Inclusão pr vid AULA 0 ARITMÉTICA BÁSICA. Múltiplo de um número Sendo, b e c números nturis e. b = c, diz-se que c é múltiplo de e b. Eemplo: Múltiplos de M() = {0,, 6, 9,...} Observções: O zero é múltiplo de todos os números. Todo número é múltiplo de si mesmo. Os números d form k, k N, são números múltiplos de e esses são chmdos números pres. Os números d form k +, k N, são números ímpres.. Divisor de um número Sendo, b e c números nturis e. b = c, diz-se que e b são divisores c. Eemplo: Divisores de D() = {,,, 4, 6, } Observções: O menor divisor de um número é. O mior divisor de um número é ele próprio... Quntidde de divisores de um número Pr determinr quntidde de divisores de um número procede-se ssim: ) Decompõem-se em ftores primos o número ddo; b) Tom-se os epoentes de cd um dos ftores e cd um desses epoentes dicion-se um unidde. c) Multiplic-se os resultdos ssim obtidos. Eemplo: Determinr o número de divisores de 90 90 =.. 5 ( + ).(+).( +) =.. = Logo 90 possui divisores. Critérios de divisibilidde.. DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por se for pr. Eemplos: 8, 40, 58... DIVISIBILIDADE POR Mtemátic A.5. DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 se for simultnemente divisível por e. Eemplos: 4, 88, 8460..7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos lgrismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros Eemplos: 50, 67000..8.DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9 qundo som dos seus lgrismos for um número divisível por 9. Eemplos: 86, 589..9. DIVISIBILIDADE POR 0 Um número é divisível por 0 se o último lgrismo for zero. Eemplos: 5480, 00, 4560. 4. Números Primos Um número p, p 0 e p, é denomindo número primo se presentr pens dois divisores, e p. Eemplos:,, 5, 7,,,... Observção: Um número é denomindo composto se não for primo. 5. Mínimo Múltiplo Comum Denomin-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mis números o número p diferente de zero, tl que p sej o menor número divisível pelos números em questão. Eemplo: Determinr o M.M.C entre 6 e 8. Processo : M(6) = {6,, 8, 4, 0, 6,...} M(8) = {8, 6, 4,, 40, 48,...} Processo : Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 4 6 8 4 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é. = 4 6. Máimo Divisor Comum Um número é divisível por se som dos vlores bsolutos dos seus lgrismos for divisível por. Eemplos: 8, 4, 6... DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos lgrismos forem divisíveis por 4 ou qundo o número terminr em 00. Eemplos: 576, 8700, 9800..4. DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 se o último lgrismo for 0 ou 5. Eemplos: 5, 4670, 870. Denomin-se máimo divisor comum (M.D.C) de dois ou mis números o mior dos seus divisores comuns. Eemplo: Determinr o M.D.C. entre 6 e 4 Processo : D(6) = {,,, 4, 6, 9,, 8, 6} D(4) = {,,, 6, 7,, 4} Logo o M.D.C. entre 6 e 4 é 6. Processo : 6 =. e 4 =..7 Os ftores comuns entre 6 e 4 são. Logo o M.D.C. entre 6 e 4 é 6. PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Mtemátic A Eercícios de Sl 0) ( UFSC ) Um pís lnçou em 0/05/000 os stélites rtificiis A, B e C com s trefs de fisclizr o desmtmento em áres de preservção, s nscentes dos rios e pesc predtóri no Oceno Atlântico. No di 0/05/000 podi-se observá-los linhdos, cd um em um órbit circulr diferente, tendo Terr como centro. Se os stélites A, B e C levm, respectivmente, 6, 0 e 9 dis pr drem um volt complet em torno d Terr, então o número de dis pr o próimo linhmento é: 0) Sejm e y o m.d.c e o m.m.c de e 0, respectivmente. O vlor de. y é: ) 40 b) 0 c) 00 d) 40 e) 0 0) O número de divisores nturis de 7 é: ) 0 b) c) d) e) 4 Tref Mínim 0) Considere os números A = 4, B = 60; C = 48. Determine: ) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C 0) Sejm e y o m.d.c e o m.m.c de 0 e 6, respectivmente. O vlor de. y é: ) 40 b) 70 c) 0 d) 40 e) 0 Inclusão pr Vid 90 cm serão cortds em pedços iguis, obtendo ssim tábus do mior tmnho possível. Então cd tábu medirá: ) 0 cm b) 6 cm c) 8 cm d) cm e) 4 cm 08) Sejm os números A =.. 5 B =.. 5 Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B vlem respectivmente: ) 80 e 60 b) 80 e 600 c) 800 e 600 d) 800 e 60 e) n.d.. 09) ( Snt Cs-SP ) Sej o número 777, onde indic o lgrismo ds uniddes. Sbendo que esse número é divisível por 4, então o vlor máimo que pode ssumir é: ) 0 b) c) 4 d) 6 e) 8 0) ( PUC-SP ) Qul dos números bio é primo? ) b) 40 c) 6 d) 0 c) n.d.. ) ( PUC-SP ) Um lojist dispõe de três peçs de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Ns três peçs o tecido tem mesm lrgur. Desej vender o tecido em retlhos iguis, cd um tendo lrgur ds peçs e o mior comprimento possível, de modo utilizr todo o tecido ds peçs. Quntos retlhos ele deverá obter? 0) Determine o número de divisores nturis dos números ) 80 b) 0 04) Um ciclist dá um volt em um pist de corrid em 6 segundos e outro ciclist em 0 segundos. Se os dois ciclists prtirem juntos, pós qunto tempo irão se encontrr de novo no ponto de prtid, levndo em considerção mbs s velociddes constntes? 05) Três vizinhos têm por medids de frente: 80m, 5m e 4m, respectivmente, e mesms medids pr os fundos. Queremos dividi-los em fis que tenhm medids iguis de frente e cujo tmnho sej o mior possível. Então cd fi medirá n frente: ) m b) 8 m c) 4 m d) 0 m e) 6 m Tref Complementr 06) Um lrme so cd 0 hors, um segundo lrme cd 8 hors, um terceiro cd 9 hors e um qurto cd 5 hors. Sondo em determindo instnte os qutro lrmes, depois de qunto tempo voltrão sor juntos? ) 40 hors b) 0 hors c) hors d) 60 hors e) 0 hors 07) Três tábus medindo respectivmente 4cm, 84cm e ) ( UEL-PR ) Sej p um número primo mior que. É verdde que o número p é divisível por: ) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 ) Sejm A e B o máimo divisor comum (M.D.C) e o mínimo múltiplo comum de 60 e 00, respectivmente. O produto A.B é ddo por:. y.5 z, então + y + z vle: 4) (Fuvest-SP) O menor número nturl n, diferente de zero, que torn o produto de 888 por n um cubo perfeito é: ) 6 b) c) 5 d) 8 e) 4 5) ( ACAFE ) Um crpinteiro quer dividir, em prtes iguis, três vigs, cujos comprimentos são, respectivmente, m, 4dm, 0,0054 km, devendo medid de cd um dos pedços ser mior possível. O totl de pedços obtidos com s três vigs é: ) 8 b) c) 0 d) 80 e) 0 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Inclusão pr vid AULA 0 CONJUNTOS NUMÉRICOS. Conjuntos Numéricos.. Conjunto dos Números Nturis N = { 0,,,, 4, 5,... } Um subconjunto importnte dos nturis (N) é o conjunto N * ( nturis sem o zero ) N * = {,,, 4, 5,... }, b N, ( + b) N e (. b) N.. Conjunto dos Números Inteiros Os números inteiros surgirm com necessidde de clculr diferenç entre dois números nturis, em que o primeiro fosse menor que o segundo. Z = {... -, -, -, 0,,,,... } Podemos citr lguns subconjuntos dos inteiros Z * = inteiros não nulos... {... -, -, -,,,,... } Z + = inteiros não negtivos... { 0,,,,... } Z * + = inteiros positivos... {,,, 4,... } Z _ = inteiros não positivos... {..., -, -, -, 0} Z * _ = inteiros negtivos... {... -, -, - }, b Z, ( + b) Z, (. b) Z e ( b) Z.. Conjunto dos Números Rcionis Os números Rcionis surgirm com necessidde de dividir dois números inteiros, onde o resultdo er um número não inteiro. Mtemátic A ) Dízim Periódic Simples: é um número frcionário cujo numerdor é o lgrismo que represent prte periódic e o denomindor é um número formdo por tntos noves quntos forem os lgrismos do período. Eemplos: ) 0777...