Cálculo Diferencil e Integrl - Nots de Aul Márci Federson e Gbriel Plns de mrço de 03
Sumário Os Números Reis. Os Números Rcionis................................ Os Números Reis................................. 4.3 Módulo de um Número Rel............................ 7.4 *Limitção de Subconjuntos de R......................... Funções 7. Noções Geris................................... 7. Operções com Funções.............................. 0.3 Definições Adicionis.................................4 Funções Trigonométrics.............................. 5.5 Funções Exponenciis e Logrítmics....................... 9.6 *Seqüêncis.................................... 3.6. Limite de um Seqüênci......................... 33 3 Limite e Continuidde 39 3. Noção Intuitiv................................... 39 3. Definições..................................... 4 3.3 Proprieddes do Limite............................... 46 3.4 Limites Lteris.................................. 49 i
3.5 Proprieddes ds Funções Contínus....................... 5 3.6 Limites Infinitos.................................. 56 3.7 Limites no Infinito................................. 60 3.8 Limites Infinitos no Infinito............................ 64 3.9 O Número e.................................... 66 3.0 Outrs Proprieddes ds Funções Contínus................... 67 3. *Limite de Funções e Seqüêncis......................... 70 4 A Derivd 75 4. Motivção e Definição............................... 75 4. A Derivd Como um Função.......................... 8 4.3 Fórmuls e Regrs de Derivção.......................... 83 4.4 A Regr d Cdei................................. 85 4.5 Derivção Impĺıcit e Derivd d Função Invers................ 89 4.6 Derivds de Ordens Superiores.......................... 9 4.7 Txs Relcionds................................ 93 4.8 Aproximções Lineres e Diferencil........................ 95 5 Aplicções d Derivd 99 5. Máximos e Mínimos................................ 99 5. O Teorem do Vlor Médio e sus Conseqüêncis................. 0 5.3 Concvidde e Pontos de Inflexão......................... 06 5.4 Regrs de L Hospitl................................ 0 5.5 Polinômios de Tylor................................ 5 5.6 Assíntots..................................... 9 5.7 Esboço de Gráficos de Funções.......................... 5.8 Problems de Mínimos e Máximos......................... ii
6 A Integrl 7 6. A Integrl de Riemnn............................... 7 6. Proprieddes d Integrl.............................. 30 6.3 O Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo................... 3 6.4 Antiderivds ou Primitivs............................ 34 6.5 O Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo................... 36 6.6 O Logritmo Definido como um Integrl..................... 37 6.7 Mudnç de Vriável ou Regr d Substituição.................. 39 6.8 Integrção por Prtes............................... 4 7 Aplicções d Integrl 45 7. Deslocmento e Espço Percorrido........................ 45 7. Cálculo de Áres.................................. 47 7.3 Volume de Sólido de Revolução.......................... 5 7.3. Secções Trnsversis............................ 5 7.3. Cscs Ciĺındrics............................. 54 7.4 Comprimento de Arco............................... 55 7.5 Áre de Superfície de Revolução.......................... 56 7.6 Trblho...................................... 59 7.7 Centro de Mss.................................. 6 8 Técnics de Integrção 65 8. Integris Trigonométrics............................. 65 8. Substituição Invers................................ 68 8.3 Primitivs de Funções Rcionis.......................... 70 8.3. Denomindores Redutíveis do o Gru................... 7 8.3. Denomindores Redutíveis do 3 o Gru................... 73 iii
8.3.3 Denomindores Irredutíveis do o Gru.................. 74 8.4 A Substituição u = tg(x/)............................ 76 9 Integris Imprópris 79 9. Intervlos Infinitos................................. 79 9. Testes de Convergênci.............................. 8 9.3 Integrndos Descontínuos............................. 84 iv
Cpítulo Os Números Reis. Os Números Rcionis Indicmos por N, Z e Q os conjuntos dos números nturis, inteiros e rcionis respectivmente. Assim N = {0,,, 3,...}, Z = {. {.., 3,,, 0,,, 3,...}, } Q = b ;, b Z, b 0. A som e o produto em Q são ddos, respectivmente, por: b + c d b c d := d + bc bd := c bd. Chmmos dição operção que cd pr (x, y) Q Q ssoci su som x + y Q e chmmos multiplicção operção que cd pr (x, y) Q Q ssoci seu produto x y Q. A tern (Q, +, ), ou sej, Q munido ds operções + e stisfz s proprieddes de um corpo. Isto quer dizer que vlem s proprieddes seguintes: (A) (ssocitiv) (x + y) + z = x + (y + z), pr quisquer x, y, z Q ;
(A) (comuttiv) x + y = y + x, pr quisquer x, y Q ; (A3) (elemento neutro) existe 0 Q tl que x + 0 = x, pr todo x Q ; (A4) (oposto) pr todo x Q, existe y Q (y = x), tl que x + y = 0 ; (M) (ssocitiv) (xy)z = x(yz), pr quisquer x, y, z Q ; (M) (comuttiv) xy = yx, pr todo x, y Q ; (M3) (elemento neutro) existe Q, tl que x = x, pr todo x Q ; (M4) (elemento inverso) pr todo x Q, x 0, existe y Q, ( y = x), tl que x y = ; (D) (distributiv d multiplicção) x(y + z) = xy + xz, x, y, z Q. Apens com ests 9 proprieddes podemos provr tods s operções lgébrics com o corpo Q. Vmos enuncir lgums e demonstrr outrs seguir. Proposição. (Lei do Cncelmento). Em Q, vle x + z = y + z = x = y. Prov. x + z = y + z +( z) = (x + z) + ( z) = (y + z) + ( z) (A) = x + (z + ( z)) = y + (z + ( z)) (A4) = x + 0 = y + 0 (A3) = x = y. As seguintes proposições seguem d Lei do Cncelmento. Proposição.. O elementos neutros d dição e d multiplicção são únicos. Proposição.3. O elemento oposto e o elemento inverso são únicos. Proposição.4. Pr todo x Q, x 0 = 0. Proposição.5. Pr todo x Q, x = ( )x.
