Fculdde de Engenhri Prolems sore Electrostátic ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB Mri Inês Bros de Crvlho Setemro de 7
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 LEI DE COULOMB E PINCÍPIO DA SOBEPOSIÇÃO POBLEMA ESOLVIDO. Considere um fio finito de comprimento A, centrdo n origem ds coordends e com densidde liner de crg λ. ) Mostre que no ponto P de coordends (,) o cmpo eléctrico é P (,) ddo por Aλ E π A + u A ) Determine o cmpo eléctrico no centro do qudrdo de ldo A mostrdo n figur. - A esolução: ) De cordo com lei de Coulom, o cmpo eléctrico crido por um linh com um densidde liner de crg λ é ddo por λ dl r E π r L onde r é o vector que pont do elemento dl (pertencente à linh) pr o ponto onde se está clculr o cmpo.
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 Considerndo o elemento representdo n figur seguinte, temos r + dl d u ( ) r + A P (,) r dl Sustituindo estes vlores n epressão d lei de Coulom, vem E π A A λ d A λ π λa + π A ( + ) ( + ) d + A( ) + A( + ) + A d ) O princípio d soreposição firm que E E + E + E + E, onde E, E, E, e E são os cmpos cridos por cd um dos ldos do qudrdo. Além disso, neste cso verific-se que o ponto considerdo está à mesm distânci dos qutro ldos, sendo A. Atendendo à crg que eiste em cd ldo do qudrdo, podemos então escrever λ E π A λ π A ( + ) ( λ) π A λ π A λ + π A POBLEMAS POPOSTOS. Clcule o cmpo eléctrico crido por um nel de rio, com densidde liner de crg λ uniforme, num ponto do seu eio um distânci do centro.
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8. Utilizndo o resultdo do prolem nterior e o princípio d soreposição, clcule o cmpo eléctrico num ponto do eio de um disco de rio, com densidde superficil de crg uniforme σ, um distânci do seu centro.. Utilizndo novmente o princípio d soreposição, clcule o cmpo eléctrico num ponto um distânci do centro de um esfer com densidde volumétric de crg uniforme ρ V e rio.. Dus crgs pontuis e estão colocds simetricmente no eio dos, um distânci d d origem. ) Determine os cmpos V e E pr qulquer ponto no eio dos. ) Sendo que, determine mss m que um prtícul de crg q, (sujeit à cção do cmpo grvítico) deve ter pr que poss estr em equilírio sore o eio dos, um distânci h d origem. 5. Um fio com crg liner uniforme λ form um rco circulr de rio que está centrdo no eio dos, tl como mostr figur. Mostre que o módulo do cmpo eléctrico crido pelo fio n origem é E ( λsen ) ( π ), onde é o ângulo medido prtir do eio dos té cd um ds etremiddes do fio. λ 6. Dus crgs pontuis, e, estão loclizds em (,, ) e (,, ), respectivmente. ue relção deve eistir entre e pr que forç totl sore um crg de teste que se encontr em (-,, ) não tenh ) componente segundo o eio dos ; ) componente segundo o eio dos.