= 9 7 b) 0,...= = 9 4 c) 0,444... = 99 b) Dízim Periódic Compost: é um número frcionário cujo numerdor é diferenç entre prte não periódic seguid de um período e prte não periódic, e cujo o denomindor é um número formdo de tntos noves quntos são os lgrismos do período, seguido de tntos zeros quntos são os lgrismos d prte não periódic. Eemplos: ) 0,777... = b) 0,555... = 7 = 90 4 90 = 7 45 5 = 9900 9 9900.4. Conjunto dos Números Irrcionis 07 00 Apesr de que entre dois números rcionis eistir sempre um outro rcionl, isso não signific que os rcionis preenchm tod ret. Vej o seguinte eemplo. Ddo o triângulo retângulo bio de ctetos e. Clculr o vlor d hipotenus. = Q = { = b, com Z, b Z* } Ou sej, todo número que pode ser colocdo em form de frção é um número rcionl. São eemplos de números rcionis: ) Nturis b) Inteiros c) decimis etos ( 0, = ) 0 d) dízims periódics ( 0,... = ) As qutro operções são definids nos rcionis. Com resslv que divisão por zero é impossível (eceto qundo o numerdor for zero tmbém). Gertrizes de um dízim periódic Tod frção que dá origem um dízim periódic chm-se GERATRIZ. Pr determinrmos GERATRIZ de um dízim periódic, procede-se ssim: Aplicndo o teorem de Pitágors temos: = + = Etrindo riz de, teremos um número que não é nturl, inteiro, nem rcionl, surge então os números irrcionis. Os números irrcionis são queles que não podem ser colocdos em form de frção, como por eemplo: ) π =,4... b) e =, 7... c) tod riz não et.5. Conjunto dos Números Reis Os números reis surgem d união dos números rcionis com os irrcionis. PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Mtemátic A Inclusão pr Vid QUADRO DE RESUMO R Z Q I Vej outros eemplos: ) { R > } = ], [ N Por enqunto, nosso conjunto universo será o cmpo dos reis. Porém, é necessário sber, que eistem números que não são reis, estes são chmdos de compleos e serão estuddos mis detlhdmente dinte. PROPRIEDADES EM R Comuttiv: + b = b + e. b = b. Associtiv: ( + b) + c = + (b + c) e (.b).c =.(b.c) Elemento neutro: + 0 = e. = Simétrico: + ( ) = 0 Inverso:. =, 0 INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE UM NÚMERO REAL. Intervlos Numéricos Chmmos intervlo qulquer subconjunto contínuo de R. Serão crcterizdos por desigulddes, conforme veremos seguir: ) { R } = ] -, ] ) { R < 4} = [, 4[. Módulo de um número rel Módulo ou vlor bsoluto, de um número rel é distânci d origem o ponto que represent o número. Indicmos o módulo de por... Definição, se 0 = -, se < 0 Eemplos: ) como > 0, então = { R p q} = [p, q] { R p < < q} = ]p, q[ { R p < q} = [p, q[ { R p < q} = ]p, q] { R q} = [q, [ { R > q} = ]q, [ { R q} = ] -, q] { R < q} = ] -, q[ Os números reis p e q são denomindos, respectivmente, etremo inferior e etremo superior do intervlo. Observções O intervlo [, ] represent um conjunto unitário {} O intervlo ], [ represent um conjunto vzio { } O intervlo (, + ) represent o conjunto dos números reis (R) (, y) = ], y[ Pode-se representr um intervlo rel de mneirs: Notção de conjunto. Eemplo: { R < } Notção de intervlo. Eemplo: ], ] Representção Gráfic. Eemplo: b) como < 0, então = ( ) =.. Proprieddes 0 = = y = y. y =. y PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 4 = y y.. Equção Modulr Equção Modulr é equção que possui incógnit em módulo. Tipos de equções modulres: = k, com k > 0, então: = k ou = k Eemplo : = = ou = - S = {-, } Eemplo : Resolv equção + = 6 + = 6 ou + = - 6 = 4 ou = - 8 S = {-8, 4}
Inclusão pr vid = k, com k = 0, então: = 0 Tref Mínim Mtemátic A = k, com k < 0, então: não há solução Eemplo : = - S = Eemplo : + = -0 S =.4. Inequção Modulr Sendo k > 0, s epressões do tipo < k, k, > k, k denominm-se inequções modulres. Tipos de inequções modulres: < k, com k > 0, então: k < < k Eemplos: < < < < 0 0 < < 0 > k, com k > 0, então: < k ou > k Eemplos: > < ou > > 0 < 0 ou > 0 Eercícios de Sl 0) Clcule o vlor ds epressões bio: ) + 4 8 5 b) 4 : + 5 0) ( PUC-SP ) Considere s seguintes equções: I. + 4 = 0 II. 4 = 0 III. 0, = 0, Sobre s soluções desss equções é verdde firmr que: ) II são números irrcionis b) III é um número irrcionl c) I e II são números reis d) I e III são números não reis e) II e III são números rcionis 0) Enumere os elementos dos conjuntos seguir: ) { N é divisor de } b) { N é múltiplo de } c) { N < 7} d) { Z - < } e) { = k, k N} f) { = k +, k N} 0) As gertrizes ds dízims: 0,... e 0,777... são respectivmente: 0 4 4 ) e b) e c) e 00 99 99 99 99 98 d) e e) e 0 0 5 0) ( ACAFE ) O vlor d epressão,. b c qundo c = 0,...; b = 0,5 e c = - é igul : 04) Resolv em R s seguintes equções: ) = 0 b) + = 7 c) = - d) + - 4 = 0 é: 05) A solução d inequção ( ) 5 ) { R } b) { R 6} c) { R } d) { R 7} e) { R } Tref Complementr 06) ( FATEC-SP ) Se = 0,666..., b =,... e c = 0,44..., então.b - + c é igul : 07) ( FGV-SP ) Quisquer que sejm o rcionl e o irrcionl y, pode-se dizer que: ).y é rcionl b) y.y é irrcionl c) + y rcionl d) - y + é irrcionl e) + y é irrcionl 08) ( FUVEST ) N figur estão representdos geometricmente os números reis 0,, y e. Qul posição do número y? 0) Resolv em R s seguintes equções: ) = b) = 7 c) 5 = 6 d) + = ) à esquerd de 0 b) entre zero e c) entre e y d) entre y e e) à direit de e) 5 + 4 = 0 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 5
