List 9 de Análise Funcionl - Doutordo 2018 Professor Mrcos Lendro 2 de Julho de 2018 1. Prove que o operdor T : l p l p, 1 p <, denido por ( T (ξ 1, ξ 2, ξ 3,...) := ξ 1, ξ 2 2, ξ ) 3 3,... (1) é um operdor compcto. Mostrremos que T é limite de operdores compctos em L(l p ). Como sbemos que K(l p ) é fechdo em L(l p ), teremos que T K(l p ). Pr cd n N, ponh T n : l p l p ) (ξ 1, ξ 2, ) (ξ 1, ξ22,, ξnn, 0, 0. Clrmente T n é liner, contínuo ( T n (ξ) p ξ p ), e como su imgem é gerd pelos vetores cnônicos e 1,, e n, segue que tem posto nito. Portnto, Ademis, {T n } n N K(l p ). (T n T )ξ p p = 1 j p ξ j p j n+1 1 (n + 1) p j=n+1 1 (n + 1) p ξ p p T n T L(l p ) 1 n + 1, o que nos dá T = T n (T n T ) L(l p ) e que T n ξ j p n T em L(l p ). Observção: Note que um simples dptção d prov cim mostr que se {λ n } n N é um sequênci de esclres que converge pr zero, então o operdor T : l p l p ddo por é compcto. T (ξ 1, ξ 2, ξ 3, ) = (λ 1 ξ 1, λ 2 ξ 2, λ 3 ξ 3, ) 2. Sejm E e F espços normdos e T L(E, F ) um operdor de posto nito. Prove que T é compcto. Sej (x n ) um sequênci limitd em E. Por hipótese, T L(E, F ), segue que (T (x n )) é limitd. Como T possui posto nito, por denição, têm-se que dim(t (E)) <. Como em espços de dimensão nit tod sequênci limitd possui subsequênci convergente, 1
segue que, sequênci (T (x n )) possui subsequênci convergente. Pelo critério de compcidde (Vej Kreyszig, pg.407) segue que T é compct. Critério de Compcidde: Sejm E e F espços normdos, T : E F um operdor liner. Então T é compcto, se e somente se, imgem por T de qulquer sequênci limitd (x n ) em E sobre F é um sequênci T (x n ) que possui subsequênci convergente. 3. Sejm H um espço de Hilbert seprável, (e n ) um bse ortonorml e P N : H H denido por P N (u) := N (u, e n )e n. Clcule lim P N(u) e prove que o operdor obtido por este limite não é compcto. Isso contrdiz o N fto de K(H) ser um subespço fechdo de L(H). Temos que P N (u) = N (u, e n )e n é um som que consider nits entrds não nuls de u, pr cd u H. Assim, lim P N(u) = lim N N N (u, e n )e n = (u, e n )e n = u, onde últim iguldde segue do Corolário 5.10 (Brezis). Assim, vemos que o operdor obtido por este limite é o operdor identidde, Id(u) = lim N P N(u) = u, u H. Mostremos que este operdor não é compcto. De fto, bol unitári fechd B H = {x H; x 1} é limitd. Como (e n ) é bse pr H, vemos que dim H =. Então, pelo Teorem de Riesz (ver Brezis), B H nõ pode ser compct. Logo, Id(B H ) = B H = B H, o que mostr que Id(B H ) não é reltivmente compcto. Observção: Os operdores P N convergem pontulmente pr o operdor identidde, ms não convergem uniformemente. Isso mostr que convergênci uniforme é fundmentl pr que o operdor limite sej um operdor compcto, como grnte o Teorem 6.1 (Brezis). Corolário 5.10: Sej (e n ) um bse ortonorml. Então pr todo u H, nós temos u = (u, e k )e k, isto é, e k=1 u = lim u 2 = n k=1 n (u, e k )e k (u, e k ) 2. k=1 Teorem de Riesz: Sej E um espço vetoril normdo com B E compct. Então E tem dimensão nit. Teorem 6.1: O conjunto K(E, F ) é um subespço liner fechdo de L(E, F ) (n topologi ssocid à norm. L(E,F ) ). Pge 2
