ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 10º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolh múltipl. Pr cd um dels são indicds qutro lterntivs, ds quis só um está correct. Escrev n su folh de resposts letr correspondente à lterntiv que seleccionr pr cd questão. Se presentr mis do que um respost, questão será nuld, o mesmo contecendo se letr trnscrit for ilegível. Cd respost cert vle 9 pontos e cd respost errd descont pontos. Um cotção negtiv n primeir prte vle zero e não influenci cotção d ª prte. Não presente cálculos ou justificções. 1. Num referencil ortonormdo d figur o ldo está um representção d rect r. 1.1 O declive de r é: (A) ; (B) ; (C) ; (D). 1. A ordend n origem d rect r é: (A) - (B) - (C) (D) 1. Um equção vectoril d rect r pode ser: (A) ( x,y) = ( 0, ) + k ( 4,6 ),k IR (B) ( ) ( ) ( ) x,y =,0 + k,,k IR x,y = 0,0 + k 1,,k IR (C) ( ) ( ) x,y = 0, + k 0,,k IR (D) ( ) ( ). Um expressão que defin função f representd no referencil o ldo pode ser: (A) y = x + (B) (C) y = x + (D) y = x + y = x + f 10º A 1 1 17//004 PROFESSORA: Ros Cnels 00/004
. O vlor de p I R pr o qul A ( x) x x ( p 1) = dividido por x + 1 dá resto é. (A) (B) 1 (C) 1 (D) Grupo II Ns questões deste grupo presente o seu rciocínio de form clr. Todos os desenhos e figurs devem ser relizdos com cuiddo. A leitur ds pergunts e redcção ds resposts devem ser cuiddoss. Indique todos os cálculos que tiver que efectur e presente tods s justificções necessáris. Atenção: qundo não é indicd proximção que se pede pr um resultdo, pretendese sempre o vlor excto. 1. Considere num referencil ortogonl e monométrico os pontos: A (-,1); B (,); C (,0) e D (0,-) 1.1. Determine s coordends: 1.1.1. Do ponto B simétrico de B em relção à origem. 1.1.. Do ponto E de modo que A sej o ponto médio de [ED].. 1.. Escrev um condição que crcterize os seguintes conjuntos de pontos do plno: 1..1. rect prlel o eixo Oy que pss por A. 1... o círculo de centro B e tngente o eixo Ox. 1... rect meditriz de [AB]. Apresente o resultdo n form d equção reduzid d rect.. De um função g sbe-se que g( 1) = 8 e que g tem um único zero em x =..1. Indique um expressão que poss representr g se função for:.1.1. um função fim..1.. um função qudrátic..1.. um polinomil do terceiro gru..1.4. um função módulo de um função fim... Será únic respost que deu em cd um ds línes de.1? Justifique.. Num escol em 1994, um grupo de lunos sensibilizdos pr os problems mbientis proveitou o Di Mundil do Ambiente, de Junho, e constituiu um Clube do Ambiente. O número de elementos do Clube foi vrindo e just-se o seguinte modelo mtemático: N() t = t + t + t + 16 onde t represent o número de nos decorridos pós fundção do Clube e N (t) o número de elementos do Clube. 10º A 1 17//004 PROFESSORA: Ros Cnels 00/004
Use clculdor pr responder às questões seguintes e presente um gráfico onde ssinle os resultdos pedidos..1. Quntos elementos fundrm Clube?.. Em que no foi (ou é) extinto o clube por flt de elementos prticipntes?.. Em que no o clube teve mis prticipntes?.4. Em que nos houve 100 ou mis prticipntes? Confirme o resultdo resolvendo nliticmente. ( ) = + ( ) 4. Escrev fmíli f x x x, IR, n form y = x h + k com h, k IR, e mostre que os vértices dos gráficos dest fmíli pertencem o gráfico d função h(x) = x. 10º A 1 17//004 PROFESSORA: Ros Cnels 00/004
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 10º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº propost de resolução Grupo I 1. Num referencil ortonormdo d figur o ldo está um representção d rect r. 1.1 (D) O declive de r é porque o vector AB tem coordends (,) 1. (D) A ordend n origem d rect r é porque o ponto B onde rect intersect o eixo Oy tem ordend. 1. (A) Um equção vectoril d rect r pode ser: ( x,y) = ( 0, ) + k ( 4,6 ),k IR, porque como vimos ns línes nteriores rect pss no ponto (0,) e tem direcção do vector de coordends (,) que é prlelo o vector de coordends (4,6).. (D) Um expressão que defin função f representd no referencil o ldo pode ser: y = x + porque result d função simétric do módulo d função y = x, rzão pel qul o coeficiente do módulo é negtivo, que se plicou um trnslção ssocid o vector de coordends (,).. (C) O vlor de p IR pr o qul A ( x) x x ( p 1) 1, porque A ( 1) ( ) ( ) = dividido por x + 1 dá resto é = 1 1 (p 1) = 1+ p+ = p= 1 ou de outr mneir: 1 0 0 0 - -p+ -1-1 1-1 1 1-1 1-1 - -p+4 e p + 4 = p = p = 1 10º A 1 4 17//004 PROFESSORA: Ros Cnels 00/004
