorre nos mteriis 1 e durnte descrg pode ser clculd por: ε 1 = σ 1 = ou ε = σ = = mostrndo, obvimente, que ε 1 = ε (comptibilidde). ssim, deformção finl nos mteriis 1 e, pós descrg totl fic: ε 1 = ε + ε 1 = ε 1 = = ε. 1 Figur 4.6 mostr s tensões e deformções correspondentes à situção de descrg totl (ponto 0 ). ode-se imginr que, tingid crg de Segundo Limite, se proced descrregmento d brr que leve se tingir o rimeiro Limite por compressão, ou sej, plique-se um vrição de crg sobre detlformsetingir,ounomteril1 ou no mteril, um tensão igul à tensão de escomento por compressão. omo descrg se fz elsticmente, s vrições de tensão σ 1 e σ devids à vrição de crg ficm: σ 1 = σ =. s tensões finis nos mteriis 1 e, pós descrg podem ser escrits: mteril 1 σ 1 = σ e1 + σ 1 σ 1 = mteril σ = σ e + σ σ =

22 condiçãodesetingir,nosmteriis1 e, um tensão igul à tensão de escomento por compressão, pode ser express pels igulddes: mteril 1 σ 1 = = σ e1 = 0000 N/cm = N (4.10) mteril σ = = σ e = N/cm = N. (4.11) Observndo-se os vlores de (4.10) e (4.11) conclui-se que = N corresponde à vrição de crg que lev o escomento por compressão do mteril ; ssim s vrições de tensão σ 1 e σ tomm os vlores: σ 1 = = N/cm σ 1 = = 0000 N/cm. s tensões finis o se tingir o rimeiro Limite por compressão ficm: σ 1 = σ e1 + σ 1 = N/cm > σ e1 = 0000 N/cm σ = σ e + σ = N/cm = σ e mostrndo que o mteril plstificou por compressão e o que o mteril 1 ind se encontr em regime elástico. vrição de deformção elástic que se process nos mteriis 1 e devid à vrição de crg pode ser clculd por: ε 1 = σ 1 = ou ε = σ = 0000 = = ε ssim, deformção finl nos mteriis 1 e n situção de rimeiro Limite por compressão fic: ε I = ε + ε 1 = ou ε I = 10000, 1 igul nos mteriis 1 e. crg de rimeiro Limite por compressão fic, portnto, ou sej, I = + I = I = N. Figur 4.7 mostr s tensões e deformções correspondentes à situção de rimeiro Limite por compressão (ponto I ). 19

23 σ σ σ e1 1 ε I = - ε I= ε ε = 0000 I I σ e I σe= ε = σ = = -σ e ε σ 1= σ e1 mteril 1 mteril = N Figur 4.7: rg de rimeiro Limite n compressão. Tensões e deformções. Se, prtir dest situção, se quiser umentr compressão com vrições de crg prtirdcrg I de rimeiro Limite à compressão, deve-se notr que o mteril 1 ind tem cpcidde de respost pr receber créscimos de tensão de compressão, pois ind está em regime elástico liner (σ 1 > σ e1 ) enqunto o mteril tingiu o ptmr de escomento por compressão (σ = σ e ) e, portnto, deform-se sem créscimo de tensão, compnhndo deformção do mteril 1. est form s vrições de tensão σ 1 e σ pr vlores de cim de I ficm: σ 1 = e σ =0 e, portnto, s tensões finis pr o crregmento = I + são: σ 1 = N/cm σ = N/cm. ode-se gor determinr qul o vlor d vrição de crg cim de I pr o qul omteril1 tinge o escomento, fzendo, portnto, com que se chegue um condição de Segundo Limite n compressão por plstificção totl d brr. imposição dest condição permite escrever: σ 1 = = σ e1 = 0000 N/cm = N. ssim, crg de Segundo Limite n compressão fic: ou sej, = I + = ou = N. O créscimo de deformção elástic que os mteriis 1 e sofrem devido é: ε 1 = σ 1 1 = 1 = ε 194