Definição.. Diremos que { b Q é não-negtivo, se b N positivo, se b N e 0 e diremos que b Q é não-positivo, se não for positivo b negtivo, se não for não-negtivo. b Definição.. Sejm x, y Q. Diremos que x é menor do que y e escrevemos x < y, se existir t Q positivo tl que y = x + t. Neste mesmo cso, poderemos dizer que y é mior do que x e escrevemos y > x. Em prticulr, teremos x > 0 se x for positivo e x < 0 se x for negtivo. Se x < y ou x = y, então escreveremos x y e lemos x é menor ou igul y. D mesm form, se y > x ou y = x, então escreveremos y x e, neste cso, lemos y é mior ou igul x. Escreveremos x 0 se x for não-negtivo e x 0 se x for não-positivo. A quádrupl ( Q, +,, ) stisfz s proprieddes de um corpo ordendo, ou sej, lém ds proprieddes nteriores, tmbém vlem s proprieddes seguintes: (O) (reflexiv) x x, pr todo x Q ; (O) (nti-simétric) x y e y x = x = y, pr quisquer x, y Q ; (O3) (trnsitiv) x y, y z = x z, pr quisquer x, y, z Q ; (O4) Pr quisquer x, y Q, x y ou y x ; (OA) x y = x + z y + z ; (OM) x y e z 0 = xz yz. Proposição.6. Pr quisquer x, y, z, w no corpo ordendo Q, vlem () x y z w } = x + z y + w. 3
(b) 0 x y 0 z w } = xz yw. Prov. Vmos provr o ítem (b). 0 x y 0 z w } (OM) = xz yz yz yw } (O3) = xz yw Outrs proprieddes: Sejm x, y, z, w Q. Então vlem x < y x + z < y + z; z > 0 z > 0; z > 0 z < 0; Se z > 0, então x < y xz < yz; Se z < 0, então x < y xz > yz; 0 x < y 0 z < w } = xz < yw; 0 < x < y 0 < y < x ; (tricotomi) x < y ou x = y ou x > y; (nulmento do produto) xy = 0 x = 0 ou y = 0.. Os Números Reis Os números rcionis podem ser representdos por pontos em um ret horizontl ordend, chmd ret rel. 4
3 0 4 3 5 3 4 5 Se P por representção de um número rcionl x, diremos que x é bsciss de P. Nem todo ponto d ret rel é rcionl. Considere um qudrdo de ldo e digonl d. Pelo Teorem de Pitágors, d = + =. Sej P intersecção do eixo x com circunferênci de rio d. d 0 P x Mostrremos que P é um ponto d ret com bsciss x Q. Proposição.7. Sej Z. Temos () Se for ímpr, então é ímpr; (b) Se for pr, então é pr. Prov. () Se for ímpr, então existe k Z tl que = k +. Dí segue que = (k + ) = 4k + 4k + = (k } {{ + k } ) + = l +, l onde l = k + k, e portnto tmbém será ímpr. (b) Suponh, por bsurdo, que não é pr. Logo é ímpr. Então, pel Proposição.7 (), tmbém é ímpr, o que contrdiz hipótese. Portnto é pr necessrimente. 5
Proposição.8. A equção x = não dmite solução em Q. Prov. Suponhmos, por bsurdo, que x = tem solução em Q. Então podemos tomr x = b com, b Z e b irredutível. Logo ( b ) =, ou sej, = b e portnto é pr. Segue d Proposição.7 (b) que tmbém é pr. Portnto existe k Z tl que = k. Ms = b = k } = b = 4k = b = k. Portnto b é pr e, pel Proposição.7 (b), b tmbém é pr. Ms isto implic que b é redutível (pois e b são divisíveis por ) o que é um contrdição. Portnto não existe ( b b Q tl que ) =. Denotmos o conjunto dos números reis por R. Temos R Q e todo número rel que não é rcionl é dito irrcionl. Em R, definimos um dição (+), um multiplicção ( ) e um relção de ordem ( ). Então quádrupl ( R, +,, ) stisfz s condições (A) (A4), (M) (M4), (D), (O) (O4), (OA) e (OM) como n seção nterior e portnto é um corpo ordendo. Pr resolver um equção em x é necessário encontrr o conjunto dos números reis x que stisfzem equção. Pr resolver um inequção em x é necessário encontrr o conjunto dos números reis x que stisfzem desiguldde. Exemplo.. A inequção x < 4 result em x < 6. Exemplo.. Resolv inequção 3(4 x). Multiplicndo mbos os ldos d desiguldde por, temos 4 x 4. Subtrindo 4 result 3 em x 8 e multiplicndo por obtemos x 8. Exemplo.3. Resolv inequção πx + 79 < 4x +. Vmos começr dicionndo o oposto de 79 + 4x dos dois ldos d inequção. Assim πx + 79 79 4x < 4x + 79 4x 6
ou sej πx 4x < 79 que tmbém pode ser escrit como (π 4)x < 78. Agor multiplicremos últim inequção pelo inverso de π 4, que é negtivo. Obtemos, então, ou sej Exemplo.4. Qul é o sinl de x + x x > 78 π 4 x > 78 4 π. em função de x? O numerdor é positivo qundo x >, negtivo qundo x < e zero qundo x =. O denomindor é positivo qundo x <, negtivo qundo x > e zero qundo x =. Portnto frção será positiv qundo < x <, negtiv qundo x < ou x > e zero qundo x =. Exercício: Resolv inequção x + x 4 < 0. [R : < x < 4]..3 Módulo de um Número Rel Definição.3. Sej x R. O módulo ou vlor bsoluto de x é ddo por { x = x, x 0 x, x < 0. Segue d definição cim que x 0 e x x x, pr todo x R. Exemplo.5. Mostre que x = x, ou sej, o qudrdo de um número rel não mud qundo se troc seu sinl. 7
Lembre que x signific riz qudrd positiv de x. Logo, segue do Exemplo.5 que x = x Exemplo.6. A equção x = r, com r 0, tem como soluções os elementos do conjunto {r, r}. O resultdo do Exemplo.6 pode ser generlizdo como no exemplo seguinte. Exemplo{.7. A equção x b = r, com r 0 e 0, tem como soluções os elementos do b + r conjunto, b r }. Exemplo.8. Resolv equção x + = 3. Temos x + = 3 ou x + = 3, o que nos lev à solução x = ou x =. Sejm P e Q dois pontos d ret rel de bscisss x e y respectivmente. Então distânci de P Q (ou de x y) é dd por x y. Assim x y é medid do segmento P Q. Em prticulr, como x = x 0, então x é distânci de x 0. O próximo exemplo diz que distânci de x 0 é menor do que r, com r > 0, se e somente se x estiver entre r e r. Exemplo.9. Sej com r > 0. Então x < r r < x < r. Suponhmos que x < r. Anlisndo o sinl de x, temos x 0 = r > x = x, x < 0 = r > x = x = r < x. Portnto r < x < r. Agor suponhmos que r < x < r. Então, x 0 = x = x < r, x < 0 = x = x < r. 8
Portnto, x < r. A seguinte figur ilustr o significdo geométrico do exemplo. ( r x < r 0 ) r x Agor, vmos generlizr o Exemplo.9. Exemplo.0. Resolv inequção x b < r n vriável x, com r > 0 e 0. De form similr o exemplo nterior, r < x b < r. Somndo b os termos d inequção obtemos b r < x < b + r. Logo, > 0 = b r < 0 = b + r < x < b + r ; < x < b r. Como cso prticulr do Exemplo.0, se distânci de x p for menor do que r, isto é, x p < r, r > 0, então x estrá entre p r e p + r. Geometricmente, ( p r x p < r p ) p + r x Exemplo.. Pr quisquer x, y R, vle xy = x y. Temos que xy = (xy) = x y = x y = ( x y ). Como xy 0 e x y 0 result xy = x y. 9
Exemplo. (Desiguldde tringulr). Pr quisquer x, y R, vle x + y x + y. Somndo x x x e y y y obtemos x y x + y x + y. Exemplo.3. Descrev o vlor de x + + x sem utilizr o módulo. { Se x, então x + = x + x = x e, portnto, x + + x = x + + x = x. { Se x <, então x + = x + x = x + e, portnto, x+ + x = x+ x+ =. { Se x <, então x + = x x = x + e, portnto, x+ + x = x x+ = x. x, x Logo x + + x =, x < x, x <. Definição.4. Um intervlo em R é um subconjunto de R que tem um ds seguintes forms: [, b] = { x R : x b } (, b) = { x R : < x < b } [, b) = { x R : x < b }, (, b] = { x R : < x b }, (, b] = { x R : x b } (, b) = { x R : x < b }, [, + ) = { x R : x }, (, + ) = { x R : < x }, (, + ) = R. Intervlo fechdo, Intervlo berto, Exemplo.4. { x R : x 3 < x + } = { x R : x < 4 } = (, 4). 0
.4 *Limitção de Subconjuntos de R Definição.5. Um conjunto A R será dito itdo, se existir L > 0 tl que x L, pr todo x A. Proposição.9. Um conjunto A R será itdo se, e somente se, existir L > 0 tl que A [ L, L]. Exemplo.5. () A = [0, ] é itdo (b) N não é itdo (será mostrdo mis trde) { } n (c) B = : n N é itdo n { } n (d) C = : n N é itdo. n Definição.6. Um conjunto A R será dito iitdo, se ele não for itdo. Proposição.0. Um conjunto A R será iitdo se, e somente se, pr todo L > 0, existir x A tl que x > L. Definição.7. Sej A R. Diremos que A será dito itdo superiormente, se existir L R tl que x L, pr todo x A. Neste cso, L será chmdo itnte superior ou cot superior de A. A será dito itdo inferiormente, se existir l tl que x l, pr todo x A. Neste cso, l será chmdo itnte inferior ou cot inferior de A. Segundo definição cim, podemos notr que A R será itdo se, e somente se, A for itdo superiormente e inferiormente. Exemplo.6. () Considere A = [0, ). Então e 0 são itntes inferiores de A;, π e 0 são itntes superiores de A.