Mtemátic A 09) Determine som dos números ssocidos às proposições VERDADEIRAS: 0. É possível encontrr dois números nturis, mbos divisíveis por 7 e tis que divisão de um pelo outro deie resto 9. 0. Sejm e b números nturis. Sendo = + b com b sendo um número ímpr, então é pr. 04. O número 7 + 5 é rel. 08. Eistem 4 números inteiros positivos e consecutivos tis que o produto de deles sej igul o produto dos outros dois. 6. o número 47 é um número primo. 0) ( FUVEST ) Os números inteiros positivos são dispostos em qudrdos d seguinte mneir: 4 7 5 8 6 9 0 6 4 7 5 8 9.... O número 500 se encontr em um desses qudrdos. A linh e colun em que o número 500 se encontr são respectivmente: ) e b) e c) e d) e e) e ) A epressão pr < é equivlente : ) b) c) + d) + e) ) Assinle lterntiv corret: ) Se é um número rel, então b) Se é um número rel, então eiste, tl que < 0 c) Sejm e b dois números reis com sinis iguis, então + b = + b d) Sejm e b dois números reis com sinis opostos, então + b > + b e) =, pr todo rel. ) ( UFGO ) Os zeros d função f() = são: 5............ ) 7 e 8 b) 7 e 8 c) 7 e 8 d) 7 e 8 e) n.d.. 4) ( FGV-SP ) Qul dos seguintes conjuntos está contid no conjunto solução d inequção ( + )? Inclusão pr Vid 5) ( ITA-SP ) Os vlores de R pr os quis função rel dd por f() = 5 6 está definid, formm o conjunto: ) [0, ] b) [-5, 6] c) [-5,0] [, ) d) (-, 0] [, 6] e) [-5, 0] [, 6] AULA 0 EQUAÇÕES DO º GRAU INEQUAÇÕES. Definição Um sentenç numéric bert é dit equção do º gru se pode ser reduzid o tipo + b = 0, com diferente de zero.. Resolução Considere, como eemplo, equção + = 9. Nel o número 4 é solução, pois.4 + = 9. O número 4 nesse cso é denomindo RAIZ d equção Dus equções que têm o mesmo conjunto solução são chmds equivlentes. PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE Se: = b então pr m + m = b + m Se: = b então pr m 0. m = b. m 4. Inequções do º gru Inequções são epressões berts que eprimem um desiguldde entre s quntiddes dds. Um inequção é dit do º gru se pode ser escrit n form: + b > 0 + b < 0 + b 0 + b 0 Ns inequções do º gru vlem tmbém, os princípio ditivo e multiplictivo com um resslv. Vej: Se: > b então pr m + m > b + m Se: > b então pr m > 0. m > b. m Se: > b então pr m < 0. m < b. m Eercícios de Sl 0) Resolv em R s seguintes equções e inequções: ) + b = 0, com 0 b) 4( + ) + 5 = ( + 7) c) + + = 0 4 d) 50 = 500 ) { R - 5 - } b) { R - 4 0} c) { R - 0} d) { R - 0} e) Todos os conjuntos nteriores e) 0. = 0 f) 0. = 5 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 6 g) 8
Inclusão pr vid 0) Obtenh m de modo que o número 6 sej riz d equção 5 + m = 0 0) Resolv em R, o seguinte sistem: y = + y = Tref Mínim 0) Resolver em R s equções: ) 6 6 = ( + ) b) ( + ) = 5 + c) ( + )( + ) = ( + )( + 4) d) ( ) = 4 e) ( ) = f) + = 4 0) A solução d equção + = é: ) = b) = c) = d) = e) = + 0) ( FGV SP ) A riz d equção = é: 4 ) um número mior que 5 b) um número menor que c) um número nturl d) um número irrcionl e) um número rel 04) Determine solução de cd sistem bio: ) y = b) + y = 5 + y = y = 05) Resolv em R s inequções: ) ( + ) > ( ) b) c) < 4 Tref Complementr 06) O vlor de + y em + y = 7 4y = 07) Obtenh o mior de três números inteiros e consecutivos, cuj som é o dobro do menor. c) + y = + y = + 0 4 é: Mtemátic A 09) As trifs cobrds por dus gêncis de locdor de utomóveis, pr veículos idênticos, são: gênci AGENOR: R$ 90,00 por di, mis R$ 0,60 por quilômetro roddo. Agênci TEÓFILO: R$ 80,00 por di, mis R$ 0,70 por quilômetro roddo. Sej o número de quilômetros percorridos durnte um di. Determine o intervlo de vrição de de modo que sej mis vntjos locção de um utomóvel n gênci AGENOR do que n gênci TEÓFILO. 0) ( UFSC ) A som dos dígitos do número inteiro m tl que 5 8 m + 4 > 5500 e m + 700 > 4 m, é: 5 ) ( UFSC ) Pr produzir um objeto, um rtesão gst R$,0 por unidde. Além disso, ele tem um despes fi de,50, independente d quntidde de objetos produzidos. O preço de vend é de R$,50 por unidde. O número mínimo de objetos que o rtesão deve vender, pr que recupere o cpitl empregdo n produção dos mesmos, é: ) ( UFSC ) A som ds iddes de um pi e seu filho é 8 nos. Dqui 7 nos o pi terá o triplo d idde do filho. A idde do pi será: ) ( UFSC ) N prtid finl de um cmpeonto de bsquete, equipe cmpeã venceu o jogo com um diferenç de 8 pontos. Quntos pontos ssinlou equipe vencedor, sbendo que os pontos ssinldos pels dus equipes estão n rzão de pr? 4) ( UNICAMP ) Um senhor comprou um ci de bombons pr seus dois filhos. Um deles tirou pr si metde dos bombons d ci. Mis trde, o outro menino tmbém tirou pr si metde dos bombons que encontrou n ci. Restrm 0 bombons. Clcule quntos bombons hvi inicilmente n ci. 5) ( UEL-PR ) Um trem, o inicir um vigem, tinh em um de seus vgões um certo número de pssgeiros. N primeir prd não subiu ninguém e descerm desse vgão homens e 5 mulheres restndo nele um número de mulheres igul o dobro do de homens. N segund prd não desceu ninguém, entretnto subirm, nesse vgão, 8 homens e mulheres, ficndo o número de homens igul o de mulheres. Qul o totl de pssgeiros no vgão no início d vigem? AULA 04 EQUAÇÕES DO º GRAU Denomin-se equção do º gru tod equção que pode ser reduzid form: + b + c = 0 onde, b e c são números reis e 0.. Resolução º CASO: Se n equção + b + c = 0, o coeficiente b for igul zero procede-se ssim: 08) ( UFSC ) A som dos qudrdos dos etremos do + c = 0 intervlo que stisfz simultnemente, s inequções: = c + e - 7; é: c = PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 7
Mtemátic A S = = ± c c, c º CASO: Se n equção + b + c = 0, o coeficiente c for igul zero procede-se ssim: + b = 0 ( + b) = 0 = 0 ou + b = 0 b S = {0, } º CASO: Se n equção + b + c = 0,, b, c 0 plic-se fórmul de Bháskr = b ± Δ onde: = b 4c Ness fórmul, = b 4c é o discriminnte d equção, o que determin o número de soluções reis d equção. Pode-se ter s seguintes situções: > 0. Eistem dus rízes reis e distints = 0. Eistem dus rízes reis e iguis < 0. Não há riz rel. Relções de Girrd Sendo e s rízes d equção + b + c, tem-se: b c + =. = Eercícios de Sl 0) Resolv, em reis, s equções: ) = 0 b) = 0 c) 5 = 0 0) Considere equção m + m = 0 n incógnit. Pr quis vlores reis de m el dmite rízes reis e iguis? ) 0 e 4 b) 0 e c) 0 e d) e e) e 4 0) Sendo e s rízes d equção 6 + = 0, determine: ) + b). c) + Tref Mínim 0) Resolv em R, s equções: ) 5 + 6 = 0 b) + 6 8 = 0 c) 7 + = 0 d) 4 + 4 = 0 e) + = 0 f) 4 00 = 0 g) 5 = 0 0) Os números e 4 são rízes d equção: Inclusão pr Vid ) 6 + 8 = 0 b) + 6 = 0 c) 6 6 = 0 d) 5 + 6 = 0 e) + 6 = 0 0) ( PUC-SP ) Qunts rízes reis tem equção + = 0? ) 0 b) c) d) e) 4 04) A som e o produto ds rízes d equção 6 + 9 = 0 são respectivmente: ) e 4,5 b) e 4 c) e d) 4,5 e 5 e) n.d.. 05) Sendo e s rízes d equção 5 = 0. Obtenh + Tref Complementr 06) Resolver em R equção + = + 07) A mior solução d equção 4 5 = 0 é: ) b) c) d) e) 08) Sendo e s rízes d equção 6 = 0, determine som dos números ssocidos às proposições verddeirs: 0. e são iguis 0. + = 04.. = 08. + = 6. + = 9.. +. = 09) A solução d equção = + é: PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 8