24 ou ε 1 = = 0000 = ε. 1 1 ortnto, deformção finlnbrrnestsituçãoé: ε = ε I + ε 1 = ε = Figur 4.8 mostr s tensões e deformções nos mteriis 1 e qundo se tinge crg de Segundo Limite n compressão (ponto ). σ σ σ e1 1 ε I = - ε I = ε 1 ε I I σ e σe= σ = - σe= ε σ 1= -σ e1 = σ e1 mteril 1 mteril = N Figur 4.8: rg de Segundo Limite n compressão Tensão e deformção. r fechr o ciclo de crregmento é interessnte nlisr descrg totl prtir do Segundo Limite à compressão. omo = N então vrição de crg pr descrg totl será = N. s vrições de tensão σ 1 e σ decorrentes d plicção de obedecem solução elástic (equções (4.6) e (4.7)) e,portnto,ficm: ou, numericmente, σ 1 = σ 1 = σ 1 = e σ = = N/cm 10 = N/cm. s tensões finis pós descrg totl se escrevem: mteril 1 σ 1 = σ e1 + σ 1 σ 1 = mteril σ = σ e + σ σ = = N/cm = N/cm.

25 vrição de deformção elástic nos dois mteriis durnte descrg é ou ε 1 = ε = σ 1 1 = σ ε 1 = ε = ortnto, deformção finl fic ε 1 = ε = ε + ε 1 ε 1 = ε = ou ε 1 = ε = Figur 4.9 mostr s tensões e deformções nos mteriis 1 e correspondentes à situção de descrg totl (ponto 0 ). 1 ε = ε 1 1 ' ε ' ε = ε σ = σ = σ e Figur 4.9: escrg prtir do Segundo Limite n compressão, tensões e deformções. 196

26 Figur 4.0 mostr representção d vrição d crg durnte todo o processo de crg, descrg e nov crg relizdo n brr, em relção às deformções ssocids o crregmento. É importnte observr que: trecho 0 1: vriçãode liner respost elástic d brr com dois mteriis; trecho 1 : vriçãode liner respost elástic do mteril 1; trecho : vriçãode liner respost elástic d brr com dois mteriis; trecho 4: vriçãode liner respost elástic do mteril 1; trecho 4 5: vriçãode liner respost elástic d brr com dois mteriis (N) 1 o limite trção 1 o limite trção ε olimite compressão 4 1 o limite compressão Figur 4.0: igrm = (ε). Notr ind que no fim do ciclo de crregmento té descrg totl ficm instldos nos dois mteriis tensões residuis uto-equilibrds com deformções permnentes correspondentes ε = xemplo onsidere-se mesm vig engstd constituíd de dois mteriis distintos de comportmento elsto plástico idel submetid um esforço externo. Sejm: 1 =áre d seção trnsversl do mteril 1; = áredseção trnsversl do mteril ; σ e1 =σ e tensão de escomento à trção e à compressão do mteril 1 e σ e = σ e tensão de escomento à trção e à compressão do mteril. onsidere-se que 1 = = é o módulo de elsticidde dos mteriis 1 e. Seguindo mesm sistemátic detlhd no exemplo, determinr s crgs I e, respectivmente, de rimeiro e Segundo Limite à trção e proceder à descrg totl, vlindo em cd etp deformçãodbrr. Solução: Solução elástic liner 197

