EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje temos problems pr resolver miori ds equções polinomiis. Um equção polinomil de primeiro gru pode ser resolvid de form bem simples, isolndo incógnit. A de segundo gru usmos fórmul de fácil plicção, de terceiro gru, pesr de eistir fórmul é pouco difundid pel dificuldde de su utilizção e de gru mior que nem sempre conseguimos resolver. Vmos definir cd conceito ou gerr um idei intuitiv do mesmo e mostrr como se resolve equções de 1º, º e º grus e outros csos especiis que sej possível resolver. Neste cpítulo tmbém introduziremos o conceito de inequção polinomil e os métodos de resoluções pr lguns csos. Definição.1 Denominmos equção polinomil de gru n, de coeficientes 0, 1,..., n, com incógnit (ou vriável), tod equção d form 0 + 1 + +... + n n = 0, com n 0. A epressão 0 + 1 + +... + n n é denomindo polinômio de gru n. Eemplo 1 i) ³ + ² + 5 + 1 = 0 é um equção polinomil de gru, com coeficientes,, 5 e 1 n vriável. ii) ² + 1 = 0 é um equção polinomil de gru, com incógnit e coeficientes -, e -1. iii) 1 4 t t + log = 0 1, e log e incógnit t. é um equção polinomil de gru 4, com coeficientes
Definição. Um número rel α é chmdo riz d equção polinomil 0 + 1 + +... + n n = 0, com n 0 se, 0 + 1 + +... + n n = 0 for um sentenç (proposição) verddeir. Eemplo ) é um riz d equção 5 + 6 = 0. De fto, ( ) 5.( ) + 6 = 0 16 + 10 + 6 = 0 (verdde). b) é um riz d equção 0, pois = 0 é verdde. = ( ) O conjunto de tods s rízes de um equção polinomil é chmdo conjunto verdde ou conjunto solução, e é denotdo por V ou S, respectivmente. A seguir, descreveremos técnics pr encontrr s rízes de um equção polinomil..1 Equção de Primeiro Gru Pr resolvermos um equção d form + b = 0, com 0 denomind Equção de primeiro gru, bst isolr procedendo d seguinte form: + b (Som-se b em mbos membros) + b b = 0 b = b (Divide mbos os membros por ) = Logo, V= { }
Eemplo Vmos resolver equção + 6 = 0. 6 + 6 = 0 + 6 6 = 0 6 = 6 = =. Logo, V= { }. Equção do Segundo Gru (ou Qudrátic) Pr resolvermos um equção d form ² + b + c = 0, 0, denomind Equção do Gru, observmos três csos: 1º cso (com c = 0) Se c = 0 equção ² + b + c = 0 reduz-se ² + b = 0 ( + b) = 0. Temos um produto igul zero, um dos ftores deve ser zero, ou sej, = 0 ou + b = 0 =. Logo, V = {0, } Eemplo 4 Vmos resolver equção ² 7 = 0. 7 ² 7 = 0 ( 7) = 0 = 0 ou 7 = 0 =. 7 Logo, V = {0, }
º cso (com b = 0) Sendo b = 0, equção qudrátic ² + b + c = 0 reduz-se ² + c = 0 ² = c ² =. Se 0 então, equção tem solução e pode ser obtid etrindo-se riz qudrd em mbos os membros d equção ² =, isto é, ² = = = ou =. Logo V = {, } ou V = {± } Eemplo 5 Vmos resolver equção 5² + 15 = 0. 15 5² + 15 = 0 5² = 15 ² = ² = 5 ² = 5 = 5 5 = 5 = 5 ou = 5. Logo, V = { 5, 5} ou V= {± 5} º cso (complet, isto é, b 0 e c 0) Pr resolvermos equção qudrátic ² + b + c = 0, primeiro multiplicremos mbos os membros por 4 e em seguid somremos b² em mbos membros. Ou sej, ² + b + c = 0 4²² + 4b + 4c = 0 4²² + 4b + 4c + b² = b² 4²² + 4b + b²= b² 4c ( + b)² = b² 4c ² = ² 4 + b = ² 4 + b = ² 4 b 4c b + b 4c ou + b = ² 4 = ou =. Logo, V = { b b 4 c 4, b b c + b ± b 4c } ou V= { }.
Eemplo 6 Vmos resolver equção ² 1 = 0. Ao invés de usrmos todo processo descrito no º cso vmos simplesmente usr o resultdo finl, ou sej, = ± b b 4c. D equção ² 1 = 0 temos = 1, b = e c = 1, logo ± ( ) 4 ( 1) ± 4 + 4 ± 8 ± 4 ± (1 ± ) = = = = = = 6 6 6 6 6 6 1± 1 1+ 1± =. Logo, V = {, } ou V = { }. O termo b² 4c é denomindo discriminnte de ² + b + c é denotdo por. Assim, podemos escrever s soluções de um equção do segundo gru ² + b + c = 0 ( 0), por : = b ±, onde = b² - 4c Observe que equção ² + b + c = 0 só terá riz rel se 0. Isto é : Se 0 teremos dus rízes reis e distints ' = e " = Se = 0 teremos dus rízes iguis ' = " = Se < 0 equção não possui riz rel. b + grus. A seguir fremos um nálise geométric ds rízes de um equção de 1º e º Considere equção + b = 0, ( 0). Vimos nteriormente que ess equção possui um únic riz rel. Geometricmente + b é um ret e é o locl onde ess ret intercept o eio, como mostr figur.1.
Figur.1 Considere gor equção ² + b + c = 0 ( 0). Vimos nteriormente que s b + rízes dess equção é dd por ' = e " =. Geometricmente, ² + b + c é um prábol. A concvidde (pr cim ou pr bio) e su intersecção com o eio depende, respectivmente, do vlor de e, como mostr Figur.. > 0 0 > > 0 = 0 > 0 < 0 ' " ' = " < 0 > 0 ' " < 0 = 0 ' = " < 0 < 0 Figur.