Mat. Monitor: Fernanda Aranzate

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1 Professor: Gabriel Miranda Monitor: Fernanda Aranzate

2 Exercícios: Teorema de Tales (FUVEST, UNICAMP E UNESP) 28 fev EXERCÍCIOS DE AULA 1. Para melhorar a qualidade do solo em uma fazenda, aumentando a produtividade do milho e da soja, e feito o rodizio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura. Considere que: os pontos A, B, C e D estão alinhados; os pontos H, G, F e E estão alinhados; os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si; AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m HE = 1980 m. Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros: a) 665. b) 660. c) 655. d) 650. e) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y e 42 e que as retas r, s e t são paralelas. A diferença x y e: a) 2. b) 4. c) 6. d) 10. e) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB 5, BC 4 e AC 2. Sejam M e N os pontos de AB comprimento de MN.

3 4. No desenho anterior apresentado, as frentes para a rua A dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 250 m e 200 m, e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua. Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B e: a) 160. b) 180. c) 200. d) 220. e) No ΔABC da figura a seguir, DE//BC. Nessas condições, determine: a) a medida x. b) o perímetro EXERCÍCIOS DE CASA 1. 1, o valor da abscissa x é: a) 2a b) a² c) ( a+ 1)² d) a 1 e) a 1

4 2. Considere a figura em que r // s // t. O valor de x é: a) 3. b) 4. c) 5. d) Uma reta paralela ao lado BC de um triangulo ABC intercepta os lados AB e AC do triangulo em P e Q, respectivamente, onde AQ = 4, PB = 9 e AP = QC. Então, o comprimento de AP é: a) 5. b) 6. c) 8. d) 2. e) O jardineiro do Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas a base AB do triangulo ABC, conforme figura. Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente: a) 30 cm e 50 cm. b) 28 cm e 56 cm. c) 50 cm e 30 cm. d) 56 cm e 28 cm. e) 40 cm e 20 cm. 5. Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a figura.

5 Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente: a) 3 20 e b) 6 e 11. c) 9 e 13. d) 11 e 6. e) 20 3 e O circuito triangular de uma corrida esta esquematizado na figura a seguir: As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito. a) 4,5 km b) 19,5 km c) 20,0 km d) 22,5 km e) 24,0 km 7. No triangulo ABC a seguir, o segmento DE e paralelo a BC e AM e bissetriz do ângulo interno A. A soma x + y é: a) 6. b) 9 2 c) 11 2 d) 15 2 e) 21 2

6 8. Observe a figura a seguir: Considerando AM = 8 cm, BM = 12 cm, AN = 6 e MN paralelo a BC, a medida do segmento AC é: a) 9 cm b) 10 cm c) 13 cm d) 15 cm 9. A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD mede 13 cm e as retas BB e CC são paralelas a DD. Determine os comprimentos dos segmentos AB, B C e C D. 10. Na figura a seguir, AD e a bissetriz inteira de A. Calcule as medidas de BD e DC, sabendo que (BC) = 8 cm. PUZZLE Dois criadores de jacarés (criador I e criador II) estavam conversando, e, durante o curso da conversa, eles notaram uma curiosa coincidência. Se o criador I vendesse 7 jacarés ao criador II, o criador I ficaria com o mesmo número de jacarés que o criador II. Por outro lado, se o criador II vendesse ao criador I 7 jacarés, o criador I ficaria exatamente com o dobro do número de jacarés do criador II. Quantos jacarés cada um deles possui?

