Folhas. Cálculo Diferencial e Integral I LMAC/MEBiom/MEFT 1 o semestre 2015/16

Transcrição

1 Folhs Cálculo Diferencil e Integrl I LMAC/MEBiom/MEFT o semestre 205/6 Miguel Abreu Rui Loj Fernndes Mnuel Ricou Deprtmento de Mtemátic Instituto Superior Técnico 6 de Setembro de 205

2 DMIST - 205

3 Conteúdo Os Números Reis. Proprieddes Algébrics Desigulddes e Relção de Ordem O Axiom do Supremo Números Nturis e Indução Conjuntos Infinitos Limites e Continuidde Noções Elementres sobre Funções Exemplos de Funções Reis de Vriável Rel Funções Polinomiis e Rcionis Funções Trigonométrics Funções Exponencil e Logritmo Limite de um função num ponto Proprieddes Elementres de Limites Limites Lteris, Infinitos e no Infinito Indeterminções Continuidde Funções Contínus em Intervlos Derivds Derivd de Um Função num Ponto Regrs de Derivção Derivd de Funções Composts O Teorem de Lgrnge Teorem e Regr de Cuchy Extremos, Concvidde e Assímptots Polinómios de Tylor Integris Introdução Os Teorems Fundmentis do Cálculo (I) Técnics de Primitivção i

4 ii CONTEÚDO 4.3. Primitivção e Integrção por Prtes Primitivção por Substituição Primitivção de Funções Rcionis Primitivção de Funções Trigonométrics O Integrl de Riemnn Funções Integráveis Os Teorems Fundmentis do Cálculo (II) Sucessões e Séries Definições Básics Sucessões Séries de Termos Não-Negtivos Critério de Comprção Critério Integrl Critério do Limite Critérios d Ríz e d Rzão Outrs Séries Numérics Séries de Tylor Algums Funções Trnscendentes

5 Cpítulo Os Números Reis A sociedde contemporâne é sustentd por um complex infrestrutur tecnológic desenhd e construíd por engenheiros ms que, em últim nálise, deve su existênci às grndes teoris científics d ctulidde. Ests teoris ssentm, por su vez, num bse mtemátic de enorme sofisticção técnic, cuj explorção exustiv se tornou possível pelo explosivo desenvolvimento ds tecnologis de informção e comunicções. Em termos práticos, é hoje impossível compreender e plicr muito do conhecimento científico mis relevnte sem dominr os conceitos e resultdos mtemáticos indispensáveis à elborção e explorção desse conhecimento. Sendo Engenhri sobretudo plicção de conhecimentos científicos à resolução de problems práticos específicos, os seus profissionis necessitm de formção cdémic com um sólid componente mtemátic, e este texto foi concebido exctmente como um instrumento de trblho útil lunos de engenhri e áres fins n fse mis inicil do seu percurso universitário. Pode ser útil identificr desde já lgums ds especificiddes que distinguem Mtemátic de outros rmos do conhecimento humno. A su escl temporl é segurmente excepcionl. A Mtemátic tem um históri literlmente milenr, e tems como os de Cálculo Diferencil e Integrl que qui nos ocuprão, que começrm ser intensmente explordos há mis de 300 nos, são em certo sentido modernos, pelo menos qundo observdos nesse contexto. Por oposição, é evidente que áres científics e tecnológics obíqus n ctulidde, como electrónic, os sistems de informção, energi tómic, o eroespcil, s telecomunicções são crições de um pssdo muito recente, que se mede no máximo em lgums décds( ). A própri produção d Mtemátic obedece tmbém métodos muito próprios, de bstrcção, reflexão e dedução lógic, num ctividde que prece normlmente observdores externos como irrelevnte e totlmente Estim-se que estejm hoje vivos cerc de 90% de todos os cientists que já viverm, e os lunos que entrrm no IST em 204 nscerm proximdmente qundo Internet pssou estr comercilmente disponível em Portugl.

6 2 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS desligd d vid prátic, envolvendo conceitos pouco comuns como os de xiom e teorem. Curiosmente, est concepção d nturez d Mtemátic, no que hoje chmmos exctmente o método xiomático, é el própri muito ntig, porque foi vislumbrd pelo menos há mis de 25 séculos, no período áureo d Gréci Antig. Ness ltur, lguns dos filósofos e mtemáticos mis fmosos d Históri compreenderm, tlvez pel primeir vez, que s infinits proprieddes ds figurs geométrics usuis podem ser deduzids de um pequeno conjunto de proprieddes iniciis, os chmdos xioms, e não são por isso independentes entre si. Est descobert teve enorme impcto no desenvolvimento culturl d Humnidde, e mrc pr muitos descobert do método científico como o instrumento proprido o estudo e compreensão d relidde objectiv. A título de exemplo, o mis ntigo desenvolvimento xiomático d Geometri que chegou os nossos dis foi escrito por Euclides, em Alexndri, por volt de 300 A.C., e é conhecido como os Elementos (de Euclides)( 2 ). Euclides introduziu como termos indefinidos d d su teori noções como s de ponto, linh e plno, que representm por isso conceitos estudr no contexto d teori, ms que ess teori não define. O texto originl de Euclides refere pens 5 xioms, exprimindo proprieddes dests noções tomds como básics, sendo que destes o quinto xiom sempre foi o mis fmoso e controverso, por ser menos óbvio. Pode ser formuldo como o xiom ds prlels: por um ponto exterior um rect pss um e um só rect prlel à rect dd. Foi pens no século XIX que lguns mtemáticos (Guss, Bolyi, Lobchevski) se venturrm negr este xiom, descobrindo dest form geometris que hoje chmmos não-euclidins. Um ds versões moderns mis fmoss d Geometri Euclidin bsei-se em 20 xioms( 3 ). É hoje um ddo dquirido que qulquer teori mtemátic supõe como ponto de prtid existênci de determindos objectos bstrctos, que são os seus termos indefinidos, prtir dos quis se podem introduzir definições de outros objectos bstrctos. Supõe lém disso que esses objectos gozm de um conjunto de proprieddes básics, e são ests proprieddes que constituem os xioms d teori. De um form um pouco mis precis, deve entender-se que Os termos indefinidos são conceitos bstrctos básicos que teori estud, ms que não define em termos de outrs noções porventur mis elementres, e 2 A Geometri de Euclides é sem dúvid o mis fmoso texto científico de sempre, e provvelmente o livro mis publicdo n Históri seguir os grndes textos religiosos como Bíbli e o Corão. 3 Apresentd pelo grnde mtemático lemão Dvid Hilbert, , em 899. O trblho de Hilbert sobre Geometri está disponível n Internet, trvés do Projeto Gutenberg.