4. Prove que os seguintes operdores são compctos: (i) T : C([, b]) C([, b]) e K : C([, b] 2 ) R; (ii) T : L 2 ([, b]) L 2 ([, b]) e K : C([, b] 2 ) R; (ii) T : L 2 ([, b]) L 2 ([, b]) e K : L 2 ([, b] 2 ) R. Onde (T u)(t) := b K(t, s)u(s)ds. Pr solução do item (i), utilizremos o seguinte Teorem Teorem(Ascoli-Arzelà)Sej K um espço métrico e Ξ um subconjunto limitdo de C(K). Assum que Ξ é uniformemente equicontínuo, isto é, ε > 0 δ > 0 ; d(x, y) < δ f(x) f(y) < ε f Ξ Então o fecho de Ξ em C(K) é compcto. Solução do item (i): Denote por Q = [, b] [, b]. Como K é um função de dus vriáveis contínu, temos que M := mx (t,s) Q K(t, s) <. Logo, T (u) M(b ) u, ou sej, T M(b ) e, portnto, o operdor T é limitdo. Agor, pr u B[0, 1] = {f : [, b] R C([, b]); f 1}, vle T (u) M(b ). Assim, pr bol fechd de rio 1 em C[, b], temos que imgem por T é limitd. Bst portnto mostrrmos que T (B[0, 1]) é equicontínuo, pois, nesse cso obtemos que o operdor T é compcto pelo teorem de Ascole. Dito isso, observe que K sendo uniformemente contínuo (pois K é contínuo em um compcto), temos que, ddo ε > 0 existe δ > 0 tl que K(t, s) K(r, s) < ε se t r < δ(independente de s). Assim, se u B[0, 1] e t s < δ, (T u)(t) (T u)(r) b K(t, s) K(r, s) u(s) ds ε(b ) u ε(b ) Logo, T (B[0, 1]) é equicontínuo. Portnto, pelo Teorem de Ascoli-Arzelá, T é compcto. Solução do item (ii): Denote por Q = [, b] [, b]. Como K é um função de dus vriáveis contínu, temos que M := mx (t,s) Q K(t, s) <. Além disso, sendo K contínu, temos que, xndo t [, b] função s K(t, s) é um elemento de L 2 [, b]. Agor, pr todo t [, b] tem-se (T u)(t) b K(t, s) u(s) ds Holder ( b K(t, s) 2 ds ) 1 2 u 2 M (b ) u 2 Disso, obtemos que o operdor T é contínuo. Além disso, se u B[0, 1] = {f : [, b] R L 2 [, b]; f 2 1}, temos que T (u) M (b ). Logo T (B[0, 1]) é limitd. Agor veremos que T (B[0, 1]) é equicontínuo. Observe que K sendo uniformemente contínuo (pois K é contínuo em um compcto), temos que, ddo ε > 0 existe δ > 0 tl que K(t, s) K(r, s) < ε se t r < δ(independente de s). Assim, se u B[0, 1] e t s < δ, então (T u)(t) (T u)(r) K(t, s) K(r, s) 2 u 2 ε (b ) Logo, pelo Teorem de Ascoli-Arzelà, temos que T (B[0, 1]) é precompcto em C[, b]. Agor, temos que mostrr que T (B[0, 1]) é precompcto em L 2 [, b]. Observe que inclusão I : (C[, b],. ) (L 2 [, b],. 2 ) é contínu. Assim, um conjunto precompcto em C[, b] é precompcto em L 2 [, b]. De fto, considere A C[, b] precompcto, logo A é compcto, e pel continuidde de I, temos que I(A) é compcto em L 2 [, b]. Em Pge 3