7 GABARITO Exercícios de aula 1. b Aplicando o Teorema de Thales temos: AD BC HE GF x x 1980 x c Aplicando o Teorema de Thales temos: 8/6=x/y X+y = 42 x=42-y Substituindo temos: 8y = 6x 8y = 6 (42-y) 8y = 252 6y 8y+6y = 252 y =252/14 y = 18 Assim: x= 42-y x=42 18 y =24 como x=24 y=18 x-y= 24-18= MN 30 Seja AM = x, fazemos:

8 AM/AC=BM/BC X/2=(5-X)/4 X=5/3 Sendo CÂB = α, aplicamos a lei dos cossenos no triângulo ABC 2² 5² 4² 13 cos E NA = AC. Cos α = 2. (13/20) = 13/10 Portanto MN=AM-NA=(5/30 (13/10) = b x /20 = 35/25 = y/40 x/20 = 35/25 25x = x = 700 x = 700/25 x = 28 35/25 = y/40 25y = y = 1400 y = 1400/25 y = a) 5 Sendo DE é paralela a BC, os ângulos dos triângulos ABC e ADE são iguais. Assim, o triângulo ADE é proporcional ao triângulo ABC. AD = 9 AB = 9 +X + 1 = AB =10 + X AE = 6 AC = 6 + (X 1) AC = 5 + X Assim, como os triângulos ABC e ADE são proporcionais, os seus lados são proporcionais. Reescrevendo a proporcionalidade na forma de frações: AB / AD = AC/ AE (10 + x) / 9 = (5 + x) / 6 6 (10 + x) = 9 (5+ x) x = x = 9x 6x 15 = 3 x x = 15/3 x = 5 b) 36 Para calcularmos o perímetro do triângulo ABC, precisamos saber quanto mede cada lado, sabendo que x = 5. AB = 10 + X AB =

9 AB = 15. BC = 11 AC = 5+X AC = AC = 10 Perímetro ABC = AB +BC + AC Perímetro ABC = Perímetro ABC = 36 cm. Exercícios de casa 1. b a OA OD Equação 1 : 1 OB OC Equação 2: x OE OD a OA OC x a a x a² Das equações 1 e 2 teremos: 1 consequentemente temos: 2. b Aplicando o Teorema de Tales x x 6 x2 2x7 2 x² 7 x x² 8x 12 x² x12 0 x 4 ou x 3 não convém 3. b Aplicando o Teorema de Tales, temos: 4/x=x/9 x²=36 x = 36 x=6 4. b Aplicando o Teorema de Tales, temos:

10 x/20=35/25=y/40 x/20=35/25 25x= x=700 X=28 35/25=y/40 25y = y = 1400 Y = e Do Teorema de Tales temos que: 4/x=3/5 X=20/3 x/y = 5/10 y=10x/5 y=[10.(20/3)]/3 y=40/3 6. b PR/PT = QR/QS 6/PT = 4/3 PT = 4,5 km PR/TR = QR/SR 6/(3 + SR) = 4/SR SR = 6 km Perímetro do circuito: SR + RQ + QP + PT + TS Perímetro do circuito: ,5 + 3 = 19,5 km 7. e Aplicando o Teorema de Tales temos: AD/BD = AE/EC 4/2=X/3 12=2X X=6 Aplicando o teorema da bissetriz interna, temos: BM/AB = CM/AC 3/6=Y/9 6Y=27 Y=27/6=9/2 X+Y = 9/2+6=21/2 8. d Aplicando o teorema de tales: AM/BM = NA/CN 8/12 = 6/CN 8CN=72 CN=9 9. AB = 2,6 cm ; B C = 3,9 cm ; C D = 6,5 cm.

11 AD = AD = 10 AD' = 13 AB' =... AD/AD' = AB/AB' 10/13 = 2/AB' 10AB' = 13x2 AB' = 26/10 AB' = 2,6 B'C' =... 10/13 = 3/B'C' 10B'C' = 13x3 B'C' = 39/10 B'C' = 3,9 C'D' =... 10/13 = 5/C'D' 10C'D' = 65 C'D' = 65/10 C'D' = 6,5 10. x 11 2 e 5 y 2 Do enunciado temos: BC = x + y = 8 x = 8 y Aplicando o teorema da bissetriz interna: x/11 = y/5 8-y / 11 = y /5 40 5y = 11 y Y=40/16 = 5/2 X = 8-5/2 X = 11/2 Puzzle O criador I possui 49 jacarés, e o criador II possui 35 jacarés.