Notas das Aulas Teóricas de CDI-I

Nots ds Auls Teórics de CDI-I Prof. Responsável: Ctrin Crvlho o Semestre de 206/207 Aul 9/9/206 Informções sobre cdeir: págin Fénix. 0 Revisões de Lógic (Ver Texto de Apoio - Lógic.) Implicção e equivlênci: Há um grnde diferenç entre firmções em ligugem corrente e firmções em lingugem Mtemátic. Se vos disserem: Se mnhã não chover, então vou à pri reprem que nd está ser firmdo no cso mnhã chove (embor possivelmente, em lingugem corrente, sej subentendido que se chover, então não vou à pri, ms ess firmção não está de todo ser feit!) Se designrmos por p firmção mnhã não chove e por q firmção vou à pri, então p q só é fls se não chover - p verddeir - e eu não for à pri - q fls. Se p for fls, por defeito, firmção p q é verddeir (porque não é fls). A tbel de vlores lógicos d implicção é p q p q V V V V F F F V V F F V Por outro ldo, se p q for verddeir, tmbém sbemos que se não fui à pri então choveu (se não tivesse chovido, teri ido à pri...) Ou sej, temos ( p q ) ( q p ) em que dus firmções são equivlentes se têm sempre o mesmo vlor lógico. A ( q p ) chm-se o contr-recíproco de p q.

CDI-I o S 206/7 A firmção se mnhã chover, então não vou à pri corresponde p q e (p q) ( p q) (p q) ou sej, vou à pri se, e só se, não chover: s firmções serim equivlentes (reprem que o contr-recíproco de p q é q p). Um equivlênci pode sempre ser trnsformd em dus implicções: (p q) (q p) (p q). A negção de um implicção é (p q) (p q) p q p q (p q) p q V V V F F V F F V V F V V F F F F V F F Exemplo: temos, como é vosso conhecido: f diferenciável f contínu ou sej, o contr-recíproco é f não contínu f não diferenciável ms, se f não é diferenciável, pode, ou não, ser contínu (não sbemos). Quntificdores: Qundo temos um condição p(x), ou sej, um proposição que depende de um vriável, o seu vlor lógico, à prtid, depende de x. Podemos formr novs firmções / proposições usndo os quntificdores e : x R x 2 > 0 é fls (porque é fls pr x = 0) ms x R x 2 > 0 é verddeir, e x R\{0} x 2 > 0 é verddeir. A negço de quntificdores fic: ( x p(x) ) x ( p(x)), ( x p(x) ) x ( p(x)). 2

CDI-I o S 206/7 Aul 2 2/9/206 Números Reis e Sucessões Nests primeirs uls vmos rever/introduzir lguns conceitos que serão muito úteis (e utilizdos) n cdeir: resolução de equções e inequções, módulos e distâncis, números nturis e recorrênci, método de indução mtemátic, supremos e infimos. Aproveitmos pr ver como se pode definir os números reis prtir de lgums regrs básics dds como verddeirs, os chmdos xioms, ds quis tods s proprieddes conhecids de R se seguem. Há 3 tipos de proprieddes básics, ou xioms, que definem completmente os números reis: I. Algébricos: proprieddes d som e multiplicção; II. Ordem: comprção, medid; III. Completude (do supremo): existênci de limites. Começmos por tomr, como termo primitivo (ddo), um conjunto R, cujos elementos se designm por números reis, onde estão definids dus operções: som e multiplicção. I. Axioms Algébricos: ddos, b, c R quisquer () Comuttividde: + b = b +, b = b. (2) Associtividde: ( + b) + c = + (b + c), (b)c = (bc). (3) Distributividde: (b + c) = b + c. (4) Elemento neutro: Existem elementos diferentes 0 e tis que + 0 = =. (5) Simétrico: A equção + x = 0 tem solução em R. (6) Inverso: Se 0, equção y = tem solução em R. Qulquer conjunto que stisfç ests proprieddes diz-se um Corpo Algébrico. É fácil ver que Q e C tmbém verificm, ms N e Z não verificm. (Tods) s proprieddes lgébrics vosss conhecids seguem dests, e chmm-se Teorems ou Proposições. Por exemplo, Teorem.. Leis do Corte: Pr u, v, R, (i) u + = v + u = v, (ii) Se 0: u = v u = v. e R é um modelo do único conjunto que s stisfz todos os xioms. 3

CDI-I o S 206/7 A título de exemplo, vejmos como se provri (i) ds proprieddes (I.) - (I.6): tom-se x tl que + x = 0, de (I.5) e, usndo (I.2) e (I.4), Proprieddes: u + = v + (u + ) + x = (v + ) + x u + ( + x) = v + ( + x) u + 0 = v + 0 u = v.. Unicidde dos elementos neutros: se + u = + 0 = então d Lei do Corte, u = 0, e se v = =, então v =. 2. Unicidde de soluções de + x = 0 e y = : vê-se d mesm form. Definimos o simétrico e o inverso, respectivmente como sendo esss soluções: + x = 0 x =, y = y =, 0. Podem então definir-se dus novs operções: Subtrção: b = b + ( ), Divisão: b = b. (que não são ssocitivs nem comuttivs - ver proprieddes seguintes). É clro que b = b. Outrs proprieddes (Exercício: provr usndo pens proprieddes cim): pr, b R, temos ) 0 = 0 = 0; 2) b = 0 = 0 ou b = 0; 3) ( ) =, ( + b) = b, ( ) =, (b) = b ; 4) ( b) = ( )b = ( b), ( )( b) = b; ( b) = b ; 5) Csos notáveis: ( b)( + b) = 2 b 2, ( ± b) 2 = 2 ± 2 b + b 2 (em que 2 =, 2 = +...) 6) b ± c d d ± cb =, bd b c d = d b c. Já notámos que ests proprieddes não são exclusivs de R: Q e C verificm, N e Z não verificm. Exemplo.2. Considere o conjunto Z 2 = {0, } com s operções +, definids pels tbels seguintes: 4

CDI-I o S 206/7 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 É fácil ver que Z 2 verific (I.) (I.6). Por outro ldo, verifique que o simétrico de é, ou sej, =. Vemos gor os xioms de ordem, que drão estrutur geométric que temos como intuitiv d rect rel. Notem que tmbém temos como ssumido d estrutur intuitiv de rect que o posicionrmos o número 0 dividimos os reis em dus prtes, disjunts. É isso que os próximos xioms grntem. 2 II. Axioms de Ordem: Existe um subconjunto designdo por R + R, dito dos reis positivos, tl que () Fechdo em relção + e : se, b R + então + b R +, b R + (2) Tricotomi: qulquer R verific um, e um só, ds condições seguintes: R +, ou = 0, ou R +. (É clro que o corpo lgébrico Z 2 não verific (II.2), já que ter-se-i simultnemente R + e R +. ) Os reis negtivos são definidos como Neste cso, (II.2) poderi escrever-se R = {x R : x R + }. R = R + {0} R, em que R + R =, 0 R + R Dqui prece noção de ordem (o que é mior ). Definimos, pr, b R, > 0 se R + e > b b R +. Escreve-se b < > b, e (II.2) é equivlente dizer que pr, b R verific-se um, e um só, de três csos possíveis: > b = b < b. Em prticulr todos os elementos são compráveis, relção de ordem totl (estrutur de rect com sentido crescente). Temos R + = {x R : x > 0} e R = {x R : x < 0} e definem-se como é usul intervlos em R d form seguinte ], b [= {x R : < x < b}, ], + [= {x R : < x}, ], b [= {x R : x < b}. (d mesm form ], b], etc.) 2 Em C por exemplo não é verdde. 5

CDI-I o S 206/7 Teorem.3 (Trnsitividde). Pr, b, c R, se b 0 ( > 0 b > 0) ( < 0 b < 0) ii) b < 0 ( > 0 b < 0) ( < 0 b > 0). 3. Leis do Corte: i) + c > b + c > b. ii) c > bc ( > b c > 0) ( 0. Est observção simples tem váris consequêncis imedits: C não verific os Axioms de ordem, já que i 2 = < 0. = 2 > 0, e 2 = + > > 0, 3 = 2 + > 0, etc. Por outro ldo, e têm sempre o mesmo sinl, já que = > 0, e portnto s proprieddes nteriores tmbém são válids pr quocientes, por exemplo Exercício: Prove tmbém que > 0 ( > 0 b > 0) ( < 0 b < 0). b Exemplos:. x 2 ( x) 0 ( > b > 0 0 > > b) < b, > 0 > b > b ) 2. 3. x 2 x 0 x 2 x 2 < x. 6