27 s expressões (4.4) e (4.5) e tendo-se em cont que 1 =, = e 1 = = vem σ 1 = σ = (4.1) 4 eterminção do rimeiro Limite à trção ondições pr determinção de I mteril 1 σ 1 = I 4 = σ e1 =σ e I = 1σ e mteril σ = I 4 = σ e = σ e I = 4σ e. ortnto crg de rimeiro Limite é I =4σ e que corresponde à plstificção do mteril. s tensões nos mteriis 1 e e deformção, qundo se plic I, ficm σ 1 = I 4 = 4σ e 4 = σ e <σ e1 =σ e σ = I 4 = 4σ e 4 = σ e = σ e ε I = ε 1 = ε = σ 1 = σ = σ e 1 σ σ σe1 = σ e σ e =σ e I σ e I σ ε e I= σ e ε σ e ε Figur 4.1: rg de rimeiro Limite. Tensões e deformções. eterminção do Segundo Limite à trção r um créscimo de crg cim de I têm-se isto é, o mteril tingiu o escomento e e, portnto, s tensões ficm σ =0 σ 1 = mteril 1 σ 1 = σ e + σ 1 σ 1 = σ e + mteril σ = σ e. 198

28 condição de Segundo Limite será obtid qundo σ 1 tingir tensão de escomento do mteril 1, ou sej, σ 1 = σ e1 =σ e ou ind ou ssim, crg de Segundo Limite fic σ 1 = σ e + =σ e = 6σ e. = I + = 4σ e +6σ e = 10σ e. O créscimo de tensão no mteril 1 é, portnto, σ 1 = = 6σ e ou σ 1 =σ e, o que lev um créscimo de deformção pr os dois mteriis de e um deformção finl ou ε 1 = σ 1 = ε ε 1 = ε = σ e ε = σ e + ε 1 ε = σ e. σ σ σe1 = σ e σ e =σ e I σ e I σ ε e I= σ e ε = ε ε I = σe ε = σ e ε mteril 1 mteril Figur 4.: rg de Segundo Limite. Tensões e deformções. 199

29 escrg totl st condição impõe que se dê um vrição de crg = prtirde,ou sej, descrregndo totlmente brr. descrg se process elsticmente de tl form que s vrições de tensão nos dois mteriis são dds pel solução elástic do problem (4.1), ou sej: σ 1 = σ = 4. ssim, pr descrg totl correspondente = = 10σ e tem-se: σ 1 = σ = 5 σ e o que lev às tensões finis nos mteriis 1 e tis que mteril 1 σ 1 = σ e 5 σ e = σ e mteril σ = σ e 5 σ e = σ e > σ e1 = σ e. Not-se que descrg não pode processr-se totlmente em regime elástico, pois, como se deduz ds tensões cim, o mteril vi plstificr ntes por compressão. est form descrg deve ser feit por etps, ou sej, - etp 1: plstificção do mteril por compressão Nest etp respost dos dois mteriis é elástic e, portnto, σ 1 = σ = 4 condição de plstificção do mteril se escreve σ = σ e + σ = σ e1 = σ e σ = 4 = σ e = 8σ e. vriçãodetensãonomteril1 pr = 8σ e fic σ 1 = 4 = 8σ e 4 = σ e e, portnto, tensão finl σ 1 é vrição d deformção fic σ 1 = σ e σ e σ 1 = σ e. ε 1 = ε = σ 1 edeformçãonofinl dest etp é dd por = σ e ε 1 = ε = σ e σ e ε 1 = ε = σ e. Figur 4. indic s tensões e deformção no finl dest etp (ponto I ). 00

30 σ σ σe1 = σ e σ e I σ e ε σe ε mteril 1 mteril σ e =σ e I Figur 4.: escrg 1 etp rimeiro Limite por compressão. - etp : complementção d descrg N primeir etp descrg corresponde um vlor de = 8σ e. crg correspondente à descrg totl é de = 10σ e. ortnto, nest etp se plic = σ e com respost elástic só do mteril 1, ou sej σ 1 = σ = 0. 1 = = σ e vrição de deformção que ocorre nest etp é s tensões finis ficm: ε 1 = ε = σ 1 = σ e. σ 1 = σ e σ e = σ e σ = σ e edeformçãofinl ε 1 = ε = σ e σ e = σ e. Notr que s tensões residuis finis são uto-equilibrds, ou sej, R = σ σ = σ e σ e =0 Figur 4.4 mostr s tensões e deformção no finl d descrg (ponto 0 ). representção de = (ε) está indicd n Figur