7 3 Os xioms são s proprieddes dos termos indefinidos que teori supõe verddeirs sem s deduzir prtir de quisquer outrs. O desenvolvimento d teori é, simplesmente, explorção ds consequêncis lógics ds proprieddes referids nos xioms, e são esss consequêncis que constituem os teorems dess teori. Bem entendido, não nos propomos presentr neste texto o lborioso processo de construção de tods s entiddes mtemátics necessáris o estudo do Cálculo Diferencil e Integrl prtir dum bse xiomátic rzovelmente complet. Esse processo de construção, que é de interesse sobretudo pr um grupo restrito de mtemáticos profissionis, não é segurmente proprido o que será, em muitos csos, o primeiro contcto com ideis qui presentds e discutids. Mis concretmente, limitmo-nos ceitr de um form ingénu, ou sej, sem qulquer tenttiv de formlizção, s principis noções e resultdos d Teori dos Conjuntos, que é em últim nálise o ponto de prtid de tod Mtemátic ctul. Em prticulr, o texto pressupõe que o leitor conhece e entende esss noções e notção em que usulmente se exprimem. Pr lém disso, e como bse pr explorção ds ideis específics do Cálculo Diferencil e Integrl, limitmo-nos tomr noção de número rel como termo indefinido, e seleccionmos um conjunto proprido de proprieddes básics dos números reis como xioms. Tods esss proprieddes dizem respeito às operções de som e produto e à relção de ordem entre reis ( mior do que, menor do que, etc.), devem ser bem conhecids, e o leitor estrá provvelmente hbitudo tomá-ls como evidentes, i.e., ceitá-ls sem qulquer discussão ou nálise mis profund, com possível excepção do chmdo Axiom do Supremo. Neste primeiro Cpítulo, focmos noss tenção neste xiom em prticulr, e proveitmos tmbém pr formlizr um pouco melhor noção de número nturl, e fundmentr o chmdo princípio de indução. Comexcepção járeferidderesultdos eideis bsedteori dos Conjuntos, tods s restntes definições qui introduzids não envolvem outros conceitos, e tods s firmções qui incluíds são teorems demonstrdos prtir dos xioms iniciis, usndo s leis d Lógic. Nturlmente, é indispensável dquirir, em prlelo com o desenvolvimento rigoroso d teori, um entendimento intuitivo dos resultdos obtidos, que jud em prticulr compreender como s ideis em cus são úteis n construção de modelos mtemáticos d relidde físic. Em prticulr, usul interpretção dos números reis como pontos de um rect, dit rect rel, é indispensável o seu entendimento intuitivo. A correspondênci entre números e pontos depende d escolh de um unidde de medid, e ess escolh pode ser feit seleccionndo dois pontos específicos pr corresponderem os reis zero e um. Ess escolh determin tmbém um sentido crescente n rect, do ponto 0 pr o ponto, que mteriliz outr ds proprieddes mis fundmentis dos reis, o seu ordenmento. O primeiro xiom que presentmos

8 4 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS limit-se introduzir s entiddes mis básics que nos propomos estudr: os números reis e s usuis operções de som e produto. Axiom I. Existe um conjunto R, dito dos números reis. Existem dus operções lgébrics em R, som (ou dição) e o produto (ou multiplicção), designds por + e, ou sej, se x,y R então x+y R e x y R. O conjunto R inclui elementos distintos 0 (zero) e (um). R 0 Como é usul, muits vezes omitimos o símbolo, i.e., escrevemos xy em vez de x y. Usmos s hbituis convenções sobre prênteses e prioridde ds operções sem mis comentários, e.g., (x+y) z x+y z = x+(y z).. Proprieddes Algébrics O próximo xiom é list ds proprieddes lgébrics ds operções de dição e multiplicção que tommos como ponto de prtid: Axiom II. Temos pr quisquer,b,c R que:. Comuttividde: +b = b+ e b = b. 2. Associtividde: (+b)+c = +(b+c) e ( b) c = (b c). 3. Distributividde: (b+c) = b+ c. 4. Elementos Neutros: +0 = =. 5. Simétricos: A equção +x = 0 tem solução x R. 6. Inversos: Se 0, equção y = tem solução y R. Como já referimos, s proprieddes indicds cim são bem conhecids e é comum tomá-ls como óbvis. O xiom cim mis não fz do que formlizr ess opção. Ms é interessnte notr que ests proprieddes não

9 .. PROPRIEDADES ALGÉBRICAS 5 são certmente específics dos números reis, porque são igulmente stisfeits, e.g., pelos números rcionis e pelos números complexos( 4 ). Como som e o produto são comuttivos, muits ds firmções no xiom II podem tomr múltipls forms, que usremos sem comentários dicionis. Por exemplo, é clro que +0 = 0+ = = = (em 4), +x = x+ = 0 (em 5) e y = y = (em 6). Pssmos mostrr que muits outrs proprieddes lgébrics elementres dos reis não são independentes ds que indicámos no xiom II, porque são su consequênci lógic, i.e., são teorems d teori que qui desenvolvemos. Por exemplo, o xiom II não fz qulquer referênci à unicidde dos elementos 0 e que são referidos em 4, nem muito menos à unicidde (pr cd rel ) dos reis x e y referidos em 5 e 6. N relidde, tl referênci seri supérflu, porque unicidde referid result ds proprieddes já indicds, e é um cso prticulr do que é usul chmr s Leis do Corte : Teorem... Pr quisquer,u,v R, temos ) Lei do corte pr som: u+ = v + = u = v. b) Lei do corte pr o produto: 0 e u = v = u = v. Demonstrção. Pr provr ), observmos que, ddo R, () x R tl que +x = 0 De cordo com II.5. = (u+)+x = (v +)+x Pel hipótese u+ = v +. = u+(+x) = v +(+x) A som é ssocitiv: II.2. = u+0 = v +0 De cordo com (). = u = v 0 é neutro d som: II.4. A firmção b) prov-se de form inteirmente nálog. As seguintes observções resultm directmente dests Leis do Corte. Teorem..2 (Unicidde dos neutros, simétricos e inversos). 4 Os números rcionis são d form n/m, em que n e m são inteiros. Os complexos são d form x + iy com x,y R e i =. Qulquer conjunto não vzio com dus operções lgébrics que stisfç s proprieddes 6 diz-se um corpo. Temos portnto que Q (formdo pelos rcionis), R (formdo pelos reis) e C (formdo pelos complexos) são corpos.

10 6 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS ) Unicidde do Elemento Neutro d Som: Se x R e existe R tl que +x = então x = 0. b) Unicidde dos Simétricos: Pr cd R existe um único x R tl que +x = 0. c) Unicidde do Elemento Neutro do Produto: Se y R e existe 0 tl que y = então y =. d) Unicidde dos Inversos: Pr cd 0 existe um único y R tl que y =. Demonstrção. Pr verificr ), observmos que () +x = Por hipótese, (2) +0 = De II.4. = +x = +0 De () e (2). = x = 0 D Lei do Corte pr som. Pr provr b), supomos que x,x R stisfzem +x = 0 = +x. Como +x = +x, segue-se d lei do corte pr som que x = x. As firmções c) e d) provm-se de form nálog. As seguintes definições são elementres: Definição..3 (Simétricos e inversos, diferençs e quocientes). Ddos,b R, então ) A solução x de +x = 0 é o simétrico de, designdo. b) Se 0, solução y de y = é o inverso de, designdo. c) A diferenç b menos, designd b, é dd por b = b+( ). d) Se 0, o quociente de b por, designdo b/ ou b, é ddo por b/ = b ( ). Em prticulr, / = = ( 5 ). É fácil mostrr que o simétrico de 0 é 0, i.e., 0 = 0, e o inverso de é, = (porquê?). Note-se tmbém que diferenç e o quociente são exemplos simples de operções lgébrics que não são comuttivs nem ssocitivs. O próximo teorem list mis proprieddes lgébrics elementres dos reis. Teorem..4. Se,b R então: 5 Aconvençãousulsobreprioriddedsoperções elementres édeque,nusênci de prênteses, s operções são executds n ordem () exponencição, (2) produto e quociente e (3) som e diferenç. Podemos portnto escrever b/ = b sem utilizr prênteses. A exponencição não é ssocitiv, e é necessário distinguir (bc) ( b ) c = bc. A convenção usul é escrever bc = (bc).