CDI-I o S 206/7 4. Resolver, em R, x <. Qul o erro n resolução seguinte: (O conjunto solução é ], 0[ ], + [.) x < < x x >? Módulo ou vlor bsoluto: Define-se, pr x R, x = { x, x 0 x, x < 0. Geometricmente, x represent distânci de x 0. () Algums proprieddes (Exercício: provr). x 0, x = 0 x = 0. 2. x = x. 3. xy = x y, x 2 = x 2 = x 2. 4. Desiguldde tringulr: x + y x + y. 5. x 2 < 2 x <. Aul 3 23/9/206 Vimos o módulo ou vlor bsoluto. Pr resolver inequções com módulos, é útil pensr no módulo como distânci: por exemplo, inequção x < 2 tem como conjunto solução todos os pontos x R que estão um distânci de 0 inferior 2, ou sej, é o intervlo ] 2, 2[. Em gerl:. Se R > 0, x < R x > R x < R R < x < R. x > R x < R x > R. Pr R fixo, é fácil ver que x represent distânci de x o ponto. Definição.4. Define-se vizinhnç de centro e rio ε > 0, V ε () = {x R : x < ε} = ] ε, + ε [ como os conjunto dos pontos cuj distânci é inferior ε. 7

CDI-I o S 206/7 Por exemplo, V (0) =], [, V 0. ( ) =] 0.9,.[, V 2 () =] 2, 3 2 [. Se estivermos proximr por x então x represent o erro cometido n proximção e o fzermos x < ε, estmos dmitir um mrgem de erro de, no máximo, ε. Por exemplo, pr proximrmos π com erro no máximo de 0 2 queremos x tl que x π < 0 2, podemos fzer x = 3, 4 (por defeito) ou x = 3, 5 (por excesso) ou x = 3, 425 (ou...) Exemplos: resolver em R. x < 2. 2. 2x + 4 >. 3. x 2 < x +. 4. 5. x 2 9 x + 0. x x 0. Vmos ver em mis detlhe gor lguns subconjuntos de R. Começmos pelos chmdos números nturis. Intuitivmente, (e té sbemos que > 0, + = 2 >, etc.) Um conjunto A R diz-se indutivo se A, x A x + A. N = {, + = 2, + + = 3,...} É clro que R é indutivo, ssim como R +, [, + [,] 2, + [, e por ex. R, [, 0000] não são indutivos. Queremos definir N consistindo precismente dos sucessores de (e neste cso, todos os outros conjuntos indutivos o contêm), ou sej, N é menor conjunto indutivo: Definição.5. Define-se o conjunto N dos números nturis como N := {n R : n qulquer subconjunto indutivo de R} = intersecção de todos os conjuntos indutivos. Em prticulr, se A N e é indutivo, então A = N. Sej A N o conjunto ddo por A = {n N : P(n) é verddeir}, pr um dd proposição ( firmção ) P(n), dependente de n N. Este conjunto é indutivo se P() é verddeir e se P(n) verddeir P(n + ) verddeir. 3 Neste cso, concluímos que A = N ou sej que P(n) é verddeir, pr qulquer n N. Acbámos de ver um método muito útil pr provr firmções dependentes de um prâmetro (vriável) nturl: 3 Est firmção é equivlente P(n) P(n + ), já que se P(n) for fls, implicção é sempre verddeir. 8

CDI-I o S 206/7 Teorem.6 (Método de Indução Mtemátic). Sej P(n) um proposição, n N. Se P() é verddeir P(n) P(n + ), pr qulquer n N, então P(n) é verddeir, pr qulquer n N. Exemplos:. Provr que N R + : queremos ver que n > 0, pr qulquer n N. Com P(n) firmção n > 0 temos: P() é verddeir, já que > 0. P(n) P(n + ): se n > 0 então n + > > 0, logo n + > 0 (por trnsitividde). (D mesm form: n, n N.) 2. Provr que 2 n n + pr qulquer n N. P() é verddeir, já que 2 0 2. P(n) P(n + ): ssumindo, por hipótese de indução, que pr ddo n (fixo) se tem 2 n n + queremos provr que 2 n+ n + 2. Então: 2 n n + 2 n+ 2n + 2 n + 2 já que n > 0. Por trnsitividde, 2 n+ n + 2, como querímos mostrr. 3. Em gerl: pr > 0 fixo, temos desiguldde de Bernouilli: ( + ) n + n, pr qulquer n N. Exercício: 3 n 2n +, n N. 4. Provr que 4 n é múltiplo de 3, pr qulquer n N. P() é verddeir, já que 4 = 3 é múltiplo de 3. P(n) P(n + ): ssumindo, por hipótese de indução, que pr ddo n (fixo, ms rbitrário) 4 n é múltiplo de 3, temos é múltiplo de 3. 4 n+ = ( + 3)4 n = 3 4 n + (4 n ) NOTAS:. Provr que P(n) P(n + ) pr todo n N não é suficiente! Por exemplo, sej P(n) firmção sen(2nπ) = 2, n N, que é obvimente fls, pr qulquer n. Ms é fácil ver que P(n) P(n + ), já que pr qulquer n N, sen(2(n + )π) = sen(2nπ). 9

CDI-I o S 206/7 2. Se quisermos provr um determind proposição pens pr n n 0, começmos por verificr P(n 0 ) e provmos P(n) P(n + ) como ntes (é suficiente ver pr n n 0 ). Exemplo: Mostrr que n! 2 n, pr n 4 Exercício. Reprem que o método de indução é prticulrmente útil qundo os termos envolvidos estão definidos por recorrênci: por ex. r n, n!:! =, r = r, (n + )! = (n + )n!, n N, r n+ = r r n n N. Um outro exemplo é ddo por soms com número de prcels dependente de n: Exemplo: Mostrr que, pr qulquer n N, Se P(n) represent iguldde cim temos: P() é verddeir: = 2. + 3 +... + (2n ) = n 2. P(n) P(n + ): ssumindo, por hipótese de indução (HI), que pr ddo n (fixo) se tem + 3 +... + (2n ) = n 2 queremos provr que Ms por HI, temos + 3 +... + (2n ) + (2(n + ) ) = (n + ) 2. + 3 +... + (2n ) + (2(n + ) ) = n 2 + (2(n + ) ) = n 2 + 2n + = (n + ) 2 como querímos mostrr. Aul 4 26/9/206 Vimos o conjunto N, método de Indução Mtemátic. Somtórios. Somtórios: Dd um sucessão de números reis, 2,..., n,... k =, k= n+ n k = k + n+ k= k= Proprieddes:. 2. n k= ( k + b k ) = n k= k + n k= b k (propriedde ditiv); n k= (c k) = c n k= k pr qulquer constnte c R (homogeneidde); 0

CDI-I o S 206/7 3. 4. n k= ( k k+ ) = n+ (propriedde telescópic). n k= k = p+n k=p+ k p pr qulquer p N. Pr mostrr por exemplo propriedde telescópic: por indução n = : temos k= ( k k+ ) = 2. P(n) P(n + ): Exemplos: n+ ( k k+ ) = k= n ( k k+ ) + n+ n+2 = n+ + n+ n+2 = n+2. k=. Pr qulquer n N, n k= = n. (Em prticulr, qulquer número nturl é sucessor de.) 2. (Ex..b - Fich 2) Pr qulquer n N: n = : temos = P(n) P(n + ): n+ k = k= ( + ). 2 n k + (n + ) = k= + 2 +... + n = n(n + ) 2 n k = k= + n + = n(n + ). 2 n(n + ) + 2(n + ) 2 3. (Ex. 6 - Fich 2) Pr qulquer r R, r, n N 0 : n + r + r 2 +... + r n = r k = rn+ r. n = 0: temos = r r. P(n) P(n + ): n+ r k = k=0 n k=0 r k + r n+ = rn+ r k=0 = + r n+ = rn+ + r n+ ( r) r (n + 2)(n + ). 2 = rn+2 r. Tmbém se vê fcilmente sem usr indução: usndo s proprieddes e 4 dds cim n n n ( r) r k = ( r)r k = (r k r k+ ) = r n+. k=0 k=0 k=0 NOTA: tmbém temos n k=p r k = r p ( +... + r n p ) = r p rn p+. r