31 σ σ σ e=σe σ e ' σ e I σ e ε mteril 1 mteril σe σe ε ' I Figur 4.4: escrg finl. 10σ e o limite trção 8 σ e σ e 6 σ e 4σ e 1 o limite trção 1 descrg totl σ σ - e e - σ e 4 O σ e σe 1 o limite compressão σ e σ e ε - 10σ e Figur 4.5: igrm = (ε). xemplo 4 onsidere-se treliç isostátic indicd n Figur 4.6. Sejm áred seção trnsversl ds brrs, σ e e, respectivmente, tensão de escomento e o módulo de elsticidde do mteril de que são constituíds s brrs. eterminr s crgs de rimeiro e Segundo Limites d estrutur. Solução: Solução elástic liner equilíbrio do nó N 1 senα = N senα N 1 = N = N =N cos α N 1 = N = cosα 0

32 N N 1 () (1) α α α α Figur 4.6: Treliç isostátic. eterminção de I e. tensões ns brrs eterminção do rimeiro Limite à trção σ 1 = σ = N σ 1 = σ = cos α σ 1 = σ = cos α = σ e I = σ e cos α. orém crg I fz com que se tinj o escomento em todos os pontos d estrutur, fzendo, portnto, com que se tinj su ruín. est form pr treliç isostátic tem-se = I =σ e cos α. xemplo 5 onsidere-se treliç hiperestátic indicd n Figur 4.7. s brrs são constituíds de um mesmo mteril elsto plástico idel com módulo de elsticidde e tensão de escomento à trção e à compressão igul em módulo σ e. eterminr s crgs I e de rimeiro e Segundo Limites e proceder à descrg totl., brr () 1, 1 1, 1 brr (1) brr (1) β β N N (1) β β (1) N 1 () (1) β β (1) Δ 1 Δ 1 Δ () ) b) c) Figur 4.7: Treliç hiperestátic. eterminção de I e. Solução: 0

33 Solução elástic liner s equções de equilíbrio (Figur 4.7b) se escrevem: N 1 senβ = N senβ N 1 = N =N 1 cos β + N. (4.1) equção de comptibilidde de deslocmentos (Figur 4.7c) fic: orém 1 = N 1 1 e = N 1 eind = 1 cos β. est form equção (4.14) fic 1 = cos β. (4.14) N = N 1 cos β N 1 = 1 N cos β. (4.15) ortnto de (4.1) e (4.15) tem-se Ã! N 1 = 1+ 1 cos β 1 cos β = cos β 1 +cos β (4.16) N = 1+ 1 cos β. (4.17) dotndo-se: 1 =4 e β =60 (cos β =0, 5) solução elástic liner d treliç hiperestátic se reduz (equções (4.16) e (4.17)): N 1 = N = (4.18) eind com stensõesnormisnsbrrs1 e ficm: 1 = N 1 1 = 1 4 (4.19) = N = (4.0) = 1. (4.1) brr 1 σ 1 = N 1 1 = brr σ = N = eterminção do rimeiro Limite à trção = 1 8 (4.) (4.) 04

34 condição de escomento d brr 1 condição de escomento d brr σ 1 = I 8 = σ e I =8σ e σ = I = σ e I =σ e.. est form, crg de rimeiro Limite é I =σ e que lev o escomento d brr ssim, pr I =σ e tem-se: N 1 = N = σ e e σ 1 = σ e 8 σ = σ e. = σ e 4 <σ e ind de (4.0) vem: = σ e = σ e que corresponde o deslocmento verticl do ponto n condição de rimeiro Limite, ou sej, I = σ e. Figur 4.8 mostr s forçs normis e tensões ns brrs 1 e, bem como o deslocmentoverticldoponto, n situção de rimeiro Limite. N = σ σ σ e ( 1= ) 4 1 e N = σ e ( σ = σ e ) () N 1 =σ e σ σ e 1 ) ( = 4 (1) (1) Δ I σ e = I = σ e Figur 4.8: rimeiro Limite à trção. Forçs e tensões ns brrs 1 e. eslocmento verticl do ponto. 05