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 7. Um triângulo equilátero é constituído por três linhs de comprimento L. A densidde liner de crg ns três linhs é uniforme, tendo os vlores λ, λ e λ. Admitindo que λ λ λ, determine intensidde do cmpo eléctrico no centro do triângulo. 8. Dus prtículs de mss m e crg q estão suspenss do mesmo ponto por dois fios de comprimento l. Mostre que, em equilírio, os fios fzem um ângulo θ em relção à verticl ddo por 6π mgl sen θ q cosθ. SOLUÇÕES [ ] z. ( λ ) ( + ) σ +. ( )( ) z. interior: ( V ) ρ ; eterior: ( ρ V ) u [ j] ( d ). ) d( ) i + ( + ) [ ] E π + ( + ) ( d ) V π + qh ) m 8 π g d + h ( ) 6. ) 8 ; ) 7. λ ( L) j π 5
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 LEI DE GAUSS POBLEMA ESOLVIDO. ) Mostre que o cmpo eléctrico crido por um fio infinito com densidde liner de crg λ num ponto P um distânci ρ do fio é ddo por E λ π ρ onde û r é o versor norml o fio. ) Suponh um clh infinit de rio com secção semicirculr. A clh está crregd com um densidde de crg superficil uniforme σ. Utilize o resultdo d líne nterior e o ρ princípio d soreposição pr clculr o cmpo eléctrico num ponto do eio d clh. z esolução: ) undo um prolem tem simetri pln, cilíndric ou esféric, mneir mis simples de clculr o cmpo eléctrico é usndo lei de Guss. Apesr de est lei ser sempre válid, só deve ser usd qundo um ddo prolem eie um dos tipos de simetri referidos. A lei de Guss no vzio firm que o fluo do vector cmpo eléctrico pr for de um dd superfície fechd é igul à crg totl no interior dess superfície dividir pel permitividde do vzio: E n ds S int 6
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 A superfície fechd S (tmém chmd superfície gussin) e o sistem de coordends ser utilizdo devem ser escolhidos de modo proveitr simetri eiid pelo prolem. Neste cso, o prolem eie simetri cilíndric, e consequentemente deve ser utilizdo o sistem de coordends cilíndrics ( ρ,φ, z ), com o eio dos zz orientdo segundo o fio infinito. Como crg se distriui o longo de um fio rectilíneo infinito, esper-se que o módulo do cmpo eléctrico não depend de z nem de φ, ms pens de ρ. Além disso, tendendo que o vector cmpo eléctrico é sempre perpendiculr à superfície de um condutor em equilírio, podemos firmr que o cmpo eléctrico crido por est distriuição de crg oedece E E ρ, isto é, o seu módulo depende pens d ( ) ρ distânci o fio e su direcção é perpendiculr o fio. Escolhendo pr superfície gussin um superfície cilíndric (fechd) de rio ρ e comprimento l, com o eio coincidente com o eio dos zz, temos S E n ds E n ldsl + E n tdst + E n ds Sl St S int onde, ds l dsρ ρ dφ dz e ds ds ds ρ dρ dφ. Além n l ρ, nt n u z t z disso, int λl, o que lev S l Eds l l π + dst + ds S t S λ l E ρ dφ dz πρ l E É importnte referir que no integrl duplo cim, E e ρ são trtdos como constntes (porque s vriáveis de integrção são φ e z ), podendo pssr pr for do sinl de integrção. D equção nterior pode fcilmente concluir-se que E E ρ λ π ρ ρ ) Com o ojectivo de estudr o cmpo eléctrico crido pel clh, pode considerr-se que est é constituíd por um conjunto infinito de fios infinitos, colocdos prlelmente uns os outros e à mesm distânci de um determindo eio. Sendo o cmpo crido por um desses fios, pode fcilmente clculr-se o cmpo crido pel clh utilizndo o principio d soreposição: o cmpo totl é igul à som vectoril dos cmpos cridos pelos diferentes fios. 7
