Profª Gabriela Rezende Fernandes Disciplina: Análise Estrutural 2

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1 Profª Gbriel Rezende Fernndes Disciplin: Análise Estruturl 2

2 INCÓGNITAS = ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS (reções de poio e/ou esforços em excesso que estrutur possui) N 0 TOTAL DE INCÓGNITAS = g =gru de hiperestticidde d estrutur Conhecidos os esforços hiperestáticos obtêm-se s reções de poio e os digrms dos esforços solicitntes d estrutur g = ge + gi ge = gru hiperestático externo gi = gru hiperestático interno

3 g = ge + gi ge = gru hiperestático externo = n 0 de equções dicionis necessáris o cálculo ds reções de poio ge = n 0 de reções incógnits - n 0 de eq. de equilíbrio gi = gru hiperestático interno Conhecids s reções de poio, gi é o número de esforços solicitntes necessário conhecer pr poder trçr os digrms de esforços d estrutur. S Y X Isostátic externmente (com s equções de equilíbrio consegue-se clculr s reções de poio) Hiperestátic internmente (não se pode trçr os digrms de esforços no trecho fechdo)

4 Fórmul prátic pr o cálculo de g g = 3l + 2p + s - 3n l : n º de engstes + nº engstes elásticos engste elástico: ocorre no nó não rticuldo nº engstes elásticos em um nó = nº de brrs que chegm no nó -1 p: n º de poios fixos + (pr cd rticulção: nº de brrs que chegm n rticulção -1) s: n º de poios móveis n: n º de brrs Exemplo: Nº de equções de equilíbrio (3 + ΣM (rótul) = 0) gi = 0 ge = 8 (3+1) = 4 Nº de reções incógnits l =1+(1+1+2)=5 p=2+2=4 g = 0 +4 =4 l = 2 + (1+2) = 5 p= 1 + (1) = 2 S = 0 g = =4 n = 5

5 g = 3l + 2p + s - 3n n 0 de reções incógnits = 5 (R VA, R HA, M A, R VB, R HB ) y n 0 de eq. de equilíbrio = 4 (ΣF x =0, x ΣFy=0, ΣM=0 e ΣM rótul =0) z ge= 5 4 = 1 g = 1 gi = 0 M M A R VA R HA R VB R HB l = 1 + (1) = 2 p= 1 + (1) = 2 S = 0 n = 3 g = =1 n 0 de reções incógnits = 6 n 0 de eq. de equilíbrio = 4 (ΣF x =0, ΣFy=0, ΣM=0 e ΣM rótul =0) ge= 6 4 = 2 g = 5 gi = 3 l = 0 + (5) = 5 p= 3 + (1) = 4 S = 0 n = 6 g = =5

6 EXEMPLOS PRÁTICOS DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

7 Pórticos A)EXEMPLOS DE PÓRTICOS EM PONTES - Pontes em Pórtico (não há prelho de poio entre vig e pilr, vigs e pilres formm um único sólido) Esquem estático: consider s vigs junto com os pilres formndo um pórtico: PÓRTICO Consider esses poios como poio fixo ou engste dependendo d rigidez do solo onde o pórtico está poido

8 A) EXEMPLOS DE PÓRTICOS EM PONTES - Pontes em Pórtico (não há prelho de poio entre vig e pilr, vigs e pilres formm um único sólido) Esquem estático: ou 2 poios fixos : hiperestático 1 poio fixo e 1 móvel : isostático 2 engstes: hiperestático

9 B) EXEMPLOS DE PÓRTICOS EM ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS: O CÁLCULO ESTRUTURAL PODE SER FEITO, CONSIDERANDO- SE PÓRTICOS PLANOS. Análise tridimensionl: Consider um pórtico tridimensionl, o cálculo é feito com softwres comerciis bsedos no método dos elementos finitos vigs pilres Análise pln: desmembr o pórtico tridimensionl em vários pórticos plnos

10 Ponte em vig contínu Há um prelho de poio entre vig e o pilr. As vigs contínus são clculds primeiro (cd poio d vig represent o poio sobre um pilr ). As reções clculds ns vigs serão crgs tuntes nos pilres.

11 Vigs contínus em edifícios Ao invés de modelr o edifício como pórtico, pode clculr s vigs contínus seprds dos pilres. -As ljes são nlisds primeiro. -Trnsfere pr s vigs s reções ds ljes, que somds às outrs crgs definirão o crregmento ns vigs. Clculm-se s vigs contínus (cd poio d vig represent o poio sobre um pilr ou sobre outr vig). --As reções clculds ns vigs serão crgs tuntes nos pilres, que são clculdos por último.