35 eterminção do Segundo Limite à trção r determinção d crg de Segundo Limite à trção é importnte notr que pr créscimos de crg cimdcrg I, brr não tem cpcidde de bsorver esforços, pois está plstificd; dest form o créscimo de crg é bsorvido pels brrs 1, enqunto brr só compnh deformção mntendo comptibilidde no nó. ssim, pr o créscimo de crg estrutur pss ser constituíd pels brrs 1, o que corresponde um treliç isostátic, ou sej, plstificção d brr fz com que estrutur inicil correspondente um treliç com gru de hiperestticidde 1, se modifique pr bsorver o créscimo de crg, pssndo responder como treliç isostátic constituíd pels brrs 1. ssim, pr o créscimo tem-se (Figur 4.9) ΔN 1 ΔN 1 (1) (1) β β β β β Δ 1Δ β Δ 1Δ Δ Δ ' Δ Δ Figur 4.9: créscimo de crg cim de I. Solução d estrutur. ou ou ind = N 1 cos β = N 1 (cos β =0, 5) σ 1 = N 1 σ = 0. 1 = 4 est form s tensões finis, pós plicção de ficm: brr 1 σ 1 = σ e brr σ = σ e. Impondo condição de Segundo Limite à trção tem-se σ 1 = σ e = σ e ou sej, e =σ e N 1 = σ e N = 0. 06

36 ou ortnto, crg fic = I + =5σ e. O créscimo no longmento ( 1 ) ds brrs 1 devido fic 1 = N = σ e 4 1 = σ e. ssim, o deslocmento verticl do ponto ( 0 ) devido ( ) fic: = 1 cos β ou = σ e. O deslocmento verticl finl do ponto n condição de Segundo Limite fic: ou sej, = I + = σ e + σ e = 4σ e. Figur4.40mostrsforçsnormisetensõesfinis ns brrs 1 e, bem como o deslocmento verticl do ponto, n situção de Segundo Limite. N1= 4σe ( σ1 = σe) N = σ e ( σ = σ e ) N1= 4σ e ( σ1 = σ e ) () (1) (1) Δ = 4σ e ' = 5 σe Figur 4.40: Segundo Limite à trção. Forçs e tensões ns brrs. eslocmento verticl do ponto. escrg totl seguir se frá descrg totl d estrutur prtir d crg. st descrg, como se verá, deverá ser feit em dus etps: - etp 1: descrg elástic d treliç té o rimeiro Limite por compressão 07

37 Nestetpestruturrespondeàvriçãodecrg prtirdcrg obedecendo respost liner d treliç hiperestátic. ssim, s vrições de forç norml ns brrs 1 e devids à vrição de crg ficm (4.18) N 1 = N = e, portnto, σ 1 = N 1 1 σ = N = 8 = σ 1 = σ e + 8 σ = σ e +. condição de rimeiro Limite n compressão pode ser express por: brr 1 brr σ 1 = σ e + = σ e 8 = 16σ e σ = σ e + = σ e = 4σ e. ssim, crg de rimeiro Limite à compressão é quel que lev brr o escomento: I = + ou sej I = 5σ e 4σ e I = σ e. Notr que = 4σ e é, portnto, inferior à vrição de crg necessári pr descrg totl ( = 5σ e ). í necessidde de se ter um segund etp pr se descrregr totlmente estrutur. No finl d etp 1 s vrições de forç norml e de tensão ns brrs, devids à vrição de crg = 4σ e são: N 1 = N = ou N 1 = N = σ e e σ 1 = N 1 1 = σ e 4 = σ e σ = N = σ e = σ e. 08