(b) N não é itdo ms é itdo inferiormente por 0, pois 0 x, pr todo x N. (c) B = {x Q : x } não é itdo, ms é itdo superiormente por L, onde L. Definição.8. Sej A R itdo superiormente (respectivmente itdo inferiormente), A. Se L R for cot superior (resp. cot inferior) de A e pr tod cot superior (resp. cot inferior) L de A, tivermos L L (resp. L L ), então L será chmdo supremo (resp. ínfimo) de A. Neste cso, escreveremos L = sup A (resp. L = inf A ). Se L = sup A A, então L será máximo (resp. mínimo de A ). Neste cso, escreveremos L = mx A (resp. L = min A ). Proposição.. Sej A R itdo superiormente, A. Então L = sup A se, e somente se, vlerem s proprieddes seguintes () L é cot superior de A. (b) Pr todo ε > 0, existe A tl que > L ε. Anlogmente temos Proposição.. Sej A R itdo inferiormente, A. Então L = inf A se, e somente se, vlem s seguintes proprieddes () L é cot inferior de A. (b) Pr todo ε > 0, existe A tl que < L + ε. Exemplo.7. () Sej A = (0, ]. Então 0 = inf A e = mx A. (b) Sej B = N. Então 0 = min N.
(c) Sej C = {x Q : x }. Então = sup C e = inf C. Note que, / C. Axiom. (d Completez ou do Sup). Sej A R, A. Se A for itdo superiormente, então existirá L = sup A. Proposição.3. Se A R for itdo inferiormente (superiormente), então o conjunto A = { x : x A} será itdo superiormente (inferiormente) e inf A = sup( A) (resp. sup A = inf( A)). Corolário.. Sej A R, A. Se A for itdo inferiormente, então existirá L = inf A. Corolário.. Sej A R itdo, A. Então A dmite ínfimo e supremo. Teorem. (Propriedde Arquimedin de R). Sej x 0. Então o conjunto A = {nx : n N} é iitdo. Prov. Suponhmos, primeirmente, que x > 0 e suponhmos, por bsurdo, que A sej itdo. Então existirá L = sup A pois A (por que?). Logo, ddo m N, existirá x R tl que L x < mx (vej Proposição.). Portnto L < (m + )x o que contrdiz suposição. O cso x < 0 segue de modo nálogo. Corolário.3. O conjunto dos números nturis não é itdo superiormente. Corolário.4. Pr todo ε > 0, existe n N tl que Corolário.5. Se A = n < ε. { } n : n N, então inf A = 0. Definição.9. Um vizinhnç de R é qulquer intervlo berto d ret contendo. Exemplo.8. O conjunto V δ () := ( δ, + δ), onde δ > 0, é um vizinhnç de R. Definição.0. Sejm A R e b R. Se pr tod vizinhnç V δ (b) de b existir V δ (b) A, com b, então b será dito ponto de cumulção de A. 3
Exemplo.9. () Sej A = (, b). Então o conjunto dos pontos de cumulção de A é [, b]. (b) Sej B = Z. Então B não tem pontos de cumulção. (c) Qulquer subconjunto finito de R não dmite pontos de cumulção. Exercício: Mostre que se um conjunto A R tiver um ponto de cumulção, então A será um conjunto com infinitos elementos. Definição.. Sej B R. Um ponto b B será dito um ponto isoldo de B, se existir δ > 0 tl que V δ (b) não contém pontos de B distintos de b. Exemplo.0. () Sej B = {, /, /3,...}. Então o conjunto dos pontos de cumulção de B é {0} e o conjunto dos pontos isoldos de B é o próprio conjunto B. (b) O conjunto Z possui pens pontos isoldos. Observção: Podem hver conjuntos infinitos que não possuem pontos de cumulção (por exemplo Z). No entnto, todo conjunto infinito e itdo possui pelo menos um ponto de cumulção. Pel propriedde rquimedin de R, podemos provr proposição seguinte. Proposição.4. Qulquer intervlo berto não-vzio contém um número rcionl. Dí, segue que Corolário.6. Qulquer intervlo berto não-vzio contém um número infinito de números rcionis. Proposição.5. O conjunto dos pontos de cumulção de Q é R. Exercícios: () Mostre que se r for um número rcionl não nulo, então r será um número irrcionl. 4
(b) Mostre que todo intervlo berto contém um número irrcionl. (c) Mostre que todo intervlo berto contém um número infinito de números irrcionis. (d) Mostre que qulquer número rel é ponto de cumulção do conjunto dos números irrcionis. 5
Cpítulo Funções. Noções Geris O objeto fundmentl do cálculo são s funções. As funções surgem qundo um quntidde depende de outr. Por exemplo, áre A de um círculo depende de seu rio r. A lei que relcion r com A é dd por A = πr, neste cso dizemos que A é um função de r. Outros exemplos são, populção P de um determind espécie depende do tempo t, o custo C de envio de um pcote pelo correio depende de seu peso w. Definição.. Ddos dois conjuntos A, B, um função f de A em B (escrevemos f : A B ) é um lei ou regr que cd x A, ssoci um único elemento f(x) B. Temos A é chmdo domínio de f ; B é chmdo contr-domínio de f ; o conjunto Im(f) = {y B ; y = f(x), x A}. é chmdo imgem de f. Notções lterntivs. Sej f : A B um função. Podemos denotr D f = D(f) = A pr o domínio de f; f(d f ) := Im(f) pr imgem de f. 7
Tmbém podemos descrever ção de f ponto ponto como x A f(x) B. Convenção: Se o domínio de um função não é ddo explicitmente, então, por convenção, dotmos como domínio o conjunto de todos os números reis x pr os quis f(x) é um número rel. Definição.. Sejm f : A B um função e A, B R. O conjunto G(f) = G f = {(x, f(x)) : x A} é chmdo gráfico de f. Decorre d definição cim que G(f) é o lugr geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) R R, qundo x percorre o domínio D f. Observe que, por exemplo, um circunferênci não represent o gráfico de um função. Exemplo.. Sej f : R R. Temos () função constnte: f(x) = k; (b) função identidde: f(x) = x; (c) função liner: f(x) = x; (d) função fim: f(x) = x + b; (e) função polinomil: f(x) = 0 + x + x + + n x n = se n =, f(x) = x + bx + c é um função qudrátic, n i x i ; em prticulr, i=0 se n = 3, f(x) = x 3 + bx + cx + d é um função cúbic; (f) função potênci: f(x) = x, onde é um constnte; em prticulr, se = n, f(x) = x/n = n x, onde n é um inteiro positivo, é um função riz; temos que D f = [0, + ) se n é pr e D f = R se n é ímpr; 8