CDI-I o S 206/7 Podemos gor definir Definição.7. O conjunto dos números inteiros Z e o conjunto dos números rcionis Q: (onde { N} = { n : n N}). Z = N {0} { N}, Q := { p q : p, q Z, q 0 É clro que N Z Q. Voltndo os Axioms / proprieddes que crcterizm R, vemos que C e Z 2 stisfzem xioms de corpo, ms não de ordem, Z stisfz xioms de ordem, ms não tem inversos, Q stisfz xioms de ordem e de corpo. Portnto os elementos de R \ Q terão que ser definidos prtir de outrs proprieddes. }. Proposição.8. Se x 2 = 2 então x Q. Vmos mostrr por redução o bsurdo ou sej, supomos que não é verdde e chegmos um contrdição (impossibilidde). Logo, firmção será verddeir. Suponhmos então que x 2 = 2 e x = p q, com p, q Z e que p q é frção irredutível (p e q não têm divisores comuns). Então: p 2 q 2 = 2 p2 = 2q 2, ou sej p 2 será pr. Tem-se que neste cso p tmbém será pr. Escrevendo p = 2k, k Z, temos gor 4k 2 = 2q 2 q 2 = 2k 2. Usndo o mesmo rciocínio, concluímos que q é tmbém pr, o que contrri o fcto de p q ser irredutível. Conclui-se que equção x 2 = 2 não tem solução em Q. Exercício.9. ) Mostrr que se p 2 é pr então p é pr (Sug.: comece por mostrr que se p é impr, p 2 é impr). 2) Mostre que pr m N primo, equção x 2 = m não tem solução em Q. (Pode ssumir que se p 2 é multiplo de m então p é multiplo de m.) 3) A equção 2 x = 3 não tem solução em Q. O próximo Axiom / propriedde de R grnte, em prticulr, que equção x 2 = 2 tem de fcto solução em R - portnto distingue R de Q e dá-nos um form de definir números irrcionis. Supremo e ínfimo de um conjunto Definição.0. Sej A R. 2

CDI-I o S 206/7 i) A diz-se mjordo se existe b R tl que x b, pr qulquer x A. Neste cso, b diz-se um mjornte e A ], b ]. ii) A diz-se minordo se existe R tl que x, pr qulquer x A. Neste cso, b diz-se um mjornte e A [, + [. iii) A diz-se limitdo se é mjordo e minordo. Neste cso, existem, b R tl que x b, pr qulquer x A e A [, b ]. Exemplo: [, 3], {, 3}, {, 2, 3}, [, 2[ {3} são conjuntos limitdos, e têm todos o mesmo conjunto de mjorntes e minorntes: Mjorntes = [3, + [, Minorntes =], ]. R não mjordo nem minordo, R + minordo, não mjordo Definimos máximo e mínimo de um conjunto como o mior e o menor dos seus elementos (se existirem), ou sej: mx A = M se M é mjornte e M A e min A = m se m é minornte e m A. Temos mx[, 3] = 3, min[, 3] = e que mx e min de ], 3[ não existem. Definição.. Sej A R. Define-se o supremo e o ínfimo de A como: sup A é o menor dos mjorntes de A, se existir. inf A é o mior dos minorntes de A, se existir. É clro que sup A pode ou não pertencer A. Aliás, A tem máximo se, e só se, sup A A e neste cso mx A = sup A. Exemplos: sup], 3[= 3, inf ], 3[=, sup{, 2, 3} = 3 = mx{, 2, 3}, inf{, 2, 3} = = min{, 2, 3}. Aul 5 28/9/206 É fácil ver que existem conjuntos mjordos sem máximo. Será que existem conjuntos mjordos sem supremo? Est é últim propriedde que precismos pr crcterizr R, e que não é verificd por Q. III. Axiom do Supremo (ou d Completude) Qulquer subconjunto A R mjordo e não vzio tem supremo em R. Segue que tmbém qulquer conjunto minordo e não vzio tem ínfimo (por ex., notndo que inf A = sup( A)). Exemplos: 3

CDI-I o S 206/7. A = { 00} [0, 00[: sup A = 00 A logo A não tem máximo, inf A = 00 A logo min A = 00. 2. A = { 00, 0, 00}: sup A = mx A = 00, inf A = min A = 00. 3. Qulquer conjunto finito (i.e., com número finito de elementos) tem máximo e mínimo. NOTA: Se A B e B então os mjorntes de B (se existirem) são mjorntes de A, logo sup A sup B, já que sup B é mjornte de A (e sup A é o menor mjornte de A). É útil pensr em sup A e inf A como s melhores proximções por excesso e por defeito de A, como é expresso n seguinte definição equivlente (pr o infimo é nálogo). Proposição.2. Sej A R. Então s = sup A se e só se s é mjornte de A e pr qulquer ε > 0, V ε (s) A. (Relembre que V ε (s) =]s ε, s + ε[.) Demonstrção. Se s = sup A então s é mjornte por definição logo x s, pr qulquer x A. Pr ver que V ε A, pr qulquer ε > 0 ddo, ou sej, que existe x A ]s ε, s], notmos que se não fosse esse o cso, terímos x s ε, pr qulquer x A, e s ε < s seri mjornte, o que é impossível, ddo que s é o menor dos mjorntes. 4 Se s é mjornte e pr qulquer ε > 0, V ε (s) A, vmos ver que s é o menor mjornte: se t < s então existe x A tl que t < x s (tomndo um vizinhnç de s de rio menor que distânci de t s, ou sej ε < s t). Logo t < x A e t não é mjornte. A condição cim express que qulquer vizinhnç de s contém elementos de A (clro que neste cso x A ]s ε, s], um vez que x s, pr x A) ou sej, existem elementos de A tão perto qunto se queir de s. Temos Exemplos: s = sup A s é mjornte e ]s ε, s] A, pr qulquer ε > 0, = inf A é minornte e [, + ε[ A pr qulquer ε > 0.. A = [0, ] {2}, então V ε (2) A = {2} pr ε <. 2. A =]0, [, então V ε () A =] ε, [, V ε (0) A =]0, ε[, 0 < ε < (se ε >, intersecção coincide com A). Aplicções: 4 Se A tem máximo, i.e., s A, então é evidente que s V ε A. 4

CDI-I o S 206/7. A equção x 2 = 2 tem solução em R: consideremos o conjunto A = {x R : x 2 < 2}. Este conjunto é não vzio, por exemplo A, e mjordo, por exemplo por 2 (se x > 2 então x 2 > 4 e x A, ou sej, qulquer x A x 2). Conclui-se que tem supremo α R, e é clro que α 2. Pode ver-se que neste cso α 2 = 2: temos α 2 < 2 α 2 = 2 α 2 > 2, procede-se por eliminção. Note-se primeiro que se x V ε (α) com 0 < ε <, tem-se 0 < x < 3, logo x+α = x+α < 5 e x 2 α 2 = x α x + α < 5ε 5ε + α 2 < x 2 < α 2 + 5ε. Se fosse α 2 2, poderímos tomr 0 < ε < α2 2 5, e neste cso: se α 2 < 2, então 5ε < 2 α 2 e vem que x 2 < 2, ou sej x A, pr qulquer x V ε (α), o que é impossível ddo que α = sup A (não seri mjornte). se α 2 > 2, então 5ε < α 2 2 e vem que x 2 > 2, pr qulquer x V ε (α), em prticulr V ε (α) A =, o que é de novo impossível por ser α = sup A. Logo α 2 = 2, e 2 := α = sup A. Tem-se tmbém 2 := inf A. Em prticulr, vemos que A não tem supremo (nem infimo) em Q, ou sej Q não verific o Axiom do Supremo. 2. π = sup{áres de polígonos inscritos circuferênci rio } (e tmbém e = sup { n k=0 k! : n N} - veremos mis trde). 3. Dizims periódics: por exemplo n 3 0, 3(3) = sup{0, 3, 0, 33, 0, 333,...} = sup : n N 0 k. k= Exercício: Definindo 0, 9(9) como cim, mostre que 0, 9(9) =. (Sugestão: vej primeiro que n k= 9 = 0 n - use exemplo 3. d ul 3 com R = 0.) 0 k Outros exemplos:. Qulquer conjunto A N mjordo, ie, tl que α = sup A R existe, tem máximo. Como α não é mjornte, existe k A tl que α < k α < k +. Como ]k, k+[ N = (já que distânci entre dois nturis é pelo menos ), se k < α terímos ]k, α] A =, o que é impossível porque α = sup A. Logo temos k = α A e α = mx A. 2. N não é mjordo, Z, Q não são mjordos nem minordos. Se N fosse mjordo teri máximo α N, o que é bsurdo já que α < α + N. 5