38 ortnto,s forçs normis e tensões no finl dest etp ficm: brr 1 N 1 = 4σ e σ e σ 1 = σ e σ e =+σ e <σ e N 1 = σ e brr N = σ e σ e σ = σ e σ e = σ e N = σ e. vrição devid no deslocmento verticl do ponto é dd por ou = N = ( = 4σ e ) = σ e. est form o deslocmento verticl do ponto no finl d etp 1 d descrg fic: 1 = + ou 1 = 4σ e σ e 1 = σ e. Figur 4.41 mostr s forçs normis e tensões ns brrs 1 e, bem como, o deslocmentoverticldoponto no finl d etp 1 de descrg. N1= σe σ ( σ 1 = e ) N = σ e ( σ = - σ e ) N1=σ e σ σ e ( 1 = ) σ Δ e 1 = ' I = σe Figur 4.41: escrg. tp 1. Forçs e tensões ns brrs. eslocmento verticl do ponto. -etp r se completr descrg totl deve-se, portnto, plicr um vrição de crg = σ e. Novmente qui, como brr está plstificd estrutur pss ser constituíd pels brrs 1 crcterizd por um treliç isostátic. est form, pr est vrição de crg = σ e, tem-se: = N 1 cos β 09

39 ou N 1 = = σ e N = 0 ou ind σ 1 = N 1 = σ e 1 4 σ = 0. = σ e 4 s forçs normis e tensões finis n situção de descrg totl ficm: brr 1 N 1 = σ e σ e σ 1 = σ e σ e 4 = σ e 4 N 1 = σ e brr N = σ e σ = σ e. vrição no deslocmento verticl do ponto devid é dd por ou = 1 = N = σ e 4 = σ e. ssim, o deslocmento verticl do ponto no finl d etp de descrg, ou sej, n descrg totl fic = 1 + = σ e σ e = σ e. Figur 4.4 mostr s forçs normis e tensões ns brrs 1 e, bem como, o deslocmento verticl pós o ciclo de crg e descrg totl. N = σ e ( σ = - σ e ) N1= σe σ ( σ 1 = e ) N1= σ e 4 σ σ e ( 1 = ) 4 σ Δ e = ' Figur 4.4: escrg totl. Forçs e tensões ns brrs. eslocmento verticl do ponto 10

40 É interessnte notr que, pós o ciclo completo de crg té o Segundo Limite e descrg totl, estrutur se mntém solicitd internmente com tensões residuis uto-equilibrds e com deformções permnentes responsáveis pelo deslocmento verticl do ponto. N Figur 4.4 se represent vrição de em função do deslocmento verticl do ponto, indicndoscrgsderimeiroesegundolimiteeospontosdedescrgds etps 1 e. 5 (σ e ) o limite trção 4 1 o limite trção 1 1 o limite compressão O descrg totl σe Δ ( ) Figur 4.4: igrm de ( ). É interessnte neste ponto fzer-se lgums considerções sobre os spectos ligdos às medids de segurnç d treliç hiperestátic do exemplo 5, prtir ds soluções obtids em relção o rimeiro e Segundo Limite. Imgine-se que se queir dimensionr s brrs d treliç submetid um crregmento. nlisndo solução de rimeiro Limite (Figur 4.8) tem-se: N 1 = N =. dotndo-se um coeficiente de segurnç γ i vem brr σ = γ i I 6 σ e I > γ i σ e onde I é áre d seção trnsversl d brr. nlisndo solução d Segundo Limite (Figur 4.40) tem-se N 1 = 4 5 N = 5. dotndo-se um coeficiente de segurnç γ e vem brr 1 σ 1 = γ e4 6 σ e 1 > 4γ e 5 1 5σ e brr σ = γ e 6 σ e > γ e. 5 5σ e est form tem-se I = γ e 5γ i. 11