12 V 5 V 6 Se V 3 e V 4 se póim em V 1, V 2, V 5 e V 6 V 2 V 3 V 4 V 1 V 1 A R V3 R V4 B R pilr R pilr V 2 A R V3 R V4 V 3 B R V R V R V1 R V2 R V5 R V6 V 4 Vigs contínus R V1 R V2 R V5 R V6

13 V 8 V 6 V 5 V 3 V 4 V 2 V 7 Os esforços em V 1, V 7, V 8 e V 6 podem ser clculdos considerndo pórticos plnos. V 1 No cso do edifício ter 2 ndres, se V 3 e V 4 se póim em V 1, V 2, V 5 e V 6 Pórtico plno formdo com V1 e os 2 pilres d extremidde: Pórtico plno formdo com V7 e os 2 pilres d extremidde: R V3 R V4 R V2 R V5 R V3 R V4 R V2 R V5

14 Exemplo de grelhs em pvimentos de edifícios: Se o pvimento estiver sujeito pens crgs trnsversis o seu plno, os esforços ns vigs podem ser clculdos considerndo-se grelh: z Y R V X R V R V

15 Exemplo: sej estrutur () hiperestátic: g = ge= 6 3 = 3 Y X Tipos de solicitção que estrutur pode estr sujeit: Crregmento externo, vrição de tempertur, reclque de poio. ROTEIRO DE SOLUÇÃO: 1. OBTENÇÃO DO SISTEMA PRINCIPAL: Trnsform estrutur hiperestátic () em estrutur isostátic rompendo g vínculos quisquer e plicndo os esforços correspondentes obtém estrutur (b) b Y X

16 b X1 A X2 B Y X3 X SISTEMA PRINCIPAL (SP) ESTRUTURA ISOSTÁTICA Incógnits: esforços hiperestáticos: X 1, X 2 e X 3 As estruturs e b são iguis estticmente. Pr ter comptibilidde de deformções entre e b, os deslocmentos ns direções dos vínculos rompidos (θ A, θ B e δ HB ) devem ser nulos no SP (pois estes erm nulos n estrutur originl ) Pr um mesm estrutur hiperestátic, pode-se ter vários sistems principis. Cheg-se mesm solução, independente do sistem principl dotdo. Pr fcilitr os cálculos, deve-se escolher um SP, que gere digrms de esforços mis simples. Pr pórticos recomend-se colocr rótuls nos nós d estrutur.

17 2. EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE ELÁSTICA: (equções dicionis que se deve ter pr resolver estrutur) Pr estruturs com comportmento elástico liner e pequens deformções vle o princípio d superposição de efeitos. Portnto: Solução do Sistem Principl (SP) com solicitção extern e todos os hiperestáticos plicdos N º de + hiperestáti cos [ SP X1 A = [ SP com solicitção extern] + i= 1 Sejm: δ ij deslocmento n direção e posição do hiperestático X i devido pens o crregmento X j =1 i sujeito pens δ i0 deslocmento n direção e posição do hiperestático X i devido pens à solicitção extern (crg, reclque ou tempertur) X X2 B X i X3 SP = 1]

18 X1 X 1 A X2 B Y X 2 X X 3 X3 Solução do Sistem Principl com solicitção extern e todos os hiperestáticos plicdos = + b + c +d ) δ 20 b) δ 10 + X 1 + δ 11 δ 21 X 1 =1 δ 30 Sistem Principl com solicitção extern δ 31 Sistem Principl com X 1 =1 plicdo c) d) X 2 =1 δ 12 δ + X 22 + X 3 2 δ 13 X 3 =1 δ23 δ 32 Sistem Principl com X2 = 1 plicdo δ 33 Sistem Principl com X 3 =1 plicdo

19 Portnto, considerndo-se o princípio d superposição de efeitos: θ A = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 θ B = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 δ HB = δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 Pr ter comptibilidde de deformções entre estrutur originl e o sistem principl θ A = θ B = δ HB = 0. Portnto, obtém-se o seguinte sistem de equções: δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 = 0 δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 = 0 Incógnits do sistem: esforços hiperestáticos: X 1, X 2 e X 3 Deslocmentos δ ij e δ i0 : são vlores conhecidos e são clculdos trvés do PTV