CDI-I o S 206/7 Aul 6 30/9/206 Vimos supremos e ínfimos, e que Mis exemplos: s = sup A s é mjornte e V ε (s) A, pr qulquer ε > 0, = inf A é minornte e V ε () A, pr qulquer ε > 0.. Propriedde Arquimedin: ddos ε > 0 e R > 0, existe n N com nε > R. 5 Como N não é mjordo, existe n N com n > R ε. 2. A = {2 n : n N}: inf A = min A = 2, não é mjordo, já que pr qulquer n N, 2 n > n +. Em gerl: se r > 0, então r n + n(r ) - desiguldde de Bernoulli, logo se r >, {r n : n N} não é mjordo. 3. A = { n : n N} : é limitdo, sup A = mx A =. Vemos que inf A = 0: é clro que 0 é minornte (e A). Por outro ldo, ddo ε > 0 temos V ε (0) A já que pr n > ε, temos n < ε. 4. Q + = R + Q não é mjordo, tem inf = 0, não tem mínimo. Reprem que segue em prticulr do Exemplo 3 cim que V ε (0) Q, pr todo o ε > 0, logo qulquer vizinhnç de zero tem infinitos números rcionis (já que N é infinito). Por outro ldo tmbém V ε (0) R \ Q, pr todo o ε > 0 (tom-se por ex. 2 m ), logo qulquer vizinhnç de zero tem infinitos números irrcionis. Mis gerlmente: Proposição.3. Ddos, b R com < b: i) existem p q Q tl que > (k ) n < k n < + n > (j ) m m < j 2 m < + 2 m < b 5 Ou sej: dd um unidde de medid ε - pequen - podemos cobrir distânci R - grnde, repetindo- um numero n - suficentemente grnde - de vezes. 6

CDI-I o S 206/7 e j 2 m R \ Q. Vrindo o intervlo, pode concluir-se que: Qulquer intervlo em R contem infinitos números rcionis e infinitos números irrcionis. Em prticulr, qulquer número rel pode ser proximdo com erro rbitrrimente pequeno por rcionis (e por irrcionis tmbém...) Exemplos:. A = [0, ] \ Q: inf A = 0, min A não existe, porque 0 A, sup A =, mx A não existe porque A. 2. A = ([0, 2] {2}) \ Q: inf A = 0, min A não existe, porque 0 A, sup A = mx A = 2. 3. A = [ 2, 2] Q: inf A = 2, min A não existe, porque 2 A, sup A = 2, mx A não existe porque 2 A. Sucessões Como sbem, um sucessão é um função u : N R, que veremos como um sequênci de números reis u, u 2,..., u n,..., n N. Escreve-se hbitulmente u n = u(n), o chmdo termo gerl d sucessão. Ao conjunto {u n : n N} chm-se o conjunto dos termos d sucessão (ou sej, o contrdomínio de u). Recorde-se que: u n é monóton crescente se u n+ u n, pr qulquer n N (estritmente se u n+ > u n ), u n é monóton decrescente se u n+ u n, pr qulquer n N (estritmente se u n+ < u n ). A sucessão u n diz-se limitd se o conjunto dos seus termos (o seu contrdomínio) {u n : n N} for limitdo, i.e., mjordo e minordo. Neste cso, existem s = sup u n e r = inf u n e temos r u n s, pr qulquer n N. Clro que um sucessão decrescente é sempre mjord (por u ) e um sucessão crescente é sempre minord. Exemplos. u n = n p, p N: decrescente, limitd, mx u n = sup u n =, inf u n = 0, não existe min u n. 2. u n = ( ) n, se n é pr =, se n é ímpr. É não monóton, limitd, mx u n = sup u n =, min u n = inf u n =. (O conjunto dos seus termos é {, }.) 7

CDI-I o S 206/7 3. u n = ( )n n = n, n, se n é pr se n é ímpr. É não monóton, limitd, min u n =, mx u n = 2. 4. Progressão ritmétic: por recorrênci, em N 0, Por indução vê-se que u 0 = u n+ = 2 + u n, n N 0. u n = + 2n, n N 0 é crescente, não mjord, min u n =. A sucessão u n verific u n+ u n = 2 é constnte. A sucessões com est propriedde chmmos progressões ritmétics, de rzão 2 neste cso. O termo gerl de um progressão ritmétic de rzão r é u n = + rn. 5. Progressões geométrics: por recorrênci, em N 0, Por indução vê-se que u 0 = 3 u n+ = 2u n, n N 0. u n = 3 2 n n N é crescente, não mjord, min u n = 3. A sucessão u n verific u n+ u n = 2, é constnte. A sucessões com est propriedde chmmos progressões geométrics, de rzão 2 neste cso. O termo gerl de um progressão geométric, de rzão r e u 0 =, é u n = r n. Notem que ( ) n tmbém é progressão geométric, de rzão. 6. u n = ( 2) n = ( ) n 2 n : não monóton, não mjord, não minord. (É um progressão geométric de rzão 2.) Limite de sucessões Temos um noção intuitiv do que é um sucessão convergir pr um ddo número, ou proximr-se rbitrrimente de um ddo número, qundo n :, 2, 3,, n, 0, 0, 0.3, 0.33, 0.333, 3, 8

CDI-I o S 206/7 Ms se vos for dd um sucessão definid por recorrênci, por exemplo d form u =, u n+ = u n 2 + u n, não é de todo imedito qul será o seu limite, ou sequer se est sucessão proxim lgum vlor. Por est e outrs rzões precismos de um definição rigoros de limite, que nos permit estbelecer de form inequivoc se um sucessão converge pr um ddo número, e tmbém pr construir um teori que leve o cálculo simples de limites. Como formlizr: u n proxim-se rbitrrimente de qundo n? O erro dess proximção é ddo por u n. Por exemplo, pr u n = n : já vimos que 0 = inf{u n : n N} e que dí vem que qulquer vizinhnç V ε (0) tem termos u n, ou sej tis que u n 0 < ε. Est condição por si só não cheg, 6 ms vemos que neste cso mis do que isso é verdde: se /N V ε (0) tmbém teremos /n V ε (0), pr qulquer n N. Exemplo: u n = n. É intuitivo que u n se proxim de pr n grnde. Vmos clculr o erro cometido o proximr por u n ou sej, distânci entre e u n : u n = n. Se quisermos grntir um mrgem de erro de ε > 0 então resolvemos u n < ε, por ex. ε = 0, : u n < 0. n < 0. n > 0 ε = 0, 00 : u n < 0.00 n < 0.00 n > 000 ε = 0 00 : u n < 0 00 n < 0 00 n > 0 00. Diz-se que u n, u n converge pr, ou proxim, se o erro u n puder ser feito tão pequeno qunto se queir (i.e., < ε), desde que se tome n suficientemente grnde, n > N, pr lgum N N (dependente de ε). Definição.4. Sej u n um sucessão rel e R. Diz-se que u n converge pr, lim u n = (ou u n ) se ddo um ε > 0 rbitrário, existe N N tl que 0... n > N u n < ε. 6 Por ex. u n = /n pr n pr, e u n = 2 /n pr n ímpr tmbém verific e neste cso u n não converge pr 9