(g) função rcionl: f(x) = p(x) q(x) D f = {x R ; q(x) 0};, onde p(x) e q(x) são funções polinomiis. Note que (h) função lgébric: função construíd usndo operções lgébrics começndo com polinômios; por exemplo, f(x) = (x 4) x +, D f = R, g(x) = x 4 + 3 x +, Dg x (0, + ). = Definição.3. Sejm f : A B e D A. Denotmos por f D restrição de f o subconjunto D de A. Então f D (x) = f(x), pr todo x D. Observção: Sej D R. Denotremos por I D : D D função identidde definid por I D (x) = x pr todo x D. Exemplo.. Função definid por prtes: definid de form divers em diferentes prtes de seu domínio; por exemplo, { { x se x, x se x 0, () f(x) = (b) g(x) = x = x se x > ; x se x < 0. Exemplo.3. Esboce o gráfico de f(x) = x + 3. { x + se x, Primeiro einmos o módulo. Assim, f(x) = 4 x se x <. Exemplo.4. Um fbricnte de refrigernte quer produzir lts ciĺındrics pr seu produto. A lt dever ter um volume de 360 ml. Expresse áre superficil totl d lt em função do seu rio e dê o domínio d função. Sej r o rio d lt e h ltur. A áre superficil totl (topo, fundo e áre lterl) é dd por S = πr + πrh. Sbemos que o volume V = πr h deve ser de 360 ml, temos πr h = 360, ou sej h = 360/πr. Portnto, S(r) = πr + πr360/πr = πr + 70/r. Como r só pode ssumir vlores positivos, D S = (0, + ). Exemplo.5. Esboce os gráficos de f(x) = x e g(x) = x +. 9
Fórmuls de trnslção: f(x) + k trnsld o gráfico de f, k uniddes pr cim se k > 0 e k uniddes pr bixo se k < 0, f(x + k) trnsld o gráfico de f, k uniddes pr esquerd se k > 0 e k uniddes pr direit se k < 0. Exemplo.6. Esboce os gráficos de f(x) = (x ) e g(x) = (x + ). Exemplo.7. Esboce o gráficos de f(x) = x + 6x + 0. Completndo o qudrdo, escrevemos f(x) = (x + 3) +. Logo, o gráfico é prábol y = x deslocd 3 uniddes pr esquerd e então um unidde pr cim.. Operções com Funções Definição.4. Dds funções f : D f R e g : D g R e ddo x D f D g, podemos definir lgums operções com funções: som: (f + g)(x) = f(x) + g(x); produto: (fg)(x) = f(x)g(x); ( ) f quociente: (x) = f(x), se g(x) 0. g g(x) Exemplo.8. Se f(x) = 7 x e g(x) = x, então D f D f D g = [, 7]. Temos que, = (, 7], D g = [, + ) e () (f + g)(x) = 7 x + x x 7, (b) (fg)(x) = 7 x x = (7 x)(x ) x 7, ( f ) 7 x 7 x (c) (x) = = < x 7. g x x 0
Definição.5. Dds funções f : D f R e g : D g R, com Imf D g, definimos função compost h : D f R por h(x) = g(f(x)), pr todo x D f. Neste cso, escrevemos h = g f. Exemplo.9. Se f(x) = x + e g(x) = x + 3x, então () g f(x) = g(x + ) = (x + ) + 3(x + ) = 4x + 0x + 4, (b) f g(x) = f(x + 3x) = (x + 3x) + = x + 6x +. Observção: Em gerl, f g g f. Exemplo.0. Encontre f g h se f(x) = x x +, g(x) = x0 e h(x) = x + 3. f g h(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3) 0 ) = (x + 3)0 (x + 3) 0 +. Exercício: Se f(x) = x e g(x) = x, encontre e determine o domínio ds funções: () f g(x) = 4 x, D f g = (, ] (b) g f(x) = (c) f f(x) = 4 x, D f f = [0, + ) (d) g g(x) = x, D g f = [0, 4] x, D g g = [, ]..3 Definições Adicionis No que segue, considerremos f : D f R um função. Definição.6. Diremos que f é pr se, e somente se, f( x) = f(x), pr todo x D f ; f é ímpr se, e somente se, f( x) = f(x), pr todo x D f.
Observção: O significdo geométrico de um função pr é que seu gráfico é simétrico em relção o eixo y e de um função ímpr é que seu gráfico é simétrico em relção à origem. Exemplo.. f(x) = x é pr; função identidde I(x) = x é ímpr; f(x) = x x não é nem pr nem ímpr. Exercício: Determine se função é pr, ímpr ou nenhum desses dois. () f(x) = x 5 + x, (b) f(x) = x 4, (c) f(x) = 3x + x +. Definição.7. Sej ω 0. Então f será dit periódic de período ω ou ω-periódic se, e somente se, tivermos f(x) = f(x + ω), pr todo x D f. Em prticulr, se existir um menor ω 0 positivo tl que f sej ω 0 -periódic, então diremos que ω 0 será o período mínimo de f. Proposição.. Sejm c 0 ω. Se f : R R for ω-periódic, então serão válids s firmções: () f é nω-periódic pr todo inteiro não nulo n. (b) g : R R definid por g(x) = f(cx) é ω/c-periódic. Exemplo.. () f(x) = x [x], onde [x] = mx{n Z : n x} é função mior inteiro, é -periódic e o período mínimo de f é. Note que [x + ] = [x] +. {, se x Q (b) f(x) = é r-periódic pr cd r Q\{0}. Então f não tem período 0, se x R\Q mínimo. Definição.8. Diremos que f : D f B f é sobrejetor se, e somente se, Im(f) = B. f é injetor se, e somente se, f(x ) = f(x ) = x = x, pr quisquer x, x D f.
f é bijetor se, e somente se, f for injetor e sobrejetor. Observção: Note que f será injetor se, e somente se, x x = f(x ) f(x ), pr quisquer x, x D f. Exemplo.3. A função módulo f(x) = x não é injetor pois, por exemplo, = e. f não é sobrejetor pois Im(f) = R + R. Agor, considerndo f R + : R + R + função será bijetor. Observção: Se tommos B = Im(f) então f sempre será sobrejetor. Definição.9. Um função f : A B será dit invertível, se existir g : B A (denotd por f ) tl que g f = I A e f g = I B. Proposição.. Um função f : A B será invertível se, e somente se, f for bijetor. Neste cso, função invers está definid por f (y) = x f(x) = y, y B. Exemplo.4. A função f(x) = x 3 é injetor e su invers é f (x) = x /3. Observção: f (x) não signific Pr chr função invers:. Escrev y = f(x). f(x) = [f(x)].. Resolv ess equção pr x em termos de y. 3. Troque x por y pr expressr f como função de x. Exemplo.5. Clcule f pr função f(x) = + 3x,. Escrevemos y = +3x. Resolvemos pr x, ou sej, x = y. E substituindo y por x, obtemos 3 f (x) = x. 3 3
Exercício: Determine função invers de: () f(x) = x ; (b) f(x) = x 3 +. Observção: Note que G(f ) = { (y, f (y)) : y B } = {(f(x), x) : x A}. Com isto, fic fácil verificr que G(f ) é reflexão de G(f) em torno d ret y = x. Exercício: Esboce os gráficos de f(x) = x e de su função invers. Definição.0. Diremos que f é itd se, e somente se, o conjunto Im(f) for itdo. Cso contrário, função f será dit iitd. Se A A, então f será itd em A se, e somente se, restrição f A for itd. Observção: Segue d Definição.0 que se existir L > 0 tl que f(x) L, pr todo x D f, ou, equivlentemente, se existirem L, l R tis que l f(x) L, pr todo x D f, então f será itd. Exemplo.6. () f(x) = x x é itd; (b) f(x) = x4 x 4 + é itd; (c) f(x) = x é iitd. 4
Definição.. Definimos sup(f) = sup{f(x) : x D f }. inf(f) = inf{f(x) : x D f }. Se sup(f) = f(x 0 ) pr lgum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o máximo de f ou o vlor máximo de f. O ponto x 0 será chmdo ponto de máximo de f. Se inf(f) = f(x 0 ) pr lgum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o mínimo de f ou o vlor mínimo de f. O ponto x 0 será chmdo ponto de mínimo de f. Definição.. Definimos Se vler implicção x < y = f(x) < f(y), então f será estritmente crescente. Se vler implicção x < y = f(x) f(y), então f será crescente. Se vler implicção x < y = f(x) > f(y), então f será estritmente decrescente. Se vler implicção x < y = f(x) f(y), então f será decrescente. Definição.3. Se f : A B stisfizer um ds condições d Definição., diremos que f é um função monóton ou monotônic. Exemplo.7. f(x) = x é estritmente crescente pr x > 0 e estritmente decrescente pr x < 0. Exemplo.8. f(x) = x + x é estritmente decrescente. Observe que se x < y então f(x) = + x > + y = f(y)..4 Funções Trigonométrics Sbemos que em um triângulo retângulo de hipotenus e ângulos gudos B e Ĉ opostos, respectivmente, os ctetos b e c, temos 5