11 .. PROPRIEDADES ALGÉBRICAS 7 ) A diferenç x = b é únic solução de +x = b em R. b) Se 0, o quociente y = b/ é únic solução de y = b em R. c) 0 = 0 = 0. d) b = 0 se s só se = 0 ou b = 0. e) Regrs dos Sinis: (i) ( ) = e (+b) = ( )+( b) = b. (ii) ( b) = ( ) b = ( b) e ( ) ( b) = b. (iii) Se b 0, então (b ) = ( b). Demonstrção. Provmos lgums dests firmções, título de exemplo, começndo com c). É clro que 0 = 0, por comuttividde. Pr mostrr que 0 = 0, notmos que: 0+ 0 = (0+0) Por distributividde: II.3. = 0+ 0 = 0 Porque 0+0 = 0: II.4. = 0+ 0 = 0+0 Por II.4. = 0 = 0 Pel lei do corte pr som. Pr provr d), temos pens que demonstrr que se b = 0 e b 0 então = 0 (porquê?). Procedemos como se segue: ( b) b = 0 b Por hipótese. = (b b ) = 0 Por ssocitividde e c). = = 0 Porque b b =. = = 0 Porque =. As demonstrções ds restntes firmções são sobretudo plicções d lei do corte proprid. Por exemplo, pr mostrr que ( ) =, bstnos verificr que () ( )+ = 0 Por definição. (2) ( ) +( ( )) = 0 Tmbém por definição. = ( )+ = ( )+( ( )) Por () e (2). = = ( ) Pel lei do corte pr som. A demonstrção d identidde ( b) = ( ) b é ligeirmente mis complex: b+( ) b = [+( )] b Por distributividde. = b+( ) b = 0 b Porque +( ) = 0. = b+( ) b = 0 Porque 0 b = 0, por c). = b+( ) b = b+[ ( b)] Porque b+[ ( b)] = 0. = ( ) b = ( b) Pel lei do corte pr som.

12 8 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Apresentmos seguir s usuis regrs pr mnipulr frcções e os chmdos csos notáveis d multiplicção. A su demonstrção não deve presentr dificulddes. Teorem..5. Sejm,b,c,d R, com b 0 e d 0. Temos então: ) /b 0 se e só se 0. b) b/b =, pr qulquer b 0. c) /b±c/d = ( d±b c)/(b d), (/b) (c/d) = ( c)/(b d). d) Se c/d 0 então (/b)/(c/d) = ( d)/(b c). e) x 2 y 2 = (x y)(x+y) e (x±y) 2 = x 2 +y 2 ±2x y. Os resultdos que já indicámos são consequênci lógic dos xioms I e II, ms nãonos devem induzirnoerrodeimginr quetods s proprieddes mis ou menos elementres e/ou óbvis dos reis resultm desses xioms( 6 ). A este respeito, é muito útil reconhecer que o conjunto Z 2 = {0,} com s operções (d ritmétic binári) dds pels tbuds stisfz I e II( 7 ). É por isso evidente que tods s proprieddes que podemos demonstrr com bse nos xioms I e II são igulmente válids pr Z 2 e pr R. Dito doutr form, s proprieddes de R que não são prtilhds por Z 2 são impossíveis de deduzir de I e II. Por exemplo, R é infinito( 8 ) enqunto Z 2 tem pens dois elementos. Portnto, o fcto de R ser infinito não é consequênci lógic dos xioms presentdos, ms é um propriedde independente destes. Por definição, - é solução de + x = 0, que sbemos ser únic. As tbuds cim mostrm que, em Z 2, temos + = 0, donde concluímos que identidde = é verddeir em Z 2. No entnto, em R equção x = x só tem solução x = 0. Notmos por isso que firmção, por evidente que sej em R, tmbém não é um consequênci lógic de I e II. 6 As proprieddes que resultm dos xioms I e II, em prticulr s que já referimos, são comuns qulquer corpo, incluindo nturlmente Q, R e C. 7 Portnto, Z 2 é tmbém um corpo. 8 É possível formlizr noção de conjunto infinito, como veremos mis dinte, ms pr já o nosso entendimento intuitivo deve ser suficiente.

13 .2. DESIGUALDADES E RELAÇÃO DE ORDEM 9 Como existem proprieddes elementres dos reis que não são consequênci lógic dos xioms que indicámos, é clro que os xioms I e II não são um bse complet pr o estudo dos reis. Pssmos complementá-los, ms não ind completá-los, n próxim secção, com firmções reltivs às proprieddes de ordem em R..2 Desigulddes e Relção de Ordem De um ponto de vist intuitivo, origem divide rect rel em dus semirects, formds respectivmente pelos reis positivos e pelos reis negtivos, e designds R + e R. A som de reis positivos é positiv, como som de reis negtivos é negtiv, e dizemos por isso que R + e R são fechdos reltivmente à som. É clro que o produto de elementos de R + está tmbém em R +, ou sej, R + é tmbém fechdo reltivmente o produto, o que não é verdde pr R. Ests ideis podem ser formlizds no: Axiom III. Existe um conjunto R + R, dos reis positivos, tl que:. Fecho de R + em relção à som e o produto: Pr quisquer,b R +, temos +b R +, b R Tricotomi: Qulquer R verific um e um só ds seguintes três condições:( 9 ) R + ou = 0 ou R +. O conjunto dos reis negtivos pode ser gor definido por R = {x R : x R + }. Segue-se de. e ds Regrs dos Sinis em..4 e)(i) que R é igulmente fechdo pr som, como referimos cim. A propriedde de tricotomi é equivlente firmr que os conjuntos R +, R e {0} são disjuntos e su união é R, ou sej, que os conjuntos R +, R e {0} formm um prtição de R. A desiguldde b >, que lemos b é mior do que, signific pens que solução d equção +x = b é positiv, ou sej, Definição.2.. (Relção de Ordem em R) Se,b R, dizemos que é mior que b > b ( b) R +. 9 Est condição exige que qundo 0, porque cso contrário seri impossível que pens um ds lterntivs presentds fosse verddeir. Em prticulr, o corpo Z 2 com dois elementos não stisfz um xiom nálogo III. No entnto, o xiom III é igulmente válido pelo menos pr Q, depois de dptções óbvis.

14 0 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS As relções (mior ou igul), < (menor) e (menor ou igul) são fcilmente definids prtir de.2. e serão usds sem mis comentários. Temos por exemplo R + = {x R : > 0} e R = {x R : < 0}. O xiom III us-se muits vezes n form: Teorem.2.2. Se,b R então ) > 0 e b > 0 = +b > 0 e b > 0. b) Verific-se exctmente um de três csos possíveis: > b, b > ou = b. O próximo teorem indic lgums ds mis elementres proprieddes ds desigulddes em R. Teorem.2.3. Pr quisquer,b,c,d R, temos: ) Trnsitividde: < b e b < c = < c. b) < b > b. c) Lei do Corte (pr som): < b +c < b+c. d) < c e b < d = +b < c+d. Dem. Começmos por verificr ): < b e b < c Por hipótese. (b ),(c b) R + Pel definição.2.. = (b )+(c b) R + Pel ) do teorem.2.2. (c ) R + Porque c = (b )+(c b). = < c Pel definição.2.. A b) result de observr, prtir de..4 e), que < b b R + ( ) ( b) R + b <. A c) result de (b+c) (+c) = b : < b b R + (b+c) (+c) R + +c < b+c. Pr provr d), notmos que, como c > e d > b, temos c R + e d b R +, donde (d b)+(c ) R + de III., donde c+d > +b (c+d) (+b) = (d b)+(c ) R +