Inclusão pr vid 0) ( MACK-SP ) Se e y são números reis positivos, tis que + y + y + + y 6 =0, então + y vle: ) b) c) 4 d) 5 c) 6 ) Determine som dos números ssocidos às proposições VERDADEIRAS: 0. Se som de um número qulquer com o seu inverso é 5, então som dos qudrdos desse número com o seu inverso é. 0. Se e são s rízes d equção 6 = 0, 9 então o vlor de. +. = 04. Se e y são números reis positivos, tis que + y + y + + y 6 =0, então + y vle 08. Se é solução d equção + =, então o vlor de 4 = 6 6. O vlor de 8 + 6 é 5 ) Considere equção 6 + = 0. Sendo e, rízes dess equção, pode-se firmr: 0. 0. o produto ds rízes dess equção é 0,5 04. som ds rízes dess equção é 08. som dos inversos ds rízes é 6 6. equção não possui rízes reis Mtemátic A Conjunto de Prtid: A Domínio: Vlores de pr os quis eiste y. Contr Domínio: B Conjunto Imgem: Vlores de y pr os quis eiste. Observções: A imgem está sempre contid no Contr Domínio (Im C.D) Podemos reconhecer trvés do gráfico de um relção, se ess relção é ou não função. Pr isso, deve-se trçr prlels o eio y. Se cd prlel interceptr o gráfico em pens um ponto, teremos um função. O domínio de um função é o intervlo representdo pel projeção do gráfico no eio ds bscisss. E imgem é o intervlo representdo pel projeção do gráfico no eio y. ) A mior riz d equção 4 0 + 9 = 0 é: ) b) 4 c) 8 d) 9 e) 4) Assinle som dos números ssocidos às proposições VERDADEIRAS: 0. A mior riz d equção 6 = 0 é 0. A mior riz d equção 7 + = 0 é 04. As rízes d equção 4 + 5 = 0 estão compreendids entre e 08. A som ds rízes d equção 6 = 0 é 6. equção 4 + = 0 não possui rízes reis 5) Determine o vlor de que stisfz s equções: ) + = b) + + = AULA 05 ESTUDO DAS FUNÇÕES Sejm A e B dois conjuntos não vzios e um relção R de A em B, ess relção será chmd de função qundo pr todo e qulquer elemento de A estiver ssocido um único elemento em B. Formlmente: f é função de A em B ( A, y B (, y) f) Num função podemos definir lguns elementos. Domínio = [, b] Imgem = [c, d] Vlor de um Função Denomin-se vlor numérico de um função f() o vlor que vriável y ssume qundo vriável é substituíd por um vlor que lhe é tribuído. Por eemplo: considere relção y =, onde cd vlor de corresponde um único vlor de y. Assim se =, então y = 9. Podemos descrever ess situção como: f() = 9 Eemplo : Dd função f() = +. Clcule o vlor de f() Resolução: f() = +, devemos fzer = f() = + f() = 5 Eemplo : Dd função f() = - 5 + 6. Determine o vlor de f(-). Resolução: f() = - 5 + 6, devemos fzer = - f(-) = (-) - 5(-) + 6 f(-) = + 5 + 6 f(-) = PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 9
Mtemátic A Inclusão pr Vid Eemplo : Dd função f( ) =. Determine f(5). Resolução: f( ) =, devemos fzer = 6 f(6 ) = 6 f(5) = 6 Observe que se fizéssemos = 5, terímos f(4) e não f(5). Eercícios de Sl d) c) 0) Sej o gráfico bio d função f, determinr som dos números ssocidos às proposições VERDADEIRAS: e) 0. O domínio d função f é { R - } 0. A imgem d função f é {y R - y } 04. pr =, tem-se y = 08. pr = 0, tem-se y = 6. pr = -, tem-se y = 0. A função é decrescente em todo seu domínio 0) Assinle som dos números ssocidos às proposições VERDADEIRAS: 0) Em cd cso bio, determine o domínio de cd função: ) y = + b) y = 7 7 c) y = d) y = + -, se 0 04) Sej f ( ) = 5, se 0 < 5. 5 + 6, se > 5 Clcule o vlor de: f ( ) + f ( π ) f (6) Tref Mïnim 0) ( UNAERP-SP ) Qul dos seguintes gráficos não represent um função f: R R? ) 0. O domínio d função f é { R - } 0. A imgem d função f é {y R - y } 04. pr = -, tem-se y = - 08. pr =, tem-se y = 6. A função é crescente em todo seu domínio 0) Determine o domínio ds seguintes funções ) y = c) y = 9 + 6 b) y = d) y = 5 04) ( UFSC ) Considere s funções f: R R e g: R R dds por f() = + e g() = 6 + 5. Clcule f( ) + 4 5 g( ). b) 05) ( UFPE-PE ) Ddos os conjuntos A = {, b, c, d} e B = {,,, 4, 5}, ssinle únic lterntiv que define um função de A em B. ) {(, ), (b, ), (c, )} b) {(, ), (b, ), (c, 5), (, )} c) {(, ), (b, ), (c, ), (d, )} d) {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5)} e) {(, ), (, b), (, c), (4, d), (5, )} PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 0
Inclusão pr vid Tref Complementr 06) ( UFC-CE ) O domínio d função rel y = ) { R > 7} b) { R } c) { R < 7} d) { R ou > 7} é: 7 07) Considere função f() = 6 + 8. Determine: ) f() b) f(5) c) os vlores de, tl que f() = 0 08) ( USF-SP ) O número S do spto de um pesso está relciondo com o comprimento p, em centímetros,do seu pé pel fórmul S = 5 p + 8 4 Qul é o comprimento do pé de um pesso que clç sptos de número 4? ) 4 cm b) 5, cm c) 0,8 cm d) 9,5 cm e) 7, cm 09) ( FUVEST ) A função que represent o vlor ser pgo pós um desconto de % sobre o vlor de um mercdori é: ) f() = b) f() = 0,97 c) f() =, d) f() = - e) f() =,0 0) ( FCMSCSP ) Se f é um função tl f( + b) = f().f(b), quisquer que sejm os números reis e b, então f() é igul : ).f() b) + f() c) f( ) d) [f()] e) f() + f() ) ( FGV-SP ) Num determind loclidde, o preço d energi elétric consumid é som ds seguintes prcels: ª. Prcel fi de R$ 0,00; ª. Prcel vriável que depende do número de quilowtt-hor (kwh) consumidos; cd kwh cust R$ 0,0. Se num determindo mês, um consumidor pgou R$,00, então ele consumiu: ) 00, kwh b) mis de 0 kwh c) menos de 65 kwh d) entre 65 e 80 kwh e) entre 80 e 0 kwh ) ( PUC-Cmpins ) Em um cert cidde, os tímetros mrcm, nos percursos sem prd, um qunti de 4UT (unidde timétric) e mis 0, UT por quilômetro roddo. Se, o finl de um percurso sem prds, o tímetro registrv 8, UT, o totl de quilômetros percorridos foi: ) ( UFSC ) Dds s funções f() = + 5, g() = + e h() = 7, o vlor em módulo d epressão: 4 h g( 4) f ( ) 4) ( UFSC ) Considere função f() rel, definid por f() = 4 e f( + ) = f() 5. Determine o vlor de f(0). 5) ( UDESC ) A função f é tl que f( + ) = +. Nesss condições, f( + ) é igul :. AULA 06 FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU. Função Polinomil do º Gru Mtemátic A Um função f de R em R é do º gru se cd R, ssoci o elemento + b... Form: f() = + b com 0. é o coeficiente ngulr e b o coeficiente liner... Gráfico O gráfico será um ret crescente se for positivo e decrescente se for negtivo. Como o gráfico de um função do º Gru é um ret, logo é necessário definir pens dois pontos pr obter o gráfico. Interceptos: Ponto que o Gráfico cort o eio y: deve-se fzer = 0. Logo o ponto que o gráfico cort o eio y tem coordends (0,b). Ponto que o Gráfico cort o eio : deve-se fzer y = 0. Logo o ponto que o gráfico cort o eio tem b coordends (,0). O ponto que o gráfico cort o eio é chmdo riz ou zero d função. RESUMO GRÁFICO f() = + b, > 0 f() = + b, < 0 função crescente função decrescente Eemplo: Esboçr o gráfico d função d função f() = +. Resolução: o gráfico intercept o eio y em (0,b). Logo o PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Mtemátic A gráfico d função f() = + intercept o eio y em (0,). Pr determinr o ponto que o gráfico cort o eio deve-se