20 3. CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS δ ij e δ i0 : trvés do PTV 3.1 Cálculo do deslocmento δ ij n direção i devido o esforço X j = 1: Estdo de crregmento: estrutur sujeit à crg virtul P i = 1 n direção i. Resolve estrutur obtêm DMF Estdo de deformção: estrutur sujeit o crregmento rel X j = 1 Resolve estrutur obtêm DMF Combin os digrms DMF e DMF, trvés ds tbels obtém δ ij 3.2 Cálculo do deslocmento δ i0 n direção i devido à solicitção extern Estdo de crregmento: igul o item 3.1 Estdo de deformção: depende do tipo de solicitção extern

21 3.2 Cálculo do deslocmento δ i0 n direção i devido à solicitção extern 3.2.)Solicitção extern = Crregmento externo Estdo de deformção: estrutur sujeit o crregmento externo Resolve estrutur obtêm DMF Combin os digrms DMF e DMF, trvés ds tbels obtém δ i0 i0 3.2.b)Solicitção extern = Vrição liner de tempertur T δ i0 = δ it Estdo de deformção: estrutur sujeit T Em estruturs isostátics os deslocmentos devido T ocorrem sem que se desenvolvm esforços, há pens deformções Em estruturs hiperestátics os deslocmentos devido T provocm deformções e esforços Sistem principl estrutur isostátic não há esforços devido T, pens deformções

22 3.2.b)Solicitção extern = Vrição liner de tempertur T (continução) Sej estrutur, cujs fibrs externs sofrem um vrição de tempertur diferente dquel que ocorre ns fibrs interns: t e t i h T = ti te te: vrição de tempertur n fibrs externs ti: vrição de tempertur ns fibrs interns h te ti T é liner o longo de h h: ltur d seção trnsversl: h

23 3.2.b)Solicitção extern = Vrição liner de tempertur T (continução) r x = r s 2 seções distntes de ds ( ) se deformm d seguinte form: h ds CG dδ e dδ i dφ dδ CG dφ dδ Fibrs interns: t g : vrição de tempertur no CG No CG ocorrem dus deformções: dδ CG = α t g ds No CG d: :vrição de comprimento (deslocmento xil reltivo, n direção de x) α : Coeficiente de diltção do mteril Fibrs externs: dδ e = α t e ds dδ i = α t i ds h x ds ( dδ dδ ) α( t t ) i e i e α t dϕ = tg( dϕ) = = ds = ds h h h Rotção reltiv

24 3.2.b)Solicitção extern = Vrição liner de tempertur T (continução) dδ CG = α t g ds dϕ = α t ds h r x = r s dδ CG = α t g dx dϕ = α t dx h OBS: Se escrevesse o PTV em termos dos esforços reis, s integris se nulrim. Então, nesse cso, deve-se escrever o PTV em termos ds deformções reis. O PTV em termos ds deformções reis: δ it = α t h x α t h ( Ndδ ) ( ) ( ) CG + Mdϕ = αtg N dx + M dx = αtg A + A N M x x AN Áre totl do digrm de N AM Áre totl do digrm de M

25 3.2.c)Solicitção extern = Reclques de poio Estdo de deformção: estrutur sujeit reclques δ i0 = δ ir ρ h ρ V ρ h ρ V Em estruturs isostátics os reclques provocm pens deslocmentos de corpo rígido (não há deformção e esforços, pois todos os poios têm os mesmos deslocmentos ou reclques) Em estruturs hiperestátics os reclques provocm deformções e esforços, pois como estrutur é mis rígid, os vínculos impedem que todos os pontos d estrutur tenhm os mesmos deslocmentos. Portnto, cd poio vi ter um reclque diferente do outro, o que fz com que estrutur se deforme. N estrutur isostátic, o reclque provoc um movimento de corpo rígido esforços e deformções são nulos trblho virtul ds forçs interns é nulo, ou sej, W i = 0 Sistem principl estrutur isostátic

26 3.2.c)Solicitção extern = Reclques de poio (continução) PTV: P iδ i + Ri ρi = + i i ( Ndδ + Mdϕ + Vdv M ) tdα l = ( ) W i = 0 Wi Nd + Md + Vdv + M td = 0 l δ ϕ α PTV Piδ ir N º reclques + i' = 1 R i ρ = i' 0 Pi =1 δ = N º reclques ir Ri ρ i i' = 1 R i' Reção de poio no estdo de crregmento (devido P i = 1 ), n direção do reclque rel ρ i

27 4 SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 = 0 δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 = 0 ou X X X δ 11 δ 12 δ 13 1 δ 10 δ δ 21 δ δ 22 δ δ 23 = δ δ p/ vrição de tempertur: { δ } { δ } 0 δ1t = δ δ3t = t 2t 2 20 { X } = [ δ ] 1 { δ } δ 0 p/ reclque de poio { δ } = { δ } 0 r δ 1r = δ 2 δ [δ] é mtriz de flexibilidde (δ ij = δ ji de cordo com o teorem de Mxwell) r δ 3 r {X} é o vetor solução contém os esforços hiperestáticos {δ 0 } é o vetor dos termos d solicitção extern (devido à crg, t ou reclque)