15 .2. DESIGUALDADES E RELAÇÃO DE ORDEM A mnipulção de desigulddes que envolvem produtos e divisões é mis delicd, e lguns dos erros mis comuns n su resolução resultm d incorrect utilizção de regrs referids no próximo resultdo. Note-se que, como é usul, escrevemos 2 =. Teorem.2.4. Pr quisquer,b,c,d R, tem-se que: ) b > 0 ( > 0 e b > 0) ou ( < 0 e b < 0). b) Lei do Corte (pr o produto): c < b c ( < b e c > 0) ou ( > b e c < 0). c) 2 > 0 se e só se 0, e em prticulr > 0. Dem. Pr provr ), nlismos todos os csos possíveis: (i) > 0 e b > 0 b > 0 De.2.2 ). (ii) < 0 e b < 0 > 0 e b > 0 De.2.3 b). b = ( ) ( b) > 0 De..4 f) e.2.2 ). (iii) < 0 e b > 0 > 0 e b > 0 De.2.3 b). ( ) b = ( b) > 0 De..4 f) e.2.2 ). b < 0 De.2.3 b). (iv) > 0 e b < 0 b < 0 É o cso (iii). (v) = 0 ou b = 0 b = 0 De..4 c). Result clrmente que ( > 0 e b > 0) ou ( < 0 e b < 0) b > 0. A Lei do Corte em b) é um plicção simples de ): c < b c 0 < b c c 0 < (b ) c (b > 0 e c > 0) ou (b < 0 e c < 0) (b > e c > 0) ou (b < e c < 0) A observção em c) result de tomr = b em ), e em prticulr de tomr =, porque 2 =. Observções Ddo R, Ríz Qudrd de, se existir, é únic solução x = dequção x 2 = com x 0. Vimos noteorem nterior quesex 0então x 2 > 0, e é portnto evidente que equção x 2 = só pode ter soluções qundo 0. É interessnte notr por isso que o corpo dos complexos C não stisfz um xiom nálogo III, ddo que equção x 2 = tem soluções ±i C.

16 2 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS 2. Qundo < b temos tmbém que < +b 2 < b e portnto {x R : < x < b}. Segue-se que n relidde {x R : < x < b} é sempre infinito (porquê?). A noção de módulo ou vlor bsoluto de x R é muito útil no que se segue. De um ponto de vist geométrico é, simplesmente, distânci de x à origem e, mis gerlmente, x y é distânci entre x e y. Define-se por Definição.2.6. O módulo ou vlor bsoluto de x R é ddo por x = { x 2 x, se x 0; = x, se x < 0. Indicmos seguir lgums proprieddes elementres do vlor bsoluto( 0 ). Teorem.2.7. Pr quisquer,x,y,ε R temos: ) x x x e x x x. b) Se ε 0, x ε ε x ε e x ε ε x +ε. c) x y = x y e, se y 0, x/y = x / y. d) x 2 y 2 x y. e) Desiguldde Tringulr: x+y x + y. f) x y x y. Dem. Deixmos demonstrção de ) como exercício. Pr s restntes firmções, procedemos como se segue b) Considermos seprdmente os csos x 0 e x < 0: x 0 e x ε 0 x ε. x < 0 e x ε 0 < x ε ε x < 0. A equivlênci x ε ε x +ε é um consequênci d nterior, obtid substituindo n primeir x por x. x ε ε x ε ε x +ε. c) O resultdo é evidente se x y = 0 ou se x > 0 e y > 0. Os restntes csos seguem-se de regrs dos sinis do teorem..4. Considermos ( título de exemplo) o cso x > 0 e y < 0, em que x y < 0 e x/y < 0. x y = (x y) = x ( y) = x y e x/y = (x/y) = x/( y) = x / y. 0 O módulo de um complexo z C, ddo por z = x+iy = x 2 +y 2, onde x,y R, tem exctmente mesm interpretção geométric: z é distânci do ponto z à origem, e z w é distânci entre os pontos z e w. As proprieddes c), e) e f) do teorem.2.7 são liás igulmente válids pr números complexos.

17 .2. DESIGUALDADES E RELAÇÃO DE ORDEM 3 d) Notmos que x 2 y 2 = x 2 y 2 = ( x y )( x + y ). Como x + y 0 e x + y = 0 se e só se x = y = 0, é clro que x 2 y 2 0 x y 0 x y e) Pel líne d), e como x + y = x + y, desiguldde tringulr é equivlente (x+y) 2 ( x + y ) 2. Ddo que (x+y) 2 = x 2 +2xy +y 2 e ( x + y ) 2 = x 2 +2 x y + y 2 = x 2 +2 x y +y 2, desiguldde tringulr result de observr que xy xy = x y. f) Tl como n líne nterior, notmos que (x y) 2 = x 2 +y 2 2xy e ( x y ) 2 = x 2 + y 2 2 x y = x 2 +y 2 2 xy. Como xy xy, segue-se de d) que x y x y. Os intervlos são subconjuntos de R muito simples, e correspondem os usuis segmentos de rect, semi-rects, ou à própri rect rel: Definição.2.8. (Intervlos) Se, b R definimos os seguintes intervlos com extremos e b: O intervlo berto ],b[ = {x R : < x < b}. O intervlo fechdo [,b] = {x R : x b}. Os intervlos semi-bertos (e semi-fechdos) [,b[ = {x R : x < b} e ],b] = {x R : < x b}. Definimos tmbém intervlos com extremos infinitos: bertos: ],+ [ = {x R : x > } e ],b[ = {x R : x < b}. fechdos: [,+ [ = {x R : x } e ],b] = {x R : x b}. A rect rel: ], [= R é um intervlo. Note-se título de ilustrção que ],[ =,[,] = {} e ],[= {x R : x < }. Se x é um proximção ou vlor proximdo de, então x, que é distânci entre os pontos x e, é o erro dess proximção, e

18 4 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS o conjunto {x R : x < ε} é formdo por todos os reis que são proximções de com erro inferior ε. Est idei é utilizd por todo o Cálculo Diferencil e Integrl, e deve ser por isso muito bem compreendid. Qulquer intervlo berto I tl que I diz-se liás um vizinhnç de, e chmd vizinhnç-ε de é dd por( ) V ε () =] ε,+ε[= {x R : x < ε}. As vizinhnçs privds de, designds V ε(), são dds por V ε() = {x V ε () : x } = {x R : 0 < x < ε}. V ε () ε +ε Figur.2.: Vizinhnç-ε de R.3 O Axiom do Supremo As noções de máximo e mínimo de um conjunto A R são inteirmente elementres, e utilizds com frequênci no nosso di di. Correspondem às seguintes definições: M é máximo de A, e escrevemos M = mxa, se e só se M A e x M, pr qulquer x A. m é mínimo de A, e escrevemos m = mina, se e só se m A, e m x, pr qulquer x A. É clro que o máximo e o mínimo de qulquer conjunto, se existirem, são únicos. É intuitivmente evidente que qulquer conjunto finito tem sempre máximo e mínimo, ms deve ser igulmente óbvio que conjuntos infinitos podem não ter máximo e/ou mínimo, e por diverss rzões. Exemplos.3.. Se C e ε > 0, vizinhnç V ε() = {z C : z < ε} é geometricmente um círculo de rio ε e centro em, e diz-se por vezes um bol bert.