Ĉ B c b cos B = c, cos Ĉ = b, sen B = b, sen Ĉ = c. Ests relções definem o seno e cosseno de um ângulo gudo, pois todo ângulo gudo é um dos ângulos de um triângulo retângulo. Note que sen B e cos B dependem pens do ângulo B e não do tmnho do triângulo. Segue do Teorem de Pitágors que = b + c = sen B + cos B = (sen B + cos B). Logo = sen B + cos B. (.) É clro que o seno e o cosseno de um ângulo gudo são números compreendidos entre 0 e. A relção (.) sugere que pr todo ângulo α, os números cos α e sen α são s coordends de um ponto d circunferênci de rio e centro n origem de R. Usremos isto pr estender s funções cosseno e seno pr ângulos for do intervlo (0, π/). Observção: Sempre que flrmos ds funções seno e cosseno os ângulos serão sempre medidos em rdinos. Temos que πrd = 80 o. Se considerrmos circunferênci unitári centrd n origem do R e mrcrmos, prtir do eixo x, um ângulo t, então poderemos definir sen t e cos t de form que s coordends do ponto P sejm (cos t, sen t). P = (cos t, sen t) Q = (cos α, sen α) t α Assim, sen t e cos t coincidem com definição originl se 0 < t < π/ e podem ser estendids pr qulquer t R, se mrcrmos ângulos positivos no sentido nti-horário e ângulos negtivos 6
no sentido horário. Proposição.3 (Proprieddes). () O seno é positivo no primeiro e segundo qudrntes e negtivo no terceiro e qurto qudrntes. (b) O cosseno é positivo no primeiro e qurto qudrntes e negtivo no segundo e terceiro qudrntes. (c) O seno e cosseno são funções π-periódics com imgem no intervlo [, ]. (d) O cosseno é um função pr e o seno é um função ímpr. ( π ) ( π ) (e) sen t = cos t e cos t = sen t. ( π ) (f) sen t = cos + t ( π ) e cos t = sen + t. (g) sen t = sen(π t) e cos t = cos(π t). (h) sen t = sen(π + t) e cos t = cos(π + t). ( π ) ( π ) (i) sen(0) = cos = 0 e cos(0) = sen =. Proposição.4 (Fórmuls de Adição). () cos(α + β) = cos(α) cos(β) sen(α)sen(β). (b) sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α). Trocndo β por β e utilizndo pridde ds funções temos (c) cos(α β) = cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β). (d) sen(α β) = sen(α) cos(β) sen(β) cos(α). A prtir ds fórmuls de dição deduzimos Proposição.5 (Arco Duplo). () cos(α) = cos (α) sen (α). 7
(b) sen(α) = sen(α) cos(α). A prtir ds fórmuls do rco duplo e d identidde cos α + sen α = deduzimos Proposição.6 (Arco Metde). + cos(α) () cos(α) = ±. cos(α) (b) sen(α) = ±. A prtir ds fórmuls de dição obtemos Proposição.7 (Trnsformção de Produto em Som). () cos(α) cos(β) = cos(α + β) + cos(α β), [somndo () e (c) d Proposição.4]. (b) sen(α)sen(β) = cos(α + β) cos(α β), [subtrindo () e (c) d Proposição.4]. (c) sen(α) cos(β) = sen(α + β) sen(α β) [subtrindo (b) e (d) d Proposição.4]. Proposição.8 (Trnsformção de Som em Produto). ( α + β () sen (α) + sen (β) = sen ( α + β (b) cos(α) + cos(β) = cos ) cos ) cos ( α β ( α β ). ). Prov. () Escrev α = α + β.4. + α β e β = α + β α β e utilize (b) e (d) d Proposição (b) Escrev α e β como n prte () e utilize () e (c) d Proposição.4. De mneir nálog temos Proposição.9 (Trnsformção de Subtrção em Produto). ( α β ) () sen (α) sen (β) = sen cos ( α + β ). 8
( α + β ) (b) cos(α) cos(β) = sen sen Definição.4. Definimos ( α β tg(α) = sen(α), D(tg) = {α : cos α 0} cos(α) cotg(α) = cos(α), D(cotg) = {α : senα 0} sen(α) cosec(α) =, D(cosec) = {α : senα 0} sen(α) sec(α) =, D(sec) = {α : cos α 0} cos(α) ). Exercício: Dê um significdo geométrico pr tg(α), cotg(α), sec(α) e cosec(α). Exercício: Esboce os gráficos ds funções tg, cotg, sec e cosec. Exercício: Clssifique s funções trigonométrics em pr, ímpr, periódic, itd..5 Funções Exponenciis e Logrítmics Definição.5. Sej > 0,. A função f(x) = x é chmd função exponencil de bse. Vejmos o que isso signific. Se x = n, um inteiro positivo, então n = } {{ }. n vezes Se x = 0, então 0 =. Se x = n, onde n é um inteiro positivo, então n = n. Se x = p q, onde p e q são inteiros e q > 0, então p/q = q p = ( q ) p. 9
Se x for um número irrcionl. Considere o cso >, então x é o único número rel cujs proximções por flt são s potêncis r, com r rcionl menor do que x e cujs proximções por excesso são s potêncis s, com s rcionl mior do que x. Em outrs plvrs, x stisfz seguinte propriedde: r < x < s, com r, s Q = r < x < s. Se <, x stisfz: r < x < s, com r, s Q = s < x < r. Dest form, se olhmos o gráfico d função x onde x rcionl, os burcos correspondentes os vlores irrcionis de x, form preenchidos de form obter um função crescente pr todos os números reis. Proposição.0 (Proprieddes). Sejm e b números positivos e x e y números reis quisquer, então () x+y = x y, (b) ( x ) y = xy, (c) (b) x = x b x, (d) Se > função exponencil é estritmente crescente, ou sej, se x < y então x < y. (e) Se 0 < < função exponencil é estritmente decrescente, ou sej, se x < y então x > y. ( ) x. Exercício: Esboce o gráfico d funções exponenciis f(x) = x e f(x) = Como função exponencil é ou crescente ou decrescente, existe função invers. Definição.6. A função invers d função exponencil é chmd função logrítmic com bse e denotd por log. Assim, log x = y y = x. 30
Observção: Note que log x está definido pr x > 0, > 0 e. Além disso stisfz log ( x ) = x, x R e log x = x, x > 0. Proposição. (Proprieddes). Sejm > 0,, b > 0, b. Então são válids s seguintes proprieddes () log xy = log x + log y, (b) log x y = y log x, (c) log x y = log x log y, (d) Se > função logrítmic é estritmente crescente, ou sej, se x < y, então log x < log y, (e) Se 0 < < função logrítmic é estritmente decrescente, ou sej, se x < y, então log x > log y, (f) (Mudnç de bse) log x = log b x log b. Exercício: Esboce o gráfico d funções logrítmics f(x) = log x e f(x) = log x. A função exponencil de bse e onde e, 788, f(x) = e x, desempenh um ppel importnte no cálculo. Definição.7. A função logrítmic com bse e é chmd logritmo nturl e denotd por log e x = ln x. Observe que como ln(e x ) = x, tomndo x = temos que ln e =. Há vris forms de introduzir o número e. No cpítulo seguinte o definiremos como um ite. Mis dinte vmos definir o logritmo nturl utilizndo integris, nesse cso, o número e será o único número stisfzendo ln e =..6 *Seqüêncis Nest seção, considerremos um cso prticulr de funções que são s seqüêncis. 3