fzer y = f() = 0. + = 0 = Logo o ponto que o gráfico cort o eio tem coordends (, 0) Inclusão pr Vid 0) ( UFSC ) Sej f() = + b um função liner. Sbe-se que f(-) = 4 e f() = 7. Dê o vlor de f(8). Tref Mínim 0) Esboçr o gráfico ds seguintes funções: ) f() = + b) f() = + 0) ( FGV-SP ) O gráfico d função f() = m + n pss pelos pontos A(, ) e B(4, ). Podemos firmr que m + n vle em módulo: 0) ( UFMG-MG ) Sendo < 0 e b > 0, únic representção gráfic corret pr função f() = + b é: D = R C.D. = R Im = R. Função Constnte Um função f de R em R é constnte se, cd R, ssoci sempre o mesmo elemento k R. D(f) = R e Im (f) = k. Form: f() = k.. Gráfico: Eemplo: y = f() = D = R C.D. = R Im = {} Eercícios de Sl 0) Considere s funções f() = 6 definid em reis. Determine som dos números ssocidos às proposições VERDADEIRAS: 0. ret que represent função f intercept o eio ds ordends em (0,- 6) 0. f() é um função decrescente 04. riz d função f() é 08. f(-) + f(4) = 0 6. imgem d função são os reis. A áre do triângulo formdo pel ret que represent f() e pelos eios coordendos é 8 uniddes de áre. 0) ( PUC-SP ) Pr que função do º gru dd por f() = ( - k) + sej crescente devemos ter: k ) = bk ) < ck ) > dk ) < ek ) > 04) ( UFMA ) O gráfico d função f() = + b intercept o eio dos no ponto de bsciss 4 e pss pelo ponto (, ), então f() é: ) f() = b) f() = 4 c) f() = 5 d) f() = e) f() = 6 05) Sendo f() = + 5, obtenh o vlor de f ( t) f ( π ) com t π t π Tref Complementr 06) ( UCS-RS ) Pr que sej riz d função f() = + k, deve-se ter ) k = 0 b) k = - c) k = 6 d) k = -6 e) k = 07) ( UFPA ) A função y = + b pss pelo ponto (,) e intercept o eio y no ponto de ordend. Então, b é igul : ) b) 0 c) 9 d) 7 e) n.d.. PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Inclusão pr vid Mtemátic A 08) ( Fuvest-SP ) A ret de equção + y = 0, em relção um sistem crtesino ortogonl, form com os eios do sistem um triângulo cuj áre é: Distânci (em km ) ) / b) /4 c) /5 d) /8 e) /6 09) O gráfico d função f() está representdo pel figur bio: Tempo (em hors) Pode-se firmr que f(4) é igul : 0) (Snto André-SP) O gráfico mostr como o dinheiro gsto ( y) por um empres de cosméticos, n produção de perfume, vri com quntidde de perfume produzid ( ). Assim, podemos firmr: Anlisndo o gráfico, verific-se que o crro que prtiu primeiro foi lcnçdo pelo outro o ter percorrido etmente: ) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 9km 5) ( UERJ ) Considere função f, definid pr todo rel positivo, e seu respectivo gráfico. Se e b são dois números positivos ( < b), áre do retângulo de vértices (, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igul 0,. f() = ) Qundo empres não produz, não gst. b) Pr produzir litros de perfume, empres gst R$ 76,00. c) Pr produzir litros de perfume, empres gst R$ 54,00. d) Se empres gstr R$ 70,00, então el produzirá 5 litros de perfume. e) Pr fbricr o terceiro litro de perfume, empres gst menos do que pr fbricr o quinto litro. ) ( UFSC ) Sbendo que função: f() = m + n dmite 5 como riz e f(-) = -6, o vlor de f(6) é: ) O vlor de um máquin decresce linermente com o tempo, devido o desgste. Sbendo-se que hoje el vle R$800,00, e que dqui 5 nos vlerá R$ 60,00, o seu vlor, em reis, dqui três nos será: ) 480 b) 60 c) 80 d) 400 e) 46 ) ( UFRGS ) Considere o retângulo OPQR d figur bio. A áre do retângulo em função d bsciss do ponto R é: Clcule áre do retângulo de vértices (, 0), (b, 0) e (b, f(b)) AULA 07 FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU Um função f de R em R é polinomiil do º gru se cd R ssoci o elemento + b + c, com 0. Form: f() = + b + c, com 0. Gráfico O gráfico de um função polinomil do º Gru de R em R é um prábol. A concvidde d prábol é determind pelo sinl do coeficiente (coeficiente de ). Assim qundo: > 0 tem-se prábol com concvidde pr cim < 0 tem-se prábol com concvidde pr bio ) A = b) A = - + 9 c) A = 9 d) A = - + 6 e) A = 6. Interceptos 4) ( UFRGS ) Dois crros prtem de um mesm cidde, O ponto que o gráfico cort o eio y possui coordends (0,c) deslocndo-se pel mesm estrd. O gráfico bio Pr chr o(s) ponto(s) que o gráfico cort o eio, deve-se present s distâncis percorrids pelos crros em fzer y = 0. Tem-se então um equção do º gru + b + função do tempo. c = 0, onde: PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Mtemátic A Inclusão pr Vid b ± = Δ, onde = b 4c < 0 Se > 0 Dus Rízes Reis Se = 0 Um Riz Rel Se < 0 Não possui Rízes Reis 4. Estudo do vértice d prábol A Prábol que represent função do º Gru é dividid em dus prtes simétrics. Ess divisão é feit por um eio chmdo de eio de simetri. A intersecção desse eio com prábol recebe o nome de vértice d prábol. Eercícios de Sl 0) Em relção função f() = 6 + 8 definid de R Ré correto firmr: O vértice é o ponto de máimo d função se < 0. O vértice é o ponto de mínimo d função se > 0. 5. Coordends do vértice O vértice é um ponto de coordends V( v, y v ) onde v = b e yv = 4 6. Imgem d função qudrátic Se > 0, então Im = {y R y 4 } Se < 0, então Im = {y R y 4 } 7. Resumo gráfico > 0 0. e 4 são os zeros d função f 0. o vértice d prábol possui coordends (, -) 04. O domínio d função f() é o conjunto dos números reis. 08. A imgem d função é: { y R y } 6. A áre do triângulo cujos vértices são o vértice d prábol e seus zeros, é 4 uniddes de áre. 0) Em cd cso bio, esboce o gráfico de f e dê seu conjunto imgem. ) f: R R, f() = b) f: R R, f() = + 4 c) f: [0, [ R, f() = f() = 0) Considere f() = 6 + m definid de R R. Determine o vlor de m pr que o gráfico de f(): ) tenh dus intersecções com o eio b) tenh um intersecção com o eio c) não intercepte o eio Tref Mínim 0) Determine s rízes, o gráfico, s coordends do vértice e imgem de cd função. = 0 ) f: R R, f() = b) f: R R, f() = ( + )( 4) c) f: R R, f() = + d) f: R R, f() = 0) Dd função f() = - 8 + de R em R. Assinle s verddeirs: 0. O gráfico intercept o eio y no ponto de coordends (0,). 0. As rízes de f são e 6. 04. O domínio de f é o conjunto dos números reis. 08. O gráfico não intercept o eio. 6. A imgem d função é { y R y 4 }. O vértice d prábol possui coordends (4, 4) 64. A função é crescente em todo seu domínio. PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 4