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 A crg eistente num comprimento l de cd um desses fios é λ l. Por outro ldo, se dmitirmos que cd fio tem um lrgur dφ, crg eistente num comprimento l seri dd por σ dφ l. Como s crgs devem ter o mesmo vlor independentemente de considerrmos lrgur do fio ou não, podemos imeditmente concluir que λ σ dφ. Este resultdo permite-nos proveitr epressão otid n líne nterior pr clculr o cmpo crido por um dos fios que constitui clh: σ dφ de σ dφ ρ π π (tenção o sinl negtivo!). Como est epressão é válid pr qulquer fio pertencente à clh, o cmpo crido pel clh é π π π σdφ σ σ E de cosφ dφ sin φ dφ ρ π π + π onde se teve em tenção que integrção φ. ρ cosφ sin φ vri com vriável de ρ + POBLEMAS POPOSTOS. Um coro esféric limitd por dus superfícies de rios e está crregd com um densidde volumétric de crg uniforme ρ e tem permitividde, tl como mostr figur. Dentro dest coro eiste um superfície esféric concêntric de rio e densidde superficil de crg +σ. O sistem encontr-se num meio de permitividde. ) Sendo que o cmpo eléctrico no eterior do sistem (zon ) é nulo, determine relção entre ρ e σ. ) Determine E ns restntes regiões. c) Admitindo que o potencil eléctrico V é nulo n +σ superfície de rio, esoce o gráfico de vrição de V ρ pr s zons e. 8
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8. Um mteril dieléctrico com form de um esfer de rio, tem permitividde ( r) kr, onde k é um constnte e r é distânci o centro d esfer, e está rodedo por um csc esféric condutor (de permitividde ) com rio interior e rio eterior. Sendo que no meio dieléctrico é emeid um crg (livre) de vlor totl, qul se distriui uniformemente pelo volume do dieléctrico, determine ) os cmpos eléctricos E e D em todo o espço; ) distriuição de crg n csc condutor; c) o potencil eléctrico V em todo o espço, dmitindo que o seu vlor no infinito é nulo.. N região, há um distriuição esféric de crg de densidde ρ ρ [ ( ) ]. Est distriuição de crg está roded por um csc esféric condutor, concêntric, de rio interior ( < ) e rio eterior c. Determine E em todo o espço.. As densiddes superficiis de crg em dus superfícies cilíndrics coiis de comprimento infinito e rios r e r ( > ) ) são uniformes e têm os vlores σ e σ, respectivmente. ) Determine E em todo o espço. ) ue relção deve eistir entre σ e σ pr que E em r >? 5. Um esfer de rio, representd em corte n figur, possui um cvidde tmém esféric de rio c, cujo centro está um distânci d ( > d + c ) do centro d esfer. Admitindo que esfer se encontr crregd com um densidde volumétric de crg ρ, uniforme, determine ) crg totl no interior d esfer; ) o cmpo eléctrico no interior d cvidde. d c 9
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 6. Suponh que o vector cmpo eléctrico num ddo ponto é ddo por E kr u r, onde k é um constnte e r é distânci à origem no sistem de coordends esférics. Determine ) densidde de crg, ρ; ) crg totl contid num esfer de rio centrd n origem. SOLUÇÕES. ) ρ ( ) ( ). E σ ; ) ( ) ( ) r ρ r < < r < r > r E πk E D E D / σ π. : ρ [ ( 5 )] < < e > : ρ ( 5 ) r E E ( ) ur σ ( π ) ( π r ) V ( π r) r r D π r r r V π + k V σ π < ; < < c : ; σ. ) r < : ; < r < ( r) ur ; r ( ) ( r) ur ) σ σ 5. ) ( ) : πρ c ; ) ρ d ( ) r 6. ) 5kr ; ) πk 5 > σ + σ ; :