28 5. OBTENÇÃO DOS ESFORÇOS E REAÇÕES DE APOIO FINAIS: E Pelo Princípio d superposição de efeitos: O vlor finl do esforço ou reção de poio em um ponto qulquer d estrutur é ddo por: E = E0 g + Vlor dee 0 num ponto qulquer d estrutur: i= 1 E i X i ) pr crregmento externo: E 0 = vlor do esforço (no SP) obtido no ponto, considerndo somente crg extern b) pr vrição de tempertur (esforços são nulos): E 0 = 0 c) pr reclque (esforços são nulos): E 0 = 0 Vlor de E i num ponto qulquer d estrutur: é o vlor do esforço obtido no ponto, considerndo somente Xi = 1 Obs: pode-se ter diversos SP. Deve-se dotr um SP pr o qul os digrms combinr sejm simples. Pr pórticos recomend-se colocr rótuls nos nós d estrutur

29 ROTEIRO DE CÁLCULO: 1. Cálculo do gru de hiperestticidde (g = ge + gi) 2. Obtenção do Sistem Principl 3. Resolução do SP sujeito, seprdmente, o crregmento externo e cd um dos esforços hiperestáticos 4. Cálculo de δ ij e δ i0 (ouδ ir ou δ it ) 5. Solução do sistem de equções de comptibilidde elástic { X} = [ δ ] 1 { δ } 6. Obtenção dos esforços e reções de poio finis 0 E = E 0 + g i= 1 E i X i

30 SIMPLIFICAÇÕES NO CÁLCULODE ESTRUTURAS SIMÉTRICAS Se estrutur é pln, elástic e geometricmente simétric 1ª SIMPLIFICAÇÃO: cort estrutur n seção S de simetri e resolve pens metde d estrutur (possível pens pr estruturs berts) Dependendo do crregmento e d posição d seção de simetri S, pode-se concluir que 1 ou mis esforços em S são nulos 2ª SIMPLIFICAÇÃO: há diminuição do g (nº de esforços hiperestáticos)

31 VANTAGENS DE CONSIDERAR A SIMETRIA: 1. Há redução do nº de grus de hiperestticidde (g) 2. Estrutur ser resolvid é pens metde d originl OBTENÇÃO DOS DIAGRAMAS SOLICITANTES DA OUTRA METADE: 1. Pr solicitção simétric: Os digrms solicitntes d outr metde d estrutur são simétricos (mesmos vlores e mesmos sinis) pr momento e esforço norml e nti-simétrico (mesmos vlores, ms sinis contrários) pr esforço cortnte 2. Pr solicitção nti-simétric: Os digrms solicitntes d outr metde d estrutur são ntisimétricos pr momento e esforço norml e simétrico pr esforço cortnte

32 Pr estruturs plns, elástics e geometricmente simétrics com solicitções simétrics: 1. Se o eixo de simetri intercept ortogonlmente brr n seção S de simetri: Em S, o deslocmento horizontl e rotção são nulos (δh e θ provocdos pelo ldo d esquerd são nuldos pelos δh e θ provocdos pelo ldo d direit): δ = 0 H N S 0 θ = 0 M S 0 Portnto, n seção S de simetri há pens deslocmentos verticis: Exemplos: Em S δ V 0 Q S = 0 ) S Como Q S = 0 : Sist. Principl = S X 2 X 1

33 Outros exemplos de estruturs simétrics com solicitções simétrics b) Estrutur simétric com Diminuição uniforme de Tempertur S Como Q S = 0 : S X1 Sist. Principl = X 2 b b c) Estrutur fechd: S Como Q S = 0 : Sist. Principl = (Cort em S) X 1 X 2 X 1 X 2

34 Pr estrutur simétric com solicitção simétric, se o eixo de simetri intercept ortogonlmente brr n seção S de simetri: δ = 0 H θ = 0 Outro modo de solução pr estruturs berts: Rompe estrutur n seção de simetri S, coloc um vínculo que impeç δ H e θ e permit δv; então dot o sistem principl que preferir. B T bt A Exemplo: P P P S P C S T T c c D b c c b b Estrutur ser resolvid T P S Reções: M e R H g = ge = 6-3 = 3 g = ge = 5-3 = 2 (o g diminuiu de 3 pr 2)