prticulr, I(A) é fechdo em L 2 [, b]. Como I(A) I(A), segue-se que I(A) I(A) e portnto I(A) é compcto. Assim, temos que T (B[0, 1]) é um conjunto precompcto em L 2 [, b] e isso conclui que T é compcto. Solução do item (iii): Denote por Q = [, b] [, b]. Como K L 2 (Q) e o conjunto ds funções contínus em Q é denso em L 2 (Q), existe um sequênci K n : Q R de funções contínus de modo que K K n L 2 (Q) 0. Assim, denindo T n : L 2 [, b] L 2 [, b], por (T n u)(t) = e usndo estimtivs como cim, obtemos b K n (t, s)u(s)ds e logo T n u T u 2 K n K L2 (Q) u 2 T n T K n K L 2 (Q) o qul se nul pr n. Pelo item (ii), temos que cd T n é um operdor compcto e como T é um operdor liner contínuo, temos pelo (Teorem 6.1 Brezis) que T é compcto. 5. Sejm E e F espços normdos. Prove que T K(E, F ) se, e somente se, T K(F, E ). ) Suponhmos que T K(E, F ). Sbemos que T K(F, E ) se, e só se, (T f n ) F possui subsequênci convergente pr tod (f n ) F limitd. Assim, sej (f n ) F tl que f n 1, n N. Vmos denotr o compcto T (B E ) = K. Sej H C(K), denid por H = φ : K R; φ n (y) = F n (y), n N Vmos mostrr que H é compcto. ) H é equicontínuo: de fto, pr quisquer x, y K tl que x y < ε, temos que φ n (x) φ n (y) = f n (x) f n (y) = f n (x y) f n x y < ε, φ n H. b) H é limitdo: de fto, x K, temos φ n (x) = f n (x) f n x x. Como x T (B E ), que é compcto, temos que M > 0 tl que x M, x T (B E ). Portnto, φ n (x) M, x K, φ n H. Assim, pelo teorem de Ascoli-Arzelà, H é compcto. Logo, existe (φ nj ) (φ n ) e φ H tl que φ nj φ 0 se j, isto é, prticulrmente pr x = T u, sup u B E f nj (T u) φ(x) 0, pois T (B E ) K. Logo, (φ nj ) é convergente e, ssim, é de Cuchy. Dí, sup u B E f nj (T u) f ni (T u) 0, ou sej, T f nj T f ni E = sup u B E T f nj (u) T f ni (u) 0. Pge 4
Logo, (T f nj ) é de Cuchy em E e, ssim (T f nj ) é convergente(pois E é Bnch). Portnto, concluímos que T K(F, E ). ) Reciprocmente, suponhmos que T K(F, E ) e mostremos que T K(E, F ). Pelo que já vimos, T K(E, F ). Armção: T (J E (B E )) = J F (T (B E )) De fto, y F e x B E, vle que < T (J E x), y > = < J E x, T y > = < T y, x > = < y, T x > = < J F (T x), y > Logo, n bol B E, temos T J E = J F T, e rmção está demonstrd. Pel rmção, temos que J F (T (B E )) = T (J E (B E )) T (B E ). Como T é compcto, então T (B E ) é compcto em F. Assim, J F (T (B E )) T (B E ) é compcto em F, pois é um fechdo contido em um compcto. Além disso, como J F : F J F (F ) F é um isomorsmo isométrico, então J F (F ) é fechdo em F. Assim, J F (F ) = J F (F ). Dess form, temos que J F (T (B E )) J F (F ) = J F (F ). Logo fz sentido plicr invers J 1 F : J F (F ) F. Assim, temos que T (B E ) J 1 F (J F (T (B E )). Como J 1 F (J F (T (B E )) é compcto, obtemos que T (B E ) J 1 F (J F (T (B E )) = J 1 F (J F (T (B E )) é compcto, pois é um conjunto fechdo contido em um compcto. Portnto, T K(E, F ), e o resultdo está demonstrdo. 