Grupo II 1. Considere num referencil ortogonl e monométrico os pontos: A (-,1); B (,); C (,0) e D (0,-) 1.1. 1.. 1.1.1. As coordends do ponto B simétrico de B em relção à origem são (-,-). 1.1.. As coordends do ponto E de modo que A sej o ponto médio de [ED] são (-4,) porque se fizermos E(x,y) fic: x = x+ 0 y (,1 ) =, y = 1 x = 4 x = 4 y = y = E j: x = -,0 B' A j 4 - D k B k: y = -,0x+,0 1..1. um condição que crcterize rect prlel o eixo Oy que pss por A é x = 1... um condição que crcterize o círculo de centro B e tngente o eixo Ox é ( ) ( ) x + y 9, porque se o círculo é tngente o eixo Ox o seu rio é. 1... equção reduzid d rect meditriz de [AB] é y = x + e obtém-se resolvendo: ( ) ( ) ( ) ( ) x+ + y 1 = x + y x + 4x+ 4+ y y+ 1= x 4x+ 4+ y 6y+ 9 8x+ 4y = 8 4y = 8x+ 8 y = x+. De um função g sbe-se que g( 1) = 8 e que g tem um único zero em x =..1. Indique um expressão que poss representr g se função for:.1.1. um função fim é representd pel rect que pss nos pontos (,0) e ( 1, 8 ) se pode escrever ter um zero que é. y = ( x ) e cuj equção por o declive ser e C 10º A 1 17//004 PROFESSORA: Ros Cnels 00/004
.1.. um função qudrátic é representd por um prábol com concvidde voltd pr bixo e vértice no ponto (,0). A equção que define é d form = ( ) y x e pr clculrmos o vlor de vmos substituir x por 1 e y por ( ) 8 8. 8 = 1 = = 1 e finlmente 16 podemos dizer que função qudrátic ns condições pedids é definid por y = ( x ) 1.1.. um polinomil do terceiro gru pode ser um função d fmíli y = ( x ) e pr clculrmos o vlor de vmos substituir x por 1 e y por -8. ( ) 8 1 8 1 = = = 64 8 e finlmente podemos dizer que um função cúbic ns condições 1 8 pedids é definid por y = ( x ).1.4. um função módulo de um função fim é simétric d função módulo d função de.1.1 Um su representção será: y = x.. A respost é únic em tods s línes com excepção de.1.. porque um rect fic totlmente definid por dois pontos, um prábol de que se conhece o vértice tmbém fic totlmente definid pelo vértice e outro ponto e função módulo tmbém fic definid porque depois de conhecermos o zero e um ponto temos um rmo e o outro é simétrico desse. A função cúbic não é únic porque há outr mneir de função só ter um zero sem que ele sej triplo. Bst considerr o produto de x por um polinómio do segundo gru sem zeros. Um outro exemplo podi ser função d fmíli ( )( y = x x + 1 y = (x )(x + 1) ) que pss no ponto (-1,-8) e que é e está representd no gráfico o ldo. 10º A 1 6 17//004 PROFESSORA: Ros Cnels 00/004
. Num escol em 1994, um grupo de lunos sensibilizdos pr os problems mbientis proveitou o Di Mundil do Ambiente, de Junho, e constituiu um Clube do Ambiente. O número de elementos do Clube foi vrindo e just-se o seguinte modelo mtemático: N() t = t + t + t + 16 onde t represent o número de nos decorridos pós fundção do Clube e N (t) o número de elementos do Clube. Usndo clculdor pr responder às questões seguintes e vmos presentr um gráfico onde ssinlmos os resultdos pedidos..1. 16 lunos fundrm o Clube pois é esse o vlor de N qundo t = 0... O clube foi extinto por flt de elementos prticipntes no di de Junho de 00, exctmente oito nos depois de ter sido funddo... O no em que o clube teve mis prticipntes foi 1999, mis precismente, 4 nos 10 meses e 4 dis depois de ter sido funddo, ou sej no di 9 de Abril de 1999..4. Os nos em que houve 100 ou mis prticipntes form 1997,1998, 1999 e 000, mis proprimente entre de Junho de 1997 e de Outubro de 000. que corresponde um período de proximdmente,,8 nos. Vmos confirmr o resultdo resolvendo nliticmente resolver inequção pr o que temos que N() t 100 t + t + t + 16 100 t + t + t 84 0 Vmos confirmr que é um riz de t + t + t 84 usndo um tbel, pr em seguid usrmos Regr 10º A 1 7 17//004 PROFESSORA: Ros Cnels 00/004
de Ruffini pr fctorizrmos t + t + t 84 : -1-84 - 6 84-1 8 0 E ficrá: 0 ( t )( t + t ) t + t + t 84 + 8 0 + 11 t ± ± 4 9 t + t+ 8 = 0 t = = t = 1+ 9 t = 1 9 como segund solução d equção é negtiv está for do nosso domínio. t 0 1+ 9 8 t - 0 + + + t + t+ 8 + + + 0 - N(t) - 100-0 + 0 - A solução d inequção é,1+ 9 donde o tempo durnte o qul houve 100 ou mis prticipntes é 1 + 9, 8164807 como querímos comprovr. 4. Pr escrevermos fmíli ( ) f x = x + x, IR, n form y = x h + k com h, k IR, vmos clculr s coordends dos vértices e pr mostrrmos que esses vértices dos gráficos dest fmíli pertencem o gráfico d função h(, vmos substituir s coordends encontrds n expressão dest função e verificr que obtemos um iguldde verddeir. Comecemos por clculr os zeros: ( ) ( ) f x = 0 x + x = 0 x x+ = 0 x = 0 x = Clculemos gor o vlor de h: 0 h = = x) = x ( ) Pssemos o cálculo de k: k = f = + = = = 4 4 4 4 Podemos gor escrever fmíli n form y = x+. 4 Vmos finlmente substituir n expressão d função h s vriáveis pels coordends dos vértices. = = 4 4 4 e cbmos verificndo iguldde. 10º A 1 8 17//004 PROFESSORA: Ros Cnels 00/004