Inclusão pr vid 0) ( UFSC ) Considere prábol y = - + 6 definid em R R. A áre do triângulo cujos vértices são o vértice d prábol e seus zeros, é: 04) ( ACAFE-SC ) Sej função f() = - + de domínio [-, ]. O conjunto imgem é: ) [0, ] b) [-5, 4] c) ]-, 4] d) [-, ] e) [-5, ] 05) ( PUC-SP) Sej função f de R em R, definid por f( ) = + 4. Num sistem de coordends crtesins ortogonis, o vértice d prábol que represent f locliz-se: ) no primeiro qudrnte. b) no segundo qudrnte. c) no terceiro qudrnte. d) sobre o eio ds coordends. e) sobre o eio ds bscisss. Tref Complementr 06) ( UFSC ) Sej f: R R, definid por: f() = -, determine som dos números ssocidos às firmtivs verddeirs: Mtemátic A ) ( Mck-SP ) O vértice d prábol y = + k + m é o ponto V(, 4). O vlor de k + m em módulo é: ) ( UFSC ) Dd função f: R R definid por f() = + b + c, sbe-se que f() = 4, f() = 7 e f(-) = 0. Determine o vlor de - b + c. ) A equção do eio de simetri d prábol de equção y = - 0 + 7, é: ) - 0 + 7 = 0 b) y = 5 + 7 c) =,5 d) y =,5 e) =,8 4) O gráfico d função f() = m (m ) + m intercept o eio em pens um ponto e tem concvidde voltd pr bio. O vlor de m é: ) b) 4 c) d) e) 5) ( UFSC ) Mrque no crtão únic proposição CORRETA. A figur bio represent o gráfico de um prábol cujo vértice é o ponto V. A equção d ret r é: 0. O gráfico de f() tem vértice n origem. 0. f() é crescente em R. 04. As rízes de f() são reis e iguis. 08. f() é decrescente em [0, + ) 6. Im(f) = { y R y 0}. O gráfico de f() é simétrico em relção o eio. 07) ( ESAL-MG ) A prbol bio é o gráfico d função f() = + b + c. Assinle lterntiv corret: 0. y = - + 0. y = + 04. y = + 08. y = + 6. y = - ) < 0, b = 0, c = 0 b) > 0, b = 0, c < 0 c) > 0, b < 0, c = 0 d) < 0, b < 0, c > 0 e) > 0, b > 0, c > 0 08) Considere função definid em dd por f() = m + m. Pr que vlores de m o gráfico de f() irá interceptr o eio num só ponto? 09) ( UFPA ) As coordends do vértice d função y = + são: ) (-, 4) b) (, ) c) (-, ) d) (0, ) e) (, 0) 0) ( UFPA ) O conjunto de vlores de m pr que o gráfico de y = m + 7 tenh um só intersecção com o eio é: ) { ± 7} b) { 0 } c) { ± } d) { ± 7 } AULA 08 INEQUAÇÕES DO º GRAU INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE. Inequções do o Gru Inequção do º gru é tod inequção d form: PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 5 + b + c 0 + b + c 0 + b + c > 0 + b + c < 0 com 0 Pr resolver inequção do º gru ssoci-se epressão um função do º gru; ssim, pode-se estudr vrição de sinis em função d vriável. Posteriormente, selecion-se os vlores d vriável que tornm sentenç verddeir. Estes vlores irão compor o conjunto-solução. Eemplos:
Mtemátic A ) resolver inequção 0 Inclusão pr Vid plicr regr de sinis d divisão. É necessário lembrr que o denomindor de um frção não pode ser nulo, ou sej nos csos cim vmos considerr g() 0 Eemplo: Resolver inequção 4 + 0 S = { R - ou } ou S = ]-, -] [, + [ b) resolver inequção 7 + 0 0 S = { R < ou } S = { R 5} S = [, 5] c) resolver inequção + 5 4 > 0 Eercícios de Sl 0) Resolver em R s seguintes inequções: ) 8 + > 0 b) 8 + 0 c) 9 + 8 0 S = { R < < 4} S = [, 4]. Inequções Tipo Produto Inequção Produto é qulquer inequção d form: ) f().g() 0 b) f().g() > 0 c) f().g() 0 d) f().g() < 0 Pr resolvermos inequções deste tipo, fz-se necessário o estudo dos sinis de cd função e em seguid plicr regr d multiplicção. Eemplo: Resolver inequção ( 4 + ) ( ) < 0 0) O domínio d função definid por f() = 0 6 ) D = { R ou 5} {6}. b) D = { R - ou 5} {6}. c) D = { R - ou 5} d) D = { R - ou 7} {6}. e) n.d.. 0) Determine o conjunto solução ds seguintes inequções: é: ) ( )( )( 4) < 0 b) 7 + 0 4 Tref Mínim 0 S = { R < ou < < }. Inequções Tipo Quociente Inequção quociente é qulquer inequção d form: ) f() 0 b) f() g() g() > 0 f() c) 0 d) f() g() g() < 0 Pr resolvermos inequções deste tipo é necessário que se fç o estudo dos sinis de cd função seprdmente e em seguid 0) Resolver em R s seguintes inequções: ) 6 + 8 > 0 b) 6 + 8 0 c) + 9 > 0 d) 4 e) > 6 f) 0) ( Osec-SP ) O domínio d função f() = + +, com vlores reis, é um dos conjuntos seguintes. Assinle-o. ) { R - } b) { R - < < } c) { } d) { R } e) n.d.. PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 6
Inclusão pr vid 0) Resolv, em R, s seguintes inequções: ) ( ).( + 4) > 0 b) ( ).( + 4) 0 c) ( ) ( 6) < 0 d) e) + 4 0 04) Resolv, em R, s seguintes inequções: ) 5 + 6 0 6 b) 5 + 6 < 0 6 c) + 0 d) < 05) ( ESAG-SC ) O domínio d função y = reis é: ) (-, - ) b) (-, ½] c) (-, ½] d) (-, -) [/, ) e) { } Tref Complementr nos Mtemátic A ) (ACAFE-SC ) O lucro de um empres é ddo por L() = 00(8 )( ), em que é quntidde vendid. Neste cso podemos firmr que o lucro é: ) positivo pr entre e 8 b) positivo pr qulquer que sej c) positivo pr mior do que 8 d) máimo pr igul 8 e) máimo pr igul ) ( FATEC ) A solução rel d inequção produto ( 4).( 4) 0 é: ) S = { R - 0 ou 4} b) S = { R 0 4} c) S = { R - ou 4} d) S = { R - ou 0 ou 4} e) S = { } ) ( MACK-SP ) O conjunto solução de ) { R > 5 e < - } b) { R < 5 e - } c) { R > 0} d) { R - < < 5} e) { R - 5 < < 5} 6 < 5 + é: 4) ( Cescem-SP ) Os vlores de que stisfzem inequção ( + 8)( 5 + 6)( 6) < 0 são: 06) Resolver em R s seguintes inequções: ) 6 + 9 > 0 b) 6 + 9 0 c) 6 + 9 < 0 d) 6 + 9 0 07) Resolver em R s seguintes inequções: ) 4 + 5 > 0 b) 4 + 5 0 c) 4 + 5 < 0 d) 4 + 5 0 08) ( CESGRANRIO ) Se 6 + 4 + b + c tem como solução o conjunto { R 0 }, então b e c vlem respectivmente: ) e b) e 0 c) 0 e d) 0 e e) 0 e 4 09) ( UNIP ) O conjunto verdde do sistem 9 + 8 < 0 é: 4 0 ) ], ] b) ], 4] c) [, 4[ d) [, 8[ e) [4, 8[ 0) ( PUC-RS ) A solução, em R, d inequção < 8 é: ) { ; } b) [ ; ] c) ( ; ) d) ( ; ) e) ( ; ] ) < ou > 4 b) < ou 4 < < 5 c) 4 < < ou > 4 d) 4 < < ou < < 4 e) < 4 ou < < ou > 4 5) ( FUVEST ) De 4 < 0 pode-se concluir que: ) 0 < < b) < < c) < < 0 d) < < e) < ou > AULA 09 PARIDADE DE FUNÇÕES FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA. Função Pr Um função é pr, qundo pr vlores simétricos de, tem-se imgens iguis, ou sej: f( ) = f(), D(f) Um conseqüênci d definição é: Um função f é pr se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relção o eio y.. Função Ímpr Um função é ímpr, qundo pr vlores simétricos de, s imgens forem simétrics, ou sej: f( ) = f(), D(f) PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 7