Definição.8. Um seqüênci é um função definid no conjunto dos números nturis e com vlores reis, ou sej, f : N R. Note que cd número nturl é levdo em um único número rel N f R f() f() 3 f(3).. Se denotmos f(n) por x n, então seqüênci f estrá unicmente determind pel list de números {x, x, x 3,...} ou, brevidmente, por {x n }. Dest form, dotremos notção {x n } ou {x, x, x 3,...} pr representr um seqüênci. O número x n é chmdo elemento de um seqüênci e o conjunto imgem de f, Im(f), é chmdo conjunto dos vlores de um seqüênci. Como um seqüênci é um função prticulr, então estão definids s operções de som, multiplicção por esclr, produto e quociente de seqüêncis. Exercício: Escrev s definições de som, multiplicção por esclr, produto e quociente de seqüêncis. Exemplo.9. Temos () f : N R dd por f(n) = n ou {n} ou {0,,, 3,...} é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é N. (b) f : N R dd por f(n) = { } n + ou ou {, n +, 3, 4 },... é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {,, 3, 4 },.... (c) f : N R dd por f(n) = ( ) n ou {( ) n } ou {,,,,...} é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {, }. (d) f : N R dd por f(n) = n { } n n + ou ou {0, n +, 3, 34 },... é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {0,, 3, 34 },.... 3
(e) f : N R dd por f(n) = r n ou {r n } ou {, r, r, r 3,...} é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {, r, r, r 3,...} ( progressão geométric)..6. Limite de um Seqüênci Note que seqüênci {0,, 3, 34,... } tem propriedde de que qunto mior for vriável n, mis próximo { o vlor } d seqüênci em n n n,, fic de. Neste cso, diremos que o ite d seqüênci é e seqüênci n + n + é dit convergente com ite. É preciso dr um definição mis precis d noção de ite de um seqüênci. Definição.9. Um seqüênci {x n } será dit convergente com ite l se, ddo ε > 0, existir um nturl N = N(ε) tl que x n l < ε, n N. Neste cso, escreveremos x n = l n e leremos o ite de x n qundo n tende pr infinito é l. { } Exemplo.0. Mostre que seqüênci é convergente com ite 0. n Ddo ε > 0, pegue um nturl N que sej mior do que /ε. Todo elemento d seqüenci, prtir do N-ésimo, terá distânci menor que ε de 0. E, como isto pode ser feito pr qulquer ε positivo, seqüenci converge pr zero. Exemplo { }.. Mostre que, pr quisquer constntes k e k positivs, seqüenci n + k é convergente com ite. n + k Pr encontrrmos N, tentremos resolver inequção ε < n + k n + k < + ε 33
que diz que o n-ésimo elemento está próximo de por um distânci menor do que ε. Temos ( ε)(n + k ) < n + k < ( + ε)(n + k ) n( ε) + k ( ε) < n + k < n( + ε) + k ( + ε) isto é, n( ε) + k ( ε) < k < nε + k ( + ε). (.) Desenvolvendo prte esquerd de (.), obtemos n( ε) < k k ( ε), ou sej, Desenvolvendo prte direit de (.), obtemos n > k k ( ε). (.3) ε nε > k k ( + ε) e, portnto, n > k k ( + ε). (.4) ε Estes resultdos ((.3) e (.4)) indicm que podemos stisfzer definição de convergênci k k ( ε) k k ( + ε) pegndo um N nturl que sej mior que mbos e. ε ε Exercício: Sej {x n } um seqüênci convergente com ite l. Mostre que seqüênci {cos x n } será convergente com ite cos l. O próximo resultdo diz que, se um seqüênci for convergente, então o ite será único. Proposição.. Sej {x n } um seqüênci convergente. Se então l = l. Exercício: Mostre que seqüênci x n = l e x n = l, n n { n sen } é convergente com ite. n 34
Definição.0. Um seqüênci será dit divergente, se el não for convergente. Definição.. Se h : N R for um função estritmente crescente e f : N R for um seqüênci, então função f h : N R será dit um subseqüênci de f. Exemplo.. () Sejm h(n) = n e {x n } um seqüênci. Então {x n } é um subseqüênci de {x n } chmd subseqüênci dos pres. (b) Sej h(n) = n + e {x n } um seqüênci. Então {x n+ } é um subseqüênci de {x n } chmd subseqüênci dos ímpres. (c) Sej h(n) = n + p, p N, e {x n } um seqüênci. Então {x n+p } é um subseqüênci de {x n }. (d) A subseqüênci dos pres (ímpres) d seqüênci {( ) n } é seqüênci constnte {} (resp. { }). Proposição.3. Se {x n } for um seqüênci convergente com ite l, então tod subseqüênci de {x n } será convergente com ite l. A Proposição.3 é importnte pois implic no seguinte critério negtivo de convergênci que é bstnte utilizdo. Proposição.4. Se um seqüênci possuir dus subseqüêncis convergentes com ites distintos, então seqüênci será divergente. Exemplo.3. A seqüênci {( ) n } é divergente. Definição.. Um seqüênci será dit itd se o seu conjunto de vlores for itdo. Cso contrário, seqüênci será dit iitd. Observção: Note que Definição. é coerente com definição de função itd dd nteriormente (Definição.0). Exemplo.4. () A seqüênci { } n é itd. n + 35
(b) A seqüênci {( ) n } é itd. { (c) A seqüênci cos } é itd. n (d) A seqüênci {n} é iitd. Proposição.5. Tod seqüênci convergente é itd. Observção: Note que, pesr de tod seqüênci convergente ser itd, nem tod seqüênci itd é convergente (por exemplo, {( ) n } é itd, ms não é convergente). Proposição.6. Sej {x n } um seqüênci. Então {x n } será convergente com ite 0 se, e somente se, { x n } for convergente com ite 0. Observção: Mostrremos mis trde que se {x n } é convergente com ite l então { x n } é convergente com ite l ms não é verdde que se { x n } é convergente então {x n } é convergente (bst ver o que ocorre com seqüênci {( )} n ). Exemplo.5. Considere seqüênci {r n }. Temos () {r n } é convergente com ite 0, se r < ; (b) {r n } é convergente com ite, se r = ; (c) {r n } é divergente, se r = ou r >. Sugestão: Mostre que se r >, então { r n } será iitd. Proposição.7. Se {x n } for convergente com ite 0 e {y n } for itd, então {x n y n } será convergente com ite 0. Exemplo.6. A seqüênci { } n cos n é convergente com ite 0. Proposição.8. Tod seqüênci {x n } crescente (respectivmente decrescente) e itd é convergente com ite sup{x n : n N} (resp. inf{x n : n N}). Exercício: Mostre que seqüênci {x n } dd por x =, x n = + x n, n, é convergente e encontre o seu ite. Proposição.9 (Proprieddes). Sejm {x n } e {y n } seqüêncis convergentes com ites l e l respectivmente e sej c R. Então 36