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 CAPACIDADE POBLEMA ESOLVIDO. Um condensdor esférico é constituído por um esfer condutor de rio e um coro esféric condutor de rios interior e eterior e c, respectivmente. O espço entre os dois condutores está vzio. Sendo que n esfer e n coro são depositds crgs de vlor totl + e, respectivmente, determine ) o cmpo eléctrico E e o potencil V em todo o espço, dmitindo que ( ) V ; - + ) cpcidde deste condensdor. c esolução: ) Este prolem tem simetri esféric, devendo por isso utilizr-se lei de Guss pr se determinr o cmpo eléctrico E crido pel crgs eistentes n esfer e n coro. undo E for conhecido, pode clculr-se fcilmente o potencil V: onde ( P) V ( ) V P ( P) V ( ) E dl V e são o potencil num ponto P e o potencil no infinito, respectivmente. Como neste cso se dmite que V ( ), tem-se simplesmente V P ( P) E dl. Ovimente, o sistem de coordends usr é o esférico (,θ,φ ) centro do condensdor. A lei de Guss firm que, com origem no
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 E n ds S onde superfície gussin S deve proveitr simetri do prolem: S deverá ser um superfície esféric de rio centrd n origem do sistem de coordends. Nesse cso, n e ds ds sin θ dθ dφ. Por cus d simetri do prolem, podemos tmém concluir que o módulo do cmpo eléctrico não depende de θ e φ, ms pens de, e que su direcção é direcção rdil (o cmpo eléctrico é perpendiculr à superfície de um condutor em repouso electrostático), isto é, E E. Sustituindo n epressão d lei de Guss, otémse ou sej, E n ds S π π E ( ) sin θ dθ dφ E π int E π int π dφ sin θ dθ π u E É importnte referir que este resultdo ind não está completo, pois o vlor de ind não foi determindo. Ovimente o seu vlor vi depender do rio d superfície gussin. int int egião : > c A crg que se encontr no interior de um superfície gussin com um rio > c será tod crg rmzend no condensdor, ou sej, int + + ( ), o que permite imeditmente concluir que nest região E. Por su vez, este resultdo lev tmém à conclusão que qui V. egião : c > O cmpo eléctrico no interior de um condutor em equilírio electrostático é sempre igul zero!. Por ess rzão, podemos concluir que qundo considermos um superfície gussin com o rio considerdo, o vlor d crg totl que se encontr no seu interior tem que ser tmém igul zero. Como n esfer está depositd um
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 crg de vlor +, isto permite-nos concluir que crg depositd n coro se encontr rmzend n su superfície interior. Atendendo os resultdos otidos n região nterior e que o cmpo eléctrico é nulo qui, podemos firmr que o potencil tmém será igul zero. egião : > Neste cso, crg no interior d superfície gussin é pens crg que está depositd n esfer, de vlor +. Isso lev que o cmpo eléctrico nest região sej igul E + π u P O potencil pode ser gor otido utilizndo epressão V ( P) E dl. Neste cso, dl é o vector deslocmento infinitesiml escrito no sistem de coordends esférics dl d + dθ + sin θ dφ, o que signific que E dl E d. Atendendo θ φ os resultdos otidos pr o cmpo eléctrico ns diferentes regiões, pode firmr-se que o potencil nest região é ddo por V d E d π π NOTA: ( ) V. egião : > Est região, tl como região, corresponde o interior de um condutor em equilírio electrostático. Por ess rzão pode imeditmente firmr-se que o cmpo eléctrico nest região é igul zero! Por su vez, isto permite-nos concluir que crg + depositd nest esfer se encontr loclizd n su superfície. O potencil será ddo por V E d + d π NOTA: O potencil é constnte n esfer, como seri de esperr.