Mtemátic A Inclusão pr Vid Como conseqüênci d definição os gráficos ds funções ímpres são simétricos em relção origem do sistem crtesino.. Função Compost Dds s funções f: A B e g: B C, denomin-se função compost de g com f função gof: definid de A C tl que gof() = g(f()) FUNÇÃO BIJETORA: Um função é bijetor se for o mesmo tempo injetor e sobrejetor. f: A B g: B C gof: A C Condição de Eistênci: Im(f) = D(g) Alguns tipos de funções composts são: ) f(g()) b) g(f()) c) f(f()) d) g(g()) Eercício resolvido: Dds s funções f() = - 5 + 6 e g() = +, chr de modo que f(g()) = 0 Resolução: Primeirmente vmos determinr f(g()) e em seguid igulremos zero. f() = - 5 + 6 f(g()) = ( + ) - 5( + ) + 6 Dí vem que f(g()) = - +. Igulndo zero temos: - + = 0 DICA: De R R, função do º Gru é bijetor, e função do º Gru é simples. 5. Função invers Sej f um função f de A em B. A função f de B em A é invers de f, se e somente se: f o f - () =, A e f - o f () =, B. Observe que A = D(f) = CD(f - ) e B = D(f - ) = CD(f) IMPORTANTE: f é inversível f é bijetor Pr encontr invers de um função, o processo prático é trocr por y e em seguid isolr y. Os gráficos de dus funções inverss f() e f () são simétricos em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres.(f() = ) Onde = e = 4. Função injetor, sobrejetor e bijetor FUNÇÃO INJETORA: Um função f: A B é injetor se, e somente se elementos distintos de A têm imgens distints em B. Em Símbolos: f é injetor, A, f( ) f( ) Eercício Resolvido: Dd função f() = + 4 de R em R. determine su invers. Resolução: Como função f() é bijetor, então el dmite invers. Bst trocrmos por y e teremos: FUNÇÃO SOBREJETORA: Um função f de A em B é sobrejetor, se todos os elementos de B forem imgem dos elementos de A, ou sej: CD = Im f() = + 4 = y + 4-4 = y f - () = 4 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 8
Inclusão pr vid Mtemátic A Eercícios de Sl 0) Dds s funções f() =, g() = +. Determine: ) f(g()) b) g(f()) c) f(g()) d) g(f(-)) 0) ( UFSC ) Considere s funções f, g: R R tis que g() = + e g(f()) = + +. Clcule f(7). 0) Se, determine invers d função + f ( ) = Tref Mínim 0) Dds s funções f() = + e g() =. Obter: ) f(g()) b) g(f()) c) f(f()) d) g(g()) e) f(g()) f) g(f()) g) f(f(f())) 0) ( U.F.Uberlândi ) Dds s funções reis definids por f() = - 6 e g() = + 5 +, pode-se dizer que o domínio d função h() = ( fog)( ) é: ) { R -5 ou 0} b) { R 0} c) { R -5} d) { } e) n.d.. 0) ( UFSC ) Sendo f() = 4 + e f(g()) = +, com f e g definids pr todo rel, determine o vlor numérico d função g no ponto = 8, ou sej, g(8). 04) Determine função invers de cd função seguir: ) y = b) y = c) y = +, 4 4 + 4 05) ( UFSC ) Sej função f() = determine f - (). Tref Complementr, com, 06) ( UFSC ) Sejm f e g funções de R em R definids por: f() = - + e g() = -.Determine som dos números ssocidos à(s) proposições verddeirs. 07) Dds s funções: f() = 5 e g() = -, o vlor de gof(4) é: 08) ( U.E.LONDRINA-PR ) Sejm f e g funções reis definids por f() = +, g() = -. O vlor de f(g(-5)) é: 09) ( Mck-SP ) Sejm s funções reis definids por f() = e f(g()) =. Então g(f()) é definid por: ) b) c) d) 4 e) 5 0) ( F.C. Chgs-BA ) A função invers d função f() = é: + ) f - ( ) = + - b) f - () = + - c) f - () = - - d) f - () = + - e) nenhum ds nteriores ) Obtenh s sentençs que definem s funções inverss de: ) f: [ ; 5] [, 7] tl que f() = + 7 b) g: [, 5] [0,9] tl que g() = 4 + 4 c) h: [, 6] [, 8] tl que h() = 6 + 8 ) ( MACK-SP ) Se f(g()) = 4 + 4 e f( ) = +, então o vlor de g() é: ) - b) c) 0 d) 6 e) 4 ) ( UFSC 006 ) Sej f um função polinomil do primeiro gru, decrescente, tl que f() = e f(f()) =. Determine bsciss do ponto onde o gráfico de f cort o eio. 4) ( UDESC ENGENHARIA FLORESTAL) Se f() = + b +, f() = 0 e f() = -. Clcule f(f()) 5) ( IME-RJ ) Sejm s funções g() e h() ssim definids: g() = 4; h() = f(g()) = 9 6 +. Determine função f(). AULA 0 EXPONENCIAL 0. A ret que represent função f intercept o eio ds ordends em (0,). 0. f é um função crescente.. Equção Eponencil 04. - e + são os zeros d função g. 08. Im(g) = { y R y - }. Chm-se equção eponencil tod equção que pode ser 6. A função invers d f é definid por f - reduzid form = b, com 0 <. () = - +.. O vlor de g(f()) é. 64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0). PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 9
Mtemátic A Inclusão pr Vid Pr resolver tis equções é necessário trnsformr equção dd em: Iguldde de potênci de mesm bse. f() = g() f() =g() Potêncis de epoentes iguis. f() = b f() = b sendo e b e e b R * +.. Função Eponencil f() = ( > ) função crescente b) = 6 c) + + = 90 d) 5. = 5 é: e) + + = 0 0) ( PUC-SP ) O conjunto verdde d equção.9 6. 9 = 0, é: 0) Dds f() = e s proposições: I) f() é crescente II) f() é decrescente III) f() = 8 IV) ( 0, ) f() podemos firmr que: (0 < < ) função decrescente ) tods s proposições são verddeirs b) somente II é fls c) tods são flss d) II e III são flss e) somente III e IV são verddeirs 04) Resolv, em R, s inequções seguir:. Inequção Eponencil Pr resolvermos um inequção eponencil devemos respeitr s seguintes proprieddes. Qundo s bses são miores que ( > ), relção de desiguldde se mntém. f() > g() f() > g() Qundo s bses estão compreendids entre 0 e (0 < < ), relção de desiguldde se inverte. f() > g() f() < g() Eercícios de Sl + y 7 = 4 0) ( UFSC ) Ddo o sistem, o vlor de y + y é: 5 = 5 0) ( UFSC ) O vlor de, que stisfz equção + -. + =, é: Tref Mínim 0) Resolv, em R, s equções seguir: ) = 8 ) > + b) (0,) 5 < (0,) + 8 c) 7 7 4 < d) 0,5 < 0,5 7 4 05) ( OSEC-SP ) O domínio d função de definid por y = ) (, 5 [ b) ] 5, + ) c) (, 5 [ d) ] 5, + ) e) n.d.. 4, é: Tref Complementr 06) Resolvendo equção 4 + 4 = 5., obtemos: ) = 0 e = b) = e = 4 c) = 0 e = d) = = 07) ( Unesp-SP ) Se é um número rel positivo tl que = +, então ( ) 08) A mior riz d equção 4 = 6 09) ( ITA-SP ) A som ds rízes d equção 4 9 = é: é igul : PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 0
Inclusão pr vid 0) A som ds rízes d equção + =. é: + ) ( UFMG ) Com relção à função f() =, sendo e números reis e 0 <, ssinle s verddeirs: 0. A curv representtiv do gráfico de f está tod cim do eio. 0. Seu gráfico intercept o eio y no ponto (0, ). 04. A função é crescente se 0 < < 08. Sendo = /, então f() > se >. ) Determine o domínio d função bio: 5 5 f ( ) = (,4) 7 ) ( UEPG-PR ) Assinle o que for correto. 0. A função f() =, < < 0 e R, intercept o eio ds bscisss no ponto (,0) 0. A solução d equção. = 6 pertence o intervlo [0, ] 04. Dd função f() = 4, então D = R e I m = 08. A função f() = ( ) é crescente b 6. > < b 4) Determine o vlor de no sistem bio: y = y 5 = y ( > e y > ) 5) Resolver, em reis, s equções bio: ) 5 + 0, = 5, b) 5.4 +.5 = 7.0 AULA. Definição LOGARITMOS * R + Ddo um número, positivo e diferente de um, e um número b positivo, chm-se logritmo de b n bse o rel tl que = b. ) log 6 6 = 6 = 6 6 = 6 = ) log 5 65 = 65 = 5 5 4 = 5 = 4 Mtemátic A Eiste um infinidde de sistems de logritmos. Porém dois deles se destcm: Sistems de Logritmos Decimis: É o sistem de bse 0, tmbém chmdo sistem de logritmos comuns ou vulgres ou de Briggs (Henry Briggs, mtemático inglês (56-60)). Qundo bse é 0 costum-se omitir bse n su representção. Sistems de Logritmos Neperinos É o sistem de bse e (e =, 78...), tmbém chmdo de sistem de logritmos nturis. O nome neperino deve-se J. Neper (550-67)... Condição de Eistênci Pr que os logritmos eistm é necessário que em: log b = tenh-se logritmndo positivo bse positiv Resumindo bse diferente de.. Conseqüêncis d Definição Observe os eemplos: ) log = = 0 = = 0 ) log = = 0 = = 