6. Sejm E e F espços normdos, T K(E, F ) e x n x em E. Prove que T x n T x em F. Pelo exercício 3 d list 5 podemos rmr que T x n T x. Tendo isso, suponhmos, por contrdição, que (T (x n )) não converge forte pr T (x), ou sej, que existem ɛ > 0 e um subsequênci (T (x nk )) k=1, tis que T (x nk ) T (x) ɛ, k. (2) Como x nk x segue que (x nk ) é limitd, e portnto, pel compcidde de T, (T (x nk )) dmite subsequênci T (x nkj ) convergente, digmos T (x nkj ) y F. Por mior rzão T (x nkj ) y e, como topologi frc é Husdor, concluimos que T (x) = y. Então T (x nkj ) T (x), o que contrdiz (2). 7. Sej T o operdor denido em (1) com p = 2. Ddo η l 2, use lterntiv de Fredholm pr discutir sobre solução do problem (I T )ξ = η. No que se segue, fzemos convenção de que ζ(n) = ζ n pr todo ζ l 2 e todo n N. Sej T : l 2 l 2 dd por T ζ = (ζ n /n) Pge 5
pr todo ζ l 2. Como sbemos de exercícios nteriores, T é um operdor liner contínuo, compcto e uto-djunto em l 2. Veremos gor que todos os uto-vlores deste operdor pertencem o conjunto {1/n : n N}. Com efeito, se ζ l 2 e λ K são tis que T ζ = λζ, ocorre ((λ 1/n)ζ n ) = 0 l 2. De dus, um: 1. n N tl que λ 1/n = 0; segue que λ 1/m 0 (e portnto, que ζ m = 0) pr todo m n. Note que N(λI T ) = Ke n e ssim, que R(λI T ) = R(λI T ) (T é uto-djunto) = R(λI T ) (Alterntiv de Fredholm) = R(λI T ) (Propriedde do operdor ) = N(λI T ) (Alterntiv de Fredholm) = (Ke n ) = {ζ l 2 : ζ n = 0} (λ = 1/n) de onde podemos concluir que, ddo η l 2, o problem (1/nI T )ζ = η dmite solução ζ l 2 se, e pens se, η n = 0, qulquer que sej n N. 2. n N tl que λ 1/n = 0; segue que ζ n = 0 pr todo n N e ssim, que N(λI T ) = {0}. D lterntiv de Fredholm temos que R(λI T ) = l 2 e portnto, ddo η l 2, sempre existe um (único) ζ l 2 de modo que (λi T )ζ = η. Com isto concluímos o exercício. 8. Sej H um espço de Hilbert, e T um operdor compcto, λ R {0}. Mostre que: 1. As equções (1) u λau = w (2) v λa v = z têm únics soluções u, v H pr cd w, z H ou mbs s equções (3) φ λaφ = 0 (4) ψ λa ψ = 0 possuem soluções não nuls, onde o número de soluções linermente independestes é nito e mesmo pr mbs s equções. 2. equção (1) tem pelo menos um soluções se, e somente se, w é ortogonl tods s soluções de (4). 3. equção (2) tem pelo menos um soluções se, e somente se, z é ortogonl tods s soluções de (3). 1) Suponh que s equções (1) e (2) não possum soluções únics pr lgum w, z H. Logo, vão existir u 1, u 2 e v 1, v 2 soluções ds equções (1)e(2), tis que u 1 u 2 e v 1 v 2. Den u = u 1 +u 2 e v = v 1 +v 2, isso implic que u, v 0 serim soluções não nuls de (3) e (4). Além disso, pelo Teorem Alterntiv de Fredholm segue que dim[ker(i λa)] < e dim[ker(i λa)] =dim[ker(i λa )], isto é, mbos os espços dmitem um bse ortogonl nit. Sendo ssim, o número de soluções L.I é nito pr mbs s equços. Pge 6