CDI-I o S 206/7 O vlor ε > 0 é visto como mrgem de erro permitid n proximção de por u n. No exemplo cim, tinhmos ε = 0, N = 0, ε = 0 3 N = 000, e pr cd vlor de ε ddo conseguimos replicr com um N: bst tomr N /ε. (A ordem N que grnte erro < ε em gerl depende de ε e tipicmente ument qundo ε diminui - mior exigênci. 7 ) Exemplos:. u n = n 0 Pr ver que de fcto lim n = 0: u n 0 < ε n < ε n < ε n > ε. Logo, podemos tomr N N com N ε. 2. u n = ( )n 0 n Temos e procedemos como cim. ( ) u n 0 = n n = n NOTA: Um sucessão converge pr sse o erro n proximção convergir pr 0, ou sej Aul 7 3/0/206 u n u n 0. Vimos noção de limite e de sucessão convergente: u n ou lim u n = se dd um mrgem de erro ε > 0 qulquer, temos erro = u n < ε, desde que n sej suficientemente grnde, ou sej, n > N pr lgum N N. Temos ssim se erro n proximção convergir pr 0. Exemplos:. u n = 0, p N, já que np u n u n 0 u n 0 < ε n p < ε n > p ε e pr ddo ε > 0 bst tomr N p ε. (NOTA: u n decrescente, limitd e 0 = inf{u n : n N}.) 7 Clro que por ex. se u n = c for constnte, podemos tomr sempre N = independentemente de ε. 20

CDI-I o S 206/7 2. u n = ( )n n p 0, p N, já que ( ) u n 0 = n = n p 0. n p (NOTA: u n não monóton, limitd.) 3. u n = ( ) n é divergente: vmos ver que u n (de form nálog se pode ver que u n, R). Clculndo 0, se n é pr u n = 2, se n é ímpr. Se ε < 2, condição u n < ε é verificd pens, e por todos, os nturis pres. Pr qulquer n ímpr o erro é sempre 2. Como o conjunto dos números impres é não mjordo, não podemos grntir que o erro é < 2 tomndo n > N. (Notem que temos (n > N u n < ε) (n > N n é pr) que é sempre fls, N.) Veremos divergênci dest sucessão de form mis simples usndo subsucessões. (NOTA: u n não monóton, limitd.) 4. u n = ( 2) n 0, já que u n 0 = 2 n < n + < ε pr n > ε. (Ou: 2 n < ε n > log 2 (/ε).) Em gerl (notndo que pr r > 0, rn + (r )n - chmd desiguldde de Bernouilli - e fzendo = /r): Se 0 < <, então n 0 (NOTA: u n decrescente e 0 = inf{u n : n N}.) ( 5. u n = ) n = ( )n 2 2 n 0, já que u n 0 = 2 n 0. (NOTA: u n não monóton, limitd.) 6. u n = 2 n! 2, já que u n 2 = n! < n < ε pr n > ε. (NOTA: u n crescente e 2 = sup{u n : n N}.) 2

CDI-I o S 206/7 PROPRIEDADES:. O limite, se existir, é único: se u n tivesse limites e b, então ddo qulquer ε > 0, pode ver-se que b < ε, pr qulquer ε > 0 = b. (Existirim N, N 2 tis que u n < ε/2, se n > N e u n b < ε/2, se n > N 2. Tomndo um n > mx{n, N 2 }, temos b u n + u n b < ε/2 + ε/2 = ε.) 2. Se u n v n e v n 0 então u n, já que neste cso v n > 0, e ddo ε > 0, existe N N tl que pr n > N temos v n < ε e portnto tmbém u n < ε. 3. A convergênci de um sucessão não depende de um número finito de termos, ou sej, só depende de n grnde. Por exemplo, é fácil ver que sucessão n n, n 0000 u n = n, n > 0000 é convergente pr. Neste cso, ordem N prtir d qul se grnte um determindo erro pode ser diferente/mior do que no Exemplo. cim por ex. u n < 0. n > 0000. A sucessão é não monóton, limitd: mx u n = 0000 0000, min u n = 000. É importnte distinguir entre sucessão limitd (ie mjord e minord) e sucessão convergente (proxim-se de um vlor). O exemplo u n = ( ) n mostr que podemos ter sucessões limitds que não são convergentes. Temos no entnto sempre que: Teorem.5. Qulquer sucessão convergente é limitd. Demonstrção. Sej u n R. Então, d definição de limite (com ε =, por ex.), temos que existe N N tl que n > N N}. Como {u,, u N } é um conjunto finito, logo limitdo, 8 e {u n : n > N} ], + [ é tmbém limitdo, conclui-se que {u n : n N} é limitdo, ou sej, u n é sucessão limitd. Exemplo: As sucessões são divergentes, porque não são limitds. n p, p N, n, >, n!, ( n) n IMPORTANTE: O recíproco do Teorem nterior não é verdde: há (muits...) sucessões limitds que não são convergentes, por ex.: ( ) nπ ( ) n (2 + ( ) n )n +, + cos(nπ), sen,, etc. 2 n Ests sucessões (necessrimente) não são monótons, já que: 8 tem té máximo e mínimo 22

CDI-I o S 206/7 Teorem.6. Qulquer sucessão monóton e limitd é convergente:. u n crescente e mjord u n convergente e lim u n = sup u n, 2. u n decrescente e minord u n convergente e lim u n = inf u n. Demonstrção. : Sej u n um sucessão monóton e limitd, com s = sup{u n : n N} e r = inf{u n : n N} (que existem, pelo Axiom do Supremo). Vemos que se u n é crescente, então u n s (neste cso, é sempre minord e r = min u n = u ). A demostrção pr decrescente é completmente nálog. Dd um vizinhnç V ε (s) qulquer, sbemos que, por s ser supremo, existe N N tl que u N V ε (s) ou sej, u N s < ε. Como u n é crescente, pr n > N tem-se s u n u N. Logo, pr n > N, u n s < ε e portnto, d rbitrriedde de ε > 0, u n s. As sucessões monótons e limitds são de cert form subclsse mis simples de sucessões convergentes: convergem pr sup u n se forem crescentes, pr inf u n se forem decrescentes. Se um sucessão não for monóton pode ou não ser convergente: já vimos lguns exemplos ( ) n n p, ( 2) n convergentes; ( ) n, ( ) n + são divergentes. n Limite e operções lgébrics: Veremos gor lguns resultdos que são úteis no cálculo de limites. (Voltremos todos eles no cso mis gerl ds funções em R.) Proposição.7. Se u n e v n são convergentes, u n e v n b, então tmbém u n ± v n, u n v n, u n v n (se b 0) convergem e (i) u n ± v n ± b, (ii) u n v n b, (iii) u n v n b, se b 0. Demonstrção. Vemos (i) título de exemplo: como ntes, tom-se N = mx{n, N 2 } tl que se n > N então u n < ε/2 e v n < ε/2. D desiguldde tringulr: (u n ± v n ) ( ± b) = (u n ) ± (v n b) u n + v n b < ε. Pr (ii), escreve-se u n v n b = u n v n u n b + u n b b = u n (v n b) + (u n )b e procede-se como cim. Pr (iii), bst ver que se v n b 0 então v n b (Exercício.) Exemplos:. (2 + ) ( ( ) n ) n 2 + 2. n 2. n + 3 2n + = + 3/n 2 + /n 2. 23

CDI-I o S 206/7 3. 4. 5. (n + ) 3 + (2n + ) 3 8. ( ( ) n + 3) (2 + ) n 6. 2 3 + 2 n 4 + 3 n 3 4. Limite e relção de ordem: Em gerl, se u n e v n são convergentes, com u n e v n b então. N. (Porque: tomndo ε < (b )/2 temos que existe N tl que se n > N, então u n V ε () e v n V ε (b), em prticulr u n < + ε N b. Um resultdo muito útil, porque permite provr convergênci de um sucessão dd é: Teorem.8 (Sucessões enqudrds). Se v n u n w n, pr n > N e lim v n = lim w n então u n é convergente e lim u n =. Demonstrção. Ddo ε > 0, tommos N = mx{n, N 2 } em que n > N v n < ε, n > N w n < ε. Pr n > N, temos então logo tmbém u n V ε (), ou sej, u n < ε. ε < v n u n w n < + ε (Notem que no teorem nterior convergênci de u n não er dd, foi provd prtir do enqudrmento.) Por ex. pode ver-se convergênci de. u n = ( )n n 2. u n = + sen(n) n! 0 já que n ( )n n já que n. n! + sen(n) n! + n! e lim n! = lim + n! =. 24