19 .3. O AXIOMA DO SUPREMO 5. R não tem máximo, porque não existe qulquer M R tl que M x pr qulquer x R, já que est desiguldde é fls, por exemplo, pr x = M+. Anlogmente, R não tem mínimo. 2. R não tem máximo, pesr de existirem elementos M R tis que M x pr qulquer x R (por exemplo, M = ou M = 0), porque nenhum desses elementos pertence o próprio conjunto R. 3. O intervlo ]0,[ não tem máximo( 2 ) nem mínimo, o intervlo ]0,] tem máximo ms não tem mínimo, o intervlo [0,[ tem mínimo ms não tem máximo, e o intervlo [0,] tem máximo e mínimo. Em qulquer cso, e se A é um destesintervlos, existem sempreelementosm,m R tisque m x M pr qulquer x A. As seguintes noções são úteis pr compreender s diferençs que cbámos de observr entre conjuntos infinitos: Definição.3.2. (Mjornte e Minornte de A): Se A R e m,m R, dizemos que ) M é mjornte de A se e só se x M, pr qulquer x A. Se A tem mjorntes, diz-se que A é um conjunto mjordo. b) m é minornte de A se e só se m x, pr qulquer x A. Se A tem minorntes, diz-se que A é minordo. c) SeAtemmjornteseminorntes, entãodizemosqueaéumconjunto limitdo. Cso contrário, A diz-se ilimitdo. Exemplos R não é mjordo nem minordo e portnto é ilimitdo. 2. R não é minordo, ms é mjordo, pesr de não ter máximo. É tmbém ilimitdo. O conjunto dos seus mjorntes é o intervlo [0, + [. 3. Qulquer um dos intervlos ]0,[, ]0,], [0,[ e [0,] é mjordo e minordo, ou sej, é limitdo. Os mjorntes de qulquer um destes intervlos formm o conjunto [,+ [, e os respectivos minorntes formm ],0]. Note-se que M é mjornte de A se e só se todos os elementos de A estão à esquerd de M, ou sej, se e só se A ],M]. Neste cso, M é um estimtiv por excesso de todos os elementos de A. Anlogmente, m é minornte de A se e só se todos os elementos de A estão à direit de m, ou sej, se e só se A [m,+ [, e m é um estimtiv por defeito dos elementos de A. O conjunto A é limitdo se e só se existem m,m R tis 2 O intervlo I =]0,[ não tem máximo x porque, como x I, temos x <, donde y = (x+)/2 I e y > x.

20 6 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS que m x M pr qulquer x A, e neste cso A [m,m]. Podemos portnto dizer que A é limitdo se e só se A está contido num intervlo limitdo. Tomndo K = mx{ m, M }, podemos igulmente dizer que A é limitdo se e só se existe K R tl que x K pr qulquer x A. Observções.3.4. As seguintes firmções são muito fáceis de verificr:. Se A tem máximo M = mxa, então M é o menor dos mjorntes de A, ou sej, o máximo de A é o mínimo do conjunto dos mjorntes de A. 2. O menor dos mjorntes de um ddo conjunto A pode não ser o máximo de A. Por exemplo, se A = R então os mjorntes de A formm o intervlo [0,+ [, que tem mínimo 0. É clro que 0 não é o máximo de A, porque 0 A. 3. O mínimo do conjunto A, se existir, é o mior dos seus mjorntes, ou sej, é o máximo do conjunto dos seus minorntes. O máximo minornte pode existir, sem que exist o mínimo de A, como ilustrdo por A = R Sendo M o conjunto dos mjorntes de A, então M é vzio ou, em lterntiv, infinito e não mjordo, porque se x M e y > x então y M. Anlogmente, o conjunto dos minorntes de A é vzio ou infinito e não minordo. 5. Se A, é minornte de A e b é mjornte de A então b, porque existe lgum x A e temos necessrimente x b. Omior minornte eomenor mjornte deumddoconjuntoa, qundo existem, são designdos como se segue. Definição.3.5. (Ínfimo e Supremo de A) Ddo A R, então ) Qundo o conjunto dos minorntes de A tem máximo, esse máximo diz-se o ínfimo de A, e design-se infa. b) Qundo o conjunto dos mjorntes de A tem mínimo, esse mínimo diz-se o supremo de A, e design-se por supa. Exemplos.3.6. () Se A = [0,] então mxa = supa = e mina = infa = 0. (2) Se A =]0,[ então = supa e 0 = infa ms, como observámos cim, A não tem máximo nem mínimo. (3) Se um ddo conjunto tem máximo, então esse máximo é igulmente o seu supremo, como contece em (). É no entnto possível que tenh supremo, sem que tenh máximo, como contece em (2). Podemos fcilmente fzer observções nálogs propósito ds noções de mínimo e ínfimo.

21 .3. O AXIOMA DO SUPREMO 7 É por vezes útil observr que o ínfimo de A é melhor proximção por defeito de todos os elementos de A, enqunto que o supremode A é melhor proximção por excesso de todos elementos de A. Existem múltipls mneirs equivlentes de crcterizr o supremo e/ou o ínfimo de um ddo conjunto A R, e s seguintes proposições são utilizds com frequênci. Proposição.3.7. Se A R e s é mjornte de A então s = supa V ε (s) A pr qulquer ε > 0. Por outrs plvrs, s é o supremo de A se e só se s é mjornte de A e qulquer vizinhnç de s contém pontos de A. Como vimos, é possível que s A, ms est observção mostr que existem sempre pontos de A rbitrrimente próximos de s = sup A. ε V ε (s) s ε x s Figur.3.: Qulquer vizinhnç-ε de s = supa contém pontos x A Demonstrção. Supomos primeiro que s = supa e ε > 0. Como s ε < s e s é o menor mjornte de A, segue-se que s ε não é mjornte de A. Existe portnto pelo menos um elemento x A tl que x > s ε e temos ind x s, porque s é mjornte de A. É clro que x V ε (s), o que mostr que V ε (s) A. Supomos gor que s é mjornte de A e qulquer vizinhnç-ε de s contém pontos x A. Sendo t < s, tommos ε = s t, ou sej, t = s ε. Por hipótese, existe x V ε (s) A, e é portnto óbvio que x > t e t não é mjornte de A. Dito doutr form, qulquer t < s não é mjornte de A, donde s é o menor mjornte de A, i.e., s = supa. É fácil dptr ests ideis o cso do ínfimo, pr obter: Proposição.3.8. Se A R e s é minornte de A então s = infa V ε (s) A pr qulquer ε > 0.

22 8 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Como vimos, é inteirmente evidente que um conjunto mjordo A pode não ter máximo, como ocorre, e.g., com A = [0,[. Será no entnto verdde que qulquer conjunto mjordo não-vzio tem supremo? A respost est pergunt envolve um observção de nturez geométric, que podemos considerr intuitivmente evidente ms que, como veremos, não result dos xioms já presentdos. Suponh-se pr isso rect rel R decompost em dois conjuntos disjuntos e não-vzios, que designremos E e D, e tis que todos os elementos de E são menores que todos os elementos de D. Por outrs plvrs, os elementos de E são minorntes de D ou, de form equivlente, os elementos de D são mjorntes de E. Prece clro que E e D são semi-rects disjunts cuj união é rect rel complet, e por isso deve existir um ponto p R que sepr rect rel ns dus semi-rects E e D, ou sej, tl que x p y pr quisquer x E e y D. E D Figur.3.2: E e D são um decomposição de R em semi-rects. Como já sugerimos, existênci do ponto p é em si um xiom dicionl sobre o conjunto R, que pode certmente tomr form de:.3.9. Se os conjuntos não-vzios E e D são um prtição de R e temos x < y pr quisquer x E e y D ( 3 ) então existe p R tl que x p y pr quisquer x E e y D. É no entnto mis usul tomr como xiom firmção seguinte, e é ess lterntiv que seguimos neste texto: Axiom IV (Axiom do Supremo). Se A R é mjordo e não-vzio( 4 ) então A tem supremo. 3 O pr de conjuntos (E,D) é essencilmente um corte de Dedekind, ssim chmdo em homengem o mtemático lemão Richrd Dedekind, 83-96, que utilizou prtições de Q dest form pr definir os números reis prtir dos números rcionis. Não estudmos qui estes trblhos de Dedekind, por se fstrem demsido dos principis objectivos deste texto, ms estão tmbém disponíveis no Projeto Gutemberg, em Essys on the Theory of Numbers. 4 O conjunto vzio é um cso lgo especil, porque tem mjorntes (qulquer rel é um seu mjornte), ms nturlmente não tem supremo.