2) Pelo Alterntiv de Fredholm segue que Im(I λa) é fechdo e Im(I λa) = Ker(I λa ), logo (1) dmite solução u H w Im(I λa) w Ker(I λa ) < w, v >= 0, v Ker(I λa ), isto é, w é ortogonl tod solução de (4). 3) Sbemos que A é operdor compcto o seu dul A tmbém o for. Além disso, temos tmbém que (A ) = A. Uzndo novmente Alterntiv de Fredholm segue que Im(I λa ) é fechdo e Im(I λa ) = Ker(I λa ) = Ker(I λa). Dinte disto, suponh v solução de (2), então, z Im(I λa ) z Ker(I λa ) z Ker(I λa) < z, φ >= 0 φ Ker(I λa), ou sej, z é ortogonl tod solução de (3) 9. Sejm E e F dois espços de Bnch e T K(E, F ). Assum dime =. Prove que existe um sequênci (u n ) E tl que u n E = 1 e T u n F 0. Suponh, por bsurdo, que T u n F 0. Então existe lgum ε > 0 tl que Ou sej, T u F > ε u E T u F > ε u u E. Portnto Im(T ) é fechdo. Considere o operdor T 0 : E Im(T ) denido por T 0 = T. T 0 é clrmente um operdor liner contínuo bijetor, onde E e Im(T ) são espços de Bnch (obs. Im(T ) é um subespço fechdo do espço de Bnch F ). Logo pelo corolário do Teorem d Aplicção bert, T 1 0 L(Im(T ), E). Por outro ldo, T 0 K(E, Im(T )). Portnto B E é compcto e dime <. O que contrdiz hipótese de dime =. Colorário do Teorem d Aplicção Abert. Sejm E e F dois espços de Bnch e T : E F um operdor liner contínuo opertor que é bijetor. Então T 1 é tmbém contínuo. 10. Sej 1 p <. Mostre que l p c 0 com injeção contínu. A injeção é compct? 1) Sej x l p. Temos que x n p <. Assim x n 0 qundo n. Além disso, x c0 = sup n x n ( x n p ) 1/p = x l p. 2) A injeção não é compct. De fto, sej (x n ) um sequênci em l p denid por x n k = { 1 se n k; 0 se n k. Pge 7
Temos que x n l p = 1 pr todo n, portnti (x n ) é um sequênci limitd de l p. Nenhum subsequênci de (x n ) pode ser um sequênci de Cuchy de c 0 pois pr todo n m, x n x m c0 = 1. Logo, pel proposição bixo, injeção i : l p c 0 não é compct. Proposição. Sejm E e F espços normdos. As seguintes rmções são equivlentes pr um operdor liner T : E F. ) T é compcto. b) T (A) é compcto em F pr todo limitdo A em E. c) Pr tod sequênci limitd (x n ) em E, sequênci (T (x n )) tem subsequênci convergente em F. 11. Sejm E e F dois espços de Bnch, e sej T K(E, F ). Assum que Im(T ) é fechd. 1. Prove que T é um operdor de posto nito. 2. Assum tmbém que dimn(t ) <. Prove que dime <. 1. Pelo Teorem d Aplicção Abert, existe um constnte c tl que B Im(T ) ct (B E ). Segue que B Im(T ) = B Im(T ) ct (B E ) Como T é compcto, T (B E ) é compcto. Pelo fto de todo subconjunto fechdo de um espço métrico compcto ser compcto, segue que bol unitári d Im(T ) é compct. Portndo dimim(t ) <. Teorem d Aplicção Abert : Sejm E e F dois espços de Bnch e T : E F um operdor liner contínuo sobrejetor. Então existe um constnte c > 0 tl que B F (0, c) T BE (0,1) 2. Tome E 0 sendo o complemento de N(T ). Então T 0 = T E0 é bijetor de E 0 em ImT. Assim dime 0 = dimimt < dime = dime 0 + N(T ) <. Pge 8