CDI-I o S 206/7 Um consequênci muito útil n prátic: se u n 0 e b n é um sucessão limitd, m b n M, então (ssumindo u n 0 pr simplificr): e por enqudrmento, lim u n b n = 0. Ou sej: mu n u n b n Mu n O produto de um infinitésimo por um sucessão limitd é um infinitésimo. Por exemplo, usndo que se 0 < < então n 0, temos tmbém neste cso logo ( ) n 0. Vê-se ssim que n ( ) n n < < n 0 (pr = 0 é evidente...) Se =, sucessão n = ( ) n diverge, e se =, n =. Aul 8 7/0/206 Aul pssd: convergente limitd. Ms: convergente (tem um limite, proxim-se de um vlor) limitd (mjord e minord, está entre dois vlores, i.e., o seu gráfico encontr-se num fix horizontl do plno). limitd + monóton convergente (crescente: lim u n = sup u n, decrescente: lim u n = inf u n ). Subsucessões As sucessões não monótons podem ou não ser convergentes. Pr estudr su convergênci é muits vezes útil tomr subsucessões: Vimos que sucessão u n = ( ) n não é convergente, ms fzendo n = 2k e n = 2k, k N, obtemos dus novs sucessões, gor convergentes (constntes) v k = u 2k =, k N, w k = u 2k =, k N. Em gerl: dizemos que v k = u nk é subsucessão de u n se n k N é um sucessão estritmente crescente de indices. As sucessões v k = u 2k e w k = u 2k são exemplos de subsucessões de u n : dos termos de ordem pr, e dos termos de ordem ímpr. Há muito mis: u 3k, u k+0, u k! etc. u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6... u 2k u 2 u 4 u 6... u 2k u u 3 u 5... u 3k u 3 u 6... u k+ u 2 u 3 u 4 u 5 u 6... 25

CDI-I o S 206/7 Definição.9. Um sublimite de u n é um limite de um subsucessão. Exemplo:. ( ) n tem 2 sublimites:,. ( ) n n 2. tem 2 sublimites: /2, /2. 2n + ( 3. cos n π ) tem 3 sublimites:, 0,. 2 Há lgums proprieddes ds sucessões que pssm pr s subsucessões (s proprieddes globis): se u n for limitd, tods s sus subsucessões tmbém serão; se u n for monóton, tods s sus subsucessões tmbém serão. Se u n for não monóton, já vimos que pode ter subsucessões monótons. Pode ver-se (difícil): qulquer sucessão tem subsucessões monótons. Se for limitd, obtemos o seguinte: Teorem.20 (Bolzno-Weierstrss). Um sucessão limitd tem sempre um subsucessão convergente, i.e., tem pelo menos um sublimite. Demonstrção. (Idei) Prov-se que u n tem um subsucessão monóton, sendo limitd, ess subsucessão será convergente. Se, mis do que limitd, u n for convergente, tem-se o seguinte: Teorem.2. Se u n é convergente, então tods s sus subsucessões tmbém são e pr o mesmo limite. Em prticulr, u n tem um único sublimite em R. O resultdo nterior dá-nos um critério de divergênci: Se (u n ) tem (pelo menos) dois sublimites diferentes, então é divergente. Exemplo: As sucessões ( ) n, ( )n n (n 2n +, cos π 2 sublimite. ) são divergentes, porque têm mis do que um O recíproco do teorem nterior tmbém é verdde, usremos n seguinte form: Proposição.22. Se lim u 2k = lim u 2k = então u n é convergente e lim u n =. Demonstrção. Ddo ε > 0, sejm N, N 2 tis que u 2k < ε, se 2k > N u 2k < ε, se 2k > N 2. Tomndo N = mx{n, N 2 }, temos n > N u n < ε. Exemplos:. ( ) n n converge pr 0. 26

CDI-I o S 206/7 2. sen ( n π 2 ) n 2 converge pr 0. 3. sen ( n π 2 ) diverge: sublimites, 0,. 4. + ( ) n : diverge, sublimites 0, 2. 5. ( + ( ) n )n: diverge porque é não mjord, ou lim u 2k = lim 0 = 0 e lim u 2k = lim 4k não existe em R. (Reprem que só tem um sublimite 0 em R.) (Nos dois primeiros exemplos cim podímos ver convergênci usndo o critério sucessões enqudrds.) Limite de sucessões por recorrênci: Tomemos por exemplo sucessão seguinte: u = 2, u n+ = 2 + u n Como clculr o limite, ou decidir se u n é divergente? Em gerl, fzemos em dois pssos: () Mostrr que u n é convergente. (2) Clculr o limite. Pr (2), se ssumirmos, ou se já soubermos, que u n é convergente, com u n L R, então podemos determinr os cndidtos limite d seguinte form: u n+ L, porque u n+ é subsucessão de u n, 2 + u n 3 2 + L, pels proprieddes lgébrics do limite. 3 Tomndo o limite n expressão por recorrênci, temos então 3, L = 2 + L 3 2L 3 = 2 L = 3. Ou sej: se u n é convergente em R então lim u n = 3. Ms reprem que os cálculos cim não grntem de todo convergênci de u n (liás, se u n ± - veremos seguir - são ind válidos). Há váris forms pr mostrr que u n tem limite em R, quse sempre envolvendo indução mtemátic. Neste cso, veremos que u n é monóton e limitd, e portnto convergente: (i) 2 u n < 3: por indução u = 2, logo verddeiro pr n = ; se 2 u n < 3 então Logo, 2 < u n+ < 3. 2 + 2 3 2 + u n 3 < 2 + 3 3 8 3 u n+ < 3. 27

CDI-I o S 206/7 (ii) u n é monóton crescente: u n+ u n = 2 + u n 3 u n = 2(3 u n) > 0, pr qulquer n N. 3 Logo, u n é convergente e pelos cálculos cim, lim u n = 3. Aul 9 0/0/206 Exemplo: Aproximr 2 Considere-se sucessão definid pr n N 0 por u 0 =, u n+ = u n 2 + u n, Procedendo como cim, vemos que se provrmos que u n L R então L = L 2 + L L2 = 2 L = ± 2. É fácil ver (por indução) que u n > 0, pr qulquer n N 0, logo, terímos L = 2. Pr ver que é convergente, pode ver-se que u n+ 2 = u n 2 + 2 = u2 n + 2 2 2un u n 2u n = (u n 2) 2 0, n N 0. 2u n Temos então u n 2, pr n N (i.e n ). (Exercício: mostre que u n é decrescente, n N, e portnto tem limite em R.) Veremos convergênci de (u n ) de um form lterntiv, que nos permite ind estimr o erro cometido n proximção: do cálculo cim temos, porque u n, n N 0, u n+ 2 (u n 2) 2. 2 Exercício: mostre por indução que, pr qulquer n N 0, u n ( 2 n 2 2. 4) Segue-se (d definição de limite ou do princípio ds sucessões enqudrds) que lim u n = 2. Por outro ldo, se quisermos proximr 2 com mrgem de erro ε > 0, é suficiente chr N N tl que ( 2 N 2 < ε 4 4) 2N > 2 ε. (Determine N pr ε = 0 4 - convergênci é muito rápid.) Notem que u n Q, pr todo n N 0 - provr por indução. Informlmente, vimos que há essencilmente dois tipos de fenómenos que levm que um sucessão sej divergente: 28