23 .3. O AXIOMA DO SUPREMO 9 É interessnte verificr que o xiom IV é equivlente à firmção.3.9. Demonstrção. Supomos primeiro que firmção.3.9 é válid: Ddo um conjunto não-vzio e mjordo A R, sej D o conjunto dos mjorntes de A e E o complementr de D, ou sej, o conjunto dos reis que não são mjorntes de A. Notmos como evidente que D e E não são vzios e formm um prtição de R. Temos tmbém que () Se x E e y D então x < y, porque x não é mjornte de A, ou sej, existe A tl que x <, e y é mjornte de A, donde y e portnto x < y. (2) E não tem máximo: Se x E então x não é mjornte de A, ou sej, existe A tl que x <. Existe igulmente x R tl que x < x <, e como x não é mjornte de A é óbvio que x E e x não é o máximo de E. De cordo com.3.9, concluímos que existe p R tl que x p y pr quisquer x E e y D. É clro que p pertence um dos conjuntos E ou D, donde se segue fcilmente que p = mxe ou p = mind. De cordo com (2), primeir lterntiv é impossível, e p = mind é, obvimente, o ínfimo de A. Supomos gor que o xiom IV é válido: Sendo E e D os conjuntos referidos em.3.9, é clro que E tem mjorntes, porque qulquer elemento ded é mjornte dee, etemos porhipótesequee. Segue-se doxiom IV que E tem supremo p R, e é imedito que x p, pr qulquer x E, porque p = supe, e p y, pr qulquer y D, porque y é mjornte de E e p é o menor mjornte de E. Concluímos ssim que firmção.3.9 é consequênci lógic do xiom IV. Como exemplo de um observção elementr que result do xiom IV, mostrmos que equção x 2 = 2 tem soluções em R.( 5 ) Exemplo.3.0. Pr plicr o xiom IV o conjunto A = {x R : x 2 < 2}, notmos que 5 Est firmção não é válid pr Q porque, como veremos dinte, s soluções de x 2 = 2 são números irrcionis. Qundo estbelecermos este fcto, poderemos concluir deste exemplo que o corpo dos rcionis não stisfz o xiom IV.

24 20 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS A é não-vzio: é evidente que A. 2 é mjornte de A, logo A é mjordo: se x 2 então x 2 4 > 2 e portnto x A, donde concluímos que x < 2 pr qulquer x A. Segue-se do xiom IV que A tem supremo α, e é óbvio que α 2, e estbelecemos seguir um resultdo uxilir muito simples: () Se δ e x V δ (α) então α 2 5δ < x 2 < α 2 +5δ. Temos x α < δ, donde 0 < x < 3, x+α < 5 e x 2 α 2 = x α x+α 5δ, ou sej, α 2 5δ < x 2 < α 2 +5δ. Nturlmente, um ds seguintes lterntivs é válid: () α 2 < 2 ou (b) α 2 > 2 ou (c) α 2 = 2 Nos csos () e (b), tommos ε = 2 α 2 = 0 e observmos que existe δ < tl que 0 < 5δ < ε. () Se α < x < α + δ segue-se de () que x 2 < α 2 + 5δ < α 2 + ε = 2 e portnto x A. Neste cso não podemos ter α = supa, porque é óbvio que α não é mjornte de A. (b) Se α δ < x < α segue-se de () que x 2 > α 2 5δ > α 2 ε = 2 e portnto x A. Neste cso não podemos ter α = supa, porque qulquer vizinhnç de sup A contém necessrimente elementos de A. Concluímos por exclusão de hipóteses que lterntiv (c) é válid, ou sej, α é solução d equção x 2 = 2. O próximo teorem é o nálogo do Axiom do Supremo pr o ínfimo. Teorem.3.. Se A R é minordo e não-vzio então A tem ínfimo. Demonstrção. Sendo B o conjunto dos minorntes de A, é evidente que B, por hipótese, e B é mjordo, porque qulquer elemento de A é mjornte de B. Segue-se do Axiom do Supremo que B tem supremo α. Como qulquer elemento A é mjornte de B e o supremo de B é o menor dos seus mjorntes, é tmbém clro que α, ou sej, α é minornte de A e portnto α B. Concluímos que α é o máximo de B, que é por definição o ínfimo de A. Definimos n secção nterior os intervlos em R como conjuntos muito especiis, ms descrição que utilizámos envolve considerção de múltiplos tipos diferentes(limitdos ou ilimitdos, bertos, fechdos ou bertos pens num dos extremos). É por vezes útil crcterizr os intervlos de um form um pouco mis bstrct( 6 ), independente destes detlhes, e proveitmos o Axiom do Supremo pr estbelecer 6 A condição referid em.3.2 é um cso prticulr d noção de conjunto conexo, estudd em Topologi. Nest terminologi, o teorem referido limit-se firmr que os intervlos são exctmente os subconjuntos de R que são conexos.

25 .4. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 2 Teorem.3.2. O conjunto I R é um intervlo se e só se: () Pr quisquer x,y I e z R, se x < z < y então z I. Demonstrção. Deve ser evidente que qulquer intervlo, independentemente do seu tipo, stisfz condição (). Limitmo-nos por isso provr que qulquer conjunto que stisfç () é necessrimente um intervlo. Considermos os seguintes csos: ) I = : nd temos verificr. b) I não mjordo nem minordo: ddo qulquer z R existe y I tl que y > z, porque z não é mjornte de I, e existe x I tl que x < z, porque z não é minornte de I. Segue-se de () que z I, ou sej, I = R =],+ [. c) I mjordo e não minordo: Neste cso, I tem supremo α e portnto I ],α]. Ddo qulquer z < α, existe y I tl que z < y α (porque α = supi), e existe x I tl que x < z (porque I não tem minorntes). Segue-se de () que z I, i.e., ],α[ I. Como ],α[ I ],α], concluímos que I =],α[ ou I =],α]. d) I minordo e não mjordo: nálogo c). d) I limitdo: I tem ínfimo α, supremo β e I [α,β]. Se α < z < β podemos concluir de () que z I, ou sej, ]α,β[ I [α,β]. Temos então I =]α,β[, I =]α,β], I = [α,β[ ou I = [α,β]..4 Números Nturis e Indução De um ponto de vist por enqunto estritmente intuitivo, é clro que N = {, 2 = +, 3 = 2+ = (+)+,...}. Aind de um ponto de vist intuitivo, s seguintes proprieddes do conjunto N são portnto evidentes: (i) N e (ii) n N = n+ N Note-se que N não é o único subconjunto de R que stisfz s proprieddes (i) e (ii). Por exemplo, tnto o próprio conjunto R como o conjunto R + stisfzem esss proprieddes, se nel substituirmos referênci N pel referênci o conjunto em cus. A título de ilustrção, temos pr R + : (i) R + e (ii) n R + = n+ R + Os conjuntos que stisfzem (i) e (ii) dizem-se:

26 22 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Definição.4.. (Conjuntos Indutivos) Um subconjunto A R diz-se indutivo se e só se stisfz s condições: (i) A e (ii) A (+) A Um momento de reflexão sugere que os números nturis, não sendo o único conjunto indutivo, estão contidos em qulquer conjunto indutivo, e formm por isso o menor conjunto indutivo em R. Est idei é fcilmente trnsformd num definição forml dos próprios números nturis: Definição.4.2. (Números Nturis, o conjunto N) O conjunto dos nturis design-se por N, e é ddo por( 7 ) N = {n R : n pertence qulquer subconjunto indutivo de R}. Os símbolos, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 são suficientes pr escrever qulquer número nturl no chmdo sistem deciml, i.e., n bse 0( 8 ). Anlisremos nest secção representção deciml dos nturis, e mis dinte estudremos questão mis difícil d representção deciml dos números rcionis e irrcionis. Aproveitmos pr definir igulmente Definição.4.3. (Números Inteiros, Rcionis e Irrcionis) O conjunto dos inteiros design-se por Z e é ddo por Z = Z + {0} Z, onde Z + = N e Z = {m R : m N}. O conjunto dos rcionis design-se por Q e é ddo por Q = {n/m : n,m Z,m 0}. Os irrcionis são os elementos do conjunto R\Q. 7 Com est definição, é fácil mostrr que 0 N, e n verdde escrevemos qui N 0 = N {0}, ms em muitos textos opt-se por definir os nturis de modo incluir o 0. 8 O sistem deciml, outr ds grndes crições d Humnidde, foi descoberto n Índi, entre os nos 00 e 500 d noss er, e expndiu-se rpidmente pr s regiões sob domínio árbe nos séculos que se seguirm à Hégir. O sistem difundiu-se n Europ perto do fim d Idde Médi trvés do contcto com civilizção árbe, pelo que ind hoje o referimos como numerção árbe. As plvrs lgrismo e lgoritmo são liás deturpções do nome do utor pers do século IX (Al-Khwrizmi) que escreveu um dos textos mis estuddos no Ocidente sobre o sistem de numerção que Al-Khwrizmi sbi ser indino. O sistem é gerlmente usdo n ctulidde, ms os símbolos que representm os dez lgrismos são distintos em lgums culturs. Em prticulr, os lgrismos árbes que utilizmos no Ocidente são essencilmente os dos píses do Mgrebe (que é, literlmente, o Ocidente do mundo árbe), ms são bstnte diferentes dos que se usm nos píses árbes prtir do Egipto, onde, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 se escrevem,,,,,,,, e

27 .4. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 23 O chmdo Princípio de Indução Mtemátic é pens mis um teorem d teori qui desenvolvid, porque é um reflexo imedito d definição.4.2: Teorem.4.4. (Princípio de Indução Mtemátic) ) N é o menor conjunto indutivo em R, ou sej, (i) Se A R é indutivo então N A, e (ii) N é indutivo. b) Em prticulr, se A N é indutivo então A = N. Dem. A firmção (i) d ) é evidente: Por definição de N, se n N e A é indutivo então n A, ou sej, N A. Pr verificr (ii) de ), ou sej, pr provr que N é indutivo, notmos que (I) N, porque pertence clrmente qulquer conjunto indutivo. (II) Se n N e A é indutivo, então n A, porque o nturl n pertence por definição qulquer conjunto indutivo. Segue-se que n + A, porque A é indutivo. Como A é um conjunto indutivo rbitrário, concluímos que n+ está em todo e qulquer conjunto indutivo, pelo que n+ N, mis um vez por definição de N. Temos ssim que N stisfz s condições (i) e (ii) d definição.4., ou sej, N é um conjunto indutivo. A firmção em b) é tmbém imedit. Como A é indutivo, temos N A, de ). Como por hipótese A N, é óbvio que A = N. O Princípio d Indução Mtemátic (teorem.4.4) é bse d técnic de demonstrção que conhecemos como o Método de Indução Mtemátic. Sendo P(n) um determind proposição ou propriedde que se pretende mostrr verddeir pr todo o n N, este método consiste em ) Verificr que firmção P() é verddeir, e b) Mostrr que, pr qulquer n N, e se P(n) é verddeir, então P(n+) é igulmente verddeir. Provds s firmções, o método de indução finit permite-nos concluir que P(n) é verddeir, pr qulquer n N.

28 24 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Pr reconhecer que este método é um plicção direct de.4.4, bst considerr o conjunto dos nturis n pr os quis firmção P(n) é verddeir, ou sej, o conjunto S = {n N : P(n) é verddeir }. Provr s firmções ) e b) é precismente o mesmo que verificr que S é um conjunto indutivo. Ms se S é indutivo, o teorem.4.4 mostr que S = N, o que signific que P(n) é verddeir pr qulquer n N. Apresentmos seguir lguns exemplos prticulrmente simples de plicção do princípio/método de indução. Pelo menos em lguns csos, correspondem observções que estmos hbitudos tomr como evidentes, ms em qulquer cso ilustrm bem est técnic de demonstrção. Exemplos.4.5. Pssmos provr:. O mínimo de N é : Tommos P(n) = n. Temos então P(): é obvimente verddeir. P(n) = P(n+): Como > 0, segue-se que n+ > n. Portnto, n = n+, i.e., P(n) = P(n+). Podemos portnto concluir que n pr qulquer n N, e como N segue-se que = minn. 2. Qulquer nturl é pr ou ímpr: P(n) é gor firmção n é pr ou ímpr, e recordmos que o nturl n é pr se existe um nturl k tl que n = 2k, e ímpr se existe k N tl que n = 2k. P(): Como = 2, é clro que é ímpr. P(n) = P(n+): Existe k N tl que n = 2k ou n = 2k, donde n = 2k = n+ = 2k + = 2(k +), e n+ é ímpr, ou n = 2k = n+ = 2k + = 2k, e n+ é pr. Concluímos que P(n) é verddeir pr qulquer n N n n+ pr qulquer n N: Temos gor P(n) = 2 n n+. P(): Est é firmção 2 +, que é obvimente verddeir. P(n) = P(n+): Bst-nos notr que 2 n n+ = 2 n+ 2(n+) = 2n+2 = n+n+2 n+2 A firmção P(n) é ssim verddeir pr qulquer n N. Um sucessão no conjunto X é simplesmente um função definid no conjunto N com vlores no conjunto X. Por exemplo, função φ : N N