() {cx n + y n } é convergente com ite cl + l (b) {x n y n } é convergente com ite l l (c) {x n /y n } é convergente com ite l /l, sempre que l 0. Proposição.0. Sejm B R e b R um ponto de cumulção de B. Então existe um seqüênci {b n } com b n B, b n b e n b n = b. Proposição.. Se {x n } for um seqüênci convergente e x n 0, pr todo n N, então x n 0. n Prov. Suponh que n x n = l. Então ddo ε > 0, existe N N tl que l ε < x n < l + ε, n N. Ms x n 0 por hipótese. Portnto l ε < x n 0, n N, ou sej, l < ε. Segue d rbitrriedde de ε que l 0 e prov está concluíd. Corolário. (Teste d comprção). Se {x n } e {y n } forem seqüêncis convergentes e x n y n pr todo n N, então x n y n. n n Proposição. (Teorem do Confronto). Sejm {x n } e {y n } dus seqüêncis convergentes com mesmo ite l. Se {z n } é um seqüênci tl que x n z n y n, n N, então {z n } é convergente com ite l. Prov. Ddo ε > 0, sej N N tl que l ε x n z n y n l + ε, n N. Então vle z n l < ε pr todo n N e, portnto, n z n = l. Isto conclui prov. 37
Vmos considerr três tipos de s seqüêncis divergentes: quels que divergem pr +, quels que divergem pr, quels que são itds ms não são convergentes. Vejmos. Definição.3. Diremos que um seqüênci {x n } diverge pr + se, ddo R > 0, existir N N tl que x n > R, pr todo n N. Neste cso, escrevemos n x n = +. Diremos que um seqüênci {x n } diverge pr se, ddo R > 0 existir N N tl que x n < R, pr todo n N. Neste cso, escrevemos n x n =. Diremos que um seqüênci {x n } oscil, se el não for convergente e não divergir pr + ou pr. Exemplo.7. () { n } diverge pr +, ou sej, n n = +. (b) { n} diverge pr, ou sej, n n = (c) { + sen n} e {( ) n } oscilm. 38
Cpítulo 3 Limite e Continuidde 3. Noção Intuitiv Vmos estudr o comportmento de um função f(x) pr vlores de x próximos de um ponto p. Consideremos, por exemplo, função f(x) = x +. Pr vlores de x próximos de, f(x) ssume os seguintes vlores: x x + x x +, 5, 5 0, 5, 5,, 0, 9, 9, 0, 0 0, 99, 99, 00, 00 0, 999, 999 39
f(x) tende f(x) = x + qundo x tende x D tbel vemos que qundo x estiver próximo de (de qulquer ldo de ) f(x) estrá próximo de. De fto, podemos tomr os vlores de f(x) tão próximos de qunto quisermos tomndo x suficientemente próximo de. Expressmos isso dizendo que o ite d função f(x) = x + qundo x tende é igul. Definição 3. (Intuitiv). Escrevemos f(x) = L x p e dizemos o ite de f(x), qundo x tende p, é igul L se pudermos tomr vlores de f(x) rbitrrimente próximos de L tomndo x suficientemente próximo de p, ms não igul p. Observção: Ao procurr o ite qundo x tende p não considermos x = p. Estmos interessdos no que contece próximo de p e função f(x) nem precis estr definid pr x = p. Consideremos o seguinte exemplo. Exemplo 3.. Encontre x x x. Observe que f(x) = x x não está definid qundo x =. Temos que pr x, x x = (x )(x + ) x 40 = x +.
Como os vlores ds dus funções são iguis pr x, então os seus ites qundo x tende tmbém. Portnto, x x x =. x se x Exemplo 3.. Sej f(x) = x Determine o ite qundo x tende. 0 se x =. Observe que pr x função f(x) é igul à função do exemplo nterior, logo x f(x) =, o qul não é o vlor d função pr x =. Ou sej, o gráfico dest função present um quebr em x =, neste cso dizemos que função não é contínu. Definição 3.. Um função f é contínu em p se f(p) está definid, x p f(x) existe, x p f(x) = f(p). Se f não for contínu em p, dizemos que f é descontínu em p. Exemplo 3.3. () A função f(x) = x + é contínu em x =. (b) A função f(x) = x não é contínu em x = pois não está definid nesse ponto. x x se x (c) A função f(x) = x não é contínu em x = pois f(x) = x 0 se x = 0 = f(). 3. Definições Nest seção vmos dr definição precis de ite. Consideremos seguinte função f(x) = { x se x 3 6 se x = 3. 4
Intuitivmente vemos que x 3 f(x) = 5. Quão próximo de 3 deverá estr x pr que f(x) difir de 5 por menos do que 0,? A distânci de x 3 é x 3 e distânci de f(x) 5 é f(x) 5, logo nosso problem é chr um número δ tl que se x 3 < δ, ms x 3 = f(x) 5 < 0,. Se x 3 > 0 então x 3. Logo um formulção equivlente é chr um número δ tl que Note que se 0 < x 3 < 0,, então se 0 < x 3 < δ = f(x) 5 < 0,. f(x) 5 = (x ) 5 = x 6 = x 3 < 0,. Assim respost será δ = 0, = 0, 05. Se mudrmos o número 0, no problem pr um número menor 0,0, então o vlor de δ 0, 0 mudrá pr δ =. Em gerl, se usrmos um vlor positivo rbitrário ε, então o problem será chr um δ tl que se 0 < x 3 < δ = f(x) 5 < ε. E podemos ver que, neste cso, δ pode ser escolhido como sendo ε. Est é um mneir de dizer que f(x) está próximo de 5 qundo x está próximo de 3. Tmbém podemos escrever 5 ε < f(x) < 5 + ε sempre que 3 δ < x < 3 + δ, x 3, ou sej, tomndo os vlores de x 3 no intervlo (3 δ, 3 + δ), podemos obter os vlores de f(x) dentro do intervlo (5 ε, 5 + ε). 4
f(x) está qui 5 + ε 5 ε 5 { f(x) = 3 x 3 δ 3 + δ }{{} qundo x está qui x se x 3 6 se x = 3. Definição 3.3 (Limite). Sej f um função definid sobre lgum intervlo berto que contém o número p, exceto possivelmente o próprio p. Então dizemos que o ite de f(x) qundo x tende p é L e escrevemos se pr todo ε > 0 existe um δ > 0 tl que f(x) = L x p 0 < x p < δ = f(x) L < ε. Interpretção geométric do ite. L + ε L L ε f f(p) L + ε L L ε f p δ p p + δ x p δ p p + δ x f(x) = L x p f(x) = L f(p) x p 43
L + ε L = f(p) L ε f f(p) f p δ p p + δ x p x f(x) = L = f(p) x p Não existe o ite de f em p Exemplo 3.4. Prove que x (3x ) = 4. Devemos fzer um nálise preinr pr conjeturr o vlor de δ. Ddo ε > 0, o problem é determinr δ tl que se 0 < x < δ = (3x ) 4 < ε. Ms (3x ) 4 = 3x 6 = 3(x ) = 3 x. Portnto, queremos 3 x < ε sempre que 0 < x < δ ou x < ε 3 sempre que 0 < x < δ. Isto sugere que podemos escolher δ = ε 3. então Provemos que escolh de δ funcion. Ddo ε > 0, escolh δ = ε. Se 0 < x < δ, 3 (3x ) 4 = 3x 6 = 3(x ) = 3 x < 3δ = 3 ε 3 = ε. Assim, (3x ) 4 < ε sempre que 0 < x < δ logo, pel definição, x (3x ) = 4. Exemplo 3.5. Prove que x p x = p. 44