CDI-I o S 206/7 (i) u n oscil, no sentido em que há subsucessões com comportmentos diferentes nível de convergênci (dois ou mis sublimites diferentes), (ii) u n é não mjord / minord. Clro que podemos ter (i) + (ii) (por ex. u n = n ( )n ) Pr terminr o nosso estudo de sucessões, vmos estender noss noção de limite lgums sucessões não limitds. A rect cbd define-se como R = R {± } em que, por definição, x < +, x R e x >, x R. Podemos então escrever R = [, + ]. É clro que qulquer subconjunto de R é mjordo/minordo em R (se A R é não mjordo em R, sup A = + em R). Definição.23 (Limites infinitos). Sej (u n ) um sucessão. Diz-se que (i) lim u n = +, ou u n + em R se ddo R > 0 qulquer, existe N N tl que n > N u n > R. (ii) lim u n =, ou u n em R se ddo R > 0 qulquer, existe N N tl que n > N u n < R. Diz-se que (u n ) converge em R (e diverge em R) se lim u n = + ou lim u n =. Clro que se u n converge em R tmbém converge em R. NOTA: Considerndo R = [, + ], é nturl definir V R (+ ) =]R, + [ e V R ( ) = ], R[ como s vizinhnçs à esquerd e à direit de + e, respectivmente. 9 Nesse sentido, definição de limite dd cim coincide com dd nteriormente em R - usndo vizinhnçs. Exemplos:. u n = n + : ddo R > 0 resolvemos u n > R n > R n > R 2. Tomndo N N com N R 2 temos o pretendido. 2. u n = 3 n : ddo R > 0 resolvemos u n < R 3 n < R n < R 3 n > + R 3. Tomndo N N com N + R 3 temos o pretendido. PROPRIEDADES: 9 Por vezes define-se V ε (+ ) =]/ε, + [, por form que ε < ε V ε (+ ) V ε (+ ). 29

CDI-I o S 206/7. Qulquer sucessão monóton tem limite em R: (u n ) crescente não mjord: u n + (u n ) decrescente não minord: u n. 2. Um sucessão é convergente em R tem um único sublimite em R. 3. Pode ver-se fcilmente (exercício): u n v n e v n + u n +, u n v n e v n u n. Exemplos:. As sucessões n p, p N, n, >, n!, n n são tods convergentes pr + em R - são crescentes, não mjords. 2. u n = ( + ( ) n )n é divergente em R 3. Progressão geométric n : é divergente em R se <, divergente em R (e em R) se =, convergente pr 0 se < e pr se =, convergente pr + em R se >. Os resultdos vistos pr operções lgébrics mntêm-se válidos em R, respeitndo s seguintes convenções: + (± ) = ±, R; ±, se > 0, ± =, se < 0, ; (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) = (± )(+ ) = ±, (± )( ) =, ± = 0, R, 0 + = +, 0 =. (Ms pode não convergir em R.) 0 Exemplos: ( ). lim n 2 (n 2 + ) = 2 (+ ) =. 2. lim 2 n n = 0 + = 0. 30

CDI-I o S 206/7 Símbolos de indeterminção (ou indeterminções):, 0,, 0 0 trde: 0 0, 0, ). (veremos mis Notem que s convenções lgébrics em R, ie envolvendo, são n relidde sobre limites: por ex. (+ ) = + quer dizer que pr quisquer sucessões (funções) u n com limite e v n com limite +, temos lim u n v n = +. No cso ds indeterminções, o limite dependerá ds sucessões considerds: por ex., é clro que ns indeterminções podemos ter lim n0 = 0, n000 n000 lim n 0 = +, lim Kn0 = K R. + n0 Se u n, v n são infinitmente grndes (crescentes), ou infinitésimos (decrescentes), o lim u n v n dá-nos informção sobre como comprr s ordens de crescimento, respectivmente decrescimento, de u n e de v n. Definição.24. Notção: se u n, v n > 0, escreve-se u n << v n se lim u n v n = 0. e lê-se u n é desprezável em relção v n ou muito menor que v n. Neste cso lim v n v n >> u n ( muito mior ). u n = + e Em gerl us-se notção cim nos csos lim u n = lim v n = +, ou lim u n = lim v n = 0. Por exemplo, n 0 << n 000 e n 000 << n 0. Em gerl, temos n p << n q, se p < q. (Ms reprem que não é verdde pr p = q: não temos n 2 << 2n 2...) Não é tão clro neste momento como comprr outros infinitmente grndes, ou sej, quis serão, por ex., os limites lim np n, n n! lim, lim n! n n. Nestes csos, o seguinte critério é muito útil: Proposição.25. Sej n > 0. Se lim n+ n (i) se L > então lim n = + ; (ii) se L < então lim n = 0. = L então Note-se que se L = nd se pode concluir: pr qulquer n 0 temos n+ n (porquê?) Demonstrção. Se lim n+ n = L > então n+ > pr n suficientemente grnde, logo n é crescente prtir de determind ordem n > N. Se n fosse limitd, seri convergente n 0 e L = - impossível. Assim n é não limitd e como é crescente pr n > N, tem-se n +. Se lim n+ n = L <, tom-se b n = n e plic-se (i). 3

CDI-I o S 206/7 Aul 0 2/0/206 Escl de sucessões: se p > 0 e >, então n p << n << n! << n n. (i) lim np n = 0 porque fzendo n = np n, temos lim n+ n = < pr >. (ii) lim n n! = 0 porque fzendo n = n n!, temos lim n+ n = 0 <. (iii) lim n! n n = 0 porque fzendo n = n! n n, temos lim n+ n = e <. NOTA: O primeiro limite será tmbém consequênci do levntmento de indeterminções no contexto ds funções de vriável rel, que veremos seguir (os outros limites não, porquê?) Tmbém se pode ver que ln n << n p, pr p > 0. Devem sber est relção de ordem e podem usá-l no cálculo de outros limites: Exemplos:. lim 22n + n 3 5 n + n 2 = 0 2. lim 2n + n 5 n! + = 0 3. lim nn n! + 00 n = + 4. lim n5 2 n n! + cim. = 0. Não si d escl de sucessões directmente - plic-se critério visto 5. lim nn 3 n = 0: tmbém não si d escl de sucessões directmente. n! Em gerl: lim nn n nn n! = 0, se > e e lim n n! = +, se < e. Indeterminções de tipo potênci: 0 0, 0,. Lidremos com ests indeterminções mis gerlmente no contexto ds funções em R. Um exemplo importnte que já virm é:. lim ( + n) n = e: é indeterminção. Mis gerlmente, se u n +, v n R e v n u n 0, então ( lim + v ) un n = e. u n 32

CDI-I o S 206/7 NOTA: O número e pode definir-se como o limite d sucessão cim: prov-se que sucessão é crescente e que os seus termos estão em [2, 3[, logo será convergente, e o seu limite denomin-se por e. Tmbém veremos que e = lim As indeterminções 0 0 e 0 vêm por vezes d riz índice n: se n 0, define-se se n = 0, constnte, então se n 0, por enqudrmento, n k=0 k!. u n = n n = ( n ) n, n N. lim n = lim n = 0 =. lim n n = 0 =. se n 0 ou n, temos indeterminções 0 0 ou 0. Veremos como levntr est form de indeterminção em gerl qundo virmos funções em R. 33

CDI-I o S 206/7 Aul 0 2/0/206 (cont.) 2 Funções Reis: Limite e Continuidde Vmos pssr gor o estudo de funções com domínio qulquer D R, f : D R. Começmos por rever lguns conceitos conhecidos que usremos n cdeir. O conjunto D diz-se o domínio de f e R é o conjunto de chegd. O contrdomínio ou imgem de f é ddo por CD f = f (D) = { f (x) : x D}. Por vezes escrevemos CD f = f (D). Em gerl, ddo um subconjunto A D, escrevemos - corresponde à imgem dos pontos de A. f (A) = { f (x) : x A} f diz-se limitd (mjord / minord) se CD f é limitdo (mjordo / minordo) em R, ou sej, se existem M, m R tis que m f (x) M, pr qulquer x D. Define-se, qundo existm, sup f = sup CD f, inf f = inf CD f, mx f = mx CD f, min f = min CD f. 0 O gráfico de f é um subconjunto do plno R 2 G( f ) = {(x, f (x)) R 2 : x D}. ( f é limitd o seu gráfico está entre dus rects horizontis y = m e y = M.) f diz-se pr se f ( x) = f (x), e ímpr se f ( x) = f (x) pr todo x D f (ssumindo que o domínio é simétrico). f é monóton crescente (em D) se (estritmente se f (x 2 ) > f (x )). f é monóton decrescente se (estritmente se f (x 2 ) < f (x )). x 2 > x f (x 2 ) f (x ), pr todos x, x 2 D x 2 > x f (x 2 ) f (x ), pr todos x, x 2 D Notem que se D = N, i.e, se f é um sucessão, definição cim é equivlente à que demos f (n + ) f (n), pr n N. Em R não é verdde! Aliás, qulquer função periódic de período verific f (x + ) f (x) e não é monóton ( menos que sej constnte). Exercício: dê um exemplo de f tl que f (x + ) > f (x), pr todo x R + e f não é crescente. 0 Estes máximo e mínimo serão mis trde qulificdos como bsolutos. 34