35 Pr estruturs plns, elástics e geometricmente simétrics com solicitções simétrics: 2.Se o eixo de simetri trvess tod brr n seção S de simetri: N seção de simetri S há pens deslocmentos verticis. Portnto: δ 0 δ 0 V H = θ = 0 Ms se δv estiver impedido por um poio n extremidde d δ V = 0 brr rompe estrutur em S e coloc um engste, pois em S terá: δv = δh = θ = 0. Exemplo: T P S D b c c b P T g = 9 3 = 6 Estrutur ser resolvid T P S g = 6 3 = 3 (g diminuiu de 6 pr 3)

36 Exemplo: P P S T T D b c c b g = 9 3 = 6 Estrutur ser resolvid P S T g = 6 3 = 3 δv é impedido pelo engste em D Portnto, em S: δv = δh = θ = 0 N brr SD há pens esforço norml constnte igul : N = 2Rv s, onde Rv s é reção verticl clculd no engste em S. Vntgens: há redução de 3 grus hiperestáticos, lém d estrutur ser resolvid ser bem menor!

37 Pr estruturs plns, elástics e geometricmente simétrics com solicitções nti-simétrics: 1. Se o eixo de simetri trvess ortogonlmente brr n seção S de simetri: Em S o deslocmento verticl é nulo (δv provocdo pelo ldo d esquerd é nuldo pelos δv provocdo pelo ldo d direit):δ V = 0 Exemplos: δ = 0 V Q S 0 Portnto, n seção S de simetri há deslocmento horizontl e rotção: θ 0 M = 0 δ 0 S N S = 0 H ) M S = 0 S Se Sist. principl N S = 0 S X 1

38 b) Estrutur simétric sujeit reclque de poio nti-simétrico S ρ Se M S = 0 N S = 0 S X 1 ρ b b Sist. principl X 1 c) Estrutur fechd: S M Se S = 0 Sist. principl N S = 0 (Cort em S) X 1

39 Pr estruturs simétrics com solicitções nti-simétrics, se o eixo de simetri trvess ortogonlmente brr n seção S de simetri : δ V = 0 Outro modo de solução pr estruturs berts: Rompe estrutur n seção de simetri S, coloc um vínculo que impeç δv e permit δh e θ; então dot o sistem principl que preferir. Exemplo: P P P S T S b T c c b c c b T T b Estrutur ser resolvid T P S g = ge = 6-3 = 3 g = ge = 4-3 = 1

40 Pr estruturs plns, elástics e geometricmente simétrics com solicitções nti-simétrics: 2. O eixo de simetri trvess tod brr n seção S de simetri: N seção de simetri S há deslocmento horizontl e rotção: δ = 0 V θ 0 δ 0 H As crgs dos ldos esquerdo e direito d brr contribuem igulmente pr su deformção totl metde d brr é solicitd pelo crregmento d esquerd e outr metde pelo crregmento d direit prte brr o meio e resolve metde d estrutur Exemplo: T P S I D b c c b P T g = 9 3 = 6 Estrutur ser resolvid P S T I/2 I: momento de inérci g = 6 3 = 3 Pr outr metde: DMF e DEN são nti-simétricos e DEQ é simétrico Pr brr SD o DMF é o dobro dquele obtido com ess metde b c D

41 Pr estruturs plns, elástics e geometricmente simétrics com solicitção qulquer, pr fcilitr o cálculo pode-se resolvê-l d seguinte mneir: 1. Decompõe o crregmento em prcels simétric e nti-simétric 2. Resolve metde d estrutur com o crregmento simétrico (Pr outr metde: DMF e DEN são simétricos e DEQ é nti-simétrico) 3. Resolve metde d estrutur com o crregmento nti-simétrico (Pr outr metde: DMF e DEN são nti-simétricos e DEQ é simétrico) 4. Os digrms solicitntes finis são obtidos somndo os digrms dos itens 2 e 3. VANTAGEM: pesr de ter que resolver estrutur pr 2 crregmentos diferentes, estrutur ser resolvid é metde d originl, lém de hver redução do g.

42 Exemplos: P T b c d d Crregmento simétrico P/2 P/2 = + T/2 T/2 b c c b Crregmento nti-simétrico P/2 P/2 T/2 T/2 b c c b q 2 q 1 q 1 /2 q 1 q 1 /2 q 2 /2 q 2 /2 = + q 1 /2 q 1 /2 q 2 /2 q 2 /2 c b q 2 = c c c c q 2 /2 q 2 /2 + q 2 /2 q 1 d d q 1 /2 d d q 1 /2 q 1 /2 d d q 1 /2