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 ) Por definição, cpcidde de um condensdor é dd por C V onde é o vlor soluto d crg depositd num ds rmdurs do condensdor, e V é diferenç de potencil entre rmdur onde está depositd crg positiv e rmdur onde está depositd crg negtiv. Neste cso, crg positiv está depositd n superfície d esfer e negtiv n coro, logo donde se conclui que V π π C V π POBLEMAS POPOSTOS. Suponh um condensdor cilíndrico em que s superfícies condutors têm rios e ( < ), e comprimento L (L>>, ). O espço entre s superfícies condutors está preenchido por dois dieléctricos, tendo superfície de seprção entre eles rio ( < < ). O dieléctrico mis próimo d plc interior tem permitividde e dmite um cmpo máimo E M, e o outro, respectivmente, e E M. ) Determine cpcidde do condensdor ssim formdo. ) ul diferenç de potencil máim que se pode plicr às superfícies condutors? ul dos dois dieléctricos limit ess diferenç de potencil? L
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8. Um condensdor de plcs prlels é constituído por dus superfícies condutors plns, prlels, de dimensões ( + ), seprds por um distânci d (d<<,, ). O espço entre s plcs está preenchido por dois meios dieléctricos diferentes, de permitividdes e, sendo superfície de seprção entre eles perpendiculr às plcs condutors. Determine cpcidde deste condensdor. d SOLUÇÕES. ) πl ln [ ( ) + ln( ) ]; ) min [( EM π L C),( EM π L C) ]. C d + d C + C (prlelo de dois condensdores) 5
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 LEI DE OHM E ESISTÊNCIA POBLEMA ESOLVIDO. O espço entre dus superfícies esférics concêntrics condutors de rios e c, respectivmente, está preenchido por dois mteriis diferentes, de condutividdes σ e σ, tendo superfície de seprção entre eles rio. Sendo que um corrente I entr no dispositivo pel superfície condutor interior e si pel eterior, determine ) densidde de corrente entre s dus superfícies condutors; ) resistênci entre os dois condutores do dispositivo. c σ σ esolução: ) A densidde de corrente J está relciond com corrente I que pss trvés de um dd superfície S por I J n ds S onde o versor n é perpendiculr à superfície S. Normlmente plic-se est epressão superfícies perpendiculres à direcção do fluo de corrente. Neste cso corrente tem direcção rdil, e portnto deveremos escolher um superfície esféric de rio centrd no centro do dispositivo. Além disso, por cus d simetri do prolem, não se esper que o módulo d densidde de corrente depend de θ e de φ. Isso signific que J J ( ). Como pr um superfície esféric n e ds ds sin θ dθ dφ, temos I π π J sin θ dθ dφ J dφ sin θ dθ π J π π 6
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 7 e, então, u I J π ) Por definição, resistênci de um ddo dispositivo é dd por I V onde V é diferenç de potencil entre o terminl do dispositivo por onde corrente eléctric I entr e o terminl por onde est si. Pr se clculr est diferenç de potencil, é necessário determinr-se primeiro o cmpo eléctrico E. Este é otido directmente d lei de Ohm: E J σ onde σ é condutividde do meio. Utilizndo o resultdo d líne nterior, tem-se c u I u I E < < < <,, πσ πσ de onde se pode fcilmente oter diferenç de potencil pretendid ( ) ( ) + + c I d d I E dl c V V V c c. σ σ π σ σ π A resistênci será então dd pel epressão + c σ σ π o que corresponde à som de dus resistêncis (série de dus resistêncis)! N epressão cim l d é o vector deslocmento infinitesiml escrito no sistem de coordends esférics (ver pêndice). POBLEMAS POPOSTOS. Um co coil é constituído por dus superfícies cilíndrics condutors de rios e ( < ) e comprimento L (L>>, ). O espço entre s superfícies condutors está
ELECTOSTÁTICA Fculdde de Engenhri ÓPTICA E ELECTOMAGNETISMO MIB 7/8 preenchido por dois meios condutores diferentes de condutividdes σ e σ. Determine resistênci entre s dus superfícies. σ σ c L. ) Determine resistênci entre dus superfícies esférics concêntrics condutors de rios e, sendo que o espço entre els está preenchido por um meio condutor de condutiilidde γ. ) Um esfer condutor perfeit de rio está mergulhd num γ meio condutor de condutiilidde γ. Ess situção é de um ligção à terr de um circuito. Clcule resistênci entre esfer e o infinito.. Um mteril homogéneo de condutividde uniforme σ tem form de um cone truncdo, ocupndo região definid em coordends esférics por r e θ θ. Determine resistênci entre s superfícies r e r.. epit o prolem nterior, dmitindo gor que o mteril referido não é homogéneo, tendo um condutividde não uniforme que vri de cordo com epressão σ( r) σ r. SOLUÇÕES [ ( ) σ + ln( c ) σ ] ( πl). ln c. ) ( ) ( πγ ); ) ( πγ ) ( ) πσ ( cosθ ).. ln [ ] [ ( )] ( ) πσ cosθ 8