CDI-I o S 206/7 Exemplos:. f (x) = x 2 + pr, minord min f = (minimiznte em x = 0), não mjord, decrescente em ], 0], crescente em [0, + [, CD f = f (R) = [, + [. 2. f (x) = (x ) 3 não é pr nem ímpr (simétric em relção x = ), não minord nem mjord, crescente em R, CD f = f (R) = R. 3. f (x) = x, D f = R \ {0}, ímpr, não mjord, não minord, crescente em ], 0[ e em ]0, + [, não monóton em R \ {0}, CD f = f (R \ {0}) = R \ {0}. Veremos: 4. Função de Hevisde, se x 0 H(x) = 0, se x < 0. Limitd, monóton crescente (não estritmente), CD H = H(R) = {0, }. 5. Função de Dirichlet, se x Q d(x) = 0, se x Q. Limitd, não monóton, pr, periódic com qulquer período rcionl (d(x + r) = d(x), pr qulquer x R, r Q), CD d = {0, }. Grnde prte ds funções que considermos neste curso são dds por soms, produtos e composição ds chmds funções elementres: polinomiis e rcionis, exponenciis e logritmics, trigonométrics e sus funções inverss. Reprem que, sem ser no cso ds polinomiis e rcionis (que só envolvem soms, produtos e quocientes) não sbemos de fcto clculá-ls, nem defini-ls rigorosmente, ind. NOTA: Assumiremos conhecids s principis proprieddes dests clsses de funções, lgums dels veremos / justificremos o longo do semestre. É IMPORTANTE reverem ests clsses e conhecerem os seus gráficos - ver por exemplo, Folhs de CDI-I, Secção 2.2, ou livro J. P. Sntos - secção 3. Fremos qui pens um revisão breve. Clsses de funções elementres: 35

CDI-I o S 206/7. Funções polinomiis f (x) = 0 + x +... + n x n, D f = R, no máximo n zeros (rever fctorizção). Gráficos: f (x) = x p, p pr, e p ímpr f (x) = (x 2 4)(x + ), f (x) = (x 2 4)( x 2 ) 2. Funções rcionis: f (x) = p(x) q(x), com p(x), q(x) polinomiis, D f = {x R : q(x) 0} Gráficos: f (x) =, p pr, e p ímpr xp f (x) = + x 2. 3. Funções trigonométrics: podem definir-se geometricmente prtir do circulo trigonométrico: sen x, cos x com D = R, periódics com período 2π, sen ímpr, cos pr, e tmbém tods periódics de período π. tn x = sen x cos x, sec x = cos x, D = R \ { π 2 + kπ, k Z} cotg x = cos x sen x, cosec x = sen x, D = R \ {kπ, k Z}, Fórmul fundmentl: sen 2 x + cos 2 x =, dividindo por cos 2 x, temos tmbém + tg 2 x = cos 2 x = sec2 x. (Relembrr outrs fórmuls trigonométrics: sen(2x) = 2 sen x cos x, cos 2x = cos 2 x sen 2 x - usremos). 4. Função exponencil: f (x) = e x, com D f = R, contrdomínio R +. Pr já, pode definir-se como e x = lim n ( + x n) n, ou definindo logritmo e tomndo invers. Temos: Temos tmbém que e x + x, x R. e x+y = e x e y, (e x ) y = e xy e x crescente em R. Outrs exponenciis: x = e x ln. Notem que se 0 < < então x é decrescente em R. 5. Função logritmo: f (x) = ln x com D f = R +, contrdomínio R. Pr já, pode definir-se como invers de e x, ou geometricmente: ou definindo primeiro e p q com p q Q e fzendo ex = sup{e p q : p/q < x}. 36

CDI-I o S 206/7 se >, ln é áre d região de ordends positivs bixo do gráfico de /x, com x entre e, se <, é negtivo d áre. 2 Temos ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x y ) = y ln x., ln x crescente em R +. Temos tmbém que ln x x, x R +. Outros logritmos: log x = ln x. ln Potêncis: pr x > 0 e α R, define-se x α := e α ln x. Aul 4/0/206 Operções lgébrics: f : D f R, g : D g R então f ± g, f g : D f D g R, f g : D f {x D g : g(x) 0} R. Composição: f : D f R, g : D g R então f g : {x D g : g(x) D f } R, ( f g)(x) = f (g(x)). É clro que est operção não é comuttiv: f g g f em gerl! Exemplos:. Domínio de f (x) = tg x + cot x: D f = D tg D cot em que D tg = {x R : cos x 0} = {x R : x π 2 + kπ, k Z} logo D f = {x R : x k π 2, k Z}. 2. Domínio de f (x) = 3. f (x) = x, g(x) = x, h(x) = 2x + : D f = R \ {0}, D g = R + 0, D h = R, D cot = {x R : sen x 0} = {x R : x kπ, k Z} sen x cos x + tg(2x): D f = R \ { kπ 4 : k Z}. f f (x) = x, g g(x) = 4 x, h h = 4x + 3, h g(x) = 2 x + g h(x) = 2x + D h g = R + 0 = D g (porque D h = R), D g h = {x : 2x + R + } = [ /2, + [. 0 2 Neste cso, o número e poderi definir-se como bciss tl que áre =, ie, tl que ln e =. 37

CDI-I o S 206/7 4. Domínio de f (x) = ln(4 x 2 ): D f =] 2, 2[. Função invers Dd f : D R, queremos inverter plicção f, ou sej, se x f (x) = y, queremos recuperr o vlor x prtir do vlor y = f (x), pr definir um função É clro que: y x = f (y) sse y = f (x). i) A equção y = f (x) tem solução se, e só se, y CD f = f (D), ou sej o domínio de f será CD f ; ii) x só fic unívocmente determindo prtir de y f (D) se f for injectiv, ou sej, se x x 2 f (x ) f (x 2 ), pr todo x D. Neste cso, equção f (x) = y tem no máximo um solução em D (se existir, é únic). Exercício: Se f é estritmente monóton, então é injectiv. O recíproco não é verdde: por ex. f (x) = /x é injectiv, ms é não monóton em D = R \ 0 (porquê?) Definição 2.. Dd f : D R injectiv, CD f = f (D), define-se função invers de f como f : f (D) D R, y f (y) = x tl que f (x) = y. É clro que temos sempre, qundo definids, ( f f )(y) = y, y D f = CD f, ( f f )(x) = x, x D f, ( f g) = g f. (Relembrem que o gráfico de um função e d su invers são simétricos em relção à rect y = x.) Pode ver-se tmbém (Exercício) que f crescente / decrescente em D f crescente / decrescente em f (D). NOTA: f diz-se sobrejectiv se CD f = R, ssumindo f : D R, 3 ou sej equção f (x) = y tem sempre, pelo menos, um solução em D, pr qulquer y R. f : D R diz-se bijectiv se for injectiv e sobrejectiv. Neste cso, equção f (x) = y tem sempre solução únic em D, pr todo y R e respectiv função invers está definid em R. Exemplos:. f (x) = x p, p ímpr, é sobrejectiv, su invers é f : R R tl que f (y) = p y y = x p x = p y. 3 f : A B diz-se sobrejectiv se f (A) = B, ou sej, se imgem é todo o conjunto de chegd B - ddo. 38