29 .4. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 25 dd por φ(n) = 2n é sucessão dos números ímpres, e função ψ : N N dd por ψ(n) = n 2 é sucessão dos qudrdos perfeitos. A função ϕ : N Q dd por ϕ(n) = ( + n )n é um exemplo clássico, porque qundo n ument os vlores ϕ(n) se proximm progressivmente do número de Euler, e = 2, 7828, que é um ds mis importntes constntes d Mtemátic. Note-se de pssgem que é usul designr os vlores de umsucessão φ por φ, φ 2,,φ n em vez de φ(), φ(2),,φ(n). É tmbém muito frequente recorrermos fórmuls de recorrênci pr definir sucessões, um técnic que está directmente ligd o Princípio de Indução. Não expomos qui completmente teori que sustent este tipo de definições, ms ilustrmos su utilizção em múltiplos csos, que incluem diverss noções mtemátics básics. Exemplo.4.6. A potênci de expoente nturl n, designd por x n, com bse x R e expoente n N é informlmente descrit como um produto com n fctores, todos iguis x ( 9 ), ms su definição mis rigoros deve ser feit como se segue: Se n =, então x n = x = x, e Se n, então x n+ = x n x. As proprieddes usuis ds potêncis, em prticulr s identiddes () x n x m = x n+m,(x n ) m = x nm e x n y n = (x y) n podem ser demonstrds por indução, e são válids pr quisquer n,m N e quisquer x,y R. Provmos título de exemplo que x n x m = x n+m. Pr isso, fixmos n N, x R e tommos P(m) = (x n x m = x n+m ). Então P() é verddeir, porque (por definição) x n x = x n x = x n+. Supondo que P(m) é verddeir, temos x n x m+ = x n (x m x) = (x n x m ) x = x n+m x = x n+m+ Qundo x 0 definimos igulmente x n qundo n 0 é um inteiro. Prn = 0 tommosx 0 = e pr n < 0 fzemosx n = (x ) n, onde é clroque n N. As proprieddes em () são n verdde válids pr quisquer n,m Z, desde que x 0 e y 0. Dd um sucessão α : N R, é conveniente dispor de um notção sucint e compct pr designr soms d form α + α α n, e escrevemos pr isso n α k = α +α 2 + +α n, k= que lemos como somtório dos α k s com k de té n. Mis formlmente, 9 Não se segue dqui que sej necessário clculr n produtos pr determinr x n. Qunts multiplicções são necessáris pr clculr, por exemplo, 2 00?

30 26 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Definição.4.7. Sendoα : N R, sucessãodesigndporσ n = n k= α k é dd por σ = α se n =, e σ n+ = σ n + α n+ se n >. Por outrs plvrs, ( n n+ n ) α k = α se n =, e α k = α n+ + α k se n >. k= Exemplos.4.8. k=. Pr demonstrr fórmul +2+ +n = n(n+) 2, observmos que Tommos P(n) = n k= +2+ +n = P(): temos k= k = = (+) 2 P(n) = P(n+): n+ k = k= n k k= k= k = n(n+), e provmos P(n) por indução: 2 n k= = n(n+) 2 k +(n+) = n(n+) 2 + 2(n+) 2 +(n+) = = (n+)(n+2) 2 2. Nd impede que os termos do somtório sejm constntes. Por exemplo, se k = pr qulquer k N então é fácil mostrr por indução que n k = k= n = n, pr qulquer n N. k= Est firmção mostr que os nturis são s soms finits com prcels iguis, ou sej, { n } N = : n N k= Mis gerlmente, é fácil mostrr que se R então n = n k= 3. Um progressão ritmétic de o termo R e rzão r R é um sucessão α : N R dd por α = e α n+ = α n +r. Podemosestbelecer por indução que n ( α n = +(n )r e α k = n + (n )r ) 2 k= O cso = e r = é o exemplo, e o exemplo 2 corresponde = e r = 0.

31 .4. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 27 Demonstrção. Pr mostrr que α n = +(n )r, notmos que Se n =, α = +( )r =. Supondo que n e α n = +(n )r, temos Pr mostrr que α n+ = α n +r = +(n )r+r = +nr. n k= ( α k = n + (n )r ), observmos que 2 ( Se n =, α k = α = + ( )r ) =. 2 k= n ( Supondo que n e α k = n + (n )r ), temos 2 k= k= k= n+ n ( α k = α n+ + α k = +n r+n + (n )r ) ( = (n+) + (n)r ) Um progressão geométic de o termo R e rzão r R é um sucessão α : N R dd por α = e α n+ = α n r. Temos gor que α n = r n e, se r, n k= α k = rn r Limitmo-nos provr por indução que Se n =, k= Supondo que n e k= n k= r k = rn r r k = r 0 = = r r = r r. k= n k= r k = rn r, temos n+ n r k = r n + r k = r n + rn r = rn r n+ + r n r = rn+ r Note-se que o símbolo utilizdo pr designr o índice do somtório, que nos exemplos cim é letr k, é efectivmente irrelevnte. Por outrs plvrs, se mudrmos o índice do somtório em tods s sus ocorrêncis, som em questão não se lter. Em prticulr, um mesm som pode

32 28 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS precer n notção de somtório de forms diferentes. Dizemos por isso que o índice do somtório é mudo. Por exemplo: n k = k= n n i = j e i= j= 5 k = k= 5 i = 5. i= Teorem.4.9 (Proprieddes do Somtório). n n ) Aditividde: ( k +b k ) = k + k= b) Homogeneidde: k= n k= b k ( n n ) (c k ) = c k, c R k= k= n c) Propriedde telescópic: ( k k ) = n 0 k= Dem. () e (b) ficm como exercício. Provmos (c) por indução. Se n =, temos evidentemente ( k k ) = 0, k= n Supondo n e ( k k ) = n 0, temos k= n+ n ( k k ) = ( n+ n )+ ( k k ) = k= k= = ( n+ n )+( n 0 ) = n+ 0 Nem o Método de Indução, nem o Símbolo de Somtório, têm necessrimente que começr em n =. Ambos dmitem generlizções simples, tendo como ponto de prtid um ddo m Z. O cso m = 0 é ilustrdo no exemplo seguinte, ms n verdde todos os csos se podem reduzir o originlmente considerdo, por simples substituições de vriáveis, do tipo: 4 2 k = k= i+ = 2 j+2 = (i = k,j = k 2). i= j=0

33 .4. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 29 Exemplo.4.0. Ddo um rel r e inteiros n m, pr clculr som m k=n rk prtir do resultdo indicdo no exemplo 2.4, bst-nos notr que (.4.) m k=n m n r k = r n j=0 m n+ r j = r n j= r j = r n rm n+ r = rn r m+ r. Muits ds proprieddes dos nturis que estmos hbitudos considerr como óbvis podem ser demonstrds pelo método de indução, e enuncimos qui lgums, título de exemplo: Teorem.4.. Se n,m N então: ) Fecho em relção à dição e produto: n+m,n m N. b) Antecessor de um nturl: Se n > então n = k+ com k N. c) Diferenç em N: Se m > n então m n N. d) Distânci entre nturis: Se m > n então m n +. Em prticulr, n m n m. Demonstrção. Apens esboçmos os rgumentos que são necessários, deixndo su finlizção como exercício. ) Ddo n N fixo, considermos firmção P(m) = n+m N. P() é verddeir, porque n+ N, e P(m) = P(m+), porque n+m N = (n+m)+ = n+(m+) N. O cso do produto fic como exercício. b) Se P(n) = n > = n = k +,k N, então tnto P() como implicção P(n) = P(n+) são inteirmente óbvis. c) Tommos P(n) = Se m N e m > n então m n N. Temos: P(): Se m > então segue-se de b) que m = k +, com k N, donde m = k N. P(n) = P(n + ): Se m > n + então m > e portnto m = k + com k N. É clro que k > n e segue-se de P(n) que k n N. Concluímos que m (n+) = k n N, o que estbelece P(n+). d) Se m > n segue-se de c) que m n N. Vimos no exemplo.4.5 que = minn, donde concluímos que m n, ou sej, m n+. Se m n e m > n é óbvio que m n = m n, e se m < n então m n = n m N, donde mis um vez m n.