0 ) log 6 = = 6 6 0 = 6 = 0 log = 0 4) log = = = = 5) log 5 5 = 5 = 5 5 = 5 = log = 6) log = = = 7) log 5 5 = 5 = 5 = log m = m log 8) 4 = = = 4 log 9) 9 = = = 9 b > 0 > 0 e ( > 0 e e b > 0) log b = = b Em log b = temos que: = bse do logritmo b = logritmndo ou ntilogritmo = logritmo Observe que bse mud de membro e crreg como epoente.. Proprieddes Opertóris.. Logritmo do Produto O logritmo do produto é igul som dos logritmos dos ftores. log (b. c) = log b + log c Eemplos: PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Mtemátic A Inclusão pr Vid Eemplos: ) log 7. = log 7 + log b) log 5. = log 5 + log b) log 8 c) log 5.. Logritmo do Quociente O logritmo do quociente é o logritmo do dividendo menos o logritmo do divisor. b log = log b log c c d) log 8 Tref Mínim 0) Determine o vlor dos logritmos bio: ) log 5 Eemplos: ) log 7/ = log 7 - log b) log 5 8/ = log 5 8 - log 5 b) log 0,5 0,5 c) log 7.. Logritmo d Potênci O logritmo d potênci é igul o produto do epoente pelo logritmo d bse d potênci. log m = m. log d) log 0,5 8 0) Determine o vlor ds epressões bio ) log 5 + log 4 lο g, onde 0 <, é: Eemplos: ) log 5 =. log 5 b) log 4-5 = -5 log 4 Cso Prticulr log Eemplo: log 0 Eercício Resolvido: n b = log b n =. log n = log 0 = log 0 Sbendo-se que log = 0,0 e log = 0,47. Clcule o vlor de log 8. Resolução: log 8 = log(. ) log 8 = log + log log 8 = log + log log 8 = 0,0 +.0,47 log 8 =,4 Eercícios de Sl 0) Pel definição, clculr o vlor dos seguintes logritmos: ) log 04 b) log 0,00000 c) log 0,5 d) log 4 8 0) Sbendo-se que log = 0,0 e log = 0,47. Clcule o vlor de: ) log 6 b b) lο g 8 lοg 9 + 6. lοg 65 5 é: 0) Sbendo-se que log = 0,0 e log = 0,47. Clcule o vlor dos logritmos bio: ) log b) log 54 c) log,5 d) 5 log 5 04) ( UFPR ) Sendo log = 0,0 e log 7 = 0,845, qul será o vlor de log 8? ),46 b),447 c),690 d),07 e),07 05) ( FEI-SP ) A função f() = log (50 5 ) é definid pr: ) > 0 b) 0 < < 5 c) 5 < < 0 d) < 5 e) n.d.. Tref Complementr 06) ( PUC-SP ) Se lοg 5 =, então vle: 07) ( PUC-SP ) Sendo log 0 = 0,0 e log 0 = 0,47, então log 6 é igul : 5 ) 0, b) 0, c) 0, d) 0,4 e) 0,5 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Inclusão pr vid 08) ( ACAFE-SC ) Os vlores de m, com R, pr os quis equção + log (m ) = 0 dmite rízes (zeros) reis e distints são: ) < m < 4 b) m< c) m d) m e) < m < 09) Se log = r, log b = s, log c = t e E = log E é igul : b c, então 0) ( ANGLO ) Se log E = log + log b log c log d, Então E é igul :. Equção Logrítmic Mtemátic A São equções que envolvem logritmos, onde incógnit prece no logritmo, n bse ou no logritmndo (ntilogritmo). Eistem dois métodos básicos pr resolver equções logrítmics. Em mbos os csos, fz-se necessário discutir s rízes, lembrndo que não eistem logritmos com bse negtiv e um e não eistem logritmos com logritmndo negtivos. º Método: log X = log Y X = Y º Método: log X = M X = M. Função Logrítmic f() = log ( > ) função crescente ) ( UFSC ) Se de + y é lοg( y) = lοg5 lοg + lοgy = lοg4, então o vlor ) Se = 60, log 0 = 0,0 e log 0 = 0,477, determine prte inteir do vlor de 0 log 0. ) ( UMC-SP Sejm log = e log y = b. Então o log (. y ) é igul : ) + b/ b) + b c) + b d) + b e) b/ (0 < < ) função decrescente 4) Determine o domínio ds seguintes funções: ) y = log ( ) b) y = log (5 ) ( 4) 5) Se é solução d equção 7, clcule o vlor d epressão 7 + log 7... 7 = AULA LOGARITMOS. Mudnç de Bse Ao plicr s proprieddes opertóris dos logritmos ficmos sujeitos um restrição: os logritmos devem ser de mesm bse. Ddo esse problem, presentmos então um processo no qul nos permite reduzir logritmos de bses diferentes pr bses iguis. Este processo é denomindo mudnç de bse. lοg log b = lοg c c b Como conseqüênci e com s condições de eistênci obedecids, temos: ) log B A = ) log kb = log A AB log B k A 4. Inequção Logrítmic > log > log > 0 < < log > log < Eercícios de Sl 0) Resolver s equções bio: ) log ( - ) = b) log 4 ( + - ) = log 4 (5 ) c) log ( + ) + log ( ) = 5 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Mtemátic A Tref Mínim 0) ( SUPRA ) Se log 5 = e log 5 = b então log 6 é: +b b +b ) b) + b c) d) e) b 0) ( ACAFE ) O vlor d epressão log. log 4 é: ) ½ b) c) 4 d) / e) 0) Resolver, em R s equções: ) log 5 ( 4) = b) log[( )] = log c) log 6log + 9 = 0 d) log(log( + )) = 0 e) log ( - 8) log ( + 6) = f) log 5 ( ) + log 5 ( ) = 04) ( UFSC ) A solução d equção: log ( + 4) + log ( ) = log 8, é: 05) Resolver, em reis, s seguintes inequções: ) log ( + ) > log 8 b) log / ( ) log / 4 Tref Complementr 06) ( UFSC ) Dd função y = f() = log, com > 0,, determine som dos números ssocidos às firmtivs verddeirs. 0. O domínio d função f é R. 0. A função f é crescente em seu domínio qundo (, + ) 04. Se = / então f() = 08. Se = e f() = 6 então = 7 6. O gráfico de f pss pelo ponto P(,0). 07) ( ACAFE ) Se log K = M, então log 9 K é: ) M b) M c) M + d) M e) M 08) ( UFSC ) Se log = e log y =, então, 5 log y é igul : 09) ( UFSC ) Determine som dos números ssocidos às proposições verddeirs: 0. O vlor do log 0,5 é igul 5. 0. Se, b e c são números reis positivos e = então b c log = log log b / log c. 04. Se, b e c são números reis positivos com e c log b c diferentes de um, então tem-se log b = log c Inclusão pr Vid 08. O vlor de que stisfz à equção 4 = 56 é = 6.,, 7 > 0) ( UFSC ) O vlor de comptível pr equção log( ) - log( ) = é: ) ( UFSC ) Assinle no crtão-respost som dos números ssocidos à(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. O conjunto solução d inequção log ( 9) log ( ) é S = (, 4] [, + ). 0. Pr todo rel diferente de zero vle ln < e. 04. A equção e = e não possui solução inteir. 08. Considere s funções f() = e g() = log. Pr >, temos f crescente e g decrescente e pr 0 < <, temos f decrescentes e g crescentes. 6. log 60 = log + log + log 5.. Se log N =,4 então log N = 6,84. ) Resolv equção lοg + lοg =. (divid o resultdo obtido por 4) 0 00 ) Assinle som dos números ssocidos às proposições VERDADEIRAS: 0. A riz d equção log(log( + )) = 0 é = 9 0. A som ds rízes d equção + log. log 4 (0 ) = log é 0 4 log 04. A mior riz d equção 9. = é 9 08. O vlor d epressão log. log 4 é / 6. Se log = n e log y = 6n, então lοg y igul 7n é. A solução d equção. = 6 pertence o intervlo [0, ] 4) ( UFPR ) Com bse n teori dos logritmos e eponenciis é correto firmr: 0. Se log (5 y) =, então y = - 4 0 0. Se = log e, então e + e - = 04. Se e b são números reis e 0 < < b <, então log 0 < log 0 b 08. Se z = 0 t, então z > 0 pr qulquer vlor rel de t 5) ( ITA - SP ) O conjunto dos números reis que verificm inequção log + log ( + ) log é ddo por: ) { R > } b) { R } c) { R 0 < / } d) { R / < < } e) n.d.. PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 4