O próximo Teorem grnte que o vlor L stisfzendo definição é único. Teorem 3. (Unicidde do Limite). Sej f um função definid sobre lgum intervlo berto que contém o número p, exceto possivelmente o próprio p. Suponh que Então L = L. f(x) = L e f(x) = L. x p x p Podemos dr definição precis de função contínu. Definição 3.4 (Continuidde). Sejm f um função e p D f. Então f é contínu em p se pr todo ε > 0 existe um número δ > 0, tl que x p < δ = f(x) f(p) < ε, ou sej, se e somente se, f(x) = f(p), x p Diremos que f é contínu em A D f, se f for contínu em todo ponto A. Diremos simplesmente que f é contínu, se f for contínu em todo ponto de seu domínio. Exemplo 3.6. () A função f(x) = 3x é contínu em p =. (b) A função constnte f(x) = k é contínu pr todo p. (c) A função f(x) = x + b é contínu. A seguinte propriedde será útil pr determinr ites. Proposição 3.. Sejm f e g dus funções. Se existe r > 0 tl que f(x) = g(x), p r < x < p + r, x p, e se existe x p g(x) = L, então existe f(x) e f(x) = L. x p x p 45
Exemplo 3.7. Clcule x x 4 x. Observe que pr x x 4 x = (x )(x + ) x = x +. Sbemos que x x + = 4. Logo, pel proposição nterior x x 4 x = 4. Exemplo 3.8. Determine L pr que função f(x) = p =. Como x x 4 x = 4 devemos tomr L = 4. x 4 x, x L, x = sej contínu em 3.3 Proprieddes do Limite Suponh que x p f(x) = L e x p g(x) = L. Então: x p ( f(x) + g(x) ) = x p f(x) + x p g(x) = L + L. x p k f(x) = k x p f(x) = k L, onde k = constnte. x p f(x) g(x) = x p f(x) x p g(x) = L L. f(x) f(x) x p g(x) = x p g(x) = L, se L 0. L x p Utilizndo propriedde do produto repetidmente obtemos: [ ] n x p [f(x)]n = f(x) = L n, x p Pr plicr esss proprieddes vmos usr os ites: onde n é um inteiro positivo. x = p e k = k, k constnte. x p x p 46
Exemplo 3.9. x p x n = p n, onde n é um inteiro positivo. Exemplo 3.0. Clcule x (5x 3 8), [R : 3]. x 3 + Exemplo 3.. Clcule, [R : /4]. x x + 4x + 3 (3 + h) 9 Exemplo 3.. Clcule, [R : 6]. h 0 h De form mis gerl temos s seguintes proprieddes. Sej n é um inteiro positivo, então n x = n p, se n for pr supomos que p > 0. x p n f(x) = n f(x), se n for pr supomos que f(x) > 0. x p x p x p x 3 Exemplo 3.3. Clcule x 3 x 3, [R : / 3]. t + 9 3 Exemplo 3.4. Clcule, [R : /6]. t 0 t Os próximos três teorems são proprieddes dicionis de ites. Teorem 3. (Teste d Comprção). Se f(x) g(x) qundo x está próximo de p (exceto possivelmente em p) e os ites de f e g existem qundo x tende p, então f(x) g(x). x p x p Teorem 3.3 (do Confronto). Sejm f, g, h funções e suponh que existe r > 0 tl que f(x) g(x) h(x), pr 0 < x p < r. Se então f(x) = L = h(x) x p x p g(x) = L. x p Exemplo 3.5. Mostre que x 0 x sen x = 0. 47
Como sen x, multiplicndo por x temos x x sen x x. Sbemos que x 0 x = 0 = x. Então, pelo Teorem do Confronto, x sen x 0 x 0 x = 0. Exemplo 3.6. Sej f : R R tl que f(x) x, x R. () Clcule, cso exist, x 0 f(x). (b) Verifique se f é contínu em 0. Segue do Teorem do Confronto seguinte propriedde: Corolário 3.. Suponh que x p f(x) = 0 e existe M R tl que g(x) M pr x próximo de p. Então f(x)g(x) = 0. x p Exercício: Prove que x p f(x) = 0 x p f(x) = 0. Exemplo 3.7. Clcule x 0 x g(x), onde g : R R é dd por g(x) = {, x Q 0, x Q. Exercício: Clcule () x 0 x sen x ; (b) x 0 x cos x. Teorem 3.4 (d Conservção do Sinl). Suponh que x p f(x) = L. Se L > 0, então existe δ > 0 tl que pr todo x D f, 0 < x p < δ = f(x) > 0. Anlogmente, se L < 0, então existe δ > 0 tl que pt todo x D f, 0 < x p < δ = f(x) < 0. Prov. Tomr ɛ = L n definição de ite. 48
3.4 Limites Lteris Considere seguinte função f(x) = {, x < 0, x 0. f(x) 0 x Qundo x tende 0 pel esquerd, f(x) tende. Qunto x tende 0 pel direit, f(x) tende. Não há um número único pr o qul f(x) se proxim qundo x tende 0. Portnto, f(x) não existe. Porém, nest situção podemos definir os ites lteris. x 0 Definição 3.5 (Intuitiv). Escrevemos f(x) = L x p e dizemos que o ite de f(x) qundo x tende p pel esquerd é igul L se pudermos tomr os vlores de f(x) rbitrrimente próximos de L, tomndo x suficientemente próximo de p e x menor do que p. Escrevemos f(x) = L x p + e dizemos que o ite de f(x) qundo x tende p pel direit é igul L se pudermos tomr os vlores de f(x) rbitrrimente próximos de L, tomndo x suficientemente próximo de p e x mior do que p. 49
L f(x) f(x) L f x p x f(x) = L x p Definição 3.6 (Limite Lterl Esquerdo). p x f(x) = L x p + x se pr todo ε > 0 existe um δ > 0 tl que f(x) = L x p p δ < x < p = f(x) L < ε. Definição 3.7 (Limite Lterl Direito). se pr todo ε > 0 existe um δ > 0 tl que f(x) = L x p + p < x < p + δ = f(x) L < ε. Exemplo 3.8. Prove que x 0 + x = 0. Sej ε > 0. Queremos chr um δ > 0 tl que x 0 < ε sempre que 0 < x < δ, ou sej, x < ε sempre que 0 < x < δ, ou elevndo o qudrdo x < ε sempre que 0 < x < δ. 50
Isto sugere que devemos escolher δ = ε. Verifiquemos que escolh é corret. Ddo ε > 0, sej δ = ε. Se 0 < x < δ, então x < δ = ε, logo x 0 < ε. Isso mostr que x 0 + x = 0. x Exemplo 3.9. Clcule x 0 + x e x x 0 x. Note que f(x) = x x Portnto não está definid em 0. Temos { x x =, x > 0, x < 0. x x 0 + x = = e x x 0 x 0 x = =. x 0 Segue ds definições de ites lteris o seguinte teorem. Teorem 3.5. x p f(x) = L x p x p f(x) = f(x) = L. + Corolário 3.. Segue do Teorem 3.5 que se f dmite ites lteris em p, e então não existe x p f(x); f(x) f(x), x p + x p se f não dmite um dos ites lteris em p, então não existe x p f(x). x Exemplo 3.0. Verifique se o ite x 0 x existe. 5
Pelo exemplo nterior (Exemplo 3.9), x Portnto não existe x 0 x. x x 0 + x = = e x x 0 x 0 x = =. x 0 O conceito de ite lterl possibilit estender definição de continuidde pr intervlos fechdos. Definição 3.8 (Continuidde em um Intervlo Fechdo). Um função f é contínu em um intervlo fechdo [, b] se é contínu no intervlo (, b) e x x b f(x) = f() e f(x) = f(b) + Exemplo 3.. A função x é contínu no intervlo (, ]. Exercício: Clcule os ites, cso existm. () x 0 x ; (b) x 3 [x]; (c) x 4 f(x), onde f(x) = { x 4 se x > 4, 8 x se x < 4. 3.5 Proprieddes ds Funções Contínus Seguem ds proprieddes do ite, s seguintes proprieddes ds funções contínus. Sejm f e g funções contínus em p e k = constnte. Então: f + g é contínu em p. kf é contínu em p. f g é contínu em p. f g é contínu em p, se g(p) 0. Exemplo 3.. f(x) = x n, onde n N, é um função contínu. Exemplo 3.3. Tod função polinomil é contínu, pois é som de funções contínus. 5