41 dotndo-se γ e =4, 0 e γ i =, 0 relção cim fic: I = 4 5 I =1, 5 ou sej, o dimensionmento feito prtir d solução de rimeiro Limite lev um seção trnsversl d brr, que é 5% mior que quel que se teri se o dimensionmento fosse feitoprtirdsoluçãodesegundolimite,ousej,esteúltimolevumestruturmis econômic Solicitção por flexão Neste item se presentrá o estudo ds tensões ns estruturs com comportmento elstoplástico idel submetids à flexão. onsidere-se inicilmente um seção trnsversl com duplo eixo de simetri, submetid à flexão pur, ou sej, um solicitção tl que M 6= 0, N =0e V =0(Figur 4.44). t'=t M σ'= W σ' = σ ε e e σ e ε e σ e y z t"=t + M σ"= W + + σ " e = σ e ε ) b) c) d) + σe + ε e + σ e Figur 4.44: Seção com duplo eixo de simetri. Flexão pur. m regime elástico liner s tensões normis devids M são dds por: σ = M I z estensõesnsfibrs extrems por σ 00 = M W 00 e σ 0 = M W 0 onde W 0 = I t 0 e W 00 = I t 00. omo o eixo centrl de inérci em torno do qul tu flexão dd por M éumeixode simetri, então t 0 = t 00 = t e, portnto, W 0 = W 00. ssim, tem-se: σ 00 = σ 0 = M W. À medid que se ument intensidde de M, mntid respost elástic liner, s tensões crescem proporcionlmente às deformções, té que ns fibrs extrems, que correspondem os pontos de máxim tensão de trção e compressão, tinj-se tensão de escomento, ou sej: σ 00 = σ 0 = σ e. (Figur 4.44b) 1

42 efine-se como rimeiro Limite d Seção Trnsvesl o momento M I que provoc o início de escomento d seção trnsversl. Neste cso tem-se: σ 00 = σ 0 = σ e = M I W M I = σ e W. (4.4) r vlores de M>M I outros pontos d seção trnsversl continum se deformr em regime elástico liner, té tingirem os ptmres de escomento à trção ou compressão, tornndo seção prcilmente plstificd (Figur 4.44c). plstificção totl d seção se drá qundo todos os seus pontos tingirem tensão de escomento σ e ns zons de trção e compressão (Figur 4.44d). efine-se como Segundo Limite d Seção Trnsversl o momento que provoc su plstificção totl, fzendo com que perc cpcidde de bsorver créscimos de momento fletor, crindo, portnto, nest seção um rótul plástic; étmbémchmdo de momento de plstificção d seção trnsversl. Nests condições s equções de equilíbrio escrits pr distribuição de tensões decorrente d plstificção totl d seção trnsversl ficm (Figur 4.45): 1 σ e G 1 t F c y G z t + F t z σ e Figur 4.45: Seção totlmente plstificd com duplo eixo de simetri. equilíbrio de forçs onde F t = F c F t = σ e resultnte ds tensões de trção F c = σ e 1 resultnte ds tensões de compressão ou sej e, portnto, σ e 1 = σ e 1 = =. Notr que s regiões plstificds por trção ( ) e por compressão ( 1 ) devem ter áres iguis e, portnto, iguis à metde d áre d seção trnsversl. O eixo y emtornodoqulserelizflexão é um eixo de simetri e, portnto, divide seção trnsversl em dus áres iguis 1 = = ; ssim linh neutr que divide s regiões plstificds por trção e compressão coincide com o eixo centrl de inérci y. equilíbrio de momento = F t z onde é o momento de segundo limite d seção trnsversl (momento de plstificção), z é distânci entre os centros de grvidde ds áres plstificds por trção ( ) e compressão ( 1 ). 1